MOVIMIENTO CIRCULAR 1

MOVIMIENTO CIRCULAR Un objeto posee movimiento circular cuando la trayectoria descrita es una circunferen-cia. En la naturaleza nos encontramos con numerosos ejemplos de movimientos circula-res: Los satélites se mueven describiendo movimientos prácticamente circulares, al igual que la Tierra y los otros planetas del sistema solar sol, las partículas de los objetos que giran alrededor de un eje también poseen movimientos circular, ..etc. Para describir el movimiento circular se puede tomar el centro de la circunferencia co-mo origen y la posición vendrá dada por un vector posición de módulo igual al radio de la circunferencia. No obstante, otra manera de fijar la posición del móvil que se mueve

a lo largo de una circunferencia de radio conoci-do es mediante el ángulo θ determinado por el radio desde su posición al semieje positivo de abscisa (coordenadas polares). Aunque el mo-vimiento circular es de dos dimensiones, utili-zando coordenadas polares se puede hacer una descripción tan simple como el movimiento rec-tilíneo.

r y ϕ son las coordenadas polares de P ϕ se mide en radianes que es la unidad de ángulos en el SI. Un ángulo en radianes se define como el cociente entre el arco y el radio con el que ha sido trazado θ El ángulo ϕ se mide a partir de la semirecta denominada origen de ángulo, y se considera positi-vo cuando va en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo cuando va en el sentido de las agujas del reloj. La equivalencia entre el radian y los grados se deduce si tenemos en cuenta que el ángu-los de una circunferencia completa (3600) corresponde a un arco igual a la longitud de la circunferencia, es decir, 2Πr. De la definición de radian se deduce 3600 equivalen a θ = 2Πr/r = 2Π radianes Se denomina desplazamiento angular (∆θ)al ángulo descrito por un objeto con movi-

= sr

MOVIMIENTO CIRCULAR 2

miento circular. Si los ángulos que determinan las posiciones final e inicial son ϕ y ϕ0 respectivamente, se verifica ∆θ =θ - θ 0 EJEMPLO Distancia entre dos satélites geoestacionarios

Dos satélites geoestacionarios están situados en una misma órbita de radio r = 4,23.107m La órbita está en el plano del ecuador, y los dos satélites forman un ángulo θ =2,000 Determinar la longitud de arco (s) que separa a los dos satélites. Razonamiento: De la definición de radian se deduce que s = θ .r Es decir, el arco será igual al producto del ángulo en radianes por el radio. Calculo:

2 00 2 002

3600 0349

0 0349 4 23 10 1 48 10

0 00

7 6

, , ,

. ( . ) ( , ) ,

= =

= = =

xradianes

radianes

s r radianes x x m x m

Π

θ

EJERCICIO 1. Expresar en radianes los ángulos de 450, 900, 1800 y 2700 2. Expresa en grados un ángulo de un radian. 3. Calcular el camino recorrido por un avión al describir un circulo de un kilometro de

radio VELOCIDAD ANGULAR La velocidad angular media ( ϖ), de un móvil que describe un circulo, se define como el cociente entre el ángulo descrito o desplazamiento angular y el tiempo invertido en describirlo

ϖ =∆∆θt

En el SI la velocidad angular se mide en radianes por segundo. A veces también se ex-presa en revoluciones por minuto. De acuerdo con el convenio de signo para los despla-zamiento angulares, la velocidad angular es positiva cuando la rotación tiene lugar en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativa cuando gira en le mismo sentido que las agujas del reloj. EJEMPLO Gimnasta en la barra fija.

MOVIMIENTO CIRCULAR 3

Un gimnasta gira en una barra fija y da dos vueltas completas en 1,90 s. Calcular la ve-locidad angular media del gimnasta. Razonamiento: La velocidad angular media se calcula dividiendo el ángulo descrito en radianes por el tiempo empleado. Como el ángulo descrito lo dan en vueltas hay que pasarlas a radianes. Cálculo:

∆θ =−

= −2

21

12 6, ,oovueltasradianesvuelta

radianesΠ

El signo menos se debe a que el gimnasta gira en el mismo sentido que las agujas del reloj.

ϖ =∆∆θt=−

= −12 61 90

6 63,

,,

rads

rads

La velocidad angular instantánea se define como el límite al que tiende la velocidad angular media cuando el intervalo de tiempo (∆t )tiende a cero.

ωθ

=→

limtt∆

∆∆0

En el caso que la velocidad angular sea constante los valores medio e instantáneos coin-ciden(ϖ =ω) EJERCICIOS 4. Calcular la velocidad angular media de la Luna al girar alrededor de la Tierra. 5. El rotor de un motor eléctrico gira con una velocidad de 40,0 rad/s. Calcular el nú-mero de vueltas que da el rotor en una hora. 6. Dos personas parten del mismo punto y caminan alrededor de un lago circular en direcciones opuestas. Una delas personas tiene una velocidad angular de 1,7 rad/s, y la otra una velocidad angular de 3,4 rad/s. Calcular el tiempo necesario para que se en-cuentren de nuevo ACELERACIÓN ANGULAR Cuando un móvil que describe un circulo varia su velocidad angular decimos que está experimentando un aceleración angular. Cuando la velocidad angular cambia desde un valor inicial ω0 en un instante t0 a un valor ω en u instante t, la aceleración angular me-

dia (α_

) se define como el cociente entre el cambio de velocidad (ω - ω0) y el tiempo invertido (t - t0)

α_

=ω ω−−

0

0t t=∆∆ωt

MOVIMIENTO CIRCULAR 4

En el SI la aceleración angular se mide en rad/s2.Una aceleración angular de 3 rad/s2, por ejemplo, significa que en cada segundo la velocidad angular aumenta 3 rad/s. Análogamente la aceleración angular instantánea se define como el límite al que tien-de la aceleración angular media cuando el intervalo de tiempo(∆t)

αω

=→

limtt∆

∆∆0

En el caso que la aceleración angular sea constante los valores medio e instantáneos coinciden(α =α) EJEMPLO Despegue de una avioneta. Una avioneta aguarda en la pista de aterrizaje el permiso para despegar. Con el motor al ralentí la hélice gira con una velocidad angular de +110 rad/s. Conforme la avioneta despega la hélice alcanza una velocidad angular de 330 rad/s en 14 s. Calcular la acele-ración angular de la hélice, supuesta constante. Razonamiento: Si la aceleración angular es constante coincide con la aceleración angular media. La calcularemos sustituyendo los datos del problema en la ecuación.

α_

=ω ω−−

0

0t t

Cálculo:

α_

=( / ) ( / )

/330 110

1416 2rad s rad s

srad s

−=

EJERCICIOS 7. El bombo de una secadora de ropa trabaja con una velocidad angular de 6,8 rad/s. Esta velocidad la alcanza desde el reposo con una aceleración angular media de 7,0 rad/s2 ¿Que tiempo emplea la secadora en alcanzar la velocidad de trabajo desde que se pone en marcha? 8. Un motor eléctrico se desconecta y su velocidad de giro disminuye alcanzando una velocidad angular de 83,8 rad/s en 1,75 s. Si la desaceleración ha sido de 42,0 rad/s2. Determinar la velocidad angular inicial. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular más sencillo es que tiene lugar con velocidad angular constant, este movimiento se denomina movimiento circular uniforme. La ecuación que nos da la posición angular en función del tiempo es θ = θ 0 + ωt donde ϕ0 es la posición angular inicial cuando t es cero. Esta ecuación es análoga al la del movimiento rectilíneo uniforme

MOVIMIENTO CIRCULAR 5

Para este movimiento se definen los conceptos de período(T) y frecuencia(n). Período es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta. Frecuencia es el número de vuelta que da el móvil en un segundo. Se deduce fácilmente que la frecuencia es la inversa del período y viceversa ( T =1/n). En el caso de que el movimiento circular posea aceleración angular nos encontramos un movimiento circular uniformemente acelerado. Las ecuaciones de este movimiento son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento circular uniformemente acelerado (α=constante)

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (a=constante)

ω = ω0 +αt v =v0 + at

θ = θ 0 + ω0 t + 12αt2 x = x0 + v0 t +

12

at2

ω2 = ω02 +2α ∆θ v2 =v0

2 + 2a∆x EJERCICIOS 9. Un punto material se mueve describiendo una trayectoria circular de radio 1 m ., y da

30 vueltas por minuto. Si el movimiento circular es uniforme, calcular: el período, la frecuencia, la velocidad angular.

10.La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente desde 4000 a 1000 rpm en 5 s. Calcular : a)la aceleración angular b)el número de revoluciones que da el volante en estos cinco segundos. c)el número de vueltas que dará el volante antes de pararse

11..Un volante de 1 m de radio gira en torno a un eje fijo a razón de 300 rpm. Un freno la para en 20 s. Calcular: a)la aceleración angular supuesta constante b)el número de vueltas que dará el volante desde que se inicia la frenada hasta que para.

12.Una rueda tiene una aceleración angular constante de 3,0 rad/s2. En un intervalo de tiempo de 4,0 s describe un ángulo de 120 radianes. Suponiendo que la rueda comen-zó a partir del reposo, ¿cuánto tiempo ha estado en movimiento al comenzar ese in-tervalo de 4,0 s?

MAGNITUDES ANGULARES Y MAGNITUDES TANGENCIALES

En la figura se muestra un patinador que gira un ángulo θ describiendo un arco s de una circunferen-cia de radio r . A partir de la definición de radian se deduce que el arco descrito por el patinador está relacionado con el ángulo y el radio mediante la ecuación s = θ..r Al dividir ambos miembros de la ecuación por el

MOVIMIENTO CIRCULAR 6

tiempo invertido por el patinador en describir el arco s o el ángulo θ , se obtiene s/t =(θ/t).r .El término s/t es la rapidez ,que se denomina velocidad tangencial (también velocidad lineal), y el término θ/t es la velocidad angular (ω). Por tanto, la velocidad tangencial y la velocidad angular están relacionadas por la expresión vt= ω..r Esta expresión nos indica que la velocidad tangencial es directamente proporcional al radio Si el patinador quiere aumentar su velocidad angular ha de aumentar también su veloci-dad tangencial, es decir una aceleración angular implica una aceleración tangencial.. La aceleración tangencial y la aceleración angular están relacionadas al igual que la veloci-dad tangencial y la velocidad angular .Si el patinador pasa de una velocidad v0 a una velocidad v en un tiempo t

av v

tr r

t trt =

−=

−=

−

0 0 0ω ω ω ω

Por tanto at =α r La aceleración tangencial también es directamente proporcional al radio. Hay que hacer notar que tanto la expresión que relaciona la velocidad tangencial con la velocidad angular , como la que relaciona la aceleración tangencial con la angular son válidas si la velocidad angular y la aceleración angular está medidas en radianes/seg y radianes/seg2 respectivamente.

EJEMPLO Un helicóptero Las hélices de un helicóptero giran con una velocidad de 6,5 rev/s y una aceleración angular de 1,30 rev/s2. Hallar las magnitudes de las velocidades tangenciales y las ace-leraciones tangenciales en los puntos 1 y 2 de las hélices.

Razonamiento: Como de cada punto conocemos sus radios y la velocidad angular, calculamos sus velocidades tan-genciales a partir de la vt= ω..r. Para que esta rela-ción sea válida la velocidad debe estar expresada en rad/s. Las revoluciones se pasa a radianes a partir de la equivalencia entre revolución y radian( 1 re-volución = 2Π radianes). De manera similar las aceleraciones tangenciales de los puntos 1 y 2 se calculan a partir de la relación at =α r, expresando

la aceleración angular en rad/s2 Cálculo: Expresamos la velocidad angular en radianes /segundo.

ω =

=6 50

21

40 8,.

. , /rev

srad

revrad s

Π

Las velocidades tangenciales de cada punto son: Punto 1 ( )( )v r m rad s m st = = =ω 3 00 40 8 122, , / /

MOVIMIENTO CIRCULAR 7

Punto 2 ( )( )v r m rad s m st = = =ω 6 70 40 8 273, , / / Expresamos la aceleración angular en radianes /segundo2

α =

=1 30

21

8 172 2, ,revs

radrev

rads

Π

Las aceleraciones tangenciales son: Punto 1 at =r α =(3,00 m)(8,17rad/s2)= 24,5 m/s2 Punto 2 at =r α =(6,70 m)(8,17rad/s2)= 54,7 m/s2 EJERCICIOS 13.Una carrera de coche tiene lugar en una pista circular. Un coche da una vuelta en

18,9s con una velocidad tangencial media de 42,6 m/s. Calcular el radio de la pista. 14.Calcula la velocidad tangencial de una persona situada en el ecuador.

RT=6,3 10 8m 15.Un CD tiene la música grabada de tal manera que durante la ejecución la música es

captada a velocidad tangencial constante. Por esta razón el CD gira con una veloci-dad angular mínima en la zona de la periferia y con una velocidad máxima en la zona interior. Un CD tiene un radio de 0,060 m y gira a 3,5 rev /s en la zona de la perife-ria. Hallar: a)la velocidad tangencial constate a que la música es captada, y b) la ve-locidad angular para las canciones situadas a 0,025 m del centro del CD.

16.Una varilla estrecha y recta, gira alrededor de un eje vertical 3,14 rad/s, tal como se indica en la figura,. En un segundo, el extremo de la varilla describe un arco cuya longitud es igual a la longitud de la varilla. Hallar el ángulo θ

17.Hallar la aceleración tangencial de un punto situado en la periferia del volante del ejercicio 42

MOVIMIENTO CIRCULAR 8

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y ACELERACIÓN CENTRIPETA Cuando un móvil describe una curva sin variar el módulo de su velocidad (velocidad tangencial constante) experimenta una aceleración , debido a que el vector velocidad varia aunque solo sea en dirección Esta aceleración es un vector dirigido hacia el centro y por esto se denomina aceleración centrípeta . La formula que nos da la aceleración centrípeta es:

avrcT=2

El subíndice T de v nos indica la velocidad tangencial La aceleración centrípeta puede también expresarse mediante otra expresión, teniendo en cuenta que vT = r w (si la velocidad angular se expresa en rad /s):

av

rr

rrc

T= = =

2 22

( )ωω

La figura muestra un niño que hace girar un avión de

juguete con un movimiento circular uniforme. El avión solo posee aceleración centrípe-ta.

En esta figura el avión posee un movimiento circular no uniforme porque posee aceleración tangencial y su velocidad tangencial varia Por tanto la aceleración centrípeta implica un cambio de dirección en el movimiento, y la aceleración tan-gencial implica un cambio del módulo de la veloci-dad. En un movimiento rectilíneo la aceleración centrípeta es cero (r=∞ ) En un movimiento circular la aceleración centrípeta

nunca puede ser nula (r≠0) Como la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta son vectores perpendiculares, el módulo de la aceleración total es igual a la raiz cuadrada de la suma de las acelera-ciones centrípeta y tangencial elevadas cada una al cuadrado, es decir a a ac T= +2 2

MOVIMIENTO CIRCULAR 9

EJEMPLO Un lanzador de discos

Cuando un atleta lanza un disco lo hace mediante un movimiento giratorio de su cuerpo. La figura muestra una vista desde arriba de un lanzador de discos. Par-tiendo del reposo el lanzador acelera el disco hasta una velocidad angular final de 15 rad/sen un tiempo de 0,270 s antes de soltarlo. Durante la aceleración el dis-co describe un circulo de 0,810 m de radio. Hallar: a)hallar la aceleración total justo en el instante antes de que el disco sea soltado. b) el ángulo deteminado por el vector aceleración total

y el radio en ese mismo instante. Razonamiento: El valor de la aceleración total es a a ac T= +2 2 . El ángulo que nos pide es igual a φ = arc tan(aT/ac). La aceleración centrípeta la calculamos a partir de la expresión ac= r ω2., y la aceleración tangencial a partir de la expresión aT=r α. La aceleración angular se calcula a partir de la ecuación que la define. Cálculo: a) ac= r ω2 = (0,810 m)(15,0 rad/s)2= 182 m/ s2

a rt

mrad s

sm sT = =

−

=

−

=α

ω ω0 20 81015 0 0

0 27045 0( , )

, /,

, /

a a a m s m s m sc T= + = + =2 2 2 2 2 2 2182 45 0 187( / ) ( , / ) / b)

φ = arc tan(aT/ac)=arctan45 0182

13 92

20, /

/,

m sm s

=

EJERCICIOS 18.Halla el valor de la aceleración centrípeta de una partícula situada en la punta de una

de las aspas de un ventilador de 0,30 m de radio que giran a 1200 rev/min. 19. Un móvil puntual describe una circunferencia de 40 cm de radio Parte del reposo

con una aceleración constante de 0,05 rad/s2. Calcular la aceleración centrípeta , la aceleración tangencial y la aceleración total cuatro segundos después de que partió del reposo.

20.Un móvil comienza a girar partiendo del reposo con una aceleración angular cons-tante. ¿Qué ángulo habrá girado en el momento en que la aceleración centrípeta y la tangencial tengan el mismo módulo?

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