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04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 1
Campo gravitatorio
Fuerzasgravitatorias
Estudio delcampo gravitatorio
Ley de la gravitación universal
Descripción del campo gravitatorio
Representación del campo gravitatorio
Determinación del campo gravitatorio
Concepto de campo Campos de fuerzas
Campo gravitatorio
Fuerzasgravitatorias
Estudio delcampo gravitatorio
Ley de la gravitación universal
Descripción del campo gravitatorio
Representación del campo gravitatorio
Concepto de campo Campos de fuerzas
Tema 2: CAMPO GRAVITATORIO
La Tierra en el universo
Modelos del universo
Visión actual del universo
Interacción gravitatoria
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1. La Tierra en el universo
Desde la más remota antigüedad ha existido en la Tierra la preocupación por dar una explicación razonable al movimiento de los cuerpos celestes que se ven en el cielo.
Históricamente, ha existido dos modelos : el modelo geocéntrico y el modelo heliocéntrico.
Modelo geocéntrico Modelo heliocéntrico
Aristóteles (s.IV a.C.)
C. Ptolomeo (s.II d.C.)
N. Copérnico (1473 – 1542 )Galileo Galilei (1564 – 1642)
J.Kepler (1571 – 1630 )
I. Newton (1642 – 1727 )
Modelos del universo
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Johannes Kepler, fue un astrónomo alemán (Württemberg, 1571-Ratisbona, 1630) al que se deben las tres leyes que describen el movimiento de los planetas de nuestro sistema solar.
Leyes de Kepler
Partidario de la teoría heliocéntrica de Copérnico, Kepler en principio supuso que las órbitas planetarias eran perfectamente circulares, y se propuso perfeccionar el sistema de Copérnico ayudándose de las observaciones de Marte que había hecho, durante más de 20 años el danés Tycho Brahe (1546-1601), así como en sus propias observaciones.
En resumen, descubrió tres hechos fundamentales en el movimiento planetario alrededor del Sol que podrían describirse de la manera que se expone a continuación.
Durante varios años realizó prolijos cálculos sobre la manera de obtener parámetros de las orbitas planetarias, hasta llegar al convencimiento de que había de desecharse la idea de que fueran circulares.
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Primera Ley: Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.
Eje menor
Eje mayor
semieje mayor FocosSol
Planeta
perihelioafelio
APPLET 1ªLey Fendt
Leyes de Kepler A.Franco
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Tercera Ley:
Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.
Segunda Ley: El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.
tt
Áreas iguales
APPLET 2ªLey Fendt
APPLET 2ªLey
APPLET 3ªLey
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Las leyes de Kepler suponen una descripción cinemática del movimiento de los planetas alrededor del Sol o de los satélites alrededor de un planeta.
El mismo año de la muerte de Galileo nació Isaac Newton. Newton supuso que el hecho de que la Luna gire alrededor de la Tierra en lugar de salir despedida en línea recta se debe a la presencia de una fuerza que la empuja hacia la Tierra y la hace describir una trayectoria cerrada ( circunferencia , elipse ). Llamó a este fuerza gravedad y supuso que actuaba a distancia, pues no hay nada que conecte físicamente la Tierra y la Luna.Demostró que esta fuerza es la misma que hace caer sobre la Tierra un objeto que se encuentre en sus proximidades.
"If I have been able to see further, it was only because I stood on the shoulders of giants" - Sir Isaac Newton
Todo esto lo vislumbró Newton a partir del conocimiento de la leyes de Kepler y de los trabajos de Galileo, Copérnico, Tycho Brahe, …..
Si he sido capaz de ver más lejos, era sólo porque estuve de pie sobre los hombros de gigantes.
"If Nature and Nature's laws lay hid in night;
God said, Let Newton be! and all was light."
El poeta inglés Alexander Pope escribió este epitafio para Newton:
"La Naturaleza y las leyes de la Naturaleza yacen ocultas en la noche;
Dijo Dios ¡hágase Newton! y todo fue luz." Applet Lanzamiento Newton
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Visión actual del universo
La astronomía clásica se ha ocupado desde los tiempos de la antigua Grecia de conocer como funciona el universo.Gracias a Aristóteles, Ptolomeo, Copérnico, Galileo, Brahe, Kepler y Newton conocemos el funcionamiento del universo a corto plazo ( unos 50 000 años hacia el pasado o hacia el futuro).(El astrónomo inglés E.Hillary pronosticó en 1705 que el año 1758 el cometa Halley pasaría cerca de la Tierra).
Sin embargo las revolucionarias teorias de la mecánica cuántica y de la relatividad han sugerido perspectivas más ambiciosas en lo que podríamos llamar adivinación del pasado y del futuro.
La Física determinista: Si conocemos todas las causas que influyen en el movimiento de un sistema es posible determinar completamente el futuro de este sistema.
La teoría de la relatividad destruyó el principio determinista de la física newtoniana. El postulado: Ningún fenómeno físico puede superar la velocidad de la luz, imposibilita la predicción completa del futuro.
A pesar de estas limitaciones , hoy en día los científicos han establecido afirmaciones difícilmente discutibles, como la teoría del big bang para explicar el origen del universo o la existencia de los agujeros negros.
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Arno Penzias junto con Robert Wilson, por su descubrimiento accidental en 1964 de la radiación cósmica de fondo de microondas o CMB recibieron el Nóbel de Físca del año 1978. Mientras trabajaban en un nuevo tipo de antena en los Laboratorios Bell en Holmdel, Nueva Jersey, encontraron una fuente de ruido en la atmósfera que no podían explicar. Luego de afinar la recepción de la antena, el ruido fue finalmente identificado como CMB, lo cual confirmaba supuestos planteados por la teoría del Big Bang.
Teoría del big bang ( La gran explosión) se inscribe en el marco de la adivinación científica. Nos explica el origen del universo a partir de una gran explosión, lo que nos llevaría a pensar que el universo está en expansión.
Hay datos experimentales, como el corrimiento hacia el rojo y la radiación cósmica de fondo de micoondas , que avalan esta teoría.
En cosmología, la radiación de fondo de microondas (en inglés Cosmic Microwave Background o CMB) es una forma de radiación electromagnética descubierta en 1964 que llena el Universo por completo. También se denomina radiación cósmica de microondas o radiación del fondo cósmico. Tiene características de radiación de cuerpo negro a una temperatura de 2,725 K y su frecuencia pertenece al rango de las microondas con una frecuencia de 160,2 GHz, correspondiéndose con una longitud de onda de 1,9 mm. Muchos cosmólogos consideran esta radiación como la prueba principal del modelo cosmológico del Big Bang del Universo.
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Esta radiación es una predicción del modelo del Big Bang, ya que según este modelo, el universo primigenio era un plasma compuesto principalmente por electrones, fotones y bariones (protones y neutrones). Los fotones estaban constantemente interactuando con el plasma. Los electrones no se podían unir a los protones y otros núcleos atómicos para formar átomos porque la energía media de dicho plasma era muy alta, por lo que los electrones interactuaban constantemente con los fotones mediante el proceso conocido como dispersión Compton. A medida que el universo se fue expandiendo, el enfriamiento adiabático (del que el corrimiento al rojo cosmológico es un síntoma actual) causado porque el plasma se enfrie hasta que sea posible que los electrones se combinen con protones y formen átomos de hidrógeno. Esto ocurrió cuando esta alcanzó los 3000 K, unos 380000 años después del Big Bang. A partir de ese momento, los fotones pudieron viajar libremente a través del espacio sin colisionar con los electrones dispersos. Este fenómeno es conocido como Era de la recombinación y descomposición, la radiación de fondo de microondas es precisamente el resultado de ese periodo. Al irse expandiendo el universo, esta radiación también fue disminuyendo su temperatura, lo cual explica por qué hoy en día es sólo de unos 2,7 K. La radiación de fondo es el ruido que hace el universo. Se dice que es el eco que proviene del fin del universo, o sea, el eco que quedó de la gran explosión que dio origen al universo.
De acuerdo con observaciones astronómicas existen zonas del universo en las cuales no se detecta ópticamente ningún cuerpo celeste; sin embargo, indirectamente se aprecia un efecto gravitatorio muy absorbente en las estrellas que se aproximan a ella. Dichas zonas se conocen con el nombre de agujeros negros , que representan todavía uno de los enigmas pendientes de ser resueltos.
El futuro del universo: el proceso expansivo es indefinido o por el contrario se detendrá y comenzará la implosión del universo. Esta cuestión todavía no está resuelta.
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2. Fuerzas gravitatoriasEn su célebre obra Philosophiae Naturalis Principia Mathmatica ( Principios Matemáticos de la Filosofía Natural) expuso Newton su Ley de la gravitación universal para explicar el modelo heliocéntrico del universo.
Cuando lanzamos un objeto hacia arriba vuelve a caer sobre la superficie de la Tierra debido a que ésta lo atrae. De la misma manera, la Tierra atrae a la Luna o la propia Tierra es atraída por el Sol. En general, dos cuerpos cualesquiera, por el hecho de tener masa, se atraen con cierta fuerza gravitatoria
Fue el científico inglés Isaac Newton, quien en el siglo XVII, formuló matemáticamente, mediante la LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL, la interacción gravitatoria entre dos cuerpos cualesquiera del universo.
Dos partículas materiales se atraen mutuamente con fuerzas dirigidas a lo largo de la línea que las une y cuyo módulo es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
2.1. Ley de la gravitación universal
m1 m22,1F
1,2F
1u
2u
r
1 22,1 22
m mF G u
r
1 21,2 12
m mF G u
r
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m1 m22,1F
1,2F
1u
2u
r
1 22,1 22
m mF G u
r
1 21,2 12
m mF G u
r
Estas fuerzas siempre se presentan a pares y son iguales y opuestas: 1,2 2,1F F
El módulo de ambas es:1 2
1,2 2,1 2
m mF F G
r
2.1. Ley de la gravitación universal (Cont.I)
¿Qué es G? ¿Cuánto vale?
Proporcionalidad directa
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La constante de proporcionalidad G recibe el nombre de constante de gravitación universal
211
2
N mG 6,67 10
kg
Su valor es independiente del medio que rodea a las masas y es el mismo para cualquier pareja de masas del universo.
Un siglo después de que Newton enunciara su ley, el científico inglés Cavendish midió su valor mediante una balanza de torsión:
Ley de la gravitación universal (Cont.II)
A finales del mes de abril de 2000, un grupo de investigadores de la Universidad del Estado de Washintong ha presentado en la reunión de la Sociedad Americana de Física, en California, un valor de con un error del 0,0015%. 2
112
N mG 6,6739 10
kg
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La ley de la gravitación universal sólo es aplicable a masas puntuales.
Para aplicarla a cuerpos con cierto volumen, como la Tierra o la Luna, supondremos que toda su masa está concentrada en su centro, de manera que r es la distancia entre sus centros.
r
Luna,TierraF
Tierra ,LunaF
Tierra LunaTierra ,Luna Luna,Tierra 2
m mF F G
r
Ley de la gravitación universal (Cont.III)
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Actividad : 8 de la página 57
Datos: m1 =250 g = 0,250 Kg; m2 = 0,250 kg; d = 10 cm = 0,10 m ;
2
2
N m
kg
;
Aplicando la ley de Newton de la Gravitación Universal obtendremos el valor de la fuerza que nos piden:
1 22
m mF G
r
G=6,67·10–11
112
0,25 0,256,67 10
0,10
104,2 10 N
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Actividad : 10 de la página 57
Datos: m1 = m2 = 2 kg; F =10–7 N; G = 6,67·10-11 2
2
N m
kg
Aplicamos la ley de Newton de la Gravitación Universal:
1 22
m mF G
r
1 2G m mr
F
despejando la distancia r :
11
7
6,67 10 2 2
10
25,2 10 m
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Actividad : 11 de la página 57Datos: (–2,4) m1 = 3 kg ; ( 5, –1) m2 = 1,5 kg ; 11 2 2G 6,67 10 N m kg
2
x (m)
y (m)
4-2 6
2
4
6
-20
012F21F
m2
m1
1u
12F
2r1r
a) Dibujamos un esquema de unos ejes coordenados con las masas y las fuerzas:
: Fuerza que 1 ejerce sobre 221F
: Fuerza que 2 ejerce sobre 1
1u
: vector unitario en la dirección que une las masas y sentido de 1 a 2
Estas fuerzas, según la 3º Ley de Newton (Principio de interacción o de acción y reacción)
tienen que ser iguales en módulo y dirección y de sentido contrario
2r
1r
: vector de posición de la masa 1 : vector de posición de la masa 2
1r ( 2 i 4 j) m
2r (5 i j) m
Mediante el algebra vectorial podemos calcular la distancia entre las masas. Llamaremos r
al vector de posición de la masa 2
respecto de la masa 1:
2 1r r r (5 i j) ( 2 i 4 j) (7 i 5 j) m
El módulo de este vector nos da la distancia r entre las masas: 2 2r r 7 ( 5) 8,6 m
Calculamos el vector unitario :1u
1
r (7 i 5 j)u 0,81 i 0,58 j
r 8,6
Ahora aplicando la ley de Newton de la Gravitación Universal (pág.56) podemos calcular la fuerza con que la masa 1 a trae a la masa 2:
1 212 12
m mF G u
r
11( 0,33 i 0,24 j) 10 N
b) Como dijimos antes, las fuerzas y son iguales y
opuestas: 12F
21F
1121 12F F (0,33 i 0,24 j) 10 N
c) El módulo de estas fuerzas vale:2 2 11 11
12 21F F ( 0,33) 0,24 10 0,40 10 N
Ya dimos la justificación por la que estas fuerzas tienen que ser iguales ( en módulo y dirección): el principio de interacción o 3ª ley de Newton.
112
3 1,56,67 10 (0,81i 0,58 j)
8,6
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Actividades para el próximo día:
* 1 y 2 de la página 53
* 7 de la página 57
* 37, 46 ,47 y 48 de la página 72
* Ver Ejemplo1 resuelto en la página 57
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3. Concepto de campo
Sabemos que el Sol ejerce una fuerza de atracción gravitatoria sobre los planetas que giran a su alrededor. Ésta es una fuerza a distancia, pues no hay contacto entre el Sol y los planetas.
Para explicar estas fuerzas a distancia admitimos que el Sol perturba (modifica) de algún modo el espacio que lo rodea, de manera que se produce una fuerza sobre los cuerpos que están a su alrededor.
Podemos decir que cuando un planeta gira alrededor del Sol es debido a que el Sol “tira” de él, a través de los millones de kilómetros de espacio vacío e inerte, usando para ello un concepto denominado “acción a distancia”, es decir, esta misteriosa capacidad de lograr que un cuerpo afecte a otro sin que “haya nada en medio”. No obstante otra forma más física de interpretar el mismo suceso es suponer que el Sol crea algún tipo de perturbación, crea una entidad que hace que, cuando un planeta se sitúa en el mismo espacio, éste se sienta atraído. A esta perturbación es a la que se denomina campo.
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 19
Para profundizar en el concepto de campo, veamos el símil siguiente:
Imaginemos una superficie horizontal elástica y tensa como la de la figura.
Si colocamos en un punto un cuerpo suficientemente ligero, la superficie no se deformará y el cuerpo permanecerá en ese punto
Si antes de colocar el cuerpo ligero, colocamos en el centro de la superficie un cuerpo suficientemente pesado, ésta se deformará
3. Concepto de campo (Cont.I)
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Si ahora colocamos el cuerpo ligero en el mismo lugar que antes, comprobaríamos que sobre él actúa una fuerza como si fuera atraído por el cuerpo pesado.
El cuerpo pesado produce una deformación (perturbación) en la superficie, dotándola de cierta propiedad en cada uno de sus puntos que antes no tenía : esto es, crea un campo.
3. Concepto de campo (Cont.II)
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Llamamos campo a la perturbación real o ficticia del espacio determinada por la asignación a cada punto del valor de una magnitud
Si la magnitud es escalar, se trata de un campo escalar : campo de temperatura, campo de alturas, ….
Si la magnitud es vectorial, se trata de un campo vectorial : campo de velocidades, campo de fuerzas, ….
Decimos que existe un campo de fuerzas en un lugar del espacio si, al colocar en él un cuerpo de prueba, éste queda sometido a una fuerza.
Los campos de fuerzas pueden ser:
uniforme
(en ellos los vectores fuerza tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido en todos los puntos)
centrales
(en ellos las direcciones de todos los vectores fuerza convergen en un mismo punto llamado centro del campo)
3. Concepto de campo (Cont.III)
El campo gravitatorio de la Tierra es un ejemplo de campo de fuerzas centrales
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Campos conservativos.
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula desde un punto A a otro punto B depende sólo de los puntos inicial y final, pero no del camino seguido.
El campo gravitatorio es conservativo.
El trabajo que tenemos que hacer para subir la caja desde el suelo a la plataforma, venciendo las fuerzas del campo gravitatorio terrestre, es el mismo tanto si lo subimos verticalmente (por la izquierda) como si nos ayudamos de una rampa (por la derecha)
Con la rampa será más cómodo (necesitamos menos fuerza pero recorremos una distancia mayor), pero el trabajo realizado es el mismo ya que, en ambos casos, los puntos inicial y final coinciden.
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 23
De la definición de campo conservativo se deducen dos propiedades:
Campos conservativos. Energía potencial
Si tuvímos que hacer un trabajo de 300 J para subir la caja venciendo la fuerza del campo gravitatorio, el trabajo realizado por la fuerza del campo en la subida es de – 300 J.
Para que la caja vuelva al suelo, no es necesario aplicar ninguna fuerza externa, el cuerpo cae por la acción del campo gravitatorio, realizando un trabajo de 300 J.
El trabajo total realizado por la fuerza del campo gravitatorio será la suma del realizado por él en la subida más el realizado en la bajada:
►El trabajo que realiza el campo en una trayectoria cerrada (el punto final e inicial coinciden) es cero.
Total subida bajadaW W W 300 J 300 J 0(El campo gravitatorio es conservativo porque nos devuelve el trabajo que tenemos que realizar para vencerle)
(Las fuerzas de rozamiento no son conservativas: no nos devuelven el trabajo que tenemos que realizar para vencerlas)
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 24
►El trabajo que realiza el campo puede expresarse como la variación de cierta magnitud entre los puntos inicial y final. Esta magnitud recibe el nonbre de ENERGÍA POTENCIAL.
El trabajo que realiza el campo sobre una partícula que se desplaza desde un punto inicial A a otro punto final B
=
Variación que experimenta la energía potencial de la partícula entre los puntos inicial A y final B
Matemáticamente: BA A BW Ep Ep ΔEp
El nombre de fuerzas conservativas obedece a que, si sobre un cuerpo únicamente actúan fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva constante.
Como la energía mecánica es la suma de la cinética más la potencial, si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, se cumple en toda momento que:
A A B BEc Ep Ec Ep
Campos conservativos. Energía potencial (Cont.I)
La energía mecánica (suma de la cinética y la potencial) en cualquier punto A
tiene que ser igual que a la energía mecánica en cualquier otro punto B
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Para el campo gravitatorio se define la energía potencial gravitatoria Ep de una masa m situada en un punto de un campo creado por la masa M como el trabajo que tiene que realizar el campo gravitatorio para trasladar la masa m desde dicho punto hasta el infinito.
M mr
Infinito
La masa M no interacciona con la masa m
∞
A partir de la expresión anterior:BA A BW Ep Ep ΔEp
se puede deducir que la energía potencial gravitatoria de la masa m cuando se encuentra a una distancia r de la masa M nos viene dada por la expresión:
M mEp G
r
La energía potencial gravitatoria vemos que siempre será negativa, ya que su máximo valor lo alcanza cuando la masa m está infinitamente alejada de M, y en ese punto se le asigna un valor cero.
Como todas las energías, la potencial gravitatoria se mide en Julios en el S.I.
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 26
Calcula la energía potencial gravitatoria de un satélite artificial de 2400 kg de masa, que orbita alrededor de la Tierra a una altura de 35900 km.
Actividad 1 :
p
h = 35900 km
Datos: h = 35900 km = 3,59·107 m; m= 2400 kg ; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg;
G = 6,67·10─11 2
2
N m
kg
RT = 6,37·106 m
Para calcular la energía potencial gravitatoria del satélite aplicamos la expresión que hemos visto en la diapositiva anterior:
M mEp G
r
donde r = h +RT r = h + RT
Calculamos r:
7 6Tr h R 3,59 10 6,37 10 74,23 10 m
Finalmente calculamos la Ep:
2411
7
6 10 2400Ep 6,67 10
4,23 10
102,27 10 J
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 27
¿Qué energía potencial gravitatoria tendría el satélite anterior si la altura a la que orbita es de 20000 km ?
Actividad 2 :
Datos: h = 20000 km = 2·107 m; m= 2400 kg ; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg;
G = 6,67·10─11 2
2
N m
kg
M mEp G
r
Se trata del mismo ejercicio de la diapositiva anterior, sólo que varía la altura:
2411
7 6
6 10 24006,67 10
2 10 6,37 10
103,64 10 J T
M mG
(h R )
Actividad 3 :¿Qué energía necesitaría el satélite para subir desde los 20000 km hasta los 35900 km?
Vimos que en un campo conservativo, como el gravitatorio, el trabajo (la energía) que realiza la fuerza del campo está relacionado con la disminución que experimenta la energía potencial gravitatoria: B
A A BW Ep Ep ΔEp Si llamamos A (situación inicial) cuando el satélite está a 20000 km y B a 35900 km (situación final): 10
AEp 3,64 10 J 10BEp 2,27 10 J
Aplicamos la ecuación anterior para calcular la energía necesaria:BA A BW Ep Ep 10 103,64 10 J ( 2,27 10 J) 101,37 10 J
El signo negativo nos indica que las fuerzas del campo se oponen a que el satélite suba desde los 20000 km hasta los 35900 y por tanto necesitaremos de una fuerza externa para subir al satélite.
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 28
4.Estudio del campo gravitatorio
Llamamos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener masa
Cualquier otra masa situada en esta región del espacio, interacciona con el campo y experimenta una fuerza gravitatoria.
4.1 Descripción del campo gravitatorio
• una vectorial, Intensidad de campo gravitatorio en un punto del campo,
• otra escalar, Potencial gravitatorio en un punto del campo, Vg
g
El campo gravitatorio, es un campo de fuerzas centrales (radiales) y por tanto conservativo
Los campos gravitatorio se describen mediante dos magnitudes:
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 29
• La Intensidad de campo gravitatorio, g
, en un punto del campo es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa situada en ese punto.
Matemáticamente podemos escribir:
Fg
m
Unidad en el S.I.
1NN kg
kg
La masa M crea a su alrededor un campo gravitatorio:
M
ru
g
u
m
g
gg
g
g
g
g
Aplicando la ley de la gravitación:
Fg
m
2
MG u
r
M m
G
2 u
rm
El módulo de este vector es:
Fg
m 2
MG
r
El signo menos es debido a que los vectores y tienen sentidos contrarios
g
u
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• Intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas en un punto del campo
1g
2g
g
P
M2
M1
1 2g g g
El campo gravitatorio resultante en el punto P es la suma vectorial del campo gravitatorio creado por las masas M1 y M2 :
Cuando existen varias masas se cumple el principio de superposición:
2u
1u
11 12
1
Mg G u
r
r1
r2
22 22
2
Mg G u
r
La intensidad de campo resultante en un punto será la suma vectorial de las intensidades de campo debidas a cada masa en ese punto.
112
1
MG u
r
122
2
MG u
r
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M
r
• El Potencial gravitatorio Vg , en un punto del campo es la energía potencial gravitatoria que tiene la unidad de masa situada en ese punto.
Matemáticamente podemos escribir:
g
EpV
m
Unidad en el S.I.
1JJ kg
kg
La masa M crea a su alrededor un campo gravitatorio:
m
A partir de la expresión de la energía potencial :
g
EpV
m
M mG
r
m
MG
r
Hemos obtenido una expresión para el potencial gravitatorio:
g
MV G
r
Al igual que la energía potencial, el potencial gravitatorio siempre es negativo ( o cero).
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 32
M1
M2
r1
• Potencial gravitatorio Vg en un punto del campo creado por varias masas
1
1g
1
MV G
r
Cuando existen varias masas se cumple el principio de superposición y el potencial en un punto es la suma algebraica del potencial que cada masa crea en ese punto:
r2
PLa masa M1 crea en el punto P un potencial gravitatorio Vg 1:
2
2g
2
MV G
r
La masa M2 crea en el punto P un potencial gravitatorio Vg 2:
El potencial gravitatorio Vg en el punto P será la suma algebraica de los potenciales Vg 1 y Vg 2:
1 2
1 2g g g
1 2
M MV V V G G
r r
También se puede definir el Potencial gravitatorio Vg en un punto del campo como el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto al infinito.
04/12/23 IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2 33
BA A BW Ep Ep
La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo gravitatorio lo podemos relacionar con el trabajo que realiza el campo para trasladar a la masa m desde el primer punto al segundo:Vimos que:
A partir de la definición de potencial de la diapositiva anterior, podemos escribir que:
g
EpV
m
gEp m V
Sustituyendo en la expresión anterior:BA A BW Ep Ep A Bm V m V
Y sacando factor común la masa nos queda:BA A BW m (V V )
AV
BV
m
El trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio en este desplazamiento de la masa m es igual al producto de la masa por la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final:
BA A BW m (V V )
Esta expresión es válida sea cual sea el camino que haya seguido la masa m para ir desde el punto A al B.
Región del espacio en la que existe un campo gravitatorio
A
B
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Calcula el valor de la intensidad del campo gravitatorio que crea una masa puntual de 200 kg en un punto P que dista de ella 40 cm.
Actividad 4 :
Datos: m = 200 kg ; r = 40 cm = 0,40 m; G = 6,67·10─11 2
2
N m
kg
M
r
Cuidamos de que todas las unidades estén expresadas en el S.I. y aplicamos la expresión que vimos en la diapositiva 29, que nos permite calcular el módulo (valor) de la intensidad de campo:
2
Mg g G
r
112
2006,67 10
0,40 8 N
8,34 10kg
Actividad 5 : Expresa vectorialmente la intensidad del campo gravitatorio que hemos calculado en la actividad anterior.
P
M
r
P
X
y Dibujamos unos ejes cartesianos con centro en la masa que crea el campo y dibujamos el vector y el vector unitario en la dirección y sentido masa que crea el campo al punto .
g
i g
u i
Finalmente aplicamos la ecuación de la intensidad de campo de la diapositiva 29:
2
Mg G u
r
2
MG i
r
8 N
8,34 10 ikg
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En el punto (3,0) m existe una masa puntual de 40 kg y en el punto (0,4) m otra de 80 kg. Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por ambas masas en el origen de coordenadas.
Actividad 6 :
Datos: (3,0) m ; M1 = 40 kg ; (0,4) m ; M2 = 35 kg ; G = 6,67·10─11 2
2
N m
kg
(3,0) m
X
yDibujamos unos ejes de coordenadas con los puntos y las masas.
(0,4) m
M1 = 40 kg
A continuación dibujamos los vectores campo creado por cada masa en el punto (0,0).
1g
2g
M2 = 80 kg
Ahora calculamos el valor de los vectores y . 1g
2g
11 1 2
1
Mg g G
r
112
406,67 10
3 10 N
2,96 10kg
22 2 2
2
Mg g G
r
112
806,67 10
4 10 N
3,34 10kg
Según el principio de superposición, el campo resultante en el origen de coordenadas será la suma vectorial del campo creado por cada masa.
g
Finalmente, podemos calcular el valor del vector aplicando el teorema de Pitágoras.g
2 221gg g 2 2 102,96 3,34 10 10 N
4,46 10kg
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Calcula potencial gravitatorio que crea una masa puntual de 200 kg en un punto P que dista de ella 40 cm.
Actividad 7 :
Datos: m = 200 kg ; r = 40 cm = 0,40 m; G = 6,67·10─11 2
2
N m
kg
M
r
Cuidamos de que todas las unidades estén expresadas en el S.I. y aplicamos la expresión que vimos en la diapositiva 31, que nos permite calcular el potencial gravitatorio:
MV G
r 11 200
6,67 100,40
8 J3,34 10
kg
Actividad 8 : ¿Cuánto dista el punto A de la figura de la masa M?
P
M = 350 kg
r
A8 1
AV 5 10 J kg Aplicamos la expresión anterior del potencial gravitatorio, despejando la distancia que nos piden:
MV G
r
Mr G
V 11
8
3506,67 10
5 10
0,47 m
Nos dan la masa M que crea el campo y el potencial creado por ella en un punto A que dista una distancia r de M.
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En el punto (3,0) m existe una masa puntual de 40 kg y en el punto (0,4) m otra de 80 kg. Calcular el potencial gravitatorio creado por ambas masas en el origen de coordenadas.
Actividad 9 :
Datos: (3,0) m ; M1 = 40 kg ; (0,4) m ; M2 = 35 kg ; G = 6,67·10─11 2
2
N m
kg
(3,0) m
X
yDibujamos unos ejes de coordenadas con los puntos y las masas.
(0,4) m
M1 = 40 kg
A continuación calculamos el potencia gravitatorio que cada masa crea en el punto (0,0).
M2 = 80 kg
11
1
MV G
r 11 40
6,67 103
10 J8,9 10
kg
22
2
MV G
r 11 80
6,67 104
9 J1,3 10
kg
Según el principio de superposición, el potencial gravitatorio resultante en el origen de coordenadas será la suma algebraica del potencial creado por cada masa.
21V VV 9 J2,19 10
kg 10 98,9 10 ( 1,3 10 )
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Los puntos A, B y C pertenecen a una región del espacio en la que existe un campo gravitatorio.
Actividad 10 :
Como el campo gravitatorio es un campo conservativo, aplicamos la expresión de la diapositiva 33 que nos relaciona el trabajo W con la diferencia de potencial:
A B C5 1
AV 3,6 10 J kg 4 1CV 1,8 10 J kg
a) ¿Qué trabajo realizarán las fuerzas del campo cuando un cuerpo de 20 kg de masa se desplace desde elpunto C al A?.
BA A BW m (V V ) A
C C AW m (V V ) En este caso
A 4 5CW 20 ( 1,8 10 ( 3,6 10 )) 32,9 10 J
b) ¿Qué nos indica que el trabajo del apartado anterior sea negativo?Que las fuerzas del campo gravitatorio se oponen a que la masa se desplace libremente desde C hasta A, y en consecuencia para conseguir ese desplazamiento tendremos que aplicar una fuerza externa que venza a la fuerza del campo.
c) ¿Es posible determinar, sin necesidad de hacer el cálculo numérico , que en el apartado a) obtendríamos
Como el VC es menor que el VA, cuando un cuerpo pasa de un punto de menor potencial a otro de mayor potencial, las fuerzas del campo SIEMPRE se oponen y harán un trabajo resistente (negativo).
un trabajo negativo?.
inicial
final
inicial
final
d) Calcular el potencial en B si el trabajo del campo para desplazar la masa de 20 kg desde B hasta C vale 1,44·10–3 J. Aplicamos la expresión:
CB B CW m (V V ) y despejamos VB :
CB C
B
W m VV
m
3 41,44 10 20 ( 1,8 10 )
20
4 11,08 10 J kg
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4.2 Representación del campo gravitatorio
Un campo de fuerzas, como el campo gravitatorio puede representarse por sus líneas de fuerzas o líneas de campo y por sus superficies equipotenciales
►Las líneas de fuerzas o líneas de campo son líneas imaginarias tangentes al vector intensidad de campo en cada punto.
Se trazan de modo que la densidad de líneas de campo sea proporcional al módulo del campo gravitatorio
M
Lineas de fuerzas del campo gravitatorio creado por una masa puntual M
Applet O.Casella
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Lineas de fuerzas del campo gravitatorio creado por un sistema de dos masas puntuales iguales
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►Al unir los puntos en los cuales el potencial gravitatorio tiene el mismo valor se obtienen las superficies equipotenciales.
•Las superficies equipotenciales son, en cada punto, perpendiculares a la línea de campo que pasa por ese punto.
•El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar cualquier masa de un punto a otro de la misma superficie equipotencial es nulo.
Ya que como vimos:BA A BW m (V V )
Y si A BV V se cumple que el trabajo es nulo :BAW 0
•Para una masa puntual, las superficies equipotenciales son superficies esféricas con centro en la masa.
Líneas de campo
Superficies equipotenciales
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Actividades para el próximo día:
* 14 de la página 59
* 15 y 16 de la página 61
* 18, 20 y 23 de la página 64
* 27 de la página 65
* 49, 52 , 53 y 54 de la página 72
* 56 de la página 73
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Modelo geocéntrico
Modelo heliocéntrico
Tierra
Planeta (Mercurio, Venus, ….)
Sol
