NGULO
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO5to Grado de Primaria
RESEA HISTRICALos primeros conocimientos geomtricos que tuvo el
hombre consistan en un conjunto de reglas prcticas. Los griegos
ordenaron los conocimientos empricos y la Geometra se eleva al
plano cientfico.
EGIPTOLa base de la civilizacin egipcia fue la agricultura. Los
conocimientos geomtricos aplicados a la medida de la tierra, dieron
nombre a la Geometra, que significa medida de la Tierra. Los
egipcios tambin cultivaron la Geometra para aplicarla a la
construccin.
Entre los problemas que resolvieron los egipcios tenemos:
1. rea del tringulo Issceles.
2. rea del trapecio Issceles.
3. rea del crculo.
El documento egipcio ms importante fue el PAPIRO RHIND.
GRECIA
En Grecia se inicia la Geometra como ciencia. Los griegos,
grandes pensadores, no se contentaron con saber reglas, buscaron
explicaciones racionales. Algunos de los grandes matemticos griegos
fueron:
- Tales de Mileto, fue uno de los siete sabios.
- Pitgoras de Samos, creador del Teorema que lleva su
nombre.
- Euclides, escribi la famosa obra Elementos.
- Platn, Arqumedes, Apolonio, etc.
GENERALIDADES(MTODO DEDUCTIVO
Consiste en que a partir de conocimientos que se suponen
verdaderos, obtener nuevos conocimientos.
(AXIOMA
Es una proposicin tan sencilla y evidente que se admite sin
demostracin.
Ejemplo:
El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
(POSTULADO
Es una proposicin no tan evidente como un axioma pero que tambin
se admite sin demostracin.
Ejemplo:
Hay infinitos puntos.
(TEOREMA
Es una proposicin que puede ser demostrada. La demostracin
consta de un conjunto de conocimientos que conducen a la evidencia
de la verdad.
En un teorema distinguimos dos partes:
La hiptesis, que es el se supone, y
La Tesis, que es lo que se quiere demostrar.
Ejemplo:
TEOREMA: La suma de los ngulos interiores de un tringulo vale
180 grados.
HIPOTESIS:A, B y C son los ngulos interiores de un tringulo.
TESIS:La suma de los ngulos A, B y C vale 180 grados.
Cite otro ejemplo con su profesor:TEMA: PLANO CARTESIANO, RECTAS
Y NGULOS
Ubica los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano,
luego une los puntos mediante segmentos y colorea la regin
interior.
( (1;1), (2;5), (3;2) ( (3;0), (6:0), (5;3), (8;3)
( (3;5), (5;2), (5;8), (7;5)
Realiza la traslacin de las figuras segn te seala la flecha y
segn las indicaciones de cada caso. Luego escribe los pares
ordenados de cada figura en su posicin inicial as como en su
posicin final.
(Fig. Inicial A = (1;6),B = ( ; ) , C = ( ; ), D = ( ; )
(Fig. Final A = (7;6),B = ( ; ) , C = ( ; ), D = ( ; )
Se llama plano cartesiano en honor a su descubridor el filsofo,
astrnomo y matemtico Ren Descartes.
El plano cartesiano es de gran utilidad ya que en ella se ubican
las coordenadas con los que se guan los navegantes. Un par ordenado
en el plano cartesiano, se representa mediante un punto.
Ejemplo
Par ordenado es un conjunto de dos elementos con un orden
establecido.
Es decir.
Ejemplo:A = (3;5)B = (Luis, Ana)
C = (7;9)D = (Mara, Ral)
Adems:
Solucin:( (4;5) (5;4)
Si (5;7) = (b; a b), halla a + b.
PAR ORDENADO
01.Escribe las coordenadas de los puntos dados:
02.Escribe las coordenadas de los puntos dados:
03.Ubica en el plano cartesiano los puntos:
A (1; 4), B (6; 4) C (2; 2), D (0, 5), E (4; 0)
04.Ubico en el plano cartesiano los puntos M (3; 0) y N (6; 4)
los uno y nombro la figura.
05.Ubico en el plano cartesiano los puntos A (3;2), B (5;6)
06.Ubico en el plano cartesiano los puntos A (3;2), B (5;8), los
uno y nombro la figura.
07.Inventar un conjunto de tres pares ordenados representa y une
consecutivamente, nombra la figura.
08.Ubico en el plano cartesiano los puntos A (1;3), B (8;3), C
(8;7), D (1;7) los uno y nombro la figura.
TEMA: CONSTRUCCIN DE FIGURAS GEOMTRICAS
01.En el plano cartesiano construye tringulos.
(BCD: B (2; 7)C (2; 3)D (6; 3)
(PQR : P (2; 1)Q (5; 6)R (9;1)
02.Construye cuadrilteros:
(Rectngulo RSTU: R (3; 1)S (3; 1)T (7;1)U (7,8)
(Rombo ABCD:A (4; 8)B (7; 4)C (4; 0)D (1,4)
(Paralelogramo: DEFG:D (2; 3)E (0; 0)G (9; 3)F (7,0)
03.Construye en el plano cartesiano:
-Pentgono ABCDE:A (4; 2)B (6; 4)C (5; 6)D (3; 6)E (2; 4)
-Exgono ABCDEF:A (3; 3)B (5; 3)C (6; 5)D (5; 7)E (3; 7)F
(2;5)
04.Al unir los puntos A (0; 0) B (8; 0) C (2; 7). Qu figura se
forma?
05.Construye un cuadrado ABCD en el plano cartesiano y escribe
las coordenadas de sus vrtices.
06.Construye un rectngulo con uno de sus lados en el eje Y.
Escribe las coordenadas de sus vrtices.
07.Construye un tringulo en el plano cartesiano y escribe las
coordenadas de sus vrtices.
08.Localiza en el plano Cartesiano los siguientes puntos.
A (1; 1) B (3; 1) C (5;1) D (6;2) E (3; 2) F (0; 2) G (3; 5) H
(6; 3) I (3; 3) J (1; 3) y nelos como se indica:
(Con rojo: A, B, C, D, E, F.
(Con amarillo: G, H, J, E.
(Con azul: G, I, E.
REFORZAMIENTO PARA LA 01.Construye una figura uniendo los
siguientes pares ordenados.
a) M (6;5) N (4;0) P (6;2) Q (0;2)
b) P(5;5) Q(6;2) R(0;4) T(8;0)
02.Construye el A Y Z A(0;6) Y(4;2) Z(2;8)
03.Une los puntos y construye la figura que est formada por los
siguientes pares ordenados: (1,4); (2,1); (7,3) y (5,6)
04.Completa los vrtices de la figura:
05.Une los puntos y construye la figura que est formada por los
puntos M (1; 4); N (4;4); P(4;7) y Q(1;7)
TEMA: TRASLADA Y AMPLIA POLGONOS( Observa la tabla y el traslado
del ABC a su nueva posicin A1 B1 C1:
(x;y) (x + 6; y)
A (1 ; 2)A1( 7 ;2)
B (5 ; 4)B1(11;4)
C (2 ; 7)C1( 8; 7)
Cuntas unidades hacia la derecha se ha traladado cada vrtice del
ABC para llegar a su nueva posicin A1 B1
C1?.............................................................
Luego, hemos aplicado al ABC una traslacin de unidades a la
derecha.
( Observa la tabla y la construccin del cuadriltero PQRS
ampliado:
(x ; y) (3x; 3y)
P (1 ; 1)P1( 3 ;3)
Q (3 ; 1)Q1( 9;3)
R (4 ; 2)R1(12;6)
S (2 ; 2)S1( 6; 6)
Cmo se obtiene los pares ordenados de los vrtices del
cuadriltero ampliado?
( Observa la tabla, construye y traslada el cuadriltero
EFGH:
(x ; y) (x + 4 ; y + 3)
E (1 ; 1)E1( )
F (5 ; 2)F1( )
G (3 ; 5)G1( )
H (1 ; 5)H1( )
Para trasladar un polgono, a los componentes de cada par
ordenado de sus vrtices se suma o resta el nmero que indica la
regla de traslacin, se unen consecutivamente los puntos y se
obtiene el polgono trasladado, el cual conserva su forma y tamao.
Para ampliar polgonos, los componentes de cada par de sus vrtices
se multiplican por un mismo nmero diferente de cero. La figura
ampliada conserva su forma pero no su tamao.
Construyo y traslado el cuadriltero MNPQ:
(x ; y) (x + 3 ; y -2 )
M (0 ; 2)M1( )
N (4 ; 2)N1( )
P (4 ; 6)P1( )
Q (0 ; 6)Q1( )
Completo la tabla y amplio el hexgono EFGHIJ:
(x ; y) (4x ; 4y)
E (0 ; 1)E1( 0 ; 4 )
F (1 ; 0)F1( 4 ; 0 )
G ( )G1( )
H ( )H1( )
I ( )I 1( )
J ( )J1( )
Completo la tabla y amplo el cuadriltero PQRS:
(x ; y) (2x ; 2y)
P ( )P1( )
Q ( )Q1( )
R ( )R1( )
S ( )S1( )
Amiguito te desafio; si me ganas tu premio es una gaseosa.1.
Completa la tabla, construye y traslada: 2. Completa la tabla,
construye y amplia:
(a ; b) (a - 3 ; b 1)
A ( 6 ; 4 )
B ( 9 ; 4 )
C ( 9 ; 7 )
D ( 6 ; 7 )
3. Elabora una tabla para construir y 4. Elabora una tabla para
construir y tras-
duplicar un cuadro MPQR
ladar a la izquierda un rombo.
Reduce y Rota polgonos
Observa la tabla y la reduccin del ABC:
(x ; y)
A ( 4 ; 4 )A1(1 ; 1)
B (12 ; 4 )B1(3 ; 1)
C (12 ;12)C1(3 ; 3)
En qu razn resulta reducido las longitudes de los lados del
A1B1C1?
Resulta reducido en .Cmo se llaman los tringulos ABC y
A1B1C1?
Se llaman tringulos .(Completa la tabla, construye y reduce el
cuadriltero PQRS:
(x ; y)
P ( 3 ; 3 )P1( )
Q ( 9 ; 3 )Q1( )
R ( 9 ; 9 )R1( )
S ( 3 ; 9 )S1( )
(Observa la rotacin del ABC, con centro de rotacin A(5;2) y con
un ngulo de rotacin de 70 en sentido antihorario.
El AB1C1 es la figura rotada.
(Rota el rectngulo PQRS, con centro de rotacin P(4;1) y con un
ngulo de rotacin de 45 en sentido horario:
El PQ1R1S1 es la figura rotada.
(Para rotar una figura, se determina un vrtice de la figura dada
como centro de rotacin y un ngulo de rotacin en sentido horario o
antihorario. La figura rotada tiene igual forma y tamao que la
figura dada.
Construyo y reduzco el ABCD:(x ; y)
P ( 4 ; 4 )
Q (12 ; 4 )
R (12 ; 8 )
S ( 4 ; 8 )
Completo la tabla y reduzco el cuadriltero PQRS:
(x ; y)
P ( 4 ; 10 )P1( 2 ; 5 )
Q (12 ;10 )Q1( 6; 5 )
R ( )R1( )
S ( )S1( )
Roto el cuadriltero EFGH sobre el punto F con un nulo de rotacin
de 90 y un tringulo rectngulo, sobre el punto G, con un ngulo de
30.
Desafo tu habilidad; ahora tu premio es una
salchipapitas.10.Completa la tabla y reduce el pentgono ABCDE.
(a ; b)
A ( 6 ; 2 )
B (10 ; 2 )
C (12 ; 6 )
D ( 8 ; 10 )
E ( 4 ; 6 )
2.Construye un cuadriltero y reduce la tercera parte.
3.Dado el MNR y centro de rotacin en M, rota el tringulo 60 en
sentido antihorario.
4.Construye un cuadrado ABCD con centro de rotacin en B, rote el
cuadrado 90 en sentido horario.
5.Imagnate un polgono ya? Ahora, dibjalo en el plano cartesiano,
determina los pares ordenados de sus vrtices y reduce dicho
polgono.
EJERCICIOS PARA LA I.COMPLETA LAS TABLAS, CONSTRUYE Y
TRASLADA
01.
(a; b) ( (a + 5; b + 2)
A (1; 1) ( A1=
B (2; 4) ( B1=
02.
(a; b) ( (a - 4; b 1 )
A (7; 3) ( A1 =
Q (8; 6) ( Q1=
C (6; 7) ( C1=
03.
(a; b) ( (a + 5; b 4)
M (1; 5) ( M1=
N (4; 5) ( N1 =
P (4; 7) ( Q1 =
II.COMPLETAR LAS TABLAS, CONSTRUIR Y TRASLADAR LOS POLGONOS
SIGUIENTES
04.
(a; b) ( (a - 5; b + 3)
A (6; 1) ( A1 =
B (9; 1) ( B1 =
C (9; 4) ( C1 =
D (6; 4) ( D1 =
05.
(a; b) ( (a + 2; b 4)
P (6; 1) ( P1 =
Q (8; 6) ( Q1 =
R (5; 7) ( R1 =
S (2; 6) ( S1 =
06.(a; b) ( (a + 5; b + 2)
A (1; 2) ( A1=
N (5; 2) ( N1=
P (3; 5) ( P1=
III.COMPLETA LAS TABLAS, CONSTRUYE Y TRASLADA
01.
(a; b) ( (a - 2; b 5)
A (3; 7) (
B (3; 5) (
02. MON
(a; b) ( (a + 6; b + 4)
M (1; 1) (
O (3; 1) (
N (3; 3) (
03. RST(a; b) ( (a - 4; b + 3)
R ( 7; 1) (
S (10; 1) (
T ( 8; 5) (
04.Paralelogramo ABCD
(a; b) ( (a + 8; b 4)
A (0; 6) (
B (4; 6) (
C (5; 8) (
D (1; 8) (
05.Rectngulo MPQR
(a; b) ( (a + 7; b + 2)
M (1; 1) (
P (6; 1) (
Q (6; 4) (
R (1; 4) (
06.Rombo CDEF
(a; b) ( (a - 9; b - 2)
C (11;4) (
D (13;6) (
E (11;8) (
F ( 9;6) (
AMPLIAR LAS FIGURAS
COMPLETO LAS TABLAS, CONSTRUYO Y AMPLIO
01.
(a; b) ( (4a ; 3b)
A (1; 1) ( A1 ( )
B (6; 1) ( B1 ( )
02. ABC(a; b) ( (2a ; 2b)
A (2; 1) ( A1 ( )
B (5; 1) ( B1 ( )
C (1; 4) ( C1 ( )
03. MPQR(a; b) ( (3a + 3b)
M (1; 1) (
P (3; 1) (
Q (3; 3) (
R (1; 3) (
04. ABCD
(a; b) ( (4a ; 2b)
A (2; 0) ( A1 ( 8 ; 0 )
B (3; 2) ( B1 (12 ; 4 )
C (2; 4) ( C1 ( )
D (1; 2) ( D1 ( )
05. AOB(a; b) ( (4a; 3b)
A ( 2 , 3 ) ( A, ( ; )
O ( 1 , 1 ) ( O, ( ; )
B ( 2 , 0 ) ( B, ( ; )
06. MNPQ(a; b) ( (3a ; 2b)
M (2; 2) ( M1 ( )
N (4; 2) ( N1 ( )
P (3; 4) ( P1 ( )
Q (2; 4) ( Q1 ( )
07. ABCD
(a; b) (
A ( 6; 3) ( A1 ( ; )
B (12; 3) ( B1 ( ; )
C (12; 9) ( C1 ( ; )
D ( 6 ; 9) ( D1 ( ; )
08. MPQR
(a; b) (
M ( 8 ; 2 ) ( M1 ( ; )
P (12; 6 ) ( P1 ( ; )
Q ( 8; 10) ( Q1 ( ; )
R ( 4 ; 6 ) ( R1 ( ; )
09. AOB(a; b) (
A (4; 0) ( ( ; )
O (4; 4) ( ( ; )
B (8; 8) ( ( ; )
10.
(a; b) (
A (10; 4) ( A1 ( ; )
B ( 6; 10) ( B1 ( ; )
11. RST
(a; b) (
R ( 6 ; 3 ) ( ( ; )
S ( 9 ; 3 ) ( ( ; )
T ( 6 ; 9 ) ( ( ; )
12. AOB(a; b) (
R ( 6; 6) ( ( ; )
S (12; 6) ( ( ; )
T (12; 9) ( ( ; )
U ( 6; 9) ( ( ; )
COMPLETA LAS TABLAS, CONSTRUYE Y AMPLIA
01.
(a; b) ( (4a ; 4b)
M ( 2; 1 ) ( M ( ; )
N ( 1; 3 ) ( N ( ; )
02. ABC
(a ; b) ( (2a ; 3b )
A ( 1; 1) ( ( ; )
B ( 3; 1) ( ( ; )
C ( 1: 3) ( ( ; )
03. POQ
(a; b) ( ( 2a ; 2b )
O ( 2 ; 1) ( ( ; )
P ( 2; 5) ( ( ; )
Q ( 0; 3) ( ( ; )
TEMA: CONCEPTOS BSICOS
1.El PUNTO
El punto no se define, pero algunos ejemplos nos dan la idea de
punto: la huella que deja en el papel un lpiz afilado, la marca que
deja una aguja sobre una cartulina, una estrella en el firmamento,
etc.
Un punto geomtrico es imaginado tan pequeo que carece de
dimensin.
Los puntos se nombran con letras maysculas y se representan por
un trazo, un circulito o una cruz.
2.LA LNEA RECTA
Podemos considerarla como un conjunto de puntos dispuesto de tal
modo que siguen una misma direccin. Algunos ejemplos que nos
brindan la idea de una lnea recta son:
- El borde de una regla.
- El filo de una mesa.
- Un rayo luminoso, etc.
Una recta geomtrica se extiende sin lmite en dos sentidos. No
comienza ni termina.
Postulados:
- Dos puntos determinan una recta.
- Por un punto pasan infinidad de recta.
Representacin:
SEMIRRECTA
El punto A divide a la recta en dos partes. Cada parte recibe el
nombre de Semirrectas.
El punto A se llama frontera y no pertenece a ninguna de las dos
semirrectas.
3.EL RAYO
Es la unin de la semirrecta con su punto frontera.
Obs: Al punto A se le llama origen4.EL PLANO
La superficie de una mesa, el piso, la cara de un espejo. Etc.
Nos dan la idea de un plano.
Entonces podramos decir que un plano es el conjunto parcial de
infinitos puntos.
Su representacin usualmente es un paralelogramo.
Punto sobre una recta o un plano
Cuando un punto se encuentra sobre una recta o sobre un plano se
dice que el punto pertenece () a la recta o al plano.
Recta contenida en el plano
Una recta se encuentra contenida (o pertenece) a un plano,
cuando sus puntos se encuentran sobre el plano.
Interseccin de dos rectasDos rectas se intersecan (se cortan)
cuando tienen un punto comn.
Interseccin de una recta y un planoUna recta y un plano se
intersecan (se cortan) cuando tienen un punto en comn.
EJERCICIOS PARA LA CLASE
1.Designa de tres diferentes fomas cada una de las 9 rectas que
se observen en la figura.
Designacin
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.Relaciona correctamente los smbolos , , , en cada uno de los
casos, de acuerdo a la figura que se muestra.
Semirrecta
Sobre una recta se toma un punto A, este punto divide a la recta
en dos partes, cada parte se llama semirrecta. La semirrecta no
considera al punto A. El punto A se llama origen o frontera.
RayoSobre una recta se toma un punto A, este punto divide a la
recta en dos partes, cada parte se llama rayo. El rayo s considera
al punto A. El punto A se llama origen.
ACTIVIDADES PARA LA CLASE1.Seala cul es el axioma
a)El rea de un rectngulo es el producto de la base por la
altura.
b)La suma de las partes igual a todo.
c)En todo tringulo issceles, los ngulos en la base son
iguales.
2.Seala cul es el postulado.
a)El todo es mayor que cualquier de las partes.
b)La bisectriz divide al ngulo en dos partes iguales.
c)Hay infinitos puntos.
3.Seala cul es el teorema.
a)Las diagonales de un rectngulo se cortan en su punto
medio.
b)Dos cantidades iguales a una tercera, son iguales entre s.
c)La parte es menor que el todo.4.Completa:
a) El pueblo encargado de elevar la Geometra al grado de ciencia
fue: ______________________
b)Los egipcios utilizaron la Geometra principalmente en
______________
c)Geometra significa: _______ _______________________
d)EL documento ms importante dejado por los egipcios fue el
_________ _______________________
e)Fue un gran matemtico griego considerado como uno de los siete
sabios: ________ _______________________5.El trazo mostrado Es una
lnea recta? Por qu?
___________________________
___________________________
6.En un plano R, dibuja 3 puntos y colcales su nombre
respectivo.
7.Dibuja 2 lnea rectas y colcale el nombre respectivo.
8.Nombra las rectas de la figura.
Hay _________________ rectas.
a)__________________
b)__________________
c)__________________
Hay __________________ rectas
a)__________________
b)__________________
c)__________________
9.Observa el plano, luego indica si las afirmaciones son
verdaderas o falsas.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )10. Nombra los elementos geomtricos que observas a
continuacin.
a) _______________________
b) _______________________
c) ________________________
d) _______________________
e) _______________________
f) ________________________
EJERCICIOS PARA LA 1.Completa:
a)Escribi la obra Elementos ______________________
b) Es una proposicin sencilla y evidente que se admite sin
demostracin.
c) Es una proposicin que debe ser demostrada.
d) El teorema tiene dos partes, que son: ________________
2.Nombra las rectas de la figura:
a) ________________________
b) ________________________
c) ________________________
d) ________________________
e) ________________________
3.En el siguiente plano, coloca V o F segn corresponda.
a)
b)
c)
d)
e)
4.Nombra los elementos geomtricos que observes a
continuacin.
a) ________________________
b) ________________________
c) ________________________
d) ________________________
e) ________________________ SEGMENTOS
Un segmento de rectas es una porcin de lnea recta comprendida
entre dos puntos.
Un segmento se denota por dos letras maysculas que corresponden
a sus extremos, ms una rayita superior.
Un segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta,
por tener longitud, es decir, se puede medir.
Segmento AB:
MEDIDA DE SEGMENTO
Para medir un segmento utilizamos una regla graduada en
centimetros.
Ejemplo:
(Si podemos medir los segmentos, entonces podemos
compararlo.
Ejemplos.
OPERACIONES CON SEGMENTOS
Las operaciones se realizan con los nmeros que indican las
longitudes.
a) ADICIN
b) SUSTRACCIN
c) PRODUCTO
d) DIVISIN
EJERCICIOS PARA LA CLASEI.De la siguiente figura hallar:
Indicar las medidas de los segmentos y sus operaciones.1.
2.
3.
4.
5.2
6.(+ ) (2
7. 5 ( + )
8.
9.
2 2
10.
2 2
11.Mide cada segmento con una regla graduada y anota:
m()=
m()=
m()=
m()=
m()=
m()=
12.Coloca > ; < (semejante) segn corresponda.
____________
____________
____________
____________
____________
II.Dado la siguiente figura:
= 4cm ;
= 8cm
= 7cm;
= 10cm
Hallar:
13. +
14.
15. 3() -
16. 2() 3()
17. 2 2()
18. 2 2
EJERCICIOS PARA LA I.Del siguiente grfico:
Hallar:
1.
+ =
2.3 2 =
3.
4.
2 22 =
5.2( + ) 2 =
II.Con los siguientes segmentos:
PQ = 12 cm
ST = 8 cm
RV = 4 cm
Hallar:
6.(2 +)
7.
2 2
8.
2()
9.
10.
III.Mide los segmentos con una regla graduada y escribe >
< segn corresponda.
_____________
_____________
+ ____________
_____________
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
En los ejercicios que se dan a continuacin, encuentra el valor
de x.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BC
x = 2AB + BC CD7.
8.
9.
10.
3MP = 2NQ
TEMA: RECONOCIENDO UN EN EL PLANO CARTESIANO
Un tringulo rectngulo es una figurita de 3 lados, pero dos de
ellos forman un ngulo recto. As:
Veamos: Ubica el nmero de tringulos en la figura mostrada.
Ejemplo N 1:Las coordenadas de un son (1,2); (4,5); (4,2)
indicar si se trata de un .
Ejemplo N 2:
Los vrtices de un son: (2,2); (4,5) y (6,2). Indicar si se trata
de un .
Ejemplo N 3:
En el plano cartesiano mostrado une los puntos (con colores
diferentes) que forman un .
PROBLEMAS DE CLASE
01.Forma un uniendo 3 palitos convenientemente. Los palitos
tienen las siguientes medidas 3 cm, 4 cm y 5 cm.
02.Se tiene un ABC; donde el ngulo recto se ubica en el punto B.
Graficalo.
03.Se tiene un ABC, recto en B tal como se muestra, calcular la
suma de los lados que forman 90.
04.En el ABC mostrado; calcular su permetro (la suma de sus
lados), siendo += 7; =4 y = 5.
05.Se tiene el ABC; determine +
06.Determine el nmero de que hay en la figura mostrada:
07.Indicar que figura geomtrica plana que nos representa un
tringulo rectngulo.
08.Calcular la suma de sus 3 laos del tringulo rectngulo.
09.Un nio camina siguiendo la siguiente trayectoria pinta los
generados.
10.Ubica las palabras en el pupiletras.
( CATETO
( HIPOTENUSA
( PITAGORAS
( TRIANGULO
( RECTANGULO
EJERCICIOS PARA LA 01.Forma un uniendo 3 palitos
convenientemente los palitos tienen las siguientes medidas 1 cm, 2
cm y cm.
02.Grafica un ABC, recto en C.
03.Se tienen los lados: = 5 cm.; = 4 cm. = 3 cm. que pertenecen
al ABC recto en C. Determine la suma de los lados que forman el
ngulo recto.04.Cuntos tringulos hay en el grfico mostrado.
05.Calcular la suma de los lados de aquella figura plana que nos
represente a un tringulo rectngulo:
II BLOQUE
NGULO
Es la unin de dos rayos que tiene un origen comn.
Notacin:
El smbolo se lee ngulo.
(Generalmente los ngulos se designan con tres letras maysculas;
la letra cental corresponde al vrtice.
MEDICIN DE NGULOS
(Medida de un ngulo.
Al medir un ngulo comparamos la abertura entre sus lados con
otro ngulo o unidad de medida llamada GRADO SEXAGESIMAL (1).
Si dividimos 1 en 60 ngulos de igual abertura, cada uno de ellos
se llama MINUTO SEXAGESIMAL (1).
Si dividimos 1 en 60 ngulos de igual abertura, cada uno de ellos
se llama SEGUNDO SEXAGESIMAL (1).
(Para enconrar la medida de un ngulo se utiliza un instrumento
llamado TRANSPORTADOR.
(Cuando no se conoce la medida de un ngulo, se acostumbra
escribir una variable (generalmente una letra griega) en la
abertura para indicar su medida.
(Empleo del transportador:
El transportador es un instrumento que sirve para medir o trazar
ngulos. Para emplear el transportador hacemos coincidir al vrtice
del ngulo a medir con el centro o del transportador y uno de los
lados del ngulo con uno de los bordes adyacentes a dicho centro. El
otro lado del ngulo seala en el transportador el valor buscado.
EJERCICIOS PARA LA (Nombra de dos formas distintas cada uno de
los diez ngulos que hay en la figura:
1.AOB BOA
2._____________________________
3._____________________________
4._____________________________
5._____________________________
6._____________________________
7._____________________________
8._____________________________
9._____________________________
10._____________________________
(Observa stos ngulos y completa la tabla.
NOMBRE DEL NGULOVRTICELADOS
ABCB
(Completa la tabla
NGULOMEDIDANGULOMEDIDA
AOBEOB
ADCAOD
CODCOE
DOEDOB
COBAOE
(Mide los segmentos ngulos y halla:
m A + m B + m C + m D = ?
(Construya los siguientes ngulos:
a. POQ = 60
b. MON = 120
c. AOB = 90
d. POR= 45
e, RST = 180
f. COD = 200
g. FOG = 10CLASIFICACIN DE LOS NGULOS
I.De acuerdo con su medida.
a)Angulo Nulo.
Mide 0, es decir, sus dos lados coinciden.
m ABC = 0
b)ngulo agudo
Es el ngulo que mide 90
El POQ es agudo
c)ngulo recto
Es el ngulo que mide 90
m ABC = 90
d)ngulo obtuso
Es el ngulo cuya medida es mayor que 90 (pero menor que 180)
El ABC es obtuso
e)ngulo Llano
Es el ngulo que mide 180, sus lados se encuentran extendidos en
direcciones opuestas.
m AOB = 180
(Propiedad del ngulo llano:
Si un ngulo llano se divide en varios ngulos consecutivos, todos
ellos sumarn 180.
f)ngulo de una vuelta
Es el ngulo cuya medida es 360.
( Propiedad del ngulo de una vuelta:
Los ngulos consecutivos que completan una vuelta suman 360.
EJERCICIOS PARA LA 1.Usando el transportador clasifica cada
ngulo segn su medida.
m AOB = ___________________ el AOB es _______________
m BOC = ___________________ el BOC es _______________
m COD = ___________________ el COD es _______________
m BOD = ___________________ el BOD es _______________
m AOC = ___________________ el AOC es _______________
m AOD = ___________________ el AOD es _______________
2.Aplica la propiedad del ngulo llano y del ngulo de una vuelta
y completa lo que falta.
__________________ = 180
__________________ = 180
__________________ = 180
__________________ = 180
__________________ = 180
( + ( + ( + ( + ( + ( = _________________
3.Aplica la propiedad del ngulo llano y halla el valor de x.
4.Aplica la propiedad del ngulo de una vuelta y halla el valor
de x
TAREA DOMICILIARIA
I.Con tu transportador, dibuja ngulos de las siguientes
medidas:
1.10
2. 50
3.100
4.160
5.120
6.30
II.Con tu comps, traza la bisectriz de los siguientes
ngulos:
7.80
8.100
9.90
10.180
III.Usando el transportador, clasifica cada ngulo segn su
medida.
11. m AOE = _________________ el AOE es _____________
12. m BOD = _________________ el BOD es _____________
13. m EOC = _________________ el EOC es _____________
14. m AOC = _________________ el AOC es _____________
15. m ADA = _________________ el ADA es _____________
IV.Aplicando las propiedades del ngulo llano y del ngulo de una
vuelta halla el valor de x.
16.
a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50
17.
a) 5
b) 15c) 20
d) 25e) 47
18.
a) 23b) 43c) 53
d) 33e) 47
19.
a) 25b) 30c) 35
d) 40e) 55
20.
a) 45b) 90c) 50
d) 60e) 80
21.
a) 60b) 80c) 100
d) 120e) 40
22.
a) 160b) 140c) 120
d) 100e) 150
23.
a) 10b) 250c) 30
d) 450e) 60
24.
Hallar: ( + (
a) 100b) 90c) 160
d) 180e) N.A.
25.
Hallar: W + (
a) 100b) 90c) 40
d) 45e) 60EL PLANO CARTESIANO1)Localiza los siguientes puntos en
el Plano Cartesiano, luego nelos en forma correlativa y halla el
permetro del polgono resultante.
A(-1,3); B(1,3); C(1,1); D(3,1); E(3,-1); F(1,-1); G(1,-3);
H(-1;3); I(-1,-1); J(-3;-1); K(-3,1); L(-1,1) (Une L con A).
( Cmo se llama el polgono?
( Es regular o irregular?
( Es convexo?
2)Ubica en el sistema de coordenadas los siguientes puntos y
halla el rea del polgono.
A (-1;3)
B (2,0)
C (-1, -3)
D (-3, 0)
3)Ubica en el plano los siguientes puntos y luego nelos:
P (1,-4)
Q (4,4)
R (4,1)
S (3,3)
Une el punto S con P.
(Cambia las abcisas por su inversa y graficala en un plano
Cartesiano ms grande en tu cuaderno.
(Cambia las coordenads por su inversa y grafcala en tu
cuaderno.
(Cambia las abcisas y las ordenadas por su inversa, luego
grafica.
4)Dibuja un pentgono en el Plano Cartesiano, luego indica sus
coordenadas.5)Dibuja un pentgono simtrico al anterior con respecto
a algn eje, india sus coordenadas.
6)Dibuja un pentgono simtrico al anterior con respecto al
origen, indica sus coordenadas.
7)Traslada los siguientes puntos tal como indica la tabla. Luego
grafica la figura.
(a,b)(-3a, -3b)
A(1,1)
B(5,5)
C(1,4)
8)Localiza la figura en su nueva posicin.
(a,b)(a-7, b-2)
A(3,2)
B(3,6)
C(6,10)
D(5,5)
9)Localiza los puntos de la tala y grafica las dos figuras. Qu
sucedi con la figura inicial?
(a,b)(a/3, b/3)
A(3,6)
B(9,3)
C(3,3)
10) El permetro de un rectngulo es 48 cm, si se sabe que el
largo es el triple que el ancho. Hallar el rea.
11) El permetro de un tringulo es 27 cm, si la base mide 11 cm.
Cunto miden los lados?.
PRISMAS
Los prismas son slidos geomtricos que estn limitadas por dos
bases paralelas que son polgonos congruentes y por caras laterales
que son paralelogramos.
Observa el prima de la izquierda y sus elementos
- Las bases son hexgonos.
- Las caras laterales son rectngulos.
- La altura de un prisma es la distancia entre las bases.
Clases de prismas
Prisma Recto :Es aquel cuyas caras laterales son cuadrados o
rectngulos.
Prisma Oblcuo:Es aquel cuyas caras laterales son paralelogramos
de ngulos oblicuos.
Prisma Regular: Es aquel cuyas bases son polgonos regulares, el
prisma debe ser recto.
REA LATERAL Y REA TOTAL DE PRISMAS RECTOS
(rea Lateral de un prisma
Es la suma de las reas de sus caras laterales.
(rea de la base de un prisma
Es el rea de sus bases.
(rea total de un prisma
Es la suma del rea lateral y la de sus bases.
rea total = rea lateral + 2 x rea de la base
( Volumen de un prisma
Es igual al producto del rea bsica (rea de una base) por la
altura del prisma.
Ejemplo:
Calcular el rea lateral, el rea total y el volumen de un
paralelogramo cuyas dimensiones son 3; 6 y 12 cm.
rea lateral = 2 caras de
rea lateral = 2(3 x 12) + 2(6 x 12)rea lateral = 72 + 144 = 216
cm2rea total = rea lateral + 2 x rea de la base
= 216 cm2 + 2 x
= 216 cm2 + 2 x 3 x 6
= 216 cm2 + 36 cm2
( rea total = 252 cm2
Volumen = rea base x alturaVolumen = 3 x 6 x 12 = 216
cm3EJERCICIOS
Hallar el rea lateral, rea total y volumen de c/u de las
siguientes cajas que tienen forma de prismas.
CUERPOS EN EL ESPACIO
Esta cajita cuyas caras son cuadrados es una figura espacial o
slido geomtrico y se le conoce ms comnmente como
______________________SLIDO GEOMTRICO
Es una figura que encierra un conjunto de puntos que conforman
una regin del espacio, mediante superficies.
POLIEDRO
Es un slido geomtrico limitado por regiones poligonales.
ELEMENTOS1)Caras:
Son las regiones poligonales que limitan al poliedro. Son:
( Base Inferior : _______________
( Base Superior : ________________
( Caras laterales : ________________
________________
________________
________________
2)Aristas
Son los segmentos de recta que limitan las caras. Son:
(Aristas bsicas: __________ ; __________ ; __________ ;
__________
(Aristas laterales__________ ; __________ ; __________ ;
__________3)Vrtices
Son los puntos de interseccin de tres o ms aristas. Son:
______________ ; ______________ ; ______________ ; _____________
:
______________ ; ______________ ; ______________ ; _____________
:
TALLER DE EJERCICIOS
01.Indica cules son las caras, los vrtices y las aristas del
siguiente poliedro.
Vrtices:Caras:
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
Aristas:
______________________________________
______________________________________
02.Hallar el nmero de caras, el nmero de vrtices y el nmero de
aristas del siguiente poliedro.
03.Completa el siguiente cuadro.
POLIEDRON CARASN VRTN ARISTAS
NGULOS CONSECUTIVOS Y OPUESTOS POR EL VRTICE
ngulos ConsecutivosSon aquellos que tienen uno o ms lados en
comn y el mismo vrtice.
Ejemplos:
Los ngulos a, b y c sonLos ngulos OB y
consecutivosBOC son consecutivos
Los ngulos HPG y GPF son consecutivos
Son dos ngulos que tienen el mismo vrtice y los lados de uno son
las prolongaciones en sentido opuesto de los lados del otro.
Ejemplo:
Los ngulos AOB y COD son opuestos por el vrtice.
Propiedad de los ngulos opuestos por el vrtice. Los ngulos
opuestos por el vrtice son congruentes.Posiciones relativas de dos
rectas en el plano
Rectas Oblicuas
Observa detenidamente las rectas m y n. Ambas estn contenidas en
el plano P y se cortan determinando cuatro ngulos cada uno de los
cuales es diferente del ngulo recto. El smbolo se lee: es oblicua
a.
Rectas Perpendiculares y Rectas Paralelas
Consideremos a las rectas L1, L2 y L3 que contiene
imaginariamente a los lados de una pizarra que:
I. es paralela a lo cual se simbmboliza as: II. es perpendicular
a , lo cual se simboliza as:
Para trazar dos rectas perpendicular utiliza tu regla y
escuadra. Por ejemplo, si deseas una recta dada L1 sigue los
siguientes pasos:
Para trazar una recta L paralela a una recta dada L se procede
de la siguiente manera.
CONGRUENCIAS DE NGULOS
Dos ngulos se dice que son congruentes cuando sus medidas son
iguales.
Ejemplo: Mide con tu transportador.
BISECTRIZ DE UN NGULOEs el rayo que partiendo del vrtice divide
al ngulo en dos ngulos congruentes.
Ejm:
CLASIFICACIN DE LOS NGULOSI.De acuerdo con su medida.
a)ngulo nulo
Mide 0, es decir, sus dos lados coinciden.
m ABC = 0
b) ngulo agudo
Es el ngulo cuya medida es menor que 90
El POQ es agudo.
c)ngulo Recto
Es el ngulo que mide 90
m ABC = 90
d)ngulo obtuso
Es el ngulo cuya medida es mayor que 90 (pero menor que 180)
El ABC es obstuso
e)ngulo llano
Es el ngulo que mide 180, sus lados se encuentran extendidos en
direcciones opuestos.
m AOB = 180
(Propiedad del ngulo llano:
Si un ngulo llano se divide en varios ngulos consecutivos, todos
ellos sumarn 180
f)ngulo de una vuelta
Es el ngulo cuya medida es 360
(
11. m AOE = _________________ el AOE es _____________
9)Localiza los puntos de la tabla y grafica las dos figuras. Qu
sucedi con la figura inicial?
AT = AL + 2 x rea de la base (frmula)
V = rea de la base x altura = Ab x h (frmula)
Dos rectas een un plano son oblicuas, cuando al cortarse
determinan cuatro ngulos distintios del ngulo recto.
2 rectas en un plano son paraleas cuando por ms que se
prolonguen no llegan a cortarse.
2 rectas en un lano son perpendiculares cuando al cortarse
determinan cuatro ngulos rectos.
(a ; b) EMBED Equation.3 (3a ; 3b)Q ( 2 ; 3 )R ( 2 ; 1 )S ( 4 ;
1 )
TUEQRSODTAIUEACCFGAIPADOJLFUCKURJPEPITOHDCUKODFANAKLUAAYLGGASTESAOLUGNATCERIOXLQZUITHCCILJKOZEGHIHAVAUKLKDHIPOTENUSAYLADAOJEIGEIUWHCAQPKTEUFOOSCDAALOULILICUADRADOIOLUE
Geometra1
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