1
1.- En un estudio sobre el número de hijos de un grupo de 100 trabajadores se obtuvieron los siguientes datos.
a) Representar el diagrama de barras.b) Obtener la moda y la mediana.c) Obtener la media y la desviación típicad) Obtener el coeficiente de asimetría.
xi ni
0 4
1 6
2 20
3 40
4 20
5 10
n = 100
PROBLEMAS TEMA 1
2
xi ni
0 4
1 6
2 20
3 40
4 20
5 10
n = 100
a) Diagrama de barras
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5
3
b) Moda y mediana
xi ni fi Ni Fi
0 4 0.04 4 0.04
1 6 0.06 10 0.1
2 20 0.2 30 0.3
3 40 0.4 70 0.7
4 20 0.2 90 0.9
5 10 0.01 100 1
n = 100 1
Moda = 3
n / 2 = 50
Fi = 0.5
Mediana = 3
4
c.- Media y desviación típica
xi ni nixi nixi2
0 4 0 0
1 6 6 6
2 20 40 80
3 40 120 360
4 20 80 320
5 10 50 250
n = 100 296 1016
1 296: 2.96
100
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 10162.96 1.3984
100
k
i ii
n x
xn
1.3984 1.1825
5
d.- Coeficiente de asimetría
xi ni ni (xi – )3
0 4 - 103.376
1 6 - 45.174
2 20 - 17.68
3 40 0.0026
4 20 22.48
5 10 84.89
n = 100 - 59.22
31
359.22
0.5922100
k
i ii
n x x
n
x
31 3 3
0.59220.3585
1.1825
6
2.- En un estudio de trienios de trabajo en 80 trabajadores se obtuvieron los datos que se presentan en la siguiente tabla adjunta:
a) Representar el diagrama de barras.b) Obtener la moda y los cuartiles.c) Obtener la media, la desviación típica y el coeficiente de variación
xi ni
0 6
1 20
2 28
3 12
4 8
5 6
n = 80
7
xi ni
0 6
1 20
2 28
3 12
4 8
5 6
n = 80
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
a) Diagrama de barras
8
b).- Moda y cuartiles
xi ni fi Ni Fi
0 6 0.075 6 0.075
1 20 0.25 26 0.325
2 28 0.35 54 0.675
3 12 0.15 66 0.825
4 8 0.1 74 0.925
5 6 0.075 80 1
n = 80 1
Moda = 2
Fi = 0.25
Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 2
Fi = 0.5
Fi = 0.75
Q1 = 1º Cuartil = 1
Q3 = 3º Cuartil = 3
9
c) Media, desviación típica y coeficiente de variación
xi ni nixi nixi2
0 6 0 0
1 20 20 20
2 28 56 112
3 12 36 108
4 8 32 128
5 6 30 150
n = 80 174 512
1 174: 2.175
80
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 5122.175 1.74375
80
k
i ii
n x
xn
1.74375 1.3205 1.3205
. . 0.60712.175
x
C V
10
3.- En una especie de mamíferos se esta estudiando el numero de crías de una camada. Obtener:
a) La moda.b) Los cuartiles.c) El rango intercuartilico.d) El coeficiente de variación.
Nº Crías Nº Camadas
n i
0 2
1 3
2 10
3 10
4 5
5 0
6 5
11
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7
a) Moda
Moda = 2 y 3 Distribución Bimodal
Nº Crías Nº Camadas = ni0 21 32 103 104 55 06 5
12
b) Cuartiles
Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 3
n / 4 = 8.75
n / 2 = 17.5
3 n / 4 = 26.25
Q1 = 1º Cuartil = 2 Q3 = 3º Cuartil = 4
xi ni Ni
0 2 21 3 52 10 153 10 254 5 305 0 306 5 35
n = 35
c) El rango intercuartilico
R I = Q3 – Q1 = 4 – 2 = 2
13
d) Coeficiente de variación
xi ni nixi nixi2
0 2 0 0
1 3 3 3
2 10 20 40
3 10 30 90
4 5 20 80
5 0 0 0
6 5 30 180
n = 35 103 393
1 103: 2.9428
35
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 3932.9428 2.5685
35
k
i ii
n x
xn
2.5685 1.6026 1.6026
. . 0.54452.9428
x
C V
14
4.- La clasificación de los alumnos por edades de un grupo escolar se da en la siguiente tabla.
a) Representar el histogramab) Calcular la media y la desviación típica
c) Calcular la moda, la mediana y Q3
d) Calcular la edad que es superada por el 30% de los alumnose) Obtener el porcentaje de alumnos con menos de 6 años y mediof) Calcular los coeficientes de sesgo y curtosis
Edad ni
Menos de 5 34
5 – 7 56
7 – 9 47
9 – 11 32
11 – 13 26
Mas de 13 5
n = 200
15
Edad ni
Menos de 5 34
5 – 7 56
7 – 9 47
9 – 11 32
11 – 13 26
Mas de 13 5
n = 200
a) Representar el histograma
3 5 7 9 11 13 15
26
34
47
ni
5
56
16
b) Media y desviación típica
Edad xi ni nixi nixi2
3 – 5 4 34 136 544
5 – 7 6 56 336 2016
7 – 9 8 47 376 3008
9 – 11 10 32 320 3200
11 – 13 12 26 312 3744
13 - 15 14 5 70 980
n = 200 1550 13492
1 1550: 7.75
200
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 134927.75 7.3975
200
k
i ii
n x
xn
7.3975 2.7198 2.72
17
c) Moda, mediana y Q3
Moda
Fi = 0.5
Fi = 0.75
Edad ni fi Fi
3 – 5 34 0.17 0.17
5 – 7 56 0.28 0.45
7 – 9 47 0.235 0.685
9 – 11 32 0.16 0.845
11 – 13 26 0.13 0.975
13 – 15 5 0.025 1
n = 200 1
11
1 1
56 345 2 6.419
56 34 56 47
i ii i
ii i i
h hMo
h h h he a
1
1
10.5 0.452 7 2 7.425
0.235
ii i
i
FMe
fe a
1
75 1
750.75 0.685100 9 2 9.8125
0.16
i
i ii
F
fP e a
18
d) Edad que es superada por el 30% de los alumnos
170 1
700.7 0.685100 9 2 9.1875
0.16
iii
i
Fe a
fP
e) Porcentaje de alumnos con menos de 6 años y medio
Edad ni fi Fi
3 – 5 34 0.17 0.17
5 – 7 56 0.28 0.45
7 – 9 47 0.235 0.685
9 – 11 32 0.16 0.845
11 – 13 26 0.13 0.975
13 – 15 5 0.025 1
n = 200 1
11
0.17100 1005 2 6.5
0.28
ik ii
i
k kF
e af
P
6.5
Fi = 0.7
6.5 5 0.280.17 0.38 38 %
100 2 k
k
19
f) Coeficientes de sesgo y curtosis
xi ni ni (xi – )3 ni (xi – )4
4 34 - 1792.9687 6723.6328
6 56 - 300.125 525.2187
8 47 0.7344 0.1836
10 32 364.5 820.125
12 26 1995.9062 8482.6015
14 5 1220.7031 7629.3945
n = 200 1488.75 24181.1561
31
31488.75
7.4437200
k
i ii
n x x
n
x
31 3
7.44370.3698
20.1236
41
424181.1561
120.9057200
k
i ii
n x x
n
42 4
120.90573 3 0.7911
54.7363
x
20
5.- Los datos siguientes representan presiones sistólicas
de la sangre de 200 mujeres trabajadoras escogidas al azar,
de 30 años de edad. Determinar:
a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es
inferior a 150.
b) ¿Qué presión es superada por el 30% de las
mujeres observadas?
c) Moda y mediana
d) Media y varianza
e) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica está
comprendida entre: 2 yx x
Presión ni
Menos de 115 25
115 – 130 30
130 – 145 35
145 – 170 75
170 – 180 20
Mas de 180 15
n = 200
21
a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es inferior 150
Presión n i fi Fi
100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1
n = 200
150
Fi = 0.7
11
0.45100 100145 25 150
0.375
ik ii
i
k kF
e af
P
150 145 0.3750.45 0.525 52.5 %
100 25 k
k
b) Presión superada por el 30% de las mujeres
170 1
700.7 0.45100 145 25 161.66
0.375
iii
i
Fe a
fP
22
c) Moda y mediana
1
1 11
i ii i
ii i i
h hMo e a
h h h h
Presión n i h i= n i / a i fi Fi
100 – 115 25 1.666 0.125 0.125115 – 130 30 2 0.15 0.275130 – 145 35 2.333 0.175 0.45145 – 170 75 3 0.375 0.825170 – 180 20 2 0.1 0.925180 – 190 15 1.5 0.075 1
200 1
Mo
Me
3 2.333145 25 155
3 2.333 3 2
150 1
500.5 0.45100 145 25 148.33
0.375
iii
i
Fe a
fP
23
d) Media y varianza
Presión x i n i n i x i n i x i2
100 – 115 107.5 25 2687.5 288906.25115 – 130 122.5 30 3675 450187.5130 – 145 137.5 35 4812.5 661718.75145 – 170 157.5 75 11812.5 1860468.75170 – 180 175 20 3500 612500180 – 190 185 15 2775 513375
200 29262.5 4387156.25
1 29262.5: 146.3125
200
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 4387156.25146.3125 528.4336
200
k
i ii
n x
xn
528.4336 22.9876 22.99
24
e) Porcentaje de mujeres con presión sistólica entre: 2 yx x
Presión n i fi Fi100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1
n = 200 1
0.12510011 15 123.32 20.82 %
0.155 k
k
kP
123.32
169.3
146.31; 22.99 169.3; 123.32 x x x
2 192.29; 2 100.33 100%x x
0.4510014 25 169.3 81.45 %
0.3755 k
k
kP
81.45 % – 20.82 % = 60.63 %
25
6.- Los datos siguientes representan el peso en gramos de un instrumento de trabajo.
1.- Representar el histograma.2.- Obtener:a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil.b) Porcentaje de animales con un peso inferior
a 197 gramos.c) Coeficiente de variación.d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento.
Peso ni
175 – 180 2
180 – 185 6
185 – 190 9
190 – 200 15
200 – 205 11
205 – 210 4
210 – 215 3
n = 50
26
1.- Histograma
Peso ni h i= n i /a i fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1
175 180 185 190 200 205 210
1.8
ni
1.5
0.4
0.8
215
2.2
0.6
27
a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil
Peso ni h i= n i /a i fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1Moda
Fi = 0.5
Fi = 0.75
11
1 1
2.2 1.5200 5 201.666
2.2 1.5 2.2 0.8
i ii i
ii i i
h hMo
h h h he a
1
1
10.5 0.342 190 10 195.333
0.30
ii i
i
FMe
fe a
1
75 1
750.75 0.64100 200 5 202.5
0.22
i
i ii
F
fP e a
28
b) Porcentaje de animales con un peso inferior a 197 gramos
11
0.34100 100190 10 197
0.30
ik ii
i
k kF
e af
P
197 190 0.300.34 0.55 55 %
100 10 k
k
Peso ni fi Fi
175 – 180 2 0.04 0.04180 – 185 6 0.12 0.16185 – 190 9 0.18 0.34190 – 200 15 0.30 0.64200 – 205 11 0.22 0.86205 – 210 4 0.08 0.94210 – 215 3 0.06 1
50 1
197
29
c) Coeficiente de variación
Peso x i ni n i x i n i x i
2
175 – 180 177.5 2 355 63012.5180 – 185 182.5 6 1095 199837.5185 – 190 187.5 9 1687.5 316406.25190 – 200 195 15 2925-a 570375200 – 205 202.5 11 2227.5 451068.75205 – 210 207.5 4 830 172225210 – 215 212.5 3 637.5 135468.75
50 9757.5 1908393.75
1 9757.5: 195.15
50
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 1908393.75195.15 84.3525
50
k
i ii
n x
xn
84.3525 9.1843 9.1843. . 0.047
195.15
xC V
30
d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento
Peso x i n i ni (xi – )3 ni (xi – )
4
175 – 180 177.5 2 – 10996.74425 194092.536180 – 185 182.5 6 – 12145.70775 153643.203185 – 190 187.5 9 – 4029.274125 30823.94706190 – 200 195 15 – 0.050625 0.007593200 – 205 202.5 11 4367.719125 32102.73557205 – 210 207.5 4 7534.6115 93052.45202210 – 215 212.5 3 15668.22112 271843.6365
50 398.775 775558.5178
x
31
3398.775
7.975550
k
i ii
n x x
n
41
4775558.5178
15511.1703650
k
i ii
n x x
n
31 3
7.97550.01029
774.7082
42 4
15511.170363 3 0.8199
7115.15303
x
31
7.- Se esta estudiando el tiempo de permanencia en horas de 100 cursillistas.
a) Representar el histograma.b) Obtener la moda y los cuartilesc) Determinar el numero de cursillistas con un
tiempo de permanencia inferior a 35 horas.d) Determinar el numero de cursillistas con un
tiempo de permanencia superior a 55 horas.e) Determinar el numero de cursillistas con un
tiempo de permanencia comprendido entre 35 y 55 horas
Tiempo de permanencia
ni
20 – 30 15
30 – 40 30
40 – 45 25
45 – 50 20
50 – 60 10
n = 100
32
Tiempo de permanencia
ni h i= n i /a i
20 – 30 15 1.5
30 – 40 30 3
40 – 45 25 5
45 – 50 20 4
50 – 60 10 1
n = 100
a) Histograma
1.5
3
4
hi
1
5
20 30 40 45 50 60
33
b) Obtener la moda y los cuartiles
X i n i h i= n i /a i f i F i
20 – 30 15 1.5 0.15 0.15
30 – 40 30 3 0.3 0.45
40 – 45 25 5 0.25 0.70
45 – 50 20 4 0.2 0.90
50 – 60 10 1 0.1 1
100
5 340 5 43.333
5 3 5 4
Moda
Fi = 0.25
Fi = 0.50
Fi = 0.75
11
0.5 0.5 0.4540 5 41
0.25i
i ii
FMe
fe a
175 1
0.75 0.75 0.745 5 46.25
0.2i
i ii
F
fP e a
125 1
0.25 0.25 0.1530 10 33.333
0.3i
i ii
F
fP e a
1
11 1
i ii i
ii i i
h hMo
h h h he a
34
c) Nº cursillistas con permanencia inferior a 35
X i n i h i= n i /a i f i F i
20 – 30 15 1.5 0.15 0.1530 – 40 30 3 0.30 0.4540 – 45 25 5 0.25 0.7045 – 50 20 4 0.20 0.9050 – 60 10 1 0.10 1
100
d) Nº curs. con tiempo de permanencia superior a 55
35
55
0.1510030 10 35 30 %
0.30 k
k
kP
0.9010050 10 55 95 %
0.10 k
k
kP
Nº curs. con T.de permanencia < 35 = 30
Nº curs. con T.de permanencia < 55 = 95 Nº curs. con T.de permanencia > 55 = 5
e) Nº curs. con tiempo de permanencia comprendido entre 35 y 55
Nº curs.: 35 < T. P. < 55 = 95 – 30 = 65
35
a) Coeficientes de variación de cada grupo
1 1.30.17 ; 0.2
6 6.5 A B
A BA BC V C Vx x
0.9 0.80.18 ; 0.2
5 4 C D
C DC DC V C V
x x
b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?
El coeficientes de variación del grupo A es el más
pequeño El grupo A es el más homogeneo
1 ; 1.3 ; 0.9 ; 0.8A B C D
8.- Un Curso esta dividido en 4 grupos, de los cuales tenemos los siguientes datos sobre las notas de Estadística.Se pide:
a) Obtener los coeficientes de variación de cada grupo.
b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?
Grupo Nota Media Varianza
ABCD
66.554
11.69
0.810
0.64