UNIDAD 3

-Teorema de la Convolución

Matemáticas V

Teorema de la Convolución

Definición:

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir la transformada de una suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es No. Para este tipo de situación podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

La función h :c ( i ) xC ( i )→ (i ) , donde C es el conjunto de funciones continuas en el intervalo dada por I=|0 ,+∞|

h (t )=( f∗g ) (t )=∫0

2

f ( t−r )g(r)dr

Se conoce como la convolución de f y g

PROPIEDADES

La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos a continuación: sean y funciones continuas en el intervalo (0 ,∞ ) ,

1.- f∗g=g∗F ley conmutativa

2.- f∗(g|h¿=f∗g∨f∗h¿ ley distributiva

3.- ( f∗g )∗h=f∗(g∗h) ley asociativa

4.- f∗0=0∗f =0

Teorema.

Si f ( t ) y g( t) son continuas en tramos (0 ,∞)

L {f∗g }=L { f (t ) }∗L {g (t ) }=f (s )∗G(s)

Demostración:

Sea

f ( s )=L {f ( t ) }=∫0

∞

e−st f ( t )dt

Y

G (s )∗G(s)=(∫0

∞

e−st f ( t )dt)(∫0

∞

e−st g (β )dβ ) = ∫

0

∞

∫0

∞

e−s (r+ β )∗f ( t )g (β )drdβ

= −∫0

∞

f (t )dt∫0

∞

e−s ( t+ β )g (β )dβ

Ejemplo:

L {∫0

∞

ersin (t−r )dr }

Solución

Si f (t )=¿er g ( t )=sin t , el teorema de la convolucion establece que la transformada de laplace de la convolucion de f y g es el prodcuto de sus transformadas de laplace.1

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entoncesL {f∗g }=L {f }{g }

La convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como :

1 Deniis G. Zill Ecuaciones diferenciales ,Wikipedia

( f∗g)(t)=∫0

1

f (σ )g( t−σ )dσTeorema

Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes. Entonces

L {af ( t)+bg(t )}=aL{f ( t)}+b L {g(t )}

DemostraciónRecurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

L {af ( t)+bg(t )}=∫0

+∞

e−st(af (t)+bg (t))dt

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

∫0

−∞

e−st(af ( t)+bg(t ))dt=lim ¿N→+∞∫0

N

e−s1(af (t)+bg (t))dt ¿

¿ lim ¿N→+∞∫0

N

e−s1(af (t)+be−s1g (t))dt ¿

¿ lim ¿N→+∞¿¿

¿a lim ¿N→+∞∫0

N

e− s1 f (t)dt+b lim ¿N→+∞∫0

N

e−s1g( t)dt ¿¿

Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t): L {af ( t)+bg(t )}=a L{f (t )}+bL {g(g)}

Como hemos indicado, es posible determinar la respuesta que sobre un sistema eléctrico tiene un impulso, llamado también pulso, de corta duración. Así, si se excita al sistema con un pulso g(t), podemos obtener su respuesta h(t), llamada respuesta al impulso. Si el impulso se aplica en el tiempo t = s, lo único que ocurre es un retraso en la salida y ésta será h(t - s). Si ahora, el impulso tuviese una intensidad diferente de la unidad en t = s,

por ejemplo f (s)&(t- s), entonces por la linealidad la salida será f (s)h(t- s). Si consideramos la suma de todas las entradas de este tipo, entonces la función de excitación es

∫0

∞

f (s )∧( t−s )ds=f ( t )

Por otro lado como una extensión de la propiedad de superposición para ED lineales, deducimos que la respuesta del sistema es

x (t)∫0

∞

f ( s)h ( t−s )ds

Ya veíamos anteriormente, que al resolver problemas de valor inicial, podíamos encontrarnos el tener que hallar transformadas inversas de funciones.

Nota: El operador convolución difiere del operador producto en que f∗1≠ f y f∗f ≠ f 2 de hecho la convolucion de una funcion con ella misma puede no ser positiva.

Supongamos que f ( t ) y g (t ) soncontinuas por segmentos en¿ y de orden exponencial a. sean f ( s ) y G (s ) las transformadas de laplace de f (t ) y g( t) respectivamente.

Entonces L {f∗g }=F (s )G(s)

O, de forma equivalente.

2 L−1 {F ( s)G (s ) } (t )= ( f∗g )(t)

USO DE LA CONVOLUCION La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.

• En estadística, como ya dijimos, un promedio móvil ponderado es una convolución • En teoría de Ia probabilidad, Ia distribución de probabilidad de Ia suma de dos variables aleatorias independientes es Ia convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad. • En óptica, muchos tipos de Kmanchasu so describen con convoluciones. Una sombra (ejemplo: Ia sombra en Ia mesa cuando tenemos Ia mano entre ésta y Ia fuente de luz) es Ia convolución de Ia forma de a fuente de luz que crea Ia sombra y del objeto cuya sombra

2 Apoyo blibliografico http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/ampte07.pdf

se está proyectando. Una fotografía desenfocada es Ia convolución de Ia imagen correcta con el circulo borroso formado por el diafragma del iris. • En acústica, un eco es Ia convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan. • En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, Ia salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es Ia convolución de Ia entrada con Ia respuesta del sistema a un impulso.• En física, allí donde haya un sistema lineal con un “principio de superposición, aparece una operación de convolución.

Asociatividad con multiplicación escalar a (f∗g)=(af )∗g=f∗(aq)

Para lodo numero complejo o real a. Regla de derivación

D( f∗g)=Vf∗g=f∗Dg

Teorema de convolución F (f∗g)=(F ( f ) )∗( f (g ))

Donde F denota Ia Transformada de Fourier de f. Este teorema también se cumple con Ia Transformada de Laplace.

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de √2π que son

inconvenientes aquí. Sean f , g ϵ L1(Rn)

Sean la transformada de Fourier de y la transformada de Fourier de :

F (w)=∫R n

❑

f (x )e−2 πix−w dx

G(w)=∫Rn

❑

g(x )e−2πi−w dx

Sea la convolución de y

h( z)=∫R n

❑

f (x )g(z−x )dxNótese que

f (z) g(x−z )∨dxdz=∫∨f (z )∨ ∫∨g(z−x)∨dxdz= ∫∨f (z)∨¿∨g∨¿1dz=¿∨f ∨¿1∨¿ g∨¿1.

Del teorema de Fubini tenemos que h∈L1(Rn), así que su transformada de Fourier está definida. Sea la transformada de Fourier de :

H (w)= ∫ Rnh( z)e−2πi −w dz= ∫ Rn ∫ Rn f (x )g( z−x)dx e−2πi≈−w dz

Obsérvese que f (x) g(z−x )e−2 πi −w∨¿∨f (x) g(z−x ) y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

H (w)= ∫ Rn¿

Sustituyendo y=z−x; tenemosdy=dz , y por lo tanto:

H (w)= ∫ Rn f (x)∫Rn

❑

g( y )e−2 πi −w ( y+x)−wdy ¿dx ¿

¿∫Rn

❑

f (x)e−2πi −w¿¿

¿∫Rn

❑

f (x)e−2πi −wdx∫Rn

❑

g( y )e−2 πi −w dy

3Estas dos integrales son las definiciones deF (w) yG(w) , así que:

H (w)=F (w)∗G (w)

3 Ecuaciones Diferenciales; Paul Robert. Editorial de la universidad del pais vasco.

BIBLIOGRAFIA

Deniis G. Zill Ecuaciones diferenciales Wikipedia http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/

ampte07.pdf libro: ecuaciones diferenciales Autor: Paul Robert Editorial: servicio editorial de la universidad del pais

vasco.

BIBLIOGRAFIA

Deniis G. Zill Ecuaciones diferenciales Wikipedia http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/

ampte07.pdf libro: ecuaciones diferenciales Autor: Paul Robert Editorial: servicio editorial de la universidad del pais

vasco.