3.3 Ecuaciones Simultaneas de Primer Grado c on Dos Incognitas

7/26/2019 3.3 Ecuaciones Simultaneas de Primer Grado c on Dos Incognitas

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ECUACIONES SIMULTNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCGNITAS.

Dos o ms ecuaciones con dos incgnitas son simultneas cuando satisfacen iguales valores de las

incgnitas.

Para resolver ecuaciones de esta clase, es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola

ecuacin con una incgnita. Esta operacin se llama eliminacin.

MTODOS DE ELIMINACINSon tres los mtodos de eliminacinms utilizados: Mtodo de igualacin,de sustitucin y desuma o resta.

MTODO DE ELIMINACIN POR IGUALACIN.Ejemplo

Resolver el sistema2..........42

1.........753

=

=+

yx

yx

Despejamos cualquiera de las incgnitas; por ejemplo x en ambas ecuaciones.

Despejamos x en 1: 753 =+ yx 357 yx =

Despejamos x en 2: 42 = yx 2

4 yx

+=

Ahora igualamos entre si los dos valores de x que hemos obtenido:

2

4

3

57 yy +=

Ahora ya tenemos una sola ecuacin con una incgnita; se elimin la x.Resolvemos esta ecuacin para obtener el valor de y.

2

13

26

2613

1412310

3121014

)4(3)57(2

=

=

=

=

+=

+=

y

y

y

yy

yy

yy

Para encontrar el valor de x,se sustituye el valor de yenla ecuacin ms sencilla, obtenindose:

13

3

1073

7103

7)2(53

753

=

=

=

=+

=+

=+

x

x

x

x

yx

Resultado x= 1 y =2

Para verificar si estos valores son correctos se deber sustituir x= 1, y = 2 en las dos ecuaciones,

ambas se convierten en identidad.

77

7103

7)2(5)1(3

1...........753

=

=+

=+

=+ yx

44

422

4)2()1(2

2..........42

=

=

=

= yx


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MTODO DE ELIMINACIN POR SUSTITUCIN.

Ejemplo


1........843

=

=+

yx

yx

Despejamos cualquiera de las incgnitas; por ejemplo x en una de las ecuaciones. Despejamos xen laecuacin 1.

Despejamos x en 1; 843 =+ yx 3

48 yx

= Este valor de x se sustituye en la ecuacin 2.

779)3

48(8

2..........7798

=

=

yy

yx

Ahora ya tenemos una ecuacin con una incgnita; hemos eliminado la x. Resolvemos esta ecuacin:

5

59

295

3

295

3

59

3

64779

3

32

7793

32

3

64

7793

488

=

=

=

=

=

=

y

y

y

yy

yy

y

y

Para obtener x sustituimos el valor de y en cualquiera de las

ecuaciones, por ejemplo en 1 se tiene:

4

3

208

8203

8)5(43

1........843

=

=

=+

=+

=+

x

x

x

x

yx

Para verificar si estos valores son correctos se deber sustituir x= 4,

y=5 en las dos ecuaciones, ambas se convierten en identidad.

MTODO DE SUMA O RESTA.


1........356

=+

=

yx

yx

En este mtodo se debern hacer iguales los coeficientes de una de las incgnitas, esto con la finalidad

de eliminar dicha incgnita.

Para este caso se observa que, si a la ecuacin 2 la multiplicamos por -3 se podrn igualar y eliminar

los coeficientes de la incgnita x, por lo que nos queda:

2..........3996

1........356

=

=

yx

yx

-14y=-42

3

314

42

=

=

=

y

y


3/5

Para encontrar el valor de x se sustituye y=3 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en la

ecuacin 2, se tiene:

2

2

9131392

13)3(32

2..........1332

=

=

=+

=+

=+

x

x

x

x

yx

Para verificar si estos valores son correctos se deber sustituir x=2, y=3 en las dos ecuaciones, ambas

se convierten en identidad.

33

31512

3)3(5)2(6

1........356

=

=

=

= yx

1313

1394

13)3(3)2(2

2..........1332

=

=+

=+

=+ yx

MTODO GRFICO

El mtodo grfico para la solucin de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas se

realiza trazando las dos rectas en un mismo plano, con esto se determina la interseccin (punto donde

se cruzan las rectas) que es la solucin del sistema de ecuaciones.Como bien dice el principio de Euclides: Por dos puntos pasa una y slo una recta, se puede trazaruna recta determinando dos puntos que pertenezcan a la misma trazando su unin y continuacin.

Pasos a seguir para graficar una recta.

a) De la ecuacin original despejar y.

b) Dar a x dos valores distintos y sustituirlos en la ecuacin anterior.

c) El valor asignado a x y el obtenido en y en la sustitucin de x formarn las coordenadas de los

dos puntos de cada recta.

d) La coordenada del punto donde se cruzan las rectas es la solucin al sistema de ecuaciones.

Ejemplos resueltos.

Ejemplo 1

1. Hallar la solucin del siguiente sistema de ecuaciones lineales por el mtodo grfico.x+2y = 8-------1

2x+y = 7--------2

Solucin.

Despejamos y en ambas ecuaciones.

Ecuacin 1

2

8 xy

=

24 xy =


4/5

Si x=2

2

24 =y 14 =y 3=y Co

Si x=4

244 =y 24 =y 2=y Co

Ecuacin 2

xy 27 =

Si x=3

)3(27 =y 67 =y 1=y

Si x=5

)5(27 =y 107 =y 3=y

Localizando los puntos en un pla

Ejemplo 2.Hallar la solucin del siguiente si2xy = 7-------1

4x2y = 5--------2

Solucin.

Despejamos y en ambas ecua

Ecuacin 1

xy 27 +=

Si x= 2

)2(27 +=y 47 =y 3=y

Coordenada (2,3)

Si x=0

)1(27 +=y 7=y

Coordenada (0,7)

ordenada (2,3)

rdenada (4,2)

oordenada (3,1)

Coordenada (5,3)

no cartesiano.

stema de ecuaciones lineales por el mtodo

iones.

Ecuacin 2

2

45 xy

+= xy 2

2

5+=

Si x=0

)0(22

5+=y

2

5=y =

Si x=3

)3(22

5+=y 6

2

5+=y

Conclusin. Estun solo punto de

esta es la nica s

x=2

y=3

rfico.

.5Coordenada (0,2.5)

oordenada (3,3.5)

par de rectas tieneinterseccin (2,3) y

olucin del sistema.


5/5

Conclusin: Este p

son paralelas, por lun punto que sati

ecuaciones. El sis

solucin.

r de ecuaciones

o que no existefaga a las dos

tema no tiene

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