COLEGIO DE MATEMTICAS

REA 1 FSICO-MATEMTICAS Grado: 4 Clave: 1400 Plan: 96

GUA DE ESTUDIO MATEMTICAS IV

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

Autor: Silvia Guadalupe Canabal Cceres Julio Hernndez Hernndez Jos Luis Lpez Hernndez Jos Arturo Reyna Galindo

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Escuela Nacional Preparatoria Directora General: Mtra. Silvia E. Jurado Cullar Secretario Acadmico: Bil. Alejandro Martnez Prez Actualizacin editorial: Edgar Rafael Franco Rodrguez 5 edicin: 2012 Reimpresin 2014 Universidad Nacional Autnoma de Mxico Escuela Nacional Preparatoria Direccin General Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle C. P. 03100, Mxico, D. F. Impreso en Mxico

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PRESENTACIN

La Escuela Nacional Preparatoria ha trabajado durante casi 145 aos en la formacin de jvenes llenos de ideales y metas por cumplir, con deseos de superacin y comprometidos con su pas, a quienes tenemos que guiar y conducir hacia el logro de sus xitos acadmicos, factores que reforzarn su seguridad personal.

Las herramientas que adquieran los estudiantes, durante esta etapa escolar, sern fundamentales, columna vertebral que sostenga sus estudios profesionales, con lo que el desarrollo de habilidades y actitudes se ver reflejado en su futuro prximo.

Es nuestra responsabilidad dotar a los alumnos de todos los materiales didcticos que ayuden a enfrentar los retos de adquisicin del aprendizaje, para que continen con sus estudios de manera organizada, armnica y persistente.

Por lo mismo, los profesores que integran esta dependencia universitaria, trabajan de manera colegiada; ponen toda su energa en desarrollar las Guas de estudio para aquellos alumnos que, por cualquier razn, necesitan presentar un examen final o extraordinario y requieren elementos de apoyo para aprobarlos y concluir sus estudios en la Preparatoria.

La presente Gua de estudio es un elemento didctico que facilita la enseanza y el aprendizaje. Se puede utilizar de manera autodidacta o con la ayuda de los muchos profesores que a diario brindan asesoras en cada uno de los planteles de la Escuela Nacional Preparatoria.

Continuaremos buscando ms y mejores elementos didcticos: presenciales y en lnea, con el objetivo de ayudar a nuestros alumnos a que aprueben y egresen del bachillerato.

Slo me resta desearles xito en su camino personal y profesional.

Juntos por la Escuela Nacional Preparatoria.

Mtra. Silvia E. Jurado Cullar Directora General

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Esta gua se elabor para los alumnos que presentarn el examen extraordinario de matemticas IV

Este material no es un libro de texto, es una gua que te brindar las herramientas necesarias para poder adquirir los conocimientos de los temas del curso de Matemtica IV. Contiene la teora bsica de los temas relevantes de cada unidad, consistente en definiciones, frmulas, indicaciones y procedimientos que se aplican en los ejemplos representativos distribuidos en las unidades que componen el programa de estudios de Matemticas IV. Tambin se incluyen ejercicios de opcin mltiple distribuidos al final de cada unidad llamados ejercicios de autoevaluacin y al final de la gua dos tipos de exmenes homlogos a los exmenes extraordinarios que se aplican en la ENP, as como la solucin de los mismos localizados al final de la gua. Se recomienda consultar los libros que se mencionan en la referencia bibliogrfica, los cuales se encuentran a disposicin de los alumnos en la biblioteca de cada plantel, algunos libros contiene un disco de apoyo para los alumnos. Sabemos que esta gua puede mejorarse en funcin del uso que se de a la misma, pues no slo guiar al alumno para presentar el examen extraordinario sino que puede ser de ayuda para el curso de Matemticas IV. Por tal motivo cualquier comentario pueden hacerlo llegar por escrito a la Jefatura del Departamento de Matemticas.

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Alumno, los autores de esta obra consideramos la simple ejecucin mecnica de alguna actividad, no siempre lleva a un aprendizaje. Si cuentas con la capacidad para evaluar una tarea se te har el trabajo ms fcil, ya que se puede determinar la mejor forma de realizarlo y la forma de hacer un seguimiento.

Si realizas las tareas recomendadas en esta gua y evalas tu avance, despus de programar tus actividades, podemos pensar que empezars a desarrollar estrategias de aprendizaje que te ayudarn en tus estudios actuales y posteriores.

Para logres la organizacin de los contenidos de la gua, en cada una de las unidades debers utilizar estrategias de ensayo como son el copiar aspectos importantes del material o bien subrayar los aspectos relevantes del tema. El describir las relaciones existentes entre temas anteriores y los actuales, te permitir reafirmar el conocimiento al crear un puente entre lo anterior y lo nuevo. Los mapas mentales incluidos te permiten observar de manera clara el temario de cada unidad, lo cual te permitir visualizar los contenidos permitindote relacionar los temas organizndolos en tu mente. Dentro de las actividades de aprendizaje que se sugieren en esta gua se encuentran las de planeacin para preparar tu examen que te permitir calendarizar tu estudio de acuerdo a tus actividades. Como actividad de regulacin, que se debe llevar a cabo durante el estudio y al finalizar este, puede utilizar los exmenes muestra a travs de los cules podr evaluar su avance y poder tomar la decisin de regresar a repasar o avanzar con el mtodo empleado o bien ajustar tiempo y estrategia. No olvides consultar la bibliografa que se te recomienda, apyate en otros libros para que tu aprendizaje sea mucho mejor y tu desempeo en esta asignatura sea el ptimo.

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NDICE CONJUNTOS .................................................................................................................... 9

Idea intuitiva de un conjunto ........................................................................................... 9 Cardinalidad ................................................................................................................. 10 Subconjunto ................................................................................................................. 10 Tipos de conjuntos ....................................................................................................... 11 Diagramas de Venn-Euler ............................................................................................ 12 Operaciones con conjuntos .......................................................................................... 12 Producto cartesiano ..................................................................................................... 16 Plano cartesiano .......................................................................................................... 16 Autoevaluacin ............................................................................................................ 19 Bibliografa ................................................................................................................... 20

EL CAMPO DE LOS NMEROS REALES ...................................................................... 21

Operacin binaria ....................................................................................................... 21 Nmeros Naturales ( ) y Enteros ( ) ...................................................................... 22 Nmeros primos y compuestos ................................................................................... 22 Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo ........................................................ 22 Algoritmo de Eucldes ................................................................................................. 23 Nmeros Racionales ( ) e Irracionales ( c = ) ....................................................... 23 Operaciones en los racionales .................................................................................... 24 Nmeros Reales ( ).................................................................................................. 26 Operaciones con nmeros reales ............................................................................... 26 Valor absoluto. Intervalos en la recta real ................................................................... 26 Exponentes enteros y racionales ................................................................................ 27 Notacin cientfica ...................................................................................................... 29 Logaritmos .................................................................................................................. 30 Introduccin a los Nmeros Complejos ( )................................................................ 31 Autoevaluacin ........................................................................................................... 33 Bibliografa .................................................................................................................. 35

MONOMIOS Y POLINOMIOS EN UNA VARIABLE ......................................................... 36

Polinomios .................................................................................................................. 36 Definicin de monomio y polinomio ............................................................................. 37 Polinomios como ( )f x ............................................................................................... 37 Operaciones con polinomios ....................................................................................... 38 Autoevaluacin ........................................................................................................... 41 Bibliografa .................................................................................................................. 41

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIN ............................................................ 42

Binomio al cuadrado ................................................................................................... 42 Binomios conjugados .................................................................................................. 43 Producto de binomios con trmino comn .................................................................. 43 Binomio al cubo .......................................................................................................... 43 Trinomio cuadrado perfecto ........................................................................................ 44 Diferencia de cuadrados ............................................................................................. 44

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Trinomio de la forma x2+bx+c ..................................................................................... 45 Cubo perfecto ............................................................................................................. 45 Factor comn. ............................................................................................................. 45 Factor comn por agrupacin de trminos .................................................................. 46 Suma o diferencia de dos potencias iguales ............................................................... 47 Trinomio de la forma ax2+bx+c ................................................................................... 47 Mnimo comn mltiplo de dos polinomios .................................................................. 48 Tringulo de Pascal .................................................................................................... 48 Binomio de Newton ..................................................................................................... 49 Trmino especfico de un desarrollo binomial ............................................................. 50 Autoevaluacin ........................................................................................................... 51 Bibliografa .................................................................................................................. 53

OPERACIONES CON FRACCIONES Y RADICALES ..................................................... 54

Teorema del residuo ................................................................................................... 54 Teorema del factor ...................................................................................................... 54 Divisin sinttica ......................................................................................................... 55 Simplificacin de fracciones algebraicas ..................................................................... 56 Operaciones con fracciones algebraicas..................................................................... 56 Operaciones con radicales ......................................................................................... 57 Operaciones con nmeros complejos ......................................................................... 59 Autoevaluacin ........................................................................................................... 60 Bibliografa .................................................................................................................. 62

ECUACIONES Y DESIGUALDADES .............................................................................. 63

Ecuacin, identidad y propiedades de la igualdad ...................................................... 63 Ecuacin de primer grado en una variable .................................................................. 64 Ecuacin de segundo grado ....................................................................................... 64 Desigualdad de primer grado ...................................................................................... 67 Desigualdad de segundo grado .................................................................................. 69 Autoevaluacin ........................................................................................................... 71 Bibliografa .................................................................................................................. 72

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE DESIGUALDADES ................................................ 73

Resolucin de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables ................... 73 Resolucin de un sistema de dos ecuaciones con dos variables formados por una de primer grado y la otra de segundo grado ................................... 78 Solucin de un sistema de dos desigualdades de primer grado en dos variables .......................................................................................................... 79 Autoevaluacin ........................................................................................................... 81 Bibliografa .................................................................................................................. 83

ANEXOS

Exmenes propuestos ................................................................................................ 87 Respuestas correctas de los ejercicios ....................................................................... 91

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CONJUNTOS Objetivo. En esta unidad entenders el concepto de conjunto, las caractersticas que tienen as como sus diferentes representaciones, las operaciones con diagramas y aplicaciones en algunos problemas. Introduccin. El ser humano suele agrupar a personas o cosas para entenderlas mejor, es precisamente esta idea de agrupamiento o clasificacin lo que engloba el concepto de conjunto. Un conjunto implica la idea de una coleccin bien definida de objetos que se caracterizan en algo en comn. A estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto. A los conjuntos se les denota con letras maysculas; a los elementos, con letras minsculas separadas por comas y encerrados entre llaves. Idea intuitiva de un conjunto Ejemplos 1. El conjunto A formado por las letras de la palabra ejemplo es: { }, , , , ,A e j m p l o= 2. El conjunto B formado por una secuencia de nmeros del 1 al 5 queda como: { }1,2,3,4,5B = 3. El conjunto C formado por las letras de la palabra esfera es: { }= , , , ,C e s f r a La relacin que existe entre un elemento y un conjunto se indica con el smbolo de pertenencia () no pertenencia () Si un elemento x pertenece al conjunto A se representa como: x A . Si un elemento x no pertenece al conjunto A se representa como: x A . Ejemplos 1. Para el conjunto { }A se tiene lo siguiente A A A2,3,7,1,9 3 , 8 , 2,3,7,1,9= 2. Para el conjunto { }1,2,4,6,8,10 2,4 0,1,3,5,7,9B B y B= 3. Para el conjunto { }1,2,3,4 3 9C C y C=

Hay dos formas de representar los conjuntos por extensin comprensin.

Un conjunto es determinado por extensin (o enumeracin), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y slo a ellos.

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Ejemplos

{ }{ }{ }

A

B

C h o l a

1. 1,2,5,6,9

2. 2, 1,0,1,2

3. , , ,

=

=

=

4. Conjunto formado por los nmeros impares mayores que 1 y menores que 8 se tiene; D = {3, 5, 7} Un conjunto es determinado por comprensin, cuando se da una propiedad o varias condiciones para cumplir en todos los elementos del conjunto y slo a ellos. Ejemplos

{ } { }{ } { }{ } { }

= =

= < =

= =

1. es una vocal , , , , ,

2. es un nmero par 10 , 2,4,6,8

3. es una letra que forma la palabra conjunto , , , , , ,

A x x A a e i o u

B x x B

C x x C c o n j u t

4. Si D = {4,5,6,7}, entonces el conjunto D, escrito por comprensin, es { }D x x4 7= Caractersticas de conjuntos Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto, es el nmero de elementos que lo forman y se denota por #A o n(A). Un conjunto que no tiene elementos su cardinalidad es cero. Es un indicador del tamao que tienen los conjuntos. Ejemplos 1. Para el conjunto A = { 3, 4, 5, 6} se tiene #A = 4. 2. Para el conjunto { }1 4B x x= < tenemos n(B) = 3. Subconjunto Para indicar la relacin que existe entre dos conjuntos usamos el smbolo A B que indica que el conjunto A esta contenido o es un subconjunto de B bien si no existe relacin A B que indica que A no est contenido en B no es un subconjunto de B. Ejemplos 1. Para los conjuntos A = {2, 4, 5} y B = {5, 2, 4, 6} se tiene que A B. 2. Para los conjuntos C = {2, 3, 4, 6} y D = {1, 2, 3, 6} vemos que C D. Porque le falta el elemento 4 al conjunto D. 3. Dados los conjuntos E = {-3, 3} y F = {3, -3, 1} tenemos que E F.

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Tipos de conjuntos Existen varios conjuntos que son importantes reconocerlos sobretodo cuando se resuelven problemas de conjuntos. Conjunto universal Todos los conjuntos A, B, C.... son subconjuntos de un conjunto dado, llamado conjunto universal U. El conjunto universal es el conjunto que tiene a todos los elementos de los dems conjuntos. Ejemplo 1. Dado el conjunto universal: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De ste conjunto, se tienen los siguientes conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 6} donde se puede ver que A U y B U, eso sucede siempre, el conjunto universal contiene todos los elementos de todos los conjuntos que se tengan, pero tambin contiene elementos que no tengan los conjuntos. Conjunto vaco El conjunto que no contiene ningn elemento se le llama conjunto vaco o nulo y se representa con uno de los siguientes smbolos A = o A = { } El conjunto vaco ( ) es subconjunto de cualquier conjunto, { } A B Ejemplos 1. Si el conjunto A es, escrito por comprensin, { }2 5= + = A x x entonces, el mismo conjunto, escrito por extensin, es A = . 2. Si B = {x x= -1 } entonces, escrito por extensin, es B = { } Conjuntos iguales Los conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y viceversa. La igualdad se representa como A = B B = A. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa para considerarlos iguales. Ejemplos 1. Los conjuntos A = {1, 5, 3} y B = {3, 1, 5}, son iguales A = B. 2. Los conjuntos C = {x 2 + x = 6} y D = {4}, son iguales C = D.

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Conjuntos ajenos Cuando dos conjuntos A y B no tienen elementos en comn entre ellos, entonces A y B son conjuntos ajenos o disjuntos, ningn elemento de A est contenido en B y ningn elemento de B est contenido en A. Ejemplos 1. Los conjuntos A = {5, 11, 51, 30} y B = {3, 21, 8, 7}, son conjuntos ajenos porque A no tiene elementos de B y B no tiene elementos de A, por lo tanto A B o B A 2. Los conjuntos C = {-2, -1, 0, 1, 2} y D = {4, 5, 6, 7, 8}, son conjuntos ajenos o disjuntos. 3. Los conjuntos E = {5, 13, 15, 2} y F = {13, 20, 30, 40} no son conjuntos ajenos, porque el elemento 13 estn contenido en los dos conjuntos E y F. Diagramas de Venn Euler Los diagramas de Venn - Euler son representaciones grficas que nos permiten visualizar las relaciones que existen entre conjuntos y sus elementos. Ejemplo La representacin grfica de los siguientes conjuntos es; U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , A = {2, 6, 1, 3} y B={1, 3, 4, 7}. Los elementos 5 y 8 que no estn en los conjuntos se escriben fuera de los crculos, porque pertenecen al conjunto universal.

BA

U

58

47

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Operaciones con Conjuntos Unin

Para dos conjuntos A y B la unin, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o que pertenecen al conjunto B, se representa como AB. La unin cumple con ser conmutativa, { },A B B A A B x x A o x B= =

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Ejemplos 1. Con los conjuntos A = {1, 2, 3, 6} y B = {1, 3, 4, 7}, la operacin de unin, A B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} y su representacin grfica es:

BAU

58

47

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62

2. Los conjuntos C = {x 1 < x es impar < 8} y D = { 2, 3, 4}, la operacin de unin, C D = { 2, 3, 4, 5, 7} Interseccin

Para dos conjuntos A y B la interseccin, es otro conjunto que est formado por aquellos elementos que pertenecen al conjunto A y tambin pertenecen al conjunto B al mismo tiempo, se representa como A B. La interseccin cumple con ser conmutativa

,A B B A A B x x A y x B Ejemplos 1. Los conjuntos A = {1, 2, 3, 6} y B = {1, 7, 3, 4}, la operacin de interseccin A B = {1, 3} y su representacin grfica es:

BAU

58

47

62

13

2. Los conjuntos C = {x 2 < x es par < 6} y D = {3, 4, 5}, la operacin de interseccin C D = {4}

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3. Los conjuntos E = {1, 2, 3} y F = {4, 5, 6}, la interseccin E F = { } son conjuntos ajenos.

Diferencia

Para dos conjuntos A y B la diferencia, es un nuevo conjunto que est formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero que no pertenecen al conjunto B, se representa como AB. La diferencia no cumple con ser conmutativa ,A B B A

{ } { },A B x x A y x B B A x x B y x A = = Ejemplos 1. Si los conjuntos A y B son A = {1, 2, 3, 6} y B = {1, 7, 3, 4} entonces la operacin de diferencia AB = {6, 2} y su representacin grfica es:

58

47

62

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2. Si el conjunto universal es { }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U = y los conjuntos { } impar 1 7=

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3. Si el conjunto universal es { }1,2,3,4,5,6,7,8,9U = y los conjuntos E = {2, 3, 5, 6, 9} y F ={2, 6, 7}, entonces la operacin FE = {7}

Complemento

Para un conjunto A su complemento, es otro conjunto que est formado por los elementos que no pertenecen al conjunto A, pero que pertenecen al conjunto universal, se representa como A o como AC. { }'= = CA A x x U y x A

Ejemplos 1. Si el conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y el conjunto A = {1, 2, 3, 6}, entonces el complemento del conjunto A es AC = {4, 7, 5, 8} y su representacin grfica es:

62

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47 5

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2. Sea el conjunto U = {x 2 < x < 9} y B = {2, 7}, entonces el complemento del conjunto B, es BC = {3, 4, 5, 6, 8} 3. Sean los conjuntos U = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 3, 4} y B = {4, 5, 6} encuentra los conjuntos que representan a las siguientes operaciones, a) AC B y b) (AB) B

a) AC = {5, 6, 7} y B = {4, 5, 6}. Entonces AC B = {4, 5, 6, 7}. b) AB = {2, 3} y B = {4, 5, 6} entonces (AB) B = .

4. Sean los conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = { 2, 3, 4} y B = {3, 5, 6}, los conjuntos de las siguientes operaciones son:

a) A B = { 2, 3, 4, 5, 6} b) A B = {3}, c) AB = { 2, 4} d) AC = {0, 1, 5, 6, 7, 8, 9} e) (A B) (AB)={ 3, 5, 6} f) (A B) AC={3}

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5. En una encuesta realizada a 70 estudiantes, para un torneo de una escuela, se tienen como resultado los siguientes datos: 49 participan en ftbol, 32 participan en bsquetbol, 17 participan en los dos torneos, mientras que el resto de los estudiantes no pudieron participar.

BF U

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32 17 15

Las diferentes cantidades que se obtienen del diagrama son: n(F) = 49, total de estudiantes que participan en ftbol. n(F C) = 21, no participan en ftbol. n(B) = 32, total de estudiantes que participan en bsquetbol. n(B C) = 38, no participan en bsquetbol. n(F B) = 64, participan en ftbol o participan tambin en bsquetbol. n(F B) = 17, participan en ftbol y participan en bsquetbol. n(FC B) = 15, no participan en ftbol pero si participan en bsquetbol (tambin se dice que slo participan en bsquetbol). n(F BC )= 32, participan en ftbol pero no participan en bsquetbol (tambin se dice que slo participan en ftbol). n(BC FC) = 6, total de estudiantes que no participan en el torneo. Producto cartesiano

Para dos conjuntos A y B el producto cartesiano, es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y), que se representa con AB.

A B B A

{ } { } = = ( , ) , , ( , ) ,A B x y x A y B B A x y x B y A Plano Cartesiano

Un plano cartesiano es un conjunto de parejas ordenadas formadas por los nmeros reales y se indica x , la representacin grfica se forma utilizando dos rectas numricas perpendiculares entre s, a las que se denominan ejes coordenados. El plano queda dividido en cuatro partes que se denominan cuadrantes.

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Ejemplos 1. La representacin grfica del conjunto A = {(2, 3), (3, 4), (5, 6), (7, 4)} es:

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2. Si los conjuntos A y B son A = {3, 5, 7} y B = {4, 6}, entonces el producto cartesiano: AB = {(3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6), (7, 4), (7, 6)} y su representacin grfica es

3. Si los conjuntos C y D son C = {3, 7} y D = {7, 14, 2, 4}, el producto cartesiano C D = {(3, 7), (3, 14), (3, 2), (3, 4), (7, 7), (7, 14), (7, 2), (7, 4)} 4. Sean los conjuntos E = {3, 8} y F = {0} entonces los productos cartesianos

E F = {(3, 0), (8, 0)}, y F E = {(0, 3), (0, 8)} , nota que E F F E .

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Autoevaluacin Ahora que has estudiado la unidad quiz te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resulvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. Sean los conjuntos U = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y A = { 3, 5, 8} la relacin entre ellos es: A) A es elemento de U B) A es subconjunto de U C) A no pertenece a U D) U es subconjunto de A 2. Si los conjuntos A y U son, A = y U = {6, 2, 5, 0} entonces la relacin entre los dos es: A) A U B) U A C) A U D) A = U 3. Dados los conjuntos A = {7, 2, 3} y B = {7, 2, 3} entonces el producto cartesiano AB es: A) {(7, 7), (7, 2), (7, 3), (2, 7), (2, 2), (2, 3), (3, 7), (3, 2), (3, 3)} B) {(7, 7), (2, 2), (3, 3)} C) {(7, 2), (7, 2), (1, 3)} D) {(7, 7), (2, 2), (3, 3), (2, 7), (2, 3), (7, 3)} 4. Si A y B son los conjuntos A = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} y B = {(2, 2), (2, 4)}, entonces la diferencia AB es: A) {(2, 4), (4, 2)} B) {(2, 4), (4, 4)} C) {(4, 4), (4, 2)} D) {(2, 2), (2, 4), (4, 2)} 5. Dados los conjuntos A = {0, 5, 1}, B = {5, 4} y C = {4, 6, 1} entonces la operacin (A B) C es: A) {1, 4} B) {5, 4, 6, 1} C) { 6, 5, 0} D) {5, 0} 6. Sean los conjuntos A = {10, 11}, B = {11, 12} y C = {12, 13}, la operacin (A B) C es: A) {11, 12, 13} B) {10, 11, 12} C) {10, 11, 12, 13} D) {13, 11} 7. Con los conjuntos U = { 2, 3, 4, 5, 6}, A = { 2, 4}, B = {2, 5, 6} y C = {2, 4,6} el resultado de la operacin (A B)C CC es: A) {3} B) {3, 4, 5, 6} C) {3, 5} D) {3, 5, 4} 8. En una encuesta a 142 alumnos, se obtuvo que 97 alumnos les gusta el color rojo, 68 alumnos les gusta el color blanco, 38 alumnos les gustan los colores rojo y blanco. A cuantos alumnos les gusta el color rojo pero no el color blanco, n( R BC )? A) 74 B) 59 C) 97 D) 15 9. Se entrevistaron a 120 personas de los cuales, 60 prefieren tomar t, 90 personas prefieren tomar caf, 40 personas toman t y caf, mientras que el resto de las personas toman algo diferente. Cuntas personas toman solamente Caf, n( TC C) ? A) 40 B) 90 C) 10 D) 50 10. Los conjuntos B = {x x 4 = 1} y U = {2, 3, 4, 5}, la operacin (Bc)c es: A) { 2, 5} B) {3, 5} C) {2, 3} D) {3}

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BIBLIOGRAFA 1. Kleiman, Ariel, Conjuntos. Mxico, Limusa, 1981. 2. Sols Lozano, Francisco Javier, Al-Jebr. Mxico, Oxford, 2006. 3. De Oteyza, Elena, lgebra. Mxico, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 4. Vargas, Eusebio., lgebra. Mxico, Santillana, 2006. 5. Cullar, Juan, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2004. 6. Dugopolski, Mark, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2005. 7. Muzuri, Salvador., Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2007. 8. Sandoval Soto, Jos., Curso de Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2005. 9. Garca, Leonardo, Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2004.

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EL CAMPO DE LOS NMEROS REALES ( ) Objetivos.

Despus de completar el estudio de esta unidad, debes adquirir las habilidades necesarias para operar con los nmeros reales. Debes utilizar adecuadamente la jerarqua de las operaciones para simplificar algunas expresiones con nmeros reales. Introduccin.

La mayor parte del lgebra elemental est ntimamente relacionada al sistema de los nmeros reales. La Lgica y los Conjuntos pueden ser una buena herramienta para estudiar y entender las propiedades que caracterizan a los reales como un campo, de manera que sin prescindir de las habilidades desarrolladas en aritmtica las generalicemos y las perfeccionemos comprendiendo que siempre son vlidas. La mecanizacin puede ser vlida para agilizar las operaciones con los nmeros, pero sta no nos ensea cmo aplicar las operaciones en los problemas en general, es ms bien el conocimiento de la estructura de los nmeros lo que nos permitir aplicarlos a situaciones reales. As pues, es importante saber cmo pasar de la representacin numrica a la representacin simblica para generalizar las reglas operativas de las Matemticas. Operacin binaria Una operacin binaria en un conjunto es una regla que asocia a cada par de elementos del conjunto otro elemento del conjunto. El conjunto de los nmeros reales junto con la suma y el producto usuales { }, ,+ , cumple con las siguientes propiedades: Si , ,a b c , entonces a b b a+ = + Conmutatividad con respecto a la suma a b b a = Conmutatividad con respecto al producto ( ) ( )a b c a b c+ + = + + Asociatividad con respecto a la suma ( ) ( )a b c a b c = Asociatividad con respecto al producto Existe a tal que, para todob , a b b a b+ = + = ( 0a = ) Existencia del neutro aditivo Existe a tal que, para todo b a b b a = = b ( 1a = ) Existe el neutro multiplicativo Para todo a existe b tal que 0a b+ = (b a= ) Existencia del inverso aditivo

Para todo a existe b tal que 1a b = ( 1 1b aa

= = ) Existe el inverso multiplicativo

( ) ( )a b c a c b c c a c b c a b+ = + = + = + Distributividad del producto con respecto a la suma a b+ Cerradura con respecto a la suma a b Cerradura con respecto al producto

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Nmeros Naturales ( ) y Nmeros Enteros ( ) Desde el punto de vista de la Teora de Conjuntos se puede estudiar al cero como un nmero natural, desde otros puntos de vista es considerado como entero; pero nosotros consideraremos a los nmeros naturales como todos aquellos enteros positivos.

{ }1,2,3,4,5,...= Los nmeros enteros son los naturales unin sus negativos y el cero.

{ }..., 3, 2, 1,0,1, 2,3, ,...= Nmeros primos y compuestos Un nmero natural es primo si nicamente posee dos divisores distintos, l mismo y la unidad. Si no es el caso entonces el nmero natural es compuesto. Observacin. Todo nmero natural es primo o es compuesto. El conjunto de los nmeros primos es { }2,3,5,7,11,13,17,19,...P = Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo El mnimo comn mltiplo (m. c. m.) de dos nmeros naturales es el menor de todos los mltiplos comunes. El mximo comn divisor (M. C. D.) de dos nmeros naturales es el mayor de todos los divisores comunes. Para encontrar el m. c. m. y el M. C. D. de dos nmeros naturales se puede emplear la descomposicin de dichos nmeros naturales en factores primos. El m. c. m. de dos nmeros naturales a y b, es el producto de todos los factores primos comunes y no comunes de a y b, a la potencia mxima. El M. C. D. de dos nmeros naturales a y b, es el producto de todos los factores primos comunes, a la potencia mnima. Ejemplo 1. Encuentra el M. C. D. y el m. c. m. de 156 y 90.

2156 (2)(2)(3)(13) 2 3 13= = 290 (2)(3)(3)(5) 2 3 5= =

Entonces, el . . . 2 3 6M C D = = y el 2 2. . . 2 3 5 13 2340m c m = = Algoritmo de Eucldes El M. C. D. se puede encontrar tambin usando repetidamente el algoritmo de la divisin, lo que se conoce como el algoritmo de Eucldes, que consiste en dividir el nmero mayor (dividendo) entre el menor (divisor) y obtener un cociente y un residuo, luego se divide el divisor entre el primer residuo y se obtiene un segundo residuo; en seguida se divide el primer residuo entre el segundo residuo, el segundo residuo entre el tercer residuo y as sucesivamente hasta encontrar un residuo igual a cero. En ese momento se termina el algoritmo de Eucldes.

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Algoritmo de la divisin Sean , , ,a b c r . Si se divide a entre b se obtiene un cociente c y un residuo r.

c

b a

r tal que a bc r= + , con 0 r b < .

Debido a que el algoritmo de Eucldes (para dos naturales a y b) es finito se tiene que el ltimo residuo diferente de cero en el algoritmo de Eucldes es el M. C. D. de los nmeros naturales a y b. Ejemplo. 1. Encuentra el M. C. D. de 156 y 90.

156 90(1) 66= + 90 66(1) 24= + 66 24(2) 18= + Por lo tanto, el M. C. D. de 156 y 90 es 6 24 18(1) 6= + 18 6(3) 0= +

Sean a b, . Se dice que a es divisible por b o que b divide a a, si existe c tal que a bc= . Ejemplo 1. El nmero 10 es divisible por -1 y 1, por -2 y 2, por -5 y 5, por -10 y 10. 2. El nmero 10 no es divisible por -3 y 3, por -4 y 4, por -6 y 6, por -7 y 7, por -8 y 8, por -9 y 9. Nmeros Racionales ( ) y Nmeros Irracionales ( C = ) En algunos libros puedes encontrar que a los nmero irracionales se les denote con la letra o como complemento de los nmeros racionales C .

Un nmero racional es un nmero de la forma pxq

= , con ,p q y 0q .

Es decir, , ; 0px p q qq

= =

Observaciones.

Todo nmero entero es racional. Los nmeros racionales y los irracionales se pueden representar como potencias de 10. Los nmeros racionales son peridicos o finitos en su parte decimal. Los nmeros irracionales son infinitos no peridicos en su parte decimal.

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Ejemplos de nmeros racionales

1. 10 3.333... 3.33= = es peridico.

2. 1 0.52= es finito.

de nmeros irracionales 1. 2 1.414213562...=

2. 2.718281828...e = 3. 3 1415927. ... =

Para expresar un nmero decimal peridico en la forma pq

, 0q , procedemos de la siguiente

manera: Si el nmero peridico es x y tiene n cifras en el perodo, entonces x se multiplica por 10n , se realiza 10n x x , para cancelar as la parte decimal peridica de x, y se llega a una expresin de

la forma qx p= . Por ltimo, se despeja x obteniendo as pxq

= , con 0q .

Ejemplo 1. Para encontrar el nmero decimal 2.45x = en su forma racional debemos multiplicar a x por 102, es decir por 100. Obtenemos 100 245.45x = luego encontramos la diferencia

100 245.45 2.45x x = de la cual tenemos 99 243x = . Por lo tanto 243 81 2799 33 11

x = = = es decir

272.4511

=

Observacin. Los racionales y los irracionales no tienen elementos en comn es decir C = Operaciones en los racionales Suma de racionales.

Sean , , ,a b c d , Si 0b , entonces a c a cb b b

++ =

Ejemplo

1. 3 5 3 5 8 24 4 4 4

++ = = =

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Si b no divide a d d no divide a b entonces, el comn denominador es el m. c. m. de b y d. si b y d son diferentes de cero, a c ad bcb d bd

++ =

Ejemplo

1. 2 5 7(2) 3(5) 14 15 293 7 21 21 21

+ ++ = = =

Si b divide a d entonces, existe n tal que d bn= . Entonces a c a c an cb d b bn bn

++ = + =

Ejemplos

1. 4 5 2(4) 5 8 5 133 6 6 6 6

+ ++ = = =

2. 5 6(4) 5 24 5 2946 6 6 6

+ ++ = = =

Producto de racionales. El producto de dos nmeros racionales da un nmero racional cuyo numerador es igual al producto

de los numeradores y su denominador, igual al producto de los denominadores a c acb d bd =

Ejemplos

1. 5 8 407 3 21 =

2. 8 4053 3 =

Divisin entre racionales Para dividir dos nmeros racionales podemos hacerlo de dos maneras

1. Multiplicar el numerador del primero por el denominador del segundo, el resultado ser el numerador del cociente, y multiplicar el denominador del primero por el numerador del

segundo, el resultado ser el denominador del cociente, es decir a c adb d bc =

2. Escribes el cociente de ab entre cd como sigue

abcd

entonces multiplicas extremos por

extremos y medios por medios, es decir adbc

, entonces abcd

adbc

=

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Ejemplo

1. ( )( )( )( )8 28 9 16

7 2 7 9 63 = =

2. ( )( )( )( )

88 2 167

9 7 9 632

= =

Nmeros Reales ( ) Los nmeros reales son la unin de los nmeros racionales con los nmeros irracionales. Es decir,

C = Observacin. ; C Se dice que forma un conjunto continuo sobre s mismo, por lo tanto al identificarlo con la recta numrica sta no tiene hoyos, es decir, entre dos racionales siempre hay un irracional y entre dos irracionales siempre hay un racional. A cada punto sobre la recta numrica le corresponde un nmero real y viceversa. Operaciones con nmeros reales Las operaciones bsicas con nmeros reales son la suma y el producto, de ellas se derivan la resta y la divisin, respectivamente. Otra operacin es la potenciacin con nmeros enteros y racionales. Los conjuntos , y son cerrados bajo la suma y el producto no as el conjunto C , pues no

es cerrado bajo el producto, por ejemplo C2 , pero 2 2 2= Valor Absoluto Sea a . El valor absoluto de a se define como la distancia en la recta numrica, de a con respecto al origen 0. Por tanto es un nmero no negativo y se denota como a .

Esta definicin la podemos expresar de la siguiente manera, si a , entonces ,,

aa

a

=

00

aa

<

27

Ejemplos 1. 5 5= , 5 ( 5) 5 = = ; 2. 0 0= ; 3.67 3.67= ;

3. 2 23 3=

La distancia en la recta real entre dos nmeros a y b se expresa como a b b a = . Intervalos en la recta de los reales. Sean ,a b tales que a b< , el intervalo abierto ( , )a b es el conjunto de nmeros reales x que son mayores que a y menores que b, es decir a x b< < El intervalo cerrado [ ],a b es el conjunto de nmeros reales x que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b, es decir a x b Los intervalos semiabiertos o tambin llamados semicerrados, ( , ]a b y [ , )a b , son aquellos que incluyen a alguno de los extremos del conjunto pero no al otro. Por ejemplo para ( , ]a b se tiene que a x b< y para [ , )a b , a x b < Ejemplos 1. ( 5,10) es decir 5 10x < < 2. [3,8] es decir 3 8x 3. ( 7, 1] es decir 7 1x < 4. [6,20) es decir 6 20x < Exponentes enteros y racionales Leyes de los exponentes. Sean ,b n . La expresin nb (b es la base y n es el exponente), se conoce como potenciacin de b a la n, para 0b si 0n = . Si n , entonces nb significa multiplicar b por s mismo n veces.

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Propiedades. Sean ,a b y n , entonces se cumple que: i. ( )n n nab a b=

ii. n n

n

a ab b

=

, con 0b

iii. n m n ma a a +=

iv. m

m nn

a aa

= , 0a

v. ( )n m nma a=

vi. 11aa

= , con 0a

vii. 1n

na a =

viii. 0 1a = , 0a Ejemplos 1. 3 3 3(3 2) 3 2 27 8 216 = = =

2. 2 2

2

7 7 495 5 25

= =

3. 3 4 72 2 2 128= =

4. 5

32

3 3 273

= =

5. 2 3 6(4 ) 4 4096= =

6. 1188

=

7. 2 21 177 49

= =

8. 023 1= Sean ,a b , con 0a . Se dice que b es la raz cuadrada de a si se cumple que 2a b= . Es decir, 2a b a b= = . Sean ,a b . Se dice que b es la raz cbica de a si se cumple que 3a b= . Es decir,

3 3a b a b= = . En general, nn a b a b= = ; con 0a para n par, y para todo a si n es impar.

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Observacin. Sean a y ,m n para los cuales se cumplen las hiptesis de la definicin

anterior, entonces m

n m na a= . Es decir, todo radical se puede ver como una potencia racional. Ejemplos

1. 4

3 4 32 2=

2. 7

5 7 54 4=

3. 129 9=

4. 1

3 3a a= Propiedades bsicas de races

i. ( )mn m na a= ii. n n nab a b=

iii. n

nn

a ab b=

iv. m n mna a= Ejemplos

1. ( )23 2 23 364 8 8 2 4= = = = 2. ( )( )3 3 331000 (8)(125) 8 125 (2)(5) 10= = = =

3. 4

44

16 16 281 381

= =

4. 3 664 64 2= = Notacin Cientfica. La notacin cientfica es muy til para trabajar con nmeros muy grandes o muy pequeos. Las magnitudes se representan en forma de productos, donde uno de los factores es una cantidad c tal que 1 10c < , y el segundo factor es una potencia de 10 (10n , n ) que indica los lugares que fue necesario mover el punto decimal.

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El formato estndar est dado por 1 2 3. 10ne d d d , donde { }1 2 3, , , 0e d d d donde e es la parte

entera y d1, d2, d3, son los dcimos, centsimos, milsimos, etc. Ejemplos 1. 11128 000 000 000 1.28 10= 2. 150.000 000 000 000 009 35 9.35 10= Logaritmos Sean , b N tales que 0 y 1b y 0N > , entonces el logaritmo de N en la base b se define como el exponente al que se debe elevar la base para obtener N. Es decir, log Lb N L b N= = , al nmero N se le conoce como argumento del logaritmo. Ejemplos 1. 43log 81 4 3 81= = , 2. 02.17log 1 0 2.17 1= = 3. 4log10000 4 10 10000= =

4. 4

23

16 2 16log 481 3 81

= =

Observacin: 0log 1 0 1b b= = y

1log 1b b b b= = Propiedades de los logartimos Sean ,A B tales que 0A > y 0B > , entonces se cumple que

i. log log logb b bAB A B= +

ii. log log logb b bA A BB=

iii. log lognb bA n A=

iv. log log logn

m n mb b b

nA A Am

= =

v. 1log

logb AA

b=

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vi. log lnloglog lnb

A AAb b

= =

El argumento del logaritmo es simple cuando no aparece como cociente, o como producto, o cuando no aparece elevado a una potencia. Ejemplo

1. Usando las propiedades de los logaritmos expresa 5

3log ( )bx ywz

como sumas y restas de

logaritmos simples.

( )5 1

5 3 5 23log log log ( ) log log 3log ( )( )

15log log 3log 3log2

b b b b b b

b b b b

x yx y wz x y wz

wz

x y w z

= = + =

= +

Introduccin a los Nmeros Complejos ( ) Cuando el hombre comenz a resolver problemas con la ayuda del lgebra se dio cuenta que ya no le bastaban los nmeros reales. Si queremos resolver una ecuacin del tipo 2 4 0x + = , esta no tiene soluciones reales, ya que 4x = . De hecho, no existe un nmero real que multiplicado por s mismo d como resultado un nmero real negativo. Entonces se inventaron los nmeros complejos ( ,x a= con 0a > , son soluciones complejas de 2 0x a+ = ). Un nmero complejo es la suma de dos trminos, consta de una parte real y de una parte imaginaria, es de la forma z a bi= + , donde ,a b ; la parte real es a y la parte imaginaria es bi. La unidad imaginaria se define como i y su valor es 1i = . Al conjunto de los imaginarios puros lo denotaremos como Im . Observacin. Los nmeros complejos se pueden ver como parejas ordenadas ( , )a b en un plano cartesiano donde uno de los ejes consta de nmeros reales y el otro de nmeros imaginarios, es decir

Im= dnde {( , ) i ,a bi a b a b= = + y }i Imb . Se dice que z es un imaginario puro si su parte real es igual a cero, es decir, 0 iz b= + . Observacin. Los nmeros reales se pueden ver como un subconjunto de los nmeros complejos.

Se define la potencia n de i como ( )i 1 nn = , con n .

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La n-sima potencia de i, ( )1 nni = , es cclica observa el siguiente desarrollo 1i =

( )22 1 1i = = 3 2 1( )i i i i i= = = 4 3 2 ( 1) 1i i i ii i= = = = = 5 4 1( )i i i i i= = = 6 5 2( )i i i i i i= = = , etc.

Adems 1nni i

=

Ejemplo

1. ( ) ( )( )

31 2 3

3111

= = =

i i i

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Autoevaluacin Ahora que has estudiado la unidad quiz te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resulvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. Simplificando la expresin 4 6 1 2 9 3+ + da como resultado: A) 11 B) 7 C) 10 D) 5.5 2. Si a un rectngulo de 30 cm por 40 cm se le agrega un marco de 5 cm de ancho entonces el rea total, en 2cm , del cuadro con marco es de: A) 1 575 B) 2 000 C) 1 200 D) 2 020 3. La descomposicin en factores primos del nmero 180 es: A) 24 3 5 B) 22 9 5 C) 9 20 D) 2 22 3 5 4. El M. C. D. de 40 y 180 es A) 10 B) 4 C) 20 D) 2 5. El m. c. m. de 40 y 180 es A) 1800 B) 180 C) 900 D) 360 6. El nmero que es divisible por 9 es, (n es divisible por 9 si y slo si la suma de sus dgitos es divisible por 9) A) 67 463 B) 23 232 331 C) 98 577 D) 123 457 7. Juan tiene tres varillas de 24, 48 y 60 metros de longitud, de qu tamao debe cortarlas para que todos los pedazos obtenidos sean iguales y de mayor tamao posible? A) 12 B) 24 C) 15 D) 4 8. Despus de hacer las operaciones y simplificar la expresin

{ }13 20 3[12 3(4) (4 5) 7(8 2) 10] 12 + + + , el resultado es: A) 1861 B) 251 C) 222 D) 248 9. Despus de hacer las operaciones y simplificar la expresin

{ }3 2[ 3 2( ) ] 2a b c b c a b a + + + , el resultado es: A) 3 5 6a b c + B) 3 5 6a b c + + C) 3 5 6a b c + D) 3 5 6a b c +

10. La simplificacin de la expresin 21

1 322

es:

A) 136

B) 16

C) 36 D) 36

34

11. El resultado simplificado de la expresin

242 2

3 0 4

39

a bcb c a

es:

A) 101

b B) 4 10c b C)

4

10

cb

D) 4

12

23

cb

12. La expresin en forma de racional para el nmero 4.83 es:

A) 483100

B) 47999

C) 48399

D) 479100

13. El nmero 0.000 000 001 27 escrito en notacin cientfica es: A) 121270 10 B) 11127 10 C) 1012.7 10 D) 91.27 10 14. El nmero 1 280 000 000 escrito en notacin cientfica es: A) 91.28 10 B) 812.8 10 C) 7128 10 D) 61280 10

15. Usando las propiedades de los logaritmos, la expresin 1 2 3

3

( )logbx y z

tw

se puede escribir como

sumas y restas de logaritmos simples de la siguiente manera:

A) 1 13log 6log 3log log log3 3b b b b b

x y z t w + +

B) 1 13log 6log 3log log log3 3b b b b b

x y z t w+ + +

C) 1 13log 6log 3log log log3 3b b b b b

x y z t w + + +

D) 1 213log ( ) log ( )3

+b bx y z tw

16. El resultado de operar y simplificar 1 2i i + es: A) 1i B) 1i + C) 1i + D) 3i

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BIBLIOGRAFA 1. Sols Lozano, Francisco Javier, Al-Jebr. Mxico, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena, lgebra. Mxico, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio., lgebra. Mxico, Santillana, 2006. 4. Cullar, Juan, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muzuri, Salvador., Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, Jos., Curso de Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2005. 8. Garca, Leonardo, Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemticas, Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, lgebra, Mxico, Patria, Segunda edicin 2007 (Contiene CD)

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MONOMIOS Y POLINOMIOS EN UNA VARIABLE Introduccin. En esta unidad se revisan las operaciones fundamentales con monomios y polinomios, tratando de entender y mecanizar las operaciones fundamentales del lgebra. Objetivos: Despus de trabajar esta unidad, debes comprender las operaciones con monomios y polinomios y sers capaz de aplicarlas correctamente en el planteamiento y solucin de problemas propuestos y que ms tarde te servir para trabajar con funciones algebraicas. Polinomios Una expresin algebraica es una combinacin de nmeros, literales y operaciones entre ellos, como la suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin, radicacin. Los trminos de una expresin algebraica son aquellos que se encuentran separados por los signos de suma y resta. Ejemplos 1. 7 4 37 x y z+ tiene 3 trminos 2. 7 4 32 237 xx yz y z+ tiene 4 trminos El coeficiente absoluto de un trmino es el nmero que multiplica a las literales que pueden ser variables o constantes. El coeficiente relativo a una literal o literales puede ser un nmero o una literal o literales. Dos trminos son semejantes si tienen las mismas literales elevadas a las mismas potencias y nicamente puede ser que difieran en los coeficientes absolutos. Ejemplos 1. La expresin 7 4 37x y z tiene coeficiente 7 2. En la expresin 7 4 37x y z ,

el coeficiente relativo a 7 3x z es 47y el coeficiente relativo a 4 3y z es 77x el coeficiente relativo a 4 37 y z es 7x

Un polinomio en la variable x con coeficientes reales es de la forma

1 2 21 2 2 1 0

n n nn n na x a x a x a x a x a

+ + + + + + , donde cada ia y n .

Observacin. De manera similar se define un polinomio en x con coeficientes enteros o racionales.

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Ejemplos A continuacin presentamos tres expresiones en una variable con coeficientes enteros diferentes polinomios 1. 7 4 3 27 3 4 2 1x x x x x + + (polinomio con 6 trminos) 2. 7 4 27 4 3x x x + (polinomio con 4 trminos) 3. 24 3x x+ (binomio) Definicin de monomio y polinomio Si el polinomio tiene un solo trmino, en particular puede ser llamado monomio; si tiene dos trminos, en particular puede ser llamado binomio y si tiene tres trminos, en particular puede ser llamado trinomio; con cuatro o mas trminos en general se dice que es un polinomio. Se le puede dar un nombre al polinomio, por ejemplo si

1 2 21 2 2 1 0( )

n n nn n nP x a x a x a x a x a x a

= + + + + + +

leemos a ( )P x como el polinomio P en la variable x Se dice que el polinomio ( )P x est ordenado de acuerdo a sus potencias, de manera creciente decreciente. Ejemplos 1. 7 4 3 2( ) 7 3 4 2 1P x x x x x x= + + est ordenado de manera decreciente. 2. 2 4 5( ) 4 6 3Q x x x x x= + + est ordenado de manera creciente. Polinomio como ( )f x . Sea nna x el trmino del polinomio ( )P x con la potencia mxima. Se dice que el grado de ( )P x es n . Evaluar el polinomio ( )P x en x a= significa sustituir a en donde originalmente aparece x, se denota como ( )P a y se lee P de a. Ejemplo 1. Evala a 4 3 2( ) 3 4 2 1P x x x x x= + + en 1x = , 0x = y 2x =

4 3 2(1) 1 3(1) 4(1) 2(1) 1 1P = + + = 4 3 2(0) 0 3(0) 4(0) 2(0) 1 1P = + + =

4 3 2( 2) ( 2) 3( 2) 4( 2) 2( 2) 1 16 24 16 4 1 29P = + + = =

38

Operaciones con polinomios Suma y resta Para sumar y restar polinomios se agrupan trminos semejantes Ejemplo 1. Si 4 3 2( ) 3 4 2 1P x x x x x= + + y 6 4 3 2( ) 5 2 4 4 6Q x x x x x= + + , entonces

4 3 2 6 4 3 2 6 4 3( ) ( ) ( 3 4 2 1) (5 2 4 4 6) 5 2 5+ = + + + + + = + +P x Q x x x x x x x x x x x x x Multiplicacin Para multiplicar polinomios se utiliza la ley distributiva del producto con respecto a la suma y se agrupan trminos semejantes. Ejemplo 1. Si 3( ) 4 2 1P x x x= + y 4( ) 2 3Q x x x= + , entonces

3 4

7 4 5 2 4 7 5 4 2

( ) ( ) (4 2 1)(2 3 )8 12 4 6 2 3 8 4 10 6 3

P x Q x x x x xx x x x x x x x x x x

= + + =

= + + + = + + +

Divisin

a) entre monomios b) un polinomio entre un monomio

Para los dos incisos anteriores trabajamos bsicamente con las propiedades de las potencias y cada trmino del polinomio se divide entre el monomio.

Ejemplos

1. 3

23 32 2x xx=

2. 7

43

25 55

x xx

=

3.

9 7 6 4 3 9 7 6 4 3

2 2 2 2 2 2

7 5 4 27 32 2

8 4 7 6 3 8 4 7 6 32 2 2 2 2 2

4 2 3

+ + + = + + + =

= + + + +

x x x x x x x x x xx x x x x x

x x x x x

c) Polinomio entre binomio y entre polinomio

Para estos casos es conveniente ordenar los polinomios de manera descendente y si faltan

potencias intermedias entre la mayor y la menor potencia del polinomio, se agregan con coeficiente igual a cero.

39

Ejemplos 1. 7 5 4 2 7 6 5 4 3 23 7 3 78 2 8 2( ) 2 3 3 0 2 0 3 0 3= + + + = + + + + + + P x x x x x x x x x x x x 2. 2 23 38 8( ) 2 0 2P x x x x= = + 3. Divide 35 2 3x x + entre 1x + :

2

3 25 5 3

1 5 0 2 3x x

x x x x +

+ + +

3 25 5x x ----------------- 25 2x x 25 5x x+ --------------- 3 3x + 3 3x ------------- 0 Algoritmo de la divisin para polinomios Sean ( )P x y ( )Q x polinomios con coeficientes reales. Si se divide ( )P x entre ( )Q x se obtiene un cociente ( )C x y un residuo ( )R x , con grado de ( ( )) grado de ( ( ))R x Q x< , de tal manera que

( ) ( ) ( ) ( )P x Q x C x R x= + . Observacin. Sean ( )P x y ( )Q x polinomios con coeficientes reales. Si ( )P x es divisible por ( )Q x entonces

( ) ( ) ( )P x Q x C x= , entonces ( ) 0R x = ; es decir, la divisin es exacta. Sea ( )P x un polinomio con coeficientes enteros. Se dice que ( )P x es factorizable en los enteros si existen ( )Q x y ( )C x polinomios con coeficientes enteros tales que

( ) ( ) ( )P x Q x C x=

En este caso se dice que ( )Q x y ( )C x son factores de ( )P x .

Observacin. Para dividir un polinomio entre otro polinomio, lo hacemos de la misma manera que para dividir enteros.

Algoritmo de la divisin:

cb a r a bc r= +

389 348 27 ------ 78 72 ------ 6

40

Ejemplos Factoriza cada uno de los siguientes polinomios. 1. 3 25 2 3 ( 1)(5 5 3)x x x x x + = + + 2. 3 2 23 7 2 4 ( 2 1)(3 13) (21 1)x x x x x x x+ + = + + + + debido a que

2 3 23 13

2 1 3 7 2 4x

x x x x x+

+ + +

3 23 6 3x x x + ------------------- 213 5 4x x + 213 26 13x x + ---------------------- 21 1x +

41

Autoevaluacin Ahora que has estudiado la unidad quiz te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resulvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. La resta de 3 26 8x x+ menos 4 22 3 6x x x + es: A) 4 3 22 6 4 6 8x x x x+ + B) 4 22 10 6 8x x x + C) 4 3 22 6 4 6 8x x x x D) 4 3 22 6 4 6 8x x x x + + 2. El producto de 22 5 4x x + por 3x + es: A) 3 22 11 11 12x x x + B) 3 22 19 12x x x+ + + C) 3 22 11 12x x x + D) 3 22 11 12x x x+ + 3. Si se divide 4 32 2 1x x x + entre 2 2 1x x + , el cociente es: A) 1x B) 2 1x + C) 2 1x D) 2x 4. Si 4 3 2( ) 1P x x x x x= + + + entonces el valor de ( 2)P es : A) 3 B) 29 C) -29 D) 21 5. El grado del polinomio 2 5 3 2( ) ( 4)( 2) ( 8)P x x x x= + + A) 7 B) 12 C) 13 D) 16 6. Si ( )P x k= donde k es constante, entonces ( )P a es: A) No definido B) k C) 0 D) a BIBLIOGRAFA 1. Sols Lozano, Francisco Javier, Al-Jebr. Mxico, Oxford, 2006. (Contiene CD)

2. De Oteyza, Elena, lgebra. Mxico, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD)

3. Vargas, Eusebio., lgebra. Mxico, Santillana, 2006.

4. Cullar, Juan, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2004.

5. Dugopolski, Mark, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2005.

6. Muzuri, Salvador., Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2007.

7. Sandoval Soto, Jos., Curso de Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2005.

8. Garca, Leonardo, Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2004.

9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemticas, Pearson Prentice Hall, 2006.

(Contiene CD)

10. Baldor, lgebra, Mxico, Patria, Segunda edicin 2007 (Contiene CD)

42

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIN Introduccin. El proceso de factorizacin es un concepto que es utilizado en varios temas de matemticas, como por ejemplo en la solucin de algunas ecuaciones de segundo grado o bien en desigualdades de segundo grado; por lo que se considera fundamental en este programa como en programas subsecuentes. Objetivos. En esta unidad podrs realizar productos, llamados, notables de binomios, aprenders el proceso de factorizacin, identificando aquellas que provienen de productos notables, realizars diferentes mtodos de factorizacin y encontrars el m. c. m. de monomios y polinomios. Se revisar el tringulo de Pascal y el Binomio de Newton para desarrollar binomios a cualquier potencia y se buscar un trmino especfico de un desarrollo binomial. Productos Notables. Son aquellos que se pueden realizar por simple inspeccin sin tener que realizar la multiplicacin ya que estos cumplen con caractersticas particulares. Binomio al cuadrado.

Un binomio al cuadrado tiene la forma 2( )x y+ cuyo resultado se observa en la siguiente figura.

El rea del cuadrado de dimensiones x+y es: 2 2 2( ) 2x y x xy y+ = + +

Ejemplos 1. 2 2 2 2 2(3 2 ) (3 ) 2(3 )(2 ) (2 ) 9 12 4x y x x y y x xy y+ = + + = + + 2. 2 3 2 2 2 2 3 3 2 4 2 3 6(5 2 ) (5 ) 2(5 )( 2 ) ( 2 ) 25 20 4x y x x y y x x y y = + + = + 3. 2 3 4 2 2 3 2 2 3 4 4 2 4 6 2 3 4 8(4 7 ) (4 ) 2(4 )(7 ) (7 ) 16 56 49x y z x y x y z z x y x y z z+ = + + = + +

43

Binomios conjugados. Se llaman binomios conjugados a aquellos binomios que tienen la forma ( ) ( )ax b y ax b+ y que al multiplicarlos nos da como resultado

2 2 2( )( )ax b ax b a x b+ =

Ejemplos 1. 2(3 2)(3 2) 9 4x x x+ = 2. 2(9 7)(9 7) 81 49x x x+ =

3. 23 1 3 1 9 12 5 2 5 4 25

x x x + =

Producto de binomios de la forma ( )( )x a x d+ + . El resultado del producto de los binomios es ( )( ) 2 ( )x a x d x a d x ad+ + = + + +

Ejemplos 1. 2 2( 7)( 8) ( 7 8) ( 7)( 8) 15 56x x x x x x = + + = + 2. 2 2( 9)( 3) ( 9 3) ( 9)(3) 6 27x x x x x x+ = + + + = 3. 2 2( 11)( 5) (11 5) (11)(5) 16 55x x x x x x+ + = + + + = + +

Binomio al cubo 3( )x a+ . El resultado de un binomio al cubo es: 3 3 2 2 3( ) 3 3x a x x a xa a+ = + + +

Ejemplos 1. 3 3 2 2 3 3 2( 7) 3( ) (7) 3( )(7) (7) 21 147 343x x x x x x x+ = + + + = + + + 2. 3 3 2 2 3 3 2(3 8) 3(3 ) ( 8) 3(3 )( 8) ( 8) 216 576 512x x x x x x x = + + + = +

3. 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3

6 4 3 2 6 9

(5 4 ) (5 ) 3(5 ) ( 4 ) 3(5 )( 4 ) ( 4 )125 300 400 64x y x x y x y y

x x y x y y = + + + =

= +

44

Factorizacin. El proceso de factorizacin consiste en expresar un polinomio como el producto de dos ms factores, en algunas ocasiones los polinomios que se pretenden factorizar provienen de productos notables. Trinomio cuadrado perfecto.

Esta expresin se obtiene de un binomio al cuadrado, por lo que al factorizar se extraen las races de los extremos y se escribe como un binomio al cuadrado

( )22 2 2 2 22 ( )x xy y x y x y+ + = + = + ( )22 2 2 2 22 ( )x xy y x y x y + = = Debes tener mucho cuidado en verificar que el trmino cruzado sea de la forma 2xy

Ejemplos

1. ( )22 2 2 2 29 12 4 9 4 (3 2 )x xy y x y x y+ + = + = + , observa que ( )( )12 2 3 2xy x y=

2. ( )24 2 3 6 4 6 2 3 225 20 4 25 4 (5 2 )x x y y x y x y + = = , observa que ( )( )2 3 2 320 2 5 2x y x y =

3. ( )24 6 2 3 4 8 4 6 8 2 3 4 216 56 49 16 49 (4 7 )x y x y z z x y z x y z+ + = + = + , observa que ( )( )2 3 4 2 3 456 2 4 7x y z x y z=

Diferencia de cuadrados. Cuando se multiplica los binomios conjugados se obtiene una diferencia de cuadrados, por lo que al factorizar se extraen las races de los trminos y se escriben como binomios conjugados,

( )( ) ( )( )x y x y x y x y x y = + = + 2 2 2 2 2 2 Ejemplos

1. ( )( )2 2 2 2 2 29 4 9 4 9 4 (3 2 )(3 2 )x y x y x y x y x y = + = +

2. ( )( )2 2 2 2 2 2144 49 144 49 144 49 (12 7 )(12 7 )x y x y x y x y x y = + = +

3. ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 264 169 64 169 64 169 (8 13 )(8 13 )x y z x y z x y z xy z xy z = + = +

45

Trinomio de la forma 2x bx c+ + . Este trinomio proviene del producto de binomios de la forma ( )( )x a x d+ + y para poder factorizarlos se descompone en dos binomios de tal manera que el primer trmino de cada binomio es la raz cuadrada de 2x y los segundos trminos de cada binomio se buscan de dos nmeros cuyo producto sea c y la suma o diferencia nos de b. Ejemplos 1. 2 7 12 ( 4)( 3)x x x x + = , ya que 4 3 7 ( 4)( 3) 12y = = 2. 2 5 36 ( 9)( 4)x x x x = + , ya que 9 4 5 ( 9)(4) 36y + = = 3. 2 17 60 ( 20)( 3)x x x x = + , ya que 20 3 17 ( 20)(3) 60y + = = Cubo perfecto Este polinomio proviene del resultado de un binomio al cubo y para factorizarlo se extraen las races cbicas de los extremos si el polinomio esta ordenado de mayor a menor grado con respecto a

una variable ( )33 33 2 2 3 3 3 33 3 ( )x x a xa a x a x a+ + + = + = + Ejemplos

1. ( )333 2 3 3321 147 343 343 ( 7)x x x x x+ + + = + = +

2. ( )333 2 3 3324 192 512 512 ( 8) + = + = x x x x x

3. ( )336 4 3 2 6 9 6 9 2 3 33125 300 240 64 125 64 (5 4 ) + = + = x x y x y y x y x y Factor comn. En el binomio polinomio proporcionado se observar cuales son los trminos comunes y estos forman el primer factor de la factorizacin, el segundo se formar a travs de la divisin del binomio del polinomio entre el trmino comn. Ejemplos 1. Factorizar 2 35 15m m+

2

2 3

2

2 3 2

1er.factor 55 152do.factor 1 3

5por lo que: 5 15 5 (1 3 )

mm m m

mm m m m

+= +

+ = +

46

2. Factorizar 3 2144 48 96x x x +

3 22

3 2 2

1er.factor 48144 48 962do.factor 3 2

48por lo que: 144 48 96 48 (3 2)

xx x x x x

xx x x x x x

+= +

+ = +

3. Factorizar 2 3 2 4 312 24 36x y x y x y+

2

2 3 2 4 32 2

2

2 3 2 4 3 2 2 2

1er.factor 1212 24 362do. factor 1 2 3

12por lo que: 12 24 36 12 (1 2 3 )

x yx y x y x y xy x y

x yx y x y x y x y xy x y

+ = +

+ = +

Factor comn por agrupacin de trminos. En este tipo de factorizaciones se agrupan de dos en dos o de tres en tres los trminos del polinomio y se factoriza a travs de factores comunes. Ejemplos 1. Factorizar 20 5 2 8ax bx by ay + agrupando 20 5 y 2 8 y usando factor comn

5 (4 ) 2 (4 ) y nuevamente factor comn(4 )(5 2 )

20 5 2 8 (4 )(5 2 )

ax bx by ayx a b y a b

a b x yax bx by ay a b x y

+

+ + = +

2. Factorizar 3 2 2 6 3 4ax by bx a ay b + + agrupando 3 2 ; 3 2 ; 6 4 y usando factor comn

(3 2 ) ; (3 2 ) ; 2(3 2 ) y nuevamente factor comn(3 2 )( 2)

3 2 2 6 3 4 (3 2 )( 2)

ax bx ay by a bx a b y a b a b

a b x yax by bx a ay b a b x y

+

+

+ + = +

3. Factorizar 2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 43 3a b n a b x n x a b x n x + +

2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4

2 3 4 2 2 3 4 2 3 4

2 3 4 2

2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4 2 3 4 2

agrupando ; ; 3 3 y usando factor comn1( ) ; ( ) ; 3 ( ) y nuevamente factor comn

( )(1 3 )3 3 ( )(1 3 )

a b n a b x n x a b x n xa b n x a b n x a b n

a b n x xa b n a b x n x a b x n x a b n x x

+

+

+ + = +

47

Suma o diferencia de dos potencias iguales. Para factorizar estas expresiones se extraen las races segn la potencia, que forman parte del primer factor y despus el segundo factor se escribe de acuerdo a los siguientes desarrollos

3 3 2 2 3 3 2 2

5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 4

7 7 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

7 7 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

( )( ) ; ( )( )

( )( ) ; ( )( )

( )( )

( )( )

x y x y x xy y x y x y x xy y

x y x y x x y x y xy y x y x y x x y x y xy y

x y x y x x y x y x y x y xy y

x y x y x x y x y x y x y xy y

+ = + + = + +

+ = + + + = + + + +

+ = + + + +

= + + + + + +

Ejemplos 1. Factorizar 3 38 27x y+ ( )( )3 3 2 28 27 2 3 4 6 9x y x y x xy y+ = + + 2. Factorizar 5 532 243x y ( )( )5 5 4 3 2 2 3 432 243 2 3 16 24 36 54 81x y x y x x y x y xy y = + + + + 3. Factorizar 7 7128x y+ ( )( )7 7 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6128 2 2 4 8 16 32 64+ = + + + +x y x y x x y x y x y x y xy y Trinomio de la forma 2ax bx c+ + . Para factorizar este trinomio se busca dos nmeros tales que multiplicados nos de ac y que sumados restados nos de b, para desglosar con dichos nmeros el trmino bx , posteriormente se realiza un factor comn por agrupacin de trminos. Ejemplos 1. Factorizar 22 11 5x x+ +

2(2)(5) 10 y los nmeros que multiplicados nos de 10 y sumados nos de 11 son 10 y 12 10 1 5 2 ( 5) 1( 5) ( 5)(2 1)x x x x x x x x

=

+ + + = + + + = + +

2. Factorizar 23 7 6x x+

2(3)( 6) 18 y los nmeros que multiplicados nos de 18 y restados nos de 7 son 9 y 23 9 2 6 3 ( 3) 2( 3) ( 3)(3 2)x x x x x x x x

=

+ = + + = +

48

3. Factorizar 27 23 6x x +

2(7)(6) 42 y los nmeros que multiplicados nos de 42 y sumados nos de 23 son 21 y 27 21 2 6 7 ( 3) 2( 3) ( 3)(7 2)x x x x x x x x

=

+ = =

Mnimo comn mltiplo de dos polinomios. Se descomponen las expresiones en sus factores primos y el m.c.m. es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplos 1. Hallar el m.c.m. de 236 , 4 12a ax ay

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

36 6 ; 4 12 4 3

. . 6 3 36 3

a a ax ay a x y

el m c m a x y a x y

= =

=

2. Hallar el m.c.m. de 2 22 2 , 4 4a ab a ab+

( )

( )

2 2

2 2

2 2 2 ( ) ; 4 4 4

. . 4 ( ) 4 ( )

a ab a a b a ab a a b

el m c m a a b a b a a b

+ = + =

+ =

3.- Hallar el m.c.m. de 2 2 22 ; 4 3 ; 6x x x x x x+ +

2 2 22 ( 2)( 1) ; 4 3 ( 3)( 1) ; 6 ( 3)( 2). . . ( 1)( 2)( 3)

x x x x x x x x x x x xel m c m x x x

+ = + + = = + +

Tringulo de Pascal Consiste en un arreglo triangular que permite conocer los coeficientes de los trminos de un desarrollo binomial elevados a una potencia entera positiva ( )nx y+ 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

49

Ejemplos 1. Desarrolla 3(2 3)x + usando el triangulo de pascal 3 3 2 2 3 3 2(2 3) (2 ) (2 ) (3) (2 )(3) (3) 8 36 54 27x x x x x x x+ = + + + = + + +1 3 3 1 2. Desarrolla 4(4 5)x usando el triangulo de pascal

4 4 3 2 2 3 4

4 3 2

(4 5) (4 ) (4 ) ( 5) (4 ) ( 5) (4 )( 5) ( 5)256 1280 2400 2000 625

= + + + +

= + +

x x x x xx x x x

1 4 6 4 1

3. Desarrolla 5( 6)x + usando el triangulo de pascal

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2

( 6) ( ) ( ) (6) ( ) (6) ( ) (6) ( )(6) (6)30 360 2160 6480 7766

x x x x x xx x x x x

+ = + + + + +

= + + + + +

1 5 10 10 5 1

Binomio de Newton El binomio de Newton nos permite elevar binomios a cualquier potencia

1 2 2 3 3 4 4( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( )2! 3! 4!

+ = + + + + +n n n n n nn n n n n n n n nx y x nx y x y x y x y

Nota.-

( )( )( )! 1 2 3 se llama factorial del nmero 2! 2(1) 23! 3(2)(1) 64! 4(3)(2)(1) 24

n n n n n n= = == == =

Ejemplos 1. Desarrolla 3(2 3)x + usando el binomio de Newton

( ) ( )3 3 2 1 2 0 3

3 2

3(2) 3(2)(1)2 3 2 3(2 ) (3) (2 ) (3) (2 ) (3)1(2) 1(2)(3)

8 36 54 27

x x x x x

x x x

+ = + + + =

= + + +

2. Desarrolla 4(4 5)x usando el binomio de Newton

( ) ( )4 4 3 2 2 3 0 4

4 3 2

4(3) 4(3)(2) 4(3)(2)(1)4 5 4 4(4 ) ( 5) (4 ) ( 5) (4 ) ( 5) (4 ) ( 5)1(2) 1(2)(3) 1(2)(3)(4)

256 1280 2400 2000 625

x x x x x x

x x x x

= + + + + =

= + +

50

3. Desarrolla 1(2 1)x + usando el binomio de Newton

( ) 11 2 3 2 4 3

2 3 4

( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)(2 1) 2 ( 1)(2 ) (1) (2 ) (1) (2 ) (1) ...1(2) 1(2)(3)

1 1 1 1 ... estedesarrrollo nos genera una serie infinita2 4 8 16

x x x x x

x x x x

+ = + + + + =

= + +

Trmino especfico de un desarrollo binomial ( )nx y+

( 1) 1( 1)( 2) hasta 1 factores1(2)(3) hasta 1 factores

n r rr

n n n rt x yr

=

, donde rt es el trmino especfico,

r es el nmero del trmino buscado y n es el exponente del binomio. Ejemplos 1. Encuentra el 4 trmino de 6(3 2 )x y

6 3 3 3 3 3 36(5)(4)como 4 y 6 (3 ) ( 2 ) 20(3 ) ( 2 ) 43201(2)(3)r

r n t x y x y x y= = = = =

2. Encuentra el 7 trmino de 2 10( 2 )x y

2 10 6 6 2 4 6 8 610(9)(8)(7)(6)(5)como 7 y 10 ( ) ( 2 ) 210( ) ( 2 ) 134401(2)(3)(4)(5)(6)r

r n t x y x y x y= = = = =

3. Encuentra el 6 trmino de 8

22yx

5 5

8 5 3 3 5 3 58(7)(6)(5)(4) 448como 6 y 8 (2 ) 56(2 ) 141(2)(3)(4)(5) 2 2 32r

y yr n t x x x y x y = = = = = =

51

Autoevaluacin Ahora que has estudiado la unidad quiz te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resulvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. El resultado de ( )25 7x es: A) 225 49x B) 210 14x C) 225 70 49x x + D) 225 70 49x x+ + 2. El resultado de ( )229 5x y es: A) 4 281 25x y B) 4 218 10x y C) 4 2 281 90 25x x y y+ + D) 4 2 281 90 25x x y y + 3. El resultado de ( )( )11 6 11 6x x + es: A) 2121 36x + B) 22 12x + C) 121 36x D) 2121 36x 4. El resultado de ( )( )9 4 9 4x x + es: A) 281 16x + B) 18 8x + C) 81 16x D) 281 16x 5. Al multiplicar ( )( )13 7x x + el resultado es: A) 2 6 91x x B) 2 6 91x x+ C) 2 6 91x x + D) 2 91x 6. El resultado de 3(4 7)x es: A) 364 343x B) 3 264 336 588 343 + x x x C) 3 264 336 588 343+ + +x x x D) 312 21x 7. Al factorizar 264 144 81x x + tenemos: A) ( )28 9x + B) ( )28 9x+ C) ( )28 9x D) ( )( )8 9 8 9x x+ 8.La factorizacin de 2225 169x es: A) ( )215 13x B) ( )( )15 13 15 13x x C) ( )( )15 13 15 13x x D) ( )( )15 13 15 13x x + 9. Al factorizar 249 42 9x x + tenemos: A) ( )27 3x B) ( )27 3x+ C) ( )27 3x + D) ( )( )7 3 7 3x x+ 10. La factorizacin de 2144 100x es: A) ( )212 10x B) ( )( )12 10 12 10x x C) ( )( )12 10 12 10x x D) ( )( )12 10 12 10x x + 11. Al factorizar 2 17 60x x el resultado es: A) ( )( )20 3x x+ + B) ( )( )20 3x x C) ( )( )20 3x x + D) ( )( )20 3x x+

52

12. Al factorizar 3 2343 1176 1344 512x x x+ + + el resultado es: A) ( )37 8x B) ( )37 8x + C) ( )37 8x+ D) ( )37 8x 13. La factorizacin de 3 249 343x x es: A) ( )37 7 49x x B) ( )249 7x x C) ( )249 7x x x D) ( )27 7 49x x x 14. Al factorizar 210 4 35 14x x x + el resultado es: A) ( )( )2 7 5 2x x+ B) ( )( )2 7 5 2x x + C) ( )( )2 7 5 2x x+ + D) ( )( )2 7 5 2x x 15. Al factorizar 3343 512x + el resultado es: A) ( )37 8x + B) ( )37 8x C) ( )( )27 8 49 56 64x x x+ + D) ( )( )27 8 49 56 64x x x + + 16. La factorizacin de 210 13 3+ x x es: A) ( )( )5 1 2 3x x + B) ( )( )5 1 2 3x x+ C) ( )( )5 1 2 3x x D) ( )( )5 1 2 3x x+ + 17. Encuentra el m.c.m. de 2 2 22 35 , 9 14 , 3 10 + + x x x x x x A) ( )( )( )2 5 7x x x+ + + B) ( )( )( )2 5 7x x x + C) ( )( )( )2 5 7x x x D) ( )( )( )2 5 7x x x+ + 18. En un desarrollo binomial de ( )75 9x el nmero de trminos es : A) 7 B)6 C) 8 D) 2 19. Los coeficientes del desarrollo ( )4x y+ son: A) 1,4,1 B) 1,4,4,1 C) 1,4,6,4,1 D) 4,6,4

20. El quinto trmino de 1215

5x

es:

A) 8309 375 x B) 8309 375x C) 12309 375x D) 5309 375x

53

BIBLIOGRAFA 1. Sols Lozano, Francisco Javier, Al-Jebr. Mxico, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena, lgebra. Mxico, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio., lgebra. Mxico, Santillana, 2006. 4. Cullar, Juan, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, lgebra. Mxico, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muzuri, Salvador., Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, Jos., Curso de Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2005. 8. Garca, Leonardo, Matemticas IV. Mxico, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemticas, Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, lgebra, Mxico, Patria, Segunda edicin 2007 (Contiene CD)

54

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES Introduccin. En muchas ocasiones es conveniente primero factorizar antes que realizar operaciones, en esta parte utilizaremos algunos casos de factorizacin que fueron revisados en la unidad anterior, por otro lado se repasarn las leyes de los exponentes para aplicarlas en el manejo de los radicales, enfatizando el proceso de racionalizacin. Objetivos. En esta unidad se revisar el teorema del residuo y teorema del factor, aqu aprenders a realizar divisiones de polinomios entre binomios lineales a travs de la divisin sinttica, efectuars operaciones con fracciones algebraicas y radicales, por ltimo aprenders a realizar operaciones utilizando nmeros complejos. Teorema del residuo. Si un polinomio P(x) se divide entre x-a, siendo a un nmero real, el residuo es P(a) Ejemplos

1. Encuentra el residuo de 23 4 5

6x x

x+

por medio del teorema del residuo.

2 2Como ( ) 3 4 5 entonces (6) 3(6) 4(6) 5 127

el residuoes 127P x x x P= + = + =

2. Encuentra el residuo de 3 22 3 7 5

2x x x

x +

+ por medio del teorema del residuo.

3 2 3 2Como ( ) 2 3 7 5 entonces ( 2) 2( 2) 3( 2) 7( 2) 5 47

el residuo es 47P x x x x P= + = + =

3. Encuentra el residuo de 4 3 25 3 2 4 6

3x x x x

x+ +

+ por medio del teorema del residuo.

4 3 2 4 3 2Como ( ) 5 3 2 4 6 entonces ( 3) 5( 3) 3( 3) 2( 3) 4( 3) 6 288

el residuo es 288P x x x x x P= + + = + + =

Teorema del factor. Un polinomio P(x) es divisible entre ( )x a si y solo si P(a)=0

55

Ejemplos 1. Demuestra que x+2 es un factor de 2( ) 5 6P x x x= + + 2( 2) ( 2) 5( 2) 6 0 como el residuo es cero entonces 2 es factor de ( )P x P x = + + = + 2. Demuestra que x-4 es un factor de 3( ) 13 12P x x x= 3(4) (4) 13(4) 12 0 como el residuo es cero entonces 4 es factor de ( )P x P x= = 3. Demuestra que x+5 es un factor de 3 2( ) 3 28 60P x x x x= +

3 2( 5) ( 5) 3( 5) 28( 5) 60 0 como el residuo es cero entonces

5 es factor de ( )P

x P x = + =

+

Divisin sinttica (divisin entre un binomio) Analizaremos slo el caso de dividir entre x c La divisin sinttica consiste en tomar los coeficientes tanto del dividendo y del divisor y por comodidad, el dividendo y el divisor se ordenan de manera descendente. La idea es suponer que el binomio x c es factor del polinomio y entonces cambiarle el signo al nmero c. Ejemplos 1. Realiza la siguiente divisin a travs de una

divisin sinttica 23 5 6

4x x

x+

3 5 64

12 68

3 17 62

+

+ +

+ +

el resultado es 23 5 6 623 17

4 4+

= + +

x x xx x

2. Realiza la siguiente divisin a travs de una divisin sinttica 3 22 3 5

2x x x

x +

+

1 2 3 52

2 8 22

1 4 11 27

+

+

+

Se baja el primer coeficiente del polinomio al tercer rengln, y se multiplica por c, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente del polinomio y se suman entre s, el resultado se coloca en la segunda columna y el tercer rengln, as mismo este resultado se multiplica por c nuevamente y se siguen los pasos anteriores para las siguientes columnas. El ltimo nmero que aparece en el tercer rengln es el residuo y, los nmeros restantes en el tercer rengln son los coeficientes del cociente.

56

El resultado es 3 2

22 3 5 274 112 2

x x x x xx x

+ = +

+ +

3. Realiza la siguiente divisin a travs de una divisin sinttica 4 3 22 3 3 6 7

3x x x x

x+ +

2 3 3 6 53

6 27 72 234

2 9 24 78 229

+ +

+ + + +

+ + + +

El resultado es 4 3 2

3 22 3 3 6 7 2292 9 24 783 3

x x x x x x xx x

+ + = + + + +

Simplificacin de fracciones algebraicas

Ejemplos

1. Simplifica la siguiente expresin 3 2

2

455

x yxy

3 2 2 22

2 2

45 9(5) 95 5

x y xx y xxy xy

= =

2. Simplifica la siguiente expresin 2

2

4 4 14 1

b bb+ +

2

2

4 4 1 (2 1)(2 1) 2 14 1 (2 1)(2 1) 2 1

b b b b bb b b b+ + + + +

= = +

3. Simplifica la siguiente expresin 2

2

911 24

xx x

+

( )

2

2

9 ( 3)( 3) 311 24 3 ( 8) 8

x x x xx x x x x

+ += =

+

Operaciones con fracciones algebraicas. En el manejo de fracciones algebraicas usaremos los procedimientos utilizados con nmeros tratando siempre de simplificar primero y posteriormente realizar operaciones.

Suma resta con el mismo denominador.- a c a cb b b

++ =

. Consiste en factorizar los trminos del numerador y del denominador para poder simplificar dicha fraccin.

57

Suma resta con diferente denominador.- a c ad bcb d bd

++ =

Multiplicacin ......a c e aceb d f bdf

= (se recomienda primero simplificar)

Divisin a c adb d bc = (se recomienda primero indicar el producto ad y bc sin efectuar la

multiplicacin, simplificar y despus realizar las operaciones) Ejemplos

1. 3 6 2 7( 2) 3 6 2 7 14 9

1 1 1 1 1x x x x x

x x x x x+ + + +

+ = =

2. 2 2 22 3 2( 1) 3 2 5

1 1 1 1x x

x x x x+ + +

+ = =

3. ( )( )

( )( )2 7 4 4 47 16

4 35 35 4 5 + +

= =

xy x x y xxy xx x x x

4. ( )

( )( )2 2

2

( 5)( 5) 5 ( 2)25 3 10 52 10 25 2 5 ( 5)

x x x xx x x xx x x x x x

+ + + = =

+ + + +

5. ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

22

2 2

1 4 1 2 ( 2)1 1 22 4 2 1 1 12 1

x x x x xx x xx x x x x xx x

+ = = =

+ + + ++

6. 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 11 1 1 1 11

aa a aa a a a

a a

= = = = = ++

+ + + ++

Operaciones con radicales

Radicales. Para realizar operaciones con radicales es necesario que tengas en cuenta las leyes de los exponentes.

58

( )/

0

0

1 0

1 0

si

si

si

+

=

=

=

=

=

=

m n m n

mm n

n

nm mn

n m m n

mm

a a aa a aa

a a

a a

a aaa a

Simplificacin de radicales. Un radical esta simplificado si esta expresado en su forma ms simple es decir cuando el subradical es entero y del menor grado posible.

- Suma y resta.- Estas operaciones solo se realizan con radicales semejantes con lo cual solo se suman restan los coeficientes.

- Multiplicacin.- Para realizar esta operacin se utiliza la propiedad : m m mab a b=

- Divisin.- Para realizar esta operacin se utiliza la propiedad: m

mm

a ab b=

Ejemplos. Simplifica y realiza las siguientes operaciones con radicales

1. 5 7 3 3 2 6 2 23 3 381 3 3 3 3x y x x y y xy x y= =

2. ( ) ( )( )1/ 22 22 8 16 4 4 4x x x x x + = = =

3. ( )( ) ( )1/ 21/3 1/ 63 12 6 12 6 12 6/ 6 12/ 6 2729 3 3 3 3x x x x x= = = =

4. 3 20 45 2 125 3 4(5) 9(5) 2 25(5)

3(2) 5 3 5 2(5) 5 6 5 3 5 10 5 13 5

+ = +

= + = + =

5. ( )( ) ( )22 3 4 3 8 2 3 4 3 3 8 6 3 3 11 6 3 = + = + =

6. 3 6 6

3 3333 3

250 250 125 522

x x x xxx

= = =

59

Racionalizacin de radicales . Cuando en una divisin de radicales se quiere eliminar ste del denominador se utiliza este proceso, que consiste en multiplicar y dividir la fraccin por el radical que se quiere eliminar. Si el denominador es un binomio se utiliza su binomio conjugado para realizar la racionalizacin. Ejemplos. Racionaliza las siguientes expresiones

1. 10 10 5 10 5 2 5

55 5 5= = =

2. ( )( )1 11 1 1 1

11 1 1

x xx x x xxx x x

= = =

+ +

3.3 2 3 3 2 3 4 2 3 12 6 3 8 3 4(3) 2 3 3

16 4(3) 4 24 2 3 4 2 3 4 2 3 + +

= = = = +

Operaciones con nmeros complejos. -Suma ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + + -Multiplicacin ( )( ) ( ) ( )2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i+ + = + + + = + + -Divisin. Se utiliza el procedimiento de racionalizacin para dividir nmeros complejos. Recuerda que

5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 8 12 16

1........

........ 1................ 1

ii i i i ii i i ii i i i ii i i i

=

= = = = =

= = = = =

= = = = =

= = = = =

Ejemplos 1. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 6 4 2 6 3 4 4 7i i i i i+ + + = + + = + 2. ( )( ) 27 3 4 5 28 35 12 15 28 47 15( 1) 13 47i i i i i i i + = + + = + = +

3. 2

2

2 5 2 5 2 4 2 10 5 4 12 5( 1) 1 12 1 122 2 2 4 4 ( 1) 5 5 5

i i i i i i i i ii i i i

+ + + + + + + + += = = = = +

+

60

Autoevaluacin

Ahora que has estudiado la unidad quiz te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resulvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta.

1. Encuentra el residuo a travs del teorema del residuo de 25 3 4

2x x

x ++

:

A) 30 B) 18 C) 6 D) -10

2. Encuentra el residuo a travs del teorema del residuo de 3 23 2 5

3x x x

x +

:

A) 61 B) -3 C) -107 D) 107

3. Encuentra el residuo a travs del teorema del residuo de 4 3 22 3 4 3

1x x x x

x + +

+:

A) -13 B) 13 C) 3 D) -3

4. La simplificacin de 5 3

2

16913

x yx y

es:

A) 3 213x y B) 7 413x y C) 7 213x y D) 3 413x y

5. La simplificacin de 2

2

1216 55

xx x

es:

A) 115

xx+

B) 115

xx+

C) 115

xx

D) 115

xx++

6. La simplificacin de 2

2

2 11 212 13 15

x xx x

+ +

es:

A) 75

xx++

B) 75

xx+

C) 75

xx

D) 75

xx+

7. La simplificacin de 2

2

6 13 512 1x x

x x +

es:

A) 2 54 1xx

B) 2 54 1xx++

C) 2 54 1xx+

D) 2 54 1xx+

8. La simplificacin de 3 2

3

4 20 962 128

x x xx x

es: