TRANSFORMADA DE TRANSFORMADA DE LAPLACELAPLACELAPLACELAPLACE

Definición

Relaciona funciones dependientes del tiempo con funciones dependientes de unavariable compleja s. Permite resolver ecuaciones diferenc iales, convirtiéndolas enecuaciones algebraicas de sencilla resolución .

( )[ ] ( ) ( )L f t F s f t e dtst≡ =+

∞−∫

0

ecuaciones algebraicas de sencilla resolución .

[ ] ( ) ( )L e e e dt e dt

se

s

t t st s t s t− − −∞

− +∞

− +∞

= = = −+

=++ + +∫ ∫

0

1

0

1

0

1

1

1

1

Generalmente no será necesario resolver la integral, dadoque las transformadas más usadas aparecen en tablas.

Ejemplo: La transformada de f(t)=e -t será:

Propiedades

)0()()(

FsFstdf

L −=

[ ] [ ] [ ])()()()( tgbLtfaLtbgtafL +=+ [ ] [ ])()( tfLeTtfL Ts−=−

[ ] [ ] [ ])()())(())((1 tgbtfatgbLtfaLL +=+− [ ] )()( asFtfeL at +=−

)()( asaFt

fL =)0()()(

FsFsdt

tdfL −=

)0´()0()()( 2

2

2

FsFsFsdt

tfdL −−=

( ) ( ) ( )s

ttf

s

sFttfL 0

d

d ∫

∫ +=

( ) ( )

s

sFttfL =

∫ d

t

0

)()( asaFa

tfL =

)()(1 atafa

sFL =

−

Teorema de la convolución

Sean F1(s), F2(s) y sus respectivas f1(t) y f2(t) conocidas. Para conocer latransformada inversa de F1(s)*F2(s) que no figura en tabla, se puedeaplicar el teorema de la convolución, que establece la sigui ente relación:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) τττ d

0 2121

1

∫ −=− t

tFFsFsFL

Teorema del Valor Inicial

[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st ∞→→ =

• Permite usar la transformada de Laplace de una función

para determinar el valor inicial de esa función.

Teorema del Valor Final

[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st →∞→ =

• Permite usar la transformada de Laplace de una

función para determinar el valor final de estado

estacionario de esa función.

Ejemplo de aplicación de TVF y TVI

• Transformada de

Laplace de la función.

• Aplicar TVF

)4()2(

2)(

++=

ssssY

• Aplicar TVF

• Aplicar TVI

[ ]4

1

)40()20()0(

)0(2)(lim =

++=∞→ tft

[ ] 0)4()2()(

)(2)(lim 0 =

+∞+∞∞∞=→ tft

Transformada inversa

( )[ ] ( ) ( )L F s f tj

F s e dsc j

c jst−

− ∞

+ ∞≡ = ∫1 1

2 π

Igual que en la transformada directa, en la mayoría de los cas os no

será necessrio resolver la integral, bastará con consultar las tablas.

Ls j s

e ds ec j

c jst t−

− ∞

+ ∞−

+

=

+=∫1 1

1

1

2

1

1π

Ejemplo: La transformada inversa de 1/(s+1) será:

Método para resolver EDO’s Lineales usando

Transformada de Laplace

sY(s) - y(0) =

F(s,Y)Y(s) = H(s)

Laplace Domain

Time Domain

dy/dt = f(t,y) y(t) = h(t)

Campo temporal

Campo de Laplace

Expansión en fracciones simples

• Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inver sa, descomponiendo lafunción en componentes más sencillos.

Condiciones:

• Grado de R(s) > Grado de Q(s)

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )n

mn

n

mm

pspsps

cscscs

rsrsr

qsqsq

sR

sQsF

−−−−−−=

++++++==

L

L

L

L

21

21

01

01

• Grado de R(s) > Grado de Q(s)

• rn=1

R(s): Polinomio característico del sistema.

c1 ... cm: Ceros de la función.

p1 … pn: Polos de la ecuación característica.

a1 … an: Residuos de F(s). a i es el residuo en p i.

( ) ( )( ) F s

Q s

R s

a

s p

a

s p

a

s p

a

s pn

n

= =−

+−

+−

+ +−

1

1

2

2

3

3

L

Ejemplo de expansión en fracciones simples

32)3()2(

1

++

+=

+++

s

B

s

A

ss

s Expandir en un término para cada factor en el denominador.

Reescribir usando común denominador.( )

)3()2(

2)3(

)3()2(

1

+++++=

+++

ss

sBsA

ss

s

Igualar los términos en s y las constantes. Resolver.

Expresar cada término de tal forma que puede aplicarse la antitransformada de Laplace.

)3()2()3()2( ++++ ssss

3

2

2

1

)3()2(

1

++

+−=

+++

ssss

s

1=+ BA 123 =+ BA

Ejemplo de resolución de una EDO

0)0(')0(2862

2

===++ yyydt

dy

dt

yd EDO con condiciones iniciales

Aplicar transformada de Laplace a cada término.ssYsYssYs /2)(8)(6)(2 =++

Resolver para Y(s)

Aplicar expansión en fracciones simples

Aplicar antitrasformada de Laplace a cada término.

)4()2(

2)(

++=

ssssY

)4(4

1

)2(2

1

4

1)(

++

+−+=

ssssY

424

1)(

42 tt eety

−−

+−=

Polos reales simples

( ) ( ) naaasQ +++== 21

( ) ( )( ) ( )npspspssR −−−= L21 ( ) ( )( )sRsQ

sF =

( ) ( )( ) n

n

ps

a

ps

a

ps

a

sR

sQsF

−++

−+

−== L

2

2

1

1

( )( )[ ]ipsii pssFa =−=

Polos reales múltiples

( ) ( )( )sRsQ

sF = ( ) ( ) ( ) ( )nkpspspssR −−−= L21

( ) ( )( ) ( ) ( )

nk

kk

k

ps

a

ps

a

ps

a

ps

b

ps

b

ps

b

sR

sQsF

−++

−+

−+

−++

−+

−== −

−LL

3211

1

( )( )( )1

1!

1

ps

k

i

i

ik pssFds

d

ib

=−

−=

( ) ( ) ( ) nkk pspspspspspssR −−−−−− −

3211

11

( )( )[ ]ipsii pssFa =−=

( ) ( )( )sRsQ

sF =

Polos complejos conjugados

( ) ( )( )( ) ( )npspspspssR −−−−= ∗∗L321

( ) ( )( ) ( )( )

naassQsF ++++== L

3βα

( )( )[ ]ipsii pssFa =−=

( ) ( )( ) ( )( ) n

n

ps

a

ps

a

psps

s

sR

sQsF

−++

−+

−−+== ∗∗ L

3

3

21

βα

[ ] ( )( )( )[ ]11 21 psps pspssFs == −−=+ βα

Resolución de ecuaciones diferenciales

Condiciones que debe cumplir la ecuación diferencial:

• Lineal.

• Invariable en el tiempo.

Pasos a seguir para resolver la ecuación diferencial:

• Convertir la ecuación diferencial en una ecuación en términ os de Laplace.

• Despejar la variable dependiente.

• Hallar la transformada inversa.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1

10

0

1

12

0

0

01

=−

−

=

−

=

− −−−−=

t

n

n

t

n

t

nn

n

n

tfdt

dstf

dt

dstf

dt

dssFstf

dt

dL LL

Respuesta de sistemas en frecuencia

( )tAsenr ω= ( ) ( )φωω += tsenjFAcF(s)

( ) ( )( )ωφ

ωωjFdeángulo

jFdemódulojF

==

F(s)

Transformadas codificadas

xy.zwk

X: exponente de s que puede ser factoreado del numerador

Y: orden de s en el numerador

Z: exponente de s que puede ser factoreado del denominador

W: número de raíces reales del denominador (excepto 0)

K: pares de raíces complejas conjugadas del denominador

)3()4(

2)(

++=

ssssG 00.120

)2()1()(

++=

sss

ssG 11.120

Transformadas más usadas

Transformadas más usadas