UNIVERSIDAD  NACIONAL    DE  COLOMBIA,  SEDE  BOGOTÁ  FACULTAD  DE  CIENCIAS,  DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS    

PRE-­‐PARCIAL  1,    ÁLGEBRA  LINEAL    

1. De  las  siguientes  proposiciones,  decidir  cuáles  son  verdaderas,  cuáles  son  falsas.    Justificando  su  respuesta.    Demostrar  las  verdaderas.  

 a. Sean  las  matrices    𝐴    𝑦    𝐵  de  tamaño  𝑛×𝑛,  con  entradas  reales  entonces  (𝐴 − 𝐵)!! =

𝐴!! − 𝐵!!.    b. Sea  la  matriz  𝐴  de  tamaño  𝑛×𝑛,  con  entradas  reales  entonces  (𝑐𝐴)!! = − !

!𝐴!!.    

c. Sean  las  matrices  𝐴  𝑦  𝐵  de  tamaño  𝑛×𝑛,  con  entradas  reales  entonces  (𝐴𝐵)! = 𝐵!𝐴! .      

d. Sean  las  matrices  𝐴  𝑦  𝐵  de  tamaño  𝑛×𝑛,  con  entradas  reales  entonces    (𝐴 + 𝐵)!! = 𝐴!! + 𝐵!!.    

e. Sea  la  matriz  𝐴  de  tamaño  𝑛×𝑛,  con  entradas  reales  entonces      (𝑐𝐴)!! = !!𝐴!!.    

f. Sean  las  matrices  𝐴  𝑦  𝐵  de  tamaño  𝑛×𝑛,  con  entradas  reales  entonces    

(𝐴 + 𝐵)! = 𝐵! + 𝐴! .    

2. Hallar  los  valores  de  ′′𝑎′′  para  los  cuales  los  siguientes  sistemas  tienen:  solución  única,  infinitas  soluciones  y  no  tiene  solución,  justifique  cada  respuesta:    

 𝑥 +          𝑦 +                                𝑧 = 2    2𝑥 +    3𝑦 +                              2𝑧 = 5    

                 𝑥 +    2𝑦 + 𝑎! + 9 𝑧 = 𝑎 + 3    

 𝑥 +          𝑦 +                                𝑧 = 2    2𝑥 +    3𝑦 +                              2𝑧 = 5    

             3𝑥 +      2𝑦 + 4− 𝑎! 𝑧 = 𝑎 + 2    

3. Para  qué  valores  de  "𝑎"  la  inversa  de  las  siguiente  matrices  existe:    

𝐴 =2 −1 0−1 −2 11 −2𝑎 −1

 

 

𝐵 =2 1 0−1 2𝑎 11 2 −1

 

 4. Hallar  el  determinante  y  la  inversa,  de  las  siguientes  matrices:  

𝐵 =

−2 3 −1 −5      0 1      0 −1−1 0 −2      0      4 1 −1      1

   

𝐴 =

2      3 −1 −50      1      1 −11      0      2 −24 −1 −1      0

 

 5. Resolver  los  siguientes  sistemas  de  ecuaciones  lineales,  de  ser  posible,  por  medio  del  método  

de  Cramer:    

23 𝑥 +        𝑦  +  

73 𝑧   =        1    

−𝑥                          − 2𝑧       =        0    

3𝑥 +    2𝑦  + 𝑧         = −32  

   

23 𝑥 −      𝑦 +  

73  𝑧     =  −1    

−𝑥                          − 2𝑧   =        0    

𝑥      +    2𝑦  + 𝑧   = −12