Trabajo colaborativo No.2

Algebra lineal.

Presentado Por:

Jos Donaldo Daza Pez

Cdigo 74.755.005

Maira Alejandra Erazo Solarte

Cdigo: 69.055.403

Luis Eduardo Prez Salazar

Cdigo: 72202881

Tutor:

Johan Arley Cruz

Grupo:

100408_29

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD-

Abril-2015

INTRODUCCION

La presente actividad tiene como objetivo aplicar los conocimientos adquiridos en la

Unidad No 2 del Mdulo Algebra Lineal .Se aplicara el mtodo de Gauss-Jordn,

desarrollo de matrices, ecuaciones simtricas y paramtricas y la interseccin de

los planos

OBJETIVOS

GENERAL:

Desarrollar los ejercicios propuestos, teniendo en cuenta la informacin en

el Modulo unidad 2 de Algebra lineal.

ESPECIFICOS:

Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminacin

gaussiana, factorizacin, espacios vectoriales, reconociendo su importancia

y aplicacin.

Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en prctica

y con las cuales realizaremos soluciones, utilizando las herramientas

apropiadas.

Identificar el mtodo en cada caso y reforzar su aplicacin.

Conocer los diferentes mtodos para desarrollar ejercicios algebraicos

lineales para tener una idea ms clara de desarrollo.

Solucin de Problemas

1. Utilice el mtodo de eliminacin de Gauss Jordn, para encontrar todas

las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1 4 11 = 15 9 + = 8 + 6 = 6

Reescribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial.

6601

8191

151141

Realizaremos la eliminacin por Gauss-Jordn, para obtener la solucin del

sistema de ecuaciones.

13181

1318100

1323

131010

151141

21174013

2313

1010

151141

211740

2310130

151141

23322

133

122

413

1

fffff

fff

fff

1100

1010

0001

1100

1010

4041

110013

2313

1010

151141

211311

322

33 411113

10

181

13

ffxffff

fff

ff

Notemos que la matriz presenta la forma reducida, por tanto podemos extraer los

valores que toma cada variable para dar solucin al sistema de ecuaciones.

Obteniendo como solucin

( = 0 = 1 = 1

)

1.2 7 + 2 + 4 = 103 5 2 = 9

Reescribiendo el sistema de ecuaciones de forma matricial obtenemos:

91253

104127

Realizaremos la eliminacin por Gauss-Jordn, para obtener la solucin del

sistema de ecuaciones.

733

75

717

7290

710

74

71

721

912537

107

47

17

21122

11 37

1

fffff

2933

295

291710

710

74

71

721

2229

7ff

Debido a que el nmero de pivotes es inferior al nmero de variables, se concluye

que este sistema posee infinitas soluciones, las cuales se pueden escribir en

trminos de las variables libres (, )

= 10

7+2

7(33

2917

29 +

5

29)

1

7 +

4

7 =

32

299

29 +

18

29

=33

2917

29 +

5

29

=

=

Conjunto de soluciones:

=32

299

29 +

18

29

=33

2917

29 +

5

29

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el

mtodo que prefiera para hallar ).

1

233

0

zx

zyx

zyx

Desarrollo:

Se pasa el sistema de ecuaciones a forma de matriz:

1A

= (1 1 13 1 31 0 1

) ; = (); = (

021)

A*X=B, despejando X queda: X=A-1*B

La matriz inversa se obtiene con la frmula:

1 =1

det() ()

Se halla el determinante de la matriz:

det (1 1 13 1 31 0 1

) = |1 1 13 1 31 0 1

1 13 11 0

|

Usando el mtodo de Sarrus se hacen las multiplicaciones de las diagonales

det()= 1(-1)(1) + (-1)(3)(-1) + (-1)(3)(0) (-1)(-1)(-1) (1)(3)(0) (-1)(3)(1)

det()= -1 + 3 + (0) (-1) 0 (-3)

det()=6.

Como es diferente de 0 entonces existe la inversa.

Se halla la matriz de cofactores:

|1 30 1

| |3 31 1

| |3 11 0

|

|1 10 1

| |1 11 1

| |1 11 0

|

|1 11 3

| |1 13 3

| |1 13 1

|

(1 0 (3 (3)) 0 1

(1 0) 1 1 (0 1)3 1 (3 + 3) 1 + 3

) = (1 6 11 0 14 6 2

)

Luego se halla la traspuesta de la anterior:

() = (1 1 46 0 61 1 2

)

1 =1

det() ()

1 =1

6 (1 1 46 0 61 1 2

)

1 = (1/6 1/6 2/31 0 11/6 1/6 1/3

)

Reemplazando:

X=A-1*B

= (1/6 1/6 2/31 0 11/6 1/6 1/3

) (021)

=

(

0 +

2

6+2

30 + 0 + 1

0 +2

61

3)

= (110)

Entonces x=1; y=1; z=0

3. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos )1,6,6(R y )32,10( Q

3.2 Contiene a 8,0,5 P y es paralela a la recta 10

5

6

3

1

9

zyx

Las ecuaciones paramtricas son las siguientes:

= 1 +

= 1 +

= 1 +

Las ecuaciones simtricas son las siguientes:

1

= 1

= 1

3.1 Contiene a los puntos )1,6,6(R y )32,10( Q

Se define el vector =(-10-(-6))i + (2-6)j + (-3-1)k = -4i -4j -4k

Por lo tanto a=-4, b=-4 y c=-4

Tomando el punto R se tiene las ecuaciones paramtricas:

= 6 4

= 6 4

= 1 4

Y las simtricas:

+ 6

4= 6

4= 1

4

3.2 Contiene a 8,0,5 P y es paralela a la recta 10

5

6

3

1

9

zyx

El vector posicin es (-5,0,-8)

El vector direccin se obtiene as:

= 9

= 3 6

= 5 10

Por lo tanto el vector director es: (-1, -6, -10)

Entonces las ecuaciones paramtricas son:

= 5

= 6

= 8 10

Y las simtricas:

+ 5

1=

6= + 8

10

4. Encuentre la ecuacin general del plano que: Contiene a los puntos )2,8,1( S , )8,0,3( Q y )1,6,5( T

Se halla la ecuacin vectorial:

(x, y, z) = (p1, p2, p3) + t(u1, u2, u3) + s(v1, v2, v3)

Se toma un punto de los 3 dados y los vectores directores referentes a ese punto

as:

(p1, p2, p3) = (1, -8, -2)

SQ = (-3-1, 0-(-8), -8-(-2)) = (-4, 8, -6)

ST = (5-1, -6-(-8), 1-(-2)) = (4, 2, 3)

(x, y, z) = (1, -8, -2) + t(-4, 8, -6) + s(4, 2, 3)

Se hallan las ecuaciones paramtricas:

(x, y, z) = (1, -8, -2) + (-4t, 8t, -6t) + (4s, 2s, 3s)

x=1-4t+4s

y=-8+8t+2s

z=-2-6t+3s

Se contina con el determinante:

| 1 + 8 + 24 8 64 2 3

| = 0

Aplicando Sarrus:

| 1 + 8 + 24 8 64 2 3

1 + 84 84 2

|=

= (x-1)(8)(3) + (y+8)(-6)(4) + (z+2)(-4)(2) (z+2)(8)(4) (x-1)(-6)(2) (y+8)(-4)(3)

= 24x-24 - 24y 192 8z -16 32z 64 +12x -12 +12y + 96

= 36x -12y - 40z 122 = 0 Siendo esta la ecuacin general del plano.

4.2 Contiene al punto )1,2,7(Q y tiene como vector normal a

kjin 42

El vector normal es un vector perpendicular al plano

Se toma un punto cualquiera que pertenece al plano P(X,Y,Z).

El vector que une los 2 puntos del plano es: (X-(-7), Y-2, Z-1) = (X+7, Y-2, Z-1)

Como son ortogonales entonces el producto punto de los 2 da 0 as:

(X+7, Y-2, Z-1)*(-1, -2, 4) = 0

Entonces la ecuacin del plano es:

(-1)(X+7) + (-2)(Y-2) + 4(Z-1) = 0

-X 7 -2Y +4 +4Z -4 = 0

-X -2Y +4Z -7 = 0

X +2Y -4Z +7 = 0

5. Encuentre todos los puntos de interseccin de los planos:

253:1 zyx y 10379:2 zyx La interseccin de 2 planos es una recta, por lo que se debe hallar una recta. Primero se halla el vector director, con el producto X: V = (-3, -5, 1) X (-9, 7, 3) Entonces:

= | 3 5 19 7 3

3 59 7

| Por Sarrus

V = (i)(-5)(3) + (j)(1)(-9) + (k)(-3)(7) (k)(-5)(-9) - (i)(1)(7) (j)(-3)(3)

V = -15i 9j -21k 45k 7i + 9j

V = -22i + 0j 66k

V = (-22, 0, -66)

Ahora se obtiene un punto cualquiera en el plano dando un valor a X X=2 Entonces: 1

-3(2) -5y + z = -2

-6 -5y + z = -2

-5y + z = 4

2 -9(2) +7y +3z = -10

-18 +7y +3z = -10

7y +3z = 8

Se tienen dos ecuaciones con 2 incgnitas:

(5 17 3

|48) 1 =

1

51

CONCLUSIONES

Frente al desarrollo de cada uno de los ejercicios propuestos por la gua de

actividades cada uno de los participantes logro interactuar y enviar la solucin

de cada uno de los ejercicios, logrando as de esta manera adquirir el mayor

de los conocimientos frente a los temas que se estudiaron en la Unidad 2 del

curso lgebra Lineal.

Se logra profundizar los temas de la unidad 2, los cuales fueron utilizados

para desarrollar cada uno de los ejercicios donde se aplicaron los siguientes

mtodos de Gauss-Jordn, desarrollo de matrices, ecuaciones simtricas y

paramtricas y entre otros temas de inters que encontramos en esta unidad.

BIBLIOGRAFIA

ZUIGA. Camilo. Modulo ALGEBRA LINEAL. ltima actualizacin Bogot

.2010.

Revista virtual. VITUTOR. Rango de una matriz. Consultado en la pgina

web: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/rango.html