2. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak - ehu.eus · Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak Xabier Lopez, Jon M. Matxain 1) Kimika Teorikoko Laborategia September 12, 2012

1. Postulatua: Uhin-Funtzioa2. Postulatua: Operadoreak

3. Postulatua: Operadore baten funtzio/balore propioak4. Postulatua: Neurketa Egoera Nahaste Batean

5. Postulatua: Schrödinger-en Ekuazioa6. Postulatua: Pauli-ren PrintzipioaAppendix A: Momentu Angeluarra

Appendix B: Dirac-en Notazioa

2. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak

Xabier Lopez, Jon M. Matxain

1) Kimika Teorikoko Laborategia

September 12, 2012

Xabier Lopez, Jon M. Matxain 2. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak





Laburpena

1 1. Postulatua: Uhin-Funtzioa

2 2. Postulatua: Operadoreak

3 3. Postulatua: Operadore baten funtzio/balore propioak

4 4. Postulatua: Neurketa Egoera Nahaste Batean

5 5. Postulatua: Schrödinger-en Ekuazioa

6 6. Postulatua: Pauli-ren Printzipioa

7 Appendix A: Momentu Angeluarra

8 Appendix B: Dirac-en Notazioa






1. Postulatua: Uhin-Funtzioa

1. Postulatua

!(q,t) uhin-funtzioa (q partikulen koordenatuak; tdenbora aldagaiak) analizatuz, sistema Fisiko batenpropietate neurgarri/behagarri guztiak lor daitezke.Funtzio honen bereizgarriak: unibokoa, jarraia, deribatujarraiak, eta bere karratuaren integragarritasuna.


1. Postulatua: Uhin-Funtzioa

!(q,t) orokorrean funtzio konplexua da. |!|2 =!!!

|!(q,t)|2 probabilitate dentsitate bezala hartzen da (Born, 1927).!!(q,t)!(q,t)dq " t denboran sistema q eta q+dq tartean egotekoprobabilitatea.

Karratuaren Integragarritasunaren Baldintza: #!

Rn !!(q,t)!(q,t)dq badago,eta balore finito bat du. Honek baimenduko du uhin-funtzioaren normalizazioa:sistemaren esistentziaren probabilitatea unitatea da.

"

Rn!!!dq = b bada c! definituko dugu eta horrela,

"

Rn(c!)!(c!)dq = c!c

!

Rn !!!dq = |c|2b = 1 # c = 1/$

b.

Adibidea: Normaliza ezazu != e%ax ; 0 & x & ∞ (Erantzuna C =$

2a)

1D partikula batentzat, [x1,x2] tartean aurkitzeko probabilitatea:

Pr(x1 & x & x2) =" x2

x1

!!!dx (1)





2. Postulatua: Operadoreak

2. Postulatua

A behagarri fisiko bakoitzari A operadore lineal eta hermitiko bat dagokio.

Operadorea arau matematiko bat da. Funtzio bat beste batean bihurtzen du.

!(q,t)A%'!((q,t) eta horrela adierazten dugu A!=!(. (2)

Ej.: Dx = ddx operadore bat da: d

dx sen(x) = cos(x) eta baita ere!

dx edo“karratua hartu”.Operadore lineala: Demagun bi funtzio, ! eta ", eta zenbaki konplexu pare bat,c eta d, orduan,:

A(c!+d") = cA!+dA" (3)

Operadore hermitikoa: Edozein bi ! eta " funtziorentzat"

Rn!!A"dq =

"

Rn(A!)!"dq (4)

Hermitiko izateak neurri fisikoak zenbaki errealak direla bermatzen du.



Operadoreen Batura:Edozein ! funtziorentzat

C = A+ B =# C!= A!+ B!. (5)

Operadoreen batura konmutatiboa eta asoziatiboa da

Operadoreen Biderkadura:Lehen bat aplikatzen da (hurbilena) eta gerobestea:

C = AB =# C!= A(B!). (6)

Biderkadura asoziatiboa da eta baturarekiko distributiboa.

Orokorrean, bi operadoreen biderkadurak ez du konmutatzen. Bi

operadoeen konmutadorea horrela definitzen da: [A,B ] = AB% BA. Bi

operadoreek konmutatzen badute konmutadorea zero da.


Partikula baten posizio operadorea: 1D-n, posizio operadorea x = x 1 da etabiderkaria bat da. 3D-n operador bektorial bat definitzen da:

!r = x!ux + y!uy + z!uz (7)

non !uξ unitate kartesiarren bektore unitateak diren

Partikula baten Momentu Linealaren Operadorea:

(1D): px =%i h∂∂x

, (3D): !p =%i h

#

!ux∂∂x

+!uy∂∂y

+!uz∂∂z

$

=%i h!∇, (8)

non i =$%1 eta h = h/2π.

Gainontzeko Operadoreak:

1 Idatzi Mekanika Klasikoaren Magnitudea, koordenatu kartesiarrak erabiliz baiposizioarentzat, (x ,y ,z) eta momento linealarentzat, (px ,py ,pz );

2 Posizio/Momentua bihurtu operadore kuantikoetan. x ' x , ...,px ' px =%i h∂/∂x , ...;

3 t denbora agertzen bada, parametro bat bezala tratatzen dugu.

4 Aldatu operadoreak koordenatu sistema egoki batera.


Energia Zinetikoa: m masa duen eta vx = x abiadurarekin mugitzen denpartikula bat, 1D-n. Bere energia zinetiko klasikoa hauxe da:T = ( 1

2 )mx2 = p2x /2m, non px =mx . Operadore kuantikoa izango da:

T =p2x

2m=%

h2

2m

∂2

∂x2. (9)

Partikula 3D-n mugitzen bada,

T =p2x + p2

y + p2z

2m=%

h2

2m

%∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

&

=%h2

2m∇2. (10)

Energia potentziala V = V (x ,y ,z)1 biderkatzen da. Ad: demagun qi eta qj

kargak ditugula, orduan,V =qi qj4πε0r

Hamilton Operadorea:

H = T + V


Oinarrizko Operadoreen Konmutadorea:Demagun edozein !,

[x , px ]!= x

#

%i h∂∂x

$

!%#

%i h∂∂x

$

x!=%i hx!(x + i h

'

!+x!(x

(

= i h!# [x , px ]= i h,

(11)eta horrela, koordenatu kartesiarra, x , eta bere momentu lineal kongujatua, px ,ez dira konmutagarriak. Bai konmutagarriak dira: i) koordenatu operadore etabeste aldagai bati dagokion momentu linealaren operadorea, eta ii)koordenatuak beraien artean, eta momentu linealak beraien artean

[ξ , pζ ] = i hδξζ , [ξ , ζ ] = 0, [pξ , pζ ] = 0, donde ξ ,ζ = x ,y ,z . (12)

Operadoreek konmutatzen dutenean, operadoreak konpatibleak direla esatendugu. Hamiltondarrarekin konmutatzen duten operadoreek garrantzi haundiadute.





3. Postulatua: Operadoreen Funtzio/Balore Propioak

3. Postulatua

A operadore baterako, !n A-ren funtzio propio eta an A-ren balore propio bat delaesaten dugu baldin eta,

A!n = an!n (13)

Orduan, A operadoreari dagokion propietate baten neurketa batek, balore propio batenbalioa hartu behar du.

Sinonimoak: funtzio propia, autofuntzioa, eigen function; {balore propioa,autobalorea, eigen value}.Balore eta funtzio propioen multzoa era daiteke, indize batekin adierazten da:A!n = an!n eta n = 1,2, . . . ;Operadore lineala bada eta !n funtzio propioa bada orduan c!n ere funtziopropioa da eta balore propio berdinarekin. Honek multiplo normalizatu bataukeratzea baimenduko digu.Bi funtzio propioak degeneratuak daude ) balore propio berdina badute.Funtzio propio degeneratuak azpiespazio bektoriala eratzen dute: edozeinkonbinazio lineal funtzio propio degeneratua da ere bai. Funtzio degeneratumultzoarentzat oinarri ortonormal bat era daiteke.Xabier Lopez, Jon M. Matxain 2. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak

3. Postulatua: Teorema Batzuk

Operadore hermitiko baten balore propio guztiak zenbaki errealak dira.

Demagun !, α operadorearen funtzio propio eta a autobalorea:

a ="

Rn!!α!dq =

"

Rn(α!)!!dq =

"

Rn(a!)!!dq = a! (14)

Operadore Hermitiko baten bi funtzio propio ez-degeneratuak ortogonalak dira.

Demagun α!i = ai!i eta α!j = aj!j , eta ai *= aj :

ajSij ="

Rn!!

i α!jdq ""

Rn(α!i )

!!jdq = a!i Sij = aiSij # (ai %aj )Sij = 0 (15)

eta ondorioz, Sij =!

Rn !!i !jdq = 0,

Multzo degeneratu batentzat, multzo ortonormal baliokidea ere eraiki dezakegu

Operadore baten funtzio propio multzoak espazio bektorial bat osatzen du, Hilbertespazioa, eta horren oinarri bektorial edo multzo osoa eratzen dute. Hots, edozeinuhin funtzio adieraz daiteke: !(q,t) = ∑n!n(q,t)cn .





4. Postulatua: Neurketa Egoera Nahaste Batean4. Postulatua

Demagun ! egoera-nahaste bat dugula, non != ∑n!ncn den. Orduan, behagarribaten neurketa indibidual bat, an balore propio bat emango du, |cn |2probabilitatearekin, eta neurketaren ondorioz, sistema kolapsatuko da !n egoerara.Horrela, ! egoeran, neurketa multzo baten batazbesteko balioa hauxe izango da,

< A>=

!

Rn !!A!dq!

Rn !!!dq(16)

Neurketak sistemaren egoera aldatzen du!

Bi operadore desberdinak ditugunean, α eta β , linealak eta hermitikoak, hurrengobaieztapenak guztiz baliokideak dira:

α eta β konpatibleak dira, operadore baten neurketa ez du aldatzen sistemarenegoera beste operadorearen neurketarekiko.α-k eta β -k konmutatzen dute: [α, β ] = 0.

α eta β funtzio propio multzo berdina dute: ϕi . Hau da, αϕi = aiϕi eta

βϕi = biϕi .Xabier Lopez, Jon M. Matxain 2. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak

4. Postulatua: Heisenberg-en Ziurgabetasun Printzipioa

Ziurgabetasuna-k, #A edo σA, batazbesteko balorearekiko desbideraketa neurtzen du.

(#A)2 = σ2A =< (A%< A >)2 >=< A2 >%< A >2 (17)

Heisenberg-en Ziurgabetasun Printzipioa

Bi operadore ez-konmutagarriak: badagoberaien ziurgabetasunen biderkaketaren behekolimite bat.

#A#B +1

2| < [A,B ]> | (18)

Horrela, x eta px operadoreentzat:

[x , px ] = i h =# #x#px +h

2(19)

Aldi berean, posizioaren eta abiadurarendeterminazioa ezinezkoa da zehaztasun osoz.Honen ondorioz, partikula mikroskopikoakbereiztaezinak dira. h txikia denez.Heisenberg-en printzipioak ez du eraginikmundo makroskopikoan. Heisenberg-en erlazioaere energia eta denborari aplikatu daiteke, hots,τ#E + h/2 da, non τ egoera batenbatazbesteko bizitza denbora eta #E energiarenziurgabetasuna diren.





5. Postulatua: Schrödinger-en Ekuazioa

5. Postulatua: Uhin-funtzioa denborarekin jasatzen duen eboluzioa:

H!(q,t) = i h∂∂ t

!(q,t),nonH = T + V (20)

Egoera Egonkorrak: H hamiltondarra denboraz independientea bada,!(q,t) = ψ(q)τ(t):

Hψ(q)τ(t)= τ(t)Hψ(q)= i h∂ψ(q)τ(t)

∂ t= i hψ(q)

∂τ(t)∂ t

"1

ψ(q)Hψ(q)=

i h

τ(t)∂τ(t)∂ t

=E #

Hψ(q) = Eψ(q) eta i h∂τ(t)∂ t

= Eτ(t) (21)

Ezkerreko ekuazioari Denboraz independientea den Schrödinger-en Ekuazioadeitzen diogu. Horrela, egoera estazionario baten funtzio espaziala, H-renfuntzio propio da , E konstantea balore propioarekin, E-ri sistemaren EgoerarenEnergia deitzen diogu.


5. Postulatua: Schrödinger-en Ekuazioa

Ekuazio tenporalaren soluzioa hauxe da: τ(t) = Ae%iEt/h, non A normalizaziokonstantea den. Horrela, Egoera Egonkor baten uhin-funtzioa

!(q,t) = ψ(q)e%iEt/h =# |!(q,t)|2 = |ψ(q)|2e+iEt/he%iEt/h = |ψ(q)|2(22)

eta probabilitate dentsitatea denborarekiko independientea da.

Hamiltondar operadorearen funtzio propioek egoera estazionarioen multzo osoaeratzen dute, eta beraien probabilitate dentsitateak denborarekikoindependienteak dira.

Oharra: Egoera estazionario batean, zehaztazun osoz bakarrik neur ditzakegu,H-rekin konmutatzen duten operadoreen neurgarriak. Hauek dira mekanikaklasikoaren mugimendu konstanteen baliokideak.





6. Postulatua: Pauli-ren Printzipioa

6. Postulatua: Partikula kuantikoek oinarrizko propietate bat dute: s spin-a.

Spinak balore osoa (bosoiak) edo erdi-osoa (fermioiak) hartzen du. Partikulaberdinen uhin-funtzioa simetrikoa (bosoiak badira) eta antisimetrikoa(fermioiak) edozein bi partikulen elkartrukaketarekiko:!(q1, ...qi , ...qj , ...qN ,t) =±!(q1, ...qj , ...qi , ...qN ,t).

Spina partikularen berezko momentu angular bat bezala kontsidera daiteke.

Demagun bi partikula i eta j berdinak, bereiztezinak eta independienteak,fermioien antisimetria propietateagatik: bi fermioiek ezin izango dute egoeraberdinean egon. Bosoiek, ordea, ez dute izango murrizketarik.

Fermioien adibideak: Materia osatzen duten partikulak. Elektroiak, protoiak,neutroiak, etab.

Bosoien adibideak: Indar desberdinak transmititzen dituzten partikulak. Fotoiak,pioiak, etab.






Momentu Angeluarra

!l =!r ,!p =

))))))

!i !j !kx y zpx py pz

))))))

=

(ypz % zpy )* +, -

lx

!i

(zpx %xpz )* +, -

ly

!j

(xpy %ypx )* +, -

lz

!k

Momentu angeluarraren osagaiek ez dute elkarrekin konmutatzen

[lx , ly ] = i h lz , [ly , lz ] = i h lx , [lz , lx ] = i h ly . (24)

Hau dela eta, momentu angeluarrak l = lx!i + ly!j + lz!k ez du funtzio propiorik,

eta ez dago guztiz determinaturik dagoen egoerarik!l . Bakarrik!l-renbatazbesteko balioa neur dezakegu.


Momentu Angeluarra

Momentu Angeluarraren Karratuaren operadorea osagai

kartesiarren funtzioan hauxe da,l2 =!l ·!l = l2x + l2y + l2z .

l2-k osagai kartesiar guztiekin konmutatzen du:

[l2, lx ] = [l2, ly ] = [l2, lz ] = 0. (25)

Koordenatu esferiko-polarretan operadore hauenautofuntzio eta autobaloreak aurki ditzakegu:

l2Y ml (θ ,ϕ) = l(l +1)h2Y m

l (θ ,ϕ) ; l = 0,1,2, ...lzY

ml (θ ,ϕ) = mhY m

l (θ ,ϕ) ; m =%l , ...,0, ...,+l(26)





Dirac-en Notazioa


Documents

2. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak - ehu.eus · Gaia: Mekanika Kuantikoaren Postulatuak Xabier Lopez, Jon M. Matxain 1) Kimika Teorikoko Laborategia September 12, 2012