TRABAJO COLABORATIVO N3

CURSO:ECUACIONES DIFERENCIALES

PRESENTADO POR: MANUEL RICARDO BAUTISTA RAMREZCDIGO: 1073602495

PRESENTADO A:CAMILO ARTURO ZIGA GUERRERO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA.UNADNEMOCN 2014Primera actividad: autoaprendizaje Cada uno de los estudiantes integrantes del grupo debe desarrollar un ejercicio por cada una de las temticas propuestas a continuacin, el estudiante debe informar en el foro colaborativo los ejercicios que va a desarrollar para que no sean los mismos que escoja otro compaero del grupo.Temtica: ecuaciones diferenciales y solucin por series de potencias

1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de potencias:

2. Revisar la convergencia de las siguientes series

3. Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencial alrededor del punto x=0:

Sustituimos en la ecuacin diferencial y se obtiene:

Vamos a tomar el termino de menor exponente en este caso es n-2 y vamos a llevarlo hasta el punto en el cual sea igual al segundo trmino para el ejemplo es cuando n=3 en la primera parte de la expresin

Ahora tomamos los exponentes y sol igualamos a un solo trmino para convertir la expresin anterior en una sola sumatoria y luego los remplazamos en la ecuacin anterior:

De lo anterior se sabe que C2=0 entonces se obtiene la ecuacin recursiva:

Remplazamos en esta ecuacin k para los siguientes valores 1, 2, 3, 4, 5, y 6

Finalmente se obtienen la solucin general Final:

Manuel Ricardo Bautista 4. Resolver por series la ecuacin diferencial

5. Encuentre para la ecuacin diferencial dos soluciones en serie de potencias en torno al punto ordinario x=0 que sean linealmente independientes.

Segunda actividad:A continuacin se presenta una situacin problema que el estudiante con su grupo colaborativo debe buscar la manera de resolver teniendo en cuenta los siguientes elementos:Leer y analizar el problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparacin y discusin en grupo, solucin del problema.Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variacin del campo gravitacional con la altura, encontrar la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape. (Ver figura 1.)

Se define el peso de un cuerpo como donde entonces el peso del cuerpo de la masa m en la superficie de la tierra es entonces por lo tanto el peso del cuerpo a una distancia x de la superficie de la tierra es Entonces se dice que:

Donde el signo menos indica que la direccin de la fuerza es hacia el centro de la tierra, cancelando m, y resolviendo la ecuacin diferencial resultante y poniendo como condiciones iniciales en se llega a que:

Por tal razn:

Luego de esto se concluye que:

Tercera actividad:Los estudiantes deben proponer un problema que permita la participacin y el ejercicio de solucin a una situacin planteada por ellos mismos, teniendo en cuenta los siguientes elementos:Definir el problema: el grupo debe identificar el problema que desean resolver o la demostracin que pueden realizar posteriormente continan con el anlisis del problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparacin y discusin en grupo, solucin del problema.Un tanque est lleno de 100 litros de agua en los que se ha disuelto 20 kilogramos de sal. Otra mezcla que contiene 1 kilogramo de sal por litro es bombeada al tanque a razn de 7 litros por minuto. La solucin mezclada es bombeada hacia el exterior a razn de 8 litros por minuto. Determinar la funcin que da la cantidad de sal en cada instante. Se vaciar totalmente el tanque?

Por tanto, la ecuacin diferencial que modela la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante viene dada por:

La ecuacin anterior admite como factor integrante:

Multiplicando ambos miembros de la ecuacin por el factor integrante,

Es decir:

Integrando la expresin anterior,

De modo que la solucin general de la ecuacin diferencial es:

Para hallar C tenemos en cuenta que la concentracin inicial es A = 20:

En conclusin, la cantidad de sal presente en el tanque en cada instante es:

Para averiguar si el tanque se vaciar totalmente, determinaremos el tiempo en que la concentracin se anula, esto es:

De la ecuacin anterior podemos decir que:

Por tanto, la concentracin es cero para t = 100 min, que es cuando se vaciar el tanque.Ntese que aunque ste se vace siempre seguir entrando agua salada, de manera que a partir del instante t = 100 min la concentracin de sal en cada instante ser la de la mezcla entrante, a saber, 1 kg/L.

BIBLIOGRAFAhttp://conferencia2.unad.edu.co/p5xqugbh571/?launcher=false&fcsContent=true&pbMode=normalhttp://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALEShttps://www.youtube.com/watch?v=B6kl5faTeyghttps://www.youtube.com/watch?v=LbzC4IhRiwM&src_vid=B6kl5faTeyg&feature=iv&annotation_id=annotation_602458https://www.youtube.com/watch?v=yY2TVTTd8tshttp://www.biomathdynamics.com/diffeqSeries.html