7/25/2019 1Sesion17-09

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1.1 NUMEROS REALES

1A SESION (17/09/2014)

MATEMATICAS 1GRADO EN INGENIERIA INFORMATICA

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

Abstract. En esta primera sesion introducimos los smbolos propios del lenguaje ma-tematico. Recordamos los conjuntos numericos N,Z,Q, I,R y C, prestando especialatencion a las definiciones de cotas, supremos e nfimos en los numeros reales.

1. Lenguaje matematico

Ejercicio 1.1. Desarrolla y calcula los siguientes sumatorios

10

j=1

j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

100

j=1

j = 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 = 5050n

j=1

j = 1 + 2 + 3 + 4 + + (n 1) +n= n(n+ 1)2

7

j=1

2j = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 254 =2 (27 1)

2 17

j=1

2j =1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128=

127

128se puede simplificar mas?

n

j=1

arj1 =a(rn 1)

r 1 , (progresion geometrica),n

j=1

(a+j d) =n a+d(n(n+ 1)2

), (progresion aritmetica).

1

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2 1.1 NUMEROS REALES

Ejercicio 1.2. Escribe el significado de los siguientes smbolos matematicos

Smbolo Significado

Pertenece Para todo Interseccion Union

Sumatorio Integral Producto

2. Construccion de los numeros reales

Ejercicio 2.1. Sean N, Z, Q, I, R y C los conjuntos de los numeros naturales, en-teros, racionales, irracionales, reales y complejos. Determina a que conjuntos numericospertenecen los siguientes numeros.

Numero Conjunto Numerico

1 N, Z, Q, R yC0 Z, Q, R yC1 Z, Q, R yC

5 I, R yC3/4 Q, R yC I, R yC

1 i Ce I, R yC

Ejercicio 2.2. SeaA R un subconjunto de numeros reales. Se dice que(i) cR es unacota superiordeAsi se cumple queac para todo elemento aA.

(ii) s R es el supremo deA si es la menor de las cotas superiores.(iii) b R es unacota inferiordeA si se cumple queba para todo elemento aA.(iv) i R es el nfimo deA si es la mayor de las cotas inferiores.(v) A esta acotado si tiene cota superior e inferior.

Calcula cotas inferiores, superiores, supremos e nfimos de los siguientes conjuntos enel caso de que existan.

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1. NUMEROS REALES. NUMEROS COMPLEJOS. SUCESIONES Y SERIES NUMERICAS 3

Conjunto Cota sup. Sup. Cota inf. Inf Acotado?

N

-1 1 Inferiormente

(0, 1) 2 1 -1 0 S

(1

n)n1 1 1 0 0 S

((1)n)n1 2 1 -1 -1 S [1, +) 0 1 Inferiormente

Teorema 2.3. (Existencia del Supremo)Todo conjunto no vaco contenido en R y acotadosuperiormente tiene supremo.

Pedro J. Miana. Departamento de Matematicas, Instituto Universitario de Matematicas

y Aplicaciones, Universidad de Zaragoza, 50009 Zaragoza, Spain.E-mail address: pjmiana@unizar.es