3°.doc

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

“Reino de los Cielos”

Tercer Año

Satélite de comunicaciones SYNCOMEl satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono, radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria (es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida entre estaciones terrestres.

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Aritmética Aritmética

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.

TELF.: 540–0814

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Reino de los Cielos”

5 6


TEMA: REGLA DE MEZCLA Y ALEACIÓN

¿Qué es una mezcla?

Es una reunión de 2 o más sustancias

(ingredientes) en cantidades arbitrarias

conservando cada una de ellas su propia

naturaleza.

¿En qué consiste la regla de mezcla?

La regla de mezcla se origina por el

deseo de los comerciantes en determinar

el precio de venta de una unidad de

medida de la mezcla.

Para ello se vale de algunos

procedimientos aritméticos, lo cual en su

conjunto constituye la “Regla de mezcla”.

Ejemplo inductivo:

Un comerciantes hace el siguiente

pedido a un distribuidor mayorista de

café:

CaféCantidad

en Kg.

Precio

unitario

Extrae (E)

Superior (S)

Corriente (C)

50

20

15

S/. 7

S/. 5

S/. 4

Para venderlos a sus clientes el

comerciante mezcla los tres tipos

de café. ¿A cómo se debe vender

el kg para ganar el 20%?.

Para ello debe saber las siguientes

fórmulas:

* En general para “K” sustancias

Cantidades C1 C2 C3 C4 Ck

Precios unitarios P1 P2 P3 P4 Pk

Se debe cumplir:

I. Precio medio =

=

II.

III.

IV.

Mezcla alcohólica: Es aquella

mezcla en la que interviene

alcohol puro y agua.

Además:

Siendo: V1,V2 ,V3…VK

volúmenes

G1, G2, G3, ... Gk grado

Aleación: Definición: Es la mezcla de 2

ó más metales mediante el

proceso de fundición. En las

aleaciones por

convencionalismo los metales

se clasifican en:

a) Finos oro, plata,

platino.

b) Ordinarios Cobre, hierro, zinc.

La pureza de una aleación se determina

mediante la relación entre el peso del

metal fino empleado y el peso total de la

aleación, a dicha relación se le conoce

como la ley de la aleación.

En general:

Para la aleación:

Peso metal finoPeso metal

ordinario

I. Ley =

II. Liga =

III. 0 1


7 8


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Un comerciante tiene “n” litros de

aceite compuesto y “m” de aceite

vegetal, los cuales lo mezcla para

vender el litro en “m” soles.

¿Cuánto cuesta el litro de aceite

vegetal?. Si el litro de aceite

compuesto 25% menos que el

aceite vegetal?.

Rpta.: ...............

2) Se tiene “n” ingredientes, cuyos

pesos están en la relación de 1, 2,

3,... y de los precios S/.2, S/.3,

S/.4........, respectivamente, la

mezcla de estos ingredientes tiene

un precio medio de S/.14.

Calcule “n”.

Rpta.: ...............

3) Se tiene 3 lingotes de oro,

con leyes: 0,960; 0,760 y

0,93375 respectivamente. Se

desea obtener un lingote de

2,45kg, con ley 0,900. ¿Qué

peso (gramos) es necesario

tomar del segundo lingote si

se impone la condición de

emplear 800 gramos del

tercero?.

Rpta.: ...............

4) Se ha mezclado 3 sustancias

de densidades 2,6g/cm3;

1,8g/cm3 y 2,00g/cm3 y cuyos

pesos fueron 169g, 144g,

170g respectivamente. ¿Qué

densidad tiene la mezcla

obtenida?.

Rpta.: ...............

5) Una persona tenía que

preparar 300 litros de una

bebida mezclando vino y

agua en la proporción de

15 es a 1; pero por error

empleó vino y agua en la

proporción de 5 es a 1.

¿Cuántos litros de vino

deberá agregar a la

mezcla anterior para

obtener la proporción

deseada?.

Rpta.: ...............

6) ¿Cuántos litros de alcohol

de 72º se debe añadir a

432 litros de alcohol de

36º para obtener cierta

cantidad de alcohol de

45º?.

Rpta.: ...............

7) Se hace una mezcla de vino de S/.75

el litro; S/.60 el litro y agua; la mezcla

tiene un precio de S/.50 el litro. Se

sabe que la cantidad de agua es los

2/5 de la cantidad de vino de S/.60.

¿En qué relación está la cantidad de

vino de S/.75 a la cantidad de vino de

S/.60?

Rpta.: ...............

8) Se han tomado 3 barras de plata de

0,900; 0,800 y 0,600 de ley y cuyos

pesos respectivos son inversamente

proporcionales a su ley. Obteniéndose

una aleación de 1682 gramos.

Calcular la ley de la aleación

resultante.

Rpta.: ...............

9) Un recipiente contiene los líquidos A,

B y C en la relación de 2, 3 y 7: la

mezcla en la intemperie se evapora,

pero el primero es el más volátil, los

líquidos se pierden en la relación de


9 10


8, 5 y 2. Luego de un tiempo. ¿En

qué relación se encuentra los

líquidos, si se ha evaporado la

veinticuatroava parte del total?.

Rpta.: ...............

10) Se ha mezclado 22 litros de

alcohol de 38 grados con 28 litros

de alcohol. De 42 grados,

pretendiendo obtener alcohol de

40 grados; para conseguir el grado

requerido se ha tenido que dejar la

mezcla al aire, para que se

volatilice el alcohol. Si el alcohol se

volatiliza a razón de 16ml por

minuto. ¿Qué tiempo fue necesario

exponer la mezcla al aire?.

Rpta.: ...............

11) Un yacimiento polimetálico tiene 3

labores en producción, con las

siguientes leyes de Cu, Pb y

Zn:

%Cu %Pb %Zn

1º Labor 4 60 20

2º labor 8 50 16

3º labor 6 45 18

La planta concentradora requiere

1500 toneladas diarias de

mineral. Mediante pruebas

metalúrgicas se ha estimado que

la “Ley de cabeza” (Ley de

mineral que entra en la planta).

Es recomendable:

%Cu = 6,6% %Pb = 50,5% y

%Zn = 17,4%

¿Cuántas toneladas se debe

extraer de cada labor?.

Rpta.: ...............

12) Se ha mezclado 240g de

oro con 36g de Cu para

bajar su ley a 800

milésimas. ¿Qué peso de

oro de 980 milésimas es

necesario adicionar a esta

mezcla, para que el otro

retorne su ley primitiva?.

Rpta.: ...............

13) Don lingotes de 520g de

un metal A y 960g de un

metal B, han sido

sumergidos, ambos, en un

recipiente lleno de agua y

han desalojado 500g de

agua. Se toma 91g de

metal A y 48g de B; se

mezclan y se obtiene una

aleación de 2,78g/cm3 de

densidad. Se pide

determinar la densidad de los

metales.

Rpta.: ...............

14) Al mezclar dos aleaciones de un

mismo metal, de densidad 3,2 g/cm3 y

4,8g/cm3 en igualdad de volúmenes,

se ha obtenido una aleación de 900

milésimas. De haber mezclado en

igualdad de peso, se habría obtenido

una aleación de 915 milésimas.

Encontrar las leyes de las aleaciones.

Rpta.: ...............

15) Se desea obtener arcilla con 58% de

Al2O3, mezclando 360T y 200T de

arcilla con 52% y 61% de Al2O3

respectivamente para obtener el

porcentaje de Al2O3 deseado, ha sido

preciso adicionar arcilla con 64% de

Al2O3. ¿Cuántas toneladas se han

adicionado de la última clase?.

Rpta.: ...............


11 12

¡¡¡¡ Una Educación de Calidad!!!

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 16) Se tiene un tanque con 100L de

alcohol al 10%, se necesita una

mezcla alcohólica al 80%, para lo

cual se coloca un grifo que

suministra alcohol de 90% a razón

de 10L por minuto. Si el costo por

hora del suministro es de S/.138.

Calcule cuanto será el costo del

suministro para obtener la mezcla

deseada.

Rpta.: ...............

17) Se mezclan café de precios S/.4;

S/.5 y S/.8 que pesan 2kg, 1kg, y

“a” kg respectivamente. Hallar “a”

si el precio medio es (a - 6) 13.

Rpta.: ...............

18) Un alumno del colegio pre-

universitario “Manuel Escorza” Desea mezclar shampoo de S/.0.5

y de 3 por S/.1 de 200 ml y del 2do

150ml c/u. Hallar el Pm.

Rpta.: ...............

19) Al mezclar 4Kg de leche de

S/.2 con 8Kg a “m” soles se

obtuvo un

Pm = “m”. Hallar: - 1

Rpta.: ...............

20) Se al mezclar un licor con

30º de alcohol a S/.12 c/litro,

con otro licor con 36% de

alcohol a S/.18 el litro y se

obtiene una mezcla cuyo Pm

= 16. Hallar el grado

alcohólico de la mezcla.

Rpta.: ...............

PROBLEMAS PARA LA

CASA

1) Se hace una

mezcla de vinos de S/.70

el litro y S/.60 el litro con

agua, la mezcla tiene un

precio de S/.50. Se sabe

que la cantidad de agua es

los 2/5 de la cantidad de vino de

S/.60. ¿En qué relación están las

cantidades de vinos de S/.40 respecto

al de S/.60.

a) 0,4 b) 0,33 c) 0,5

d) e) 0,45

2) Se tiene 20 litros de

alcohol al 80%. Si se le agrega 5 litros

de alcohol puro. ¿Cuál será el

porcentaje de alcohol de la mezcla?.

a) 78% b) 81% c) 75%

d) 84% e) 60%

3) Se tienen 540L de alcohol

al 90º, se le agrega con 840L de un

alcohol de 72º para que la mezcla sea

de 60%, indicar la cantidad de agua

que se debe adicionar a la mezcla.

a) 432 b) 498 c) 568

d) 512 e) 712

4) Una barra de oro de 14

kilates pesa 21 gramos. ¿Qué peso


13 14


de oro puro se le debe añadir para

obtener una ley de 18 kilates.

a) 13 b) 17 c) 21 d) 10 e) 14

5) Un anillo de oro de 18

kilates pesa 9 gramos. Si el gramo

de oro puro se paga a S/.18. ¿Cuál

es el costo del anillo? .

a) 125,1 b) 121,5 c) 134,5

d) 152,4 e) 174,5

6) En un bidón hay 40

litros de alcohol al 90% de pureza

en otro hay 60L de alcohol al 70%.

¿Cuál es el grado medio?.

a) 77,5 b) 68 c) 69,5

d) 77 e) 83

7) Una aleación con un

peso de 4Kg se funde con 5Kg de

plata y resulta 0,9 de Ley. ¿Cuál

es la ley primitiva?.

a) 0,70 b) 0,67

c) 0,48 d) 0,65

e) N.A.

8) Un alumno del

colegio “Manuel Escorza”

hace un experimento con

una sustancia que varía el

color al echar un líquido x.

Empieza con 400 litros al

75% del líquido x; si se le

agrega 900 litros de líquido x

(puro) ¿Cuál sería su color si

se le quita 80 litros?.

a) Morado y verde

b) Rojo y azul

c) Verde y rojo

d) Azul y amarillo

e) N.A.

9) ¿Qué cantidad

de cobre debe añadirse a

una barra de plata que pesa

635g y tiene 0,920 de ley

para que resulte una

aleación de 0,835 de ley?.

a) 46,64 b) 64,64

c) 56,84 d) 63,64

e) 66,44

10) Una mezcla

alcohólica de 85% de

dureza contiene 420 litros

mas de un ingrediente que

el otro. ¿Qué cantidad de

alcohol puro contiene?.

a) 510 b) 490 c)

560

d) 450 e) 360

11) Se vendía por

S/.7710 un tonel de vino

de 220L que es una

mezcla de otros dos que

valen S/.41 y S/.29 el litro.

¿Cuántos litros de la 1era

clase contiene el tonel si

se ha realizado en la venta un

beneficio de S/.1000.

a) 28,5 b) 26,5

c) 27 d) 27,5

e) 28

12) Si se funde 50 gramos de

oro con 450g de una aleación, la ley

de aleación aumenta 0,02. ¿Cuál es

la ley de la aleación primitiva?.

a) 0,7 b) 0,55 c) 0,8

d) 0,6 e) 0,9

13) ¿Qué cantidad de cobre

habrá de añadirse a una barra de

plata a 4,4Kg, cuya ley es 0,92 para

que esta disminuya a 0,88?.

a) 0,1kg b) 0,2kg

c) 0,18kg d) 0,3kg

e) 0,25kg

14) ¿Cuál es la ley de

aleación del que está echo un plato

cuyo peso es 500g. Si se ha vendido


0 20 40 60 80 100Morado Verde Rojo Azul Amarillo

1615


a S/.770, al precio de S/.2200 por

kilogramo de plata pura.

a) 0,6 b) 0,75 c) 0,65

d) 0,68 e) 0,7

15) Se tiene una barra de

plata de 0,85 de ley. ¿En qué

relación en peso, deben quitarse

las cantidades de plata y Cu para

que la ley se conserve?.

a) 16/5 b) 8/5 c) 17/5

d) 17/3 e) 14/9

TEMA: PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

Progresión aritmética: Es

aquella sucesión en la cual un

término cualquiera, excepto el

primero, es igual al anterior

aumentado en una cantidad

constante llamada razón. A esta

también se le denomina

progresión por diferencia.

Representación:

a1 primer término

an término enésimo

r razón de la P.A.

Sn suma de “n” primeros

términos

Clases:

Si: r > 0 P.A. creciente

r < 0 P.A.

decreciente

r = 0 P.A. trivial

Propiedades:

I) r = aK - aK-1, 1 K n

II) Término central: “n” impar

aC =

Corolario: ax =

III) Suma: Sn = n ;

Sn = n a c

Si n es impar

Sn =

Medio aritméticos: Son los términos

comprendidos entre 2 extremos:

Interpolación: a, b, m

an = an + (n – 1)r b = a + [(m + 2) –1]r

r1 =

r1 : razón de interpolación aritmética

Progresión geométrica: Es aquella

sucesión numérica, en la cual el primer

término y la razón son diferentes de cero y

además un término cualquiera, excepto

del primero, es igual al anterior

multiplicado por una misma cantidad

llamada razón de la progresión, también

se denomina progresión por cociente.


1817



Representación:

Elementos:

t1 primer término

tn término enésimo

q razón

Sn suma de “n” primeros términos

Pn producto de “n” primeros

términos.

Propiedades: Sea la P.G.:

t1; t2; t3; ....... tk; ........ tn

I) Razón: q =

1 k n

II) Término general:

Tn = T1 . qn-1

III) Si:

Ta . Tb = T1 . Tn

IV) Término central (Tc)

(Tc)2 = T1 . Tn

V) Sn = T1

VI) (Pn)2 = (T1 . Tn)n

VII) Suma límite: Sm =

Si: -1 < q < 1

Interpolación de medios

geométricos:

a; ;b

q i =

Razón de interpolación

geométrica.


1) De la sgt. sucesión: ; ; 72;

si la razón es 12. Hallar (a + b)c.

Rpta.: ...............

2) Si 25(n); 40(n) y 53(n) están en P.A

convertir el mayor # de 3 cifras de

base al sistema quinario.

Rpta.: ...............

3) Halla T40: 101, 106, 111, ........

Rpta.: ...............

4) En una P.A. de 42 términos el 1º es

29 y el último 316. Hallar T20.

Rpta.: ...............

5) Dada la serie de 2º orden: 123(n);

136(n); 152n; 170n; ..... Determine el

término de lugar 25 en base 10.


2019


Rpta.: ...............

6) Hallar a + b si la sgte. P.A. tiene 54

términos. .

Rpta.: ...............

7) Determine “a”, si en la sgte. P.A.

hay un total de 9 términos y todos

son impares.

Rpta.: ...............

8) Dada la P.A.:

Además:

Calcule: a + b + c + n

Rpta.: ...............

9) La sgte. sucesión tiene 36

términos ; ; , ......

. Calcular la suma de

los términos.

Rpta.: ...............

10) La suma de los “n” términos

de una sucesión esta dado

por: S =

Determinar la suma de los

términos 11º y 15º.

Rpta.: ...............

11) Considere una P.A. cuyo

sexto término es 3/5 del

tercer término, que es

positivo, si el producto de los

mismos es 15. Determinar el

número de términos que se

debe tomar de esta P.A. para

que sumen 30 .

Rpta.: ...............

12) Determina “a” si en el sgte.

P.A.: , ,

.

Rpta.: ...............

13) La: P.A.: a r: a, a+r,

a+2r. S = a2 y a < 10.

Hallar “r” posible.

Rpta.: ...............

14) Si: S =

Hallar la suma del término

14 y término 16.

Rpta.: ...............

15) Sea una P.G. se tiene: que

la razón entre: .

Hallar el término 8.

Rpta.: ...............

16) Sea una P.G.: ; ; ;

hallar el término 10.

Rpta.: ...............

17) Sea una progresión geométrica:

Además: Ta + Tb = 72

Tn + T1 = 488

Hallar “a”:

Rpta.: ...............

18) Hallar “n”: si en una P.G. el:

Tc = K2 (término central y además):

Rpta.: ...............

19) Si en una P.G. se cumple que: T4 y el

T5 son números capicúas de 2 cifras,

además su razón es menor que 4.

Hallar el T2.

Rpta.: ...............


2221


20) Si 2 progresiones: P.A. y P.G. de

razones iguales. Tal que se

cumple:

G =geométrica

A = aritmética

Hallar

Rpta.: ...............

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) En una P.A, se cumple:

a1 + a5 = 14

a3 + a6 = 20

Calcular a4:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e)

11

2) Si: a, 2a, a2 son los 3

primeros términos de una

P.A. Calcular la suma de los

10 primeros:

a) 160 b) 165 c) 166

d) 144 e) 150

3) La suma de los “n” primeros

términos de una P.A. está

dado por 3n (n + 2). Calcular

el quinto término de la

progresión.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e)

34

4) El primer término de una P.A.

es 5. El último es 45; y la

suma de todos los términos

es 400. Calcular el # de

términos.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17

e) 18

5) En una P.A. la diferencia

de 2 términos es 96 y la

diferencia de sus

respectivos lugares es 8.

Calcular la razón de la

P.A.

6) Sea (x+y), (4x-3y),

(5y+3x); 3 términos

consecutivos de una P.A.

Indicar una relación entre

“x” e “y”.

a) x = 3y b) 2x = 5y

c) y = 3x

d) 3y = 2x e) 3x = 4y

7) En una P.A. de 25

términos, el décimo

tercero es igual a 30. La

suma de todos los

términos de la P.A es:

a) 1250 b) 1000 c)

875

d) 750 e) 700

8) Hallar la razón de una P.A. de 3

términos, tales que al adicionar 3; 10

y 2 respectivamente se obtenga

números proporcionales a 2, 4 y 3.

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9) Si se aumenta una misma cantidad a

los números 20, 50 y 100, se forma

una P.G. cuya razón es:

a) 1/2 b) 1/3 c) 2

d) 4/3 e) 5/3

10) ¿Cuál es la razón de una P.g. de 12

términos, siendo el primero 1 y el

último 2048?.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

11) La suma de los 6 primeros términos

de una P.G. es igual a nueve veces a

suma de los 3 primeros términos

entonces la razón de la PG. es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8


2423


12) ¿Cuál es el término central de una

P.G. de 3 términos positivos, si el

producto de los dos primeros es 24

y el producto de los dos últimos es

54?.

a) 8 b) 9 c) 6 d) 3 e) 12

13) Si le sumamos 3 números

consecutivos a 3, 7 y 16

respectivamente, obtenemos una

P.G. calcular la razón de la P.G.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14) Calcular el producto de los 10

términos de una P.G. cuyo 6º y

último término son: orden 4 y 25.

a) 225 b) 223 c) 224

d) 212 e) 215

15) Sumar:

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 4/9

TEMA: CONJUNTOS

1. Concepto:

El término conjunto es

aceptado en matemáticas

como un concepto primitivo;

es decir, se acepta sin

definición. Intuitivamente, un

conjunto es una colección o

agrupación de objetos

llamados elementos.

Ejm.:

ii) El conjunto de

los días de la semana.

iii) El conjunto de

los números N.

2. Notación: Generalmente

los conjuntos se denotan con

letras mayúsculas A, B,

C, ... etc., y los elementos

por letras minúsculas,

mayúsculas u otros

símbolos, separados por

comas y encerrado entre

llaves.

Ejm.: A = {lunes;

miércoles, viernes,

domingo}

B = {2; 5; 12; 18}.

3. Relación de

pertenencia ():

Si un elementos está en

un conjunto o es parte de

él, diremos que

“pertenece” a dicho

conjunto y lo denotaremos

con el símbolo “” y en el

caso de no pertenecer por

“”.

Ejm.: Dado el conjunto:

A = {2; 5; 7; 8}

Entonces: 2 A

4 A

7 A

4. Determinación de conjuntos:

Existen 2 formas de determinar un

conjunto:

4.1) Por extensión: Cuando se

nombran todos los elementos que

conforman el conjunto.

Ejm.:

A = {a, e, i, o , u}

B = {6, 8, 10, 12, 14}

4.2) Por comprensión: Cuando se

menciona una o mas características

comunes a todos los elementos del

conjunto.

Ejm: A = {x/x es una vocal}

B ={x/5 < x z 18 x es par}

5. Conjuntos especiales


2625

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 5.1) Conjunto vacío o nulo: Es

aquel conjunto que carece de

elementos. Se le denota por: ó

{ }.

Ejm.: A = { }

B = {x/4 < x < 6 x < 8}

5.2) Conjunto unitario: Es aquel

conjunto que tiene un solo

elemento.

Ejm.: A = {3}

B = {x/x N 6 < x < 8}

5.3) Conjunto universal: Es aquel

conjunto que se toma como

referencia, para un problema

determinado, en el que se

encuentran todos los elementos

con que se está trabajando.

Se denota por la letra .

Ejm.: A = {2; 6; 10; 12}

B = {x + 3/x es impar 0 < x <

10}

6. Relaciones entre

conjuntos:

6.1) Igualdad: Dos conjuntos

A y B son iguales si y solo

si tienen los mismos

elementos.

Se denota por A = B

Ejm.: A = {x/x es una vocla}

B = {a, e, i, o, u}

6.2) Inclusión (): Se dice que un conjunto A esta incluido () en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B; en caso contrario; se dirá que no está incluido ().Se denota: A BEjm.: A = {2, 4, 6}B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}C = {1, 2, 3, 4, 5}Entonces: A () BA () C

Propiedades:

i) A A A ( A: para todo conjunto A).

ii) A B y B C A C.

iii) A, A importante !!

7. Conjunto potencia: Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y se denota por P(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Ejm.: Si A = {1, 2}; entonces todos los subconjuntos de A son: : {1}, {2}; {1, 2}

Entonces

P(A) = {;{1};{2};{1;2}}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: 1. Unión o

reunión ()Dados los conjuntos: A y

B:

A la unión pertenecen los elementos

de A, B o de ambos a la vez.

Notación: A B = {x/x A x B}

( = se lee “o”)

Ejm.: A = {1, 2}

B = {2, 4, 5}

A B = {1, 2, 4, 5}

Propiedades:

i) A B = B A

A A = A

A = A

A U = U

2. INTERSECCIÓN (∩)Tenemos A y B; se llama intersección al

conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A y B a la vez.

A B = {x/x A x B}

((); se lee “y”)

Ejm.: A = {1; 2; 3; 6}

B = {2; 4; 6; 7; 8}

A B = {2; 6}

Propiedades:

i) A B = B A.



ii) A A = A

iii) A =

iv) A U = A

3. DIFERENCIA: D

ellos A y B.

Llamado al conjunto formado por

todos los elementos de A y que no

pertenecen a B; es decir; es el

conjunto formado por los

elementos que solo pertenecen a

A.

A – B = {x/x A x B}

Ejm.: A = {1, 2, 3, 6}

B = {2, 4, 6, 7, 8}

A – B = {1; 3}

Propiedades:

i) A – A =

ii) A - = A

iii) - A =

iv) A – B B – A A B

4. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO:

Dado un conjunto A está

incluido en el universo ;

denomina complemento del

conjunto A, a todos los

elementos que están fuera

de A; pero dentro del

universo.

A’ = Ac = {x/x x A}

Ejm.: Sean U = {1; 2; 3; 4; 5;

6; 7; 8}

A = {1, 3, 4, 7, 8}

A’ = Ac = {2, 5, 6}

Propiedades:i) (A’)’ = A

ii) ’ = U

iii) U’ =

iv) A A’ = U

v) A A’ = A’ =

* Leyes de Morgan:

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’


1) Si A = {0; {};

1; {1}} y dados las

proposiciones:

I) A II) {} A

III) A IV) {{0}, {1}} A

V) {{1}} A

¿Cuáles son verdaderos?.

Rpta.: ...............

2) Si L = {Ana;

Karen, Brenda, Memo} y

dadas las proporciones

I) Brenda L

II) Karen L

III) Memo {Ana, Karen,

Brenda, Memo}

IV) María L

V) {Ana} L

¿Cuáles son falsas?.

Rpta.: ...............

3) Si se tiene el

conjunto:

S = {x+2 / x = 4m-2; m N; 0 < m

2}

Entonces la suma de todos los

elementos de S es:

Rpta.: ...............

4) Sea P = {x/x N; 0 < x2 <

35} y sea M = {x/x N, 5 < x + 4 <

14}

Hallar la suma de los elementos de P

M.

Rpta.: ...............

5) Dado K = {3, 4, 5, 6}.

¿Cuáles de los siguientes son

verdaderos?.

I) x M; 2x – 5 1

II) x M; 2x < 11

III) x M; y M;

x + y > 6

IV) x M; y M; x3 + y3 > 16

Rpta.: ...............


2827

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 6) De 50 alumnos que

llenan los cursos de aritmética y

álgebra, se sabe que 30 llevan

aritmética y 13 llevan aritmética y

álgebra. ¿Cuántos llevan solo

álgebra?.

Rpta.: ...............

7) En un mercado fueron

encuestados 80 señores sobre el

consumo de pollo, pescado y

carne de res; con el siguiente

resultado; 40 consumen pollo; 26

consumen pescado y 45

consumen carne de res; además 8

señores afirman que consumen los

3 tipos de carne. ¿Cuántos

señores consumen solo 2 tipos de

carne?.

Rpta.: ...............

8) Dados los conjuntos:

A = {x N / 0 < 0 x 4 x es Nº par}

B = { x Z / 0 < 3 x > 7}

C = {x N / x 2 0 < x

8}

Determine M = [(A C)

B]

Rpta.: ...............

9) En un colegio,

100 alumnos han rendido 3

exámenes. De ellos 40

aprobaron el primer examen,

39 aprobaron el segundo

examen y 48 el tercer

examen.

Aprobaron los 3 exámenes

10 alumnos; 21 no aprobaron

examen alguno; 9 no

aprobaron los dos últimos

pero si el primero; 19 no

aprobaron los 2 primeros;

pero sí el tercero. Entonces,

el # de alumnos que

aprobaron solo uno de los

exámenes es:

Rpta.: ...............

10) U = {x N / 0

< x < 11} y

A = ‘1; 3; 5; 7}

B = {2; 4; 6; 8}

A C = {1; 3}

A C = {1; 2; 3; 5; 7; 9}

R(B C) + n(A C);

vale:

Rpta.: ...............

11) En una

competencia atlética con

12 pruebas participaron 42

atletas, siendo los

resultados; 4 conquistaron

medalla de oro; plata y

bronce; 6 de oro y plata; 8

de plata y bronce; 7 de oro

y bronce. ¿Cuántos atletas

no conquistaron

medallas?.

Rpta.: ...............

12) Una persona como pan

con mantequilla o mermelada cada

mañana durante el mes de febrero; si

22 días comió pan con mermelada.

¿Cuántos días comió pan con

mermelada y mantequilla?.

Rpta.: ...............

13) De un grupo de 100

estudiantes se obtuvo la siguiente

información; 28 estudian inglés; 30

estudian alemán, 42 estudian francés,

8 inglés y alemán y 10 inglés y

francés; 5 alemán y francés y 3 los

idiomas inglés, francés y alemán.

¿Cuántos estudiantes no estudian

ningún idioma?.

Rpta.: ...............

14) Dados los conjuntos: A =

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 7, 8, 9} y

C = {4, 5}


3029


Determinar el conjunto cuya

representación gráfica es la región

sombreada de la fig.:

Rpta.: ...............

15) De 76 alumnos; 46 no

estudian lenguaje; 44 no estudian

historia y 28 no estudian ni lenguaje ni

historia. ¿Cuántos alumnos estudian

lenguaje e historia?.

Rpta.: ...............

16) En una clase (15 + n)

aprobaron matemáticas e historia y

(40 + n) aprobaron matemáticas.

¿Cuántos aprobaron solamente

historia?. Si en total habían (70 +

n) alumnos; de los cuales

solo aprobaron 5?.

Rpta.: ...............

17) En un centro de

investigación trabajan 67

personas. De estas saben

inglés 47, 35 el alemán y 23

ambos idiomas.

¿Cuántas personas no

conocen ni el inglés ni el

alemán?

Rpta.: ...............

18) Dados los

conjuntos unitarios.

P = {x + y, 8}; Q = {y + z, 10}

y

S = {x + z, 12}.

Calcular: (x + 4y – z)

Rpta.: ...............

19) De un grupo de

100 personas: 40 son mujeres;

73 estudian historia, 12

mujeres no estudian historia.

¿Cuántos hombres no

estudian historia?.

Rpta.: ...............

20) Dados los

conjuntos:

A = {x / (8x + 1) Z; 0 x

< 1}

B = {2x + 1 / x N; 1 < x

5}

C = {3x + 1 / 2 x < 3}

Indique la verdad o

falsedad de las siguientes

proposiciones:

I) n(A) = 3 II) n(A) +

n(B) = 16

III) C = [7, 10> IV) C =

{7}

V) n(A B) = 0

Rpta.: ...............


1) Dados las proposiciones:

I) {{0}; 1, 2} {0, 1, 2}

II) {1/2; 1, 2} = {2-1; 2º, }

III) {1, 2, 3} y {a, b, c} son conjuntos

disjuntos

IV) { { {}; } } tiene 2 elementos.

Son verdaderos:

a) Ninguno b) Solo III

c) Solo II d) II y III

e) N.A.

2) Dado el conjunto u = {x/3

x < 6; x N}

Hallar el producto de los elementos de

M.

a) 65 b) 60 c) 12

d) 20 e) 80

3) Dados los conjuntos: A =

; B = {} y C = {0}. ¿Cuál es

correcto?.

a) A = B b) A = C c) A B

d) A B e) B A


3231

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 4) Si A = {a, b, c} y B =

{a; b}; y se dice que:

I) (A B) tiene un solo elemento.

II) (A B)

III) A = A

IV) (A – B)º es un conjunto

unitarios .

V) (A B)

Hallar la veracidad o falsedad de las proposiciones:a) FVVVV b) FFFVV c) FFFFF d) FFVFV e) FVFFV

5) Sean A, B y C

conjuntos; tales que: n(A B) = 20

n(A) = 14 y n(B) = 10

Entonces hallar: n(A B C); si

se sabe que: A B y C son

disjuntos.

a) No se puede determinar

b) 6

c) 4

d) 10

e) 3

6) Se tiene 50 choferes

de los cuales 35 tienen carnet del

seguro social, 16 libretas

tributarias y 15 solamente

brevetes o los choferes que

poseen al menos 2

documentos son:

a) 30 b) 32 c) 18

d) 17 e) 20

7) En una aula de

50 alumnos aprueban

matemáticas 30 de ellos;

física – 30; castellano 35;

matemática y física 18; física

y castellano 19; matemática

y castellano 20; y 10

alumnos aprueban los 3

cursos; se deduce que:

a) 2

alumnos no aprueban

ninguno de los 3 cursos.

b) 8

aprueban matemática y

castellano pero no física.

c) 2

aprueban matemática

pero no aprueban

física ni castellano.

d) 6

aprueban matemática

y física pero no

aprueban castellano.

e) Ning

una de las anteriores.

8) En una escuela

de 135 alumnos, 90

practican fútbol; 55 basket y

75 natación. Si 20 alumnos

practican los 3 deportes y 10

no practican ninguno.

¿Cuántos alumnos practican

un solo deporte?.

a) 50 b) 53

c) 60 d) 70

e) 65

9) En una clase

de 27 alumnos cada uno

de estos está inscrito en

uno por lo menos, de los 2

clubes siguientes: “Club de natación”,

“Cine club”, el número de alumnos

inscritos en los 2 clubes es 7 y el

“Cine club” tiene registrados los 2/3

del total de alumnos. ¿Cuántos

miembros tiene el “Club de natación?.

a) 20 b) 16 c) 11

d) 9 e) N.A.

10) El conjunto A tiene 3

elementos menos que el conjunto B;

que por cierto posee 7168

subconjuntos mas que A. El máximo

número de elementos de (A B)

será:

a) 30 b) 11 c) 13

d) 23 e) 16

11) En un salón de

postulantes hay 58 alumnos; 36

piensan seguir ingeniería; 24 piensan

seguir ciencias y solo 13 piensan

estudiar letras; el número que piensa

ser ingeniero y científico.

a) 13 b) 15 c) 17

d) 8 e) 19


3433



12) De 180 alumnos de la

U.N.F.V.; el # de los que estudian

matemática es el doble de los que

estudian lenguaje. El número de

alumnos que estudian ambos

cursos a la vez; es el doble de los

que estudian solo lenguaje e igual

a los que no estudian alguno de

esos cursos. ¿Cuántos alumnos

estudian solo matemáticas?.

a) 20 b) 40

c) 80 d) 120

e) 140

13) Si el 5% de los

pobladores de una ciudad

consumen 3 tipos de pescado; A,

B y C, el 15% consumen los tipos

de pescado A y B; el B%.

Consumen B y C; el 14 %

consumen A y C. ¿Cuál es el

porcentaje de personas que

consume solamente 2 tipos

de pescado?.

a) 15% b) 37% c) 22%

d) 23% e) 25%

14) Sean los

conjuntos:

A = {x z / x = (-1)n; n Z}

B = {y z / y2 = (9-3)2 – 3}

C ={z z / 3 + 3 = 2z + }

Entonces es cierto:

a) B = C

b) A = B C

c) A = B C d) A = C

e) B A = A C

15) De 70

alumnos; 46 no estudian

lenguaje (L); 44 no

estudian historia (H) y 28

no estudian ni lenguaje ni

historia. Entonces

¿Cuántos alumnos

estudian lenguaje e

historia?.

a) 18 b) 16 c) 14

d) 20 e) 12

TEMA: NUMERACIÓN

Definición: Es la parte de la aritmética

que se encarga del estudio de los

números y las relaciones que se

establecen entre ellos.


3635

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año Número: Es un ente matemático;

por lo tanto no tiene definición; nos

da la idea de cantidad. Ejm.: 5, 125.

Numeral: Es la presentación literal

ó simbólica del número. Ejm.: s,v, ,

a, x, etc.

Sistema de numeración: Es un

conjunto de reglas y principios que

nos ayudan a representar

correctamente a los numerales.

Ejm.:

1 2 3 correcto 4

2 0 1 incorrecto 2

* Principios:

De orden:

Lugar

1 2 3 4 55 6 9 7 24 3 2 1 0

Orden

Obs.: Cuando el lugar coincide

con el orden en un numeral, el

# será de “2n” cifras, donde “n”

es el lugar de orden en el que

coinciden.

De la base Base Z 2

Ejm.: numeral

215(n)

base

Las cifras del numeral es

siempre menor que el de la

base; por eso la mayor cifra

posible es (n-1).

Forma correcta: 324(5)

Obs.: 516(10) = 516

Cambio de la base 10 a base

de 10:

Ejm.: 16(10) ?(3)

Pasos:

De la cifra: 0 (cifra Z) < Base

(cifra máxima)

= (base – 1)

Cuando se tenga una igualdad

de dos numerales en

diferentes bases, a mayor

numeral aparente, menor

base; y a menor numeral

aparente mayor base. En el

caso anterior:

Vemos:

Obs.: En la base “n” tenemos

“n” diferentes cifras a tomar

para formar un numeral de

cualquier # de cifras.

cifras:

cifras no significativas

sea: Siempre puede tener

{1, 2, 3, .... n – 1}

Base Sistema Cifras2345...1011..

BinarioTerciarioCuaternarioQuinario ...decimal undecimal ..

0,10,1, 20, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4...0, 1, 2, 3, 40,1,2,..9,10..

Ojo: convencionalmente:

10 <>

11 <>

12 <>

Representación literal:

{10, 11, 12, .......99}

la barra sólo coloca cuando el

numeral contiene dos o mas letras.


123 numeral4 base

3837


= 37 a = 3; b = 7

= 11 m = 1; n = 1

(7) = 26 = 35(7) a = 3; b = 5 }

cambio de base.

Números capicúas:

{22, 151, 7447, , }

equidistantes en los extremos.

Descomposición polinómica:

Base 10 2754 = 32 10

orden

= 2 x 103 + 7 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100

de una base cualquiera:

= a x n2 + b x n1 + C

Caso práctico:

a 0; (b y c) < n

Propiedades:

1) .9 = 101 – 1

.99 = 102 – 1

.999 = 103 – 1

.44(5) = 52 – 1

En general:

2) .13(4) = 4 + 3 x 1

.

.

En general:

“k veces” = n + k x a


1) Realizar las siguientes

conversiones:

a) A la base 10:

- 327(8) ............ 215

- 2(13)7(15) ............ 652

- 100201(3) ............ 262

b) A la base 5:

- 47 ............ 142(5)

- 63(8) ............ 201(5)

- 1010001(2) ........... 311(5)

Rpta.: ...............

2) Hallar “n” para que sea

correctamente escrito:

;

Rpta.: ...............

3) Si se cumple que:

Hallar: a + b + c + d

Rpta.: ...............

4) Sabiendo que:

Hallar el valor de x.

Rpta.: ...............

5) Si

Hallar: a – b

Rpta.: ...............

6) Sabiendo que:

Expresar: (2b) (2a)(11) en base 6.

Rpta.: ...............

7) Si sabemos que se cumple:

Calcular : k

Rpta.: ...............

8) Sabiendo que:


4039



Hallar: m + n + k

Rpta.: ...............

9) Si

Hallar m + n + k

Rpta.: ...............

10) Hallar (m + n + x) si:

Rpta.: ...............

11) Hallar m + n + k; si:

Rpta.: ...............

12) Se escribe “M” en la base (8).

¿Cuántos ceros se utiliza en su

escritura?.

M = 5x230 + 3x29 + 10

Rpta.: ...............

13) Sabiendo:

Hallar: (a + c) – (b + d)

Rpta.: ...............

14) Si:

Hallar: a x n

Rpta.: ...............

15) Si

Hallar:

Rpta.: ...............

16) Si:

Hallar: m + n

Rpta.: ...............

17) Si:

Rpta.: ...............

18) Dado:

b 1

Hallar: a – b + n

Rpta.: ...............

19) Hallar mxn: si se cumple:

20) Si: 15425(a) =

Hallar (a + b).


4241



1) Hallar “m”, para la correcta

escritura del numeral:

a) 2 b) 3 c) 1

d) 5 e) 6

2) Si

Calcular el menor valor de a + b; si

a b

a) 5 b) 7 c) 4

d) 8 e) 3

3) Sabiendo que:

y a > b. Hallar el

máximo valor que puede tomar a x

b.

a) 7 b) 12 c) 15

d) 16 e) 18

4) ¿En qué sistema de numeración

se duplica 25 invirtiendo el orden

de sus cifras?.

a) 8 b) 9 c)

6

d) 7 e) 12

5) Si , hallar el

valor de

(a + b + n).

a) 7 b) 6 c) 9

d) 8 e) 12

6) En el sistema de numeración

en que 100 se expresa como

84. ¿Cómo se expresa 234

en dicho sistema?.

a) 671 b) 761

c) 176 d) 167

e) 716

7) Si:

P = 21x165 + 18 x 163 + 17 x

162 + 51

Expresar en base 4.

a) 110103032201

b) 111003020123

c) 11033320112

d) 11100103010303

e) 22100320012

8) Si:

Hallar a x c:

a) 24 b) 16 c) 15

d) 21 e) 14

9) Si se cumple:

y

Calcular: b + n + m

a) 8 b) 7 c) 12

d) 10 e) 11

10) Determinar el valor de n:

Si:

en: a 2

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

11) Si se cumple:

Además si “b” es par y

mínimo. Hallar: a + b + c

a) 14 b) 16 c) 15

d) 18 e) 12

12) Un móvil parte del kilómetro a

una rapidez de Km/h. Al cabo de

cierto tiempo llega al kilómetro .

a) 11/2min b) 9/11min

c) 11/9h d) 9/11h

e) 9/11seg.

13) Si:

Hallar: (a + m)

a) 7 b) 5 c) 6

d) 4 e) 8

14) Si se cumple:

Hallar: a x b

a) 6 b) 3 c) 4

d) 8 e) 5

15) Si el numeral:

Hallar n:

a) 4 b) 2 c) 3

d) 5 e) 6


4443


TEMA: CONTEO DE NÚMEROS

Cantidad de cifras utilizadas desde 1

hasta N:

1, 2, 3, ...................., N.

# cifras =

K: # de cifras de N.

Ejm.: Hallar la cantidad de cifras

utilizadas en:

1, 2, 3, ................, 200.

# cifras = (201)3 – 111 = 492

II) Conteo de números por el método

combinatorio:

Método combinatorio: Sirve para hallar cuantos números

existen de una determinada forma

multiplicamos los valores que tomen

sus variables independientes.

Ejm.: De cuántas maneras se

puede llegar a A hasta C.

Total de maneras: 5 x 3 = 15

Ejm.: Cuántos números de 2

cifras empiezan en cifra

impar?.

2 14 2

6 38 4

56789

4 x 9 = 36

PROBLEMAS PARA LA

CLASE

1) Hallar el número de

páginas de un libro en

cuya segunda mitad se

han empleado 109 cifras

mas que en su primera

mitad.

Rpta.: ...............

2) Dada la siguiente sucesión de

números: A = 1, 2, 3, ......., si

para escribirla se han empleado 142

cifras. Hallar a + b.

Rpta.: ...............

3) ¿Cuántos números de 4 cifras tienen

por lo menos 2 cifras iguales.

Rpta.: ...............

4) En base “x” cuantos numerales de la

forma:

existen.

Rpta.: ...............

5) ¿Cuántos numerales de 11 cifras

cumplen que al producto de sus cifras

es 30.

Rpta.: ...............


Toman estos valores

4645

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 6) ¿Cuántas páginas tiene un libro

que en sus 100 últimas se han

utilizado 236 cifras para numerarlo.

Rpta.: ...............

7) ¿Cuántos números de 4 cifras,

, existen, donde: a – b = 2 c

+ d = 6?.

Rpta.: ...............

8) Hallar (a + b + c) sabiendo que

para escribir todos los números

enteros desde, hasta abc se

cumple una cantidad.

Rpta.: ...............

9) Un libro tiene 743 páginas. ¿Qué

diferencia en el número de tipos

hay si la numeración del libro se

hace en base 10 y base 7

respectivamente?.

Rpta.: ...............

10) El número de tipos usados para

numerar un libro es el triple del

número de páginas.

¿Cuántas páginas tiene el

libro?.

Rpta.: ...............

11) En dos sistemas de

numeración de bases

consecutivas existen 155

números que se escriben con

2 cifras en ambas bases.

¿Cuál es la suma de dichas

bases?.

Rpta.: ...............

12) ¿Cuántos números de 3

cifras de base 12 se escriben

con 3 cifras en base 11 y en

base 10?.

Rpta.: ...............

13) En la enumeración de las

páginas de un libro se han

utilizado 506 cifras menos

que en la enumeración de

otro libro de a páginas

calcular: (a+b).

Rpta.: ...............

14) En la enumeración de un

litro de aritmética, por error

se empieza con 100 en

vez de 1 si hay un exceso

de 116 cifras debido a este

error. ¿Cuántas páginas

tiene realmente dicho

libro?.

Rpta.: ...............

15) ¿Cuántas páginas mas

que hojas tiene un libro,

sabiendo que para

enumerar las 100 últimas

páginas se han utilizado

283 tipos de imprenta.

Rpta.: ...............

16) ¿Cuántos números pares

de la forma

existen:

Rpta.: ...............

17) ¿Cuántos dígitos se han empleado

para enumerar las 1000 páginas de

un libro.

Rpta.: ...............

18) Para enumerar un libro de

páginas se han empleado 960 tipos

de imprenta. ¿Cuántos tipos de

imprenta se emplearon para numerar

un libro de páginas?.

Rpta.: ...............

19) El número de páginas de un libro es

1239, si se arrancan las “n” primeras

páginas, en las restantes necesitarán

3450 cifras mas que las arrancadas

para su respectiva numeración. Hallar

“n”.


4847


20) Al enumerar las páginas de u n

libro se emplean 1812 páginas.

¿Cuántas hojas tiene el libro?.


1) Si se colocan todos los números

que terminan en 2, uno a

continuación del otro según como

se indica: 02, 12, 22, 32.....

Calcular la cifra que ocupa el

lugar 5678.

a) 1 b) 3

c) 5

d) 7 e) 6

2) Una persona, solo recuerda

un número telefónico, que

empieza con 81. De las otras

4 cifras recuerda que son

cifras pares y que eran

diferentes. ¿Cuántas

combinaciones va hacer

dicha persona para adivinar

el número?.

a) 100 b) 80

c) 110

d) 115 e) 120

3) ¿Cuántos numerales de 5

cifras empiezan con cifra 3 y

termina con cifra 7?.

a) 100 b) 200

c) 300

d) 400 e) 500

4) ¿En qué numeral aparece

la cifra 2 que ocupa el

lugar 400, en la

numeración natural desde

1?.

a) 1982 b) 1892

c) 1882 d) 1992

e) 1244

5) ¿Cuántos números de 4

cifras que terminan en 5 y

que sean mayores que

5000 existen en el sistema

decimal?.

a) 2500 b) 400

c) 900 d) 500

e) 250

6) En la numeración de un

libro en el sistema nonario;

en las últimas 7 páginas que terminan

en cifra 5 se utilizan en 23 cifras.

Calcular cuántas páginas terminarían

en 3 si la enumeración se realizaría

en base 27 además la cantidad de

páginas es máxima.

a) 28

b) 25

c) 26

d) 29

e) 24

7) La cantidad de páginas de un libro es

un número de 3 cifras mayor que 600.

Si se arrancan “n” hojas del inicio y “n”

hojas del final, entonces el número de

tipos de imprenta disminuye en 201.

Halle cuántas páginas se arrancaron.

a) 42 b) 21

c) 84 d) 36

e) 168

8) Un diccionario de 420 páginas se ha

enumerado sus páginas en el sistema


5049


decimal. Se desea averiguar la

base del sistema en el que se tuvo

que enumerar para reducir en 46el

número de tipos de imprenta

usada.

a) 10 b) 12 c) 15

d) 20 e) 24

9) ¿Cuál es la base de sistema de

numeración en que se reducirá 46

el número de tipos de imprenta

para enumerar las 420 páginas de

un libro?.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

10) De un libro de 500 hojas se

arrancan 5 hojas seguidas

notándose que en las hojas que

quedaron se había utilizado 2866

cifras en su numeración.

Determinar el número de la

primera página arrancada.

a) 97 b) 100 c) 200

d) 107 e) 98

11) En las últimas 25 páginas de

un libro que terminan en 4,

se han empleado 87 tipos de

imprenta en la numeración

de las mismas. ¿Cuántos

tipos de imprenta como

mínimo se han empleado en

la enumeración de todas las

páginas de dicho libro?.

a) 3180

b) 3553

c) 3349

d) 3937

e) 2941

12) Hallar la base del sistema en

el que la cantidad de

números de 3 cifras

significativas que se utiliza al

escribir en dicha base todos

los números desde 1 hasta

242 (242 está escrito en la

base de referencia?.

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 12

13) Se arrancan 50 últimas

hojas de una enciclopedia,

notándose que el número

de tipos de imprenta que

se utilizaron en su

enumeración, ha

disminuido en 361.

¿Cuántos tipos de

imprenta se han utilizado

en la enumeración de las

hojas que quedaron?.

a) 2000

b) 2770

c) 2772

d) 2774

e) 2700

14) Para enumerar un libro se emplearon

666 cifras. Si se eliminan 20 hojas.

¿Cuántas cifras se usaron para

enumerar los páginas restantes en

base 8?.

a) 3941

b) 4760

c) 4904

d) 4814

e) 1420


5251


15) ¿Cuántas páginas tiene un libro si

en su enumeración se han

empleado 1480 veces la cifra 7 y la

suma de cifras del número de la

última página es 17?.

a) 3941

b) 4760

c) 4904

d) 4814

e) 1420

TEMA: TEORIA DIVISIBILIDAD

Es la parte de la aritmética que

tiene por objeto hallar las

condiciones que debe de tener

un número para que sea divisible

entre otro.

El objetivo principal es hallar el

residuo en divisiones enteras

inexactas, sin tener que

ejecutarlas.

Definiciones preliminares: Múltiplo: Se dice que un “ A” es

un múltiplo de “B” cuando “A”

contiene a “B” un # Z y exacta de

veces.

Notación: A = Bº

A = m . B

A =

Ejm.: * 30 es múltiplo de 6

* 0 es múltiplo de 8

* -120 es múltiplo de ___

Divisor: Se dice que un # es

divisor de otro cuando los

divide en forma exacta.

Ejm.:

* 5 es divisor de 120

* -3 es divisor de 18

Observación:

1) El cero es múltiplo de

todo número natural.

2) Por convención el

primer múltiplo de un

número es el mismo

número.

ESTRUCTURA DE LOS

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Sen los múltiplos de 3; (3º):

...........3(-1); 3(0); 3(1);

3(2), .......

= 3 t “t” Z

En general:

= n.K; “K”, “n” Z

Principios de divisibilidad:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Adicionales:

8) N


COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año N =

9) N

N =

10) * D =

* D =

TEOREMA DE ARQUÍMEDES

Si A . B = ; además “A” no es ; ni

tiene ningún divisor en común con “n”

aparte de la unidad.

B =

Año bisiesto:

Es aquel año que tiene 366 días; la

forma de reconocer es que son

años a excepción de los

años seculares que no

forma un # .


1) Colocar verdadero (V) o falso

(F) según corresponda:

i) 6 es múltiplo de

30.

ii) 6 es divisor de

30.

iii) 1 es divisor de

todo # entero.

iv) 0 no es

múltiplo de todo #

entero positivo.

Rpta.: ...............

2) Colocar verdadero (V) o

falso (F):

i) 30 es múltiplo

de 6.

ii) 0 es múltiplo

de todo # entero

positivo.

iii) Si A es

divisible por B;

entonces A es múltiplo

de B.

iv) Si B es divisor

de A; entonces B es

múltiplo de A.

Rpta.: ...............

3) Indicar cual es el menor divisor primo

del número 63.

Rpta.: ...............

4) Indicar cual es el mayor divisor primo

del número 110.

Rpta.: ...............

5) ¿Cuántos divisores tiene el número

70000?.

Rpta.: ...............

6) ¿Cuántos divisores primos tiene el

número 1260.

Rpta.: ...............

7) ¿Cuántos divisores primos tiene el

número 1400?.

Rpta.: ...............

8) ¿Cuántos divisores menores que 125

tiene el número 500?.

Rpta.: ...............

9) ¿Cuántos divisores de 2 cifras tiene el

número 600?.

Rpta.: ...............


5453

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 10) Si 3n tiene 15 divisores. Hallar “n”.

Rpta.: ...............11) Si 4n tiene 11 divisores. Hallar “n”.

Rpta.: ...............

12) Si 162n+1 tiene 29 divisores.

¿Cuántos divisores impares tiene

1200n-1?.

Rpta.: ...............

13) Sea N = 3ª x 22 x 5b; si N posee 40

divisores pares y 24 divisores

cuyos valores son divisibles por 9.

Halle la suma de divisores de .

Rpta.: ...............

14) Si: posee 7 divisores

propios. Determinar el mínimo

que cumpla con dicha condición.

Rpta.: ...............

15) ¿Cuántos números de 3 cifras son

múltiplos de 3 y de 6 pero no de

7?.

Rpta.: ...............

16) ¿Cuántos divisores tiene el

número 4050, que no sean

divisibles por 15?.

Rpta.: ...............

17) Calcular la cantidad de

divisores de , si este

descompuesto

canónicamente posee la

siguiente forma: = PP x

(P + 1)3 x (P + 3).

Rpta.: ...............

18) La suma de los divisores de

N = 25 x a x b es el triple de

N. ¿Cuántos divisores tiene

el número si a

y b son números primos

diferentes de 2 y entre sí?.

Rpta.: ...............

19) ¿Cuántos divisores múltiplos

de 3 pero no de 7 tiene el

número 126000?.

Rpta.: ...............

20) Indicar los divisores

primos de: ;

sólo los que son posibles

indicar.

Rpta.: ...............

PROBLEMAS PARA LA

CASA

1) Del 1 al 500 averiguar:

a) ¿Cuántos son múltiplos

de 5?.

b) ¿Cuántos son múltiplos

de 11?.

c) ¿Cuántos no son

múltiplos de 11?.

Dar como respuesta la

suma de los resultados.

a) 1000 b) 500

c) 45 d) 145

e) 600

2) Del 20 al 400:

a) ¿Cuántos números son .

b) ¿Cuántos números son ?.

c) ¿Cuántos números son ?.

Dar como respuesta la suma de los

resultados.

a) 155 b) 96

c) 39 d) 20

e) 125

3) ¿Cuántos números de 2 cifras son y

terminan en 3?.

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 9 14

4) ¿Cuántos números de 4 cifras son

múltiplos de 6 y terminan en 2?.

a) 1700 b) 1499

c) 2300 d) 1066

e) 1666


5655

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 5) Hallar la suma de los “K” primeros

múltiplos de 7 mayores que cero.

a) 7K2+7K

b) 7K2+7

c) 3,5K+3,5K2

d) 3,5K2 + 3,5

e) 3,5K + 7

6) Dado: N = ; si “a” es el doble de

“b” entonces porque números será

divisible “n”:

a) 4 b) 5

c) 8 d) 7

e) 9

7) ¿Cuántos numerales de 3 cifras

son divisibles por 4, pero no de 3

ni de 5?.

a) 120 b) 140

c) 100 d) 70

e) 160

8) Si: N = 30n x 8n+2 x 15n+2,

tiene 731 divisores

compuestos. Calcule cuántos

divisores impares pero PESI

con 35 tiene N.

a) 8

b) 10

c) 7

d) 15

e) 2

9) Si: N = (a – 1)m x an, está

descompuesto

canónicamente y se sabe

que:

i) Al multiplicarlo

por 12, su cantidad de

divisores aumenta en

19.

ii) Al dividirlo entre

18 su cantidad de

divisores disminuye en

17.

Calcule: m + n + a

a) 12 b) 13 c)

10

d) 15 e) 14

10) Si tiene 7

divisores propios, halle la

suma de los valores que

toma para satisfacer

la condición.

a) 180 b) 220 c) 100

d) 130 e) 162

11) Si el numeral

tiene 4 divisores simples y

su cantidad de divisores

es la mayor posible.

Calcular m + n:

a) 8 b) 6 c) 9

d) 16 e) 7

12) Si (300)n tiene igual cantidad de

divisores que (16) x (90n). Hallar el

valor de “n”.

a) 10 b) 7 c) 5

d) 4 e) 2

13) El número 360 tiene el doble de

divisores que (2) x (10K). ¿Cuántos

divisores tiene 4K2?.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) 8

14) Calcular cual es la suma de los “n”

primeros múltiplos enteros y positivos

de 5.

a) 25n (n + 1)


5857


b) n2 + 10

c) n (n2 + 1)

d) 2,5(n2 + n)

e) n (n – 1)

15) Dada la descomposición

canónica del menor N; tal que N =

ab x ba (a + b)a+b. Dar como

respuesta la suma de cifras de la

cantidad de divisores de N.

a) 8 b) 9 c) 7

d) 10 e) 12

TEMA: CRITERIOS DE

DIVISIBILIDAD

Son los diversos medios que nos

permiten saber cuando un

número es divisible entre otro. El

objetivo principal es hallar el

resto en divisiones enteras

inexactas sin tener que

efectuarlas.

I) Divisibilidad por

2n y/o 5n:

Todo número será divisible

por 2n y/o 5n cuando sus “n”

últimas cifras sean todos

iguales a cero o en todo caso

formen un número múltiplo

de 2n y/o 5n.

N =

=

II) Divisibilidad

por 3 y/o 9:

Todo número será divisible

por 3 y/o 9 cuando la

suma de sus cifras de

cómo resultado un # y/o

.

N =

N =

Ex.: N = 9153

N =

N =

III) Divisibilidad por 11:

Todo número será divisible por 11

cuando al restar la suma de cifras de

orden impar con la suma de cifras de

orden de cómo resultado un .

N =

N =

IV) Divisibilidad por 7:

Todo número será cuando al

multiplicar sus cifras de derecha a

izquierda por los coeficientes; 1, 3, 2, -

1, -3, -2, la suma algebraica de cómo

resultado un .

N =

N = +


21 ...8

22 ....48

23 ...648

51 ...o

52 ....oo

6059

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año V) DIVISIBILIDAD POR

13:

Todo # será cuando al

multiplicar sus cifras de derecha a

izquierda por los coeficiente 1, -3, -

4, -1, 3, 4; la suma algebraica de

cómo resultado todo un .

N =

N = -


1) Halle el residuo de dividir N

entre 24 y 8

respectivamente; dar como

respuesta la suma de estos;

si: N = 2504823.

Rpta.: ...............

2) Halle el residuo de dividir N =

700538 entre 525 y 125. Dar

la suma de estos.

Rpta.: ...............

3) Halle el residuo de dividir N

entre 3 y 9; Si N = 148712.

Dar como respuesta el

producto de estos.

Rpta.: ...............

4) Determine la suma de los

valores de a:

Rpta.: ...............

5) Sea: .

Si “b” es par, halla axb. Si

además “a” es máxima.

Rpta.: ...............

6) Halle el residuo de dividir

725639 entre 11.

Rpta.: ...............

7) Halle el residuo de dividir

432125 entre 7.

Rpta.: ...............

8) Halle el valor de “a”, en:

.

Rpta.: ...............

9) Halle el residuo de dividir 2751058

entre 13.

Rpta.: ...............

10) Si: N = , determine

el mayor valor de a + b.

Rpta.: ...............

11) Determine la cantidad de números de

3 cifras menores que 720, tales que

sean divisibles por 12 pero no por 8.

Rpta.: ...............

12) Halle: a + b + c; si ; ,

Rpta.: ...............

13) ¿Cuántos números comprendidos

entre 2100 y 3500 terminan en 6 y

son divisibles por 14?.


6261



Rpta.: ...............

14) Sabiendo que:

Hallar: a + c

Rpta.: ...............

15) A una reunión asistieron 200

personas, notándose que de los

varones: 3/5 fuman, 3/8 usan

corbata y 5/12 son ingenieros.

¿Cuántas mujeres solteras

asistieron, si hubo 2 solteras por

cada 3 casadas?.

Rpta.: ...............

16) Se tiene un numeral capicúa de

cinco cifras, todos significativos, el

cual es divisible por 7. Determine

el residuo que se obtiene al dividir

dicho números entre 13. Además:

5c + 2b + 2a = y 5c + 2b + 2a

es mínimo.

Rpta.: ...............

17) Sabiendo que: ,

y . Halle el

residuo de dividir entre

13.

Rpta.: ...............

18) Si: (9845)37 es expresado en

el sistema heptanario;

determine su cifra de menor

orden.

Rpta.: ...............

19) Hallar cualquiera de los

números que tiene 4

cifras y comienza en 5;

tal que al ser dividido

entre 7, 9 y 11 se

obtenga como residuos 4,

8 y 9 respectivamente.

Rpta.: ...............

20) Sabiendo que es

divisible por 44.

Halle “a + b”


1) Si: . Calcular axn.

a) 10 b) 12 c) 13

d) 16 e) 14

2) Calcular (m + n); si: es

divisible por 56, si “m” es mínimo.

a) 12 b) 7 c) 13

d) 6 e) 14

3) Calcular: axb; si es divisible

por 88.

a) 20 b) 21 c) 19

d) 18 e) 15

4) Sabiendo que: ; y

.

a) 7 b) 6 c) 8


6463


d) 5 e) 4

5) Calcular cuántos números

capicúas de 4 cifras no son

divisibles entre 7.

a) 72 b) 62 c) 64

d) 56 e) 32

6) Si se cumple que:

Hallar: a x b + c

7) Encontrar el valor de a + b + c.

Sabiendo que:

a) 12 b) 18 c) 9

d) 15 e) 27

8) Si: ;

y

. Calcular ,

si a > c.

a) 374 b) 743

c) 473 d) 573

e) 734

9) Calcular (a – b + c), si:

a) 13 b) 12

c) 11 d) 10

e) 7

10) Hallar el valor de “a” en:

.

a) 8 b) 5

c) 6 d) 3

e) 7

11) La suma de los numerales:

y es siempre

divisible por:

a) 17 b) 19 c) a –

b

d) a + b e) a x b

12) El número de páginas de

un libro está comprendido

entre 600 y 800. Calcular

este número, sabiendo

que si se cuentan de 5 en

5 sobran 2; de 7 en 7, 4; y

de 11 en 11; 8.

a) 667 b) 757 c)

676

d) 697 e) 767

13) A una conferencia

asistieron 85 personas. Se

sabe que 2/3 de los

hombres usan bigotes y 3/5 de las

mujeres son abogados. Hallar la

diferencia entre el número de

hombres y mujeres presentes.

a) 30 b) 20 c) 45

d) 40 e) 50

14) En un ómnibus donde viajaban 100

pasajeros ocurre un accidente, de los

sobrevivientes la tercera parte eran

profesionales y la quinta parte de los

muertos quedaron sin una pierna.

¿Cuántos murieron en el accidente?.

a) 75 b) 65 c) 25

d) 35 e) 40

15) Si: (1999)2000 se convierte al sistema

de numeración de base 11. ¿Cuál es

la cifra de menor orden?.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 2 e) 10


6665


MISCELANEA DE PROBLEMAS

01. De un recipiente lleno de alcohol

puro, se extrae la cuarta parte y se

reemplaza por agua, luego se

extrae la quinta parte y se llena

con agua. ¿Cuántos litros de

alcohol puro es necesario agregar

a 20 litros de ésta última mezcla

para obtener alcohol de 20º?

a) 20 b) 40 c) 45

d) 60 e) 75

02. Se tiene 3 vinos de S/.10, S/.3 y

S/.5 el litro. Se toman volúmenes

del 1ro y del 2do en la proporción de

2 a 3 y se mezclan. Luego se

toman volúmenes del 2do y el 3ro

en la proporción 7 a 3 y se

mezclan, obteniéndose dos nuevas

clases de vino. ¿En qué proporción

deben mezclarse estos dos vinos

para obtener vino de S/.7.50 el

litro?

a) 4 a 13 b) 5 a 12 c) 3 a 14

d) 4 a 9 e) 7 a 8

03. Las leyes y los pesos de 4

lingotes son proporcionales a

los números 1, 2, 3 y 4. Si al

fundir los 4 lingotes se

obtienen una aleación de ley

0,480; hallar la ley del

segundo lingote.

a) 0,08 b) 0,16 c) 0,32

d) 0,48 e) 0,56

04. Al fundir la veinteava parte

de una joya de 18 kilotes con

2 gramos de cobre, resulta

una aleación de 0,7 de ley.

¿Qué peso de oro puro había

inicialmente en la joya?

a) 420 g. b) 450 g. c) 460 g.

d) 480 g. e) 560 g

05. De un depósito de 100

litros de capacidad lleno de

alcohol puro, se saca una

cierta cantidad de

alcohol y se reemplaza

por agua; se saca

después la misma

cantidad de mezcla y se

reemplaza por agua. La

mezcla resultante

contiene alcohol al 49%.

Se pide determinar la

cantidad de líquido que

se ha sacado cada vez.

Dar la suma de sus

cifras.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

06. Se compra cierta

menestra de diferentes

calidades, cuyos precios

son: 1,2,3 … soles, y se

les mezcla en proporción

directa a sus precios. EL

Kg. d la mezcla se vende

al precio de costo de la

mejor menestra,

ganando así el 40% del

costo de la mezcla. ¿Qué

porcentaje se perdería si el Kg. De

mezcla se vende a S/.4 el Kg.?

Sug .:

12 + 22 + …+ n2 = n.(n+1).(2n+1)/6

a) 15% b) 18% c) 17,5%

d) 25% e) 20%

07. Se tiene una aleación de oro de 16

Kg. Que pesa 10 gr. ¿Cuántos

gramos de cobre se debe añadir para

obtener una aleación de 8K. Dar la

suma de cifras.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

08. Se tiene 2 calidades de arroz: 30 kg.

y 20 kg. Respectivamente ¿Cuántos

kg’s se deben intercambiar para tener

arroz de un solo precio en ambas

partes?

a) 12 b) 13 c) 15

d) 8 e) 9

09. Se tienen 2 barras de metal que

pesan 1 Kg. Y 17 kg., los 2 contienen

cobre y zinc. La primera contiene 14%


6867


más de cobre que de Zinc; y la

segunda 4% menos de cobre que

de zinc. Se desea quitar de ambas

barras x Kg; de tal manera que al

fundir las partes restantes se

obtenga una aleación con 2% más

de cobre que de zinc. Hallar “X”

a) 1,5 b) 1,8 c) 3,5

d) 4,8 e) 5

10. En una barrica de 228 litros

quedan 147 litros de vino. Se ha

adicionado agua, de tal modo que

una botella de 0,8 litros llena de

esta mezcla, contiene en sus 7/10

vino puro. ¿Cuál es la cantidad de

agua (en litros) adicionada?

a) 63 b) 210 c) 56

d) 65 e) 85

11. Se mezclan dos clases de café: de

una 50 kg. Y de la otra 30 kg.;

costando S/.12 y S/1.0 el kg.

Respectiva-mente. Si el café, al

ser tostado; pierde 1/5 de su peso;

¿a cómo debe venderse el kg. De

café tostado de esa mezcla

para tener una utilidad del

20% del costo?

Dar como respuesta la suma

de cifras pares del resultado.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

12. ¿Qué cantidad de cobre

habrá que mezclar con una

barra de plata de 43,125 kg y

ley de 0,96; para que este

baje a 0,970?

a) 1,875 kg. b) 1,252 kg.

c) 2,5 kg. d) 1,275 kg.

e) 0,975 kg.

13. Se tiene 2 lingotes de oro,

uno de 600 gr. De masa y ley

0,92 y el otro de 900 gr. Y ley

0,88. Se funden los lingotes y

se extraen “M” gr. Que se

reemplazan por “M” gr. De

una nueva aleación de 0,971

de ley; resultando finalmente

una aleación con ley de

0,921. Hallar “M”.

a) 480 gr. b) 490 gr.

c) 500 gr. d) 510 gr.

e) 520 gr.

14. Un litro de alcohol al

60% tiene una masa de

940 gr. Determinar la

masa de un litro de

alcohol al 48%.

Nota: 1 litro de agua

tiene una masa

de 1000 gr.

a) 948 gr. b) 952 gr.

c) 954 gr. d) 955 gr.

e) 956 gr.

15. ¿De cuántos grados es

una mezcla alcohólica?,

sabiendo que cuando se

le agrega 25 litros de

alcohol puro se convierte

en alcohol de 85º, pero

si se le hubiese

agregado 50 L. de alcohol puro se

hubiese convertido en alcohol de

88º.

a) 80º b) 82º c) 72º

d) 70º e) 78º

16. Se tienen dos clases de vinos, de

S/.10 y S/.20 el litro, los mezclo en

la proporción de 2 a 1 y lo vendí

ganando el 20% del precio de

costo, después lo mezclé en la

proporción de 1 a 2 y los vendí

perdiendo el x% del precio de costo

y en ambos casos el precio de

venta es el mismo. Hallar la suma

de las cifras de x.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

17. Se tiene 360 Gr. De una aleación de

oro de un determinado número de

kilates. Hallar dicho número de

kilates, sabiendo que al fundir dicha

aleación con 72 gr. De oro puro se

obtiene una aleación cuyo número de


7069


kilates excede en 1 al número de

kilates de la aleación anterior.

a) 15 b) 16. c) 17

d) 18 e) 20

18. Si se mezclan 2 tipos de arroz en

masas proporcionales como 3 es a

4 y se vende con el 25% de

ganancia se obtiene el mismo

precio por kilo que si hubiese

mezclado en proporciones de 2 a 5

y vendido con una ganancia del

35%. Hallar la relación de precios

entre los tipos de arroz.

a) 5 a 3 b) 4 a 5 c) 3 a 4

d) 5 a 7 e) 5 a 6

19. Al fundir oro y plata se ha

producido una mezcla del 20% en

cada metal. ¿Cuántos gramos de

oro se debe utilizar si se quiere

obtener un lingote de 48 gr. Que

tenga 18 kilates.

a) 45 b) 48 c) 40

d) 45 e) 20

20. Se mezclan 4 clases de vino

de 6, 7, 8 y 9 soles el litro, de

tal modo que si se vendiera a

9 soles el litro, se ganaría el

25%. Hallar el volumen del

primero, sabiendo que el

volumen del primero es al del

segundo como 6 es a 5 y el

volumen del 2do es al del 3ro

como 10 es a 9 y el volumen

del 4to es 92 litros.

a) 120 b) 100 c) 210

d) 216 e) 222

21. Se mezclan 2 clases de café

de 8, 4 soles y 7,2 soles el

kilogramo respectivamente,

tomándose 40 y 20 kg. De

cada clase. ¿A cómo debe

venderse el kilogramo de

café “tostado” de esta mezcla

para ganar el 20%? (el café

tostado pierde 1/5 de su

peso).

a) S/.8 b) S/.9 c) S/.10

d) S/.11 e) S/.12

22. Se pierde “n”kg. De cobre

puro con 48 kg. De oro de

21 kilates y se obtiene

una aleación de “21-

m”kilates. Si se funden los

48 kg. De oro de 21

kilates con “n” Kg. De oro

de 14 kilates; la ley

resultante es mayor en 2

kilates que la ley de

aleación que se obtuvo

por primera vez. Hallar m

+ n.

a) 4 b) 7 c) 11

d) 3 e) 8

23. Al fundir un joyero 3

lingotes cuyas leyes en

oro son 0,92; 0,84 y 0,72;

obtuvo un lingote de oro

cuyo peso se desea

conocer, los pesos de los

3 lingotes son

inversamente

proporcionales a sus leyes y el

tercero pesó 245 gr. Más que el

primero.

a) 2975 b) 3115 c) 2225

d) 2725 e) 2775

24. A 20 gr. De oro de 18 kilates se

eleva su ley hasta 21 K. agregando

oro puro. ¿Qué peso de cobre será

necesario alear con este nuevo

lingote, para volverlo a su ley

original?

a) 10 gr. b) 12 gr. c) 15/4 gr.

d) 20/3 gr. e) 40/3 gr.

25. ¿Cuál es la ley de aleación de un

vaso de plata que pesa 500 gr., si se

ha vendido en S/.77 al precio de

S/.220 por kilogramo de plata pura?

a) 0,6 b) 0,68 c) 0,7

d) 0,72 e) 0,75

26. Se mezclan dos alcoholes, uno de 60º

y el otro de alcohol, siendo el

volumen del primero el triple del

segundo. Se toma la mitad de la

mezcla y se agrega 40 litros de agua


7271


obteniendo una mezcla de alcohol

de 50º; ¿qué cantidad de alcohol

puro se utilizó en su última

mezcla?

a) 40 L. b) 50 L. c) 90 L.

d) 80 L. e) 70 L.

27. Un litro de mezcla formado por

20% de agua y 80% de alcohol

pesa 760 gr., sabiendo que el litro

de agua, pesa 1kg. Se pide

calcular el peso de un litro de

mezcla conteniendo 80% de agua

y 20% de alcohol.

a) 1020 b) 1015 c) 1010

d) 1050 e) 940

28. Se mezclan 70 litros de alcohol de

93º con 50 litros de 60%, a la

mezcla se le extrae 42 litros y se le

remplaza por alcohol de nº,

resultando una mezcla que

contiene 28,8 litros de agua.

Determinar “n”.

a) 69º b) 65º c) 80º

d) 35º e) 63º

29. En la PA: , , …,

1175; el número de términos

es 251. Halle el valor de a:

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

30. La PA: 17, …., 251; tiene 40

términos, halle el duodécimo

término.

a) 81 b) 82 c) 83

d) 85 e) 90

31. En una PA el tercer término

es el octavo como 2 es a 5 y

la suma del primero con el

quinto es 20. Halle el

vigésimo término.

a) 59 b) 60 c) 61

d) 62 e) 63

32. Calcular la suma del cuarto

término y la razón de una PA,

cuyo segundo término es 8a

y el octavo 20a.

a) 14a b) 6a c) 12a

d) 10a e) 8a

33. En una progresión

aritmética el primer y el

último término son y

. Halle la razón, si

además el número de

términos está comprendido

entre 30 y 40.

a) 13 b) 15 c) 17

d) 19 e) 21

34. La suma de términos de

la progresión aritmética:

2n, (2n+3), (2n+6), …,

5n; es (38n+5). Halle el

valor de “n”

a) 7 b) 8 c) 5

d) 10 e) 11

35. En la progresión

aritmética:

2, …, 17, …, 44, el

número de términos que

existe entre 2 y 17 es la

mitad del número de

términos que existe entre 17 y 44.

Halle la suma de términos.

a) 290 b) 298 c) 320

d) 345 e) 405

36. Halle el número de términos de la

siguiente PA:

, , , , …,

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 3

37. La progresión aritmética: , ,

…, tiene 89 términos . Hallar (a

+ b + d).

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

38. La suma de los 11 términos de una

PA creciente es 176. La diferencia de

los extremos es 30.¿Cuál es el último

término?

a) 29 b) 30 c) 31

d) 32 e) 33

39. Se tienen 3 números en PA., que al

aumentarles en 2, 3 y 8


7473


respectivamente obtenemos

números proporcionales a 10, 25 y

50. Luego el mayor de éstos

números es:

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

40. Sabiendo que los 2 primeros

términos de una PA están en la

relación de 3 a 7. ¿En qué relación

están los dos últimos, si la

progresión tiene “n” términos?

a) b) c)

d) e)

41. Si a, b y c están en progresión

aritmética, calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

42. Los números: X1, X2, …, X11

forman una P.A. creciente:

Si:

Calcular X1:

a) -2 b) -3 c) -4

d) -5 e) -1

43. Un trabajador debe llevar una

carretilla de arena al pie de

cada uno de los 21 árboles

que están al lado de una

calzada. Los árboles están a

4m., de distancia y el montón

de arena está a 10 m. antes

del primer árbol.

¿Qué camino habrá recorrido

después de haber terminado

su trabajo y vuelto la

carretilla al montón de

arena?

a) 2000 b) 2100 c) 2500

d) 3000 e) 3100

44. Consideremos el sistema:

a + b – c = 15 b – 2a = 12

donde a, b y c son 3

términos consecutivos de

una P.G. oscilante,

entonces “a” es:

a) -2 b) 2 c) 3

d) 6 e) -3

45. ¿Cuál es el término central

de una PG de 3 términos

positivos, si el producto de

los 2 primeros es 24 y el

producto de los 2 últimos

es 54?

a) 8 b) 9 c) 6

d) 3 e) 12

46. Se tiene 3 términos de

una P.G. entera; se

agrega 4 al término

central y los demás se

encuentran entonces en

PA, en esta última

progresión se agrupa 32

al término final y la

progresión nuevamente es

geométrica. ¿Cuánto suman los

términos originales?

a) 30 b) 35 c) 28

d) 26 e) 29

47. Si la suma de los términos de una

PG es 726, calcular su razón y el

número de términos sabiendo que

sus términos extremos son 6 y 486

(1ro y último respectivamente.

a) 8 y 11 b) 3 y 5 c) 7 y 5

d) 7 y 11 e) 5 y 8

48. Entre 2 y 162 y entre 3 y 19683 han

interpolado el mismo número de medios

proporcionales. Hallar la diferencia de las

razones de las progresiones formados, si

la razón de la primera es 1/3 de la razón

de la segunda?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

49. Se tienen 2 progresiones, una

aritmética y otra geométrica, cuyos

primeros términos son iguales, e igual

a la razón sabiendo que la suma de


7675


los 8 primeros términos de la PA

es igual a la suma de los infinitos

términos de la PG. Calcular la

razón.

a) 34/35 b) 35/36 c) 36/37

d) 33/35 e) 24/36

50. Tres números que se encuentran

en P.G. creciente suman 650 y si

inversa es 13/150. Luego uno de

ellos será:

a) b) c)

d) e)

51. En una PG de “n” términos, la

suma de los (n-1) primeros

términos es 252 y la suma de los

(n-1) últimos es 504. Hallar la

razón

a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

50. Una persona dispone de una cierta

cantidad para sus gastos durante

una semana empieza gastando el

domingo la mitad de esa cantidad,

el lunes reduce su gasto a la

mitad, y así continúa

gastando cada día la mitad

de lo que había gastado el

día anterior, al terminar el

sábado le queda S/.3. ¿De

qué cantidad disponía esa

personal comenzar el

domingo?.

a) S/.300 b) S/.350 c) S/.384

d) S/.392 e) S/.386

53. En el mismo número de días

se sacan de 2 toneladas A y

B ciertas cantidades de vino

de A se saca el primer día 5

litros, el segundo día 10

litros, el tercero 20 litros y así

sucesivamente, de B se sacó

el primer día 2 litros, el

segundo 4 litros y el tercero 8

litros y así sucesivamente.

EN el último día se sacaron

del tonel A 192 litros más que

de B. Calcular el tonel de

litros sacados de cada tonel.

a) 635,254 b) 640,200

c) 850,300 d) 735,650

e) 400,350

54. De una PG con el 1er

término distinto de cero y

razón diferente de cero y

una PA con el primer

término igual a cero, si se

suman los términos

correspondiente de las dos

sucesiones se obtiene una

tercera sucesión: 1,1,2,…;

entonces la suma de los 10

primeros términos de la

nueva sucesión es:

a) 1068 b) 4557 c) 467

d) 978 e) 856

55. Si A = {,{m,x},x} indique

verdadero o falso según

corresponda:

I. m A

II. x A

III. {m,x} A

IV. {,x} A

a) VFVV b) VVVV c) FVVV

d) FFFF e) FFVV

56. Si: A = {3X / 1 X < 3: X Z}

B = {Y / 1 Y < 5: Y Z}

Halle n(aB)

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 5

57. Indique verdadero o falso según

corresponda:

I. A (AB) = A

II. A (AB) = A

III. AB) = A y B son

diferentes

a) VVV b) VVF c) VFV

d) VFF e) FFF

58. Se tienen los siguientes conjuntos:

M = {x/x es un niño}

N = {x/x es un niño que estudia en el

colegio}

P = {x/x es un niño que toma

desayuno}

Exprese mediante operaciones el

conjunto de los niños que no toman


7877


desayuno y no estudian en el

colegio.

a) M -( N P) b) M – (N P)

c) M N d) (M N) P

e) N P

59. Si: A B = A; n ( A C) = 0;

n (A) + n (C) = n (B);

n (A C) = 20.

Halle n (B):

a) 20 b) 0 c) 10

d) 15 e) 8

60. Si 20 personas leen la revista

A y 15 leen la revista B; y 7

leen ambas revistas. ¿Cuántas

personas no leyeron revista

alguna?. Si en total hay 38

personas.

a) 7 b) 10 c) 15

d) 20 e) 18

61. Magaly come huevos y/o tocino en

su desayuno cada mañana durante

el mes de enero. Si come tocino 20

días y come huevos 13 días.

¿Cuántos días comió huevo

con tocino?

a) 5 b) 2 c) 10

d) 18 e) 3

62. De 500 alumnos de la

academia César Vallejo se

encontró que 300 alumnos

postularon a la UNI, 120

postularon a la UNC y 100

alumnos no postularon a

ninguna de estas

universidades.

¿Cuántos alumnos

postularon a ambas

universidades?

a) 5 b) 10 c) 20

d) 70 e) 30

63. En una encuesta a 100

personas, sobre las

preferencias de las emisoras

P y Q, se obtuvo la siguiente

información 20 personas

prefieren solo la emisora P,

40 prefieren la emisora Q.

¿Cuántas personas

prefieren ambas emisoras

o ninguna de éstas?

a) 40 b) 50 c) 70

d) 80 e) 32

64. Sean A, B y C conjuntos

contenidos en U, se

cumple:

A – B = A,

n(A C) = n(B-C) = 6

,

n(AC)C = 21

n(B) = 15

Calcule: n[(AB)CnC]

a) 10 b) 12 c) 15

d) 20 e) 16

65. Si n [ P ( A B ) ] = 32n [ P (P(A)} + n [P(B)] = 3 x 28

Calcule: n (AB)

a) 10 b) 8 c) 12d) 5 e) 7

66. Al determinar por extensión al conjunto: M = {(-1)n – n / 0 < n 5 n Z+}Calcular la suma del mayor y menor elemento del conjunto M.a) 7 b) 6 c) -7d) 5 e) -5

67. Dados los conjuntos A y B iguales:A = {a + 3, a + 5}, B = {9 – a, b2 – 1}

Calcule (a+b) si b Z+

a) 11 b) 10 c) 6d) 8 e) 5

68. Si: n(AB’) = 4; n(A’B) = 7;A,B U; n(A’B’)=2; n(U) = 19Halle n (A – B’)a) 2 b) 4 c) 6

d) 7 e) 8

69. Sean A, B y C conjuntos: A B,

A – C = A, BAD = BUD; D y D son

coordinables

n(BC) = n(CD) = 4; n(D - C) = 6

n(A) = 2

Hallar n(B (A C)’)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6


A B

C

8079

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 70. Se dispone de 6 tarros de pintura

de colores diferentes, con los

cuales se desea tener tarros

adicionales. ¿Cuántos como

máximo se podrá obtener?

a) 57 b) 58 c) 59

d) 64 e) 63

71. Se lanzan dos dados juntos,

¿cuántos pares ordenados se

puede formar con los números de

la cara superior?

a) 16 b) 6 c) 36

d) 1 e) 0

72. En un salón se observa que 40

estudiantes tenían un libro de

Aritmética (A); 30 tenían libro física

(F); 30 tenían libro de química (Q);

8 tenían libros de aritmética y

física, pero no de A; 12 tenían un

libro de A y Q, pero no F; si 5

personas tenían los tres libros, 6

de los estudiantes carecían de

libros. ¿Cuántos alumnos tenía el

salón?

a) 70 b) 60 c) 68

d) 80 e) 35

73. En una encuesta realizada a

150 alumnos de un centro

educativo sobre el curso de

su preferencia se tiene la

siguiente información:

* 120 alumnos no prefieren el

curso de literatura.

* 30 alumnos no prefieren el

curso de física.

* Todos los alumnos que

prefieren física, prefieren

también matemática.

¿Cuántos estudiante

prefieren matemática?

a) 150 b) 120 c) 30

d) 90 e) 100

74. Reduzca a su equivalente

más simple la siguiente

expresión:

a) AC BC b) AC BC

c) AC - BC d) A BC

e) A B

75. De un grupo de 60

personas, todas estudian,

trabajan o hacen ambas

cosas a la vez. Si 30

personas estudian el

número de hombre que

estudian y trabajan es igual

al número de mujeres que

sólo trabaja y el número de

personas que sólo estudia

es igual al número de

mujeres que estudia y

trabaja. En que relación se

encuentran las personas

que sólo estudian y los

hombres que sólo trabajan.

a) 1 a 2 b) 2 a 3 c) 1 a 4

d) 1 a 1 e) 2 a 5

76. De un colegio de 100

alumnos han rendido 3

exámenes de los cuales

20 aprobaron el primero,

30 aprobaron el segundo y

4 el tercero; y se sabe que

10 personas no aprobaron

ninguna de las materias mencionadas,

se sabe que 8 aprobaron los 2

primeros, 10 aprobaron el segundo y

tercero; y 16 aprobaron el tercero y el

primero. ¿Cuántos aprobaron los 3

cursos?

a) 30 b) 60 c) 40

d) 34 e) 35

77. La razón sombreada está

representada por:

a) AB – (A C)

b) (A – B) - C

c) (A B) - CC

d) (A C) BC

e) A B – (A C)

78. Si se cumple:

(0: cero)

Hallar el valor de (X + C) en

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

79. Si:


8281


Hallar (a + b + n + m) máxima

a) 16 b) 18 c) 19

d) 20 e) 22

80. Si se cumple que:

Hallar el valor de c – a + b

a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5

81. Hallar un número de 3 cifras

donde, la cifra de orden cero y

segundo orden suman 14, el

producto de sus cifras es 96 y la

diferencia con el numeral que se

obtiene al invertir el orden de sus

cifras es 198. Hallar la diferencia

entre las dos menores cifras.

a) 2 b) 5 c) 3d) 4 e) 6

82. Si los numerales están

correctamente escritos:

Determinar n + m + p

a) 16 b) 18 c) 14

d) 12 e) 10

83. Hallar: a + b

Si:

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 3

84. Un numeral de 3 cifras

iguales de la base “n” se

escribe en el sistema

decimal, como un capicúa de

3 cifras, cuya cifra central es

“n”. Calcular cuántos

números de 4 cifras en la

base “n”son numerales

impares en la base 10.

a) 3050 b) 1020 c) 1120

d) 1155 e) 1029

85. Si:

Calcule: (a + b) - c

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 10

86. Si:

Calcule: a + b + c + d + e

a) 10 b) 12 c) 8

d) 15 e) 11


Calcular: a + b+ c+ d + n

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 18

88. Si:

par. Calcular la suma de

las bases en que (a x b x

p)2 se repre-senta como 3

cifras.

a) 110 b) 150 c) 115

d) 120 e) 130

89. Si:

Calcule (a < b < n); si este

es mínimo:

a) 6 b) 12 c) 15

d) 30 e) 24

90. Si el numeral 12100102010211

en base “n”se convierte a la base

“n3”, la suma de sus cifras

aumenta en 38 unidades. ¿En cuántos

sistemas de numeración n5 se expresa con 4

cifras?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

91. Si:

Calcular (a + b + c + n) máximo

a) 30 b) 36 c) 17

d) 18 e) 20

92. Si: y

Calcular: (m + n + p) – a x c

a) 3 b) 5 c) 6

d) 8 e) 11

93. Carmen observa que del total del

lapicero que tiene la tercera parte

son azules y las dos quintas partes

son rojos. Si Carmen no tiene más

de cuatro lapiceros negros.

¿Cuántos lapiceros tiene Carmen?

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17


9 numerales

INDICE

Regla de Mezcla y Aleación 01

Progresión Aritmética y Geométrica 06

Conjuntos 10

Numeración 16

Conteo de Números 20

Teoría de Divisibilidad 24

Criterios de Divisibilidad

Números Primos

M.C.M. y M.C.D.

Potenciación y Radicación

Número Fraccionario y Decimal

83

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” Tercer AñoTercer Año 94. Si se cumple que:

7A = - 6

5A = + 9

¿Cuál es el residuo por exceso al

dividir A entre 60?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

95. Indicar cual es el residuo de

dividir: N = 5600 x 3601 entre 8.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

96. Si: es divisible por

17. Calcular el valor de a.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 3 e) 2


=

=

=

Hallar (c - a):

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

98. 3 Omnibuses de “Tepsa”

salen de su terminal: el

primero cada 8 días, el

segundo cada 15 días y el

tercero cada 21 días. Si los 3

omnibuses salieron juntos el

dos de Enero de 1980;

dígase ¿cuál será la fecha

más próxima en que

volvieron a salir juntos?

a) 20 de Abril de 1982.

b) 21 de Abril de 1982.

c) 22 de Abril de 1982.

d) 21 de Mayo de 1982.

e) 22 de Mayo de 1982.

99. Jennifer ha comprado blusas

(a S/.23 cada una) y

pantalones (a S/.35 cada

una). Si en total invirtió

14756 soles. ¿Cuántas

prendas como máximo

pudo haber adquirido, si de

todas maneras tenia que

comprar al menos una de

cada tipo?

a) 340 b) 800 c) 740

d) 640 e) 600

100.Si se cumple que:

y además: =

Hallar el mayor valor de

(a + b):

a) 3 b) 2 c) 1

d) 4 e) N.A.


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