ECUACIONES

Ecuación es una igualdad en la que hay una o más letras llamadas incógnitas (variables) y que se satisfacen solo para determinados valores de esas incógnitas (variables). Para representar una incógnita o variable se utilizan las últimas letras del alfabeto x; y; z;

Ejm: x + 5 = 8 Esta igualdad se verifica solamente para cuando x = 3

De igual forma la ecuación: x2 – 5x + 6 = 0

Se verifica solamente para cuando x = 2 y x = 3.

Clasificación:Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a su grado, que está determinado por el mayor exponente de la incógnita. Ejm:

1° Grado 3x +1 = 102° Grado x2+5x+6 = 03° Grado 4x3+3x2-5x+8 = 0

También se clasifican en:

a) Numéricas: cuando las únicas letras corresponden a las incógnitas.

b) Literales: cuando a más de las incógnitas hay otras letras que se consideran como constantes y que se representan por las primeras letras del alfabeto a; b; c; etc.

3x + 5b = 3a

c) Enteras: cuando la ecuación no tiene denominadores.

d) Fraccionarias: cuando algunos términos tienen denominadores.

e) Exponenciales: cuando la incógnita esta como exponente.

5x = 125

f) Trigonométricas: cuando la ecuación contiene funciones trigonométricas.

8 sen2 + 6 sen - 9 = 0

g) Logarítmicas: cuando la ecuación contiene funciones logarítmicas. x log 7 = log 512

Resolver una ecuación:Es hallar el valor de las incógnitas. El valor de la incógnita es la solución o raíz de la ecuación.Una ecuación tiene tantas raíces o soluciones como su grado lo indica.Por ejm. una ecuación de segundo grado tiene dos raíces; una ecuación de tercer grado tiene tres raíces; etc. Por esta razón conforme aumenta el grado de la ecuación, el proceso de resolución se torna más complejo.

Cuando una igualdad se verifica, para todo valor de la incógnita se llama identidad.Ejm: (x2 – 4) = (x + 2) (x – 2)

En una ecuación hay que considerar 2 miembros; el 1er miembro esta formado por los términos a la izquierda del igual y el 2do miembro por los términos que están a la derecha del igual.Las ecuaciones cumplen con el axioma de las igualdades que dice:“A los dos miembros de una igualdad se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir por la misma cantidad y la igualdad subsiste. Así mismo a los dos miembros de la igualdad se les puede elevar a la misma potencia o extraer la misma raíz y la igualdad subsiste.”

Al resolver una ecuación algunos términos deben cambiar de un miembro al otro, al hacerlo deben pasar a efectuar la operación inversa.

Ecuaciones de primer grado con una variable:Son ecuaciones de la forma ax + c = 0

Reglas para resolver una ecuación de primer grado con una variable.a) Si la ecuación es fraccionaria se halla el M.C.M.b) El M.C.M se divide para cada denominador y se multiplica por su

numerador.c) Se efectúan las operaciones indicadas.

d) Se hace la transposición de términos dejando en un miembro todos los que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas.

e) Se reducen términos semejantes.f) Se despeja la incógnita.

Ejercicios resueltos

1. 3 (2x + 1) (-x + 3) - (2x + 5)2 = -[ - { -3(x + 5)} + 10x2]3 (-2x2 + 6x – x + 3) - (4x2 + 20x + 25) = - [- {-3x – 15} + 10x2]-6x2 + 15x + 9 – 4x2 - 20x – 25 = - [3x + 15 + 10 x2]-6 x2 + 15x – 4x2 – 20x + 3x + 10x2 = -15 – 9 + 25

-2x = 1 x = - 1. 2

2 MCM=60

20 (x – 2) – 15 (x – 3) =12 (x - 4) 20x – 40 – 15x + 45 = 12x – 48

-7x = -53

3 3 (2a – x) + ax = a2 + 9 6a - 3x + ax = a2 + 9 -3x + ax = a2 – 6a + 9 x (a – 3) = (a – 3)2

x = (a – 3) 2 (a – 3)

x = a – 3

Las ecuaciones nos permiten resolver una gama muy amplia de problemas.En nuestro caso resolveremos problemas relacionados a la Química y Farmacia. Para esto debemos ser capaces de traducir una descripción verbal al lenguaje matemático, para lo cual usaremos símbolos (letras). Para representar cantidades desconocidas y después determinar las relaciones que involucran esos símbolos (MODELACION MATEMATICA). Ejm:

Si x representa un número entonces: El doble del número será: 2x.La mitad del número será: x/2

El número que excede a x en 4 es: x + 4.El número consecutivo: x + 1.

Problemas resueltos.1. Se tienen 10 litros de una solución de agua y alcohol al 60%; que

cantidad de agua será necesaria añadir para bajar la concentración del alcohol al 35%

A B C

Sea x = cantidad de agua a añadirCantidad de alcohol antes = cantidad de alcohol después

60 . 10 = 35 (10 + x) 100 100

600 = 350 + 35x 250 = 35x x = 250

35 x = 7,14 lts.

2. Una tienda vende nueces a $5 el kilo y cacahuates a $1,50 el kilo. El gerente decide hacer una mezcla de 30 kilos de cacahuates con nuez y venderlo a $3 el kilo. Cuantos libras de cada producto se deben mezclar de modo que se produzca el mismo ingreso.

A B C

Sea x = cantidad de nueces 30 – x = cantidad de cacahuates

Costo de nueces + costos de cacahuates = costo de la mezcla.5x + 1,5 (30-x) = 3(30)

5x + 45 – 1,5x = 90

Solución60% alcohol40% agua10 L

Aguax

10 + x35% alcohol

65% agua

Nueces$5 c/Kg

x

Cacahuate$1,50 c/Kg

30 – x

Mezcla$3 c/Kg30 Kgs

3,5x = 45 x = 4 5 3.5

x = 12,86 Kgs. de nuez.30 – 12,86 = 17,14 Kgs. de cacahuate.

3. Un deposito A contiene 30 litros de una solución de alcohol al 25%. Otro deposito B contiene 45 litros de una solución de alcohol al 40%. Hallar el volumen que se extrae de cada una para formar 40 litros de una solución de alcohol al 30%.

A B C

Volumen a extraer de A = x Volumen a extraer de B = 40 – x

Volumen extraído de A + volumen extraído de B = volumen de C

25 . x + 40 (40 – x) = 30 (40) 100 100 100

25x + 1600 – 40x = 1200 -15x = -400 x = 400 15

x = 26,6 lts.Se debe extraer de A 26,6 lts y de B 13,4 lts

Ejercicios para resolverA.- En los ejercicios siguientes, halle la solución de la ecuación.

1. 7x+4=25

2. 7=y+10

3. 4w-3=11-3w

4. x-9=3x+3

5. 2(t-5)=3-(4-t)

6.1-3(2x-4)=4(6-x)-8

7. x=x+1

8. x+3=1+x+2

30 litros.Alcohol 25%

x

45 litros.Alcohol 40%

40 – x

40 litros.Alcohol 30%

9. 3(4y+9)=7(2-5y)-2y

10. –2[s-(5-4s)]=-3s

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25. (x-2)2 + x (x-3)= 3 (x+4) (x-3) – (x+2) (x-1) +2

26. (x+1)3 - (x -1)3 = 6x (x-3)

27.

28. x (a+b)- 3 - a (a-2) = 2 (x-1) - x (a-b)

29.

30.

B.- En los ejercicios se indica una fórmula; despeje la cantidad que se indica.

A= (a+b) h; despeje h

A= (a+b) h; despeje b

E= I(R+r); despeje r

A= P ; despeje r

; despeje p

E= I ; despeje n

S= ; despeje r

Problemas de mezclas

1. Para limpiar manchas de grasa en tejidos de lana se puede emplear un disolvente a base del 75% de tetracloruro de carbono(en volumen), 20% de ligroin y 5% de alcohol. Calcular los litros que se deben tomar de cada componente para formar 50 litros de disolvente.

2. Mezclando un aceite de $30 el litro con otro de $38 el litro se quieren obtener 45 litros de un producto al precio de $33 el litro. Calcular las cantidades que se deben tomar de cada uno de los tipos de aceite.

3. Hallar la masa de agua que se debe añadir a 40Kg de una solución de ácido sulfúrico al 35% para obtener una solución al 24%. Los tantos por ciento son en masa.

4. Hallar el número de litros de alcohol puro que se deben añadir a 15 litros de una solución al 10% para obtener una solución de alcohol al 18%. Los tantos por ciento son en volumen.

5. Se dispone de 4 litros de una solución anticongelante de agua y glicerina al 10%. Hallar el número de litros de solución que se deben reemplazar por igual de glicerina para que la solución resultante sea del 25%. Los tantos por ciento son en volumen.

6. Una aleación contiene 75% de oro, y otra 60% de oro. ¿Cuántos gramos de cada una deben combinarse para obtener 40 gramos de una aleación que contenga 65% de oro.

7. Cuantas agua debe evaporarse de los 15 litros de solución de tintura al 12% del ejercicio anterior, para obtener una solución al 20%?. Suponga que la cantidad total de tintura no se ve afectada por el proceso de evaporación.

8. Un perfume que se ha de vender a $85 la onza va a ser obtenido de un perfume que se vende a $100 la onza, y de otro que se vende a $60 la onza. Si se desean 250 onzas de la mezcla, ¿qué cantidad de cada tipo de perfume debe utilizarse?

Sistemas de ecuaciones.

Es el conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.Es importante tener en cuenta que para encontrar el valor por ejemplo de 2 variables; necesitamos como mínimo 2 ecuaciones y si tengo 4 variables, para hallar sus valores necesito como mínimo 4 ecuaciones, etc. De manera que hay una correspondencia entre el número de variables y ecuaciones.Resolver un sistema de ecuaciones es hallar los valores de las incógnitas que satisfagan simultáneamente a las ecuaciones del sistema.El criterio para resolver estos sistemas es el de ir relacionando una ecuación con otra con la finalidad de ir eliminando incógnitas, de tal manera que finalmente obtengamos una sola ecuación con una sola incógnita.Para lograr este objetivo conocemos varios métodos:

a) Método de igualación:Consiste en despejar la misma incógnita en las 2 ecuaciones, para luego igualarlas y obtener una sola ecuación con una sola incógnita. Ejm:1) 2x – 3y = 72) 3x + y = 5

x = 7 + 3y x = 5 – y 2 3

7 + 3y = 5 – y 2 3

21 + 9y =10 – 2y 9y + 2y = 10 – 21

11y = -11 y = -1 x = 1.

2b) Método de sustitución:Consiste en despejar una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones y luego sustituirla en la otra. De esta manera también obtenemos una sola ecuación con una sola incógnita. Ejm:

1) 9x + 16y = 72) –3x + 4y = 0

De 1 : x =

Sustituimos en 2 : -3 + 4y = 0

-7 + 16y +12y = 0 28y = 7 y = 1 4

x =

c) Método de reducción.- suma y resta.Consiste en igualar los coeficientes de una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones; para lo cual puede ser necesario multiplicar una o las dos ecuaciones por cantidades determinadas. Los signos de los términos a eliminar deben ser distintos. Ejm:1) 3x + 5y = 72) 2x – y = -4

Para eliminar multiplico la 1 por –2 y la 2 por 3

-6x – 10y = -14 6x – 3y = -12 -13y = -26

y = 2

Sustituimos en 1 : 3x + 5 (2) = 7 3x = -3 x = -1

d) Por determinantes.Para esto usaremos lo que se llama un determinante de segundo orden, ya que consta de dos filas y dos columnas y se resuelve multiplicando la diagonal principal menos la diagonal secundaria. Ejm: a bc d = ad – bc.Este método me permite hallar el valor de las incógnitas de una manera más directa.

Cada incógnita es igual al cuociente de dos determinantes de segundo orden.El denominador se forma con los coeficientes de las incógnitas, y el numerador se obtiene reemplazando la columna de la incógnita a buscar por los términos independientes.Además cada ecuación debe ordenarse de manera que tome la forma “ax + by = c”. Ejm:

1) 3x – 4y = 132) 8x – 5y = -5

13 -4x = -5 -5 = -65 –20 = -85 = -5

3–4 -15 + 32 17

8 -5

313

y = 8 -5 = -15 –104 = -119 = -7 17 17 17

e) Método gráfico.Toda ecuación de primer grado en la forma general “ax + by + c = 0” representa una recta.De tal manera que cada vez que resolvemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado encontramos el punto de intersección

de dos rectas (aplicación a la geometría analítica)Ejm:

RESOLVER GRÁFICAMENTE.1) x – y = 1 2) x + y = 7

Procedemos a graficar cada ecuación

1) y = x-1 2 ) y = 7- x

x 0 1 2y -1 0 1

x 0 1 2y 7 6 5

Observamos que las rectas se cortan en el punto (4,3); luego la solución del sistema es x = 4 y y = 3

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas de primer grado.

Para resolver este sistema como se dijo anteriormente el proceso consiste en relacionar las ecuaciones de dos en dos con la finalidad de ir eliminando incógnitas y así finalmente obtener una sola ecuación con una sola incógnita.Igual criterio debemos tener si se trata de sistemas con cuatro o más incógnitas. Para esto contamos con los métodos explicados anteriormente para el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Ejm:

Resolver el sistema.1) 2x + y – 3z = -12) x – 3y – 2z = -123) 3x – 2y – z = -5

Combino 1 con 2 para eliminar x1 2x + y – 3z = -12 –2x + 6y + 4z = 244 7y + z = 23

Combino 3 con 2 para eliminar x

3 3x – 2y – z = -5 2 -3x + 9y + 6z = 36 5 7y + 5z = 31

Combino la 4 con la 5 para eliminar la z4 -35y – 5z = -1155 7y + 5z = 31

-28y = -84 y = 84 . 28

y = 3Sustituyo en 4

7 (3) + z = 23 z = 2

Sustituyo en 12x + 3 – 3 (2) = -1

2x = 2 x = 1

Por determinantes.

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de primer grado también se puede resolver por determinantes.Para el efecto se utiliza un determinante de tercer orden, (esta formado por tres filas y tres columnas) y el método de resolución aconsejado es el que se basa en la regla de SARRUS que consiste en repetir las dos primeras filas y luego multiplicar los diagonales principales y restar el producto de las diagonales secundarias.Ejm:

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a2b1c3 – a1b3c2 –a3b2c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2

Para aplicar determinantes las ecuaciones deben tomar la formaax + by + cz = d.

El valor de cada variable será el cociente de dos determinantes de 3er orden, formados con el mismo criterio expuesto para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejm Resolver por determinantes el siguiente sistema

1) x + y + z = -62) 2x + y – z = -13) x – 2y + 3z = -6

-6 1 1 -1 1 -1 -6 -2 3 -6 1 1x = -1 1 - 1 = -18 + 2 + 6 + 3 + 12 + 6 = 11 = -1 1 1 1 3 – 4 – 1 – 6 – 2 – 1 -11 2 1 - 1 1 -2 3 1 1 1 2 1 - 1

1 -6 1 2 -1 -1 1 -6 3 1 -6 1y = 2 -1 -1 = -3 – 12 + 6 + 36 – 6 + 1 = 22 = -2 -11 -11 -11

1 1 -6 2 1 -1 1 -2 -6 1 1 -6z = 2 1 -1 = -6 – 24 – 1 + 12 – 2 + 6 = 33 = -3 -11 -11 -11

Para obtener una interpretación geométrica de la resolución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de primer grado, debemos establecer que toda ecuación de primer grado con 3 variables representa un plano así:

Ax +By +Cz = D (representa un plano)

Luego cuando resolvemos el sistema de 3 ecuaciones de primer grado con 3 variables hemos encontrado el punto en el que se cortan 3 planos. Los sistemas de ecuaciones nos permiten resolver problemas de diferente índole pero presentaremos a continuación algunos que están relacionados con la Química y Farmacia.

Problemas resueltos.

1.) Un deposito A contiene 40 litros de una solución salina con una cantidad de sal de 80 Kg. Otro deposito B contiene 120 litros de una solución con 60 Kg. de sal disuelta.

Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para formar 30 litros de solución cuya concentración sea de 1.5 Kg / litro.

A B C

Calculamos la concentración de sal

sea x = cantidad de solución a extraer de Asea y = cantidad de solución a extraer de B

Entonces.1 x + y = 30

Luego la cantidad de sal extraída de A más la cantidad de sal extraída de B es igual a la cantidad de sal en la solución resultante2 2x +0.5y = 1.5 (30)

1 x + y = 302 2x + 0.5y = 45

1 -2x – 2y = -602 2x + 0.5y = 45

-1.5y = -15

2.) Un mineral de oro y cuarzo tienen una masa de 80g, la densidad del oro es 19.3 la del cuarzo es 2.6 y la del mineral 2.4 (gramos por cm3).

Hallar la masa de oro que contiene el mineral.

Masa de oro = x oro d = 19.3

y = 10x + 10 = 30x = 20

40 lts80 kg sal2 Kg/lts

120 lts60 kg sal0.5 Kg/lts

30 lts

1.5 Kg/lts

ORO x Cuarzo

y

Masa de cuarzo = y cuarzo d = 2.61 Masa del oro + masa del cuarzo = masa del mineral.

x + y = 80

2 Volumen del oro + volumen del cuarzo = volumen del mineral.

16.64x +123.52y = 4014.4 x = 80-y16.64(80-y) + 123.52y = 4014.41331.2 - 16.64y + 123.52y = 4014.4

106.88y = 2683.2 y = 25.10 grs. x = 74.90 grs.

Ejercicios y problemas por resolver.

1.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

Igualación

Sustitución

Reducción

Determinantes

Resolver gráficamente los siguientes sistemas.

Problemas de mezclas.

1. Se tienen 50 litros de leche con un 5% de nata. Determinar cuantos litros de leche, con un contenido en nata de un 20%, se deben separar de los anteriores para obtener una leche cuyo porcentaje sea de un 8%. Los tantos por ciento son en volumen.

2. Se dispone de 15 Ton. de un carbón con un contenido en azufre del 2,5%, y de otros dos tipos de carbón cuyos contenidos en azufre son 0,8% y 1,10%, respectivamente. Hallar las cantidades de estos últimos que se deben mezclar con las 15 Ton del primero para obtener 20 Ton de carbón con un contenido de azufre del 1,7%.

3. Una arcilla contiene un 45% de sílice y un 10% de agua. Hallar el tanto por ciento de sílice de una arcilla seca (sin agua). Los tantos por ciento son en peso.

4. Tres lb. de té y 8 lb. de café cuestan $ 39,70, y 5 lb. de té y 6 lb. de café cuestan $47,10. ¿Cuál es el costo por libra de té, y cual es el costo por libra de café?

5. Un laboratorista tiene dos soluciones ácidas. Una contiene 18% de ácido y la otra contiene 10% de ácido. ¿Cuántos cm3 de cada solución deben utilizarse para obtener 500 cm3 de una solución ácida al 12%?

6. En 20 onzas de una aleación se tiene 6 onzas de cobre, 4 onzas de zinc y 10 onzas de plomo. En 20 onzas de una segunda aleación se tiene 12 onzas de cobre, 5 onzas de zinc y 3 onzas de plomo, mientras que en 20 onzas de una tercera aleación se tiene 9 onzas de cobre, 6 onzas de zinc y 6 onzas de plomo. ¿Cuantas onzas de cada aleación deben combinarse para obtener una nueva aleación que contenga 34 onzas de cobre, 17 onzas de zinc y 19 onzas de plomo?

7. El alimento A tiene 560 calorías por libra y 80 unidades de vitaminas por libra, el alimento B tiene 240 calorías por libra y 400 unidades de vitaminas por libra, y el alimento C tiene 480 calorías por libra y 160 unidades de vitaminas por libra. Se desea preparar una mezcla de 10 libras de los alimentos A, B y C que contengan un total de 2000 calorías y 1200 unidades de vitaminas. Demuestre que estos requerimientos conducen a un sistema incompatible de ecuaciones y por lo tanto la mezcla no es posible.