Campo gravitatorio

2. Dinmica del movimiento curvilneo. Fuerzas centrales. Momento de una fuerza respecto de un punto. Momento angular. Teorema de conservacin del momento angularPartimos de una masa m que se mueve siguiendo una trayectoria curvilnea. Su velocidad, tangente a la trayectoria puede variar en mdulo y en direccin: existen dos componentes de la aceleracin:

La aceleracin tangencial , responsable de la variacin del mdulo de la velocidad,

Y la aceleracin normal o centrpeta , responsable de la variacin de la direccin de la velocidad en cada momento y est dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria, (R = radio de curvatura).

R es el radio de curvatura de la trayectoria (radio de la circunferencia en una trayectoria circular)

fig.3. 1. aceleracin tangencial y normal

La fuerza , que acta sobre la partcula se puede descomponer en dos componentes perpendiculares: una fuerza tangencial y otra normal de forma que podamos escribir: y su mdulo,

2.1. Momento de una fuerza

El momento de una fuerza, F, aplicada en un punto P, con respecto a otro punto, O es un vector, cuyos mdulo, direccin y sentido son:1.- Mdulo, el producto de la fuerza por la distancia del punto a la lnea de accin de la fuerza.2.- Direccin, perpendicular al plano formado por el punto y la lnea de accin de la fuerza.3.- Sentido, el de avance de un sacacorchos que gire alrededor del punto en el sentido indicado por la fuerza.Dada una fuerza F, de componentes (Fx, Fy, Fz), aplicada en el punto P de coordenadas (x1, y1, z1); su momento con respecto al punto O, de coordenadas (x0, y0, z0) vendr

fig.3. 2. momento de F respecto a P

dado por el producto vectorial del vector r, vector de posicin de P respecto de O por el vector F, , es decir:

El mdulo del momento es:

Es independiente de la posicin en que se encuentre el vector fuerza en su recta directriz, siempre que no se cambie su sentido.

2.2. Momento angularEl momento angular, L, de una partcula de masa m que se mueve con una velocidad v, con respecto a un punto O es igual al producto vectorial de su posicin, r, respecto a dicho punto por su cantidad de movimiento, p.

fig.3. 3. momento angular

La direccin de L0 es perpendicular al plano que forman r y pEl sentido de L0 puede determinarse por la regla del avance del sacacorchos que gire de r a p por el camino ms corto.El momento angular no es una magnitud exclusiva del cuerpo, sino que depende del origen de referencia que se escoja.

En los movimientos circulares r y v son en todo momento perpendiculares. Al tener p la misma direccin que v; tambin son perpendiculares r y p; el seno de alfa es igual a la unidad y el momento angular tiene como mdulo el producto de la masa por la velocidad por el radio.

Si utilizamos las magnitudes angulares:

o bien, tenemos en cuenta que,

2.2.2. Momento angular en los movimientos curvilneosEn cualquier movimiento, la velocidad es tangente a la trayectoria y en cualquier punto podemos descomponerla en dos componentes, una radial, vr, en la direccin del vector de posicin, y otra transversal, vt, en la direccin perpendicular al vector de posicin. Con este razonamiento:

El primer sumando del segundo trmino es cero por ser los vectores r y vr paralelos; y siendo r y vt perpendiculares llegamos a:

Con la diferencia de que en este caso el valor de r no es constante.

3. Leyes de Kepler

1.- Todos los planetas se mueven en rbitas elpticas con el sol situado en uno de sus focos.

fig.3. 4. Movimiento de la Tierra alrededor del Sol

2.- La recta, r, que une un planeta con el Sol barre reas iguales en tiempos iguales. Por lo que la velocidad del planeta no es la misma en todos los puntos de su rbita. Es mayor en el perihelio y menor en el afelio.

3.- El cuadrado del perodo del movimiento de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.

k es la constante de proporcionalidad.

4. Teora de la Gravitacin universalLa Ley de gravitacin universal, que debemos a Newton, establece que: toda partcula material atrae a cualquier otra partcula con una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La lnea de accin de dicha fuerza es la recta que une las masas.

ur: representa un vector unitario que tiene la direccin de la lnea que une los centros de las masas. El signo negativo hace referencia al carcter atractivo de la fuerza.R representa la distancia entre los centros de las masas M y m..M y m: son las masas de las partculas materialesG es la constante de gravitacin universal de valor 6,671011 Nm2/kg2Dos masas de 1 kg separadas entre s 1 m se atraen con la fuerza de 6,671011 N.

5. Campo gravitatorio.Llamamos campo gravitatorio a la perturbacin que un cuerpo produce en el espacio por el hecho de tener masa.

Ahora bien, los campos gravitatorios se describen mediante dos magnitudes fundamentales: una vectorial, la intensidad del campo gravitatorio, g, y otra escalar, el potencial gravitatorio.

En el caso de que existan varias masas puntuales se cumple el principio de superposicin: el campo gravitatorio resultante en un punto es igual a la suma de los campos debidos a cada una de las masas en ese punto.

7. Fuerzas conservativasUna fuerza es conservativa si el trabajo que realiza al mover una partcula entre dos puntos A y B es independiente del camino que recorre la partcula para ir de A a B. Una fuerza es conservativa cuando el trabajo para llevar la partcula de A a B es igual y de sentido contrario que el trabajo para llevarla de B a A. Y una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza cuando el cuerpo sobre el que acta describe una trayectoria cerrada, volviendo a su posicin inicial, es nulo.

fig.3. 5. trabajo por distintos caminos

El trabajo que realiza el campo puede expresarse como la variacin de cierta magnitud entre los puntos inicial y final.

El nombre de fuerzas conservativas obedece a que, si sobre un cuerpo nicamente actan fuerzas conservativas, su energa mecnica se conserva constante.

8. Energa potencial gravitatoriaLa energa potencial gravitatoria de una masa m en un punto del campo gravitatorio es el trabajo, cambiado de signo, que realiza el campo gravitatorio para trasladar la masa m desde el infinito hasta dicho punto.

8.1. Potencial gravitatorio, V

El potencial gravitatorio en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto o tambin como la relacin que existe entre la energa potencial gravitatoria que adquiere un cuerpo de masa m al situarse en ese punto y el valor de dicha masa.En el caso de que existan varias masas puntuales, tambin se cumple el principio de superposicin.Ahora bien, si en lugar de la unidad de masa se traslada una masa m del punto A al punto B, el trabajo realizado por el campo gravitatorio ser:

9.1. Velocidad de escape en el campo gravitatorio terrestreEs la velocidad que debemos comunicarle a un cuerpo para que, lanzado desde la tierra escape a su atraccin y no caiga en ella nuevamente. Se conoce con el nombre de segunda velocidad csmica, siendo su valor es 11,2 km/s. La primera velocidad csmica es la de un satlite que gire alrededor de la Tierra con vuelo rasante a la superficie

Si la fuerza gravitatoria es conservativa y slo acta esta fuerza, la energa mecnica se conserva.

Si inicialmente lleva una velocidad v, y est en la superficie de la Tierra:

ya que A esta velocidad se la conoce con el nombre de segunda velocidad csmica, v2. Si queremos que una vez superada la gravitacin el satlite se mueva con una velocidad v, la energa inicial vendr dada por:

La primera velocidad csmica es la velocidad del satlite que orbita alrededor de la Tierra y justamente sobre su superficie, es decir, el radio de la rbita es el radio de la Tierra. Para que ello ocurra la fuerza de atraccin corresponde a la fuerza centrpeta:

9.2. Velocidad orbital de un satlite, vO

El perodo de revolucin del satlite, T, tiempo que tarda en recorrer una rbita ser,

Si queremos conocer los valores en funcin de la gravedad en la superficie terrestre, g0

Para conocer el perodo de revolucin, tendremos en cuanta que v = r y = 2/T

y si

9.3. Energa de un cuerpo en rbita

9.4. Energa necesaria para cambiar de rbita a un satlite

Si el resultado sea positivo la energa en la segunda rbita es superior a la de la primera y ser necesario suministrar energa al satlite; en caso contrario el satlite deber perder energa para cambiar de rbita.

9.5. Satlites geoestacionariosLlamamos satlite geoestacionario al que se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre: recorren su rbita en el mismo tiempo en que la Tierra efecta una rotacin completa. El perodo es de 24 horas.

El perodo de un satlite en rbita viene dado por la expresin:

Elevando al cuadrado y despejando, El radio obtenido es aproximadamente 42.233 km y la altura sobre la Tierra 35.863 km.

9.7. Energa necesaria para poner en rbita un satliteEn principio, para poner un satlite en rbita, hemos de colocarlo a una distancia r del centro de la Tierra (radio de la rbita) y despus comunicar al satlite energa para que describa la rbita. Ya hemos calculado la energa que posee un satlite en una rbita circular y conocemos, de antemano, la energa potencial en la superficie terrestre. La diferencia entre las dos, nos dar la energa que buscamos, de acuerdo con el principio de conservacin de la energa: el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas modifica la energa mecnica del sistema.Enecesaria para poner en rbita = Een rbita Epotencial en la superficie terrestre

10

11