1 Media y Desviación Estandar - Coeficiente Variación -Valores Estandarización

8/18/2019 1 Media y Desviación Estandar - Coeficiente Variación -Valores Estandarización

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MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR - COEFICIENTE DE VARIACIÓN

-VALORES DE ESTANDARIZACIÓN -REGLA DE SHEBYSHER

María De Los Ángeles González Lozada

Araure, 27 Marzo 2!"

!


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INTRODUCCIÓN

E# $oe%&$&e'(e )e $ur(o*&* +&)e $ua' u'(&a.u)a e* u'a )&*(r&/u$&0' re*e$(o

)e u' e*(1')ar E*(e e*(1')ar e* u'a %or+a a$a+a'a)a )e'o+&'a)a 'or+a#, 3$orre*o')e a u'a $ur4a )e .ra' &+or(a'$&a e' e*(a)5*(&$a La* +e)&)a* )e $ur(o*&*

6(a+/&' ##a+a)a* )e au'(a+&e'(o o )e $o'$e'(ra$&0' $e'(ra#8 (ra(a' )e e*(u)&ar #a

+a3or o +e'or $o'$e'(ra$&0' )e %re$ue'$&a* a#re)e)or )e #a +e)&a 3 e' #a zo'a

$e'(ra# )e #a )&*(r&/u$&0'

M&e'(ra* 9ue #a* +e)&)a* )e $ur(o*&* +&)e' #a +a3or o +e'or $o'$e'(ra$&0' )e

)a(o* a#re)e)or )e #a +e)&a Se *ue#e +e)&r $o' e# $oe%&$&e'(e )e $ur(o*&*:

!- S& e*(e $oe%&$&e'(e e* 'u#o, #a )&*(r&/u$&0' *e )&$e 'or+a# 6*&+ar a #a)&*(r&/u$&0' 'or+a# )e Gau**8 3 re$&/e e# 'o+/re )e +e*o$;r(&$a

2- S& e# $oe%&$&e'(e e* o*&(&4o, #a )&*(r&/u$&0' *e ##a+a #e(o$;r(&$a, +1*

u'(&a.u)a 9ue #a a'(er&or Ha3 u'a +a3or $o'$e'(ra$&0' )e #o* )a(o* e' (or'o a #a

+e)&a


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MEDIA ESTANDAR

A# re$o#e$(ar @ )a(o* $o' u'a )&*(r&/u$&0' 'or+a#, *e o/(u4o u'a +e)&a )e >

27 3 u'a )e*4&a$&0' e*(1')ar * 2

So#u$&0': E' e*(e $a*o e# e'u'$&a)o roor$&o'a #o* 4a#ore* )e #a +e)&a 3 )e #a

)e*4&a$&0' e*(1')ar, or #o 9ue #o* &'$&*o* a8 3 /8 )e# ro$e*o 9ue)a' *&' e%e$(o

E'(o'$e*, $o'(&'ua')o $o' e# &'$&*o $8, =a3 9ue $o'4er(&r a )a(o z e# 4a#or 'o+&'a# >

2, $o' #a %0r+u#a:

.- Un laboratorio envasa un medicamento con un eso romedio de !"# $ramos %

una desviaci&n est'ndar de ( $ramos. )*abr' al$una osibilidad de +ue uno de

los ,rascos ese menos de ! $ramos

E*(a e* u'a rue/a ara+(r&$a *o/re #a +e)&a, 3a 9ue )e #o 9ue *e (ra(a e* )e

4er&%&$ar *& =a (e'&)o 4ar&a$&0' #a ro)u$$&0' ro+e)&o )e +e)&$a+e'(o $o' u' e*o ro+e)&o )e !


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.-Comlete el si$uiente cuadro sabiendo +ue /0N1!234 1le'se / normalmente

distribuida con media i$ual a ! % varian5a 6 34.

Z

!2 !,"! -,"<

Z!2 !,7" !," !,"! -,"<

.-De la si$uiente re$i&n determinar los valores de 78!2 78(2 8!2 8"2 A! % A(.

To)a )&*(r&/u$&0' 'or+a# $o' +e)&a 3 )e*4&a$&0' (5&$a (&e'e #a $ara$(er5*(&$a )e

(e'er e# 1rea /a?o #a $ur4a )e *u %u'$&0' )e )e'*&)a), )&*(r&/u&)a )e #a *&.u&e'(e

%or+a:


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! 6 J K K 8 "@27 )e# 1rea /a?o #a $ur4a 'or+a#

2 6 J2 K K 28 )e# 1rea /a?o #a $ur4a 'or+a#

a-'o (e'.a )e%e$(o*

/-(e'.a *0#o #o* $au$=o* +a#o*

$-(e'.a a#.u'o )e #o* )o* )e%e$(o*

)-'o (e'.a #a* #u$e* +a#a*

E# e*a$&o +ue*(ra# e' e*(e e>er&+e'(o e*: S M, L, 2, a+&'ar e# e4e'(o *0#o *e rea#&za $ua')o #a* ##a'(a* 'o (&e'e' )e%e$(o

E' e*(e ;#(&+o e?e+#o *e (&e'e u' e4e'(o *&+#e or9ue $o'*(a )e u' *o#o u'(o )e#

e*a$&o +ue*(ra# Ser1 $o+ue*(o $ua')o (&e'e 4ar&o* u'(o* )e# e*a$&o +ue*(ra# Se


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##a+a e4e'(o &+o*&/#e a# 9ue 'o ue)e o$urr&r *(e e4e'(o $orre*o')e a# $o'?u'(o

4a$5o O(ro e4e'(o e>(re+o e* e# e*a$&o +ue*(ra# +&*+o 9ue, ue*(o 9ue *&e+re

o$urre, *e ##a+a e4e'(o *e.uro

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 121 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 9

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 1

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 1

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 1

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LEGO:

!# tienen los cauc


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E# $oe%&$&e'(e )e 4ar&a$&0' e* #a re#a$&0' e'(re #a )e*4&a$&0' (5&$a )e u'a

+ue*(ra 3 *u +e)&a

E# $oe%&$&e'(e )e 4ar&a$&0' *e *ue#e e>re*ar e' or$e'(a?e*:

E# $oe%&$&e'(e )e 4ar&a$&0' er+&(e $o+arar #a* )&*er*&o'e* )e )o*

)&*(r&/u$&o'e* )&*(&'(a*, *&e+re 9ue *u* +e)&a* *ea' o*&(&4a*

Se $a#$u#a ara $a)a u'a )e #a* )&*(r&/u$&o'e* 3 #o* 4a#ore* 9ue *e o/(&e'e' *e

$o+ara' e'(re *5 La +a3or )&*er*&0' $orre*o')er1 a# 4a#or )e# $oe%&$&e'(e )e

4ar&a$&0' +a3or

E?er$&$&o: 'a )&*(r&/u$&0' (&e'e > ! 3 2@2@ 3 o(ra > ! 3 2

WCu1# )e #a* )o* re*e'(a +a3or )&*er*&0'X

La r&+era )&*(r&/u$&0' re*e'(a +a3or )&*er*&0'

9A@ORES DE ESTANDARI8ACIÓN

or #o )&$=o e' e# 1rra%o a'(er&or, #o* )a(o* er(e'e$&e'(e* a u'a

)&*(r&/u$&0' 'or+a# *e ue)e' e*(a')ar&zar o 'or+a#&zar, #o $ua# *e $o'*&.ue

u(&za')o #a %0r+u#a e' )o')e:

z )a(o e*(a')ar&za)o o 'or+a#&za)o

> 4a#or 'o+&'a# )e# )a(o a e*(a')ar&zar

> +e)&a ar&(+(&$a )e# $o'?u'(o )e )a(o*

* )e*4&a$&0' e*(1')ar

7


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E?e+#o !: Co'4er(&r $a)a u'o )e #o* )a(o* 'o+&'a#e* )e #a *&.u&e'(e (a/#a a

)a(o* e*(a')ar&za)o*

So#u$&0': ara (ra'*%or+ar u' )a(o 'o+&'a# e' )a(o e*(1')ar, (a+/&' ##a+a)o

)a(o z, *e re9u&ere $a#$u#ar #a +e)&a )e (o)o e# $o'?u'(o ara e*(e $a*o 3a *e )a or=e$=o 9ue *e *a/e $a#$u#ar #a +e)&a 3 #a )e*4&a$&0' e*(1')ar, or #o 9ue *e o+&(e' *u*

$1#$u#o* La +e)&a e* 3 #a )e*4&a$&0' > !2 e*(1')ar e* * 2 2

Se (&e'e' 3a (o)o* #o* )a(o* ara u(&zar #a %0r+u#a )e# )a(o z:

RE@A DE C*EBS*E9

E* u' re*u#(a)o e*(a)5*(&$o 9ue o%re$e u'a $o(a &'%er&or a #a ro/a/&)a) )e 9ue

e# 4a#or )e u'a 4ar&a/#e a#ea(or&a $o' 4ar&a'za %&'&(a e*( a u'a $&er(a )&*(a'$&a )e *u

e*era'za +a(e+1(&$a o )e *u +e)&a e9u&4a#e'(e+e'(e, e# (eore+a roor$&o'a u'a

$o(a *uer&or a #a ro/a/&)a) )e 9ue #o* 4a#ore* $a&.a' %uera )e e*a )&*(a'$&a

re*e$(o )e #a +e)&a Teore+a: Sea u'a 4ar&a/#e a#ea(or&a )e +e)&a 3 4ar&a'za

%&'&(a * E'(o'$e*, ara (o)o ';+ero rea# [ \ ,

S0#o #o* $a*o* $o' [ \ ! roor$&o'a' &'%or+a$&0' ;(

ara u*(rar e*(e re*u#(a)o, *uo'.a+o* 9ue #o* ar(5$u#o* )e ]&[&e)&a (&e'e' u'a

e>(e'*&0' +e)&a )e ! $ara$(ere* 3 u'a )e*4&a$&0' (5&$a )e 2 $ara$(ere* De #a

)e*&.ua#)a) )e C=e/3*=e4 *e )e)u$e 9ue a# +e'o* e# 7 )e #o* ar(5$u#o* (e')r1'

u'a e>(e'*&0' $o+re')&)a e'(re " 3 ! $ara$(ere* 6[ 28

O(ra $o'*e$ue'$&a )e# (eore+a e* 9ue ara $a)a )&*(r&/u$&0' )e +e)&a µ 3 )e*4&a$&0'

(5&$a %&'&(a s, a# +e'o* #a +&(a) )e #o* 4a#ore* $aer1' e' e#

&'(er4a#o

@


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La* $o(a* roor$&o'a)a* or #a )e*&.ua#)a) )e C=e/3*=e4, e' .e'era#, 'o *e

ue)e' +e?orar e* o*&/#e $o'*(ru&r u'a 4ar&a/#e a#ea(or&a $u3a* $o(a* )e C=e/3*=e4

*ea' e>a$(a+e'(e &.ua#e* a #a* ro/a/&)a)e* rea#e* S&' e+/ar.o, e' .e'era# e#

(eore+a roor$&o'ar1 $o(a* o$o re$&*a*E# (eore+a ue)e *er ;( a e*ar )e #a* $o(a* &+re$&*a* or9ue *e a#&$a a u'a

a+#&a .a+a )e 4ar&a/#e* 9ue &'$#u3e #a* 9ue e*(1' +u3 a#e?a)a* )e #a )&*(r&/u$&0'

'or+a#, 3 or9ue #a* $o(a* *o' %1$e* )e $a#$u#ar E# (eore+a *e e+#ea ara

)e+o*(rar #a #e3 )/ )e #o* ';+ero* .ra')e*

E# (eore+a re$&/e *u 'o+/re )e# +a(e+1(&$o a%'u(3 C=e/3*=e4

S& u'a )&*(r&/u$&0' e* *&+(r&$a $o' %or+a )e $a+a'a, r1$(&$a+e'(e (o)a* #a*

o/*er4a$&o'e* *e e'$ue'(ra' e'(re #a +e)&a +1* o +e'o* (re* )e*4&a$&o'e*e*(1')are*

La roor$&0' )e $ua#9u&er $o'?u'(o )e o/*er4a$&o'e* 9ue $ae' )e'(ro )e

)e*4&a$&o'e* (5&$a*, +e)&)a* a ar(&r +e)&)a* a ar(&r )e #a +e)&a e* a# +e'o*

, e*(o e* 9ue e*(' e' 3

Do')e e* $ua#9u&er 'u+ero +a3or !

E?e+#o

De# e?e+#o:

A# +e'o* 9ue or$e'(a?e )e o/*er4a$&o'e* $aer1 )e'(ro )e < )e*4&a$&o'e*

(5&$a* a ar(&r )e #a +e)&o So#u$&o'e*:

http://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtml


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So#

Ó @@

Ó 7

Ó


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Media> 6+e)&a ar&(+(&$a o *&+#e+e'(e +e)&a8 e* e# ro+e)&o ar&(+(&$o )e #a*

o/*er4a$&o'e*, e* )e$&r, e# $o$&e'(e e'(re #a *u+a )e (o)o* #o* )a(o* 3 e# 'u+ero )e

e##o* S& >& e* e# 4a#or )e #a 4ar&a/#e 3 '& *u %re$ue'$&a, (e'e+o* 9ue:

S& #o* )a(o* e*(1' a.rua)o* u(&za+o* #a* +ar$a* )e $#a*e, e* )e$&r $ & e' 4ez )e

>&

Mediana 6Me8:e* e# 4a#or 9ue *eara or #a +&(a) #a* o/*er4a$&o'e* or)e'a)a*

)e +e'or a +a3or, )e (a# %or+a 9ue e# )e e*(a* *o' +e'ore* 9ue #a +e)&a'a 3 e#

o(ro *o' +a3ore* S& e# ';+ero )e )a(o* e* &+ar #a +e)&a'a *er1 e# 4a#or

$e'(ra#, *& e* ar (o+are+o* $o+o +e)&a'a #a +e)&a ar&(+(&$a )e #o* )o* 4a#ore*$e'(ra#e*

Moda 6M8: e* e# 4a#or )e #a 4ar&a/#e 9ue +1* 4e$e* *e re&(e, e* )e$&r, a9ue##a

$u3a %re$ue'$&a a/*o#u(a e* +a3or No (&e'e or 9u *er ;'&$a

!!


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COE?ICIENTE DE SESO

Coe,iciente de ses$o

Se ##a+a *e*.o )e u' e*(&+a)or a #a )&%ere'$&a e'(re *u e*era'za +a(e+1(&$a 3e# 4a#or )e# ar1+e(ro 9ue e*(&+a ' e*(&+a)or $u3o *e*.o e* 'u#o *e ##a+a

&'*e*.a)o o $e'(ra)o

Coe%&$&e'(e )e A*&+e(r5a

S& A* \ E* *e*.o =a$&a #a )ere$=a o o*&(&4o

S& A* K E* *e*.o =a$&a #a &z9u&er)a o 'e.a(&4o

S& A* 'o =a3 *e*.o E* u'a )&*(r&/u$&0' *&+(r&$aCoe%&$&e'(e )e ear*o'

So' #o* +&*+o* $r&(er&o* 9ue e# $oe%&$&e'(e )e a*&+e(r5a

Asimetra % ses$o

E# 'o (e'er *e*.o e* u'a ro&e)a) )e*ea/#e )e #o* e*(&+a)ore* 'a ro&e)a)

re#a$&o'a)a $o' *(a e* #a )e #a $o'*&*(e'$&a: u' e*(&+a)or ue)e (e'er u' *e*.o ero

e# (a+a^o )e *(e $o'4er.er a $ero $o'%or+e $re$e e# (a+a^o +ue*(ra#

Da)a #a &+or(a'$&a )e #a %a#(a )e *e*.o, e' o$a*&o'e*, e' #u.ar )e e*(&+a)ore*

'a(ura#e* *e u(&za' o(ro* $orre.&)o* ara e#&+&'ar e# *e*.o A*5 o$urre, or e?e+#o,

$o' #a 4ar&a'za +ue*(ra#

Co' %re$ue'$&a u'a )&*(r&/u$&0' 'o e* *&+(r&$a a#re)e)or )e '&'.;' 4a#or, ero

e' #u.ar )e e##o *e (&e'e 9ue #o* )a(o* e*(1' +1* a.#o+era)o* o )&*(r&/u&)o* =a$&a #o*

e>(re+o* S& =a3 o$o* )a(o* )&*(r&/u&)o* =a$&a e# e>(re+o )ere$=o *e )&$e 9ue #a

)&*(r&/u$&0' e* *e*.a)a a #a )ere$=a, +&e'(ra* 9ue *& =a3 o$o* )a(o* )&*(r&/u&)o*

=a$&a #a &z9u&er)a, *e )&$e 9ue #a )&*(r&/u$&0' e* *e*.a)a =a$&a #a &z9u&er)a La*+e)&)a* 9ue )e*$r&/e' e*(a a*&+e(r5a *e )e'o+&'a' $oe%&$&e'(e )e *e*.o, o

*&+#e+e'(e *e*.o 'a )e )&$=a* +e)&)a* e*

Do')e

!2


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e* u' 4a#or )e #a 4ar&a/#e )e e*(u)&o

e* e# 4a#or )e #a +e)&a o/#a$&o'a# )e #a 4ar&a/#e )e e*(u)&o

e* e# (o(a# )e )a(o* e' #a o/#a$&o'a#

La +e)&)a *er1 o*&(&4a o 'e.a(&4a *& #a )&*(r&/u$&0' e* *e*.a)a a #a )ere$=a

o a #a &z9u&er)a, re*e$(&4a+e'(e ara u'a )&*(r&/u$&0' *&+(r&$a,

COE?ICIENTE DE CURTOSIS

Coe,iciente de curtosis

E' (eor5a )e #a ro/a/&)a) 3 e*(a)5*(&$a, #a $ur(o*&* e* u'a +e)&)a )e #a %or+a

o au'(a+&e'(o )e #a* )&*(r&/u$&o'e*

E# Coe%&$&e'(e )e Cur(o*&* a'a#&za e# .ra)o )e $o'$e'(ra$&0' 9ue re*e'(a' #o*

4a#ore* a#re)e)or )e #a zo'a $e'(ra# )e #a )&*(r&/u$&0'

Se )e%&'e' < (&o* )e )&*(r&/u$&o'e* *e.;' *u .ra)o )e $ur(o*&*:

D&*(r&/u$&0' +e*o$;r(&$a: re*e'(a u' .ra)o )e $o'$e'(ra$&0' +e)&o a#re)e)or

)e #o* 4a#ore* $e'(ra#e* )e #a 4ar&a/#e 6e# +&*+o 9ue re*e'(a u'a )&*(r&/u$&0'

'or+a#8D&*(r&/u$&0' #e(o$;r(&$a: re*e'(a u' e#e4a)o .ra)o )e $o'$e'(ra$&0' a#re)e)or

)e #o* 4a#ore* $e'(ra#e* )e #a 4ar&a/#e

D&*(r&/u$&0' #a(&$;r(&$a: re*e'(a u' re)u$&)o .ra)o )e $o'$e'(ra$&0'

a#re)e)or )e #o* 4a#ore* $e'(ra#e* )e #a 4ar&a/#e

E# Coe,iciente de Curtosis 4&e'e )e%&'&)o or #a *&.u&e'(e %0r+u#a:

!


14/30

Lo* re*u#(a)o* ue)e' *er #o* *&.u&e'(e*:$( 6 6distribuci&n mesocFrtica4$( G 1distribuci&n letocFrtica8$( H 1distribuci&n laticFrtica4

E:emlo: Va+o* a $a#$u#ar e# Coe%&e'(e )e Cur(o*&* )e #a *er&e )e )a(o*re%er&)o* a #a e*(a(ura )e u' .ruo )e a#u+'o* 6#e$$&0' 2_8:

9ariable ?recuencias absolutas ?recuencias relativas

19alor4 Simle Acumulada Simle Acumulada

> > > > >!,2 ! !


15/30

'a )e #a* $ara$(er5*(&$a* )e u' e>er&+e'(o a#ea(or&o e* 9ue 'o *e *a/e 9u

re*u#(a)o ar(&$u#ar *e o/(e')r1 a# rea#&zar#o E* )e$&r, *& A e* u' *u$e*o a*o$&a)o $o'

u' e>er&+e'(o a#ea(or&o, 'o o)e+o* &')&$ar $o' $er(eza *& A o$urr&r1 o 'o e' u'a

rue/a e' ar(&$u#ar or #o (a'(o, ue)e *er &+or(a'(e (ra(ar )e a*o$&ar u' ';+ero a#*u$e*o A 9ue +&)a #a ro/a/&)a) )e 9ue e# *u$e*o o$urra E*(e ';+ero e* e# 9ue

##a+are+o* 6A8

ROBABI@IDAD C@SICA

robabilidad Cl'sica o a rioriS& u' *u$e*o ue)e o$urr&r )e N +a'era* +u(ua+e'(e e>$#u3e'(e* e

&.ua#+e'(e ro/a/#e*, 3 + )e e##a* o*ee' u'a $ara$(er5*(&$a A

E?e+#o !: 6)e 9ue *a#.a' )o* $ara* a# (&rar 2 +o'e)a*8

6)e 9ue *a#.a u'a $ara a# (&rar 2 +o'e)a* 8

E?e+#o 2: 6)e 9ue *a#.a u' 4ar0' a# (o+ar 2 /e/* 3 o/*er4ar *u *e>o8

La ro/a/&)a) +&)e #a +a3or o +e'or o*&/&)a) )e 9ue *e ) u'

)e(er+&'a)o re*u#(a)o 6*u$e*o o e4e'(o8 $ua')o *e rea#&za u' e>er&+e'(o a#ea(or&o

ara $a#$u#ar #a ro/a/&)a) )e u' e4e'(o *e (o+a e' $ue'(a (o)o* #o* $a*o*

o*&/#e* )e o$urre'$&a )e# +&*+o e* )e$&r, )e $u1'(a* %or+a* ue)e o$urr&r

)e(er+&'a)a *&(ua$&0'

!

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm


16/30

Lo* $a*o* %a4ora/#e* )e o$urre'$&a )e u' e4e'(o *er1' #o* 9ue $u+#a' $o' #a

$o')&$&0' 9ue e*(a+o* /u*$a')o

La ro/a/&)a) (o+a 4a#ore* e'(re 3 ! 6o e>re*a)o* e' (a'(o or $&e'(o,

e'(re 3 !8:E# valor cero $orre*o')e a# *u$e*o &+o*&/#e e?e+#o: #a'za+o* u' )a)o a#

a&re 3 #a ro/a/&)a) )e 9ue *a#.a e# ';+ero 7 e* $ero

E# valor uno $orre*o')e a# *u$e*o *e.uro, e?e+#o: #a'za+o* u' )a)o a# a&re

3 #a ro/a/&)a) )e 9ue *a#.a $ua#9u&er ';+ero )e# ! a# " e* &.ua# a u'o 6!8

E# re*(o )e *u$e*o* (e')r1 ro/a/&)a)e* e'(re $ero 3 u'o: 9ue *er1 (a'(o

+a3or $ua'(o +1* ro/a/#e *ea 9ue )&$=o *u$e*o (e'.a #u.ar

MJtodos de medici&n de robabilidad'o )e #o* +(o)o* +1* u(&za)o* e* a#&$a')o #a Re.#a )e La#a$e: )e%&'e #a

ro/a/&)a) )e u' *u$e*o $o+o e# $o$&e'(e e'(re $a*o* %a4ora/#e* 3 $a*o* o*&/#e*

E:emlos>

!4 ro/a/&)a) )e 9ue a# #a'zar u' )a)o *a#.a e# ';+ero 2:or #o (a'(o:

TKCNICAS DE CONTEO

TERMINO@OLA DE CUENTAS OERACIONES ENTRE

CONUNTOS

!"


17/30

E# r&'$&&o %u')a+e'(a# e' e# ro$e*o )e $o'(ar o%re$e u' +(o)o .e'era# ara

$o'(ar e# ';+ero )e o*&/#e* arre.#o* )e o/?e(o* )e'(ro )e u' *o#o $o'?u'(o o e'(re

$ar&o* $o'?u'(o* La* ($'&$a* )e $o'(eo *o' a9ue##a* 9ue *o' u*a)a* ara e'u+erare4e'(o* )&%5$e* )e $ua'(&%&$ar

S& u' e4e'(o A ue)e o$urr&r )e 6'8 +a'era* 3 u'a 4ez 9ue e*(e =a o$urr&)o,

o(ro e4e'(o B ue)e '2+a'era* )&%ere'(e* e'(o'$e*, e# ';+ero (o(a# )e %or+a*

)&%ere'(e* e' 9ue a+/o* e4e'(o* ue)e' o$urr&r e' e# or)e' &')&$a)o, e* &.ua#

a '! > '2 WDe $u1'(a* +a'era* ue)e' rear(&r*e < re+&o* a u' $o'?u'(o )e !

er*o'a*, *uo'&e')o 9ue $a)a er*o'a 'o ue)e o/(e'er +1* )e u' re+&oX

A#&$a')o e# r&'$&&o %u')a+e'(a# )e# $o'(eo, (e'e+o* ! er*o'a* 9ue ue)e' re$&/&r e# r&+er re+&o 'a 4ez 9ue *(e =a *&)o e'(re.a)o, re*(a'

er*o'a* ara re$&/&r e# *e.u')o, 3 o*(er&or+e'(e 9ue)ar1' @ er*o'a* ara e# (er$er

re+&o De a=5 9ue e# ';+ero )e +a'era* )&*(&'(a* )e rear(&r #o* (re* re+&o*

' ! > > @ 72

WCu1'(a* #a$a* )e au(o+04 *e ue)e' =a$er u(&za')o )o* #e(ra* *e.u&)a* )e

(re* $&%ra*X No *e a)+&(e' ree(&$&o'e*

2" > 2 > ! > > @ "@

' u' ';+ero e'(ero o*&(&4o, e# ro)u$(o ' 6'-!8 6'-28< > 2 > ! *e ##a+a

%a$(or&a# )e '

artici&n de un con:unto

E# (o(a# )e %or+a* )&%ere'(e* e' 9ue *e ue)e' rear(&r N e#e+e'(o* e'

*u/$o'?u'(o* $a)a u'o )e (a+a^o N , & !,2,[ *e rere*e'(a

or:

E* e9u&4a#e'(e a (e'er N &')&4&)uo* )e #o* $ua#e* N , & !,2,,[ *o' &.ua#e*

$o'*(&(u3')o*e a*5 [ $#a*e*, or (a'(o e# (o(a# )e or)e'a$&o'e* o*&/#e* N &'$#u3e'

a#.u'a* N-u#a* &.ua#e* #a* $ua#e* *e $orr&.e' $o'o$&e')o #o* N & 9ue $au*a' e*a*

!7


18/30

%or+a* &)'(&$a* or (a'(o e# (o(a# )e or)e'a$&o'e* )&%ere'(e* *e $a#$u#a *e.;' #a

%or+u#a a'(er&or

E:emlo

Se rear(e u' 'a&e )e 2 $ar(a* e'(re $ua(ro er*o'a* )e (a# +a'era 9ue a# r&+ero #e $orre*o')a' #o* a*e*, a# *e.u')o #a* %&.ura*, a# (er$ero #o* ';+ero*

&+are* 3 a# $uar(o #a* )e+1* $ar(a* De $u1'(a* +a'era* *e ue)e #o.rar e*(a

ar(&$&0'X So#u$&0': E' u'a /ara?a )e 09uer =a3 a*e*, e' $a)a u'a )e #a* $ua(ro

&'(a* *e (&e'e' < %&.ura* 3 #a* )e+1* $ar(a* e*(1' 'u+era)a* )e# 2 a# ! or #o (a'(o:

N 2 N N !2 N !" N 2 E# (o(a# )e ar(&$&o'e* e* &.ua# a:

RINCIIOS DE MU@TI@ICACIÓN

S& *e )e*ea rea#&zar u'a a$(&4&)a) 9ue $o'*(a )e r a*o*, e' )o')e e# r&+er a*o

)e #a a$(&4&)a) a rea#&zar ue)e *er ##e4a)o a $a/o )e N! +a'era* o %or+a*, e#

*e.u')o a*o )e N2 +a'era* o %or+a* 3 e# r-*&+o a*o )e N r +a'era* o %or+a*,

e'(o'$e* e*(a a$(&4&)a) ue)e *er ##e4a)a a e%e$(o )e E# r&'$&&o +u#(&#&$a(&4o

&+#&$a 9ue $a)a u'o )e #o* a*o* )e #a a$(&4&)a) )e/e' *er ##e4a)o* a e%e$(o, u'o (ra*

o(ro S& u' e4e'(o E! ue)e *u$e)er )e '! +a'era* )&%ere'(e*, e# e4e'(o E2 ue)e

o$urr&r )e '2 +a'era* )&%ere'(e*, 3 a*5 *u$e*&4a+e'(e =a*(a e# e4e'(o E e# $ua# ue)e

o$urr&r )e ' +a'era* )&%ere'(e*, e'(o'$e* e# (o(a# )e +a'era* )&*(&'(a* e' 9ue ue)e

*u$e)er e# e4e'(o o$urre' E! 3 E2`3 EP e* &.ua# a ro)u$(o

N 1 x N 2 x ..........x N r maneras o formas

E?e+#o:

Se )&*o'e )e < 45a* ara 4&a?ar )e C! a C2 3 )e 45a* ara 4&a?ar )e C2 a C! WDe

$u1'(a* %or+a* *e ue)e or.a'&zar e# 4&a?e )e &)a 3 4ue#(a )e C! a C2Re*ue*(a: 6


19/30

E:ercicios resueltos del rinciio Multilicativo.

!- Ca#$u#ar $u1'(o* ';+ero* e'(ero* )&%ere'(e* )e (re* )5.&(o* *e ue)e' %or+ar

$o' #o* )5.&(o* 2, 2! ';+ero*

2- Ca#$u#ar $u1'(o* ';+ero* e'(ero* )&%ere'(e* )e (re* )5.&(o* *e ue)e' %or+ar $o' #o* )5.&(o* 2,


20/30

Co')o+&'&o Ca#&%or'&a'o

ro4e'za#

+2 '<

2 > 2 !" +a'era* N < > 2 > 2 !2 +a'era*

] ! > 2 > ! 2 +a'era*Lue.o (e'.o 9ue:

M N ] !" !2 2


21/30

Lo* e4e'(o* $o+ue*(o* *e .e'era' a# a#&$ar #a* oera$&o'e* /1*&$a* )e #o*

$o'?u'(o* a #o* e4e'(o* *&+#e* La* u'&o'e*, &'(er*e$$&o'e* 3 $o+#e+e'(o* )e

e4e'(o* *o' )e &'(er* %re$ue'(e La ro/a/&)a) )e u' e4e'(o $o+ue*(o a +e'u)o

ue)e' o/(e'er*e a ar(&r )e #a* ro/a/&)a)e* )e $a)a u'o )e #o* e4e'(o* 9ue #o%or+a' E' o$a*&o'e*, #a* oera$&o'e* /1*&$a* )e #o* $o'?u'(o* (a+/&' *o' ;(e*

ara )e(er+&'ar #a ro/a/&)a) )e u' e4e'(o $o+ue*(o

De e*(a +a'era ara A 3 B e4e'(o* )e# e*a$&o +ue*(ra# S, e'(o'$e*:

De+o*(ra$&0':

Se $o'o$e 9ue

or o(ro #a)o *e (&e'e 9ue E'(o'$e*

MUESTRA DE ORDENADAS CON REETICIÓN

Con reetici&n o con reemla5o.

E' e*(e $a*o *e ue)e a*u+&r 9ue e' $a)a e(aa )e *e#e$$&0' *e 4a a.re.a')o u'

e#e+e'(o 'ue4oP, )e*)e #ue.o a e>$e$&0' )e #a r&+era e(aa, e9u&4a#e e*(o a

au+e'(ar #a o/#a$&0' e' e# ';+ero )e e(aa* )e *e#e$$&0' +e'o* u'a I+#&$a )e$&r

9ue 6'-!8 )e #o* N e#e+e'(o* ue)e' 4o#4er a *e *e#e$$&o'a)o* La $o+/&'a(or&a 9ue

aare$e a $o'(&'ua$&0' er+&(e $o'(ar e# (o(a# )e +ue*(ra*

Muestras Ordenadas

2!


22/30

Sea u' $o'?u'(o )e N e#e+e'(o* )&*(&'.u&/#e*, ##a+a)o o/#a$&0' Cua#9u&er

*u/$o'?u'(o o arre.#o )e ne#e+e'(o* *e )e'o+&'a +ue*(ra La *e#e$$&0' )e #o*

e#e+e'(o* )e #a +ue*(ra ue)e $u+#&r*e )e )o* %or+a*: & S&' ree(&$&0' o *&'

ree+#azo1ermutaciones4

La *e#e$$&0' )e u' e#e+e'(o $orre*o')e a $a)a e(aa )e# e>er&+e'(o, $a)a

4ez 9ue *e e#&?a u' e#e+e'(o 'o *e 4ue#4e a (e'er e' $ue'(a ara #a *&.u&e'(e *e#e$$&0'

3 a#&$a')o e# r&'$&&o )e #a +u#(&#&$a$&0' *e (&e'e 9ue e# (o(a# )e %or+a* )&%ere'(e*

)e o/(e'er #a +ue*(ra

e*: Mue*(ra*

or)e'a)a* *&' ree(&$&0': MOSR && Co' ree(&$&0' o $o' ree+#azo I.ua# a# $a*o

a'(er&or, ero $a)a 4ez 9ue *e rea#&$e u'a *e#e$$&0' *e 4ue#4e a (e'er e' $ue'(a e#

e#e+e'(o e>(ra5)o a'(er&or+e'(e, a*5 9ue e# (o(a# )e %or+a* )&%ere'(e* $o' ree(&$&0'

e*: N N N N

Mue*(ra* or)e'a)a* $o' ree(&$&0' : MOCR

E:emlo

Suo'.a e# $o'?u'(o a, /, $, )U N E# (o(a# )e %or+a* )&%ere'(e* )e

*e#e$$&o'ar ' 2 e#e+e'(o* )e #o* (e'&e')o e' $ue'(a 9ue *e ue)e' )&*(&'.u&r u'o

)e o(ro e*: a MOSR:

/ MOCR: 2 !" 6a, a8, 6/, /8, 6$, $8, 6), )8, AU

Cua'(a* a#(er'a(&4a* *o' o*&/#e* ara o/(e'er u'a $&%ra )e )5.&(o* a S&' 9ue

'&'.u'o )5.&(o *ea ree(&)o Lo* ';+ero* )e# a *o' )&*(&'(o* 3 *e )e*ea' $&%ra* *&'

9ue '&'.;' )&.&(o *e re&(a, #a *o#u$&0' e* a ar(&r )e MOSR, e* )e$&r:

/ No e+&e$e $o' $ero 3 'o *e re&(a '&'.;' )5.&(o

22


23/30

La $&%ra )e/e e+ezar $o' $ua#9u&era )e #o* )5.&(o* )&*(&'(o* )e $ero, $o+o

'o *e ue)e ree(&r u' )5.&(o e'(o'$e* ara e# *e.u')o ';+ero *e $ue'(a $o'

)5.&(o*, or #a a'(er&or raz0' #a* o*&$&o'e* (re* 3 $ua(ro *e ue)e' ##e'ar $o' @ 3 7

)5.&(o*, re*e$(&4a+e'(e A#&$a')o e# r&'$&&o )e #a +u#(&#&$a$&0' *e (&e'e u' (o(a#)e $&%ra* &.ua# a: @7 $

MUESTRA DE ORDENADAS SIN REETICIÓN

S&' ree(&$&0' o *&' ree+#azo 6Co+/&'a(or&a8

E9u&4a#e' a #a* er+u(a$&o'e* e#&+&'a')o #o* ' (r+&'o* or)e'a)o* or #o

(a'(o e# (o(a# )e +ue*(ra* #o )a #a e>re*&0':

E:emlo (.( De a$uer)o a# e?e+#o 22", e# (o(a# )e *u/$o'?u'(o* )e (a+a^o 2

(o+a)o* )e e# $o'?u'(o )e e#e+e'(o* 9ue 'o re9u&ere' *er )&*(&'.u&)o* e*:

E:emlo (.(= De(er+&'ar e# ';+ero )e *u$e*&o'e* /&'ar&a* )e #o'.&(u)


24/30

$ua#9u&era +1* )e u'a 4ez, e'(o'$e* *e (&e'e' +ue*(ra* 'o or)e'a)a* *&' ree(&$&0'

6MNSR8 3 or (a'(o #a re*ue*(a e* re*&0':

For+a* )&%ere'(e*& Mue*(ra* 'o Or)e'a)a* *&' ree(&$&0': MNOSR && Co' ree(&$&0' o $o' ree+#azoE' e*(e $a*o *e ue)e a*u+&r 9ue e' $a)a e(aa )e *e#e$$&0' *e 4a a.re.a')o u'

e#e+e'(o Q'ue4oQ, )e*)e #ue.o a e>$e$&0' )e #a r&+era e(aa, e9u&4a#e e*(o aau+e'(ar #a o/#a$&0' e' e# ';+ero )e e(aa* )e *e#e$$&0' +e'o* u'a I+#&$a )e$&r9ue 6'-!8 )e #o* N e#e+e'(o* ue)e' 4o#4er a *er *e#e$$&o'a)o* La $o+/&'a(or&a 9ueaare$e a $o'(&'ua$&0' er+&(e $o'(ar e# (o(a# )e +ue*(ra*

Mue*(ra* 'o or)e'a)a* $o' ree(&$&0' MNOCR

E:emlo

De a$uer)o a# e?e+#o


25/30

/

ROIEDADES E@EMENTA@ES DE @A ROBABI@IDAD

A/IOMAS 1I-II-III4

E' !< e# e'%o9ue a>&o+1(&$o )e #a ro/a/&)a) %ue %or+a#&za)o or e#

+a(e+1(&$o ru*o A N o#+o.oro4 La /a*e )e e*(e e'%o9ue e*(1 %or+a#&za)o e' #a*

*&.u&e'(e* ro&e)a)e*:

roiedad II> *& e' ar(&$u#ar A rere*e'(a u' *u$e*o $&er(o, e* )e$&r u' =e$=o

9ue *e re*e'(ar1 'e$e*ar&a+e'(e $a)a 4ez 9ue *e rea#&$e e# e>er&+e'(o E,

#ue.o f n or #o (a'(o

robabilidad III> S& or e# $o'(rar&o, A e* u' *u$e*o &+o*&/#e, e* )e$&r u'

*u$e*o 9ue 'o ue)e re*e'(ar*e a# e%e$(uar e# e>er&+e'(o, #ue.o f or #o (a'(oTEOREMAS 3.!; 3.(; 3."

Lo* aiomas de robabilidad *o' #a* $o')&$&o'e* +5'&+a* 9ue )e/e'

4er&%&$ar*e ara 9ue u'a %u'$&0' )e%&'&)a *o/re u' $o'?u'(o )e *u$e*o* )e(er+&'e

2


26/30

$o'*&*(e'(e+e'(e *u* ro/a/&)a)e* Fuero' %or+u#a)o* or o#+o.0ro4 e'!

La ro/a/&)a) )e 9ue o$urra u' e4e'(o A $ua#9u&era *e e'$ue'(ra e'(re $ero 3

u'o

P 1A4 Q !

E?e+#o: La ro/a/&)a) )e *a$ar ar e' u' )a)o e9u&/ra)o e* , 1A462

Se$undo Aioma>

La ro/a/&)a) )e 9ue o$urra e# e*a$&o +ue*(ra# ) )e/e )e *er ! 1d4 6 !

E?e+#o: La ro/a/&)a) )e *a$ar u' ';+ero )e# ! a# " e' u' )a)o e9u&/ra)o

e* Q!Q

Tercer Aioma>

S& A 3 B *o' e4e'(o* +u(ua+e'(e e>$#u3e'(e*, e'(o'$e* #a,

1AB4 6 1A4 1B4

E?e+#o: La ro/a/&)a) )e *a$ar e' u' )a)o Qa*Q o *a$ar Q';+ero arQ e* #a

*u+a )e #a* ro/a/&)a)e* &')&4&)ua#e* )e )&$=o* *u$e*o*

Se.;' e*(e a>&o+a *e ue)e $a#$u#ar #a ro/a/&)a) )e u' *u$e*o $o+ue*(o )e

4ar&a* a#(er'a(&4a* +u(ua+e'(e e>$#u3e'(e* *u+a')o #a* ro/a/&)a)e* )e *u*

$o+o'e'(e*

Ge'era#&za')o:

S& *e (&e'e' n e4e'(o* +u(ua+e'(e e>$#u3e'(e* o e>$#u*&4o* A!, A2, A


27/30

!,


28/30

E# Coe%&$&e'(e )e Cur(o*&* e* +u3 e+#ea)o, e*(a +e)&)a )e(er+&'a e# .ra)o )e

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1 Media y Desviación Estandar - Coeficiente Variación -Valores Estandarización