1

1.- En un estudio sobre el número de hijos de un grupo de 100 trabajadores se obtuvieron los siguientes datos.

a) Representar el diagrama de barras.b) Obtener la moda y la mediana.c) Obtener la media y la desviación típicad) Obtener el coeficiente de asimetría.

xi ni

0 4

1 6

2 20

3 40

4 20

5 10

n = 100

PROBLEMAS TEMA 1

2

xi ni

0 4

1 6

2 20

3 40

4 20

5 10

n = 100

a) Diagrama de barras

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5

3

b) Moda y mediana

xi ni fi Ni Fi

0 4 0.04 4 0.04

1 6 0.06 10 0.1

2 20 0.2 30 0.3

3 40 0.4 70 0.7

4 20 0.2 90 0.9

5 10 0.01 100 1

n = 100 1

Moda = 3

n / 2 = 50

Fi = 0.5

Mediana = 3

4

c.- Media y desviación típica

xi ni nixi nixi2

0 4 0 0

1 6 6 6

2 20 40 80

3 40 120 360

4 20 80 320

5 10 50 250

n = 100 296 1016

1 296: 2.96

100

k

i ii

n x

Media xn

2

22 21 10162.96 1.3984

100

k

i ii

n x

xn

1.3984 1.1825

5

d.- Coeficiente de asimetría

xi ni ni (xi – )3

0 4 - 103.376

1 6 - 45.174

2 20 - 17.68

3 40 0.0026

4 20 22.48

5 10 84.89

n = 100 - 59.22

31

359.22

0.5922100

k

i ii

n x x

n

x

31 3 3

0.59220.3585

1.1825

6

2.- En un estudio de trienios de trabajo en 80 trabajadores se obtuvieron los datos que se presentan en la siguiente tabla adjunta:

a) Representar el diagrama de barras.b) Obtener la moda y los cuartiles.c) Obtener la media, la desviación típica y el coeficiente de variación

xi ni

0 6

1 20

2 28

3 12

4 8

5 6

n = 80

7

xi ni

0 6

1 20

2 28

3 12

4 8

5 6

n = 80

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5

a) Diagrama de barras

8

b).- Moda y cuartiles

xi ni fi Ni Fi

0 6 0.075 6 0.075

1 20 0.25 26 0.325

2 28 0.35 54 0.675

3 12 0.15 66 0.825

4 8 0.1 74 0.925

5 6 0.075 80 1

n = 80 1

Moda = 2

Fi = 0.25

Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 2

Fi = 0.5

Fi = 0.75

Q1 = 1º Cuartil = 1

Q3 = 3º Cuartil = 3

9

c) Media, desviación típica y coeficiente de variación

xi ni nixi nixi2

0 6 0 0

1 20 20 20

2 28 56 112

3 12 36 108

4 8 32 128

5 6 30 150

n = 80 174 512

1 174: 2.175

80

k

i ii

n x

Media xn

2

22 21 5122.175 1.74375

80

k

i ii

n x

xn

1.74375 1.3205 1.3205

. . 0.60712.175

x

C V

10

3.- En una especie de mamíferos se esta estudiando el numero de crías de una camada. Obtener:

a) La moda.b) Los cuartiles.c) El rango intercuartilico.d) El coeficiente de variación.

Nº Crías Nº Camadas

n i

0 2

1 3

2 10

3 10

4 5

5 0

6 5

11

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7

a) Moda

Moda = 2 y 3 Distribución Bimodal

Nº Crías Nº Camadas = ni0 21 32 103 104 55 06 5

12

b) Cuartiles

Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 3

n / 4 = 8.75

n / 2 = 17.5

3 n / 4 = 26.25

Q1 = 1º Cuartil = 2 Q3 = 3º Cuartil = 4

xi ni Ni

0 2 21 3 52 10 153 10 254 5 305 0 306 5 35

n = 35

c) El rango intercuartilico

R I = Q3 – Q1 = 4 – 2 = 2

13

d) Coeficiente de variación

xi ni nixi nixi2

0 2 0 0

1 3 3 3

2 10 20 40

3 10 30 90

4 5 20 80

5 0 0 0

6 5 30 180

n = 35 103 393

1 103: 2.9428

35

k

i ii

n x

Media xn

2

22 21 3932.9428 2.5685

35

k

i ii

n x

xn

2.5685 1.6026 1.6026

. . 0.54452.9428

x

C V

14

4.- La clasificación de los alumnos por edades de un grupo escolar se da en la siguiente tabla.

a) Representar el histogramab) Calcular la media y la desviación típica

c) Calcular la moda, la mediana y Q3

d) Calcular la edad que es superada por el 30% de los alumnose) Obtener el porcentaje de alumnos con menos de 6 años y mediof) Calcular los coeficientes de sesgo y curtosis

Edad ni

Menos de 5 34

5 – 7 56

7 – 9 47

9 – 11 32

11 – 13 26

Mas de 13 5

n = 200

15

Edad ni

Menos de 5 34

5 – 7 56

7 – 9 47

9 – 11 32

11 – 13 26

Mas de 13 5

n = 200

a) Representar el histograma

3 5 7 9 11 13 15

26

34

47

ni

5

56

16

b) Media y desviación típica

Edad xi ni nixi nixi2

3 – 5 4 34 136 544

5 – 7 6 56 336 2016

7 – 9 8 47 376 3008

9 – 11 10 32 320 3200

11 – 13 12 26 312 3744

13 - 15 14 5 70 980

n = 200 1550 13492

1 1550: 7.75

200

k

i ii

n x

Media xn

2

22 21 134927.75 7.3975

200

k

i ii

n x

xn

7.3975 2.7198 2.72

17

c) Moda, mediana y Q3

Moda

Fi = 0.5

Fi = 0.75

Edad ni fi Fi

3 – 5 34 0.17 0.17

5 – 7 56 0.28 0.45

7 – 9 47 0.235 0.685

9 – 11 32 0.16 0.845

11 – 13 26 0.13 0.975

13 – 15 5 0.025 1

n = 200 1

11

1 1

56 345 2 6.419

56 34 56 47

i ii i

ii i i

h hMo

h h h he a

1

1

10.5 0.452 7 2 7.425

0.235

ii i

i

FMe

fe a

1

75 1

750.75 0.685100 9 2 9.8125

0.16

i

i ii

F

fP e a

18

d) Edad que es superada por el 30% de los alumnos

170 1

700.7 0.685100 9 2 9.1875

0.16

iii

i

Fe a

fP

e) Porcentaje de alumnos con menos de 6 años y medio

Edad ni fi Fi

3 – 5 34 0.17 0.17

5 – 7 56 0.28 0.45

7 – 9 47 0.235 0.685

9 – 11 32 0.16 0.845

11 – 13 26 0.13 0.975

13 – 15 5 0.025 1

n = 200 1

11

0.17100 1005 2 6.5

0.28

ik ii

i

k kF

e af

P

6.5

Fi = 0.7

6.5 5 0.280.17 0.38 38 %

100 2 k

k

19

f) Coeficientes de sesgo y curtosis

xi ni ni (xi – )3 ni (xi – )4

4 34 - 1792.9687 6723.6328

6 56 - 300.125 525.2187

8 47 0.7344 0.1836

10 32 364.5 820.125

12 26 1995.9062 8482.6015

14 5 1220.7031 7629.3945

n = 200 1488.75 24181.1561

31

31488.75

7.4437200

k

i ii

n x x

n

x

31 3

7.44370.3698

20.1236

41

424181.1561

120.9057200

k

i ii

n x x

n

42 4

120.90573 3 0.7911

54.7363

x

20

5.- Los datos siguientes representan presiones sistólicas

de la sangre de 200 mujeres trabajadoras escogidas al azar,

de 30 años de edad. Determinar:

a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es

inferior a 150.

b) ¿Qué presión es superada por el 30% de las

mujeres observadas?

c) Moda y mediana

d) Media y varianza

e) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica está

comprendida entre: 2 yx x

Presión ni

Menos de 115 25

115 – 130 30

130 – 145 35

145 – 170 75

170 – 180 20

Mas de 180 15

n = 200

21

a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es inferior 150

Presión n i fi Fi

100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1

n = 200

150

Fi = 0.7

11

0.45100 100145 25 150

0.375

ik ii

i

k kF

e af

P

150 145 0.3750.45 0.525 52.5 %

100 25 k

k

b) Presión superada por el 30% de las mujeres

170 1

700.7 0.45100 145 25 161.66

0.375

iii

i

Fe a

fP

22

c) Moda y mediana

1

1 11

i ii i

ii i i

h hMo e a

h h h h

Presión n i h i= n i / a i fi Fi

100 – 115 25 1.666 0.125 0.125115 – 130 30 2 0.15 0.275130 – 145 35 2.333 0.175 0.45145 – 170 75 3 0.375 0.825170 – 180 20 2 0.1 0.925180 – 190 15 1.5 0.075 1

200 1

Mo

Me

3 2.333145 25 155

3 2.333 3 2

150 1

500.5 0.45100 145 25 148.33

0.375

iii

i

Fe a

fP

23

d) Media y varianza

Presión x i n i n i x i n i x i2

100 – 115 107.5 25 2687.5 288906.25115 – 130 122.5 30 3675 450187.5130 – 145 137.5 35 4812.5 661718.75145 – 170 157.5 75 11812.5 1860468.75170 – 180 175 20 3500 612500180 – 190 185 15 2775 513375

200 29262.5 4387156.25

1 29262.5: 146.3125

200

k

i ii

n x

Media xn

2

22 21 4387156.25146.3125 528.4336

200

k

i ii

n x

xn

528.4336 22.9876 22.99

24

e) Porcentaje de mujeres con presión sistólica entre: 2 yx x

Presión n i fi Fi100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1

n = 200 1

0.12510011 15 123.32 20.82 %

0.155 k

k

kP

123.32

169.3

146.31; 22.99 169.3; 123.32 x x x

2 192.29; 2 100.33 100%x x

0.4510014 25 169.3 81.45 %

0.3755 k

k

kP

81.45 % – 20.82 % = 60.63 %

25

6.- Los datos siguientes representan el peso en gramos de un instrumento de trabajo.

1.- Representar el histograma.2.- Obtener:a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil.b) Porcentaje de animales con un peso inferior

a 197 gramos.c) Coeficiente de variación.d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento.

Peso ni

175 – 180 2

180 – 185 6

185 – 190 9

190 – 200 15

200 – 205 11

205 – 210 4

210 – 215 3

n = 50

26

1.- Histograma

Peso ni h i= n i /a i fi Fi

175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1

50 1

175 180 185 190 200 205 210

1.8

ni

1.5

0.4

0.8

215

2.2

0.6

27

a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil

Peso ni h i= n i /a i fi Fi

175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1

50 1Moda

Fi = 0.5

Fi = 0.75

11

1 1

2.2 1.5200 5 201.666

2.2 1.5 2.2 0.8

i ii i

ii i i

h hMo

h h h he a

1

1

10.5 0.342 190 10 195.333

0.30

ii i

i

FMe

fe a

1

75 1

750.75 0.64100 200 5 202.5

0.22

i

i ii

F

fP e a

28

b) Porcentaje de animales con un peso inferior a 197 gramos

11

0.34100 100190 10 197

0.30

ik ii

i

k kF

e af

P

197 190 0.300.34 0.55 55 %

100 10 k

k

Peso ni fi Fi

175 – 180 2 0.04 0.04180 – 185 6 0.12 0.16185 – 190 9 0.18 0.34190 – 200 15 0.30 0.64200 – 205 11 0.22 0.86205 – 210 4 0.08 0.94210 – 215 3 0.06 1

50 1

197

29

c) Coeficiente de variación

Peso x i ni n i x i n i x i

2

175 – 180 177.5 2 355 63012.5180 – 185 182.5 6 1095 199837.5185 – 190 187.5 9 1687.5 316406.25190 – 200 195 15 2925-a 570375200 – 205 202.5 11 2227.5 451068.75205 – 210 207.5 4 830 172225210 – 215 212.5 3 637.5 135468.75

50 9757.5 1908393.75

1 9757.5: 195.15

50

k

i ii

n x

Media xn

2

22 21 1908393.75195.15 84.3525

50

k

i ii

n x

xn

84.3525 9.1843 9.1843. . 0.047

195.15

xC V

30

d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento

Peso x i n i ni (xi – )3 ni (xi – )

4

175 – 180 177.5 2 – 10996.74425 194092.536180 – 185 182.5 6 – 12145.70775 153643.203185 – 190 187.5 9 – 4029.274125 30823.94706190 – 200 195 15 – 0.050625 0.007593200 – 205 202.5 11 4367.719125 32102.73557205 – 210 207.5 4 7534.6115 93052.45202210 – 215 212.5 3 15668.22112 271843.6365

50 398.775 775558.5178

x

31

3398.775

7.975550

k

i ii

n x x

n

41

4775558.5178

15511.1703650

k

i ii

n x x

n

31 3

7.97550.01029

774.7082

42 4

15511.170363 3 0.8199

7115.15303

x

31

7.- Se esta estudiando el tiempo de permanencia en horas de 100 cursillistas.

a) Representar el histograma.b) Obtener la moda y los cuartilesc) Determinar el numero de cursillistas con un

tiempo de permanencia inferior a 35 horas.d) Determinar el numero de cursillistas con un

tiempo de permanencia superior a 55 horas.e) Determinar el numero de cursillistas con un

tiempo de permanencia comprendido entre 35 y 55 horas

Tiempo de permanencia

ni

20 – 30 15

30 – 40 30

40 – 45 25

45 – 50 20

50 – 60 10

n = 100

32

Tiempo de permanencia

ni h i= n i /a i

20 – 30 15 1.5

30 – 40 30 3

40 – 45 25 5

45 – 50 20 4

50 – 60 10 1

n = 100

a) Histograma

1.5

3

4

hi

1

5

20 30 40 45 50 60

33

b) Obtener la moda y los cuartiles

X i n i h i= n i /a i f i F i

20 – 30 15 1.5 0.15 0.15

30 – 40 30 3 0.3 0.45

40 – 45 25 5 0.25 0.70

45 – 50 20 4 0.2 0.90

50 – 60 10 1 0.1 1

100

5 340 5 43.333

5 3 5 4

Moda

Fi = 0.25

Fi = 0.50

Fi = 0.75

11

0.5 0.5 0.4540 5 41

0.25i

i ii

FMe

fe a

175 1

0.75 0.75 0.745 5 46.25

0.2i

i ii

F

fP e a

125 1

0.25 0.25 0.1530 10 33.333

0.3i

i ii

F

fP e a

1

11 1

i ii i

ii i i

h hMo

h h h he a

34

c) Nº cursillistas con permanencia inferior a 35

X i n i h i= n i /a i f i F i

20 – 30 15 1.5 0.15 0.1530 – 40 30 3 0.30 0.4540 – 45 25 5 0.25 0.7045 – 50 20 4 0.20 0.9050 – 60 10 1 0.10 1

100

d) Nº curs. con tiempo de permanencia superior a 55

35

55

0.1510030 10 35 30 %

0.30 k

k

kP

0.9010050 10 55 95 %

0.10 k

k

kP

Nº curs. con T.de permanencia < 35 = 30

Nº curs. con T.de permanencia < 55 = 95 Nº curs. con T.de permanencia > 55 = 5

e) Nº curs. con tiempo de permanencia comprendido entre 35 y 55

Nº curs.: 35 < T. P. < 55 = 95 – 30 = 65

35

a) Coeficientes de variación de cada grupo

1 1.30.17 ; 0.2

6 6.5 A B

A BA BC V C Vx x

0.9 0.80.18 ; 0.2

5 4 C D

C DC DC V C V

x x

b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?

El coeficientes de variación del grupo A es el más

pequeño El grupo A es el más homogeneo

1 ; 1.3 ; 0.9 ; 0.8A B C D

8.- Un Curso esta dividido en 4 grupos, de los cuales tenemos los siguientes datos sobre las notas de Estadística.Se pide:

a) Obtener los coeficientes de variación de cada grupo.

b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?

Grupo Nota Media Varianza

ABCD

66.554

11.69

0.810

0.64