4. Diagramas polares

/ Diagramas Polares 1Universidad SimóEn Boívar Departamento Procesos y SistemasProf. Elimer Mata

Resumen de Análisis de Error y Estabilidad en Diagramas de Bode

1. Para identificar el tipo del sistema a partir de la Respuesta Frecuencial, basta con verificar la pendiente del diagrama logarítmico de magnitud bajas frecuencias. Luego, para determinar los errores estáticos, será necesario determinar la ganancia del sistema a lazo abierto. Para ello utilizando el DBode de lazo abierto, realizaremos el análisis del error: a. Determinación de las Constantes de error estático de posición Kp:

b. Determinación de las Constantes de error estático de velocidad Kv: A bajas frecuencias el término que

tiene efecto es el polo en el origen.

Método 1: Leer el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la frecuencia ω = 1. Método 2: Leer la frecuencia donde ocurre el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la la

magnitud 0 dB.f. Determinación de las Constantes de error estático de aceleración Ka: A bajas frecuencias el doble polo

en el origen es el que tiene efecto.

Método 1: Leer el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la frecuencia ω = 1. Método 2: Leer la frecuencia donde ocurre el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la la

magnitud 0 dB.

K p=GH jω 0

20 log∣K v / jω1∣=0 dB

⇒∣Kv / jω1∣=1 ⇒ Kv=ω1

20 log∣Ka

jωa 2∣=0dB ⇒ ∣

Ka

jωa 2∣=1

⇒K a=ωa

2 ⇒ K a=ωa


Cont... • ANCHO DE BANDA (BW): Es el rango de frecuencias (desde ω → 0 hasta ω = ωb para el cual la Magnitud

[dB] de la respuesta frecuencia de FTLC no desciende de 3dB. También es un indicativo de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo:

Considerando el efecto del ruido a altas frecuencias y el comportamiento oscilatorio mayor para valores de ξmuy bajos en la respuesta temporal ⇒ Se concluye que BW no debe ser muy grande.

• FRECUENCIA DE CORTE (ωb ): Es la frecuencia en la cual la Magnitud [dB] de la respuesta frecuencia de FTLC está 3 dB debajo del valor en la frecuencia ω = 0

• SISTEMAS DE FASE MÍNIMA : todos los polos y ceros de parte real negativa.• SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA: Existe por lo menos un factor con parte real positiva, los cuales

modifican el comportamiento de fase en la RF del sistema, sin modificar el diagrama de magnitud del mismo.El factor de retardo se considera un factor de fase no mínima.

• MARGEN DE FASE : Es la cantidad de retardo de fase adicional en la frecuencia de la ganancia de cruce que se requiere para llevar el sistema de fase mínima a la frontera de la inestabilidad. La frecuencia de Ganancia de cruce es la frecuencia en la cual la magnitud de la FTLA es 0 dB.

• MARGEN DE GANANCIA: Es el recíproco de la Magnitud en la frecuencia de cruce de la fase . Esta frecuencia es donde el ángulo de fase φ = 180°, entonces:

BW↑⇒el sistemamassensible⇒Respuestarápida⇒tiempo delevantamientomenor

BW↓⇒el sistemamenossensible⇒Respuestalenta⇒tiempo delevantamiento mayor

K g=1∣G jω1∣

K g [dB ]=20 log Kg=−20 log ∣G jω1∣

K g [dB ]0 ⇒Sistema estable ⇔K g1


III. Diagramas Polares

Recordemos:

• Para representar toda la información de magnitud y fase existen algunas formas o representaciones comunes:

⇒ DIAGRAMAS DE BODE o representación logarítmica

⇒ DIAGRAMA DE NYQUIST o representación polar

• Los Diagramas Polares son una representación de la Respuesta Frecuencial del sistema que está formado por un único gráfico, donde se representa la Magnitud y ángulo de fase mientras la frecuencia varía desde 0 hasta ∞. En este tipo de gráficos, no es posible aplicar la propiedad de adición a las magnitudes de las funciones, como en el caso de los Diagramas de Bode.


Como ya se analizó, existen 5 factores importantes que se deben analizar:

a) Factores integrales y derivativos (jw)±1

b) Factores de Primer orden (1+jwt)±1

c) Factores cuadráticos

d) Retardos

e) Ganancia

12ξωn

jω1ωn

2 jω 2−1

e− j ω t

III.1.Factores que componen las FT


a. Factores Integrales y derivativos

En el caso del polo: En el caso del cero:

G jω =1/ jω∣G jω∣=1/ω φ=−90 °Re=0 Im=−1/ω

G jω = jω∣G jω∣=ω φ =+ 90 °Re=0 Im=ω

Re

Im

φ = 90°

ω→∞

ω → 0

Re

Im

φ = 90°

ω→∞

ω → 0

Existe correspondencia con lo estudiado en Diagramas de Bode para factores integrales


a. i) Factores de Primer de Orden En el caso del polo:

G jω=1

jτ ω1=

1− jτ ωτ2ω2

1

∣G jω∣=1

τ2ω21

φ=tan−1 ImRe =φ=−tan−1 Tω

φ Mag

ω<<1/τ ....... 0° 1

ω>>1/τ....... 90° 1/(τ ω)

ω = 1/τ........ 45°

Re=1

τ2ω21

Im=−τω j

τ2ω21

22


a. ii)Factores de Primer de Orden En el caso del cero:

G jω = jτ ω1

∣G jω ∣=1ω 2τ2

φ=tan−1ImRe =φ=tan−1 Tω

φ Mag

ω<<1/τ ....... 0° 1

ω>>1/τ....... 90° ∞ω = 1/τ........ 45°

Re=1 Im=τω

2Re

Im

φ = 0°

ω→∞

ω → 0

φ = 45°ωτ =1

φ = 90°

1


Ejemplo de Factor de Primer de Orden con un Factor Integral

G jω =1jω jτ ω1

=−τω2

− jω

τω2 2ω 2

∣G jω ∣=1

τω 22ω2

φ=tan−1ImRe =φ=tan−1

1ωτ

φ Mag Re Im

ω<<1/τ ....... 90 ∞ τ ∞

ω>>1/τ....... 180° 0 0 0 ()

ω = 1/τ........ 135° τ/2 τ/2

Re=−τω 2

τω 22ω2

Im=− jω

τω22ω2

τ

2

Re

Im

φ = 180°ω→∞

ω → 0

φ = 135°

ωτ =1

φ = 90°

−τ2

−τ2


Ejemplo de Factor de Primer de Orden con un Factor Integralusando la información de los Diagramas de Bode

φ Mag

ω<<1/τ ....... 90 ∞

ω>>1/τ....... 180° 0

ω = 1/τ........ 135° τ

2

Re

Im

φ = 180°ω→∞

ω → 0

φ = 135°

ωτ =1

φ = 90°

−τ2

−τ2

En este caso:• La fase comienza en 90° (polo en el origen)• La fase baja 90° adicionales, por efecto del

segundo polo ⇒ llega a 180°.• La fase pasa por 135° cuando ω = 1/τ• La Magnitud [dB] a bajas frecuencias viene de ∞⇒ la magnitud de G(j ω ) es ∞ .• La Magnitud [dB] a altas frecuencias tiende a ∞⇒ la magnitud de G(j ω ) tiende a 0.


b. Factores cuadráticos (caso de polos conjugados)En el caso de polos conjugados, de los diagramas de Bode sabemos:

φ Mag

ω<< ωn ...... 0° 1 ⇒ (0dB)

ω>> ωn....... 180° ∞ ⇒ 40 log(ω/ωn)

⇒ pend 40 dB/dec

ω = ωn ....... 90° error que depende de ξ


c. Formas Generales de los Diagramas Polares

Z = Número de ceros

P = Número de polos

Z < P ⇒ Hay mas polos que ceros....

Entonces de manera general podemos ver como comienza y termina un Diagrama polar:•Tipo 0: comienza en 0° y tiende a uno de los ejes dependiendo de ZP. Puede cruzar una

o varias veces los ejes dependiendo de cuanto baja o sube la fase.•Tipo 1: comienza en 90° y termina en alguno de los ejes dependiendo de ZP.•Tipo 2: comienza en 180 y termina en alguno de los ejes dependiendo de ZP.

El comportamiento en el intermedio dependerá de la ocurrencia de los polos y ceros de la

función de transferencia. La magnitud siempre tiende a cero (origen de los ejes) debido a

que la Magnitud tiende a 0, (diagramas de magnitud de Bode siempre tienden a ∞).


•MAGNITUD: Es un factor que no afecta la magnitud, ya que representa la ecuación de una circunferencia:

De los Diagramas de Bode sabemos:•FASE: Este factor modifica la fase como se muestra:

Podemos concluir entonces :

•La magnitud es constante para cualquier valor de ω

•La fase cambia desde 0º para ω=0, hasta ∞para ω→∞

0 dB⇒Magnitud=1

φ =∠G jω =∠ e− jτ ω =−ωτ rad =−57. 3ωτ

G jω= e− jτ ω

∣G jω∣=∣e− jτ ω∣=∣cos ωτ − j sen ωτ ∣=1

d. Factor de Retardo


EJEMPLO con un Factor de Retardo

•MAGNITUD: en este caso la magnitud solo dependerá del polo . La magnitud varía desde MAG=1 (para ω=0) hasta MAG=0 (para ω→∞)•FASE: Ambos factores, el polo y el retardo, afectarán el valor de la fase.

El polo varía la fase desde 0 hasta –90º y el retardo obliga a la fase a disminuir constantemente a ∞.

φ=∠G jω =∠ e−τ1 jω+∠1

1τ2 jω =−57.3ωτ1−tan−1ωτ2

G jω =e−τ1 jω

1ωτ 2 j

ω 0⇒0ºω∞⇒−57. 3ωτ1⇒−∞


e. GananciaEl término correspondiente a la ganancia, modifica el punto inicial de los sistemas tipo “0”, ya que a bajas frecuencias, el único valor será el correspondiente a la ganancia del sistema.

Para el caso de sistemas tipo 1 o 2, la ganancia aumenta o disminuye la magnitud de los vectores con los que se construye el Diagrama Polar, de esta manera cambiaran los puntos de corte de los ejes (si estos ocurrieran).


EjemploHacer la figura con las diferentes entradas y salidas.

•A bajas frecuencias hay un polo en el origen ⇒ la fase comienza en 90° y la magnitud viene de ∞.• Luego ocurre un cero ⇒ la fase debe aumentar hacia 0° (90° ⇒ 45° ⇒ 0°). La fase llegará a 0° dependiendo que tan lejos este el siguiente factor. ⇒ que la curva cruza el eje imaginario ().• Luego ocurren los polos. ⇒ La fase debe disminuir 180° adicionales. ⇒ La fase llega finalmente a 180°. La magnitud tiende a 0, (Dbode llega ∞ dB).

Z P = 2 ⇒ la fase final es (Z P)*90°.Que la magnitud sea constante en las frecuencias cercanas a la ocurrencia del cero se refleja en la forma de la curva al llegar al final (altas frecuencias).

OJO . ⇒ que pasa si uno de los polos ocurre primero?. La fase nunca es superior a 90° . ⇒ la curva no cruza el eje imaginario.OJO . ⇒ que pasa si el cero ocurre al final? La fase sería menor que 270° en alguna frecuencia hasta que el cero obliga a la fase a subir para terminar en 180°.

G s =s2

s s80 s120


Ejemplos:

G s =s2

s s80 s120

En este caso el cero ocurre primero que los polos simples.

G s =s200

s s80 s120

En este caso los polos simples ocurren primero que el cero.

G s =1

s s80 s120

En este caso solo hay polos simples.


Hasta ahora hemos trabajado con factores cuya parte real se encuentra en el semiplano izquierdo del plano “s”. De hecho, podemos estimar como será la curva de la fase en el diagrama de Bode una vez conocida la curva de magnitud.

Pero cuando la parte real de algún factor se encuentra en el semiplano derecho del plano “s”, su efecto sobre la fase cambia y no influiría sobre la curva de fase como se espera.

Estos términos reciben el nombre de Factores de fase No Mínima.

Con los Diagramas de Bode, es posible realizar la identificación de las funciones de transferencia a partir del diagrama de magnitud, luego por inspección del diagrama de fase concluir si el sistema es de “fase mínima “o “de fase no mínima”.

III.2. Factores de fase No Mínima


Ejemplo:Sea G s =

k1− sτ

⇒G jω =k1− jτ ω

G jω =k1− jτ ω

⋅1 jτ ω1 jτ ω

=k 1 jτ ω

1τ2ω 2

G jω =k

1τ2ω2 k τω

1τ2ω2 j=ReIm j

En este caso la magnitud se comporta igual que en el caso de

G jω=k

1ωτ jPero la fase no, ya que:ω 0 Re=k , Im=0

⇒φ=0 °ω∞ Re=0 , Im=0

⇒φ=90 °

ω1τ

Re =+k2

, Im =+k2

⇒φ=45°

Aquí vemos que la fase aumenta en lugar de disminuir a –90°, como vimos que ocurre para un polo simple.

El Diagrama polar será:

El Diagrama de Bode será:

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