Gradientes geomtricosIngeniera Industrial

3.6 GRADIENTES GEOMETRICOSTal como lo mencionamos son series peridicas de pagos que varan de uno a otro en un mismo porcentaje que para nuestro caso llamaremos G; si G es positivo el gradiente ser creciente, por el contrario si G es negativo el gradiente ser decreciente. Un tpico gradiente geomtrico puede apreciarse en la siguiente figura:

En la grfica (a escala) se puede apreciar que el incremento en la cuota o pago segn sea el caso, varia de un pago a otro. Estos gradientes para efectos de simplificar el diagrama de caja deberan ser representados representaremos as:

Sin embargo dibujar las curvas puede ser tedioso para el amable lector, por tanto lo que si se le recomienda es que no olvide como son los pagos. Tal como se dijo al comienzo de la seccin, los pagos cumplen con la siguiente ley de formacin:

3.7 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMETRICO

Sin embargo esta expresin de presente (P) hallada solo es valida si G es diferente de i, en caso de no ser as se presenta indeterminacin que puede ser solucionada utilizando la regla de L'Hospital y derivando con respecto a G:

VALOR FINAL DE UN GRADIENTE GEOMTRICOPara hallar el valor futuro de un gradiente geomtrico, basta multiplicar las expresiones de valor presente por el trmino (1+i)n de manera anloga a como lo hemos hecho en otros casos y quedar:

Cuando G sea diferente de i tenemos:

Y en el caso de que G sea igual a i tendremos:

GRADIENTE GEOMETRICO INFINITOSolo tiene sentido determinar el valor presente, puesto que si el gradiente es infinito no es posible determinar el punto n para saber donde le quedara el futuro. Para hallar el valor presente del gradiente geomtrico infinito, hallamos el lmite de la expresin de presente (P) cuando n tiende a infinito:En el caso que G sea diferente de i:

En este lmite es interesante analizar el siguiente trmino:

Si G es mayor que i, el numerador se vuelve mayor que el denominador, la fraccin por tanto ser mayor que 1 y por ende, elevado a la potencia n tendera a infinito, matemticamente hablando;

Sin embargo, analizando que G es el porcentaje de incremento y que i es la tasa de inters, se puede observar que si G>i sera necesario un presente infinito para lograr (tericamente) incrementos en el pago mayores que el rendimiento de la inversin a la tasa i.

Si G es menor que i, el numerador se vuelve menor que el denominador, la fraccin por tanto ser menor que 1 y por ende, elevado a la potencia n tendera a 0, matemticamente hablando;

Sin embargo, analizando que G es el porcentaje de incremento y que i es la tasa de inters, se puede observar que si G

En el caso que G sea igual de i debe evaluarse el presente con la expresin P = Rn(1+i)-1 donde es fcil notar que cuando n tiende a infinito el valor presente tambin ser infinito.Recapitulando, solo ser posible determinar el valor presente de un gradiente geomtrico infinito cuando G (el porcentaje de incremento) sea menor que i (la tasa de inters a la cual se realiza la inversin).