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Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadsticas

Ecuaciones diferenciales - Primer Examen Parcial

Fila A

Semestre 2015-2023 de Junio de 2015

Nombre y Codigo:

R. Beltran * E. Bolano * C. De Oro * I. Gonzalez * J. Robinson

El examen tiene una duracion de 90 min (1h. 30 min.).

Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales

solo con permiso del profesor)

El uso y/o posesion de celular y/o calculadoras durante el examen es causal deanulacion.

Cada resultado y/o calculo algebraico debe ser debidamente justificado.

Parte 1 (100 points) Justifique su respuesta

1. (15 pts) Determine si la funcion y(x) =3 x7 1

x3 es una solucion de la EDO

dy

dx

4

xy= 7x4.

2. (20 pts) Dado el PVIdz

dv =

4v z

9 v2 z(v0) = z0

Realice un bosquejo de la mayor region del plano v-zdonde el anterior PVI tiene solucion unica.

3. (40 pts) Obtener la familia de soluciones para la EDO

4 y3 14 x2y+ 8 y2x

dx+

8 x2y+ 2 y2x+ 12 x3

dy= 0

4. (25 pts) Considere el siguiente PVI

30

dw

ds =w3 +w2 6 w

w(s0) =w0

Construya el diagrama de fase correspondiente para la EDO.

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Fila B

Semestre 2015-107 de marzo de 2015

Nombre y Codigo:

C. Dominguez *** R. Prato *** E. Bolano




El uso y/o posesion de celular y/o calculadoras durante el examen es causal deanulacion.

Parte 1 (60 points) Marque la respuesta correcta y justifique en cada caso su seleccion.

Nota: Respuesta sin justificacion no sera tenida en cuenta.

12p

1. Dada la EDO x2 + 1

dydx

2 xy= 2 xex2

x2 + 1

2+ 2

La funcion y(x) =

2 ex2

(x2 + 1)

(a) No satisface la EDO. (b) Es solucion para x R.

(c) Es solucion solo para x >1. (d) Es solucion solo para x ={1, 1}.

(e) Ninguna de las anteriores

12p

2. Los valores de m Rde modo que y(x) = emx es solucion de la EDO

y

= 2y

+ 15y

son(a) No existen. (b) m= 3 y m= 5 .

(c) m= 15 y m= 1. (d) m= 1 y m= 3.

(e) Ninguna de las anteriores

12p

3. La solucion del PVIdy

dx= 2 (x+ 2) (y 3) , y(0) = 1

corta a la recta y(x) =2 e3 + 3 en el punto

(a) 3,2 e3 + 3

. (b)

3,2 e3 + 3

.

(c)

2,2 e3 + 3

. (d) 2,2 e3 + 3

.

(e)

1,2 e3 + 3

.

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P1/EDO/ Page 2 of 2 Nombre y Codigo:

12p

4. Considere(x2y2 sin(x) + 2xy2 cos(x))dx+ 2x2ycos(x)dy= 0

(a) solo es de variables separables (b) solo es exacta

(c) es de variables separables y exacta (d) tiene un factor integrante

12p

5. Dado el PVI

y =2y2

+y 3y10 + 1

, y(1) = 2,

un bosquejo de su solucion es

(a)

1

2

1

1 212

(b)

1

2

1 212

(c)

1

2

1 212 (d)

1

2

1

1 212

Parte 2 (40 points) Cada resultado y/o calculo algebraico debe ser debidamente justificado.

40p

1. Resolver el siguiente PVIcos(y)cos(x)(sin(y) 1) dx+

sin(x)(cos(y))2 sin(y)

dy= 0

y(2

) = 0

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.

.

NRC:

3361-3362-3363-3364

Barranquilla, 6 de septiembre de 2014




Nombre y Codigo: , Profesor:


Justifique cada una de sus respuestas.Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales solo con permiso del profesor)

El uso y/o posesion de celular y/o calculadoras durante el examen es causal de anulacion.

Cuestionario

Punto 4: Valoracion 20 ptos

Resolver la EDO 3 st+t2 8 s2

ds+

3 s2 +st

dt= 0


Dada la EDO u4t+ 2 u4 + 4 t+ 8

dt+

2 t2 + 8 t+ 8 6u2

u3du= 0 (2)

(a) 6 ptos Determine la ecuacion diferencial al realizar las siguientes sustituciones

w= u2 y z= t + 2.

(b) 4 ptos La EDO obtenida en el tem anterior Es de variables separables? Es de coeficientes ho-

mogeneos? Es exacta? Justifique cada una de sus respuestas.

(c) 10 ptos Determine la solucion general de la ecuacion (3).


Resolver la EDO

12 x sec(y) 21 x2 sin(y)

dx+

2 x2 sec(y)tan(y) 3x3 cos(y)

dy= 0

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IParcial17.08.13Ecuacionesdife

renciales

NRC:3361-3362-3363-336

4

Fila A Barranquilla, 25 de junio de 2014





El examen tiene una duracion de 1 hora-45 min . Justifique cada una de sus respuestas.



El uso y/o posesion del celular y/o algun tipo de calculadora durante el examen es causal de anulacion.

Cuestionario

Punto 1

Considere la siguiente EDO

xz2 z3 + 2 x2z (dx 4 dz) + 5 xz

2 4 z3 + 6 x2z x3 dz = 0 (1)

(a) [2ptos]Es la EDO homogenea? Justifique

(b) [4ptos]Exprese en forma normal a la EDO separable que es obtenida al aplicar una sustituci on adecuadaa la ecuacion (1) .

(c) [5ptos]Resuelva la EDO separable del punto anterior.

(d) [1ptos]Obtenga la solucion de la EDO en terminos de las variablesx y z .

Punto 2

Dado el PVIdu

dv =

3

v2 4v 8

v u2 + 1

u2 v2 u(v0) =u0

(a) [6ptos]Determine la mayor region del plano v-u donde el anterior PVI tiene solucion unica

(b) [4ptos]Realice un bosquejo de la region del plano v-u obtenida en el anterior punto

(c) [1pto] Si (v0, u0) = (3, 0), Tiene el PVI solucion unica?

(d) [1pto] Si (v0, u0) = (3, 0), Tiene el PVI solucion unica?

Punto 3

Considere el siguiente PVI

dr

ds =

(r 3)r2 + 4

3 r2 + 10 8 r

r(s0) = r0

(a) [8ptos]Determine una familia de soluciones para la EDO.

(b) [4ptos]Construya el diagrama de fase correspondiente para la EDO.

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renciales

NRC:3361-3362-3363-336

4

Fila B Barranquilla, 22 de febrero de 2014





El examen tiene una duracion de 110 min.

Justifique cada una de sus respuestas.

Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales solo con permiso

del profesor)

Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simbolico.

El uso y/o posesion del celular durante el examen es causal de anulacion.

Cuestionario

Punto 1

Determine la solucion general de la ecuacion diferencial

42 s2 + 22 su2 + 3 u4

ds + 2 s2udu = 0

usando la sustitucion u2 =z 3s.

Punto 2

Dado el PVIdz

dv = ln

9 z2

4v z2

z(v0) =z0

(a) (70 %) Realice un bosquejo de la mayor region del planov-zdonde el anterior PVI tiene solucionunica.

(b) (30 %) Si (v0, z0) = (0,4), Tiene el PVI solucion unica? Justifique su respuesta

Punto 3


dt

ds=

t2 7t+ 10

t2 + 2

t(s0) =t0

(a) (50 %) Determine una la solucion general (familia de soluciones) para la EDO.

(b) (20 %) Determine la solucion cuando (s0, t0) = (1, 1).

(c) (30 %) Construya el diagrama de fase correspondiente para la EDO.

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renciales

NRC:3361-3362-3363-336

4

Fila A Barranquilla, 16 de agosto de 2013





El examen tiene una duracion de 110 min.

Justifique cada una de sus respuestas.

Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales solo con permiso

del profesor)

Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simbolico.

El uso y/o posesion del celular durante el examen es causal de anulacion.

Cuestionario

Punto 1

Determine la solucion general de la ecuacion diferencial

(2u+ 8 v+ 4) du+ (8 u 27 v 11)dv= 0

usando la sustitucion u = 3 s+ 2 t 2 y v = t+s 1

Punto 2

Dado el PVIdu

dt =

4t2 u2

t2 4 u(t0) =u0

1. (80 %) Determine para que region del plano t-u el anterior PVI tiene solucion unica. Realiceun bosquejo de dicha region.

2. (20 %) Si (t0, u0) = (1, 3), Tiene el PVI solucion unica?

Punto 3


dx

dy =x2 x3 + 2 x

x(y0) =x0

(a) (40 %) Determine una familia de soluciones para la EDO.

(b) (20 %) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (3, 2).

(c) (20 %) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (1, 1).

(d) (20 %) Realice un bosquejo de las soluciones anteriores.

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Copia

Barranquilla, 06.03.2010 Fila AUniversidad del Norte

Division de ciencias basicas

Departamento de matematicas y estadistica

Primer Parcial Ecuaciones Diferenciales


Observaciones

1. El examen tiene una duracion de 90 minutos.

2. La justificacion de las respuestas es uno de los factores mas importante para la calificacion del presenteexamen. Por ejemplo, si en el primer punto Ud. solo marca la respuesta pero no justifica dichaseleccion, la calificacion asignada al punto sera 0.0.

3. Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s olo con permiso delprofesor) y el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simbolico.

Cuestionario

1. Cada inciso tiene una unica respuesta correcta, marquela y justifique claramente en cada caso sudecision.

(a) La sustitucion z = x +y transforma la ecuacion diferencial dydx

= (x+y)2 en

i. dzdx

= z2. ii. dzdx

= (z+ 1)2 . iii. dzdx

= z2 + 1.

(b) El teorema de existencia y unicidad visto en clase no garantiza la existencia de una unica soluciondel problema

x2dydx

=x2 y2

23 ,

y(x0) =y0,

si:

i. (x0, y0) = (1, 0). ii. (x0, y0) = (1, 1). iii. (x0, y0) = (1, 2).

(c) La unica solucion del problema

xy +y = ex,y(1) =e 2,

corta al eje xen el punto

i. (ln2, 0). ii. (ln(e 2), 0). iii. (0, 3 e).

(d) La ecuacion diferencial y

+ 1

xy=yx2

i. no es homogenea. ii. es lineal. iii. es de Bernoulli.

(e) Un valor para el parametrok de modo que la EDO

(2xy+ 3x2y2 2y3) dx (kxy2 2x3y x2) dy= 0

sea exacta es:

i. k = 6 ii. k = 6 iii. k = 3

2. Encuentre todas las soluciones de la ecuacion diferencial

dy

dx+y+ (sin x+ex) y3 = 0

3. Halle la solucion general de la ecuacion diferencial

(x

x2

y2)dx+ydy = 0.

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Documents

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