200postulados Cepre Uni

ADMISIN 2011-II GEOMETRA POSTULADOS

CEPRE-UNI GEOMETRA 1

GEOMETRA

La geometra es la rama de lasMatemticas que tiene por objeto elestudio de las figuras geomtricas. Sedenomina figura geomtrica a cualquierconjuntonovacodepuntosdelespacio.Seconsideraalespaciocomoelconjuntodetodoslospuntos.

Para el estudio de la geometra esnecesario teneruna ideaclaradelsignificadode los trminos:conceptoyproposiciones.Los conceptos son de dos tipos: primitivos y definidos. Los conceptosprimitivossonlosprimerosquesedanenlateora.Precisamenteporestehechoesquenose lospuededefinir,yaque ladefinicindeunconceptose basa en otros dados anteriormente. Son los conceptos primitivos, elpunto,larectayelplano.Las proposiciones son de dos tipos: Postulados o Axiomas (esta dospalabras son sinnimas) y Teoremas. Los postulados o axiomas son lasproposiciones que se aceptan sin demostracin. Los teoremas son lasproposicionesquenecesitanserdemostradas.Algunosautoresafirmanqueunpostuladoesunaproposicincuyaverdadesevidente.Estaapreciacines incorrecta.Laverdaddeunpostuladonoesunaverdadabsoluta, sinouna verdad convencional. En otras palabras, la verdad del postuladodependedenosotrosynodelpostuladomismo.Eldescubrimientodeestehecho ha costado siglos demeditacin. El matemtico alemn BernhardRiemannfueunodelosprimerosendescubrirlo.Riemann,amediadosdelsigloXIX, cambielpostulado deEuclides (el postuladode las paralelas)por este otro que no tiene nada de evidente: Dos rectas siempre seintersectan. Es decir, no existen rectas paralelas. El resultado fue queRiemanncreunanuevaGeometra tantily buenacomo laGeometrade Euclides. El matemtico ruso Lobachevsky (1793 1856) hizo algosimilar,creandounatercerageometra.LaGeometradeRiemanny ladeLobachevskysonconocidasconelnombredeGeometrasnoEuclidianas.

En el frontis de LA ACADEMIA(Institucin formada por Platnpara el cultivo de las Ciencias),aparecauna inscripcin, lacualdeca: Qu nadie ignorante enGeometrapaseporestapuerta.

* Platn (427 347 A.C.),notablefilsofogriego.



Cuando una teora ha sido desarrollada sistemticamente partiendo deconceptos primitivos y axiomas, se dice que esta teora ha sido construidausando el Mtodo Axiomtico. El primero en introducir este mtodo fueEuclides en su trascendental obra de geometra que lleva el nombre de LosElementos. Sin embargo, Euclides no se dio cuenta de la existencia deconceptosprimitivos.DavidHilbert(18621943)fueelprimeroenreconstruirlaGeometra de Euclides exitosamente en forma axiomtica, lo hizo usando 6conceptosprimitivosy21postulados.

POSTULADOS

Tenemosunconjuntonovaco E acuyoselementoslesllamaremospuntos.En E sedistinguendosfamiliasdesubconjuntosnovacos,lafamiliadelasrectasylafamiliadelosplanos.Nodefinimosloqueesunpunto,unarectaounplano.Estos son nuestros conceptos primitivos. A E, que es el conjunto formado portodoslospuntos,lollamamosespacio.Esteesnuestroconjuntouniversal.

Postuladodeladistancia:SiPyQsondospuntos,entoncesexisteunnmerorealdenominadodistanciaentrePyQyquesedenotad(P,Q)talque:

a) ( ) d P, Q 0, P, Q " Eb) d(P,Q)=0 PesQc) ( ) ( ) d P, Q d Q, P , P,Q = " Ed) (Desigualdadtriangular)

( ) ( ) ( ) d P, S d P, Q d Q, S P, Q, S + " E

Postuladodelaregla(CantorDedekind):Si L esunarectaysiP0yQ0 sondos puntos diferentes de L, entonces existe unacorrespondenciabiunvocaentrelospuntosde L ylosnmerosrealestalque:

a) Al punto P0 le corresponde el nmero real 0 y a Q0, elnmeroreal1.

b) Si al punto P le corresponde el nmero real x y a Q elnmerorealy,entonces:d(P,Q)=|x y|

S

P

Q

d(P,S) d(P,Q)

d(Q,S)



Todarectatieneinfinitospuntos.

Definicin: Un sistema de coordenadas unidimensional es unacorrespondencia, como la descritaenel postulado2.El puntoP0eselorigendelsistemadecoordenadas.Lacoordenadadeunpuntoeselnmerorealquelecorresponde.

Definicin: Sean P, Q y S tres puntos diferentes de L. El punto Q estentrePyScuandod(P,S)=d(P,Q)+d(Q,S).Estosedenota:PQS

Definicin: El segmento cerrado de la recta L de extremos P yQ es elconjunto:

{ } PQ PQ P,Q = LalongituddePQydePQeselnmero PQ=d(P,Q).

Siomitimoslosextremossedenominasegmentoabierto.Si una recta L es perpendicular en el punto medio a unsegmento,entonces L eslamediatrizdedichosegmento.

Definicin: Dos segmentos cualesquiera, PQ y P 'Q ' son congruentes(PQ P'Q ' @ ) PQ P'Q ' = .

Teorema1: Si P y Q son dos puntos diferentes de la recta L, entoncesexisteunpuntoCdelarecta,talqueCestentrePyQ.

Demostracin: Sean x e y las coordenadas de P y Q respectivamente.

Supongamosquex



Corolario: Entre dos puntos diferentes de una recta, existen infinitospuntosdelarecta.

Postulado: DadosP yQ,dos puntos diferentescualesquierade E,existeunanicarecta L,talqueP,Qen L.Enestecasodenotaremosa L conPQydiremosque L eslarectaquepasaporPyQoque L eslarectadeterminadaporPyQ.

Teorema2: Si dos rectas diferentes se intersectan, entonces suinterseccinesunpunto.

Definicin: SeaAyBdospuntosdeunarecta L elrayoAB eselconjuntoqueresultadelaunindelsegmento AB ydetodoslospuntosCtalesqueBestentreAyC.. LadefinicinderayoABseescribir:

{ } AB AB C / BestentreAyC = . Lasdospartesdelrayoserepresentanas:

. SiunpuntoAestentreByCsedicequeAB yACsonrayosopuestos.Lasiguientefigurailustraesteconcepto:

. SiaunrayoABseleomitesuorigen,alconjuntodepuntosrestantesseledenominasemirectaABysedenotaAB.

NGULOS

Definicin: Sedenominanguloalaunindedosrayosnocolinealesquetienenelmismoorigen.Si losrayosson:AByACentonceselnguloBACsedenota BAC ={ABUAC}

Aeselvrticedelngulo,AByACsonlosladosdelngulo.Lapartesombreadaeselinteriordelnguloy los puntos del plano que no pertenecen ni alngulo ni a su interior constituyen el exterior delngulo.

A B C

C A B

AC AB

AC

B



Bisectriz:Eselrayoquedividealnguloendosnguloscongruentes.

Postuladodelamedidadeunngulo.AcadanguloBAClecorrespondeunniconmerorealrcomprendidoentre0y180,denominadolamedidadelngulo,talquem



Postuladodelsuplemento

Sidosngulosformanunparlineal,entoncessonsuplementarios.

EnlaFigura:

CONJUNTOS CONVEXOS

Definicin: Un conjunto A de puntos se denomina conjunto convexo,cuando todo segmento determinado por dos puntoscualesquierade A,estcontenidoen A.

* A esconjuntoconvexo P, Q , PQ " A A

Enlas figuras(1)y(2)semuestranconjuntosconvexos,encambioenlafigura(3)seharepresentadounconjuntonoconvexo.

Fig.1 Fig.2 Fig.3

Ejemplos:Conjuntos convexos: Una recta, un rayo, un segmento de recta, un crculo, elinteriordeunngulo,unaesfera,etc

Conjuntosnoconvexos:Elexteriordeunngulo,unngulo,unacircunferencia,elexteriordeuncuadrado,elexteriordeunaesfera,etc

P

QP

QQ

P

O

A B

C

D

AOB , BOC , COD sonngulosconsecutivos.



ParticindeunConjunto

Sedenominaparticindeunconjunto A acualquiercoleccindesubconjuntosde A, ninguno de los cuales es vaco y tales que cada elemento de Aperteneceaslounodeestossubconjuntosde A.

. Si una circunferencia C est contenida en un plano H, R1 y R2 sonrespectivamenteel interioryelexteriordelacircunferencia,unaparticinresultantedelplano H es{R1, C,R2,}.

. SiOesunpuntodeunarecta L yOAyOB sonrespectivamentelasdos

semirectas resultantes, entonces la correspondiente particin es

{OA,O,OB}

Postuladodelaseparacindepuntosdeunplano

Si una recta L est contenida en un plano H, entonces lospuntosdelplanoquenopertenecena la rectaconstituyendosconjuntosdisjuntosdenominadossemiplanos H 1y H 2.

Talesque:

a) H 1y H 2sonconjuntosconvexos.b) Si 1 2P yQ PQ f H H L c) H1, H 2y L formanunaparticindelplano H: { H 1, L, H 2}

R1

C

R2 H

H 2

H 1P

Q

O

H

sr L

OA B



Sedenominaa L comolaaristadelosdossemiplanos.Postuladodelaconstruccindeunngulo.

SiABesunrayodelaaristadelsemiplano H yresunnmerorealtalque0 3y4x>3(5x150)

450>11x450

x11

>

40,9>x x=40

2. Determinarelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:I. Algunadiferenciadedosconjuntosnoconvexos,esunconjuntoconvexo.II. SiTesunaregintriangularyEesuncirculo,talqueT E= f ,entonces

T E,esunconjuntoconvexo.III. Si la unin de dos conjuntos es un conjunto convexo, entonces los

conjuntossonconjuntosconvexos.

Solucin:I) VII) VIII) F

ABB

C

x+2y4x3y

O



3. Enlafigura,sixasumesumnimovalorentero.Halley.

Solucin:*x+y+xy+2x+y=1804x+y=180 y=1804x

*xy>0 x>yx>1804xx>36 x=37

\ y=1804(37)=32

4. Determinarelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:I. Una region triangular de la que se han omitido los puntos medios de sus

lados,esunconjuntoconvexo.II. Elrayoesunconjuntoconvexo.III. En un crculo en cuyo contorno se han omitido dos puntos diametralmente

opuestos,esunconjuntoconvexo

Solucin:

I) FII) VIII) V

5. Las medidas de tres ngulos adyacentes AOB, BOC y COD forman unaprogresin aritmtica. Si m BOC 40 = , entonces la medida del ngulo quedeterminanlasbisectricesdelosngulosAOByCODes

Solucin:

r rx 20 40 20

2 2 = - + + +

x=80

A

B

C

xy

x+y 2x+y

DO

O

r20

2 -

A

BD

C

r20

2 -

r20

2 + r

202

+

40

x



6. Enlafigura, 1 2//sur sur L L .Hallex

Solucin:x=120+20x=140

7. Lasmedidasde2ngulosestanenlarelacinde1a3.Siladiferenciaentresuscomplementos es un octavo de la suma de sus suplementos. Halle elcomplementodelmenorngulo.Solucin:Sean a y b lasmedidasdelosngulos.

k13 3k

a = a =

b b =

( ) ( ) ( ) 190 90 180 1808

- a - - b = - a + - b 18 a =

Complementode 90 18 72 a = - =

8. Enlafigura 1 2//sur sur L L .Hallex.

Solucin:x 50 a + q = +

180x=x+50130=2xx=65

BIBLIOGRAFA:

1. Edwin Moise, Floyd Downs, Geometra Moderna, Fondo EducativoInteramericano,Edicin1970.

2. MichelHelfgott,GeometraPlana,EditorialEscuelaActiva,1982

3. ProfesoresCEPREUNICursodeGeometraPlanaEdicin 2002.

1

surL

2

suur L

A

B

C

D

110

130

160

x

1

surL

2

suur L

A

B

C

D

110

130

160

x

70

50120

120E

20

A

BD

C 2suur L

1

surL

a

q x

q

50

a



4. SeminarioCEPREUNI

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