El Colegio de la Frontera Norte Maestría en Desarrollo Regional (2010-2012)

Técnicas de Análisis Regional Tema II. Análisis Multivariado aplicado a la Economía Regional

Análisis Factorial

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INTRODUCCIÓN 

El análisis  factorial es una  técnica que nos permite  identificar un número  relativamente pequeño de 

factores  que  pueden  ser  utilizados  para  representar  la  relación  existente  entre  un  conjunto  de 

variables intercorrelacionadas. 

 

El  modelo  matemático  que  subyace  a  esta  técnica,  en  donde  aparece  cada  variable  como  una 

combinación lineal de una serie de factores. 

 

La técnica del análisis factorial: 

ikikiii UFAFAFAX ++++= ...2211  

donde, 

  F son los factores comunes a todas las variables, 

U  es  el  factor  único  referido  a  la  parte  de  la  variable  i  que  no  puede  ser  explicada  por  los 

factores comunes, 

Ai son los coeficientes de cada uno de los factores. 

Los  factores únicos  se asume que están  incorrelacionados  con el  resto de  factores únicos  y  con  los 

factores comunes. 

 

El  análisis  factorial  nos  puede  permitir  reflejar  el  conjunto  de  variables  con  el menor  número  de 

factores posible y que a su vez éstos tengan una interpretación clara y un sentido preciso. 

 

Aunque  en  la  práctica  el  análisis  factorial  y  el  método  de  componentes  principales  se  utilizan 

indistintamente  y  dan  resultados  similares,  en  el  análisis  de  componentes  principales  el  objetivo 

consiste en encontrar una  serie de  componentes que expliquen el máximo de  varianza  total de  las 

variables originales, sin embargo, el objetivo del análisis  factorial es encontrar una serie de  factores 

que expliquen el máximo de varianza común de las variables originales. 

 

 

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DESCRIPTIVOS Y MATRIZ DE CORRELACIONES 

Para comprobar el grado de asociación de las variables se utilizan los métodos: 

a) Determinante de  la matriz de correlaciones. Si el determinante tiene a cero, entonces una o 

más variables pueden ser expresadas como un combinación lineal de las otras. 

b) Prueba  de  esfericidad  de  Barlett’s.  Esta  prueba  se  utiliza  para  verificar  si  la  matriz  de 

correlaciones es una matriz  identidad  (I), es decir, existe ausencia de correlación  significativa 

entre las variables. 

c) El  índice Kaiser‐Meyer‐Olkin  (KMO). Compara  los coeficientes de correlación de Pearson con 

los  coeficientes  de  correlación  parcial  entre  variables.  Valores  bajos  del  índice  KMO 

desaconsejan el uso de esta técnica. 

           KMO < 0.50 son considerados inaceptables o muy malos 

0.50 < KMO ≤ 0.60 son considerados malos 

0.60 < KMO ≤ 0.70 son considerados mediocres o regulares 

0.70 < KMO ≤ 0.80 son considerados aceptables 

0.80 < KMO ≤ 0.90 son considerados buenos 

0.90 < KMO ≤ 1.00 son considerados excelentes 

d) Correlación  Anti‐imagen.‐  Es  el  negativo  del  coeficiente  de  correlación  parcial  entre  dos 

variables; deberá haber pocos coeficientes altos. 

e) Medida  de  Adecuación  de  la Muestra  (MSA).‐  Valores  bajos  de  este  índice  desaconsejan 

también el uso de esta técnica. 

 

EXTRACCIÓN DE FACTORES 

Componentes principales (PC) 

El método de componentes principales consiste básicamente en llevar a cabo una combinación 

lineal de  todas  las variables de modo que el primer componente principal sea una combinación que 

explique  la mayor proporción de varianza en  la muestra, el segundo  la segunda mayor y que a su vez 

esté incorrelacionado con el primero, y así sucesivamente hasta tantos componentes como variables. 

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  Si utilizamos tantos componentes principales como variables, cada variable puede ser explicada 

por ella misma y por toda  la variabilidad de cada variable, que expresada en unidades de desviación 

estandarizadas es igual a la unidad, explicada a su vez por los factores comunes. 

Comunalidades 

Estadísticos iniciales.‐ Total de varianza explicada. 

Gráfica de sedimentación.‐ Número de factores y eigenvalores. 

Matriz factorial.‐ Matriz de componentes. 

Matriz de correlaciones reproducidas y residuales.‐ Correlaciones reproducidas. 

La proporción de variabilidad de cada variable explicada por  los factores del modelo es  lo que 

se conoce con el nombre de comunalidad de la variable. Su valor oscila entre 0 y 1 y la parte de  

la varianza no explicada por el modelo  factorial, esto es, 1‐comunalidad, es  lo que se conoce 

con el nombre de factor único o unicidad. 

La diferencia entre  los coeficientes de correlación estimados y  los coeficientes de correlación 

observados es lo que se conoce como residuales. 

Formalización matemática de Componentes Principales 

Cuando se tiene un conjunto de p variables, X1, X2, X3  ,…, Xp, que están  interrelacionadas; es común 

que se busque la reducción de variables. A través de éste método se permite la reconstrucción de las 

variables originales, en base a combinaciones  lineales  llamadas Componentes Principales, que son de 

tipo: 

C1 = a11⋅X1 + a12⋅X2 + a13⋅X3 + … + a1p⋅Xp  

C2 = a21⋅X1 + a22⋅X2 + a23⋅X3 + … + a2p⋅Xp  

C3 = a31⋅X1 + a32⋅X2 + a33⋅X3 + … + a3p⋅Xp  

  :      :      :         :         : 

Cp = ap1⋅X1 + ap2⋅X2 + ap3⋅X3 + … + app⋅Xp  

Los componentes principales son no correlacionados entre si (ortogonales), y cada uno tiene su 

correspondiente varianza.  

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La solución para determinar la matriz de coeficientes se obtiene de la siguiente manera: Sea A 

una matriz cuadrada simétrica, λ es un vector de  las varianzas de  los componentes y u  la matriz de 

coeficientes, entonces tenemos que: 

           uA = uλ 

igualando a cero:       uA ‐ uλ = 0 

factorizando:              (A ‐ λI)u = 0 

esto nos lleva a:      ⏐A ‐ λI⏐ = 0  (ecuación característica),  

de  la  cual  se obtiene  la  solución del  vector de  raíces  características λ  (eigenvalores)  y de  la 

matriz de vectores característicos u (eigenvectores); obtenidos a partir de la matriz A. 

Para  resolver  la ecuación  característica para un  conjunto de p variables  interrelacionadas,  se puede 

usar la matriz de varianzas y covarianzas Σ; que es una matriz cuadrada simétrica, en donde la diagonal 

principal son las varianzas obtenidas para las p variables, y fuera de la diagonal están las covarianzas de 

cada par de variables. Esta matriz se representa por: 

Σ =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ σ

12

12 13 1

21 22

23 2

31 32 32

3

1 2 32

..

..

..: : : . :

..

p

p

p

p p p p

 

Otra opción para la solución a la ecuación característica se puede obtener a partir de la matriz 

de correlaciones ρ, que es a  la matriz de varianzas y covarianzas para  las p variables estandarizadas. 

Esta  también es una matriz  cuadrada, donde  la diagonal principal  son  las varianzas  (todas  iguales a 

uno) y fuera de  la diagonal son    las correlaciones de cada par de variables. Esta matriz se representa 

por: 

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ρ

ρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ ρ

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

11

1

1

12 13 1

21 23 2

31 32 3

1 2 3

..

..

..: : : . :

..

p

p

p

p p p

 

 

ROTACIÓN 

  La finalidad de  la rotación es ayudar a  interpretar. Existen varios procedimientos ortogonales: 

VARIMAX, EQUAMEX y QUARTIMAX, no oblicuos o no ortogonales: PROMAX y DIRECT OBLIMIN. De los 

procedimientos  ortogonales,  el más  utilizado  es  el  VARIMAX,  y  trata  de minimizar  el  número  de 

variables que hay con pesos o saturaciones elevadas en cada factor. Todos ellos  tratan de obtener una 

matriz factorial que se aproxime al principio de estructura simple.  

Matriz de pesos factoriales rotada.‐ Matriz de componentes rotada. 

Gráfica tridimensional de  la solución rotada VARIMAX y componentes principales. Los valores 

de cada variable en las coordenadas corresponden a los pesos factoriales de las mismas en los 

ejes de cada factor. 

 

PUNTUACIONES FACTORIALES 

Matriz de coeficientes de puntuaciones factoriales. 

Las  puntuaciones  factoriales  tendrán  media  0  y  desviación  estándar  que  en  componentes 

principales será igual a la unidad en todos los casos.