121-159

Autorizada la entrega del proyecto de la alumna:

D. Nuria Merchn Ros

Madrid, 8 de septiembre de 2009

EL DIRECTOR DEL PROYECTO

Fdo.: Dr. D. Francisco Javier Rodrguez Gmez

V B del Coordinador de Proyectos

Fdo.: D. Eduardo Alcalde Lancharro Fecha: / /

PROYECTO FIN DE CARRERA

SOFTWARE DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS CON VALOR EN FRONTERA DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS

AUTORA: NURIA MERCHN ROS

MADRID, SEPTIEMBRE 2009

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA (ICAI) INGENIERO EN INFORMTICA

Agradecimientos y dedicatoria

S perseverante, porque el agua horada la roca a fuerza de caer sobre

ella.

Prosigue y no desmayes, y ten en mucho lo poco conseguido, pues la

llovizna no es abundante y, sin embargo, cala.

El collar de la paloma, Ibn Hazm de Crdoba

Gracias a mis padres y a mi hermana que siempre han estado ah

apoyndome y recordndome esta cita de este poeta cordobs. Tambin

quiero darle las gracias a mi director Francisco Javier, por su ayuda y

paciencia.

Finalmente, quiero dedicarle este proyecto, de forma muy especial a

aquellos que se emocionaran sabiendo que ya termin esta ingeniera.

Software para la resolucin de EDO I

ResumenEs objeto del presente proyecto el abordar un desarrollo software para el estudio, anlisis e

implementacin de los mtodos numricos que se encargan de resolver de manera

aproximada las ecuaciones diferenciales de segundo orden con la siguiente estructura:

y = f Hx, y, yL a x b

que verifica las condiciones de frontera en los puntos extremos del intervalo:

yHaL = a y yHbL = b.

Este tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presentan con frecuencia en

numerosos problemas de Ingeniera Civil (deflexiones de una viga de seccin rectangular

con carga uniforme), en Fsica (potenciales electroestticos en materiales cargados

uniformemente), y en Qumica (anlisis del flujo de la corriente en un tubo al vaco,

ecuacin de Van der Pol).

Los mtodos numricos objeto de anlisis, estudio e implantacin son:

1.- Mtodo del disparo lineal. Se basa en la sustitucin del problema lineal con condiciones

de frontera por otros dos problemas con valores iniciales. Se emplea el mtodo de Runge-

Kutta de cuarto orden (que resuelve ecuaciones diferenciales de primer orden) con el fin de

conseguir las aproximaciones de este mtodo.

Proyecto Fin de Carrera II

2.- Mtodo del disparo para problemas no lineales. Aun parecindose al mtodo lineal, la

solucin del problema no se expresa como una combinacin lineal de las soluciones a los

problemas de dos valores iniciales, si no que utiliza una sucesin de problemas con valor

inicial. Este mtodo se auxilia del mtodo de de Runge-Kutta de cuarto orden y del mtodo

de resolucin de ecuaciones no lineales de Newton.

3.- Mtodo de las diferencias finitas para problemas lineales. Este mtodo reemplaza las

derivadas en las ecuaciones diferenciales por una aproximacin de cocientes de diferencias

finitas adecuadas.

4.- Mtodo de las diferencias finitas para problemas no lineales. Utiliza, como en el

mtodo anterior, el mtodo de diferencias finitas, pero al dar origen a un sistema de

ecuaciones no lineales, se requiere un proceso iterativo para su resolucin, en particular se

emplea el mtodo de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.

5.- Mtodo de Raileigh-Ritz. En este mtodo se selecciona de un conjunto de todas las

funciones, suficientemente derivables que verifican las condiciones de frontera, aquellas

que reducen al mnimo unas determinadas integrales. Posteriormente, se disminuye el

conjunto de funciones candidatas para obtener la aproximacin a la solucin del problema

con valor de frontera. Es decir, la funcin que aproxima la solucin es una combinacin

lineal de ciertas funciones bsicas que son linealmente independientes.

En el mtodo lineal segmentario cada funcin bsica es sustituida por un polinomio lineal

definido por intervalos.

Software para la resolucin de EDO III

En el mtodo de los trazadores cbicos cada funcin bsica es sustituida por un polinomio

cbico o trazador B (polinomio cbico en forma de campana). Este mtodo da origen a un

sistema lineal de ecuaciones con una matriz simtrica de banda con un ancho mximo de

valor siete, que se resuelve mediante el mtodo de descomposicin de Cholesky.

Los citados mtodos, tras haberse estudiado detalladamente, se disean y se programan en

un lenguaje con capacidades de clculo numrico, simblico y con funcionalidades grficas,

a fin de analizar tanto las aproximaciones numricas con su cota de error, como representar

las grficas de la solucin exacta de la ecuacin diferencial junto a la funcin aproximada

obtenida.

Por ultimo, se presentan todos los algoritmos de este proyecto bajo una interfaz grfica de

usuario (GUI) que facilita y permite comprobar cada uno de los mtodos para cualquier

ecuacin diferencial de segundo orden con valor en la frontera de dos puntos. Los

resultados, numricos y grficos, se presentan en la propia interfaz de usuario diseada, y el

detalle de todos los pasos intermedios con los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

y dems frmulas, se indican en un fichero del entorno de desarrollo empleado: el programa

Mathematica.

Proyecto Fin de Carrera IV

AbstractThe objective of this project is to develop software for the study, analysis and

implementation of numerical methods which are used to solve in an approximate way a

second-order differential equations with the following structure:

y = f Hx, y, yL a x b

Which verifies the boundary-values conditions at the endpoints of the interval:

yHaL = a y yHbL = b.

This types of second-order differential equations are often presented in many problems of

Civil Engineering (alterations of a rectangular beam section with uniform weight load) in

Physics (electrostatic potentials in materials uniformly loaded) and in Chemistry (The Van

der Pol equation, i.e. an analysis of the flow of the stream in a vacuum pipe/tube

(Relaxation Oscillations).

The numerical methods to be analysed, studied and implanted/introduced are:

1. - Linear shooting method. Which is based on the substitution of the boundary-value

linear problem for two other problems with initial values. The fourth-order Runge-Kutta

method (which solves first-order differential equations) with the aim of achieving the

approximations of this method.

Software para la resolucin de EDO V

2. - The shooting method for nonlinear problems. Even though it is similar to the linear

method, the solution to the problem is not expressed as a linear combination of the

solutions to the problems with two initial values Instead a succession of problems with

initial value is used. This method is supported by the fourth-order Runge Kutta method and

the Newton method for solving nonlinear equations.

3. - The finite-difference method for linear problems. This method replaces the derivatives

in the differential equations for an approximation of quotients of adequate finite differences.

4. - The finite-difference method for nonlinear problems. Like the previous method, it uses

the finite-difference method, but as it gives rise to a system of nonlinear equations, a

repeated process is required in order to solve it; in particular the Newton method for

nonlinear equations systems is applied.

5. - Raileigh-Ritz method. In this method, a whole group of all the functions is selected,

enough derivative, which verify the boundary-values conditions, those ones that reduce

some specific integral signs to the minimum. As a result, the group of candidate functions

for obtaining the approximation to the solution of the problem with boundary-value is

diminished. That is to say, the function which brings up the solution is a linear combination

of some basic functions which are independent in a linear way.

The piecewise linear method, each basic function is substituted by a linear polynomial

defined by intervals.

In the cubic spline method, each basic function is substituted by a cubic polynomial or B

Proyecto Fin de Carrera VI

tracer (cubic polynomial with a bell shape). This method gives rise to a linear system of

equations with a symmetric band matrix with a maximum width of seven which is solved

through Cholesky's decomposition method.

When studied in detail, the methods mentioned above are designed and programmed in a

language with numerical, symbolic calculation capacities and with graphic functions with

the aim of analysing the numerical approximations with their error figure, and also

representing the exact graphics solution of the differential equation together with the

approximate function obtained.

Finally, all the algorithms of this project under a graphical user interface (GUI) facilitates

and allows checking each of the methods for any second-order differential equation with

boundary-value of two points. The numerical and graphic results are presented in the

designed user interface itself, and the detail of all the intermediate steps with the linear and

nonlinear equation system together with the rest of the formula are shown in a file of the

development environment used: the Mathematica programme.

Software para la resolucin de EDO VII

ndiceAgradecimientos y dedicatoria I......................................................................................

Resumen II.........................................................................................................................

Abstract V...........................................................................................................................

ndice VIII..............................................................................................................................

1. Introduccin y motivacin... 1.......................................................................................

2. Objetivos del proyecto... 5.............................................................................................3. Anlisis de requisitos... 7...............................................................................................

3.1. Requisitos funcionales... 7...................................................................................

4. Metodologa... 13.............................................................................................................

5. El mtodo del disparo lineal... 20....................................................................................

5.1. Mtodo de Runge-Kutta... 20................................................................................

5.2. Mtodo del disparo lineal... 24..............................................................................

6. El mtodo del disparo no lineal... 30...............................................................................

7. El mtodo lineal de diferencias finitas... 38....................................................................

8. El mtodo lineal de diferencias finitas para problemas no lineales... 45.........................

9. El mtodo de Rayleigh-Ritz... 54....................................................................................

9.1. Mtodo lineal segmentario de Rayleigh-Ritz... 54................................................

9.2. Mtodo de trazadores cbicos de Rayleigh-Ritz... 72...........................................

9.2.1. Mtodo de Cholesky... 93............................................................................

10. Estudio de la arquitectura... 95......................................................................................

11. Diseo externo... 96.......................................................................................................

11.1. Mtodos lineales... 97..........................................................................................

Proyecto Fin de Carrera VIII

11.2. Mtodos no lineales... 103.....................................................................................

11.3. Mtodos de Rayleigh-Ritz... 110...........................................................................

11.4. Men Ayuda... 131................................................................................................

12. Valoracin econmica y planificacin... 133.................................................................

12.1. Valoracin econmica del proyecto... 133............................................................

12.2. Planificacin temporal del proyecto... 138............................................................

13. Conclusiones... 139..........................................................................................................

Anexo I. Manual de Instalacin y de Usuario... 143..............................................................

Bibliografa... 146..................................................................................................................

CD-ROM. Software de Resolucin de Problemas con valor en frontera para la Resolucin

de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. (en Mathematica).

Cdigo de los algoritmos numricos.

Cdigo (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb

Interfaz de usuario.

Interfaz.nb

Conjunto de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias resueltos con los

diferentes mtodos numricos de aproximacin.

Problemas (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb

Software para la resolucin de EDO IX

1. Introduccin y motivacinLa construccin de infraestructuras de gran tamao y para uso pblico,

principalmente edificios, obras hidrulicas y de transporte, es hoy en da de gran

importancia. Por ello, existe una rama de la ingeniera llamada Ingeniera Civil que aplica

los conocimientos de Fsica, Qumica y Geologa a la elaboracin de dichas infraestructuras.

Figura 1

Puente Valdebebas HMadridL.

Figura 2

Croquis del puente Valdebebas HMadridL.

Software para la resolucin de EDO 1

Un problema comn en las obras de ingeniera civil, como la que se puede observar

en las imgenes anteriores, es el que se relaciona con la deflexin de una viga de seccin

transversal rectangular sujeta a una carga uniforme, mientras sus extremos estn soportados

de modo que no experimentan deflexin alguna.

Figura 3

Deflexin de una viga.

La ecuacin diferencial que aproxima esta situacin fsica es una ecuacin

diferencial de segundo orden de la forma

2w

x2= SE I w +

q x2 E I Hx- 1L

donde w = w HxL es la deflexin a una distancia x desde el extremo izquierdo de la viga, l esla longitud, q representa la intensidad de la carga uniforme, E es el mdulo de elasticidad, S

el esfuerzo en los extremos y finalmente I es el momento central de inercia.

Esta ecuacin diferencial tiene asociadas dos condiciones de frontera dadas por la

suposicin de que no ocurre deflexin alguna en los extremos de la viga

w H0L = w HlL = 0.

Proyecto Fin de Carrera 2

Cuando la viga tiene un espesor uniforme, el producto E I es constante y la solucin

exacta se obtiene fcilmente. No obstante, en muchas aplicaciones el espesor no es

uniforme y, por lo tanto, el momento de inercia I es una funcin de x, y se requieren

mtodos de aproximacin para hallar la solucin del clculo de la deflexin, y es esto a lo

que el presente proyecto est dedicado.

El presente proyecto tratar de calcular las aproximaciones de las ecuaciones

diferenciales dadas mediante la aplicacion de diferentes mtodos numricos que se van a

desarrollar:

Mtodo del disparo lineal; para ecuaciones lineales, se basa en la sustitucin del

problema lineal con valor de frontera por dos problemas con valor inicial.

Mtodo del disparo para problemas no lineales; la solucin a este problema no

puede expresarse como una combinacin lineal de las soluciones de los problemas de dos

valores iniciales. Se necesitan utilizar las soluciones de una sucesin de problemas con un

valor inicial.

Mtodo de diferencias finitas para problemas lineales; se basa en reemplazar las

derivadas en la ecuacin diferencial mediante una aproximacin de cociente de diferencias

adecuada.

Mtodo de diferencias finitas para problemas no lineales; se parece al mtodo

lineal, pero en este caso el sistema de ecuaciones no ser lineal y, por lo mismo se requiere

un proceso iterativo para resolverlo.


Mtodo de Rayleigh-Ritz; en este mtodo el problema se aborda de una forma

distinta, ya que se reformula el problema de valor de frontera como un problema que

consiste en seleccionar, del conjunto de todas las funciones suficientemente derivables que

satisfacen las condiciones de frontera, aqulla que reduzca al mnimo una determinada

integral.

La motivacin del presente proyecto es realizar un software sencillo e intuitivo

capaz de calcular, una vez introducida la ecuacin, la aproximacin a dichas funciones

utilizando los mtodos citados anteriormente. Y as permitir el clculo de las deflexiones de

las vigas en los problemas de Ingeniera Civil, entre otras reas tcnicas.

Conocer diversos algoritmos para la aproximacin de ecuaciones diferenciales no

estudiados durante toda la carrera es otra motivacin, ya que amplan los conocimientos de

matemticas adquiridos hasta el momento y proporcionan una aplicacin prctica a estas

aproximaciones como puede ser en el mbito de la Ingeniera Civil.

Otra motivacin es aprender la utilizacin de la herramienta y el lenguaje

Mathematica que es un programa orientado a reas cientficas, de ingeniera, matemticas y

reas computacionales.


2. Objetivos del proyecto

Los objetivos que se proponen para este proyecto han sido los de conocer e

implementar cinco mtodos diferentes para aproximar con un grado de similitud aceptable

ecuaciones diferenciales procedentes, en este caso, del clculo de las deflexiones de vigas

de longitud l al aplicarle una fuerza, entre otras aplicaciones prcticas. Adems, se intenta

mostrar a travs de una aplicacin software estas aproximaciones calculadas con unas

grficas para poder observar la solucin obtenida por el programa.

Por lo tanto, otro objetivo que se propone es el de disear dicha aplicacin con una

interfaz de usuario que permita insertar las frmulas y mostrar los resultados obtenidos y la

funcin grfica de la aproximacin y de la solucin exacta.

Adems se considera la finalidad educativa y formativa la intencionalidad principal

del proyecto.

A continuacin, se citan los objetivos propuestos para el desarrollo correcto de la

aplicacin:

1.- Estudio del mtodo del disparo lineal para su comprensin, y as disear un

algoritmo para su posterior programacin. Realizacin de diferentes ejercicios para

comprobar el correcto funcionamiento del programa. Este mtodo implementa para su

funcionamiento el mtodo de Runge-Kutta, con lo cual tambin es necesario su estudio.

2.- Estudio del mtodo del disparo no lineal para su comprensin y el posterior


diseo del algoritmo y programacin del mismo. De igual manera, se requiere la

programacin de diferentes ejercicios para comprobar el correcto funcionamiento del

programa. Aqu hay que enfrentarse a un mtodo que trata problemas que no son lineales

como en el mtodo anterior.

3.- Estudio del mtodo de las diferencias finitas para su comprensin, y disear el

algoritmo y posteriormente su programacin. Se realizarn diferentes ejercicios para

comprobarlo. Este mtodo trata problemas diferentes a los anteriores, ya que presentan la

dificultad de que son algo inestables.

4.- Estudio del mtodo de las diferencias finitas no lineal, diseo del algoritmo y

programacin. Se realizar una tanda de ejercicios para comprobar su funcionamiento. Este

mtodo trata problemas que son tambin algo inestables pero que adems son no lineales.

5.- Estudio del mtodo de Rayleigh-Ritz, que se compone de dos mtodos: el

mtodo lineal segmentario y el mtodo de los trazadores cbicos. Diseo de ambos

algoritmos y su programacin. De igual manera hay que realizar ejercicios para su

comprobacin. Este es sin duda el mtodo ms complejo por su forma de tratar los

problemas.

6.- Diseo y programacin de una interfaz de usuario para la aplicacin que permita

al usuario realizar de manera cmoda el clculo de las aproximaciones de las ecuaciones

introducidas y que muestre los resultados de forma grfica. Se realizar gracias a un paquete

que se aade a Mathematica y que permite la creacin de estos interfaces.


3. Anlisis de requisitos3.1. Requisitos funcionalesRF001. Mtodos de la aplicacin.

La aplicacin debe implementar sies mtodos de aproximacin de ecuaciones

diferenciales para generar dicha aproximacin y grficos que muestren el resultado. Los

mtodos que se implementen sern los siguientes:

Mtodo del disparo lineal.

Mtodo del disparo no lineal.

Mtodo lineal de las diferencias finitas.

Mtodo lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.

Mtodo de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.

Mtodo de Rayleigh-Ritz trazadores cbicos.

RF002. Mtodo del disparo lineal.

Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas

condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la

existencia de una solucin para dicha funcin.

(1)-y + pHxL y + qHxL y + rHxL = 0,

a x b yHaL = a yHbL = b.


RF003. Mtodo del disparo no lineal.


condiciones de frontera y un valor inicial. Se necesitan unas condiciones que garanticen la

existencia de una solucin para la funcin.

(2)y = f Hx, y, yL,

a x b f HaL = yHaL = a f HbL = yHbL = b.

RF004. Mtodo lineal de las diferencias finitas.




(3)y = pHxL y + qHxL y + rHxL,


RF005. Mtodo lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.




(4)y = f Hx, y, yL,



RF006. Mtodo de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.




(5)-

x pHxL y

x+ qHxL y = f HxL,

0 x 1 y H0L = y H1L = 0.

RF007. Mtodo de Rayleigh-Ritz trazadores cbicos.




(6)-

x pHxL y

x+ qHxL y = f HxL,

0 x 1, y H0L = yH1L = 0.


RF008. Interfaz de Usuario.

El interfaz de usuario debe permitir la ejecucin de todos los mtodos de una forma

sencilla para el usuario y que a su vez muestre los resultados de forma clara.

Este interfaz debe contener las siguientes ventanas:

Ventana men. Al iniciar la aplicacin aparecer una ventana donde se podr

elegir el mtodo que se desea ejecutar. Adems debe incluir un acceso a una ayuda para el

usuario.

Ventana para el mtodo del disparo lineal. Debe incluir tres casillas de texto para

introducir la ecuacin a aproximar, dos casillas para introducir los valores del intervalo, dos

casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra ltima casilla para

introducir el tamao del paso del intervalo. Tambin debe mostrar la solucin obtenida

mostrando los puntos de la aproximacin obtenida y un grfico comparativo.

Ventana para el mtodo del disparo no lineal. Debe incluir una casilla de texto

para introducir la ecuacin a aproximar, dos casillas para introducir los valores del

intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra ltima

casilla para introducir el tamao del paso del intervalo. As mismo debe mostrar la solucin

calculada mostrando los puntos de la aproximacin obtenida y un grfico comparativo.


Ventana para el mtodo lineal de diferencias finitas. Debe incluir tres casillas de

texto para introducir la ecuacin a aproximar, dos casillas para introducir los valores del

intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra ltima

casilla para introducir el tamao del paso del intervalo. Debe mostrar la solucin obtenida

mostrando los puntos de la aproximacin obtenida y un grfico comparativo.

Ventana para el mtodo lineal de diferencias finitas para problemas no

lineales. Debe incluir una casilla de texto para introducir la ecuacin a aproximar, dos

casillas para introducir los valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de

frontera del intervalo y otra ltima casilla para introducir el tamao del paso del intervalo.

As mismo debe mostrar la solucin obtenida mostrando los puntos de la aproximacin

obtenida y un grfico comparativo.

Ventana para el mtodo de Rayleigh-Ritz lineal segmentario. Debe incluir tres

casillas de texto para introducir la ecuacin a aproximar, dos casillas para introducir los

valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra

ltima casilla para introducir el nmero de subintervalos que se realizarn del intervalo. As

mismo debe mostrar la solucin obtenida mostrando los puntos de la aproximacin


Ventana para el mtodo de Rayleigh-Ritz trazadores cbicos. Debe incluir tres

casillas de texto para introducir la ecuacin a aproximar, dos casillas para introducir los

valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra

ltima casilla para introducir el nmero de subintervalos que se realizarn del intervalo. As


mismo debe mostrar la solucin obtenida mostrando los puntos de la aproximacin


Ventana ayuda al usuario. Debe contener una ayuda para que el usuario sepa

cmo debe ejecutar cada mtodo, qu parmetros usa y su pseudocdigo.

Ventana acerca de la aplicacin. Debe contener los datos relevantes de la

aplicacin, nombre, autor, director y otros datos que se consideren.


4. MetodologaA continuacin, se describe la metodologa utilizada para el desarrollo de la

aplicacin del proyecto, la cual, al tratarse de un desarrollo de un software que implementa

funciones matemticas, no utiliza una metodologa estndar.

La metodologa de desarrollo empleada est basada en el modelo estructurado de

Yourdon y se siguen unos determinados pasos formales necesarios en este desarrollo, pero

adaptndola a las necesidades de implementacin del proyecto. Seguidamente se muestra de

manera grfica las diferentes fases en la que se observa que se han propuesto diferentes

paquetes de trabajo (WP).

Figura 4

Fases del desarrollo de la aplicacin.


WP.01.- Definicin del problema.

Es el paquete de trabajo fundamental para el desarrollo del proyecto, ya que se

estudiarn todas las propuestas e ideas que se tienen para el desarrollo del mismo. Se

marcan los lmites y alcance del proyecto y de qu manera sern abordados. De esta manera

se obtendrn los objetivos generales a conseguir.

Es necesario obtener y estudiar informacin relacionada con los mtodos de

aproximacin que se van a programar en el proyecto para tener todo el conocimiento

necesario para el correcto desarrollo. As como las herramientas que se van a emplear para

el mismo.

WP.02.- Anlisis de requisitos.

En este paquete de trabajo se proceder a describir y a analizar todo lo que la

aplicacin tiene que poder hacer una vez que el proyecto est terminado. Se clasifican

requisitos como funcionales y no funcionales, divididos a su vez en requisitos para cada

uno de los mtodos que se implementan.

Estos requisitos han de ser tenidos en cuenta durante todo el desarrollo del proyecto

y tienen que ser verificados en la fase de pruebas.


WP.03.- Desarrollo de los mtodos.

Este mdulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite

para cada mtodo, de manera que cada mtodo se termina totalmente antes de pasar al

siguiente, con un mayor grado de complejidad. A continuacin se puede ver de manera

grfica lo explicado anteriormente.

Figura 5

Desarrollo de los mtodos numricos.

WP.03.1.- Anlisis de conceptos.

Se estudia en profundidad el mtodo a implementar. Es necesario buscar toda la

informacin posible para conseguir una correcta relacin de conceptos as como de todas

las funciones que a su vez utiliza el mtodo.


WP.03.2.- Anlisis de requisitos.

Es necesario aplicar todos los requisitos especficos que se propusieron para cada

uno de los mtodos, como la manera de introducir las ecuaciones, cmo deben tratarse y

cmo tienen que ser las salidas.

WP.03.3.- Diseo del algoritmo.

Es necesario escribir un pseudocdigo con toda la informacin recabada hasta este

punto, que cumpla con los requisitos y funcionalidades necesarios.

WP.03.4.- Codificacin del mtodo.

Se codifica en el lenguaje especificado el pseudocdigo del paquete de trabajo

anterior, de manera que pueda implementar ya la funcionalidad requerida correctamente.

WP.03.5.- Realizacin de ejercicios de prueba.

En este paquete de trabajo se tiene que probar rigurosamente el correcto

funcionamiento del mtodo implementado, de no ser as, se debe volver a la codificacin

del mtodo (WP.03.5) si el fallo es de programacin, o al diseo del algoritmo (WP.03.4) si

el fallo es conceptual.

WP.03.6.- Documentacin del mtodo.

Se realiza una explicacin detallada de la funcionalidad del mtodo.


WP.04.- Desarrollo del interfaz de usuario.

Este mdulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite

para cada mtodo, de manera que cada mtodo tiene su interfaz totalmente terminada antes

de pasar al siguiente. De igual manera, como se especifica en los requisitos, se desarrolla un

interfaz men desde el que se acceden a los dems. A continuacin se puede ver de manera

grfica.

Figura 6

Desarrollo del interfaz de usuario HGUIL.

WP.04.1.- Anlisis de requisitos del interfaz.

Es necesario aplicar todos los requisitos especficos que se propusieron para cada

uno de los interfaces de cada mtodo, como la manera de introducir las ecuaciones y cmo

tienen que mostrarse las salidas.


WP.04.2.- Diseo del interfaz.

Es necesario realizar un diseo previo de cules sern y de cmo aparecern los

componentes del interfaz para que se adapte a los requisitos expuestos.

WP.04.3.- Programacin del interfaz.

Se programa en el lenguaje y con la herramienta especificada de manera que se

pueda ejecutar la funcionalidad completa requerida.

WP.04.4.- Realizacin de pruebas del interfaz.

Se realizan pruebas de entrada y salida. De manera que si ocurriera algn error se

tendra que volver al paquete de programacin del interfaz (WP.04.3) para subsanarlo si el

error fuera de programacin o al paquete de diseo del interfaz (WP.04.2) si el error fuera

de diseo o si no se ajustase a los requisitos.

WP.05.- Realizacin de pruebas globales.

En este paquete de trabajo se comprueba la funcionalidad completa de la aplicacin.

Hay que validar que el programa hace lo que tiene que hacer, navegar correctamente por la

aplicacin, y comprobar que la ejecucin es correcta y que muestra los resultados correctos

en funcin del mtodo elegido. Si se produce algn error se tiene que volver al mtodo

donde ha ocurrido y verificarlo de nuevo.


Tambin se tiene que validar el cumplimiento de todos los requisitos enunciados al

comienzo del desarrollo.

WP.06.- Documentacion final.

En este paquete de trabajo se ha considerado que se deben desarrollar dos tareas

fundamentalmente. Se puede observar grficamente a continuacin.

Figura 7

Documentacin final.

WP.06.1.- Documentacin del proyecto.

Se describe con detalle todos los mtodos implementados, as como todos los

componentes del ciclo de desarrollo utilizados, valoracin econmica, planificacin,

adems de todos los documentos que se consideren oportunos.

WP.06.2.- Realizacin de manual de usuario.

En este paquete de trabajo se realiza un documento para la ayuda al usuario al

manejo de la aplicacin, navegacin por la misma, explicacin de funcionalidad y temas

que puedan resultarle de inters para una correcta utilizacin del software.


5. El mtodo del disparo linealEn los mtodos de la serie de Taylor para resolver problemas de valor inicial el

error global final es del orden de O IhN M, donde N se puede elegir suficientemente grandepara que el error sea pequeo. El inconveniente de este mtodo es la eleccin del valor de N

y el clculo de las derivadas, que puede ser muy complicado.

Cada mtodo de Runge-Kutta se deriva del correspondiente de Taylor de orden N

en el que el error global final es del orden de O IhN M. Se realiza una simplificacin pararealizar varias evaluaciones de funciones en cada paso para eliminar el clculo de las

derivadas de orden superior. Estos mtodos se pueden construir para cualquier orden N .

5.1. Mtodo de Runge-KuttaEl mtodo ms empleado es el de orden N = 4 ya que es muy preciso, estable y fcil

de programar. El mtodo de Runge-Kutta de orden cuarto, tambin llamado RK4 simula la

precisin del de la serie de Taylor de orden N = 4. Se basa en el clculo de la aproximacin

yi+1 del modo siguiente:

(7)yi+1 = yi +w1 F1 + w2 F2 +w3 F3 +w4 F4,

siendo

(8)

F1 = h f Hxi, yiL,F2 = h f Hxi + a1 h, yi + b1 F1L,F3 = h f Hxi + a2 h, yi + b2 F1 + b3 F2L,F4 = h f Hxi + a3 h, yi + b4 F1 + b5 F2 + b6 F3L.


Si se igualan los coeficientes con los del mtodo de la serie de Taylor de orden

N = 4, de modo que el error local sea del orden O Ih5M, en el mtodo de Runge-Kutta seobtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

(9)

b1 = a1,b2 + b3 = a2,b4 + b5 + b6 = a3,w1 +w2 +w3 +w4 = 1,

w2 a1 +w3 a2 +w4 a3 =12

,

w2 a12 +w3 a2

2 +w4 a32 =

13

,

w2 a13 +w3 a2

3 +w4 a33 =

14

,

w3 a1 b3 +w4Ha1 b5 + a2 b6L = 16 ,

w3 a1 a2 b3 +w4 a3Ha1 b5 + a2 b6L = 18 ,

w3 a12 b3 +w4Ia12 b5 + a22 b6M = 112 ,

w4 a1 b3 b6 =1

24.

El sistema tiene 11 ecuaciones y 13 incgnitas. Las dos condiciones adicionales ms

empleadas son

(10)a1 =12

, b2 = 0.

Con estas restricciones la solucin al sistema de ecuaciones viene dado por los

valores


(11)

a1 =12

, a2 =12

, a3 = 1,

b1 =12

, b2 = 0, b3 =12

, b4 = 0, b5 = 0, b6 = 1,

w1 =16

, w2 =13

, w3 =13

, w4 =16

.

Sustituyendo estas variables en la frmula general del mtodo de Runge-Kutta de

orden N = 4, se obtiene la siguiente regla para generar los las aproximaciones yi+1:

(12)

yi+1 = yi +HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4L

6,

F1 = h f Hxi, yiL,F2 = h f xi +

h2

, yi +12 F1 ,

F3 = h f xi +h2

, yi +12 F2 ,

F4 = h f Hxi + h, yi + F3L.

Se llama mtodo de cuarto orden debido a que reproduce los trminos de la serie de

Taylor incluyendo el trmino h4, por lo que el error es O Ih5M.

Error del mtodo frente al tamao del pasoEl trmino de error de la regla de Simpson usada para aproximar la integral de la

expresin yHx1L - yHx0L = x0x1 f Hx, yHxLL x con un tamao de paso de h 2 viene dado por

(13)-yH4LHxL h52880

.

Si este fuera el nico error cometido en cada paso, entonces despus de los M pasos

el error acumulado por el mtodo de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L sera:


(14)-i=1

MyH4LHxiL h

5

2880

Hb - aL5760

yH4LHxL h4 O Ih4M.

El mtodo de RK4 tiene un error global final de orden O Ih4M.Precisin del mtodo de Runge-Kutta

Se supone que yHxL es la solucin del problema de valor inicial e yHxL C4+1@x0, bD,y 8Hxi, yiL

Algoritmo 1. Mtodo de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L

Input Hy = f Hx, yL , yHaL = y0, a, b, hLn Hb - aL hx0 a

For i = 0, 1, 2, 3, ..., n - 1 do

F1 h f Hxi, yiLF2 h f Jxi + h2 , yi + 12 F1NF3 h f Jxi + h2 , yi + 12 F2NF4 h f Hxi + h, yi + F3Lyi+1 yi + 1 6 HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4Lxi+1 xi + h

End

Return H8y0, y1, ..., yn 0 para toda Hx, y, yL D y existe una constante M , con


fy Hx, y, yL M , para toda Hx, y, yL D,entonces el problema tiene una solucin

nica.

El mtodo del disparo se basa en dividir la funcin en dos funciones y1HxL yy2HxL que se obtienen de manera aproximada, despus se aproxima la solucin mediante lasiguiente ecuacin:

(18)yHxL = y1HxL + b - y1HbLy2HbL y2HxL.

Esta ecuacin representa la solucin nica al problema con valor de frontera

siempre y cuando y2HbL 0.

El algoritmo que se utiliza para obtener una aproximacin a la funcin es el

siguiente.

Con la funcin:

(19)y = pHxL y + qHxL y + rHxLse toman como datos de entrada los extremos a y b, las condiciones de frontera a y b,

yHaL = a e yHbL = b, y el nmero de subintervalos N .


Algoritmo 2. Mtodo del disparo lineal

Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hLmatriz u, v, k, kp, w

vector xi, yi

(* Se inicializan los vectores y matrices *)

For i = 1, ..., 4 do

For j = 1, 2 do

ki, j 0

kpi, j

0

End

End

For i = 0, ...., 60- 1 do

xi 0

End

For i = 0, ..., 3- 1 do

For j = 0, ..., 60- 1 do

ui, j 0

vi, j 0

wi, j 0

End

End

n Round B b-ah

F;u1,0 a

u2,0 0

v1,0 0

v2,0 1

For i = 0, 1, ..., n - 1 do

xi a + i h

k1,1 h u2,i

k1,2 h IpHxiLu2,i + q HxiLu1,i + rHxiLMk2,1 h Iu2,i + 12 k1,2Mk2,2 h Jp Jxi + h2 N Iu2,i + 12 k1,2M + q Jxi + h2 N

Iu1,i + 12 k1,1M + rJxi + h2 NNk3,1 h Iu2,i + 12 k2,2Mk3,2 h Jp Jxi + h2 N Iu2,i + 12 k2,2M + q Jxi + h2 N

Iu1,i + 12 k2,1M + rJxi + h2 NN k4,1 h Iu2,i + k4,2M


k4,2 h IpHxi + hL Iu2,i + k3,2M + qHxi + hL Iu1,i + k3,1M+ rHxi + hLM

u1,i+1 u1,i +1

6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M

u2,i+1 u2,i +1

6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M

k1,1 h v2,i

k1,2 h IpHxiLv2,i + qHxiLv1,iMk2,1 h Iv2,i + 12 k1,2Mk2,2 h JpJxi + h2 N Iv2,i + 12 k1,2M +

qJxi + h2 N Iv1,i + 12 k1,1MNk3,1 h Iv2,i + 12 k2,2M

k3,2 h JpJxi + h2 N Iv2,i + 12 k2,2M +qJxi + h2 N Iv1,i + 12 k2,1MN

k4,1 h Iv2,i + k3,2Mk4,2 h IpHxi + hL Iv2,i + k3,2M +

qHxi + hL Iv1,i + k3,1MMv1,i+1 v1,i +

1

6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M

v2,i+1 v2,i +1

6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M

End

w1,0 a

w2,0 b-u1,n

v1,n

For i = 0, 1, ..., n do

w1,i = u1,i +w2,0 v1,i

w2,i = u2,i +w2,0 v2,i

End

Return J8xi

Ejemplo. Problema 1. Represntese con u el potencial electrosttico entre dos esferas metlicas

concntricas de radio R1 y R2 con R1 < R2, tales que el potencial de la esfera interior semantenga constante en V1 voltios y el potencial de la esfera exterior sea 0 volts. Elpotencial de la regin situada entre ambas esferas est regido por la ecuacin de Laplace,que en esta aplicacin particular se reduce a:

2u

r2+ 2

r ur= 0 R1 b r b R2 uHR1L = V1, uHR2L = 0

Supngase que R1 = 2 plg, R2 = 4plg y que V1 = 110volts.a) Aproximar uH3L por medio del algoritmo del disparo lineal.b) Comparar los resultados de la parte (a) con el potencial real uH3L, donde

uHrL = V1 R1r I R2-rR2-R1 M.

Mtodo del disparo lineal para el problema con valor de frontera:

y = -2

xy + 0y + 0

x @2., 4.D, yH2.L = 110., yH4.L = 0. h = 0.2

i xi u1,i v1,i w1,i w2,i

0 2.0000000000 110.0000000000 0.0000000000 110.0000000000 -110.0007250420

1 2.2000000000 110.0000000000 0.1818140590 90.0003216920 -90.9098962614

2 2.4000000000 110.0000000000 0.3333271869 73.3337677598 -76.3896741012

3 2.6000000000 110.0000000000 0.4615313634 59.2312153917 -65.0894867210

4 2.8000000000 110.0000000000 0.5714210884 47.1432659743 -56.1231128776

5 3.0000000000 110.0000000000 0.6666591047 36.6670151264 -48.8894884031

6 3.2000000000 110.0000000000 0.7499925253 27.5002784455 -42.9692901652

7 3.4000000000 110.0000000000 0.8235221130 19.4119704861 -38.0627707556

8 3.6000000000 110.0000000000 0.8888818110 12.2223563183 -33.9510573337

9 3.8000000000 110.0000000000 0.9473615838 5.7895389053 -30.4713128917

10 4.0000000000 110.0000000000 0.9999934088 0.0000000000 -27.5003625208

Tabla de errores


xi w1,i yHxiL w1,i - yHxiL2.0000000000 110.0000000000 110.0000000000 0.0000000000

2.2000000000 90.0003216920 90.0000000000 0.0003216920

2.4000000000 73.3337677598 73.3333333333 0.0004344264

2.6000000000 59.2312153917 59.2307692308 0.0004461609

2.8000000000 47.1432659743 47.1428571429 0.0004088314

3.0000000000 36.6670151264 36.6666666667 0.0003484598

3.2000000000 27.5002784455 27.5000000000 0.0002784455

3.4000000000 19.4119704861 19.4117647059 0.0002057803

3.6000000000 12.2223563183 12.2222222222 0.0001340961

3.8000000000 5.7895389053 5.7894736842 0.0000652211

4.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000

Grficas de la solucin de la ecuacin diferencial

yHxL = 110 H4- xLx

y la aproximacin obtenida con el mtodo del disparo lineal con

un tamao de paso h = 0.2

2.5 3.0 3.5 4.0X

20

40

60

80

100

Y


6. El mtodo del disparo no linealEste mtodo se utiliza para resolver problemas no lineales con valor de frontera de

segundo orden:

(20)y = f Hx, y, yL,

a x b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b.Tiene parecido con el mtodo anterior sin embargo la solucin de un problema no

lineal no puede expresarse como una combinacin de dos problemas iniciales, as que para

este mtodo se utiliza en lugar de dos problemas una sucesin de ellos, donde t es un

parmetro para la aproximacin de la solucin, de la siguiente forma:

(21)y = f Hx, y, yL, a x b, yHaL = a, yHaL = t.Se escoge el parmetro t = tk de tal forma que

lmkz

yHb, tkL = yHbL = b,

donde yHb, tkL es la solucion del problema de valor inicial con t = tk e yHxL es la solucin alproblema con valor de frontera.

La tnica que se sigue es empezar con un parmetro t0, que determinar la posicin

inicial a partir de la cual se traza una recta que tratar de aproximar la solucin, como si de

un disparo se tratase, buscando el objetivo desde el punto Ha, aL a lo largo de la curva quedescribe la solucin al problema de valor inicial dado por

y = f Hx, y, yL, a x b, yHaL = a, yHaL = t0.


xy

a b

y (b, t0)

(a, )

(b, y (b, t0))

y (x, t0)

pendiente t0

Figura 8

Problema del valor inicial con la elevacin inicial t0 desde el punto Ha, aL.

Si yHb, t0L no est lo suficientemente cerca de b se utilizarn las elevacionest1, t2, ... y as sucesivamenete hasta que se considere que el valor yHb, tkL se aproxima losuficiente al valor b, es decir, se acierte en el blanco. Vase la siguiente figura.

x

y

a b

(a, )

y (x, t0)

y (x, t1)

y (x, t3)

y (x, t2)

y (b, t0)

y (b, t1)

y (b, t3)

y (b, t2)

Figura 9

Problema del valor inicial con diferentes elevaciones.


Los parmetros tk se calculan de tal forma que:

yHb, tL - b = 0.

Ecuacin no lineal en cuya resolucin se puede aplicar el mtodo de Newton o del

de la Secante.

Para utilizar el mtodo de la Secante se necesitan unas aproximaciones iniciales

t0 y t1 y luego generar las t restantes mediante la siguiente ecuacin:

(22)tk = tk-1 -HyHb, tk-1L - bL Htk-1 - tk-2L

yHb, tk-1L - yHb, tk-2L , k = 2, 3, ...

Para generar la misma sucesin 8tk< con el mtodo de Newton slo se necesita laprimera aproximacin de la sucesion t0. Se aplica la siguiente ecuacin:

(23)tk = tk-1 -yHb, tk-1L - b y t Hb, tk-1L

.

Este mtodo requiere que se conozca y t Hb, tk-1L, que es un problema porque no se

dispone de la funcin yHb, tL, slo de unos valores yHb, t0L, yHb, t1L, ... , yHb, tk-1L.

Si se modifica el problema de valor inicial (20), teniendo en cuenta que la solucin

se basa en y y en t se tiene:

(24)yHx, yL = f Hx, yHx, tL, yHx, tLL,a x b, yHa, tL = a, yHa, tL = t.


Para calcular y t Hb, tL cuando t = tk-1, se calcula la derivada parcial de la ecuacin

anterior respecto de t:

(25)

y

t Hx, tL = f

t Hx, yHx, tL, yHx, tLL

y

t Hx, tL = f

x Hx, yHx, tL, yHx, tLL x

t

+ f y

Hx, yHx, tL, yHx, tLL y t

+ f y

Hx, yHx, tL, yHx, tLL y t

.

Dado que x y t son independientes entonces x t= 0 y

(26)

y

t Hx, tL =

f y

Hx, yHx, tL, yHx, tLL y t Hx, tL + f

y Hx, yHx, tL, yHx, tLL y

t.

con a x b. Las condiciones iniciales resultan:

y t Ha, tL = 0 y y

t Ha, tL = 1.

Si se simplifica la ecuacin anterior usando zHx, tL en lugar de y t Hx, tL y si se

invierte el orden de derivar de x y de t, se convierte en el problema de valor inicial:

(27)zHx, tL = f

y Hx, y, yL zHx, tL + f

y Hx, y, yL zHx, tL,

a x b, zHa, tL = 0, zHa, tL = 1, zHx, tL = y t Hx, tL.

Como se ve, el mtodo de Newton necesita que los dos problemas de valor inicial

sean resueltos en cada iteracin del mtodo.


(28)tk = tk-1 -yHb, tk-1L - b

zHb, tk-1L .

De todos modos ningn problema de valor inicial puede resolverse de manera

exacta. Se puede buscar una solucin aproximada utilizando un mtodo como ste, cuyo

algoritmo se plantea un poco ms abajo (algoritmo 3). En dicho algoritmo se utiliza el

mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden para aproximar la dos soluciones que necesita el

mtodo de Newton.

Algoritmo 3. Mtodo del disparo no lineal

El siguiente algoritmo aproxima la solucin numrica del problema no lineal de

valor de la frontera dado por

y = f Hx, y, yL, a x b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b

con un paso dado por h con una tolerancia tol o un nmero mximo de m iteraciones.

Input Hf HxL, a, b, a, b, h, tol, mLmatriz k, kp, w

vector xi, yi,ui, vi

(* Se inicializan los vectores y matrices *)

For i = 1, ..., 4 do

For j = 1, 2 do

ki, j 0

kpi, j

0

End

End

For i = 0, ...., 60- 1 do

xi 0

End

For j = 0, ..., 60- 1 do


ui, j 0

vi, j 0

wi, j 0

End

n Round B b-ah

F;tk Round B a-b

b-aF;

cont = 1;

While cont m dow1,0 a

w2,0 tk

u1 0

u2 1

For i = 1, 2, ..., n - 1 do

xi a + Hi - 1Lhk1,1 h u2,i-1

k1,2 h If HxiL, w1,i-1, ww,i-1Mk2,1 h Iw2,i + 12 k1,2Mk2,2 h Jf HxiL + h2 , w1,i-1 + 12 k1,1,

w2,i-1 +1

2k1,2N

k3,1 h Iuw2,i-1 + 12 k2,2Mk2,2 h Jf HxiL + h2 , w1,i-1 + 12 k2,1,

w2,i-1 +1

2k2,2N

k4,1 h Iw2,i-1 + k4,2Mk2,2 h Jf HxiL + h2 , w1,i-1 + 12 k3,1,

w2,i-1 +1

2k3,2N

w1,i+1 w1,i +1

6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M

w2,i+1 w2,i +1

6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M

k1,1 h v2

k1,2 h IfyIxi, w1,i-1, 22,i-1M u1+ fy Ixi, w1,i-1, 22,i-1M u2M

k2,1 h Iv2 + 12 k1,2M

k2,2 h IfyIxi + 12 , w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + 12 k1,1M+ fy Ixi + 12 , w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + 12 k1,2MMk3,1 h Iv2 + 12 k2,2M

k3,2 h IfyIxi + 12 , w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + 12 k2,1M+ fy Ixi + 12 , w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + 12 k2,2MM


k4,1 h Iv2 + k3,2Mk4,2 h IfyIxi + 12 , w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + k2,1M

+ fy Ixi + 12 , w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + k2,2MM

v1,i+1 v1,i +1

6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M

v2,i+1 v2,i +1

6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M

End

If w1,N - b b tol doFor i = 0, 1, ..., N do

xi a + i h

SALIDA Ixi, w1,i, w2,iMProceso terminado

End

End If

tk = tk -w1,N-b

u1

cont = cont + 1

End While

SALIDA HNmeromximode iteraciones excedidoLProceso terminado sin xito

Return J8xi

i xi w1,i w2,i

0 0.0000000000 0.0000000000 1.4493098115

1 0.2000000000 0.2741820867 1.2876947955

2 0.4000000000 0.5138861327 1.1076209444

3 0.6000000000 0.7168357586 0.9212303115

4 0.8000000000 0.8821406042 0.7310688000

5 1.0000000000 1.0088521172 0.5346865325

6 1.2000000000 1.0953383832 0.3282347528

7 1.4000000000 1.1393133677 0.1095119683

8 1.6000000000 1.1384586255 -0.1191497223

9 1.8000000000 1.0915768064 -0.3486231536

10 2.0000000000 1.0000169321 -0.5628194818


yHxL = 88yHxL InterpolatingFunction@H 0. 2. L, D@xD

7. El mtodo lineal de diferencias finitas

El mtodo de las diferencias finitas se utiliza para resolver problemas que presentan

cierta inestabilidad y que con los mtodos anteriormente estudiadoss no podan resolverse.

Este mtodo tiene mejor estabilidad pero cuesta ms llegar a una solucin con

precisin. Este mtodo sustituye las derivadas en la ecuacion diferencial mediante una

aproximacion del cociente de diferencias adecuada.

El problema de valor de frontera de segundo orden

(29)y = pHxL y + qHxL y + rHxL, a x b, yHaL = a, yHbL = brequiere utilizar las aproximaciones del cociente de diferencias para aproximar tanto a

ycomo a y. Primero, se escoge el nmero de subintervalos n + 1 en los que se va a dividir

el intervalo @a, bD, cuyos extremos de estos subintervalos son los puntos de malla. Secalcula el valor del subintervalo h = Hb-aLHn+1L , y al calcularse h as se facilita la aplicacin de un

algoritmo matricial con el cual se resuelve un sistema lineal que contenga una matriz nn.

Para los puntos de malla xi, para i = 1, 2, 3, ..., n, la ecuacin que se aproxima es:

(30)yHxiL = pHxiL yHxiL + qHxiL yHxiL + rHxiL.Al desarrollar y en el tercer polinomio de Taylor alrededor de xi evaluada en xi+1 y

xi-1, se tiene:

yHxi+1L = yHxi + hL = yHxiL + h yHxiL + h22 yHxiL + h36 yH3LHxiL + h424 yH4LIxi+M


para alguna xi+en Hxi, xi+1L, y

yHxi-1L = yHxi - hL = yHxiL - h yHxiL + h22 yHxiL - h36 yH3LHxiL + h424 yH4LHxi-L

para alguna xi+en Hxi, xi+1L, suponiendo y C4@xi-1, xi+1D. Si se suman estas escuaciones yse simplifica se obtiene la frmula de las diferencias centradas para yHxiL:

(31)yHxiL = 1h2

@yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1LD - h2

12 yH4LHxiL.

De manera semejante se obtiene para yHxiL:

(32)yHxiL = 12 h @yHxi+1L - yHxi-1LD -

h2

6 yH3LHhiL,

hi Hxi-1, xi+1L.Si se sustituyen las ecuaciones de las diferencias centradas en los trminos y de la

ecuacin (24) resulta:

(33)

yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1Lh2

= pHxiLB yHxi+1L - yHxi-1L2 h F+

qHxiL yHxiL + rHxiL - h2

12A2 pHxiL yH3LHhiL - yH4LHziLE.

El mtodo de diferencia finitas se obtiene utilizando esta ecuacin junto con las

condiciones de frontera yHaL = a e yHbL = b para definir

(34)

w0 = a, wn+1 = b

2 wi -wi+1 - wi-1h2

+ pHxiL K wi+1 -wi-12 h O qHxiL wi = rHxiLi = 1, 2, ..., n.


Esta ecuacin se puede reescribir como sigue:

(35)- 1 + h2 pHxiL wi-1 + I2 + h2 qHxiLM wi - 1 - h2 pHxiL wi-1 = -h

2 rHxiL.

Y el sistema de ecuaciones que resulta se expresa en forma de matriz tridiagonal

nn de la forma

(36)A w = b

siendo

A =

2 + h2 qHx1L -1 + h2 pHx1L 0 0-1 - h2 pHx2L 2 + h2 qHx2L -1 + h2 pHx2L

0 0 -1 + h2 pHxn-1L0 0 -1 + h2 pHxnL 2 + h2 qHxnL

w =

w1w2

wn-1

wn

, y b =

-h2 rHx1L + I1 + h2 pHx1LM w0-h2 rHx2L

-h2 rHxn-1L-h2 rHxnL + I1 + h2 pHxnLM wn+1

Se expresa en el teorema siguiente las condiciones bajo las que el sistema lineal

tridiagonal anterior tiene solucin nica.

Teorema 2. Se supone que p, q y r son continuas en el intervalo @a, bD. Si qHxL 0 en

@a, bD, entonces el sistema lineal tridiagonal tiene una solucin nica siempre y cuandoh < 2 L, donde L = mxaxb pHxL .


Algoritmo 4. Mtodo lineal de las diferencias finitas

Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hLvector xi, ai, bi, ci, di, li, ui, wi, zi

(* Se inicializan vectores y matrices *)

For i = 0, ...., n + 1 do

xi 0

ai 0

bi 0

ci 0

di 0

li 0

ui 0

wi 0

zi 0

End

n Round B b-ah

F- 1x1 a + h

a1 2+ h2 qHxiL

b1 -1+ J h2 N pHxiLd1 -h

2 rHxiL + J1+ J h2 N pHxiLN a

For i = 2, ..., n - 1 do

xi a + i h

ai 2+ h2 qHxiL

bi -1+ J h2 N pHxiLci -1 - J h2 N pHxiLdi -h

2 rHxiLEnd

xn b - h

xn+1 b

an 2 + h2 qHxnL

cn -1- J h2 N pHxnLdn -h

2 rHxnL + J1- J h2 N pHxnLN b(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)

l1 a1

u1 b1

a1

z1 d1

l1

For i = 2, ..., n - 1 do


li ai - ci ui-1

ui bi

li

zi di-ci zi-1

li

End

ln an - cn un-1

zn dn-cn zn-1

ln

w0 a

wn+1 b

wn zn

For i = n - 1, ..., 1do

wi zi - ui wi+1End

Return I8xi

i xi wi

0 0.0000000000 0.0000000000

1 6.0000000000 0.0022980631

2 12.0000000000 0.0045304665

3 18.0000000000 0.0066384627

4 24.0000000000 0.0085702157

5 30.0000000000 0.0102808010

6 36.0000000000 0.0117322061

7 42.0000000000 0.0128933298

8 48.0000000000 0.0137399822

9 54.0000000000 0.0142548850

10 60.0000000000 0.0144276711

11 66.0000000000 0.0142548850

12 72.0000000000 0.0137399822

13 78.0000000000 0.0128933298

14 84.0000000000 0.0117322061

15 90.0000000000 0.0102808010

16 96.0000000000 0.0085702157

17 102.0000000000 0.0066384627

18 108.0000000000 0.0045304665

19 114.0000000000 0.0022980631

20 120.0000000000 0.0000000000

Grfica de la aproximacion obtenida con el mtodo lineal de diferencia finitas

con un tamao de paso h = 6.


20 40 60 80 100 120X

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

Y


8. El mtodo lineal de diferencias finitas para problemas no lineales

Este mtodo es parecido al expuesto anteriormente para problemas lineales, sin

embargo estos problemas no tendrn un sistema de ecuaciones lineal y por lo tanto hace

falta un proceso iterativo para resolverlos. Sea el caso de los problemas no lineales con

valor de frontera:

(37)y = f Hx, y, yL, a x b, yHaL = a, yHbL = bPara el desarrollo de este mtodo se supondr que f satisface las siguientes

condiciones:

1.- f y las derivadas parciales fy f y y fy f y son continuas en

D = 8Hx, y, yL a x b, - < y < , - < y < 0;

3.- Existen las constantes k y L, con

k = mxHx,y,yL eD fyHx, y, yL , L = mxHx,y,yL e D fyHx, y, yL .

Esto garantiza que exista una solucin nica.

Al igual que en el mtodo anterior, se divide el intervalo @a, bD en N + 1subintervalos de ancho el valor h que se calcula como h = Hb - aL HN + 1L cuyos extremosse encuentran en xi = a + h i, para i = 0, 1, ... , N + 1. Si se supone que la solucin exacta


tiene una cuarta derivada acotada permite reemplazar yHxiL y yHxiL en cada una de lasecuaciones:

(38)yHxiL = f Hxi, yHxiL, yHxiLLpor la frmula adecuada de diferencias centradas. Esto da, para toda i = 1, 2, ..., N ,

(39)

yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1Lh2

= f xi,yHxi+1L - yHxi-1L

2 h-

h2

6 yH3LHhiL + h

2

12 yH4LHxiL,

para alguna hi y zi en el intervalo Hxi-1, xi+1L.

Los resultados del mtodo de diferencias finitas se emplean cuando se eliminan los

trminos de error y las condiciones de frontera:

w0 = a, wn+1 = b,

y

-wi+1- 2 wi +wi-1

h2+ f Ixi, wi, wi+1-wi-12 h M = 0,

para toda i = 1, 2, ..., N .


El sistema no lineal N N obtenido con este mtodo es el siguiente:

(40)

2 w1 -w2 + h2 f Kx1, w1, w2 - a2 h O = 0-w1 + 2 w2 -w3 + h2 f Kx2, w2, w3 - w12 h O = 0

-wN-2 + 2 wN-1 -wN + h2 f KxN-1, wN-1, wN -wN-22 h O = 0

-wN-1 + 2 wN + h2 f xN , wN , b -wN-1

2 h- b = 0

Este sistema tiene una solucin nica siempre y cuado h < 2 L.

Para resolver este sistema con una solucin aproximada, se aplica el mtodo de

Newton para sistemas no lineales. Se genera una sucesin de iteraciones

:Iw1HkL, w2HkL, ..., wNHkLMt> que converge a la solucin del sistema (34), con la condicin de que

la aproximacin inicial Iw1H0L, w2H0L, ..., wNH0LMt se acerque lo suficiente a la solucinHw1, w2, ..., wN Lt, y de que la matriz jacobiana del sistema no sea singular. En el caso delsistema (34), la matriz jacobiana J Hw1, w2, ..., wN L es tridiagonal. Su elemento i j - simoviene dada por la expresin:

(41)

J Hw1, w2, ..., wN Li, j =

:-1 + h2 fy Ixi, wi, wi+1-wi-12 h M, i = j - 1, j = 2, ..., N2 + h2 fy Ixi, wi, wi+1-wi-12 h M, i = j, j = 1, ..., N-1 - h2 fy Ixi, wi, wi+1-wi-12 h M, i = j + 1, j = 1, ..., N - 1


donde w0 = a y wN+1 = b.

El mtodo de Newton para los sistemas no lineales requiere que en cada iteracin se

resuelva el sistema lineal de N N :

(42)

J Hw1, w2, ..., wN L Hv1, ..., vnLT = - 2 w1 -w2 - a + h2 f Kx1, w1, w2 - a2 h O,-w1 + 2 w2 -w3 + h2 f Kx2, w2, w3 -w12 h O, ... ,-wN-2 + 2 wN-1 -wN + h2 f KxN-1, wN-1, wN - wN-22 h O,

-wN-1 + 2 wN + h2 f xN , wN ,b -wN-1

2 h- b

T

para v1, v2, ..., vN , porque

wiHkL = wiHk-1L + vi, para cada i = 1, 2, ..., N ,

Puesto que J es tridiagonal, se puede aplicar el algoritmo de factorizacin de Crout

para los sistemas tridiagonales.

El algoritmo de este mtodo se describe a continuacin.


Algoritmo 5. Mtodo lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales

Input Hf HxL, a, b, a, b, h, tol, mLvector xi, ai, bi, ci, di, li, ui, wi, zi


For i = 0, ...., n + 1 do

xi 0

ai 0

bi 0

ci 0

di 0

li 0

ui 0

wi 0

zi 0

End

n Round B b-ah

F- 1w0 a

wn+1 b

For i = 1, ..., n do

wi a+ i J b-ab-a N hEnd

cont1

While cont m do

x1 a + h

t =Iw2-aM2 h

a1 2+ h2 fy Hx1, w1, tL

b1 -1 + J h2 N fy Hx1, w1, tLd1 -I2 w1 -w2 - a + h2 f Hx1, w1, tLMFor i = 2, ..., n - 1 do

xi a + i h

t =Hwi+1-wi-1L

2 h

ai 2 + h2 fy Hxi, wi, tL

bi -1+ J h2 N fy Hxi, wi, tLci -1- J h2 N fy Hxi, wi, tLdi -I2 wi -wi+1 -wi-1 + h2 f Hxi, wi, tLM

End


xn b - h

t =Hb-wn-1L

2 h

an 2+ h2 fy Hxn , wn, tL

cn -1- J h2 N fy Hxn, wn, tLdn -I2 wn -wn-1 - b + h2 f Hxn, wn , tLM(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)

l1 a1

u1 b1

a1

z1 d1

l1

For i = 2, ..., n - 1 do

li ai - ci ui-1

ui bi

li

zi di-ci zi-1

li

End

ln an - cn un-1

zn dn-cn zn-1

ln

vn znwn wn + vn

For i = n - 1, ..., 1do

vi zi - ui vi+1wi wi + vi

End

If v b tol doFor i = 0, ..., N - 1do

xi a + i h

SALIDA Hxi, wiLProceso terminado

End

End If

contcont+1

SALIDA H ' Nmerode iteraciones excedido'LReturn I8xi

Ejemplo. Problema 4. Sea el problema de valor de frontera

y = Jx2HyL2 - 9 y2 + 4 x6N x5, x @1, 2D, yH1L = 0, yH2L = ln 256.y su solucin exacta yHxL = x3 ln x.

Aproximar la solucin aplicando el mtodo no lineal de diferencias finitastomando h = 0.05 y una tolerancia de 10-4.

Mtodo del diferencias finitas para el problema

no lineal con valor de frontera.

y =4 x6 + z2 x2 - 9y2

x5

x @1., 2.D, yH1.L = 0., yH2.L = 5.54518 h = 0.05

i xi wi

0 1.0000000000 0.0000000000

1 1.0500000000 0.0562377725

2 1.1000000000 0.1263684409

3 1.1500000000 0.2118227193

4 1.2000000000 0.3140662227

5 1.2500000000 0.4345979113

6 1.3000000000 0.5749486970

7 1.3500000000 0.7366801826

8 1.4000000000 0.9213835170

9 1.4500000000 1.1306783480

10 1.5000000000 1.3662118644

11 1.5500000000 1.6296579151

12 1.6000000000 1.9227161994

13 1.6500000000 2.2471115203

14 1.7000000000 2.6045930975

15 1.7500000000 2.9969339343

16 1.8000000000 3.4259302347

17 1.8500000000 3.8934008681

18 1.9000000000 4.4011868793

19 1.9500000000 4.9511510405

20 2.0000000000 5.5451774445

Tabla de errores.


xi wi yHxiL wi - yHxiL1.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.

1.0500000000 0.0562377725 0.0564807138 2.429412921410-4

1.1000000000 0.1263684409 0.1268578493 4.894084434110-4

1.1500000000 0.2118227193 0.2125604441 7.377247763810-4

1.2000000000 0.3140662227 0.3150516501 9.854274620910-4

1.2500000000 0.4345979113 0.4358272487 1.229337360210-3

1.3000000000 0.5749486970 0.5764142890 1.465592083210-3

1.3500000000 0.7366801826 0.7383698367 1.689654009110-3

1.4000000000 0.9213835170 0.9232798173 1.896300304310-3

1.4500000000 1.1306783480 1.1327579472 2.079599253810-3

1.5000000000 1.3662118644 1.3684447399 2.232875509210-3

1.5500000000 1.6296579151 1.6320065809 2.348665807710-3

1.6000000000 1.9227161994 1.9251348654 2.418666024610-3

1.6500000000 2.2471115203 2.2495451902 2.433669961510-3

1.7000000000 2.6045930975 2.6069765975 2.383499952110-3

1.7500000000 2.9969339343 2.9991908635 2.256929129210-3

1.8000000000 3.4259302347 3.4279718297 2.041595020510-3

1.8500000000 3.8934008681 3.8951247721 1.723903993810-3

1.9000000000 4.4011868793 4.4024758053 1.288925944510-3

1.9500000000 4.9511510405 4.9518713190 7.202785123210-4

2.0000000000 5.5451774445 5.5451774445 0.


yHxL = x3 logHxLy la aproximacin obtenida

con el mtodo de las diferencias finitas no lineal

con un tamao de paso h = 0.05


1.2 1.4 1.6 1.8 2.0X

1

2

3

4

5

Y


9. El mtodo de Rayleigh-RitzEste mtodo aborda el problema de hallar la aproximacin de la funcin con un

planteamiento distindo al visto en los anteriores mtodos.

Para empezar, se reformula el problema de valor de frontera como un problema que

consista en seleccionar la funcin que reduzca al mnimo una determinada integral de entre

todas las funciones suficientemente derivables que satisfagan las condiciones de frontera.

El tamao de del conjunto de funciones se disminuye, obtenindose as una aproximacin a

la solucin al problema de minimizacin y por lo tanto, una aproximacin a la solucin del

problema con valor de frontera.

9.1. Mtodo lineal segmentario de Rayleigh-RitzPara explicar este mtodo se considera la aproximacin de una solucin a este

problema lineal con valor de frontera. Esta ecuacin describe la deflexin y HxL de una vigade longitud l , con una seccin transversal variable qHxL, y los exfuerzos agregados pHxL yf HxL. Satisface la la ecuacin diferencial:

(43)- x

pHxL y x

+ qHxL y = f HxL, para 0 x 1

con las condiciones de frontera

(44)y H0L = y H1L = 0 Se supone que p C1@0, 1D, que q, f C@0, 1D y d > 0, tal que

pHxL d tal que qHxL 0 para cada x en @0, 1D.


Con estas suposiciones se garantiza que el problema de valor de frontera,

anteriormente descrito tiene una solucin nica.

Los problemas con valor de frontera describen fenmenos fsicos, en este caso la

solucin a la ecuacin la viga satisface la propiedad variacional, que resulta indispensable

para el desarrollo del mtodo de Rayleigh-Ritz y que adems caracteriza la solucin de esa

ecuacin como la funcin que reduce al mnimo cierta integral sobre las funciones

en C02@0, 1D, el conjunto de esas funciones u en C2@0, 1D con la propiedad de que

uH0L = uH1L = 0.

La caracterizacin de este mtodo se establece en el siguiente teorema.

Teorema 5. Sea p C1@0, 1D, q, f C@0, 1D y adems

pHxL d > 0 qHxL 0 para 0 x 1.

La funcin y C02@0, 1D es la solucion nica de la ecuacion diferencial

- x IpHxL y

xM + qHxL y = f HxL, 0 x 1

si y slo si y es la funcin nica en C20@0, 1D que reduce al mnimo la integral

I@uD = 019pHxL @uHxLD2 + qHxL @uHxLD2 - 2 f HxL uHxL= x.

Reduciendo al mnimo la integral, el mtodo de Rayleigh-Ritz aproxima la solucin

de yHxL slo sobre el conjunto ms pequeo de las funciones que contienen combinaciones


lineales de ciertas funciones bsicas f1, f2, ..., fn. Estas funciones son linealmente

independientes y satisfacen:

fiH0L = fiH1L = 0, para cada i = 1, 2, ..., n.

Despus de resolver las constantes c1, c2, ..., cn, que reducen al mnimo

IAi=1n ci fiE, se obtiene una aproximacin fHxL = in ci fiHxL a la solucin yHxL de laecuacion anterior. De acuerdo con la ecuacin de la integral I@uD, se tiene:

(45)

I@fD = IBi=1

n

ci fi FI@fD =

0

1:pHxLBi=1

n

ci fi HxLF

2

+ qHxLBi=1

n

ci fi HxLF2

- 2 f HxL i=1

n

ci fi HxL> x

Cuando se considera I como una funcin de c1, c2, ..., cn para encontrar un mnimo

es necesario tener

(46) I c j

= 0 j = 1, 2, ..., n

Derivando se obtiene:

(47) I c j

= 0

1:2 pHxL i=1

n

ci fiHxL f jHxL + 2 qHxL

i=1

n

ci fiHxL f jHxL

- 2 f HxL f jHxL> x


y al sustituir en la ecuacion anterior se obtiene:

(48)0 =

i=1

n

B0

19pHxL fiHxL f jHxL + qHxL fiHxL f jHxL= x F ci -

0

1f HxL f jHxL x, j = 1, 2, ..., n.

De estas ecuaciones se obtiene un sistema lineal A c = b de n n en las variables

c1, c2, ..., cn, donde esta matriz simtrica viene definida por

(49)ai j =

0

1ApHxL fiHxL f jHxL + qHxL fiHxL f jHxLE x

bi = 0

1f HxL f jHxL x.

La eleccin ms elemental de las funciones bsicas requiere la intervencin de

polinomios lineales seccionados. El primer paso es escoger puntos x0, x1, ... xn+1 para

formar una particin dentro del intervalo @0, 1D de tal manera que

0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1.

Al utilizar hi = xi+1 - xi para toda i = 0, 1, ..., n, se definen las funciones bsicas

f1HxL, f2HxL, ..., fnHxL mediante la expresin:

(50)fiHxL = :

0, 0 x xi-1x-xi-1

hi-1, xi-1 < x xi

xi+1-x

hi, xi < x xi+1

0, xi+1 < x 1

i = 1, 2, ..., n.

Las funciones fi son lineales y seccionadas, por ello, aunque las derivadas fi, no


son continuas, son constantes en el subintervalo abierto (x j, x j+1L para j = 0, 1, ..., n. Se obtiene, por tanto,

(51)fiHxL = :

0, 0 < x < xi-11

hi-1, xi-1 < x < xi

- 1hi, xi < x < xi+1

0, xi+1 < x < 1

i = 1, 2, ..., n.

Como fi y fi son distintos de cero solamente en (xi - 1, xi+1L,

fi HxL f j HxL 0 y fi HxL f j HxL 0,

excepto cuando j toma un valor igual a i - 1, i, o i + 1. Por lo tanto, el sistema lineal dado

en el teorema se reduce a un sistema lineal tridiagonal de n n. Los elementos de A que

son distintos de cero son:

ai, i = 019pHxL@fi HxLD2 + qHxL@fiHxLD2= x= I 1hi-1 M

2 xi-1

xi pHxL x + I- 1hi M2 xixi+1 pHxL x

+ I 1hi-1 M2 xi-1

xi Hx- xi-1L2 qHxL x + I 1hi M2 xixi+1 Hxi+1 - xL2 qHxL x

para i = 1, 2, ..., n;

ai ,i+1 = 019pHxL fiHxL fi+1HxL + qHxL fiHxL fi+1HxL= x= -I 1hi M

2 xixi+1 pHxL x + I 1hi M

2 xixi+1 Hxi+1 - xL Hx - xiL qHxL x,

para i = 1, 2, ..., n - 1;


ai ,i-1 = 019pHxL fiHxL fi-1HxL + qHxL fiHxL fi-1HxL= x= -I 1hi-1 M

2 xi-1

xi pHxL x + I 1hi-1 M2 xi-1

xi Hxi - xL Hx - xi-1L qHxL x,

para i = 1, 2, ..., n;

Los valores de la matriz b son:

bi = 01 f HxL fiHxL x = 1hi-1 xi-1xi Hx- xi-1L f HxL x + 1hi xixi+1 Hxi+1 - xL f HxL x,

para i = 1, 2, ..., n;

Por lo tanto, se obtienen seis tipos de integrales a evaluar:

(52)

Q1, i =1hi

2

xi

xi+1Hxi+1 - xL Hx - xiL qHxL x, i = 1, 2, ..., n - 1,

Q2, i =1

hi-1

2

xi-1

xi Hx- xi-1L2 qHxL x, i = 1, 2, ..., n,

Q3, i =1hi

2

xi

xi+1Hxi+1 - xL2 qHxL x, i = 1, 2, ..., n,

Q4, i =1

hi-1

2

xi-1

xi

pHxL x, i = 1, 2, ..., n + 1,

Q5, i =1

hi-1

xi-1

xi Hx - xi-1L f HxL x, i = 1, 2, ..., n,

Q6, i =1hi

xi

xi+1 Hxi+1 - xL f HxL x, i = 1, 2, ..., n.


La matriz A y b del sistema lineal A c = b contienen los elementos:

(53)

ai, i = Q4,i +Q4,i+1 +Q2, i +Q3, i, i = 1, 2, ..., n,ai,i+1 = -Q4,i+1 +Q1,i, i = 1, 2, ..., n - 1,ai,i-1 = - Q4,i +Q1-1, i = 2, 3, ..., n,bi = Q5,i +Q6,i, i = 1, 2, ..., n.

Los elementos de c son los coeficientes desconocidos c1, c2, ..., cn, a partir de los

cuales se construye la aproximacin de Rayleigh-Ritz f, dada por fHxL = i=1n ci fiHxL.

En este mtodo existe la dificultad prctica de tener que evaluar las 6 n integrales.

Estas integrales puede evaluarse directamente o mediante una frmula de cuadratura. La

evaluacin de la integral consiste en aproximar las funciones p, q y f con su polinomio

interpolante lineal seccionado, e integrar luego la aproximacin.

Supngse que se comienza por la integral de Q1,i. La interpolacin lineal

segmentaria de q es

PqHxL =i=0n+1 qHxiL fiHxL

donde f1, f2, ..., fn estn definidas en la frmula (50) y adems,

f0HxL = :x1-x

x1, 0 x x1

0, entonces

fn+1HxL = :x-xn1-xn

, xn x 1

0, entonces

Puesto que el intervalo de integracin es @xi, xi+1D, Pq se reduce a


PqHxL = qHxiL fiHxL + qHxi+1L fi+1HxL.

La aproximacin a Q1, i se obtiene integrando la aproximacin al integrando

Q1,i = I 1hi M2 xixi+1 Hxi+1 - xL Hx- xiL qHxL x

I 1hi M2 xixi+1Hxi+1 - xL Hx - xiLA qHxiL Hxi+1-xLhi + qHxi+1L Hx-xiLhi E x

= hi12 @qHxiL + qHxi+1LD.

De la misma manera se realizan las aproximaciones a las integrales restantes,

obtenindose los siguientes resultados:

(54)

Q1,i hi12

@qHxiL + qHxi+1LDQ2,i

hi-112

@3 qHxiL + qHxi-1LDQ3,i

hi12

@3 qHxiL + qHxi+1LD

Q4,i hi-1

2@pHxiL + pHxi-1LD

Q5,i hi-1

6@2 f HxiL + f Hxi-1LD

Q6,i hi6

@2 f HxiL + f Hxi+1LD.

En el algoritmo que se desarrolla a continuacin se establece el sistema lineal

tridiagonal donde se incorpora el algoritmo de factorizacin de Crout para resolver el

sistema.

Se aproxima la solucin al problema de valor de frontera:

- x IpHxL y

y M + qHxL y = f HxL, 0 x 1, y H0L = yH1L = 0


Algoritmo 6. Mtodo lineal segmentario de Rayleigh-Ritz

Input HpHxL, qHxL, f HxL, nLvector xi, ci,hi


x0 0

For i = 1, ...., n do

xi 0

ci 0

hi 0

End

For i = 0, ..., n do

hi xi+1 - xiEnd

For i = 1, ..., n do

fiHxL :0, 0 x xi-1x-xi-1hi-1

, xi-1 < x xixi+1-x

hi, xi < x xi+1

0, xi+1 < x 1

End

(* Se calculan Q1, j, Q2, j, Q3, j, Q4, j, Q5, j, Q6, j *)

For i = 1, ..., n - 1do

Q1,i hi

12@qHxiL + qHxi+1LD

Q2,i hi-1

12@3 qHxiL + qHxi-1LD

Q3,i hi

12@3 qHxiL + qHxi+1LD

Q4,i hi-1

2@pHxiL + pHxi-1LD

Q5,i hi-1

6@2 f HxiL + f Hxi-1LD

Q6,i hi

6@2 f HxiL + f Hxi+1LD

End

(* Se calculan Q2,n, Q3,n, Q4,n, Q4,n+1, Q5,n, Q6,n *)

Q2,n hn-1

12@3 qHxnL + qHxn-1LD

Q3,n hn

12@3 qHxnL + qHxn+1LD

Q4,n hn-1

2@pHxnL + pHxn-1LD

Q5,n hn-1

6@2 f HxnL + f Hxn-1LD

Q6,n hn

6@2 f HxnL + f Hxn+1LD


(* Creacin del sitema lineal tridiagonal simtrico *)

For i = 1, 2, ..., n - 1do

ai Q4,i +Q4,i+1 +Q2,i +Q3,i

bi Q1,i +Q4,i+1

bi Q5,i +Q6,i

End

an Q4,n +Q4,n+1 +Q2,n +Q3,n

bn Q5,n +Q6,n

(* Resolucin del sitema lineal tridiagonal simtrico *)

a1 a1

z1 b1

a1

z1b1

a1

For i = 2, ..., n - 1do

ai ai - bi-1 zi-1

zi bi

ai

zi Hbi - bi-1 zi-1L aiEnd

an an - bn-1 zn-1

zn Hbn-bn-1 zn-1L

an

cn zn

For i = n - 1, ..., 1do

ci zi - zi ci+1End

(* Clculo de la funcin lineal segmentaria aproximante f(x) *)

fHxL i=1n ci fiHxLReturn HfHxLLOutput

Ejemplo. Problema 5. Considrese el problema con valor de frontera

- x He-x yL + e-x y = Hx - 1L - Hx+ 1L e-Hx-1L x @0, 1D, yH0L = 0, yH1L = 0

y su solucin exacta y = xHex - eL.Aplquese el mtodo lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la

solucin f HxL.


Mtodo lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la

solucin al problema de valor de frontera.

-

xHpHxLy

xL + qHxL y = f HxL

-x y + -xy

x- -x

2y

x2= x - 1-x Hx + 1L - 1

pHxL = -x qHxL = -x f HxL = x - 1-x Hx + 1L - 1x @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0

Puntos.

n = 19

x0 = 0.

Hxi, hiL =

x1 h1

x2 h2

x3 h3

x4 h4

x5 h5

x6 h6

x7 h7

x8 h8

x9 h9

x10 h10

x11 h11

x12 h12

x13 h13

x14 h14

x15 h15

x16 h16

x17 h17

x18 h18

x19 h19

=

0.05 0.05

0.1 0.05

0.15 0.05

0.2 0.05

0.25 0.05

0.3 0.05

0.35 0.05

0.4 0.05

0.45 0.05

0.5 0.05

0.55 0.05

0.6 0.05

0.65 0.05

0.7 0.05

0.75 0.05

0.8 0.05

0.85 0.05

0.9 0.05

0.95 0.05

xn+1 = 1.

Integrales a evaluar.

Q1, i =H 1hi

L2xi

xi+1Hxi+1-xLHx-xiLqHxL x i = 1, 2,..., n-1.


Q1, i =

0.00773167892989

0.00735460049901

0.00699591239997

0.00665471772621

0.00633016331282

0.00602143760506

0.00572776862784

0.00544842205530

0.00518269937615

0.00492993614483

0.00468950032202

0.00446079069256

0.00424323536325

0.00403629033268

0.00383943813018

0.00365218652294

0.00347406728447

0.00330463502367

Q2, i =H 1hi-1

L2xi-1

xi Hx-xi-1L2qHxL x i = 1, 2,..., n.

Q2, i =

0.0160539948995

0.0152710323292

0.0145262552940

0.0138178014636

0.0131438993339

0.0125028637990

0.0118930919363

0.0113130589980

0.0107613146000

0.0102364790940

0.00973724011750

0.00926234931313

0.00881061920657

0.00838092023745

0.00797217793420

0.00758337022839

0.00721352489808

0.00686171713755

0.00652706724376


Q3, i =H 1hi

L2xi

xi+1Hxi+1-xL2qHxL x i = 1, 2,..., n.

Q3, i =

0.0156576162758

0.0148939853189

0.0141675970837

0.0134766352203

0.0128193719648

0.0121941638167

0.0115994474294

0.0110337357029

0.0104956140628

0.00998373692465

0.00949682432916

0.00903365874132

0.00859308200560

0.00817399245081

0.00777534213490

0.00739613422427

0.00703542050173

0.00669229899497

0.00636591172154

Q4, i =H 1hi-1

L2xi-1

xi

pHxLx i = 1, 2,..., n+1.


Q4, i =

19.5082301997

18.5568025859

17.6517766444

16.7908893388

15.9719880026

15.1930249559

14.4520523852

13.7472174732

13.0767577655

12.4389967637

11.8323397329

11.2552697146

10.7063437332

10.1841891878

9.68750042016

9.21503544952

8.76561286740

8.33810888325

7.93145451444

7.54463291322

Q5, i =1

hi-1xi-1

xi Hx-xi-1Lf HxL x i = 1, 2,..., n.

Q5, i =

-0.0920823543453

-0.0906464595925

-0.0890671552422

-0.0873588716292

-0.0855349728124

-0.0836078260911

-0.0815888674426

-0.0794886629483

-0.0773169664427

-0.0750827736090

-0.0727943727297

-0.0704593922905

-0.0680848456236

-0.0656771727653

-0.0632422796942

-0.0607855751060

-0.0583120048712

-0.0558260843146

-0.0533319284470


Q6, i =1

hixi

xi+1Hxi+1-xLf HxL x i = 1, 2,..., n.

Q6, i =

-0.0911418082118

-0.0896086461892

-0.0879418169777

-0.0861550321492

-0.0842609837696

-0.0822714112291

-0.0801971639778

-0.0780482604087

-0.0758339431140

-0.0735627307280

-0.0712424665587

-0.0688803641976

-0.0664830502873

-0.0640566046152

-0.0616065976921

-0.0591381259668

-0.0566558448167

-0.0541639994481

-0.0516664538317

Sistema tridiagonal simtrico: A.x = b.

A =

38.0967 -18.5491 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-17.6444 36.2387 -17.6444 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -16.7839 34.4714 -16.7839 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -15.9653 32.7902 -15.9653 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -15.1867 31.191 -15.1867 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -14.446 29.6698 -14.446 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -13.7415 28.2228 -13.7415 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -13.0713 26.8463 -13.0713 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 -12.4338 25.537 -12.4338 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -11.8274 24.2916 -11.8274 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11.2506 23.1068 -11.2506 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10.7019 21.9799 -10.7019 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10.1799 20.9079 -10.1799 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9.68346 19.8882 -9.68346 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9.2112 18.9183 -9.2112 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.76196 17.9956 -8.76196 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.33463 17.118 -8.33463 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7.92815 16.2831 -7.92815

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7.92815 15.489


b =

-0.183224

-0.180255

-0.177009

-0.173514

-0.169796

-0.165879

-0.161786

-0.157537

-0.153151

-0.148646

-0.144037

-0.13934

-0.134568

-0.129734

-0.124849

-0.119924

-0.114968

-0.10999

-0.104998

Solucin al sistema lineal tridiagonal simtrico.

c =

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

c13

c14

c15

c16

c17

c18

c19

=

-0.0833579867539

-0.161325802637

-0.233488871405

-0.299404271441

-0.358598918782

-0.410567638309

-0.454771116422

-0.490633728118

-0.517541230961

-0.534838318030

-0.541826021412

-0.537758957369

-0.521842403760

-0.493229199752

-0.451016457281

-0.394242073107

-0.321881029648

-0.232841472121

-0.125960548737

Tabla de errores en la aproximacin.


i xi fiHxiL = ci yHxiL fHxiL - yHxiL1 0.0500000000 -0.0833579868 -0.0833505366 7.450149753710-6

2 0.1000000000 -0.1613258026 -0.1613110910 1.471159864110-5

3 0.1500000000 -0.2334888714 -0.2334671379 2.17335450110-5

4 0.2000000000 -0.2994042714 -0.2993758141 2.845738088710-5

5 0.2500000000 -0.3585989188 -0.3585641029 3.481583901910-5

6 0.3000000000 -0.4105676383 -0.4105269063 4.073204409110-5

7 0.3500000000 -0.4547711164 -0.4547249980 4.61184694510-5

8 0.4000000000 -0.4906337281 -0.4905828523 5.087579049610-5

9 0.4500000000 -0.5175412310 -0.5174863393 5.489162512310-5

10 0.5000000000 -0.5348383180 -0.5347802789 5.803915072610-5

11 0.5500000000 -0.5418260214 -0.5417658458 6.017558636710-5

12 0.6000000000 -0.5377589574 -0.5376978168 6.114052762110-5

13 0.6500000000 -0.5218424038 -0.5217816496 6.075412057710-5

14 0.7000000000 -0.4932291998 -0.4931703847 5.881506013810-5

15 0.7500000000 -0.4510164573 -0.4509613589 5.509839666910-5

16 0.8000000000 -0.3942420731 -0.3941927200 4.935313333710-5

17 0.8500000000 -0.3218810296 -0.3218397301 4.12995951310-5

18 0.9000000000 -0.2328414721 -0.2328108456 3.062654877910-5

19 0.9500000000 -0.1259605487 -0.1259435607 1.698805093610-5

Grfica de la aproximacion obtenida con el mtodo

lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

Y


9.2. M

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