103_BELENDEZ

VIII Congreso Nacional de Propiedades Mecánicas de Sólidos, Gandia 2002 933-942

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FLEXIÓN DE UNA VIGA DELGADA EN VOLADIZO BAJO LAHIPÓTESIS DE NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA

T. Beléndeza, M. Pérez-Polob, y A. Beléndezb

a Departamento de Ciencia y Tecnología de los Materiales. Universidad Miguel Hernández.Avda. del Ferrocarril, s/n. E-03202 Elche (Alicante). [email protected] Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal. Universidad deAlicante. Apartado 99. E-03080 Alicante

RESUMENEn este trabajo se estudian los grandes desplazamientos de una viga delgada en voladizo

para el caso en el que el comportamiento del material del que está fabricada la viga vienedescrito por una relación tensión-deformación lineal (ley de Hooke), presentándose laecuación diferencial no lineal de segundo orden que gobierna el comportamiento de la viga.Esta ecuación diferencial se ha resuelto numéricamente para diversos tipos de cargasaplicadas (concentradas y distribuidas) mediante un algoritmo basado en el método de Runge-Kutta-Fehlberg. Los resultados numéricos se han comparado con los obtenidosexperimentalmente, analizando los grandes desplazamientos de una barra delgada de acerobajo la acción de diversas cargas puntuales, obteniendo una buena concordancia entre losresultados simulados numéricamente y los experimentales.

Palabras clavesViga en voladizo, flexión, módulo de Young, no linealidad geométrica, métodos numéricos

1. INTRODUCCIÓNEl estudio de la flexión, el pandeo y las vibraciones libres de vigas, barras y placas

constituye una parte importante y esencial del estudio del campo de la Mecánica Estructural.Todas las estructuras se deforman cuando se someten a cargas y estas cargas pueden serestáticas, dinámicas térmicas, aeroelásticas o hidroelásticas, etc. [1]. Las teorías lineales sonaproximaciones de primer orden utilizadas en el estudio del comportamiento de los elementosestructurales antes mencionados cuando se deforman bajo la acción de las cargas aplicadas. Apesar de ello, muchos de los problemas que aparecen en Mecánica Estructural son no linealesy deben tratarse como tales. En general, los tipos de no linealidades que aparecen enMecánica Estructural pueden clasificarse en distintos tipos. La ley de Hooke generalizada noes válida si la relación tensión-deformación del material no es lineal. Este tipo de nolinealidad se conoce como no linealidad del material o no linealidad física. Los problemas queinvolucran grandes desplazamientos o rotaciones con pequeñas deformaciones se enmarcandentro de lo que se conoce como no linealidad geométrica y además también se puedenaparecer problemas no lineales debidos a las condiciones de contorno [1]. En todos los casosla solución analítica suele ser complicada o sencillamente inexistente salvo en los casos mássencillos, por lo que es necesario recurrir a técnicas de solución mediante métodos numéricos.

Uno de los problemas típicos de no linealidad geométrica corresponde al estudio de laflexión de una viga delgada en voladizo sometidas a distintos tipos de cargas. Este tipo devigas presentan grandes desplazamientos y pendientes, no sólo cuando se les aplican cargasexternas, sino también debido a su propio peso. Debido a estos grandes desplazamientos, laecuación diferencial que describe el comportamiento de la viga es no lineal. Si el espesor de laviga es pequeño comparado con su longitud, la teoría de la elástica [1-4] describe

Beléndez, Pérez-Polo y Beléndez

934

adecuadamente las grandes deflexiones de la viga debido a las cargas aplicadas, siendonecesario utilizar la expresión exacta de la curvatura de la elástica en la ecuación de Euler-Bernoulli. De acuerdo con esta ecuación, el momento flector es proporcional a la curvatura dela elástica [1].

En este trabajo se van a considerar los grandes desplazamientos de una viga de secciónconstante empotrada en un extremo y sometida a una carga uniformemente distribuida a lolargo de su longitud y a una carga concentrada aplicada en el extremo libre de la viga.Siguiendo el tratamiento de Lee [3], la ecuación que gobierna los grandes desplazamientos dela viga se presenta en términos del esfuerzo cortante en vez del momento flector. Estaformulación presenta ventajas computacionales sobre la formulación basada en el momentoflector. Para resolver la ecuación diferencial se ha desarrollado, utilizando el programaMatlab, un algoritmo basado en el método de Runge-Kutta-Felhberg, lo que ha permitidoobtener la pendiente de cada punto de la línea neutra de la viga flexionada. Haciendo uso deeste método ha sido posible, en primer lugar, simular numéricamente el comportamiento de laviga y determinar los desplazamientos de los puntos de la línea neutra de la viga en funciónde las cargas aplicadas (determinación de la curva elástica) y, en segundo lugar, obtenerinformación de las características del material a partir de las cargas aplicadas y las medidasexperimentales de la elástica de la viga.

2. PLANTEAMIENTO TEÓRICOConsideremos una viga delgada de sección rectangular constante de material elástico

lineal para el cual la relación tensión-deformación viene dada por la ley de Hooke σ = Eε,donde σ representa la tensión, ε la deformación unitaria y E es el módulo de elasticidad omódulo de Young del material. En primer lugar suponemos que la hipótesis de Bernoulli-Euler es válida, es decir, que las secciones planas de la viga perpendiculares al eje neutroantes de la deformación permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de ladeformación. Además suponemos que las secciones planas de la viga no cambian su forma ysuperficie.

La relación momento-curvatura de Euler-Bernoulli para una viga de sección constantede material elástico lineal puede escribirse en la forma [3, 4]:

κEIM = (1)

donde M es el momento flector en una sección dada de la viga, κ es la curvatura de la elásticae I es el momento de inercia de la sección de la viga respecto al eje neutro. Para una viga desección rectangular de base b y altura h, el momento de inercia de la sección es I = bh3/12.Derivando la ecuación (1) respecto a s se obtiene la ecuación diferencial:

s

M

EIs d

d1

d

d=

κ(2)

La Figura 1 muestra un esquema de una viga empotrada por un extremo, sometida a unacarga vertical concentrada F en su extremo libre y a una carga uniformemente distribuida w alo largo de su longitud, junto con la definición de distintos parámetros geométricos. En estafigura δx y δy son los desplazamientos horizontal y vertical del extremo libre, respectivamente,y ϕ0 tiene en cuenta la máxima pendiente de la viga que se obtiene en el extremo libre de lamisma. Tomamos el origen de coordenadas en el empotramiento de modo que (x,y) son lascoordenadas de un punto A de la línea neutra de la viga y s es la longitud de arco a lo largo dela viga flexionada.

VIII Congreso Nacional de Propiedades Mecánicas de Sólidos

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A(x,y)δy

L - δx

ϕ0

s

X

Y

F

δx

F w

w

Figura 1. Esquema de la viga flexionada y definición de los parámetros geométricos.

El momento flector M en el punto A puede calcularse fácilmente en coordenadascartesianas y su valor es [3]:

[ ] )(d)()()( xLFusxuxwsM x

L

s−−+−= ∫ δ (3)

siendo L – δx – x la distancia desde la sección de la viga en el punto A al extremo libre y F esla fuerza puntual aplicada. Derivando la ecuación (3) respecto a s y teniendo en cuenta larelación cosϕ = dx/ds, se obtiene:

ϕϕ coscos)(d

dFsLw

s

M−−−= (4)

y sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (2) queda:

[ ] )(cos)(1

d

)(d2

2

sFsLwEIs

sϕ

ϕ+−−= (5)

donde se ha tenido en cuenta la relación entre la curvatura κ y el ángulo ϕ:

sd

dϕκ = (6)

Las condiciones de contorno de la ecuación (5) son las siguientes:

ϕ(0) = 0 (7)

ϕ’(L) = 0 (8)


936

donde ϕ’(s) ≡ dϕ(s)/ds.A partir de las relaciones cosϕ = dx/ds y senϕ = dy/ds, las coordenadas (x,y) de los

puntos de la elástica de la viga pueden calcularse, una vez conocidos los valores de ϕ enfunción de s, mediante las ecuaciones:

∫=s

sssx0

d)(cos)( ϕ (9)

∫=s

sssy0

d)(sin)( ϕ (10)

Analizando la Figura 1 puede verse como los desplazamientos horizontal y vertical delextremo libre de la viga pueden calcularse utilizando las ecuaciones (9) y (10) evaluadas parael caso s = L:

)(LxLx −=δ (11)

)(Lyy =δ (12)

3. ANÁLISIS NUMÉRICOPara resolver numéricamente la ecuación diferencial no lineal de segundo orden (5), se

transforma ésta en un sistema de dos ecuaciones diferenciales a través de las variables x1 y x2

definidas mediante las ecuaciones:

sx ; x

d

d21

ϕϕ == (13)

con lo cual la ecuación (5) puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones diferencialesde primer orden en la forma:

[ ] 12

21

cos)(1

d

dd

d

xFsLwEIs

x

xs

x

+−−=

=(14)

con las condiciones de frontera:

0)(0)0( 21 == Lx ; x (15)

Considerando las ecuaciones (14) y (15) se tiene un problema no lineal concondiciones de frontera. Es bien conocido que la solución numérica de este tipo de problemases mucho más complicada que un problema de condiciones iniciales, para los cuales puedenaplicarse los algoritmos numéricos del tipo Runge-Kutta. Otra estrategia de solución para lasecuaciones (14) y (15) podría ser la aplicación del método de las diferencias finitas. Sinembargo, al ser las ecuaciones no lineales se obtiene un sistema de ecuaciones algebraico nolineal cuya solución puede ser muy complicada.

Las consideraciones anteriores han llevado a reducir la solución de un problema decondiciones de frontera a otro de condiciones iniciales. Para ello se utiliza el método dedisparo [5], en el que el valor inicial de la variable x2 en s = 0 se supone conocido y se aplicaun método de integración para el problema de condiciones iniciales dadas por:


937

2021 )0(0)0( xx ; x == (16)

donde x20 es el valor supuesto. En este trabajo se ha utilizado el método de Runge-Kutta-Fehlberg, el cual tiene la posibilidad de estimar el error en cada paso de integración y secomporta muy bien con pasos de integración no excesivamente pequeños [5, 6]. Puesto que senecesita la solución exacta de la variable x2 para el valor de s = L, el paso de integración semantiene fijo, no siendo necesario calcular el error en cada paso de integración, con lo cualdisminuye el tiempo de ejecución del algoritmo.

Una vez resueltas las ecuaciones (14) y (16) será altamente improbable que con elvalor supuesto de x20 en s = 0, se obtenga x2(L) = 0, por lo que será necesario introducir unacorrección de x20 y volver a repetir los cálculos hasta obtener un valor x2(L) muy pequeño. Eneste trabajo los cálculos se consideran satisfactorios cuando se verifica la condición:

|x2(L)| < 10-8 (17)

Cada vez que se ejecuta el algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg, el valor de x20 se ajusta de lasiguiente forma:

)()0()0( 12

122 Lxxx iii −− −= α (18)

siendo:

)0(12−ix = Valor inicial supuesto en la iteración i - 1.

)(12 Lx i− = Valor alcanzado en el extremo libre de la barra en la iteración i - 1.

)0(2ix = Valor de x2 que se utiliza para arrancar la iteración i.

α = Parámetro que depende del valor de la fuerza aplicada F en el extremo de la barra y delintervalo de simulación T: ),( TFαα = , α ≤ 1.

Se ha comprobado que conforme aumenta la fuerza F, es necesario disminuir el valor deα para que el número de iteraciones disminuya hasta alcanzar el valor óptimo. La aplicaciónreiterada del algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg, junto con la ecuación (18), conduce a lasolución correcta en un número de iteraciones que oscila entre 10 y 50 para las cargaspuntuales F consideradas en este trabajo.

Una vez determinados los valores de ϕ en función de s, para calcular las coordenadascartesianas x e y se hace uso de las ecuaciones (9) y (10) cuyas integrales se han resueltoutilizando el método de Euler o de los trapecios. Este método proporciona resultadoscorrectos siempre que el número de divisiones de la barra sea elevado. En este caso se hanconsiderado 800 intervalos.

Para comprobar la bondad del método de integración considerado se van a comparar losresultados obtenidos con este método con otro ya conocido. Para ello vamos a suponer que lacarga distribuida es nula (w = 0) y que la viga está únicamente sometida a una carga verticalconcentrada F en el extremo libre. En este caso la ecuación diferencial (5) se convierte en:

)(cosd

)(d2

2s

EI

F

s

sϕ

ϕ−= (19)


938

cuya solución da lugar a integrales elípticas [4] que pueden expresarse en términos defunciones elípticas [1]. La Tabla 1 muestra, en función del parámetro adimensional k, losresultados obtenidos para ϕ0, δx/L y δy/L utilizando el método de Runga-Kutta-Fehlbergconsiderado en este trabajo y los que se pueden calcular utilizando funciones elípticas. Comopuede verse existe una buena concordancia entre los resultados obtenidos por ambos métodos.El parámetro adimensional k considerado es proporcional a la carga vertical puntual Faplicada en el extremo libre de la viga y su valor es:

EI

FLk

2= (20)

Tabla 1: Comparación entre los resultados obtenidos utilizando el método de Runge-KuttaFehlberg y el método de la integral elíptica para el caso en el que no existe carga distribuida

(ecuación (19)).

kϕ0 (rad)integralelíptica

ϕ0 (rad)R-K

Fehlberg

δx/Lintegralelíptica

δx/LR-K

Fehlberg

δy/Lintegralelíptica

δy/LR-K

Fehlberg0.00.40.81.21.62.02.42.83.23.64.0

0.000000.079810.308860.620180.906971.121241.269111.368751.435501.480171.51007

0.000000.079810.308850.620170.906971.121241.269111.368751.435491.480171.51007

0.00000.00170.02540.10160.21560.32890.42420.50010.56010.60800.6468

0.00000.00070.02440.10070.21480.32820.42360.49950.55950.60740.6462

0.00000.05320.20410.39940.56210.67000.73800.78240.81310.83550.8523

0.00000.05320.20430.39970.56240.67040.73850.78290.81360.83600.8532

4. RESULTADOS EXPERIMENTALESLa Figura 2 muestra una fotografía de la viga analizada experimentalmente junto con un

detalle del empotramiento. Se trata de una barra delgada de acero de modo que se puedeconsiderar que el comportamiento del material es lineal. La longitud de la barra es L = 0.40 my su sección es rectangular de base b = 0.025 m y altura h = 0.0004 m. El momento de inerciade la sección respecto a la línea neutra es I = 1.333 x 10-13 m4. La carga distribuida es el pesopropio de la barra cuyo valor por unidad de longitud es w = 0.758 N/m.

Con ayuda de dos reglas, una horizontal y otra vertical, se miden los valores de losdesplazamientos δx y δy del extremo libre de la viga cuando se cuelgan en dicho extremomasas m = 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 g lo que supone que las cargas verticales puntualesaplicadas son F = 0.000, 0.098, 0.196, 0.392, 0.490 y 0.588 N, respectivamente.

Haciendo uso del algoritmo numérico desarrollado se calculan los valores de losdesplazamientos δy para valores del módulo de Young en el intervalo de 180 a 210 GPa, paralas distintas cargas externas puntuales aplicadas F. Esto permite determinar el módulo deYoung del material comparando los desplazamientos experimentales δy,exp(Fj) con loscalculados numéricamente δy(E,Fj), de manera que se determina el valor del módulo deYoung E para el cual la cantidad χ2 es mínima, donde:


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[ ]∑=

−=J

j

jexpyjy FFEE1

2,

2 )(),()( δδχ (21)

En la Figura 3 se han representado los valores de la cantidad χ2 en función de E, siendoE = 194.48 GPa el valor del módulo de Young que minimiza χ2.

Figura 2. Fotografía de la barra delgada de acero empotrada en un extremo y sometida a unacarga vertical puntual en el otro y detalle del empotramiento.

Una vez determinado el módulo de Young se vuelve a hacer uso del algoritmonumérico desarrollado para calcular los desplazamientos δy del extremo libre para las cargaspuntuales consideradas. La Figura 4 se han representado las medidas experimentales de losdesplazamientos verticales del extremo libre de la viga junto con los valores obtenidosresolviendo numéricamente mediante el método de Runge-Kutta-Fehlberg la ecuacióndiferencial no lineal de segundo orden que gobierna el comportamiento de la viga. En estafigura también se han incluido los valores del desplazamiento vertical que se obtienenutilizando la aproximación lineal y que vienen dados por la ecuación δy = FL3/3EI [7]. Comofácilmente se comprueba, el comportamiento del sistema es claramente no lineal. En la Tabla2 se presentan los resultados obtenidos numéricamente junto con los valores medidosexperimentalmente, el error entre ambos así como el número de iteraciones del programarealizadas en cada caso.


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E (GPa)

χ (m )2 2

2102052001951901851800.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Figura 3. Valores de la cantidad χ2 en función del módulo de Young E, calculados medianteel algoritmo numérico basado en el método de Runge-Kutta-Fehlberg.

0.60.50.40.30.20.10.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

F (N)

análisis lineal

análisis no lineal

δ y(m)

Figura 4. Medidas experimentales de los desplazamientos verticales del extremo libre de laviga y valores obtenidos mediante el análisis lineal y el no lineal.

En la Figura 5 se ha representado la variación del ánguloϕ y de la derivada dϕ/ds a lolargo de la longitud de la barra para una carga vertical puntual aplicada F = 0.392 N y tresiteraciones diferentes. En la iteración 21 es en la que se cumple la condición de contorno de laecuación (8), en este caso la condición que se ha impuesto (dϕ/ds)s =L < 10-8. Por último, en laFigura 6 se muestra el plano de fases de las variables de integración ϕ y dϕ/ds para la cargapuntual F = 0.392 N y las tres iteraciones consideradas en la Figura 5.


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Tabla 2: Resultados experimentales y calculados numéricamente para el desplazamientovertical del extremo libre de la viga, δy, tomando E = 194.48 GPa, error relativo, número de

iteraciones realizadas en cada caso y valor de 1/α.

ϕ (rad)

1

321

0.40.30.20.10.00.00

0.25

0.50

0.75

1.00

L (m)

dϕ/ds

Iteración 1 Iteración 3 Iteración 21

0.40.30.20.10.0-4

0

4

8

L (m)

1

321

Figura 5. Variación del ángulo ϕ y de la derivada dϕ/ds a lo largo de la longitud de la barrapara F = 0.392 N y tres iteraciones. En la iteración 21 (dϕ/ds)s =L < 10-8.

5. CONCLUSIONESSe ha planteado la ecuación diferencial no lineal de segundo orden que gobierna el

comportamiento de una viga en voladizo de material elástico lineal bajo la acción de unacarga vertical puntual aplicada en el extremo libre y una carga uniformemente distribuida a lolargo de la longitud de la viga. El problema presenta no linealidad geométrica no siendoposible encontrar una solución analítica del mismo por lo que se ha resuelto numéricamenteutilizando el método de Runge-Kutta-Fehlberg. Experimentalmente se ha analizado elcomportamiento de una barra delgada de acero para grandes desplazamientos considerandoque la carga distribuida es el peso propio de la barra. Haciendo uso de las medidas

F (N) δy (m)experimental

δy (m)calculado

Error (%) Número deiteraciones

Fac =1/α

0.0000.0980.1960.2940.3920.4900.588

0.089 ± 0.0010.149 ± 0.0010.195 ± 0.0010.227 ± 0.0010.251 ± 0.0010.268 ± 0.0010.281 ± 0.001

0.08990.15180.19630.22750.24980.26630.2788

1.011.840.640.220.460.640.79

7172224252525

1.101.752.403.053.704.355.00


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experimentales de los desplazamientos verticales del extremo libre de la barra y del algoritmonumérico desarrollado se ha obtenido el módulo de Young del material y con éste valor se hadeterminado numéricamente los valores del desplazamiento vertical del extremo libre de labarra para distintas cargas aplicadas. Estos valores numéricos se han comparado con losmedidos experimentalmente.

Figura 6. Plano de fases de las variables de integración ϕ y dϕ/ds para una carga puntualaplicada F = 0.392 N y tres iteraciones. El error en la iteración 21 menor que 10-8.

6. REFERENCIAS

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New York, 1987.7. R.C. Hibbeler. Mecánica de Materiales, Prentice Hall, México, 1998.

1.00.80.60.40.20.0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

dϕ/ds

ϕ (rad)

Iteración 1 Iteración 3 Iteración 211

3 21

Error en la "iteración 21" < 10-8

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