Ecuaciones Maxwell (1)

7/25/2019 Ecuaciones Maxwell (1)

1/138

Las ecuaciones de Maxwell

Pedro Gmez-Esteban Gonzlez


2/138

"Dale fuego a un hombre y estar caliente un da. Prende

fuego a un hombre y estar caliente el resto de su vida".

Terry Pratchett


3/138

c2012 Pedro Gmez-Esteban Gonzlez.

[email protected]

http://eltamiz.com

El texto de este libro est publicado bajo una licenciaCreativeCommons Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 2.5Espaa. Usted es libre de copiar, distribuir y comunicarpblicamente la obra bajo las condiciones siguientes:

Reconocimiento. Debe incluir esta pgina completa en lareproduccin de la obra, sin alteracin alguna.

No comercial. No puede utilizar esta obra con fines comerciales.

Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generaruna obra derivada a partir de esta obra.

Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claros lostrminos de licencia de esta obra.

Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si obtiene elpermiso del titular de los derechos de autor.

Nada en esta licencia menoscaba o restringe los derechosmorales del autor.


4/138

ndice

1. Introduccin histrica 1

2. Ley de Gauss para el campo elctrico 21

3. Ley de Gauss para el campo magntico 37

4. Ley de Faraday 47

5. Ley de Ampre-Maxwell 65

6. Ley de Lorentz 77

7. La ecuacin de onda electromagntica 93

8. La inspiracin de la relatividad 113

Conclusin 131


5/138

1. Introduccin

histrica

Lo que vas a leer es un libro dedicado a cuatro de las ecua-ciones ms bellas e importantes de la Fsica: las ecuacionesde Maxwell, llamadas as en honor a James Clerk Maxwell, dequien hablaremos ms en detalle en un momento. Es una mo-nografa pensada para quienes han visto estas ecuaciones ohan odo mencionarlas como un ejemplo de elegancia o belle-za, pero no las han estudiado en la Universidad. Mi intencines que, si ests en ese caso, salgas de aqu al menos sabiendoqu significa conceptualmente cada una de las cuatro ecua-ciones, qu consecuencias tienen y cmo describen el mundo

que vemos a nuestro alrededor.

Adems, intentar resarcir a quienes como yo mismo es-tudiaron las ecuaciones pero sin que se les explicase antes,cualitativamente, qu demonios significa cada una antes deponerse a hacer problemas con ellas y a calcular rotacionales

y otras pamplinas como un mono de feria. Estoy seguro de

que hay gente que las explica como debe, pero tambin hayquien no lo hace, de modo que si esto sirve para que quienesestudien estas cosas en la carrera tengan un salvavidas si seencuentran perdidos al principio, mejor que mejor.


6/138

2 Las ecuaciones de Maxwell

La estructura de este librito es la siguiente: en primer lugarveremos una pequea introduccin histrica a las ecuacionespara situar a cada personaje relevante en su lugar. Despusdedicaremos un captulo a cada una de las cuatro ecuaciones,

y terminaremos con otros tres captulos en los que explora-remos asuntos relacionados con ellas sin los que, tal vez, nosea posible comprender su profundidad y relevancia.

A pesar de que no parto de la base de que conozcas concep-tos tan esotricos como elrotacionalo ladivergencia, y de quehe intentado explicar las cosas en los trminos ms sencillosposibles, no te equivoques: entender esto no es fcil. Tal vezno hagan falta conocimientos matemticos profundos, pero ste ser necesario razonar con cuidado, leer cada captulo msde una vez y probablemente pelearte con conceptos abstrac-

tos hasta someterlos a tu voluntad. Paciencia y vamos conello!

Qu son las ecuaciones de Maxwell?

Lo mejor en estos casos es quitarse el miedo, de modo que,sin ms aspavientos, aqu las tienes en una de sus formas:


7/138

Introduccin histrica 3

E =

0

B = 0

E =

B

t

B = 0J + 00Et

Ya me imagino que, si eres lego en la materia, te has que-dado casi igual que antes, pero quiero dejarlas aqu, al prin-cipio, para que posteriormente puedas volver aqu, mirarlasotra vez y si hemos hecho bien nuestro trabajo tanto t como

yo que ya no levantes la ceja con indiferencia; que sepas cules la personalidad de cada una, en qu se diferencian unasde otras y, en resumidas cuentas, que no sean jeroglficos sinsentido. Y, si les tomas un poco de cario, mejor.

Existen, por cierto, muchas otras maneras de escribirlas:las matemticas son as de verstiles. Dependiendo de paraqu vayan a emplearse, las ecuaciones pueden escribirse pa-ra estudiar sistemas microscpicos o macroscpicos, puedenincluir ayudas que hagan ms simple el estudio de sistemasconcretos y pueden emplearse unas magnitudes u otras paratrabajar, pero independientemente del lenguaje matemtico

que usemos, siempre significan bsicamente lo mismo ex-plicar ese significado es el objetivo de esta monografa.


8/138


Qu es lo que dicen en conjunto?Son ladescripcin delcampo electromagntico: el campo elctrico, el campo mag-ntico, su origen, comportamiento y relacin entre ellos, in-cluyendo las ondas electromagnticas como la luz. Bsica-mente, con estas ecuaciones es posible saber cmo va ser

y cmo va a comportarse el campo electromagntico en unaregin determinada a partir de las cosas que hay all. La con-trapartida, es decir, qu le pasa a las cosas que hay all a

partir del campo electromagntico, est descrita por lafuerzade Lorentz, de la que hablaremos ms adelante. El conjuntode estas ecuaciones describe cosas como la corriente elctri-ca, los imanes, los rayos, la electricidad esttica, la luz, lasmicroondas, la radio... vamos, son un filn.

Hay un par de cosas ms que es conveniente saber sobre

estas cuatro ecuaciones. La primera es que, expresadas mate-mticamente o en lenguaje comn, representanleyes fsicas.No tienen demostracin, sino que juntas constituyen una teo-ra que ha sido verificada experimentalmente. Dicho de otromodo, si alguien realizase experimentos que nos demuestrenque estas ecuaciones son una estupidez, las tiraramos a la

basura y a otra cosa, mariposa. Sin embargo, esto no ha su-cedido as ni es probable que suceda: ms bien hemos idocomprobando aspectos en los que se acercan a la realidad pe-ro fallan ligeramente, de modo que las hemos ido modificandopara tener en cuenta cosas como la cuntica o la relatividad.Eso s, el espritu y el significado ltimo siguen siendo bsi-camente los mismos.

El segundo detalle a tener en cuenta es que, como vere-

mos en el siguiente epgrafe, las ecuaciones originales no erancuatro y las que usamos hoy en da no son exactamen-te las mismas que propuso James Clerk Maxwell. El bueno


9/138


de James utiliz algunas otras magnitudes diferentes, y unascuantas ecuaciones ms, mientras que fue Oliver Heavisidequien hizo un pulido, remodelacin y lavado de cara que nosproporcion lo que ves arriba y sus otros equivalentes mate-mticos.

Es ms, de las cuatro ecuaciones de arriba, la nica en laque Maxwell hizo una contribucin concreta y novedosa es la

ltima, de modo que cada una de las cuatro ecuaciones llevanel nombre de otro cientfico quien propuso cada una, con elpropio Maxwell compartiendo honor en esa ltima. Puede queal leer esto hagas una mueca de desdn a este escocs genial,pero creo que sera una equivocacin: a menudo, el genio esten sintetizar, no en crear. Como veremos en un momento,muchos cientficos haban ido descubriendo pinceladas del

comportamiento elctrico y magntico de las cosas, pero eraneso, retazos. Haca falta un autntico genio para relacionarunas ideas con otras y mirar las cosas como un todo, y esegenio fue Maxwell. Pero veamos, brevemente, cmo suceditodo.

Contexto histrico

No voy a hablar aqu de la historia de cada una de las cua-tro leyes representadas por las ecuaciones de Maxwell, ya quehar eso en cada captulo correspondiente, sino ms bien delpapel del propio Maxwell, dnde y cundo aparecieron sus le-

yes y qu transformaciones posteriores sufrieron para tomarla forma con las que las conocemos ahora. S que esto pue-de parecerte un rollo y que quieres entrar en materia, perocreo que hacerlo as es, en ltima instancia, ms provecho-


10/138


so, y significar que recordars mucho mejor lo que aprendasdespus.

Antes de que Maxwell entrara en escena ya conocamos mu-chas piezas del rompecabezas que l completara; esas piezashaban sido obtenidas, a lo largo de los siglos, por otros ge-nios que irn apareciendo en este libro: Coulomb, Faraday,

Ampre, rsted...

Sabamos que exista algo denominado carga elctrica, quehaba dos tipos y que ambos sufran una fuerza de atraccino repulsin con cargas elctricas del mismo tipo o del contra-rio. Sabamos que esa carga elctrica a veces llamado fluidoelctricoporque se desconoca el hecho de que estaba cuanti-zada, ni sabamos an de la existencia de protones o electro-

nes, al moverse por el espacio, generaba corrientes elctricasque era posible crear y mantener en el tiempo. La electricidadera, cuando lleg Maxwell, un viejo conocido.

Conocamos tambin materiales, como la magnetita, queformaban imanes naturales que, como las cargas, podan atraer-se o repelerse. Sin embargo, la fuerza que sufran y ejercanlas cargasno era la mismaque sufran y ejercan los imanes.

Como la electricidad, el magnetismo era un viejo conocido dela humanidad mucho antes de que Maxwell hiciese su apari-cin.


11/138


Sobre hombros de gigantes: Ampre, Coulomb, Gauss, rsted, Faraday.

Sin embargo, nos faltaban cosas; para empezar, nos faltabadarnos cuenta del pedazo de rompecabezas que tenamos de-lante de los morros. Porque, como pasa tantas veces, algunospensaban que ya entendamos muy bien tanto electricidad co-mo magnetismo cada uno por su lado y que no haba msque pulir detalles. Sin embargo, se nos quedaron los ojos co-mo platos cuando en 1820 el dans Hans Christian rstedse dio cuenta de que una corrienteelctricacreaba a su al-rededor un campomagntico. Estaba claro que lo que antescreamos que eran cosas independientes electricidad y mag-netismo no lo eran tanto. Al menos, tras rsted, tenamosclaro que no lo tenamos nada claro, lo cual es un progreso.

Otro enigma de la poca era la luz: qu era realmente, c-mo se propagaba, qu la generaba exactamente... pero claro,nadie pensaba que este problema tuviera nada que ver conel otro. Eran, como digo, piezas de un puzzle que ni siquierasabamos que exista como tal.

De hecho, se ve aqu en cierto sentido el avance de una

ciencia incipiente: en un principio se descubren fenmenos.Luego sedescribenesos fenmenos y se comprueba en varioslugares que existen y cmo suceden exactamente. Posterior-mente se pasa aclasificaresos fenmenos y crear un voca-


12/138


bulario con el que referirse a ellos con cierta precisin y, si setrata de una ciencia exacta, finalmente se pasa acuantificaresos fenmenos con ecuaciones. Adems, con ecuaciones ono, llegada la madurez de la ciencia hace falta una descrip-cin que englobe conjuntos de fenmenos y los sintetice paracrear, por fin, unateora.

Pero a mediados del XIX estbamos muy lejos de algo as

para el electromagnetismo. O no?

James Clerk Maxwell

En 1831 naci en Edimburgo nuestro hroe: el pequeo Ja-mes, hijo de John Clerk y Frances Cay. La razn de que no

veas ningn Maxwell por ah es que no lo haba. El padreera familia de los Maxwell, pares del Reino, y poco despusdel nacimiento de James la familia se traslad a una propie-dad heredada de los susodichos Maxwell. Como consecuen-cia, John Clerk tom el nombre de John Clerk-Maxwell, y suhijo pas de ser James Clerk a James Clerk-Maxwell; poste-

riormente desaparecera el guin de apellido compuesto, nos por qu, y James firmara como James Clerk Maxwell, quees como lo conocemos hoy. Injustamente, hablamos de Max-

well y las ecuaciones de Maxwell, como si Clerk fuera partedel nombre y no el apellido (y desde luego, yo seguir llamn-dolo como se hace normalmente).

El caso es que el pequeo James, desde muy pronto, de-mostr que tena una inteligencia fuera de lo comn. El po-bre lo pas mal en el colegio, porque los primeros diez aos desu vida no fue a la escuela, y hasta ese momento fue educa-


13/138


do por profesores particulares el padre no era precisamentepobre en la casa de campo heredada de los Maxwell. Comoconsecuencia, el paso de esa infancia arropada en casa a uncolegio fue algo traumtica: muchos de sus compaeros serean de l, porque no estaba curtido socialmente, vena delcampo y adems me imagino que era ms bien rarito. Afortu-nadamente para l, encontr un par de amigos que lo serandurante toda la vida, Peter Guthrie Tait y Lewis Campbell, y

los tres sobrevivieron al colegio sin ms problemas.

James era un autntico genio. No digo esto por decir: a loscatorce aos se despert en l el inters por las curvas cni-cas elipses, parbolas y dems, y public un artculo,OvalCurves, en el que examinaba este tipo de curvas de dos focos,las propiedades de curvas con ms de dos focos y cmo dibu-

jarlas. Alguien antes que l haba atacado el problema de lascurvas con ms de dos focos y tal vez te suene su nombre,Ren Descartes, pero James no conoca el trabajo del francs

y su mtodo era ms simple y elegante que el de Descartes.Con catorce aos, por el amor de Dios!

El padre de Maxwell se qued tan patidifuso al leer el artcu-lo de James que se lo envi a un profesor de la Universidad deEdimburgo, James Forbes, para ver qu pensaba. La reaccinde Forbes fue inmediata y bastante clara: lo ley en nombredel nio en una reunin de la Royal Society de la ciudad (elpropio James no tena la edad suficiente para ser admitidocomo ponente en la reunin). El artculo de este adolescentefue publicado en 1846. Este episodio fue decisivo en la vida de

James por dos razones: por un lado, su padre tena la inten-

cin de que James se dedicara a la abogaca como l mismo,pero claro, ante algo as, cmo le dices al chaval que no sededique a las ciencias puras si le gustan?Por otro lado, For-


14/138


bes qued profundamente impresionado ante la inteligenciadel joven Clerk-Maxwell, y se convertira en su mentor en laUniversidad y ms all de esa poca.

Los mentores ttricos tambin merecen gratitud.James David Forbes (1809-1868).

De hecho, con diecisis aos James fue admitido en la Uni-versidad de Edimburgo y permanecera all tres aos antes

de ir a Cambridge. En Edimburgo, Maxwell estudi Matem-ticas y Filosofa Natural entre otros, bajo el propio JamesForbes, a la vez que realizaba diversos experimentos en ca-sa, sobre todo de ptica, y escriba algunos artculos ms deMatemticas y Fsica. A los 18 aos se leyeron otros dos ar-tculos suyos ms en la Royal Society de Edimburgo perono los ley l, claro, no vamos a admitir a cualquier zagal en

las reuniones! En fin.

Tras tres aos en Edimburgo, se traslad a la Universidadde Cambridge, donde completara sus estudios. Durante esa


15/138


poca, por cierto, public otro artculo, ste acerca de expe-rimentos sobre los colores en la foto de abajo puedes verlocon un disco de colores en la mano, que no slo fue ledo enla Royal Society de su Edimburgo natal, sino que esta vez sele permiti incluso leerlo a l: qu honor! y me refiero a laRoyal Society, por supuesto. El caso es que tras Cambridge,

James se present a la Ctedra de Filosofa Natural en el Ma-rischal College de la Universidad de Aberdeen, en su Escocia

natal a sugerencia de su mentor, James Forbes y obtuvo elpuesto con veinticinco aos, quince menos que cualquier otrocatedrtico de su facultad.

Un joven James Clerk Maxwell durantesu estancia en Trinity College.

Aunque hoy lo conozcamos fundamentalmente por sus tra-bajos en ptica, electromagnetismo y termodinmica y eneste librito nos dedicaremos slo al electromagnetismo, Max-

well era un genio en casi todo a lo que dedicaba su atencin


16/138


y, a riesgo de que me des un pescozn por dar tantas vuel-tas, quiero poner un ejemplo. Desde haca tiempo se habanobservado ya los anillos de Saturno, pero nadie saba exacta-mente qu eran. Tal era la curiosidad de la comunidad cien-tfica por este enigma que el St. Johns College de Cambridgelo plante como objeto de su Premio Adams en 1857. Quinlograra postular una hiptesis coherente y razonada sobre lanaturaleza de los anillos?

Maxwell se puso manos a la obra y aplic sus conocimien-tos de mecnica de slidos y de fluidos a la tarea. El problemano era fcil, porque se dispona de muy pocos datos experi-mentales, dada la distancia a Saturno y la limitacin de lostelescopios de la poca: Maxwell tard dos aos en encontrarla solucin. En 1859 demostr que los anillos no podan ser

fluidos, pues hace mucho tiempo se habran disgregado, nipodan ser un slido pues las tensiones estructurales los ha-

bran roto en pedazos. Su sugerencia razonada fue que pro-bablemente se trataba de muchos pedazos slidos de pe-queo tamao, y que la distancia hasta Saturno era la res-ponsable de que nos parecan ser un solo objeto. Su On thestability of Saturns rings(Sobre la estabilidad de los anillos deSaturno) obtuvo el Premio Adams en 1859, y un siglo y picoms tarde las sondas Voyager dieron la razn a su hiptesis.

Pero, en lo que a nosotros nos interesa ahora el electro-magnetismo, todo empez con la publicacin de un artculoen 1855 en Trinity College y con 24 aos. Ese artculo, dettulo On Faradays Lines of Force (Sobre las lneas de fuerzade Faraday), explicaba de un modo terico y matemtico las

observaciones realizadas por un genio tan grande como el deMaxwell, el del ingls Michael Faraday. Esto es relativamentecomn: la combinacin de un cientfico terico y otro experi-


17/138


mental para revolucionar la ciencia.

Sin embargo, normalmente suele pasar al revs que aqu: lotpico es que un terico proponga ideas novedosas, y que unexperimentador logre posteriormente demostrar esas ideas.

Aqu el orden se invierte, ya que Faraday era un genio expe-rimental como ha habido muy pocos o tal vez ninguno, yMaxwell se empap de las observaciones experimentales de

Faraday, adems de otros, y consigui establecer un marcoterico capaz de explicarlas.

Es imposible saber hasta dnde hubiera podido llegar Fara-day si hubiera recibido una educacin formal: a diferencia deMaxwell, era hijo de un humilde herrero y haba entrado en laciencia como ayudante de laboratorio de Humphry Davy. Sin

tener ni idea de lgebra ni clculo, sus experimentos y con-clusiones a partir de ellos revolucionaron la Fsica. No tengodudas de que, sin Michael Faraday, Maxwell no hubiera cons-truido el maravilloso edificio que construy. Para que te hagasuna idea, Einstein tena en la pared de su despacho las fotosde tres cientficos: Newton, Maxwell y Faraday.

El caso es que el ingls, tras varios de sus muchsimos

experimentos sobre electricidad y magnetismo, haba suge-rido la existencia de lneas de fuerzamediante las cuales uncuerpo poda interaccionar con otro por las fuerzas elctri-ca y magntica; para l, estas lneas de fuerza que unan loscuerpos no eran meros conceptos, sino una realidad fsica,

y propuso incluso la posibilidad de que las ondas luminosasfueran una oscilacin de esas lneas de fuerza, como las on-

das que recorren una cuerda. Qu intuicin, qu genialidad,por favor!


18/138


Pero, igual que Maxwell no hubiera sido Maxwell sin Fara-day, el escocs hizo florecer las ideas del ingls hasta crearun jardn. En el artculo de 1855, el joven Maxwell constru-

ye un aparato terico incipiente an habra que refinarloque define muchas de las ideas de Faraday en un conjuntode veinte ecuaciones. All, Maxwell habla ya de la relacinentre el campo magntico y el elctrico, y cmo cuantificar lainfluencia del uno sobre el otro.

A partir de ah, posteriores artculos y libros iran puliendoel entramado terico de Maxwell. Es posible que otro cientfi-co con una educacin matemtica inferior no hubiera podidosintetizar tal cantidad de leyes y observaciones de un modotan simple y elegante, pero es que Maxwell era un matemti-co de primera clase. En 1860, debido a una reestructuracin,

Maxwell perdi su puesto en Marischal; Forbes se haba ju-bilado poco antes, y James se present para ocupar su plazaen Edimburgo, pero la consigui su amigo Tait en vez de l.Finalmente termin en el Kings College de Londres, dondepermanecera cinco productivos aos.

Durante su estancia en Londres, Maxwell convierte su ar-tculo inicial en una autnticateora del electromagnetismoy la luz. Recuerda que la ptica era uno de los intereses delescocs, y de hecho en 1860 obtuvo la Medalla Rumford dela Royal Society por su trabajo en este campo en 1861 seconvertira adems en miembro de la Sociedad. Durante estapoca conoce adems a uno de sus hroes, un Michael Fara-day ya entrado en aos, y asiste a algunas de sus clases: adiferencia del propio Maxwell, Faraday era un profesor exce-

lente y tena enorme fama como conferenciante.

Entre 1861 y 1862, Maxwell publicaOn Physical Lines of


19/138


Force (Sobre las lneas de fuerza fsicas), una nueva versinen cuatro partes de su artculo anterior. Aunque posterior-mente elaborara ms las ideas y publicara ms artculos, esaqu donde su genio se muestra verdaderamente al mundo:utiliza el clculo vectorial para establecer las ecuaciones querigen los campos elctrico y magntico de un modo impecable,aunando las leyes y teoremas enunciados antes por Coulomb,Faraday, Gauss o Ampre.

Unos aos antes, en 1855, dos alemanes Rudolf Kohl-rausch y Wilhelm Weber, realizando experimentos con car-gas, haban obtenido un resultado peculiar: una magnitudcon dimensiones de velocidad que se obtena al relacionar lacarga medida teniendo en cuenta slo la electrosttica o in-cluyendo los movimientos de cargas. Esta velocidad era bas-

tante parecida a la de la luz con la precisin que era posiblemedirla hasta ese momento. Ni Weber ni Kohlrausch le die-ron mayor importancia a este hecho.

James Clerk Maxwell (1831-1879).


20/138


Sin embargo, cuando Maxwell conoci el resultado de losexperimentos de los dos alemanes, se puso a manipular suspropias ecuaciones que describan la electricidad y el mag-netismo. Sera posible obtener con ellas la ecuacin de unaonda?La mecnica ondulatoria se conoca bien por entonces,

y el propio Newton haba relacionado la velocidad del sonidocon las propiedades mecnicas del medio por el que se propa-ga. Maxwell hizo algo parecido a lo que haba hecho Newton,

pero con las lneas de fuerza de Faraday en vez de con cuer-pos materiales, y obtuvo el valor de la velocidad de esas ondaselectromagnticas: 310 740 000 m/s. La velocidad de la luz.EnOn Physical Lines of Force, el escocs afirma:

No podemos evitar la conclusin de que la luz con-siste en las ondulaciones transversales del mismo

medio que es la causa de los fenmenos elctricosy magnticos.

Ese medio era, por supuesto, el ter luminferoque tantosquebraderos de cabeza nos dara posteriormente, pero eso esotra historia. La cuestin ahora es el genio de Maxwell pararelacionar a Faraday, Weber y Kohlrausch y todo lo dems pa-

ra explicar la naturaleza electromagntica de la luz, ademsde otras cosas que veremos ecuacin a ecuacin.

En palabras de Richard Feynman,

Desde una perspectiva a largo plazo de la histo-ria del mundo vista, por ejemplo, dentro de diez

mil aos, no puede quedar duda de que el sucesoms significativo del siglo XIX ser considerado eldescubrimiento por parte de Maxwell de las leyesdel electromagnetismo. La Guerra Civil estadouni-


21/138


dense palidecer como algo local e insignificante alcompararlo con este suceso cientfico de primeramagnitud de la misma dcada.

No es una exageracin. Aparte de explicar la naturaleza dela luz, las cuatro ecuaciones de Maxwell lo explican, en elec-tromagnetismo, prcticamente todo. Cmo se atraen y repe-len las cargas, cmo afecta una corriente elctrica al espa-cio a su alrededor, cmo se transmite un campo a travs deun medio determinado, cmo una corriente puede afectar aotra a una cierta distancia de ella. Al combinarlas con la leyde Lorentz, constituyen un cuerpo de conocimiento de igualmagnitud que losPrincipia Matematicade Isaac Newton.

Adems, las implicaciones de las ecuaciones de Maxwellsirvieron a Einstein como inspiracin para elaborar su famo-ssima Teora de la Relatividad Especial, originando as otrarevolucin en la Fsica, aunque de eso hablaremos ms ade-lante.

En 1865, Maxwell se retirara a su casa familiar la he-redada de los Maxwell, aunque seguira escribiendo sobreelectromagnetismo. En 1873 public A Treatise on Electri-city and Magnetism(Tratado sobre electricidad y magnetismo),una obra en dos volmenes que desgranaba su teora. La lec-tura de estos dos libros impresion de tal manera a un joven

ingls de veintitrs aos sin formacin acadmica superiorpero muy interesado en el electromagnetismo, Oliver Heavisi-de, que lo llev a estudiar matemticas como un poseso paralograr entender y dominar la obra de Maxwell.


22/138


Oliver Heaviside (1850-1925).

Heaviside entenda lo suficiente de la obra de Maxwell paracomprender su magnitud, pero sus propias lagunas lo deses-peraban:

Era muy ignorante. No tena conocimientos de an-

lisis matemtico (haba estudiado nicamente lge-bra y trigonometra en el colegio, y se me habanolvidado casi completamente), de modo que mi tra-

bajo estaba claro. Me llev varios aos poder com-prender hasta dnde poda llegar.

Heaviside no slo acab comprendiendo las veinte ecuacio-

nes con veinte incgnitas de la obra de Maxwell sino que,una vez ms, sobre los hombros de gigantes, aprendi el su-ficiente clculo vectorial para librarse de prcticamente todasesas incgnitas y reducir, en 1884, la teora electromagntica


23/138


del escocs a slo cuatro ecuaciones con cuatro incgni-tas. Heaviside no descubri nada nuevo, pero s interpret lateora de Maxwell de un modo que la hizo muchsimo mssencilla de asimilar. Algo as comoMaxwell es el nico Dios, yHeaviside su profeta... y no lo digo yo, lo dice el propio Hea-

viside:

Debe entenderse que predico el evangelio de acuer-do con mi interpretacin de Maxwell.

De modo que, en las prximas pginas, analizaremos la pa-labra de Maxwell en sus cuatro mandamientos sobre la elec-tricidad, el magnetismo y las relaciones entre ambos, empe-zando por laley de Gauss para el campo elctrico.


24/138


25/138

2. Ley de Gauss para el

campo elctrico

Empecemos a desgranar las cuatro ecuaciones de Maxwell,empezando con la primera de ellas, la ley de Gauss para elcampo elctrico.

Como hicimos en la introduccin, lo mejor es empezar contodas las cartas sobre la mesa, con lo que aqu tienes la ecua-cin en suforma diferencial, algo as como su forma micros-cpica y mi favorita:

E =

0

Pero qu diablos significa esto fsicamente?A eso dedica-remos este captulo, claro, de modo que cuando termines y

mires la ecuacin de nuevo, espero que sea con otros ojos.

Antes de nada, el nombre de esta primera ecuacin me pa-rece injusto. Se trata de la aplicacin de una idea ms b-


26/138


sica mediante un teorema descubierto por primera vez porJoseph Louis Lagrange en 1762 y, posteriormente y de formaindependiente, por Karl Friedrich Gauss en 1813. De modoque, aunque el mrito del teorema sea de Gauss, el teoremase aplica a algo ms profundo y bsico, sin lo que esta leyestara vaca de contenido fsico... y, sin embargo, no suelemencionarse aqu el nombre del cientfico que descubri esaidea original, Charles-Augustin de Coulomb. La idea bsica

es precisamente laley de Coulomb.

Esa ley ms fundamental, sin la cual no existira la deGauss, afirma que dos cargas elctricas se atraen o repelencon una fuerza que es directamente proporcional al productode ambas e inversamente proporcional al cuadrado de la dis-tancia que las separa. Estoy seguro de que la has ledo alguna

vez.

A pesar de que la ley de Gauss es ms sofisticada que lade Coulomb, y que se aplica a un caso ms general que ladel francs estrictamente hablando, la ley de Coulomb sirvepara cargas que no se estn moviendo unas respecto a otras,se trata de una evolucin de la ley de Coulomb junto con lade Lorentz, y no est de ms recordar a Charles-Augustinaqu. Tal vez un nombre ms justo sera el de ley de Coulomb-Gauss, pero me parece que a estas alturas no hay nada quehacer.


27/138

Ley de Gauss para el campo elctrico 23

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) y Karl Friedrich Gauss(1777-1855).

En cualquier caso, desgranemos el lenguaje matemtico dela ecuacin de arriba para comprender su significado fsico.

A la izquierda del igual tenemos E, que parece raro si nosabes de estas cosas pero no lo es tanto. Ees el smbolo para

elcampo elctrico, una magnitud fsica que da una idea de laintensidad de la fuerza elctrica (de atraccin o repulsin)que sufrira una carga situada en un lugar determinado.

El campo elctrico es una magnitud vectorial, es decir, esuna flecha: su direccin nos dice hacia dndesera empujadauna carga elctrica positiva si la colocsemos en ese punto

una negativa sufrira el tirn en sentido contrario. Ademsde direccin, tambin tiene intensidad (que suele represen-tarse mediante la longitud de la flecha), que nos indicacunintensamentesera empujada esa carga elctrica. A veces, en


28/138


vez de representar el campo elctrico como flechitas en el es-pacio, se dibujan las lneas de campo elctrico, en las que envez de emplear la longitud de la flecha para indicar la inten-sidad del campo, se utiliza la densidad de lneas muchaslneas juntas indican un campo muy intenso, y lneas muyseparadas uno ms dbil.

Lo mejor es verlo con un ejemplo. Las lneas de campo elc-

trico creadas por un protn son algo as:

Las lneas nacen en el protn y se alejan de l, lo quesignifica que una carga positiva por ejemplo, otro protncolocada en cualquier sitio se alejara de nuestro protn, yaque sera repelida por l. Adems y aqu hay algo ms desutileza si te fijas en esas lneas, estn ms cerca unas deotrasal principio pero, segn nos alejamos del protn, diver-gen unas de otras. Como dijimos antes, esta representacin

indica que, cuanto ms cerca las lneas, ms intenso el cam-po, y cuanto ms alejadas menos intenso: en nuestro dibujo,el campo elctrico (y con l la fuerza ejercida sobre otra carga)es tanto mayor cuanto ms cerca estamos del protn, y tanto


29/138


ms dbil cuanto ms lejos. Sin embargo, las lneas nuncamueren, es decir, no tienen final, sino que siguen hasta elinfinito.

Una vez ms o menos claro lo que es E, vayamos con el mis-terioso E. Ese smbolo triangular aparentemente esotricose llamanabla, el nombre griego de un arpa hebrea de formasimilar al smbolo. Se trata de un operador matemtico que

puede tomar parte en diversas operaciones vectoriales, y dehecho aparecer de nuevo en todas las ecuaciones de Max-

well, de modo que espero que cuando terminemos el libro sehaya convertido ya en un viejo conocido. Nabla es un opera-dor matemtico muy verstil, que puede aplicarse a nme-ros normales y corrientes (como la temperatura en distintospuntos de una habitacin) o a vectores (como nuestro famoso

campo elctrico), y es capaz de proporcionar informacin muyinteresante sobre ellos.

No vamos a entrar aqu a estudiar en detalle el operadornabla, pero en esta ecuacin vemos uno de sus usos tpicos:al aplicarlo de este modo a un vector, como el campo elctri-co, E se lee como divergencia de E, y nos proporcionainformacin sobre el vectorE. Pero qu informacin?La di-

vergencia de un campo vectorial cualquiera, como por ejem-plo E, nos dice dnde nacen y mueren las lneas decampo y cmo de intenso es el proceso de nacimiento omuerte de lneas. Podramos haber hecho lo mismo con un

vector diferente que tenga un valor en todas partes pero queno sea el campo elctrico, como la velocidad del agua en una

baera en cualquier punto del agua. De hecho, si tienes un

poco de paciencia, hagamos precisamente eso, ya que el cam-po elctrico no lo podemos ver, pero el agua en movimientos haremos algunas trampas, pero creo que ser ms fcil


30/138


visualizarlo de este modo.

Imagina que tenemos una baera llena de agua, y que po-demos conocer matemticamente la velocidad de cada gota deagua en la baera con un vectorV, con lo que podramos di-

bujarlneas de campo de velocidad, como hicimos antes conel protn y el campo elctrico, que nos dijesen grficamentehacia dnde se mueve el agua en cada punto de la baera, y

cmo de rpidose mueve (cuanto ms juntas las lneas, msrpido).

Al calcular la divergencia de V, V, como al calcular lade cualquier vector, slo pueden pasar una de tres cosas:

1. Si V = 0, eso significa que ninguna lnea de campo

muere en el entorno de este punto y ninguna lnea de camponace. Dicho de otro modo, toda lnea que entra en el entornode este punto sale otra vez de l, y toda lnea que sale de aquentr antes.

Por ejemplo, fjate en este dibujo del agua de la baera y enla pequea regin redondeada:


31/138


V

en ese punto es, naturalmente, 0, ya que ningunalnea nace ni muere all. Dicho en trminos del agua,todael agua que entra en ese crculo sale otra vez de l, y toda elagua que sale del crculo entr antes en l. Es ms, si hascomprendido este primer caso, vers que la divergencia de Vno es cero slo dentro del crculo: es cero en cualquier sitiode la baera. Las lneas no nacen ni mueren en ningunaparte, luego la divergencia nunca deja de ser nula.

2. Si V > 0 si la divergencia es positiva, eso significaque en el entorno minsculo alrededor de ese punto nacenlneas de campo. En trminos del agua de nuestra baera,eso significa que del entorno del punto (del crculo) salen mslneas de las que entraron. Cuanto ms grande sea el nmeropositivo, ms lneas nacen, es decir, ms intenso es el flujo

de agua saliendo del crculo.

Claro, en nuestra baera de arriba, con el agua simple-mente dando vueltas, esto no suceda en ningn sitio. Peroobserva este otro caso, en el que tenemos un grifo abierto queaade agua a la baera en un punto determinado:

Ninguna lnea entra en el crculo, pero salen varias: la di-


32/138


vergencia es positiva. Desde luego, puedes estar arqueando laceja ante esta trampa: Un momento!, dirs. Si eso es un gri-fo mediante el que llenamos la baera, en el crculo s que entraagua, a travs de la tubera, y luego sale por el otro lado... noest apareciendo agua de la nada!. Totalmente cierto: comodeca antes, hacemos alguna trampichuela. Puedes pensarlode dos maneras; si estamos estudiando nicamente el espa-cio que ocupa la baera, y para nosotros el universo es slo

la baera, entonces el grifo s es una fuente de agua que antesno estaba ah.

Otra manera de verlo es sta: supn que no es un grifo. Elagua est inicialmente en reposo (no hay lneas de ningn ti-po), y metemos de golpe un bloque de cemento en el centro dela baera. Como consecuencia, el agua que ha sido desplaza-

da por el bloque de cemento se aleja de donde se encontraba:en la regin que ocupa ahora el bloque ha habido una diver-gencia positiva, ya que no entr agua, pero s sali agua. Decualquiera de las dos maneras, el concepto es el mismo: di-

vergencia positiva significa que salen ms lneas de las queentran. Y, finalmente:

3. Si V


33/138


rellenar el hueco:

Puedes incluso imaginar un caso compuesto que no voya dibujar: una baera con un grifo y un desage, de modoque en algunos puntos la divergencia sea positiva, en otrosnegativa y en otros, nula. Lo importante, aunque me repita,es que la divergencia nos indica dnde nacen y mueren ycon qu intensidad las lneas de campo. De modo que yasabes, de forma cualitativa, lo que significa la primera mitadde la ecuacin de Maxwell de hoy: E = algo nos informade dnde nacen y mueren las lneas del campo elctrico. Siese algo es positivo, nacern, si es negativo morirn, y si

es cero, no pasar ni una cosa ni la otra, es decir, las lneasatravesarn el entorno del punto saliendo tal cual entraron.Pero qu es ese algo a la derecha de la ecuacin, ese /0?

Afortunadamente, la respuesta a esta pregunta es bastantems sencilla que la anterior. , la letra griega rho, represen-ta aqu la densidad de carga elctrica: es una medida de

cunta carga elctrica positiva o negativa se encuentra en elcrculo que rodea nuestro punto. Cuanto mayor sea , mscarga elctrica se acumula alrededor del punto (si es positiva,ms carga positiva, si es negativa, ms carga negativa).


34/138


0, la letra griegaepsiloncon el subndice 0 (el cerito pe-queo a la derecha) recibe los nombres equivalentes decons-tante elctricao permitividad elctrica del vaco. A m megusta mucho ms la primera que la segunda, de modo queas me referir a esta constante aqu.

No voy a entrar aqu a discutir en profundidad el significadofsico de ese nmero: es una constante fsica, como la de la

gravedad o la velocidad de la luz, y su valor en el Sistema In-ternacional de Unidades es de unos 8, 851012 A2 s4 kg1 m3;aunque el valor es lo de menos ahora mismo, quiero dejarloaqu para que veas que es un nmero concreto. La constan-te elctrica nos da una medida de la relacin numrica entrecarga y fuerza elctrica, pero en lo que a nosotros respec-ta, lo esencial es comprender que este valor no vara jams,

es unaconstante universal; puedes pensar en ella como enuna propiedad del Universo que define su comportamiento.

De modo que, ignorando 0, que siempre vale lo mismo,qu factores variables existen en la ecuacin? Dos: la den-sidad de carga elctrica y la divergencia del campo elctrico.Pero ya hemos visto antes que a la divergencia pueden pa-sarle bsicamente tres cosas; qu significa esto en trminosde carga y campo?Repitamos los tres casos anteriores peromirando nuestra ecuacin, que muestro aqui de nuevo paraque la tengas delante:

E =

0

1. Si en el punto que estamos mirando no hay cargas de


35/138


ningn tipo, es decir, = 0, entonces la divergencia del camposer cero, E = 0. Dicho con otras palabras, si en en elentorno de nuestro punto no hay cargas, todas las lneas decampo que entran salen otra vez como si nada.

2.Si en el punto que estamos mirando hay carga positiva,es decir, > 0, entonces la divergencia ser positiva esta-rn naciendo lneas de campo. Adems, cuanto mayor sea la

densidad de carga positiva, mayor ser la divergencia y, porlo tanto, ms lneas de campo estarn naciendo.

3.Si en el punto que estamos mirandohay carga negativa,es decir, < 0, entonces la divergencia ser negativa esta-rn muriendo lneas de campo. Adems, cuanto mayor sea ladensidad de carga negativa, ms negativa ser la divergencia

y, por lo tanto, ms lneas de campo estarn muriendo.

Creo que es ms fcil comprenderlo con ejemplos visuales,dada la naturaleza grfica de la divergencia, de modo quehagmoslo as. El primer caso es fcil, basta con encerrar ennuestro mini-crculo una regin sin cargas elctricas, comoen nuestro primer dibujo:

El segundo caso podemos mostrarlo en el mismo diagrama,


36/138


ya que tenemos ah una carga positiva como una catedral,nuestro protn:

Finalmente, para el tercer caso nos hace falta una carga

negativa, por ejemplo, un electrn:

Naturalmente, al manipular la ecuacin matemticamente

para obtener las lneas del campo elctrico, no slo podemosconocer dnde nacen y mueren, sino cunto van diver-giendo en el espacio, cuntas aparecen y desaparecen, cmose curvan, etc. De hecho, al aplicarlas a casos concretos se


37/138


observa cmo el campo decrece proporcionalmente al cuadra-do de la distancia, como deca el buen Charles-Augustin deCoulomb. Por ejemplo, al aplicar la ecuacin a un protn yun electrn que estn a cierta distancia uno de otro, aparecealgo tan bello como esto:

Lneas de campo de un dipolo elctrico (Geek3[http://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_dipole_electric_manylines.svg]

/Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 License[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en]).

Por fin! Hemos desgranado toda la ecuacin, y podemospor lo tanto leerla en cristiano, y adems comentar algunascosas ms sobre ella.Qu dice, por lo tanto, la ley de Gauss

para el campo elctrico o primera ecuacin de Maxwell en pa-labras normales y corrientes?

Que las cargas elctricas son los lugares donde nacen ymueren las lneas de campo elctrico. Las lneas nacen enlas cargas positivas, y mueren en las negativas. Si no hay untipo de carga o el otro, es tambin posible que nunca mue-


38/138


ran en ningn destino, como pasaba con nuestro protn ini-cial, o que nunca nazcan en ningn origen, como en el casodel electrn aislado de antes.

Conceptualmente, la ley de Gauss para el campo elctriconos dice cules son las fuentes fundamentales del campoelctrico: las cargas. Eso s, si vuelves a la introduccin ymiras las ecuaciones de nuevo, vers que nuestro ya viejo

amigo, el campo elctrico E, aparece en otros sitios. Sin em-bargo, esta ecuacin puede considerarse el trono en el quese sientan el campo elctrico y la carga elctrica.

Por qu digo esto? Porque es difcil definir rigurosamentequ es la carga elctrica y qu significa positivo y negativo.Dicho en plata, la carga elctrica es la propiedad asociada a

lainteraccin electromagntica, de la que el campo elctrico esuna de las dos mitades. En la ley de Gauss vemos la relacinntima que existe entre carga y campo las cargas elctricasson las fuentes del campo.

La otra pieza del rompecabezas no aparece en la ley deGauss ni en las ecuaciones de Maxwell; como dijimos en laintroduccin, el efecto del campo elctrico sobre las cargas

est definido en la ley de Lorentz. Pero esta ley de Gauss parael campo elctrico nos permite, en cierto modo, definir qu esel campo elctrico: es la perturbacin creada por la meraexistencia de cargas elctricas.

Desgraciadamente, parte de la belleza de la ecuacin nopuedo mostrarla aqu: al aplicarla matemticamente a un ca-

so concreto, como ves en la figura de arriba, pueden formarsepatrones verdaderamente complicados, y me parece maravi-lloso como tantsima cantidad de informacin sobre un sis-


39/138


tema todo el entramado de sus lneas de campo elctricopuede surgir de una ecuacin matemticamente tan simple.

De modo que te invito, pacientsimo lector, a que vuelvas alprincipio del captulo y mires de nuevo esta primera ecuacin.Te intimida, o sonres levemente al mirarla?


40/138


41/138

3. Ley de Gauss para el

campo magntico

La segunda ecuacin, a la que nos dedicaremos en este ca-ptulo, es matemticamente muy similar a la primera, aunquems sencilla. Ejemplifica lo maravilloso de las ecuaciones deMaxwell-Heaviside: la profundidad en el significado con unaconcisin bellsima, en este caso, de una forma extrema. Co-mo hicimos con la primera ecuacin, aqu la tienes en todosu minsculo esplendor:

B = 0

Puedes considerarla una especie de prueba: con un mni-mo de ayuda, si asimilaste de veras el captulo anterior, estaecuacin no debera intimidarte lo ms mnimo. Eso s, como

digo, algunas de sus consecuencias son interesantes y no tansimples como la propia ecuacin, que es una especie de ne-gativo de la primera en varios aspectos. Pero, como hicimoscon aquella, desgranmosla poco a poco para luego interpre-


42/138


tarla como un todo.

Al igual que en la primera ecuacin, nos encontramos conel smbolo nabla una vez ms (el arpa hebrea, recuerdas?),pero esta vez est aplicado a una magnitud diferente. Al igualque Erepresenta el campo elctrico, del que hablamos en laprimera ecuacin, la letraB representa elcampo magntico,parece ser que en honor al cientfico francs Jean-Baptiste

Biot, uno de los pioneros en el estudio de la relacin entreelectricidad y magnetismo y cuyo nombre aparecer de nue-

vo en este librito, por supuesto.

De modo que, como puedes ver, esta ley describe el com-portamiento del campo magntico a travs de su divergencia, B, del mismo modo que la anterior haca lo propio con la

divergencia del campo elctrico, E. Como recordars, la di-vergencia indica dnde nacen y mueren las lneas de campo:si es nula, no pasa una cosa ni la otra, si es positiva nacenms lneas de las que mueren y si es negativa mueren ms delas que nacen. As, en el caso del campo elctrico, todo depen-da del signo de la carga elctrica en el lugar que estuviramosmirando.

Pero qu hay del campo magntico?No hay nada a la de-recha del igual!El significado literal de esta ley de Gauss parael campo magntico, por lo tanto, es clarsimo:las lneas delcampo magntico no nacen ni mueren de manera neta enninguna parte. Esto no depende de nada, ni es diferente pa-ra cada punto del espacio como suceda con el elctrico, sinoque es una propiedad ineludible del campo magntico en to-

do lugar: las lneas de campo magntico no tienen principioni fin.


43/138

Ley de Gauss para el campo magntico 39

Las diferencias entre la primera ecuacin y sta son portanto, a pesar de la similitud matemtica, enormes. Para em-pezar, la importancia de cada una se debe justo a cosas opues-tas: la ley referida al campo elctrico nos da una especie dedefinicin positiva del campo elctrico a travs de la propie-dad fundamental que tiene, el hecho de aparecer como conse-cuencia de la existencia de cargas elctricas. Como vimos enel captulo anterior, aplicndola es posible dibujar el campo

elctrico creado por las cargas.

Sin embargo, esta segunda ecuacin es una especie de de-finicin negativa del campo magntico. Qu sabemos de sucomportamiento tras leer esta ecuacin? Justolo que no hace.Esta ecuacin no describe la causa del campo magntico, nicmo calcularlo en ninguna parte: simplemente sabemos c-

mo no es. Desde luego, posteriormente veremos otros princi-pios que s determinan de forma positiva el comportamientodel campo magntico, pero no en este captulo.

Grficamente, esta segunda ecuacin nos dice algo muyconciso, pero fundamental, sobre las lneas del campo mag-ntico, y que si comprendiste el concepto de divergencia enel captulo anterior debera sonarte razonable: dado que sudivergencia es nula y que, por tanto, el nmero de lneas queentran en cualquier regin es siempre igual al nmero de l-neas que salen, las lneas de campo magntico son siem-pre cerradas. No tienen principio ni fin: si sigues el caminode una de ellas, nunca llegars a un destino, y si vas haciaatrs para encontrar su comienzo, nunca lo encontrars. Co-mo digo, es informacin esencial, pero no es mucho con lo

que estudiar este campo.

Quiere esto decir que la ley de Gauss para el campo mag-


44/138


ntico no es interesante? Nada ms lejos de la realidad! Ex-ploremos juntos, en primer lugar, su significado ms profun-do. Aunque nos queden por ver dos ecuaciones, creo que esevidente que esta ley no dice que no exista el campo magnti-co ni fuentes que lo produzcan dice algo ms sutil, que creoque se comprende mejor contraponindolo, una vez ms, a lainformacin de la ecuacin anterior sobre el campo elctrico.

La ley de Gauss para el campo elctrico nos deca que existealgode donde nacen las lneas de campo elctrico las cargaspositivas yalgodonde van a morir esas lneas de campo elc-trico las cargas negativas. Podramos pensar, aunque sueneun poco retorcido, que existen dos caras del campo elctrico:la positiva (donde nacen lneas) y la negativa (donde mue-ren lneas), y es posible observar un punto determinado y ver

que se produce un fenmeno o el otro.

Pero no es posible observar slo una de las dos caras delcampo magntico: slo es posible ver ambas cosas a la vez.Las fuentes del campo magntico sean las que sean porque,como digo, esta ecuacin nos dice ms bien lo que no es elcampo magntico, no lo que es son necesariamente naci-miento y muerte de las lneas de campo. Esta ecuacin es larazn de que, cuando se dibujan las lneas de campo magnti-co generadas por cualquier cosa, se muestren siempre figurascomo sta:


45/138


Crdito: Geek3[http://en.wikipedia.org/wiki/File:VFPt_dipole_magnetic3.svg] /Creative

Commons Attribution-Sharealike 3.0 License[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en]).

Como ves, todas las lneas son bucles cerrados, unos mspequeos y otros ms amplios. Aunque sea un ejemplo ab-surdo, es como si cualquier produccin de campo magnticofuera el lanzamiento de un bumern: puedes lanzarlo, perosiempre acabar volviendo a ti. Ya s que esto es absurdoporque las lneas de campo no representan el movimiento denada: quiero decir que no puede tenerse una cosa sin la otra,

a diferencia del campo elctrico.

Que las lneas que salen de cualquier regin siempre vuel-van a entrar en ella no quiere decir que no sea posible verdiferente comportamiento en las regiones de un cuerpo fsico:en algunos puntos, las lneas salen hacia el exterior del cuer-po y en otros entran en l de nuevo. Por eso suele hablarse

normalmente de polos magnticos, como sucede en el casode un imn. Tradicionalmente se llama polo norte al lugar pordonde las lneas salen desde el interior del cuerpo hacia fuera

y polo sur a la regin por la que las lneas entran desde el


46/138


exterior hacia dentro del cuerpo (observa que en este dibujose han ocultado las lneas en el interior del cuerpo pero estnah, aunque no se dibujen, y son cerradas):

Crdito: Geek3[http://en.wikipedia.org/wiki/File:VFPt_cylindrical_magnet_thumb.svg]


Si te fijas en este imn, las lneas de Bse parecen muchsi-mo a las lneas de Edel captulo anterior cuando mostramosuna carga positiva y una negativa cerca una de otra:


47/138


Crdito: Geek3[http://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_dipole_electric_manylines.svg]


En el caso del campo elctrico, la carga positiva se llamaa veces polo positivoy la negativapolo negativo, como en elmagntico (aunque sin norte y sur), y un conjunto de doscargas como el que ves aqu se denominadipolo elctrico, lomismo que el dibujo de arriba representa un dipolo magnti-co. El polo positivo en el elctrico se parece al polo norte, y el

negativo al sur. Todo se parece mucho... pero hay una dife-rencia tremendaentre ambos casos, no en lo que ves ahora,sino en lo que puede conseguirse a partir de cada uno de losdos dipolos.

En el caso del dipolo elctrico, no tenemos ms que llevar-nos una de las dos cargas del dipolo y dejar la otra, y en vez

de un dipolo tenemos algo como lo que veamos en el captuloanterior, de modo que las lneas tengan nacimiento pero nofin, o al revs. Nos hemos quedado con la mitad del dipoloelctrico:


48/138


Pero, en el caso del dipolo magntico, cmo hacemos lomismo?La respuesta, por supuesto, es queno podemos. Ha-gamos lo que hagamos, la divergencia del campo magnticosiempre es cero, luego nunca jams podremos conseguir quesus lneas no sean cerradas. Si cortsemos el imn por la mi-tad, por ejemplo, para intentar quedarnos con el polo norteen una mano y el polo sur en la otra, veramos que cada unode los dos pedazos es su propio imancito con su polo norte ysu polo sur.

Dicho de un modo pedante, estas dos ecuaciones significan

lo siguiente: existen dipolos elctricos y dipolos magnticos.Al quedarnos con la mitad de un dipolo elctrico tenemos unmonopolo elctrico, es decir, unacarga elctrica,pero no exis-ten los monopolos magnticos. La existencia de una cargapositiva no exige la de una carga negativa, pero la existenciade un polo norte s exige la de un polo sur. La divergencia esnula!

Podemos incluso expresar esto de un modo ms pedantetodava: una carga elctrica no es ms que un monopolo elc-trico, pero dado que no hay monopolos magnticos, las ecua-


49/138


ciones de Maxwell afirman queno existe la carga magnti-ca. Fjate en que, una vez ms, no digo cul es la fuente delcampo magntico sino cul no lo es, as es la naturaleza deeste segundo principio.

Sin embargo, no podemos olvidar algo fundamental quemencionamos en la introduccin: las ecuaciones de Maxwellson la representacin matemtica de principios fsicos, no

verdades absolutas. Es perfectamente posible que s existanlos monopolos magnticos es decir, la carga magntica yque simplemente no hayamos sido capaces de detectarla an.El detector MoEDAL (Monopole and Exotics Detector At theLHC, Detector de monopolos y partculas exticas en el LHC),en proceso de construccin algunos detectores ya estn ins-talados tratar de hacer exactamente eso: detectar la pre-

sencia de monopolos magnticos, si es que los hay.

Si los monopolos magnticos existen, debemos introducirun nuevo trmino en esta ecuacin de Maxwell, puesto quecomo hemos dicho antes, la existencia de monopolos es equi-

valente a la de la carga. De ser as, adems de carga elctricaexistira lacarga magntica, y la divergencia de Bno tendrapor qu ser cero siempre. Al igual que en el caso del campoelctrico, podramos tener puntos en los que fuera positiva (sihay cargas magnticas positivas), otros en los que fuera ne-gativa (si las hay negativas) y otros en los que siguiera siendonula. Esta segunda ecuacin se parecera, por tanto, much-simo a la primera (pongo ambas juntas para comparar):

E = 0

B = 0m


50/138


Como ves, en el caso de la ley de Gauss para el campo mag-ntico la constante es diferente que en la del campo elctri-co, pero es una cuestin de unidades y hablaremos de laconstante ms adelante, porque no es importante ahora mis-mo. He representado la densidad de carga magntica comola elctrica, con la letra rho, pero con un subndice m paradiferenciarla de la carga elctrica. Las ecuaciones son ms si-mtricas que las actuales, y a algunos fsicos les parece que

tanta simetra y belleza es sospechosa pero a veces los se-res humanos tendemos a buscar simetras donde no tiene porqu haberlas, con lo que esto no demuestra nada.

Puede parecer una tontera inventar una forma de la ecua-cin que incluye cosas que no hemos visto, pero no lo es tan-to: no es posible detectar cargas directamente, sino su in-

fluencia sobre lo que las rodea, es decir, sus campos elctricoy magntico. Puesto que el campo magntico en un lugar de-terminado es la suma del efecto de cargas elctricas y, si exis-ten, de cargas magnticas, necesitamos predecir el efectode las cargas magnticas sobre el campo para poder en-contrarlas si existen: si ese efecto se mide como predice laecuacin modificada, es que los monopolos magnticos exis-ten, y viceversa. Aunque tambin es posible, como siempre,que la modificacin no sea tan leve y haya algo mucho msgordo que no estemos viendo, as es la ciencia.

Pero, olvidando por un momento la posible existencia demonopolos magnticos que son una simple hiptesis, vuel-

ve al principio del captulo y lee la ecuacin de nuevo. Noes algo claro y meridiano? Las lneas del campo magntico

son siempre cerradas, por supuesto, luego su divergencia essiempre nula! Y decan que la ecuaciones de Maxwell erancomplicadas...


51/138

4. Ley de Faraday

No voy a repetir de nuevo lo que afirmaban las dos ecuacio-nes anteriores como principios fsicos, pero s quiero ponerde manifiesto lo que tenan en comn. A veces las ecuacio-nes de Maxwell se nos embrollan en la cabeza, y es ms fcilrecordar lo que significan agrupndolas dependiendo de qucosas las diferencian o las asemejan. Y, como veremos en unmomento, es muy fcil dividir las cuatro en dos parejas lasdos que hemos visto hasta ahora y las dos que nos quedanpor ver.

Las dos leyes de Gauss que hemos visto definan caracte-rsticas del campo elctrico y el campo magntico de maneraindependiente. En ningn caso se mezclaban ambos los

propios nombres as lo reflejan. Si slo existiesen estos dosprincipios fsicos,el campo elctrico y el magntico seran con-ceptos completamente independientes; sin embargo, no lo sonen absoluto, como empezaremos a ver aqu. Ah est la grandiferencia entre las dos ecuaciones que veremos y las dos quehemos visto ya: en las dos que nos quedan se mezclan am-

bos campos.

Esto las hace ms complejas que las dos primeras, perotambin ms interesantes. Es en estas dos ecuaciones dondeel genio de Maxwell se muestra en todo su esplendor, como


52/138


veremos en este captulo y el siguiente. Pero lo primero, co-mo siempre, es escribir la ecuacin que estudiaremos, laleyde Faraday, a veces llamadaley de induccin de Faradayoecuacin de Maxwell-Faradayen un momento veremos porqu incluir a James aqu. Al igual que en captulos ante-riores, la iremos despiezando y espero que, al final, la mirescomo a una vieja amiga:

E = Bt

Eso s, antes de desgranarla, quiero hablar sobre su ori-

gen experimental, al que debe su nombre. Como recordarsde la introduccin, Maxwell desarroll sus ecuaciones forma-lizando principios fsicos que haban sido, en su mayor parte,establecidos por otros cientficos. Ya dijimos entonces que sinel genio de Michael Faraday probablemente no hubiramosdisfrutado del de Maxwell, al menos en toda su extensin. Noen vano Faraday era uno de los hroes del joven James Clerk

Maxwell a pesar de la falta de preparacin formal del primero.


53/138

Ley de Faraday 49

Michael Faraday (1791-1867).

Porque, aunque no fuera un matemtico experto, Faradayera un experimentador de primera, y su intuicin fsica erafenomenal. Aunque no fue l el primero en darse cuenta de larelacin entre electricidad y magnetismo fue Hans Christian

rsted en 1821, y de eso hablaremos en el prximo captulo,sus experimentos en electromagnetismo fueron de tal cali-dad que nos proporcionaron una enorme cantidad de cono-cimiento sobre el problema. Adems, a pesar de sus lagunasmatemticas, Faraday expres las conclusiones de sus expe-rimentos con tal lucidez que permiti a Maxwell que s eragenial en matemticas enunciar los principios subyacentes

de un modo muy eficaz.

En lo que nos ocupa ahora, tras los descubrimientos dersted y otros, muchos cientficos se dedicaron a realizar ex-


54/138


perimentos que conectasen electricidad y magnetismo, Fa-raday incluido. rsted haba demostrado que una corrienteelctrica produca a su alrededor un campo magntico, peroera posible lo contrario? Poda un campo magntico producir

fenmenos elctricos?La respuesta la dieron, de manera in-dependiente y casi a la vez, el estadounidense Joseph Henry

y el britnico Michael Faraday pero Faraday public susresultados antes, y de ah el nombre de esta ecuacin.

En uno de sus experimentos, en 1831, Faraday enroll uncable conectado a una pila alrededor de un anillo de hierro.Gracias a rsted y la cuarta ecuacin, de la que hablaremosen el siguiente captulo, se conoca ya el hecho de que la co-rriente elctrica del cable generaba un campo magntico, demodo que el anillo de hierro se converta en un imn. Hasta

aqu, todo conocido; sin embargo, el ingls enroll un segundocable en el otro lado del anillo, un cable sin pila. La idea erasimple: si una corriente elctrica generaba un campo mag-ntico, tal vez un campo magntico generara una corrienteelctrica.

Experimento de Faraday.

De modo que Faraday puso un detector en el segundo ca-ble, el que no tena pila alguna, y encendi el primer circuito


55/138

Ley de Faraday 51

conectado a la pila. Sin embargo, no sucedi lo que podraparecer evidente: cuando la pila estaba encendida y por tantohaba un campo magntico, el segundo cable no mostraba co-rriente alguna. La situacin era exactamente igual con la pilaencendida que con la pila apagada. Pero, ah!, algo inesperados suceda: justo en el momento de encender el primer circui-to o apagarlo, apareca una corriente elctrica en el segundocircuito.

Lo extrao era que no era la existencia de un campo magn-tico lo que induca una corriente en el circuito sin pila:era la

variacin del campo magntico la que generaba corriente.Adems, y esto era tambin curioso, cuando se encenda elcircuito, la corriente en el segundo circuito iba en un senti-do, pero al apagarlo, la corriente iba en sentido contrario. En

ambos casos se detectaba corriente durante un tiempo muycorto: el que duraba la transicin apagado-encendido y vice-

versa. Eran los cambios, y no la mera existencia de campomagntico, los que causaban la aparicin de corriente.

De modo que Michael Faraday enunci un principio que ha-blaba exclusivamente de cables y circuitos, y el ruso HeinrichLenz lo refin aadiendo el sentido de la corriente. Ese princi-pio sigue utilizndose hoy, sin apenas cambios, pero Maxwellfue capaz de extrapolarlo como una ley ajena a circuitos y co-rrientes, una ley matemtica que serva para casos diferentes

y que, como veremos en el futuro, tiene consecuencias queFaraday imagin pero nunca pudo demostrar. La ecuacin dehoy lleva, por tanto, el nombre de Faraday, ya que es la ex-presin matemtica del principio descubierto por el ingls: la

influencia de un campo magntico cambiante sobre la electri-cidad, pero la forma que utilizamos es ms abstracta que laenunciada por el bueno de Michael.


56/138


La versin de Maxwell-Heaviside (porque fue el segundoquien escribi la forma moderna de la ecuacin) es, como lasotras, bellsima por lo conciso de su expresin y lo profun-do de sus consecuencias. Una vez ms, una especie de haikufsico, que repito aqu para empezar a masticarlo:

E = B

t

De modo que, como en ocasiones anteriores, respiremosprofundo y ataquemos las matemticas del asunto.

Aunque una vez ms, como puedes ver, aparece nuestro

viejo conocido, el operador nabla, en este caso no se tratade la divergencia, sino de algo diferente. Puedes verlo porqueen el caso de la divergencia tenamos E, mientras queahora tenemos E. Se trata de cosas matemticamentedistintas pero, en lo que a nosotros importa ahora mismo, ladiferencia es que el primer caso indicaba ladivergencia delcampo, mientras que el segundo (con la equis) se indica unaoperacin distinta de la divergencia, elrotacionaldel campo.

El concepto de rotacional es similar al de divergencia enel sentido de que proporciona informacin acerca del cam-po vectorial, pero se trata de una informacin diferente y algoms difcil de visualizar. Como hicimos con la divergencia, ha-gmoslo con un campo vectorial ms cercano a los sentidosque el elctrico: el flujo de agua en una baera. Como recor-

dars, en ese contexto la divergencia nos deca dnde habagrifos de agua y dnde desages, es decir, de dnde sa-la y por dnde escapabael agua de la regin que estbamos


57/138

Ley de Faraday 53

estudiando.

Si llamamos, como hicimos entonces, V a la velocidad delagua en cada punto, V nos proporciona una nueva in-formacin, que intentar describir primero en una frase paraluego ver ejemplos, que es como mejor se ven las cosas. Dichofatal, Vnos da una idea de laturbulenciadel agua en esepunto; dicho un poco menos mal, indicahacia dnde y cmo

de rpido girara una pelotasumergida en ese punto de labaera.

Para ir asimilando el concepto, veamos el caso ms senci-llo posible: imaginemos el flujo de agua ms regular y suaveposible. Supongamos que en cierta parte de la baera toda elagua se mueve a la vez, a la misma velocidad y en la misma

direccin:

Si ponemos una pelota microscpica en cualquier punto del

agua,se pondr a girar la pelota?Y, si gira, hacia dnde lohar y cmo de rpido?Eso es lo que significa el rotacionalen esta analoga (de hecho, rotacionalviene de rotacin y nopor casualidad). De modo que pensemos juntos, y tratemos


58/138


de responder a esas preguntas. Desde luego, hace falta ciertaimaginacin para visualizar la pelotita en el agua, pero creoque es posible hacerlo y llegar a conclusiones razonables sinproblemas.

Creo que resulta claro que, en el dibujo de arriba, la pelotano rota. Desde luego, ser empujada por el agua y se ir conla corriente, pero no girar sobre s misma. Por lo tanto, no

hace falta que respondamos a la segunda pregunta, y la con-clusin respecto al rotacional es clara: en la figura de arriba,excepto en los bordes (luego hablamos de bordes), V = 0:

Pero veamos un segundo ejemplo algo ms complejo. Su-pongamos que en un momento determinado hemos hecho que

el agua se mueva en sentidos contrarios en las dos mitadesde la baera, por ejemplo as (se representa cada mitad en untono para ayudar a ver la frontera entre las dos regiones, elagua en s es igual):


59/138

Ley de Faraday 55

Si ponemos la pelota en cualquier punto de la regin iz-quierda, pasar lo mismo de antes, y si la ponemos en laregin derecha, dem de lienzo, pero qu pasa si la ponemos

justo en el borde entre ambos flujos de agua?Ah, ah la cosacambia! La pelota recibe agua en un sentido por su izquier-

da, y agua en sentido contrario por su derecha, de modo quesi no es absolutamente lisa, y en nuestra analoga no lo esporque lo digo yola pelota girar. En esa lnea de fronteraentre ambas regiones, el rotacional no es cero. De modo queaqu s, podemos decir si gira mucho o poco y hacia dnde.

En nuestro ejemplo, la pelota girar tanto ms deprisa cuan-

to mayor sea la corriente a ambos lados no tenemos quepreocuparnos por cuantificar esto, y lo har en el sentidoque se muestra abajo y que, creo, es bastante intuitivo si telo imaginas:


60/138


De modo que arriba ests viendo un ejemplo claro en el que

V

= 0. Matemticamente, para representar ese sentido

de giro, en vez de hacer un montn de flechitas girando co-mo aparecen arriba, se utiliza un nico vector que va en ladireccin del eje de giro y en el sentido en el que avanzara untornillo que gira como nuestra pelota:


61/138

Ley de Faraday 57

Claro, si no tienes mucha experiencia con tornillos o tapasde rosca, o grifos, tal vez no veas la relacin entre el giro yla flecha con claridad, pero basta con que tomes un frascocon tapa de rosca y gires la tapa en un sentido: vers quela tapa avanza en la direccin de la flecha de arriba. No esms que una forma concisa y nada ambigua de representarla direccin de cualquier giro en Fsica.

Naturalmente, el campo elctrico no es agua fluyendo, luegoV no representa el giro de ninguna pelota, pero imaginarloas puede ayudarte a visualizar lo que le sucede al campo enun punto determinado. La parte izquierda de la ecuacin deFaraday-Maxwell, por tanto, no es ms que el rotacional delcampo elctrico, su turbulencia en un punto determinado,que nos indica el giro de la pelotita imaginaria si el campo fue-

ra agua. S, ya lo s, una abstraccin sobre otra abstraccinsobre... pero as son las cosas. Qu hay de la parte derecha?

E = Bt

Dicho en fino, /tes laderivada parcial respecto al tiempode algo. Dicho en cristiano, representa elritmo de cambiodeese algo. B/tes, por lo tanto, el ritmo de cambio del cam-po magntico. Si B/t es cero, es que el campo magnticono cambia en el tiempo. Si es pequeo, es que el cambio esgradual y suave, y si es grande indica que es un cambio muy

violento; adems, puesto que B es un vector con direccin,

B/t tambin lo es: tiene la direccin de cambio del campomagntico.


62/138


Por ejemplo, supongamos que el campo magntico va ha-cia la derecha y vale siempre lo mismo: entonces, B/t = 0.Si va hacia la derecha y cada vez se hace ms grande, estcambiando hacia la derecha, luego B/tir hacia la derecha

y ser tanto mayor cuanto ms violento es el crecimiento,mientras que si el campo va hacia la derecha pero se hacems pequeo, estar cambiando hacia la izquierda, luegoB/t ir hacia la izquierda y ser tanto mayor cuanto ms

violento sea el decrecimiento.

De manera que la parte derecha de la ley de Faraday, B/t,es la rapidez de cambio en el campo magntico, pero va justoen contra de ese cambio, de ah el signo menos delante. Porlo tanto, si te fijas en la ecuacin en su conjunto vers quedice algo as, olvidando por un momento las direcciones de

los vectores y expresado de manera tan terrible que algunorechinar los dientes, pero yo me quedo tan ancho: la tur-

bulencia en el campo elctrico en un punto determinadodepende de lo violento de la variacin del campo magn-tico en ese punto.

Observa los conceptos mezclados a izquierda y derecha: porun lado, el campo elctrico y por el otro, el campo magntico.Interdependencia entre ambos! Por un lado, la geometra deun campo el rotacional, por otro lado, el cambio temporalde un campo la derivada respecto al tiempo. La geometradel campo elctrico depende del cambio del campo magnticoen el tiempo.

Pero vayamos un poco ms all, fijndonos ahora en la di-

reccin de las cosas y no slo en su magnitud. Como ves enla ecuacin, la direccin del rotacional del campo elctrico es

justo la contraria (por el signo menos) de la direccin en la


63/138

Ley de Faraday 59

que cambia el campo magntico. Para imaginar toda la esce-na basta hacer lo siguiente: ver hacia dnde cambia el campomagntico e imaginar un tornillo justo en sentido contrario.El tornillo gira como lo hara una pelota colocada en ese pun-to como siempre, si el campo elctrico fuera agua fluyendo:

Observa que aqu ya no puedo dibujar el flujo de aguaalrededor de la pelota, porque no lo conocemos. Antes nos

inventamos el flujo de agua: conocido el flujo de agua, dedu-jimos la direccin de rotacin de la pelota, porque slo puedeser de una manera. Pero ahora estamos haciendo lo contrario

conocemos el giro de la pelota.Podemos conocer el flujo deagua?La respuesta es que no exactamente, porque muchosposibles flujos de agua haran girar nuestra pelota exac-tamente de esta manera. Por eso las ecuaciones de Maxwell

son varias: la estructura exacta del campo elctrico dependede otras ecuaciones, no slo sta, que nos indica una de lascaractersticas de la geometra del campo, pero no nos da lainformacin completa (o slo hara falta una ecuacin, claro).


64/138


Eso s, hay algo que s sabemos seguro en el dibujo de arri-ba: sea como sea el flujo de agua que hace girar la pelota,dado que la pelota gira (es decir, dado que el rotacional noes cero),tiene que haber agua movindose contra la pelota. Nosabemos exactamente cmo se mueve, pero s que se mueve,

y que lo hace de un modo que hace girar la pelota. Esto puedeparecer una obviedad, pero tiene consecuencias important-simas que veremos en un momento.

La razn de la importancia del prrafo anterior es que hayalgo escondido aqu que es ms profundo de lo que parece.Imagina que, en un sitio determinado, en el vaco, en ausen-cia de cargas elctricas, de modo que no hay campo elctricode ningn tipo, llevamos un imn. Y, como quien no quiere lacosa, movemos ese imn de un lado a otro con la mano. La

ecuacin de Faraday-Maxwell nos dice que, ya que est cam-biando el campo magntico (pues al mover el imn el campoaumenta en unos lugares y disminuye en otros), debe haberturbulencias en el campo elctrico: una mini-pelota sensibleal campo como si fuera agua debera ponerse a girar. Hastaaqu, todo normal, verdad?

De modo que movemos el imn de un lado a otro, cambia elcampo magntico, surge la turbulencia en el campo elctrico

y nuestra pelota imaginaria se pone a girar en el sentido quedebe de acuerdo con la ecuacin, a causa del campo elctrico.Pero, un momento...

Qu campo elctrico?

No haba ninguno! saes la profundidad de la que estoyhablando. La ecuacin no exige en ningn momento que ha-

ya un campo elctrico preexistente para que se cumpla: la


65/138

Ley de Faraday 61

ecuacin representa un principio fsico universal. El campomagntico variable en el tiempo es capaz de producir uncampo elctrico de la nadatal que su rotacional tenga sen-tido contrario al del cambio del campo magntico. Es como sihacer algo en un lugar determinado causara, de manera ga-rantizada, una turbulencia en el agua... incluso cuando estsen un sitio en el que no hay agua, en cuyo caso aparece aguaturbulenta.

Cmo es posible esto tan absurdo?, puedes estar pensan-do. Cmo sale ese campo elctrico de la nada? Tengo doscosas que decir al respecto, una corta y objetiva y otra larga

y ms subjetiva. La concreta es bien simple: que aparezca uncampo elctrico no es porque la ecuacin de Faraday-Maxwellsea un conjuro mgico, es al revs: el campo surge de este

modo, y lo hemos comprobado infinidad de veces de maneraexperimental.La ecuacin no es ms que la expresin for-mal de ese hecho emprico. Si te parece raro es simplementeque el Universo es raro, no es culpa de Michael ni de James.

Lo ms largo que tengo que decir es bastante poco riguro-so y ms bien potico, pero tal vez te ayude a aceptar mejorque aparezca un campo elctrico de la nada. Los siguientesdos prrafos no llegan siquiera a analoga, y negar haberlosescrito con ayuda de mi abogado si hace falta.

Puedes imaginar el vaco, no como nada, sino como unaespecie de ocano perfectamente transparente en absolutacalma algo parecido al ter de los antiguos. Cuando esten esta calma absoluta, es imposible notar su presencia. Sin

embargo, ese ocano puede oscilar con olas que s podemosnotar; existen dos tipos de olas: las que suben y bajan, y lasque van a izquierda y derecha (poco importan las direccio-


66/138


nes). A las oscilaciones arriba y abajo las llamamos campoelctrico, y a las oscilaciones a izquierda y derecha, campomagntico.

Ni un campo ni otro son cosas, ni aparecen de la nada:son la expresin de la oscilacin de ese ocano invisible quees el vaco y la manera en la que podemos notar su presencia.

Al perturbarlo con un campo magntico variable, podemos

crear en l una turbulencia que se convierte en un campoelctrico y, como veremos ms adelante, tambin al revs.No aparece algo nuevo: lo que ya exista se mueve de unamanera diferente.

Dejando aparte estas disquisiciones tericas, volvamos denuevo a lo prctico.Cmo reconciliar esta forma tan abstrac-

ta de expresar el principio fsico con el experimento original deFaraday? Parece ms difcil de lo que es en realidad. Paraempezar, cuando el circuito original est apagado o encendi-do, el anillo de hierro est imantado con un campo magnticoconstante. Nada cambia en el campo magntico luego, tantoen un caso como en otro apagado o encendido, B/t = 0,luego E = 0. No hay turbulencia en el campo elctrico.

Pero, cuando se enciende el circuito de la izquierda y seimanta el trozo de hierro, durante el cortsimo proceso deimantacin en el que se pasa de ausencia de campo mag-ntico a presencia de campo magntico, B/tno es nulo. Porlo tanto, aparece un E que tampoco es nulo (y que va

justo en contra del anterior). S, antes no haba campo elc-trico, pero ahora s lo hay, a consecuencia de la variacin en

el tiempo del campo magntico.

Como consecuencia de la existencia de ese campo elctrico,


67/138

Ley de Faraday 63

las cargas elctricas del segundo circuito (los electrones) em-piezan a moverse por el cable: se genera una corriente elctri-ca. Pero claro, una vez que el trozo de hierro ya se ha imanta-do completamente, el campo magntico ya no vara, desapa-rece su efecto sobre el campo elctrico y ste deja de existir.Las cargas se paran, y permanecen paradas mientras nadams cambie.

Al apagar el primer circuito, pasa lo mismo pero al revs:el campo magntico desciende hasta anularse y, mientras lohace, aparece un rotacional del campo elctrico justo en con-tra del anterior, y esto hace que los electrones del cable semuevan justo al revs que antes. Una vez el trozo de hierro

ya no es un imn, ya que B/tes otra vez cero, deja de habermovimiento en el cable por la ausencia de campo elctrico.

Aunque no es el objetivo de este captulo que ya es de-masiado largo explorar las consecuencias prcticas de esteprincipio fsico, no es difcil imaginar su utilidad: para gene-rar una corriente elctrica no hace falta ms que un cable,sin pila ni nada parecido, y un imn; al mover el imn cer-ca del cable, B/t produce un E y las cargas del cablese mueven: hemos producido una corriente elctrica simple-mente moviendo el imn!El problema, claro, es que en cuantodejamos de mover el imn desaparece el efecto.

La solucin es moverlo todo el rato: por ejemplo, uniendolos imanes a una rueda y haciendo que la rueda gire constan-temente. El propio Faraday ya pens en esto (as de inteligen-te era), y hoy en da empleamos este principio para producir

prcticamente toda la corriente elctrica que utilizamos. Ladiferencia entre unos sistemas y otros de generacin de co-rriente suele estar en cmo conseguimos que gire la rueda


68/138


(con agua, vapor muy caliente, viento, etc.).

El caso es que, dicho todo esto, podemos volver a mirar a laecuacin de Maxwell-Faraday y, espero, lanzar una pequeasonrisa de afecto hacia ella, una vez sus misterios han dejadode serlo:

E = Bt

Existe, por cierto, una versin alternativa que considera laposible existencia decarga magntica, como mencionamos enel captulo anterior, pero esa carga magntica aparece de un

modo que explicaremos en el siguiente captulo, de maneraque hablaremos de la versin modificada entonces.


69/138

5. Ley de

Ampre-Maxwell

Antes de zambullirnos en la cuarta de las ecuaciones, unbreve recordatorio muy rpido de lo que las tres que ya co-nocemos nos dicen sobre el electromagnetismo, aunque sea

simplemente para que disfrutes de lo que sabes:

E = /0; Las lneas de campo elctrico nacen en lascargas positivas y mueren en las negativas.

B = 0; Las lneas de campo magntico no tienen principioni fin, son siempre cerradas.

E =

B/t; Un campo magntico variable en el tiempo

produce un campo elctrico incluso en ausencia de cargas,y el campo elctrico producido es perpendicular a la varia-cin del campo magntico.

La ecuacin de este captulo es, matemticamente, la mscompleja y larga de las cuatro, pero no te preocupes! Tene-mos una ventaja enorme: ya no eres el mismo que antes de

empezar con la primera ecuacin. A estas alturas, tras ver lasotras tres, ya ests curtido, y creo que tal vez la ms difcil delas cuatro a priori se convierta en una de las ms sencillas;

veremos. En cualquier caso, desentraemos los secretos de la


70/138


ley de Ampre-Maxwell, a veces llamada simplementeley deAmpre(en un momento veremos por qu prefiero el nombrems largo).

Como siempre, antes de entrar en detalles, aqu tienes laecuacin en cuestin en todo su esplendor intimidatorio:

B = 0J + 00Et

Tampoco es tan terrible, verdad? Hay algn smbolo queno ha aparecido hasta ahora, pero casi todos son ya viejos

conocidos. Como puedes ver, a la derecha del igual hay unasuma de dos trminos, que es la razn del peculiar nombrede esta ley: el primer trmino fue propuesto por Ampre y elsegundo por el propio Maxwell.

Sin embargo, el primer hroe en esta historia no es ni eluno ni el otro, sino Hans Christian rsted. Como dijimosen la introduccin histrica, en 1820 este dans realiz unexperimento crucial en el estudio del electromagnetismo: alconectar un circuito con una pila y un cable, observ que al-rededor del cable apareca un campo magnticoque podahacer girar una aguja imantada como la de una brjula. Nose trat de un descubrimiento accidental, por cierto: rsted

ya sospechaba que exista una conexin entre los fenmenoselctricos y magnticos, y la llevaba buscando ya tiempo.

Aunque el propio rsted no fue capaz de obtener una ecua-cin matemtica que describiese el campo magntico genera-


71/138

Ley de Ampre-Maxwell 67

do por una corriente elctrica, s pudo describir lo que sucedade manera general tras una batera de experimentos, y todaslas propiedades del campo magntico eran bastante intuitivasexcepto una:

El campo magntico eratanto ms intenso cuanto mayor erala intensidad de la corriente elctrica (una proporcionalidaddirecta a la intensidad).

El campo magntico eratanto ms intenso cuanto ms cer-ca del cable era medido (una proporcionalidad inversa a ladistancia).

El campo magntico nunca se diriga hacia el cable, sinoqueera exactamente perpendicular a len todos los puntos,como si rodease el cable.

Las dos primeras caractersticas, como digo, parecen ra-zonables. La tercera es algo ms extraa; el campo elctriconace y muere en sus fuentes, las cargas elctricas, pero enlos experimentos de rsted el campo magntico no haca lomismo. El dans esperaba que las lneas del campo magnti-co se dirigieran alejndose del cable o acercndose hacia l,pero no que hicieran algo como esto, que es lo que se observa

al esparcir limaduras de hierro alrededor de un cable reco-rrido por una corriente elctrica (y que seguro que has vistoalguna vez):


72/138


Limaduras de hierro orientadas alrededor de un cable (A, dirigidoperpendicularmente al papel). Popular Science Monthly, 1895.

Era como si el cable fuera el centro de un remolino, el ori-gen de una especie de turbulencia en el campo magntico. Tesuena esto? S, naturalmente que s el bueno de rsted,aunque no lo expresase en estos trminos, estaba esperandoque la corriente elctrica originase unadivergenciadel campo

magntico, pero lo que estaba sucediendo es que la corrienteelctrica produca un rotacional dirigido en el sentido de lapropia corriente.

Cuando los resultados de rsted llegaron a Francia des-pertaron un enorme inters en Andr-Marie Ampre. En unasemana, el francs public ya una descripcin ms rigurosa

y detallada de lo que haba sucedido en esos experimentos,e incluso explic fenmenos adicionales, como el hecho deque dos cables recorridos por sendas corrientes elctricas po-dran repelerse o atraerse dependiendo de los sentidos de las


73/138

Ley de Ampre-Maxwell 69

corrientes.

En los aos siguientes, Ampre se dedic al estudio de loque por entonces se denominabaelectrodinmicay hoyelec-tromagnetismo. En 1826 public una ley matemtica que ex-plicaba la experiencia de rsted y muchas otras:una ley ma-temtica que postulaba las corrientes elctricas como lasfuentes del campo magntico. Aunque esa ley tena una

forma ligeramente diferente a la que utilizamos aqu, es equi-valente a ella. Podramos escribir esta ley de Ampre as:

B =0J

Si la comparas con la versin moderna del principio delcaptulo, vers que falta el segundo trmino, del que habla-remos luego pues fue introducido por James Clerk Maxwell yno exista en la original. Examinemos esta versin del buen

Andr-Marie paso a paso, como hemos hecho antes.

Como puedes ver, el miembro de la izquierda, B, no es

ms que el rotacional del campo magntico. Al igual que la leyde Gauss para el campo magntico era la contrapartida paraese campo de la ley de Gauss para el campo elctrico, la leyde Ampre es la contrapartida para el campo magntico de laley de Faraday para el elctrico como dijimos en captulosanteriores, las cuatro ecuaciones van a pares.

Por tanto, esta ecuacin nos informa sobre el rotacional delcampo magntico, es decir, sobre el modo en el que las lneasde campo giran alrededor de cada punto del espacio, del


74/138


mismo modo que la ley de Faraday haca lo propio con elcampo elctrico. Esta vez el miembro de la derecha no es nulo,como suceda en el caso de B, con lo que en este captulono hablaremos de cmo no se comportael campo magntico.En esta ocasinshablaremos de sus fuentes primarias.

El miembro de la derecha es bien simple, 0J. La letra griegamucon el subndice 0, 0, apareci de pasada en un captulo

anterior, y es parecida a 0 la constante elctrica o permi-tividad elctrica del vaco; en e

Documents

Ecuaciones Maxwell (1)