1. Sistemas de Segundo Orden

6.1

6

Sistemas de segundo orden

En este captulo se estudia la respuesta temporal y en frecuencia de modelos de segundo orden que, junto con los modelos de primer orden, sirven para representar matemticamente muchos sistemas reales sencillos. Adems, los sistemas ms complejos se suelen representar en muchos casos como interconexin de sistemas ms simples de primer y segundo orden. Estas razones justifican el estudio detallado de la repuesta de este tipo de sistemas tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.

6.1 Sistema estndar de segundo orden. Respuesta a un escaln

Se considera el siguiente modelo (segundo orden sin ceros):

22

2

22

2121)(

nn

n

nn

ss

K

ss

KsG

++=++= (6.1)

Se supone en general un sistema estable: todos los coeficientes del polinomio denominador son positivos. Como lmite, se considerar ocasionalmente el caso inestable =0.

La ganancia esttica es K

6.1.1 Polos y respuestas; visin general

Los polos de G(s) indican los trminos presentes en la respuesta temporal, y son:

( )12 = ns (6.2) Si 1, los polos son reales, y si < 1, los polos son complejos. Se

representa en la Figura 6.1 el lugar de las races, al variar , de un sistema con n constante; y en la Figura 6.2 respuestas tpicas a un escaln. Se representan para K =1 sin prdida de generalidad (basta multiplicar por K en otro caso).

SISTEMAS DINMICOS

6.2

Figura 6.1 Polos de un sistema de segundo orden, para n constante

Algunas propiedades de la respuesta

El rgimen permanente es yP(t)=K, salvo para el sistema oscilante de =0 La respuesta es idntica en sistemas de igual , salvo la escala de

tiempos: stos son inversamente proporcionales a n (obsrvese que los polos son proporcionales a n).

Para

6. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

6.3

Figura 6.2 Respuestas a un escaln de sistemas estndar de segundo orden (para K=1), y caractersticas

6.1.2 Respuesta a un escaln, para 1 El sistema puede descomponerse en dos de primer orden en serie. Se mide el amortiguamiento mediante el parmetro , llamando amortiguamiento crtico a = 1, y sistemas sobreamortiguados a los de > 1. > 1 Dos polos reales distintos a1 > a2

( )( )1

1

22

21

+=

=

n

n

a

a (6.3)

La respuesta a un escaln es:

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2Segundo orden; respuesta a un escaln

wn.t

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5Segundo orden subamortiguado; especificaciones

t

=0

=2

ta ts

tp

Mp

=1

=0,5

-5%

+5%

SISTEMAS DINMICOS

6.4

+

= tatae

aa

ae

aa

aKty 21

12

1

12

21)( (6.4)

= 1 Dos polos reales iguales:

a = n (6.5)

La respuesta a un escaln es:

( ))1(1)( ateKty at += (6.6) Rapidez

Se define el tiempo de establecimiento como el tiempo desde el origen hasta quedar con una diferencia del 5% con respecto al valor final. En este caso, se obtendra de (6.5) o (6.6) para y(t) = 0,95K. Pero no es posible despejar la variable tiempo, siendo necesarios mtodos numricos.

Si ambos polos estn suficientemente separados, la respuesta debida al polo ms rpido (a2) se anula pronto; la respuesta es muy semejante a la del sistema de primer orden (salvo mirando con detalle el origen) y el tiempo de establecimiento depende solamente del polo lento (a1). Adems, al polo ms rpido le corresponde un residuo menor. Despreciando el polo rpido:

ts 3/a1 (6.7)

Para amortiguamiento crtico = 1, se obtiene ats /74,4= (6.8)

6.1.2 Respuesta a un escaln, para < 1 Los polos forman un par complejo conjugado:

( )jbjas n 21 == (6.9) Son tiles las relaciones representadas en la Figura 6.1. Vase que la

pulsacin propia no amortiguada n es el mdulo de los polos, y el amorti-guamiento es el seno del ngulo que forman con el eje imaginario. 22 ban += sen= (6.10)

La respuesta a un escaln se obtiene a partir de:


6.5

+++

++=

=

+++=

)()(

1

))((

1)(

*

2

bjas

R

bjas

R

sK

bjasbjas

K

ssY n

(6.11)

El residuo se puede obtener por consideraciones geomtricas, obteniendo su mdulo y su fase a partir de productos de vectores.

)(2

cos2

1

)2)((pi

+=

+=

jn ebjbja

R (6.12)

Finalmente,

=

)cos(cos

11)(

bteKty at (6.13)

Ver respuestas a un escaln, y la definicin de las especificaciones que se tratarn a continuacin, en la Figura 6.2

Amortiguamiento

Se observa en la respuesta un pico superior al valor final. El sobrepaso se define en general de manera relativa al valor final y a la excursin total (en la Figura 6.2 son ambos 1):

M p =ymax y()

y() y(0+ ) (6.14)

Es posible obtener expresiones tiles estudiando los mximos y mnimos de la respuesta temporal:

)sen()cos(0)(

== btbbtadt

tdy

b

abt

= )tg( (6.15)

Como b

a=tg , la ecuacin se satisface para

bqt

pi= , q = 0, 1, 2 ... (6.16)

En el origen t=0 hay un mnimo (derivada inicial =0). El primer pico se da para q=1, donde se definen el tiempo de pico tp y el sobrepaso Mp

b

t ppi

= pi tg

= eM p (6.17)

Es importante observar que Mp es funcin solamente de , y por tanto de : a menor amortiguamiento, mayor sobrepaso. Se emplea tambin como medida del amortiguamiento en sistemas que no tienen la funcin de transferencia (6.1).

SISTEMAS DINMICOS

6.6

Nota sobre los sistemas con ganancia esttica no unitaria

La especificacin de amortiguamiento que se acaba de ver, y las de rapidez que se vern a continuacin, se definen sobre el valor de rgimen permanente, descontando el valor inicial, como en (6.14).

Rapidez

Para comparar la rapidez de dos sistemas con igual , puede emplearse n, o cualquier tiempo caracterstico de la respuesta, ya que slo difieren en la escala de tiempos. Las oscilaciones estn marcadas por la parte imaginaria de los polos, o pulsacin propia d = b (puede obtenerse midiendo el semiperiodo: tiempo entre picos sucesivos, o entre pasos por K consecutivos; ntese que los picos no equidistan de los pasos por K). El primer paso por K se produce en el tiempo de alcance ta.

cos/ =nd

pi

cos

2/ +=ant

pi

cos=pnt (6.18)

Figura 6.3 Tiempos de establecimiento

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6

8

10

12

14

16

wn * tiempos de establecimiento al 5%

ts

t


6.7

Los tiempos de alcance y de pico en realidad dan idea nicamente de la rapidez de la subida de la respuesta; un criterio ms global es el tiempo de es-tablecimiento ts: tiempo que transcurre hasta que la salida queda con una dife-rencia de menos del 5% con respecto al rgimen permanente.

Se obtendra de (6.13) para y(t) = 0,95K o 1,05K, tomando la solucin mayor. No es posible despejar la variable tiempo, siendo necesarios mtodos numricos.

Puede estimarse mediante el tiempo de establecimiento de la exponencial t

/3sen

20ln=tn (6.19)

Ver una comparacin en la Figura 6.3

La Tabla 6.2, al final del captulo, da valores de estas caractersticas y las de respuesta en frecuencia en funcin de , usando tiempos y pulsaciones adimensionales (normalizados con n).

Ejemplo 6.1 El sistema:

G(s) = 10s2 + 2s+ 4

=

2.5

1+ s 2 + (s 2)2

tiene una ganancia esttica 2,5, una pulsacin natural n = 2, y un coeficiente de

amortiguamiento = 0,5. Si se le aplica un escaln unitario la salida tender a un valor final 2,5. En la Tabla 6.2 puede leerse:

Mp % d/n nta ntp nt nts 0,50 30 16,3 0,866 2,42 3,63 5,99 5,29

Por lo tanto, sabiendo que G(0) = 2,5, 2=n :

Mp ymax ta tp t ts

0,163 2,5 = 0,41

2,5 + 0,41 = 2,91

2,42/2 = 1,21 3,63/2 = 1,82 5,99/2 = 3,0

5,29/2 = 2,64

Comprense estos valores con los que pueden leerse en la Figura 6.4, que da la respuesta a un escaln de este sistema.

SISTEMAS DINMICOS

6.8

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo

y(t)

Figura 6.4. Respuesta a un escaln unitario del sistema del ejemplo 6.1

6.2 Sistema estndar de segundo orden. Respuesta en frecuencia

Se considera el siguiente modelo (segundo orden sin ceros, G(0)=1, n >0, 0):

22

2

22

2121

1)(

nn

n

nn

ssss

sG

++=++= (6.20)

La respuesta en frecuencia se obtiene sustituyendo s por j:

j

Ae

nn

j

21

12

+

= (6.21)

( )( ) ( )222 /2/1

1

nn

A

+= (6.22)

( )( )nn j /2/1arg 2 += (6.23) Ntese que la frmula de la fase puede dar un resultado incorrecto en

ordenador o calculadora si se emplea la funcin arco tangente, que es de valores mltiples.

La ganancia en decibelios es:

( )( ) ( )( )222 /2/1log10dB nnA += (6.24)


6.9

Tabla 6.1 Algunos puntos caractersticos de la respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden

/n A A dB 0 1 0 0

1 2/1 ( )log206

-90

0 - -180

En la Figura 6.5 se recogen grficos de Bode para distintos valores de , usando la pulsacin normalizada /n.

Figura 6.5 Grfico de Bode de sistemas estndar de segundo orden (para G(0)=1), variando

10-1 100 101-40

-30

-20

-10

0

10Grficos de Bode. Sistemas de 2 orden

10-1 100 101-180

-135

-90

-45

0

0,2 0,5 0,7071

0,2 0,5 0,7071

=

=

/ n

A dB

o

SISTEMAS DINMICOS

6.10

La amplitud decrece al aumentar la frecuencia. Para frecuencias suficientemente bajas con respecto a n la amplitud es esencialmente igual a la ganancia esttica.

Para frecuencias suficientemente altas, la amplitud A decrece de forma proporcional al cuadrado de la frecuencia: )/log(40dB nA = ; pendiente de -40 dB/dcada.

Resultan dos asntotas que se cortan en =n, ver la Figura 6.6. La fase pasa de 0 a 180; es de 90 para =n

Resonancia es un mximo en la amplitud de la respuesta en frecuencia.

Resolviendo 0d

d=

A en (6.22), se obtiene en este caso la pulsacin de

resonancia r; solamente hay solucin real para 2/1 .

)2cos(21/ 2 ==nr (6.24)

El pico de resonancia Mr es la relacin entre el valor del mximo y la ganancia esttica G(0). Sustituyendo en (6.22):

)2sen(

1

12

12

=

=rM (6.25)

Existe una clara relacin entre el amortiguamiento y el pico de resonancia Mr: un alto valor de ste indica escaso amortiguamiento.

Este sistema tiene caractersticas de filtro paso bajo: la ganancia disminuye al aumentar la frecuencia. Para indicar las frecuencias que pasan se define la pulsacin de corte (amplitud igual a la de paso restando 3 dB)

Se obtiene resolviendo en (6.22) 2

1=A :

422 44221/ ++=nc (6.26) Hablando generalmente, los sistemas rpidos tienen cortos tiempos de

respuesta y altas pulsaciones caractersticas: n, d, r, c

Ejemplo 6.2 Considrese un sistema de 2 orden sin ceros, que tiene una respuesta en frecuencia con una ganancia a frecuencias bajas de 10 y un pico de resonancia


6.11

en r = 2 , donde la ganancia vale 15. El pico de resonancia, referido a las frecuencias bajas, es:

M r =15

10=1.5 ,M r (dB) = 20 log101.5 = 3.52dB.

Utilizando la frmula del pico de resonancia en funcin del amortiguamiento (o interpolando en la Tabla 6.2) se tiene = 0.357. Para este valor r n = 0.863, c n = 1.41, por lo que n = 2 0.863 = 2.32 y c = 1.41 n = 3.26 . El sistema que tiene esta respuesta en frecuencia es:

G(s) = 101+ (2 0.357 2.32)s+ (s 2.32)2

Como podr comprobarse obteniendo su diagrama de Bode con Matlab, o sencillamente calculando la respuesta en frecuencia para r

6.3 Diagramas asintticos de Bode

En el captulo anterior se estudi el trazado asinttico de diagramas de Bode. Est tcnica se basa en la suma de diagramas de Bode de sistemas de primer y segundo orden. En el captulo anterior se estudiaron todos los trminos de primer orden que podan aparecer al factorizar una funcin de transferencia de orden superior para dibujar su diagrama asinttico de Bode. A continuacin se especificarn los trminos de 2 orden.

Sistema estndar de segundo orden (6.20)

Para frecuencias bajas ( 0) se tiene:

G( j ) 1, G( j )dB

0, G( j ) 0 (6.27) Para frecuencias altas ( ):

G( j ) dB 40 log10( n) (6.28) El diagrama de Bode se da en la Figura 6.6 para frecuencias normalizadas

/n, mostrando las asntotas: horizontal a 0 dB para < n, recta de pendiente igual a -40 dB/dcada (empezando en 0 dB) para > n

Si 1 es muy preferible usar el diagrama de Bode resultante de dos sistemas de primer orden en serie, que puede ser mucho ms preciso. Si es pequea, la resonancia puede hacer que el grfico real difiera bastante del asinttico.

A veces se utiliza la lnea indicada a trazos en el diagrama de fase para unir la zona de bajas y altas frecuencias. Esto es razonable para =1, pero no es muy preciso para pequea o grande.

SISTEMAS DINMICOS

6.12

10-2 10-1 100 101 102-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Frecuencia Angular

Ga

nanc

ia (dB

)

10-2 10-1 100 101 102

-150

-100

-50

0

Fase

(gr

ado

s)

Figura 6.6. Diagramas de Bode de sistemas de 2 orden con = {0,1 0,2

0,5 0,707 1 2} y frecuencia normalizada /n. El pico de resonancia disminuye cuando aumenta ; la transicin de fase de 0 a 180 es ms suave. A

trazos se dan las asntotas.


6.13

La figura 6.7 muestra los diagramas asintticos de Bode de

2

2

121

1)(

ss

sG

nn

++

= 2

2

121)( sssG

nn

++= (6.29)

La respuesta en frecuencia de este segundo trmino es la inversa de la respuesta en frecuencia del primer trmino, por lo que tiene una ganancia en dB y una fase en grados que son de signo opuesto a las del primer trmino (sistema de 2 orden sin ceros).

Ganancia

n

0 dB

0,1n 10nFase

0

180

40dB/dc

Ganancia

n0 dB

Fase

0 +180

+40dB/dc

})()2(1{1)( 2nn sssG ++= , > 0 2)()2(1)( nn sssG ++= , > 0

Figura 6.7. Diagramas asintticos de Bode de sistemas de segundo orden.

Ejercicio 1

Diagrama asinttico de Bode de los casos (6.29) con = 0

Ejercicio 2

Diagrama asinttico de Bode de los casos (6.29) con < 0 Aunque algunos son sistemas inestables y su respuesta en frecuencia no representa el rgimen permanente, se usan igualmente como parte de otros sistemas.

SISTEMAS DINMICOS

6.14

Ejercicio 3

Diagrama asinttico de Bode de los filtros de P4.1:

22

2

2)(

nn

HPss

ssG

++= ; 22 22

)(nn

nBP

ss

ssG

++= ; 22

22

2)(

nn

nN

ss

ssG

++

+=

Ejercicio 4

Respuesta a un escaln de los filtros de P4.1:

22

2

2)(

nn

HPss

ssG

++= ; 22 22

)(nn

nBP

ss

ssG

++= ; 22

22

2)(

nn

nN

ss

ssG

++

+=

Para =0,5 y =0,2


6.15

Tabla 6.2 Sistema estndar de segundo orden; 1. Amortiguamiento Situacin de polos Escaln Frecuencia

Mp % Mr dB Mr 0,05 2,9 85,4 20,0 10,01

0,10 5,7 72,9 14,0 5,03

0,15 8,6 62,1 10,6 3,37

0,20 11,5 52,7 8,1 2,55

0,25 14,5 44,4 6,3 2,07

0,30 17,5 37,2 4,8 1,75

0,35 20,5 30,9 3,7 1,53

0,40 23,6 25,4 2,7 1,36

0,45 26,7 20,5 1,9 1,24

0,50 30,0 16,3 1,2 1,15

0,55 33,4 12,6 0,7 1,09

0,60 36,9 9,5 0,4 1,04

0,65 40,5 6,8 0,1 1,01

0,70 44,4 4,6 0,0 1,00

0,75 48,6 2,8 NO NO

0,80 53,1 1,5 NO NO

0,85 58,2 0,6 NO NO

0,90 64,2 0,2 NO NO

0,95 71,8 0,0 NO NO

1 90,0 NO NO NO

SISTEMAS DINMICOS

6.16

Tabla 6.2 Sistema estndar de segundo orden; 1. Rapidez Situacin de polos Escaln Frecuencia

d /n n t n ta n tp n ts r /n c /n 0,05 0,999 59,9 1,62 3,15 50,0 0,997 1,551

0,10 0,995 30,0 1,68 3,16 29,0 0,990 1,543

0,15 0,989 20,0 1,74 3,18 19,6 0,977 1,529

0,20 0,980 15,0 1,81 3,21 13,7 0,959 1,510

0,25 0,968 12,0 1,88 3,24 10,8 0,935 1,485

0,30 0,954 9,99 1,97 3,29 10,1 0,906 1,454

0,35 0,937 8,56 2,06 3,35 7,88 0,869 1,417

0,40 0,917 7,49 2,16 3,43 7,61 0,825 1,375

0,45 0,893 6,66 2,28 3,52 5,25 0,771 1,326

0,50 0,866 5,99 2,42 3,63 5,29 0,707 1,272

0,55 0,835 5,45 2,58 3,76 5,29 0,628 1,213

0,60 0,800 4,99 2,77 3,93 5,23 0,529 1,148

0,65 0,760 4,61 3,00 4,13 5,03 0,394 1,080

0,70 0,714 4,28 3,29 4,40 2,90 0,141 1,010

0,75 0,661 3,99 3,66 4,75 3,12 NO 0,940

0,80 0,600 3,74 4,16 5,24 3,38 NO 0,871

0,85 0,527 3,52 4,91 5,96 3,68 NO 0,806

0,90 0,436 3,33 6,17 7,21 4,01 NO 0,746

0,95 0,312 3,15 9,04 10,06 4,37 NO 0,692

1 NO 3,00 NO NO 4,74 NO 0,644

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1. Sistemas de Segundo Orden