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TRABAJO C OLABORATIVO No. 2

ALGEBRA LINEAL

FABIAN YESITH GARCIA; cc: 77.171.435

MARYERI GUTIERREZ CLAVIJO; cc: 49.698.785

OMAR DARIO PEDRAZA; cc: 1.065.655.932

Tutor,

MANUEL ALEJANDRO GUTIERREZ

GRUPO: 100408_226

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGNIERIA

NOVIEMBRE 10 2015

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INTRODUCCION

En el presente trabajo estaremos dando solución a diversos ejercicios

relacionados con el álgebra lineal como son: Sistemas lineales, Rectas, Planos yEspacios vectoriales, los cuales son de suma importancia para resolver sistemasde ecuaciones lineales.

En matemáticas y algebra lineal, es una rama de las matemáticas que estudiaconceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y suenfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformacioneslineales. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales dondecada ecuación es de primer grado definidas sobre un cuerpo o un anilloconmutativo.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de lasmatemáticas como ser el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, lainvestigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Comprender los fundamentos teóricos que referentes a los temas sistemaslineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial vistos en launidad dos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Afianzar los conocimientos adquiridos en la unidad dos, mediante el

desarrollo de ejercicios sobre los temas sistemas lineales, rectas, planos ylos principios de espacio vectorial. Colocar en práctica los ejercicios propuestos en la guía de actividades Relacionar con la carrera profesional la importancia que tienen estos temas

en nuestro desenvolvimiento diario.

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1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrartodas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

4 – 7 = 1 5 – 7 – = 5 4 6 = 4SOLUCION

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos por elmétodo de eliminación de Gauss – Jordan:

1 4 75 7 1 4 1 6 | 1 54 Multiplicamos la fila 1 por - 5 y se la sumamos a la fila 2.Multiplicamos la fila 1 por 4 y se la sumamos a la fila 3.

1 4 7 0 13 34 0 15 22

| 1 0 0

Dividimos la fila 2 por 13:

1 4 7 0 1 34/13 0 15 22 | 1 0 0

Multiplicamos la fila 2 por 4 y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 2 por 15 y se la sumamos a la fila 3.

1 0 45/13 0 1 34/13 0 0 224/13 | 1 0 0

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Dividimos a fila 3 por 224⁄13:

1 0 45/13 0 1 34/13 0 0 1 | 1 0 0 Multiplicamos la fila 3 por - 45 ⁄ 13 y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 3 por - 34 ⁄ 13 y se la sumamos a la fila 2.

1 0 1 0 1 1 0 0 1 | 1 0 0

Finalmente:

x = 1 y = 0 z = 0

1.2 3x – 4y – 7z = 11

5x – 7y – z = - 18

SOLUCION

El sistema de ecuaciones no tiene solución debido a que el sistema solo posee dosecuaciones con 3 variables desconocidas. (Incógnitas).

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1.3 x – 4y – 7z + 4w = -11

5x – 7y – z – 5w = - 8

- 4x + y + 6z – w = - 4

6x – y – z – w = - 2SOLUCION

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos

por el método de eliminación de Gauss-Jordán:

1 4 7 4 5 7 1 5

4 1 6 1 6 1 1 1118

42

Multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos a la fila 2.Multiplicamos la fila 1 por 4 y se la sumamos a la fila 3.Multiplicamos la fila 1 por -6 y se la sumamos a la fila 4.

1 4 7 4

0 13 34 250 15 22 15 0 23 41 25 11 4748 64

Dividamos la fila 2 por 13:

1 4 7 4 0 1 34/13 25/130 15 22 15 0 23 41 25 11 47/1348 64

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Multiplicamos la fila 2 por 4 y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 2 por 15 y se la sumamos a la fila 3.Multiplicamos la fila 2 por -23 y se la sumamos a la fila 4.

1 0 4513 4813 0 1 3413 2513 0 0 22413 18013 0 0 24913 25013

4513 47138113 24913

Dividimos la fila 3 por 224⁄13:

(

1 0 4513 4813 0 1 3413 2513 0 0 1 4556

0 0 24913

25013

4513 471381224

24913 )

Multiplicamos la fila 3 por – 45 ⁄ 13 y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 3 por – 34 ⁄ 13 y se la sumamos a la fila 3.Multiplicamos la fila 3 por 249 ⁄ 13 y se la sumamos a la fila 4.

1 0 0 5156 0 1 0 528 0 0 1 4556 0 0 0 21556

4516 25881224 24913

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Dividimos la fila 3 por 215 ⁄ 56:

1 0 0 5156 0 1 0 528 0 0 1 4556 0 0 0 1

4516 25881224 1743430

Multiplicamos la fila 4 por 51 ⁄ 56 y se la sumamos a la fila 1.Multiplicamos la fila 4 por – 5 ⁄ 28 y se la sumamos a la fila 2.

Multiplicamos la fila 4 por 45 ⁄ 56 y se la sumamos a la fila 3.

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 1 189215 33186 13243

1743430

Finalmente:

= / = / = / = / 1.4 x – 4y = - 3

5x – 7y = - 2

- 4x + 16y = - 4

SOLUCION

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por elmétodo de eliminación de Gauss-Jordán:

1 4 05 7 04 16 0 |324

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Multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos a la fila 2.Multiplicamos la fila 1 por 4 y se la sumamos a la fila 3.

1 4 00 13 00 0 0 |31316

Dividimos la fila 2 por 13:

1 4 00 1 00 0 0 | 3116 Multiplicamos la fila 2 por 4 y se la sumamos a la fila 1.

1 0 00 1 00 0 0

| 1116

Finalmente, el sistema de ecuación no tiene solución, debido a que: 0 ≠ -16 2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el

método que prefiera para hallar ).

764

9275

11743

z y x

z y x

z y x

SOLUCION

Primero que toda, armaremos la matriz a utilizar:

3 -4 -7 A = 5 -7 -2

-4 1 6

1 A

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Ahora, calculamos el determinante:Det (A) = 3(- 42 + 2) – ( - 4) (30 – 8) + ( - 7) ( 5 – 28)

Det (A) = - 120 + 88 + 161

Det (A) = 129

Luego, hallamos la matriz transpuesta de A:

3 5 -4 A = -4 -7 1

-7 -2 6

Calculamos los determinantes de los cofactores de la matriz transpuesta:

a11 = = - 40 a12 = = - 17 a13 =

= - 41

a21 = = 2 2 a22 = = - 10 a23 = = 29

a31 = = - 23 a32 = = - 13 a33 =

= - 1

Armamos la matriz Adjunta, con los determinantes de los cofactores halladosanteriormente:

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- 40 17 -41 Adj (A) = - 22 -10 -29

- 23 13 -1

Finalmente, tenemos que:

A-1 = 1 * Adj(A) Det (A)

Del mismo modo, tenemos que:

A . X = B Despejando X tenemos:

X = A-1

. B

Donde:

X Es la matriz de las incógnitas a encontrarB Es la matriz de los términos independientes

X1 B1 X2 = (A

-1) . B2 X3 B3

X 1 -40 17 -41 -11y = . -22 -10 -29 . -9z 129 -23 13 -1 7

x 1 0y = . 129

z 129 129

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x 0y = 1z 1

FINALMENTE: x = 0 y = 1 z = 1

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos )1,4,8( R y )38,1( Q

SOLUCION

Definimos las ecuaciones paramétricas de la siguiente forma:

x = x1 + aty = y2 + btz = z1 + ct

Definimos las ecuaciones simetricas de la siguiente forma:

x –x1 = y – y1 = z – z1a b c

Luego definimos el vector para el punto ⃗ V⃗ = ⃗ = 1 8 ̂+ 84̂ + 31 V⃗ = ⃗ = 7 ̂ - 12 ̂ - 4

Por lo tanto: = 7 = 12 = 4 RESULTADO DE LAS ECUACIONES PARAMETRICAS

= 8 7 = 4 12 = 1 4 RESULTADO DE LAS ECUACIONES SIMETRICAS

+ = −− = −−

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3.2 Contiene a 7,3,5 P y es paralela a la recta2

4

6

3

6

9

z y x

SOLUCION

Como el vector de dirección de la recta pedida es paralelo al vector de dirección de larecta antes descrita, podemos armar las ecuaciones simétricas y paramétricas que rigenel sistema:

⃗ =

6, 6, 2

, , = ⃗

,, = , , , , Ecuación VectorialLuego armamos las ecuaciones paramétricas:

= 5 6 = 3 6 = 7 2

Procedemos a armar las ecuaciones simétricas

+− = −− = + 4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1 Contiene a los puntos )1,4,8(S , )3,8,1( Q y )1,2,3( R

SOLUCION

Recordemos que el producto cruz de los dos vectores directores del plano es unvector perpendicular a estos dos y por lo tanto este vector es perpendicular acualquier vector del plano. Sea ⃗ = ( a,b,c), el vector obtenido del productovectorial de los dos vectores formados con los tres puntos dados del plano. S, Q yR. si T = (x,y,z), es un punto cualquiera del plano. . ⃗ , . ⃗ o . ⃗ , son vectores

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que están en el plano y por tanto . ⃗ . ⃗ = 0 , . ⃗ . ⃗ = 0 , . ⃗ . ⃗ =0, cualquiera deestas igualdades conduce a la ecuación del plano. Donde ⃗ es el vector normaldel plano.

[, , ]. ⃗ = 0 ECUACION A A( x – x0) + B( y – y0) + C( z – z0) = 0 ECUACION DEL PLANOHallamos el vector normal:

⃗ = ⃗ * ⃗ ⃗ = [1 8], [ 8 4], [ 3 1] =7,12,4

⃗ = [3 8], [ 2 4], [ 1 1] =5,6,2

⃗ = 7,12,4 * 5,6,2 Det (V) = 7 12 45 6 2

Det (V) = [122 64]= [72 54] [76 512] 0 6 1 8

⃗ = 0,6,18 De la ECUACION A, tenemos que:

, ,⃗ ⃗ S = 0, ,⃗ = ⃗ S, ,. 0,6,18. 8,4,1 0 1 6 1 8 = 0 2 4 1 8 0 1 6 1 8 = 6 1 6 1 8 6 = 0

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4.2 Contiene al punto )3,8,1( P y tiene como vector normal a

k jin ˆ5ˆ2ˆ3

SOLUCION

Como ya sabemos:

, ,⃗ ⃗ S = 0, ,⃗ = ⃗ S⃗ =3,2,5

,,. 3, 2 , 5 = 3,2,5 . 1,8,3

3 2 5 = 3 1 6 1 5 3 2 5 = 2 =

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

10829:1 z y x y 2875:2 z y x

SOLUCION

Recordemos que la intersección de dos planos es una línea recta común a ambos planos.Para hallar la intersección de los planos dados, debemos hallar el vector director de larecta intersección. El vector se halla mediante el producto vectorial de los vectoresnormales de los planos dados, entonces tenemos que:

⃗ 1=9, -2, -8) ⃗ 2= 5,7,8 = ⃗ 1 * ⃗ 2

9 2 85 7 8

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[ 28 78] [98 58] [97 52]

4011273

= 40,112,73 Luego de haber hallado el vector director , nos hace falta un punto común Q a ambosplanos. Para ello, escogemos un valor arbitrario a una variable y obtenemos las otras dos.Tomemos el valor x = 1, entonces hallaremos el valor de y y de z:

Para el plano π1= 9 2 8 = 1 0 91 2 8 = 1 0

9 2 8 = 1 0 2 8 = 1 0 9 = ECUACION A

Para el plano π2= 5 7 8 = 2 51 7 8 = 2

5 7 8 = 2

7 8 = 2 5 = ECUACION BTenemos entonces un sistema de ecuaciones de 2x2.

= ECUACION A

= ECUACION B

Multiplicamos la ECUACION A por -1 y se la sumamos a la ECUACION B. = =

5 = 6 = 65

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Sustituimos el valor de y en la ECUACION A:

2 65 8 = 1 125 8 = 1 8 = 125 1

8 = 75

= 78 ∗ 5

= 740 Luego, el punto común Q a ambos planos es:

= 1 , 65 , 740 Luego de hallar el vector director y un punto de la recta buscada, hallamos la ecuaciónrecordando que si L es una recta que pasa por los puntos

=1,2,3, entonces, la

ecuación vectorial de L es:

, , = ⃗ con € ,, = , , ,,

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CONCLUSIONES

Con la realización del anterior trabajo pudimos colocar en práctica los temas vistosen la unidad dos del módulo de Algebra Lineal con ejercicios relacionados consistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales los cuales nos sirvieron deherramientas claves de aprendizaje, convirtiéndose en un referente muy valioso ennuestro aprendizaje autónomo.

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BIBLIOGRAFIA

ZUÑIGA, C.A (2010). Módulo de Algebra Lineal. UNAD. Bogotá.

WEBGRAFIA

ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE ES INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS.(En línea) Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=KV_lpowVN08 EJEMPLO ECUACIÓN PLANO DADOS TRES PUNTOS. (En línea)Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfo ECUACIONES LINEALES CON TRES INCOGNITAS. (En línea)

Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=mN61HtWdwEE ONLINE CALCULADORA. RESOLUCION DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES. (En línea) Recuperado de:http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/

SOLUCION DE UN SISTEMA DE 3X3 POR GAUSS-JORDAN. (En línea)Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=Yz6YCPLuU-4

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