Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2013. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Clases 4 a 5 - Versión 1 - 2014

Herramientas

Transformada de Laplace

Descomposición en fracciones parciales

Teorema del Valor Inicial - Valor Final

Respuestas temporales parametrizadas

Matlab – Simulink

Zonas de estabilidad

Definición

2

Es una herramienta de análisis para Sistemas Lineales representados por una ecuación diferencial ordinaria a parámetros constantes.

L Transformada de Laplace

Es decir, su aplicación es válida si el sistema dinámico es:

LinealInvariante en el tiempo

L3

Definición de Transformada de Laplace para sistemas causales

Definición de Anti-Transformada

Lista de Transformadas de Laplacepara funciones de tiempo particulares

4

Ejemplos de Transformadas de Laplace

1) Sea f(t)=(t) una función de Dirac o función impulsiva

(t) e- st dt

0-

= e- s 0 = 1

2) Sea f(t)= 1(t) una función de Heaviside o función escalón

1(t) e- st dt

0-

= e- st dt

0=

1s

(e- s - e- s

0) =1s

-

L (t) = 1

L 1(t) = 1

5

Ejemplos de Transformadas de Laplace

(a/2) (e -(s-j)t – e (s+j)t) dt =

0

(e - – e

- 0) =1

s+j- 1s-j-(a/2) s

s2 + 2(a/2)

s

s2 + 2(a/2)L a cos(t) =

3) Sea f(t) = a cos(t) una función periódica cosenoidal

a cos(t) e- st dt

0-

= (a/2) (e jt - e - jt) e- st dt =

0

6

0

Tiempo (sec)

Res

pues

ta I

mpu

lsiv

a

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Respuesta Impulsiva de un Sistema Dinámico Lineal e Invariante en el Tiempo

d(t) d(t-2) d(t-4) d(t-6)

El sistema evoluciona decondiciones iniciales nulas

h(t) h(t-2) h(t-4) h(t-6)

7

0

Tiempo (sec)

Res

pues

ta I

mpu

lsiv

a

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

d(t) d(t-2) d(t-4) d(t-6)

El sistema evoluciona decondiciones iniciales nulas

h(t)

h(t,2)

h(t,4)h(t,6)

Respuesta Impulsiva de un Sistema Dinámico Lineal y Variante en el Tiempo

8

Integral de SuperposiciónPrimeramente una función impulsiva o Delta de Dirac d(t) es:

es decir, u(t) es el resultado de una suma de impulsos u(t) d(t-t) para la variable t perteneciente a la recta real.

u u

Ahora pensemos en un sistema lineal con respuesta al impulso d(t) igual a h(t,t).

h(t,t) d (t=t)

u( )t (d t=t) u( )t h(t,t)

a u( )t (d t=t) a u( )t h(t,t)

SistemaDinámico

Variante en el Tiempo

9

Integral de Superposición

SistemaDinámico

Variante en el Tiempo

u(t0) (d t0=t0)

u(t0) h(t,t0) u(t1) (d t1=t1)

u(t1) h(t,t1)

u(tf) (d tf=tf) u(tf) h(t,tf) … …

u u

Superposiciónpara un tren denso

de impulsos u(t) (d t=t)

u(t2) (d t2=t2)

u(t2) h(t,t2)

0

Tiempo (sec)

Tre

n d

e p

ulso

s

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

u(t)

10

SistemaDinámico

Invariante en el Tiempo

u(t0) (d t0=t0)

u(t0) h(t-t0) u(t1) (d t1=t1)

u(t1) h(t-t1)

u(tf) (d tf=tf) u(tf) h(t-tf) … …

u u

Superposiciónpara un tren denso

de impulsos u(t) (d t=t)

u(t2) (d t2=t2)

u(t2) h(t-t2)

0

Tiempo (sec)

Tre

n d

e p

ulso

s

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

u(t)

-

Integral de Convolución11

Transformada de Laplace

Sea una Función de Transferencia

Factoricemos los polinomios numerador y denominador

Descomposición en fracciones parciales

Siendo el polinomio denominador el denominado Polinomio Característico:

12

Transformada de Laplace

Casos según el polinomio característico tenga:

Descomposición en Fracciones Parciales

1) Raíces simples

2) Raíces múltiples

3) Raíces complejas conjugadas

13

Transformada de Laplace

Cálculo de los coeficientes como residuos:

Se busca en la tabla de Transformadas la fracción simple:

Finalmente, la anti-transformada completa es:

1er. Caso: RAÍCES SIMPLES

y su anti-transformada:

14

Transformada de Laplace2do. Caso: RAÍCES MÚLTIPLES

15

Sea:

Los residuos se calculan así:

Transformada de LaplaceEjemplo de RAÍCES MÚLTIPLES

16

s2+1s2(s+2)

A2 =ddt s=0

= -1/4

Transformada de LaplaceOtra forma de calcular los residuos en RAÍCES MÚLTIPLES

17

Volviendo al ejemplo anterior.

Se iguala la F(s) con la función descompuesta en fracciones parciales.

Se lleva a una forma de igualación de polinomios y queda:

Transformada de LaplaceSigue ejemplo de RAÍCES MÚLTIPLES

18

Finalmente, la anti-transformada es:

Transformada de Laplace3er. Caso: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS

Ecuación de Euler

19

Transformada de Laplace3er. Caso: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS

20

Teorema del Valor InicialTransformada de Laplace

21

L

Teorema del Valor FinalTransformada de Laplace

El teorema sólo es válido en sistemas dinámicos estables!

22

Ganancia Estática

Transformada de Laplace

Aplicación del Teorema del Valor Final

Ejemplo. Sea la Función de Transferencia:

Entrada escalonada:

La Ganancia Estática esla respuesta al 1(t) en

23

Respuesta al escalón: G(s).1/s

Función de Transferencia y respuestas temporales

Salida de un sistema dinámico:

24

Respuesta Impulsiva:

Respuesta al escalón:

Y(s) = G(s) U(s)

U(s)=1 G(s) = H(s) L -1 G(s) = h(t)

U(s)=1/s Y(s) = G(s)/s L -1 G(s)/s = q(t)

Relación entre las respuestas impulsiva y al escalón:

dq/dt = h(t)

Polos y CerosTransformada de Laplace

Sea la Función de Transferencia:

Ceros:

Polos:

25

Polos Simples más un Cero adicionalTransformada de Laplace

Ejemplo. Sea la Función de Transferencia:

2 modos:lento y rápido

26

Polos y ceros realesTransformada de Laplace

Configuración de polos y ceros

Respuesta temporal al impulsocon CI cero

27

Polos complejos conjugadosTransformada de Laplace

Sea el sistema con un par de polos complejos conjugados

y d son los parámetros cartesianos

y n son los parámetros físicos

Polinomio característico:

28

2 Grados de Libertad, Relaciones entre coordenadas:

Polos complejos conjugadosTransformada de Laplace

Ubicación del par de polos complejos conjugados

29

Polos complejos conjugadosTransformada de Laplace

Ejemplos: Ubicación de los polos complejos respecto del eje vertical

30

sen =

Polos Complejos ConjugadosTransformada de Laplace

Expresión alternativa de la Función de Transferencia

Comparar con las dos versiones originales:

31

= n

+

Sistema dinámico de segundo ordenRespuesta impulsiva

Empleando la Tabla de Transformadas de Laplace sobre:

Transformada de Laplace

Con la anti-transformada (Respuesta Impulsiva):

32

Respuesta impulsiva parametrizadaSistema de 2do. orden subamortiguado

33

Respuesta al escalón parametrizadaSistema de 2do. orden subamortiguado

34

Y(s) = H(s) U(s)

U(s) = 1/s

= n

+s ( )Y (s)

Anti Transformada de Laplace (Respuesta al Escalón):

e- t evolventes

Zonas de comportamiento

oscilación natural uniforme

amortiguamientouniforme

evolvente uniforme

frecuenciade amortiguamientouniforme

s wd2

35

Respuestas Singulares36

e-te-t

-e-t

-e-t

Respuestas SingularesEjemplo de Función Oscilante Amortiguada con ceros

Buscamos dos Anti-Transformadas de Laplace de dos FT’s:

=1s wd=2

=1s wd=2

37

Adición de Ceros en Sistemas de polos simples

Ejemplo:

Dado un sistema dinámico:

y el mismo sistema pero con un cero añadido:

G(s) = 2 (s+1) (s+2)

= 2

(s+1)

2

(s+2)-

G(s) = =

(s+1) (s+2)

(s+)2 -

(s+2)(-2)

(s+1)(-1)

2 ( (

38

Adición de Ceros en Sistemas de polos simples

Conclusión:

39

- Para la descomposición en fracciones simples de la función de transferencia sin ceros, la suma de los residuos da cero.Por el teorema del Valor Inicial, esto implica que la respuestaimpulsiva empieza de cero

- Por el contrario, para la descomposición en fracciones simples de la función de transferencia con ceros, la suma de los residuos es en general distinta de cero.Por el teorema del Valor Inicial, esto implica que la respuestaimpulsiva por lo general empieza de un valor distinto de cero

- Este es el efecto de añadir un cero a la función de polos simples.

jws

ss

-1-2

=a 1.1=a 1.9

=a 1.5

=10a =a 0.5

0 20 40 60 80 100 120-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo

Adición de Ceros en Sistemas Amortiguados40

t=-1a

ConclusiónMientras más dominante es el cero estable (más a la derecha), tanto más marcado es el efecto de derivación sobre la respuesta original

Mientras menos dominante es el cero estable (más a la izquierda), tanto menos notable es el efecto de derivación sobre la respuesta original

Un cero inestable proporciona un arranque en sentido inverso, propiedad del sistema dinámico conocida como fase no-mínima

En general, se puede mejorar la respuesta original con la incorporación de un cero estable en su función de transferencia.Su ubicación es óptima a la derecha de los polos reales originales.

Adición de Ceros en Sistemas Amortiguados41

Dado un sistema dinámico:

G(s) = 1

s2 + 2 s +1

y el mismo sistema pero con un cero añadido:

G(s) = (1/) (s+ )

s2 + 2 s +1

Sus respuestas dinámicas son comparadas a continuación

Adición de Ceros en Sistemas Subamortiguados

42

jws

s=a 1

=a .5

=a 5=a 100 =a -1

G(s) sin cero es equivalente a desplazar el cero infinitamente a la izquierda:

1

3

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100 120

tiempo

Adición de Ceros en Sistemas Subamortiguados43

y el sistema con cero añadido en fracciones parciales es:

G(s) = +s

s2 + 2 s +11

0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo

Respuestas impulsivas

1s2 + 2 s +1

Nuevamente, el sistema dinámico original es:

G(s) = 1

s2 + 2 s +1

Adición de Ceros en Sistemas Subamortiguados44

Mientras más dominante es el cero estable (más a la derecha), tanto más marcado es el efecto de derivación sobre la respuesta original

Mientras menos dominante es el cero estable (más a la izquierda), tanto menos notable es el efecto de derivación sobre la respuesta original

Un cero inestable proporciona un arranque en sentido inverso, propiedad del sistema dinámico conocida como fase no-mínima

En general, se puede mejorar la respuesta original con la incorporación de un cero estable en su función de transferencia, aunque hay queubicarlo aproximadamente cerca pero a la derecha de la parte real de los polos complejos conjugados.

El efecto de un cero añadido incorpora una segunda componente sumada a la respuesta original. Esta segunda componente es la derivación de la respuesta impulsiva original

ConclusiónAdición de Ceros en Sistemas Subamortiguados45

La influencia de un cero que se acerca al eje imaginario por la izquierda desde s=- produce un aumento del sobrepico en forma hiperbólica

Adición de Polos y Ceros en Sistemas Subamortiguados

=- =-0

46

La influencia de un polo real que se acerca al eje imaginario por la izquierda desde s=- produce un crecimiento de la respuesta inicial cada vez más rápido. Sea:

Adición de Polos y Ceros en Sistemas Subamortiguados

a =- a =0

47

MATLABHerramienta de Análisis, Simulación y Diseño

+MATLAB Ejercicio 1. Simulación de un Sistema de

2do. Orden Subamortiguado(FCR_ejercicio_1.m)

Ejercicio 2. Orientación de un Sistema Satelital(FCR_ejercicio_2.m)

Elección de Variables de Estado: X T=[q, =q w]

.Sistema Satelital: modelo ODE I = q I w = Fc d + MD

.. .

Descripción en espacio de estado:Parámetros:

Ejercicio 3. Orientación de un Sistema Satelital(FCR_ejercicio_3.m)

48

MATLABHerramienta de Análisis, Simulación y Diseño

Ejercicio 4. Aplicación de una fuerza de pulso finito al sistema satelital

(FCR_ejercicio_4.m)

Sistema Satelital: modelo ODE I = q I w = Fc d + MD

.. .

Ejercicio 5. Cambio de ángulo de orientación del satélite en sentido horario

(FCR_ejercicio_5.m)

49

Posición de los PolosZonas de estabilidad

Ubicación de polos vs. Respuesta Impulsiva

50