Factor de empaquetamiento atmico

En cristalografa, el factor de empaquetamiento atmico (FEA), en ingls: Atomic

packing factor, APF, es la fraccin de volumen en una celda unidad que esta ocupada por

tomos. Este factor es adimensional y siempre menor que la unidad. Para propsitos

prcticos, el FEA de una celda unidad es determinado asumiendo que los tomos son

esferas rgidas. Para cristales de un componente (aquellos que contienen un nico tipo de

tomo), el FEA se representa matemticamente por

donde Ntomos es el numero de tomos en la celda unidad, Vtomo es el volumen de un tomo,

y Vcelda unidad es el volumen ocupado por la celda unidad. Matemticamente puede ser

probado que para estructuras de un componente, el arreglo ms denso de tomos tiene un

FEA alrededor de 0.74. En realidad, este nmero puede ser mayor debido a factores

intermoleculares especficos. Para estructuras de mltiples componentes, el FEA puede

exceder el 0.74.

Ejemplo

Estructura BCC

La celda unidad para la estructura cbica centrada en el cuerpo, en ingls: Body-centered

cubic, BCC, contiene dos tomos: un octavo (1/8) de atomo en cada esquina del cubo y un

tomo en el centro. Dado que el volumen de cada tomo ubicado en las esquinas es

compartido con las celdas adyacentes, cada celda BCC contiene dos tomos.

Cada tomo en las esquinas toca el tomo central. Una linea que sea dibujada desde una

esquina del cubo a travs del centro hacia la otra esquina pasa a lo largo de 4r, donde r es el

radio de un tomo. Por geometra, la longitud de la diagonal es a3. Por lo tanto, la longitud de cada lado de la estructura BCC puede ser relacionada al radio de cada tomo

mediante

Conociendo esto y la formula para el volumen de una esfera((4 / 3)pi r3), es posible calcular

el FEA de la siguiente manera:

Para la estructura hexagonal la derivacin es similar. La longitud de un lado del hexgono

sera denotada por a mientras que la altura del hexgono se denotara como c. Entonces:

Arreglo hexagonal tridimensional.

a = 2r

Entonces es posible calcular el FEA como sigue:

FEA de estructuras comunes

Mediante procedimientos similares, los factores de empaquetamiento atmico ideales de

todas las estructuras cristalinas pueden ser encontrados. Algunos factores comunes se

presentan a continuacin, redondeados a la centsima mas prxima.

Cbica simple (CS): 0.52 Cbica centrada en el cuerpo (BCC): 0.68 Hexagonal compacta (HCP): 0.74

Cbica centrada en las caras (FCC): 0.74 Cbica diamante: 0.34

PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METLICAS

La mayora de los metales elementales (90%) cristalizan en tres estructuras

cristalinas densamente empaquetadas: cbica centrada en las caras FCC,

hexagonal compacta HCP y cbica centrada en el cuerpo BCC debido a que se

libera energa a medida que los tomos se aproximan y se enlazan cada vez ms

estrechamente entre s. Por lo tanto dichas estructuras densamente empaquetadas

se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energa cada vez ms baja y

estable.

Ejemplo

Cuntas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de

la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm, si a temperatura ambiente

la arista es igual a 0.287 X 10-9 nm ?

Estructura Cristalina Cbica Centrada en el Cuerpo BCC

En esta celda unidad las esferas slidas representan los centros donde los tomos

estn localizados e indican sus posiciones relativas. En esta celda unidad el

tomo central esta rodeado de 8 vecinos ms cercanos y se dice que tiene por lo

tanto un nmero de coordinacin de 8. Cada una de estas celdas unidad tiene el

equivalente de 2 tomos por celda unidad. Un tomo completo esta localizado en

el centro de la celda unidad, y un octavo de esfera esta localizado en cada vrtice

de la celda unidad, haciendo el equivalente de otro tomo. De este modo, hay un

total de 1 (en el centro) + 8 x 1/8 (en los vrtices) = 2 tomos por celda unidad.

Los tomos en este tipo de celdas contactan entre s a travs de la diagonal del

cubo, y la relacin entre la longitud de la cara del cubo a y el radio atmico R es:

Si los tomos en la celda BCC se consideran esfricos, el factor de

empaquetamiento atmico (APF) puede hallarse empleando la siguiente

expresin:

El APF de esta celda es 0.68, es decir, el 68% del volumen de la celda esta

ocupado por tomos y el 32% restante en espacio vaco. El cristal BCC no es una

estructura totalmente compacta, ya que los tomos an podran situarse ms

juntos. Muchos metales como el Cromo, Hierro, Wolframio, Molibdeno y

Vanadio tienen estructura cristalina BCC.

Estructura Cristalina Cbica Centrada en las Caras FCC. En esta celda hay

un punto reticular en cada vrtice del cubo y otro en el centro de cada cara del

cubo. El modelo de esferas slidas indica que los tomos de esta estructura estn

unidos del modo ms compacto posible. El APF de esta estructura de

empaquetamiento compacto es 0.74.

Esta celda tiene el equivalente a cuatro tomos por celda unidad. Un octavo de

tomo en cada vrtice (8 x 1/8=1) y seis medios tomos en el medio (1/2 x 6= 3).

Los tomos en la celda FCC contactan entre s a lo largo de la diagonal de la cara

del cubo, de tal forma que la relacin entre la longitud de la cara del cubo y el

radio atmico es:

Metales como el Aluminio, el Cobre, el Plomo, el Nquel y el Hierro a

temperaturas elevadas (912 a 1394C) cristalizan segn la estructura FCC.

Ejemplo

El Cu posee una estructura FCC y un radio atmico de 0.1278 nm y considerando

que los tomos son esferas slidas que contactan a lo largo de las diagonales de

la celdilla unidad FCC. Cul es el valor terico de la densidad del Cu ?

Masa atmica del Cu=63.54 g/mol

1/8 * 8= 1 tomo

* 6= 3 tomo

a 4 tomos en la celda FCC

figura 5

Parmetro de Red:

Volumen de la celda:

V=a3 = (0.361nm)3 =0.047nm3x(1X10-9m)3 = 4.7 x 10-29 m3

Masa de los tomos de Cu en la celda:

Densidad Volumtrica:

El valor tabulado experimentalmente es de 8.96 , la diferencia se debe a que

los tomos no son esferas perfectas, a la ausencia de tomos en las posiciones

atmicas, a defectos en la red, etc.

Estructura Cristalina Hexagonal Compacta HCP

Los metales no cristalizan en la estructura hexagonal sencilla porque el APF es

demasiado bajo. El APF es 0.74 ya que los tomos estn empaquetados de un

modo lo ms cercano posible. Cada tomo esta rodeado de otros 12 tomos y por

tanto su nmero de coordinacin es 12.

La celda HCP posee 6 tomos, tres forman un tringulo en la capa intermedia,

existen 6*1/6 secciones de tomos localizados en las capas de arriba y de abajo,

haciendo un equivalente a 2 tomos ms, finalmente existen 2 mitades de tomo

en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un

tomo ms.

La relacin c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1.633 que indica

esferas uniformes tan prximas como sea posible. Los metales Cinc, Cadmio

poseen una relacin c/a ms alta que la ideal, lo que indica que los tomos en

estas estructuras estn ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda

unidad HCP. Los metales como el Titanio, Berilio, Magnesio Y Circonio entre

otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Por tanto en estos metales los

tomos estn comprimidos a lo largo de la direccin del eje c.

NDICES DE MILLER

Celdas Cbicas. Los ndices de Miller de un plano cristalino estn definidos

como los recprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x,

y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. Las aristas de una celda

cbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos

de una red se miden en base a estas longitudes unitarias.

El procedimiento para determinar los ndices de Miller para un plano de un

cristal cbico es el siguiente:

Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0)

Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x, y, z cristalogrficos

para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.

Construir los recprocos de las intersecciones.

Despejar fracciones y determinar el conjunto ms pequeo de nmeros enteros

que estn en la misma razn de las intersecciones. Estos nmeros enteros son los

ndices de Miller de un plano cristalogrfico y se encierran entre parntesis sin

usar comas. La notacin (hkl) se emplea para indicar los ndices de Miller en

sentido general, donde h, k, y l son los ndices de Miller para un plano de un

cristal cbico de ejes x, y, y z respectivamente.

Ejemplos

figura 6

Las intersecciones del primer plano son 1, 1, y los recprocos de estos nmeros

son 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los ndices de Miller (1 1 0).

Para la segunda figura, las intersecciones son: 1, , a los ejes x, y, z

respectivamente, por lo tanto los recprocos son: 1, 0, 0. Los ndices de Miller

para este plano son: (1 0 0 ).

Finalmente, el tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un ndice

de Miller (1 1 1).

Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno

ms cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posicin

equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo

al original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son

indicados con los mismos ndices de Miller.

Si grupos de planos de redes equivalentes estn relacionados por la simetra del

sistema cristalino, se llaman familia de planos, y los ndices de una familia de

planos son encerrados entre llaves. Por ejemplo, los ndices de Miller de los

planos de la superficie del cubo (100) (010) y (001) se designan colectivamente

como una familia con la notacin {100}.

Una importante relacin slo para el sistema cbico es que los ndices de una

direccin perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los ndices

de Miller para ese plano. Por ejemplo, la direccin [100] es perpendicular al

plano cristalino (100).

Celda HCP. Se identifican empleando cuatro ndices en vez de tres, se

denominan ndices Miller-Bravais, son representados por las letras h, k, i, l y

encerrados entre parntesis (h, k, i, l). Estos ndices hexagonales estn basados en

un sistema coordenado de cuatro ejes, tres ejes bsicos a1,a2,a3 que forman 120

entre s, el cuarto eje o eje c es el eje vertical y est localizado en el centro de la

celdilla unidad (Ver figura). La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1,a2,a3

es la distancia entre los tomos. La unidad de medida a lo largo del eje c es la

altura de la celdilla unidad. Los recprocos de las intersecciones que un plano

determina con los ejes a1,a2,a3 proporcionan los ndices h, k e i mientras que el

reciproco de la interseccin con el eje c da el ndice l.

figura 7

Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta

celdilla, el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a1,a2,a3 , las

intersecciones de este plano con estos ejes sern todas de valor infinito. As, a1 =

a2= a3 = . El eje c, sin embargo, es nico puesto que el plano basal superior

intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recprocos de

estas intersecciones tenemos los ndices de Miller-Bravais para el plano basal

HCP. As, h=0, K=0, i=0, l=1. El plano basal es, por tanto, un plano (0001).

Las direcciones en las celdas unitarias HCP se indican por cuatro ndices

[u,v,t,w]. Son vectores reticulares en las direcciones a1,a2,a3 respectivamente y el

ndice w es un vector reticular en la direccin c.

SISTEMAS DE DESLIZAMIENTO

Un sistema de deslizamiento es la combinacin de un plano y una direccin que

se halla sobre el plano a lo largo del cual se produce el deslizamiento.

El Mecanismo de deslizamiento puede definirse como el movimiento paralelo de

dos regiones cristalinas adyacentes, una respecto a la otra, a travs de algn plano

(o planos).

El deslizamiento no se produce sobre un plano solamente, sino sobre pequeas

regiones de planos paralelos llamados bandas de deslizamiento o lneas de

deslizamiento, dependiendo de sus espesores. Puesto que todas las lneas de

deslizamiento est en grupos paralelos dentro de cada monocristal (cada grano),

deben corresponder a una misma familia de planos (hkl) ocupados del grano

particular. A partir de mediciones sobre especmenes de monocristales de

orientaciones conocidas se puede determinar 1) los planos sobre los cuales se

produce el deslizamiento y 2) la direccin de deslizamiento dentro de estos

planos. Tales experimentos han revelado que en las estructuras FCC el

deslizamiento siempre se produce sobre los planos {111} pero solamente en las

direcciones . Esto significa que si se produce el deslizamiento sobre el

plano (111) ser en alguna de las tres direcciones [101], [110], [011].

Los cristales FCC poseen 12 sistemas de deslizamiento debido a que tienen

cuatro grupos {111} y con tres direcciones en cada una.

En otras estructuras de cristales metlicos, los sistemas de deslizamiento tienen

ms variabilidad. En los metales BCC las lneas de deslizamiento tienen una

apariencia ondulada. En estos cristales el deslizamiento se produce

predominantemente en los sistemas {110} y la apariencia ondulada se

debe aparentemente a deslizamiento simultneo sobre los otros dos sistemas de

planos {211} y {321} . En cristales HCP reales, la relacin c/a no es igual al valor

ideal de 1.633 del modelo de esfera dura. Para los metales c/a > 1.633 hay alguna

preferencia para el deslizamiento sobre el plano basal, (0001), mientras

que para aquellos metales con c/a < 1.633 los sistemas de deslizamiento

preferidos son los otros dos.

Estructura Direccin de

Deslizamiento

Planos de

Deslizamiento

Ejemplos

FCC {111} Cu, Al, Ni, Pb, Au, Ag,

Fe

BCC {110} Fe, W, Mo, Latn, Nb,

Ta

BCC {210} Fe, Mo, W, Na

BCC {321} Fe, K

HCP (0001) Cd, Zn, Mg, Ti, Be, Co

HCP {1010} Ti, Mg, Zr, Be

HCP {1011} Ti, Mg

Tres observaciones generales son de gran importancia:

1. Las direcciones de deslizamiento siempre son en la direccin de

empaquetamiento compacto. Existen excepciones, por ejemplo, mercurio

slido.

2. El deslizamiento ocurre usualmente sobre la mayora de los planos

compactos. Esta observacin esta relacionada con el hecho de que los

planos empaquetados ms densamente tambin son el grupo de planos

(hkl) ocupados que tienen el espaciamiento ms amplio.

3. El deslizamiento se produce primero sobre el sistema de deslizamiento que

tiene el mayor esfuerzo de corte a lo largo de su direccin de

deslizamiento.

PROBLEMAS Junio 97.- La red cristalina del cloruro sdico responde a una estructura como la de la

figura. Los radios atmicos del cloro y el sodio son respectivamente 0.181 y 0.097

nanmetros y sus masas atmicas 35.4 y 22.99 gramos. Se desea conocer:

a) a) El ndice de coordinacin de los iones cloro y sodio, indicando la estructrura cristalina de cada uno de ellos.

b) b) La densidad volumtrica del cloruro sdico. c) c) El factor de empaquetamiento.

Nota: los tomos resultan tangentes en la direcciones tangentes de la diagonal.

Solucin Junio 97.-

a) a) Los dos cristalizan en un sistema cbico centrado en las caras, por ello, su nmero de coordinacin es 12.

b) b) Por ser tangentes los tomos segn la diagonal del cubo se cumple que: Diagonal = sqr3 * lado celdilla

Diagonal = 2* radio Cl + 2 * radio Na

De las dos igualdades anteriores obtenemos:

Lado celdilla = (2*0.181 nm + 2 * 0.097 nm) / sqr3 = 0.321 nm

Volumen celdilla = lado3 = (0.321nm)

3 = 0.033 nm

3

En cada celdilla hay:

tomos de Cl: 6 * (1/2) + 8 * (1/8) = 4

tomos de Na: 1 + 12 * (1/4) = 4

Masa celdilla = 4 *masa Na + 4 *masa Cl = 4* 35.4 uma + 4 * 22.99 uma = 233.56 uma

Densidad = 233.56 uma / 0.033 nm3

c) c) factor empaquetamiento = volumen tomos / volumen celdilla factor emp = (4*(4/3*pi)*0.181

3 nm

3+ 4*(4/3*pi)*0.097

3 nm

3) / 0.033 nm

3

Junio 99.- El molibdeno posee una estructura cbica centrada en el cuerpo y una densidad

de 10.2 gr/cm3. Se pide:

a) a) Calcular el nmero de coordinacin y el nmero de tomos de cada celdilla elemental

b) b) Su radio atmico. c) c) Su factor de empaquetamiento atmico.

El peso atmico del molibdeno es de 95.94.

Solucin Junio 99.- a) a) Por ser una estructura cbica centrada en el cuerpo el nmero de coordinacin

es 8 y el nmero de tomos por celdilla es 2 (el central ms 1/8 en cada esquina del

cubo).

b) b) n tomos/cm3 = densidad/ peso molecular n tomos/cm

3 = 10.2 gr/cm

3 / 95.94 * 10

-23 gr/tomo =

n celdillas = (n tomos/cm3) / (n tomos/celdilla)

n celdillas = / 2 =

volumen celdilla = 1 cm3 / n celdillas

volumen celdilla = 1 cm3 /

volumen celdilla = a3

a = (volumen celdilla)1/3

= ()1/3

=

R = sqr3*a/4 =

c) c) el factor de empaquetamiento lo obtenemos dividiendo el volumen de los dos tomos entre el volumen de la celdilla, teniendo en cuenta que los tomos son

tangentes segn la diagonal del cubo.

Factor empaquetamiento = Vtomos / Vceldilla= 2* (4/3* pi* R)/ a3 = 0.68

Septiembre 99.- Considerando los tomos como esferas compactas:

a) a) Comparar el factor de empaquetamiento de una celda FCC y de una celda BCC.

b) b) Suponer una estructura BCC y calcular el parmetro de red a, sabiendo que los tomos tienen un radio atmico de 0.127 nm.

Solucin Septiembre 99.- a) a) factor empaquetamiento BCC = 0.68

factor empaquetamiento FCC = 0.74

b) b) a = 4* R/ (SQR3) = 4 * 0.127 nm / (SQR3) =0.293 nm

Junio 01.- Calcula el cambio terico de volumen asociado a una transformacin alotrpica en un

metal puro desde una red FCC a una red BCC.

Solucin Junio 01.-

FCC: a = 4*R/SQR2 n atomos celdilla = 4

BCC: a = 4*R/SQR3 n atomos celdilla = 2

Por cada celdilla FCC se formarn 2 celdillas BCC, ya que el n de tomos se conserva.

(Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * volumen celdilla BCC / volumen celdilla FCC

(Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * (4*R/SQR3)3 / (4*R/SQR2)

3 = 1.088

Luego cuando cristaliza en BCC es un 8.8% mayor que cuando lo hace en FCC, a pesar de que la

celdilla BCC es ms pequea.

Septiembre 02.- Un metal cristaliza en la red cbica centrada en el cuerpo. Si su radio atmico es

1.24 nanometros. Cuntos tomos existirn en 1 cm3?

Solucin Septiembre 02.-

a= 4*R/SQR3 = 4* 1.24 nm/SQR3=2.863 nm = 2.863 * 10-7

cm

n tomos por celdilla = 2 tomos

Vceldilla = a3 = (2.863 * 10

-7 cm)

3=23.483 *10

-21 cm

3

n celdilla = 1 cm3 /23.483 *10

-21cm

3 = 4.25 * 10

19 celdillas

n tomos = n celdilla * n tomos/celdilla

n tomos = 4.25 * 1019

celdillas * 2tomos/celdilla = 8.5 * 1019

tomos

ndices de Miller

Los tomos en un slido estn empaquetados, con lo que existe un cierto grado de orden:

- de corto alcance (slidos moleculares, con enlaces fuertes- covalentes- entre tomos y ms

dbiles van der Waals- entre molculas ).

- de largo alcance (slidos cristalinos)

En el interior de un slido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial,

en cada punto de la cual se sitan grupos de tomos idnticos en composicin y orientacin

(base).

La geometra de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de tomos sin dejar

huecos, caracterstica que hace que slo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais),

caracterizadas por una celda unitaria cada una, que, a su vez viene definida por una serie de

parmetros (a,b,c y , , ).

Para identificar los diferentes planos y direcciones en un cristal se usan los ndices de Miller (para

planos (hkl), para direcciones [hkl]).

La orientacin de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano

corta a los ejes cristalogrficos principales del slido. La aplicacin de un conjunto de reglas

conduce a la asignacin de los ndices de Miller (hkl); un conjunto de nmeros que cuantifican los

cortes y que slo puede usarse para identificar un plano o una superficie.

El siguiente procedimiento que permite asignar ndices de Miller est simplificado y slo sirve para

el sistema cbico (con celda unitaria de dimensiones a x a x a ).

Para ilustrar el procedimiento, consideremos la siguiente superficie /plano:

Paso 1: identificar las intersecciones con los ejes x, y,z.

En este caso la interseccin con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y,

z (consideramos que los corta en ). Los cortes son a, , .

Paso 2: especificar los cortes en coordenadas fraccionarias.

Las coordenadas se convierten en fraccionarias dividindolas por la dimensin de la celda unidad.

Por ejemplo un punto (x,y,z) en una celda unidad de dimensiones a x b x c, tiene las coordenadas

fraccionarias (x/a, y/b, z/c).

En nuestro caso ( celda cbica), las coordenadas fraccionarias sern: a/a, /a, /a, es decir 1,,

.

Paso 3: obtener los reciprocos de las coordenadas fraccionarias

Este paso final genera los ndices de Miller que, por convencin, han de especificarse sin estar

separados por comas. Los ndices se encierran entre parntesis () cuando se especifica una nica

superficie como en este ejemplo.

Los recprocos de 1 y , son 1 y 0, respectivamente, lo que nos conduce a (100). Por tanto el plano

del dibujo es el (100) del cristal cbico.

Otros ejemplos:

1- La superficie (110)

cortes: a,a, ; cortes fraccionarios: 1,1, ; ndices de Miller: (1,1,0)

2- La superficie (111)

cortes: a,a,a ; cortes fraccionarios: 1,1,1 ; ndices de Miller: (1,1,1)

Las superficies consideradas hasta ahora (100), (110) y (111) son las llamadas superfcies de ndice

bajo de un cristal cbico (el termino bajo hace referencia a que los ndices son 0 o 1). Estas

superficies tienen especial importancia, pero hay un nmero infinito de otros planos que pueden

definirse usando los ndices de Miller.

3- Las superficies (210)

cortes: a/2, a,; cortes fraccionarios: 1/2, 1, ; ndices de Miller: (210)

Notas adicionales:

(i) en algunos casos los ndices de Miller se multiplican o dividen por algn factor comn para

simplificarlos. Esta operacin simplemente genera un plano paralelo que est a distancia diferente

del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (200) se transforma en (100) al dividir por

dos)

(ii) si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el

ndice de Miller (ejemplo (00-1) se escribe (001)

(iii) en los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes pricipales, por tanto deben usarse

cuatro ndices de Miller (ejemplo (0001))

En el dibujo las tres superficies estn relacionadas por los elementos de simetra del cristal cbico

y son totalmente equivalentes. De hecho hay un total de 6 caras relacionadas por elementos de

simetra y equivalentes a la superficie (100), cualquier superficie que pertenezca a este conjunto

de superficies de simetra equivalente puede ser descrita por la notacin {100}, en la que los

ndices de Miller de una de las superficies estn representados entre llaves.

En el sistema cbico el plano (hkl) y el vector [hkl], definido con respecto al origen, son

perpendiculares. Esta caracterstica es nica del sistema cbico y no se puede aplicar a sistemas de

simetra inferior.

La distancia entre planos en el sistema cbico viene dada por:

Ejemplo MIL1

Determinar los valores de la interseccin con los ejes x, y, z de un plano cuyos ndices de Miller son

(362). Suponiendo que dicho plano pertenezca a una estructura cristalina cbica de parmetro de

red igual a 3.5 A, calcular la distancia interplanar.

A partir de los ndices de Miller (362) se obtienen los cortes fraccionarios 1/3, 1/6, 1/2 y se reducen

a fracciones equivalentes con los nmeros enteros menores posibles (aplicando el mcm= 6),

obtenindose 1/2,1,1/3. Los cortes con los ejes sern, por tanto x=2, y=1, z=3.

La distancia entre estos planos se obtiene a partir de:

REDES CRISTALINAS

Para una apropiada asimilacin de lo que significa el orden interno cristalino, se ha de comenzar por la visualizacin y definicin, a travs de vectores traslacin, del orden interno monodimensional , constituido por las diferentes direcciones de la red que definen, por su periodicidad, filas reticulares donde los nudos estn alineados y equidistantes entre s.

Fila reticular

Se trata de una fila de nudos obtenida por aplicacin sucesiva de una traslacin definida.

El smbolo de las filas reticulares se denomina como los ndices [uvw] que son los componentes del vector traslacin que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en funcin de un par primitivo cuyo origen se sita sobre uno de estos dos nudos.

Por ejemplo, para las filas fundamentales:

Para otras filas reticulares:

Plano reticular

Un plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas. Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha, Kb, Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal. Las dimensiones de estas intersecciones (HKL), medidas desde un nudo tomado como origen son los parmetros del plano reticular correspondiente. Sin embargo, la denominacin habitual de un plano reticular son los ndices de Miller.

ndices de Miller

Se obtienen calculando las intersecciones (H, K, L), o nmero de traslaciones, con los tres ejes fundamentales del cristal. Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores, o bien, se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones: (H*K*L= N, N/H= h, N/K=k, N/L=l)

Intersecciones: H=, K=, L=1,

Invertimos: 1/=0, 1/=0, 1/1=1, no existen denominadores

ndices de Miller: (001)

1. Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalogrficos a, b y c. Es decir, contar el nmero de traslaciones t1, t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a, b y c.

El plano ABD ocupa:

2t1 en el eje a, 2t2 en el eje b, y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa:

4t1 en el eje a, 2t2 en el eje b, y 4t3 en el eje c

2. Para calcular los ndices de Miller de cada plano, a partir de estas intersecciones, se invierten los valores y, si es necesario, se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2, 2 y 4.

Su inversin es: 1/2, 1/2, 1/4.

Reducimos fracciones, quitando denominadores: 2/4, 2/4, 1/4. Sin denominadores queda 221

ndices de Miller: (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4, 2 y 4.

Su inversin es: 1/4, 1/2, 1/4.

Reducimos fracciones, quitando denominadores: 1/4, 2/4, 1/4. sin denominadores queda 121

ndices de Miller: (121)

* Este smbolo entre parntesis (hkl) nombra el plano dado, mientras que entre corchetes {hkl} indica todos los planos homlogos que resultan de aplicar los elementos de simetra del cristal al plano (hkl).

Celda unidad

En una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones mnimas entre todas las traslaciones posibles de la red: son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares, de dimensiones submicroscpicas. La porcin del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracterstica del mismo.

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda mltiple a la que si los tiene y est definida por vectores mltiples que son mltiplos enteros del vector traslacin unitario de igual direccin. Se llama multiplicidad al nmero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 , * 4 = 1)

CRISTALOGRAFA

Ciencia que se dedica al estudio y resolucin de estructuras cristalinas. La mayora de

los minerales adoptan formas cristalinas cuando se forman en condiciones favorables. La

cristalografa es el estudio del crecimiento, la forma y la geometra de estos cristales.

Las partculas de los cuerpos slidos, salvo excepciones, se ordenan en el espacio de

acuerdo a determinados tipos de redes geomtricas, tambin llamadas cristalinas. Esta

ordenacin, que da a los slidos su consistencia y la mayor parte de sus propiedades,

constituye el campo de estudio de la cristalografa.

Los slidos cristalinos tienden a adoptar estructuras internas geomtricas basadas

en lneas rectas y planos paralelos.

Los componentes de los slidos pueden ser de cuatro tipos:

tomos: partculas elementales de materia con carga elctrica neutra.

Iones: tomos con carga elctrica negativa (aniones) o positiva (cationes) debidos a la

transferencia o recepcin, respectivamente, de uno o ms electrones.

Grupos inicos: agrupacin de varios iones de los mismos o diferentes elementos

qumicos.

Molculas: agrupacin de varios tomos del mismo o de diferentes elementos.

3.1 REDES DE BRAVAIS

El nombre de bravais viene del Fsico y mineralogista francs. Profesor de fsica y de

astronoma Auguste Bravais que estableci la teora reticular, segn la cual las molculas

de los cristales estn dispuestas en redes tridimensionales. Esta teora, que explica los

fenmenos de simetra y anisotropa de las sustancias cristalinas, fue posteriormente

demostrada gracias a la difraccin por rayos X.

Las redes de bravais son una disposicin infinita de puntos conformando una estructura

bajo cierto grupo de traslaciones, en la mayora de casos no se dan cambios bajo rotaciones

o simetra rotacional. Estas hacen que desde todos los nodos de una red de bravais tengan

la misma perspectiva de red, por esto se dice que los puntos de una red son equivalentes.

GEOMETRA DE LAS REDES DE BRAVAIS

Estructura algebraica conocida por grupos que tiene una secuencia ordenada, sus objetivos

son entre otros la clasificacin de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones.

Por la teora de grupos se ha demostrado que solo existe una nica red de bravais

unidimensional (simple secuencia de nodos equidistantes entre s), 5 redes

bidimensionales paralelogramos (2D) y 14 modelos distintos de redes tridimensionales

paraleleppedo (3D).

Redes Unidimensionales: La red unidimensional es elemental siendo sta una simple

secuencia de nodos equidistantes entre s.

Redes bidimensionales: Segn los ngulos y la distancia entre los nodos se distinguen

5 redes distintas, un caso ejemplar sera el grafito cuya estructura sigue un patrn de red

en panal.

Redes tridimensionales: Para las redes de Bravais tridimensionales existen solamente

siete grupos puntuales posibles y 14 grupos espaciales. Obviamente, varios grupos

espaciales comportan el mismo grupo puntual. Esto permite clasificar todos los cristales en

siete sistemas cristalinos (segn el grupo puntual) y en 14 redes de Bravais (segn el grupo

espacial).

Las redes tridimensionales estn formadas por la repeticin de celdas unidad

tridimensionales. Estas celdas vienen definidas por tres traslaciones: a, b y c, siendo a y b

las traslaciones de la red plana, y c la traslacin de dicha red plana en una direccin

diferente (generalmente correspondiente al plano vertical).

Adems, vienen definidos tres ngulos:

: es el ngulo que forman entre s los vectores b y c.

: es el ngulo que forman entre s los vectores a y c.

: es el ngulo que forman entre s los vectores a y b (los de la red plana).

De acuerdo con Bravais, existen 14 tipos distintos de redes tridimensionales, de las ms

conocidas son:

BIBLIOGRAFIA:

http://elcrisoluspt.files.wordpress.com/2008/09/estructura11.pdf

http://www.qi.fcen.uba.ar/materias/qi2/_teoricas/solidos_primera_parte.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais

Introduccin a la ciencia de materiales para ingenieros: Shackerlford, James F. (Autor),

Martin, Nuria (Traductor), Smith, William F. (Autor), Hashemi, Javad (Autor)

3.2 SISTEMA CBICO Y HEXAGONAL. CRISTALES BCC, FCC, HCP. 3.3

FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO

INTRODUCCIN

El estudio de las siguientes estructuras cristalinas las cuales pertenecen en gran proporcin

a los metales puros solidifican en tres estructuras cristalinas compactas BCC, FCC y

HCP, stas estructuras son estudiadas a partir de una pequea porcin que contenga el

patrn de ordenamiento, las cuales tienen un arreglo asignado debido a

su distribucin atmica y que tienen un gran uso en la actualidad para semiconductores,

circuitos integrados y otros sistemas modernos; a continuacin se estudiarn dichas

estructuras.

ESTRUCTURA CBICA DE CUERPO CENTRADO

Se denomina estructura de cuerpo centrado (body centred cubic) porque uno de los

tomos se encuentra contenido justo en el centro del cubo o celda unitaria, y es

equidistante de los ocho tomos de las esquinas, se dice por lo tanto que tiene un nmero

de coordinacion (NC) de 8, es decir que 8 es el indice de la eficiencia de la condensacin

tomica . en la figura 4.2-1 se puede observar dicha estructura; Ahora , cuantos tomos

contiene la estructura cristalina BCC en cada celda unitaria?

(a) (b)

figura 3.2-1, modelos esquemticos de la estructura BCC: (a)arreglo abierto; (b) tomos

que se aproxman entre s

McMaster_BCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

De la estructura cristalina BCC los tomos que cortan las esquinas son octavos de dichos

vecinos prximos, adems est contenido un tomo en su totalidad en el centro, por lo

tanto tenemos :

Esquinas: (1/8) 8 tomos = 1 tomo.

Centro: 1 tomos = 1 tomo.

Total = 2 tomos/ celda unidad.

Se puede afirmar esto sin temor a alguna equivocacin? la respuesta es acertada pues se

debe recordar que cada tomo de cristal est rodeado por un arreglo idntico de tomos en

el ltice espacial repetitivo, lo que significa que el ltice que conforma el conjunto

parcialmente ordenado que consta de dos elementos (en este caso tomos) tiene una

mnima cota superior y una mxima cota inferior, donde los elementos cumplen

las operaciones de simetra de una estructura, y est dotado de una ley de composicin

interna de aplicacin sucesiva que se puede modelar matemticamente.

figura 3.2-2estructura cristalina BCC donde se muestra la relacin entra la constante de

red a y el radio atmico R

En la celda unidad BCC los tomos de cada vrtice contactan entre s a travs de la

diagonal del cubo, como se muestra en la figura 4.2-2, por que la relacipon entre la arista

del cubo a y el radio atmico R es

3 a=4R o a=4R/3 (4.1)

4R es el nmero de radios que atraviesa la diagonal de las esquinas opuestas

La demostracin de 4.1 se hace simple y por trigonometria.

Otro factor importante a calcular es el volmen de la celda unidad BCC y de cualquier

celda que est ocupada por tomos , para esto se asume que las esferas son rgidas, y

determinados el parmetro de ltice (a) y el radio atmico (R); se define un factor de

condensacin atmica o factor de empaquetamiento.

FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (APF)

Generalmente se acepta que la naturaleza favorece los arreglos y estados de la materia que

tienden a minimizar los niveles de energa (energa potencial). por ello podemos

preguntarnos qu tan eficiente es en verdad el arreglo de un cristal y si es razonable asumir

un empaquetamiento denso; para este ultimo se realiza la convencin de:

Generalmente slo est presente un elemento, por lo que todos los radios atmicos son

iguales.

El enlace metlico no es direccional.

La distancia a los primeros vecinos tienden a ser cortas para disminuir la energa de

enlace.

la nube electrnica cubre a los ncleos.

Entonces, Para evaluar la eficiencia de la estructura cristalina o cun eficiente estan

arreglados los tomos se calcular el volmen atmico contenido en la celda unitaria en

relacin con el volmen total de la celda unitaria como sigue:

APF= volmen de tomos en una celda unidad/ volmen de la celda unidad (3.2).

Ejemplo 3.2 a

Calcule el factor de empaquetamiento atmico para la celda unidad BCC, considerando los

tomos como esferas rgidas

solucin:

APF=Volumen de los tomos en la celda unidad BCC / Volumen de la celda unidad BCC

Puesto que tenemos dos tomos por celda unidad BCC, el volumen de los tomos de radio

R en una celda unidad es,

V_tomos= (2)(4/3 R^3)

El volumen de la celda unidad es:

V_celda unidad= a^3

Donde a es la constante de red. La relacin entre a y R se obtiene a partir de la figura 3.2-2,

que muestra cmo los tomos de la celda unidad contactan a travs de la diagonal del cubo.

as,

3 a=4R

As,

V_celda unidad= a^3=12,32 R^3

El factor de empaquetamiento atmico para la celda unidad BCC resulta ser,

APF= (V_tomos/celda unidad) / V_celda unidad = 8,373 R^3 / 12,32R^3 = 0,68

Ahora, se establecern las siguientes realciones de constante de red a y radio atmico para

materiales que tienen estructura cirstalina BCC a temperatura ambiente de (20C).

metal

Constante de red a

(nm) radio atmico R (nm)

Cromo 0,289 0,125

Hierro 0,287 0,124

Molibdeno 0,315 0,136

Potasio 0,533 0,231

Sodio 0,429 0,186

Tntalo 0,330 0,143

Volframio 0,316 0,137

Vanadio 0,304 0,132

Ejemplo 3.2-b

El tntalo a 20C es BCC con tomos de radio atmico 0,143nm. Calcule la constante de

celda a para la arista del cubo de la celda unidad del tntalo

Solucin: en la figura 3.2-2 se ve que los tomos de tntalo en la celda unidad BCC se tocan

a travs de la diagonal del cubo.As , si a es la arista del cubo, tenemos:

3 a=4R

Donde R es el radio atmico del tntalo, entonces:

a= (4(0,143nm))/3 = 0,330nm

ESTRUCTURA CBICA CENTRADA EN LAS CARAS

figura 3.2-3 estructura cristalina FCC

Otro tipo de arreglo cristalino cbico es el FCC (face centred cubic), su diferencia entre las

estructuras cristalinas difiere porque en cada faz (cara) existe un tomo colocado en ella y

en los vrtices de las celdilla unidad, o sea, en las posiciones de los nudos de la red de

Bravais del mismo nombre (figura 4.3-1). El nmero de coordinacion la estructura FCC es

de 12, la forma mas sencilla de comprender esto, es situandose mentalmente en el tomo

del centro de una de las caras y contar todos los tomos en contacto con l.

De nuevo se separ mucho el arreglo de la celda (fig.4.3-2) con la intencin de que la

localizacion de los tomos sea clara; examinando el cristal, adems de los ocho tomos de

esquina, existen seis tomos centrados en las caras que se comporten entre esta celda y sus

vecinas inmediatas. La mitad de cuaquier tomo se la faz se encuentra en una celda

unitaria y la otra mitad est en la celda adyacente; por lo tanto, se puede determinar la

cantida de tomos asociados con la celda unitaria de esta estructura como sigue:

figura 3.2-4. Celda unidad FCC con su respectivo arreglo atmico

McMaster_FCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

Esquinas: 8 1/8 = 1 tomo

Caras: 6 1/2 = 3 tomos

Total = 4 tomos /celda unitaria

Ntese que la cantidad de tomos por celda unitaria se duplicaron con relacin a la del

sistema BCC, que contiene el equivalente de dos tomos por celda unidad, con seguridad,

ste es el indicio de una condensacin atmica mas eficiente en el ltice.

En la celda FCC los tomos contactan en la diagonal de la cara del cubo como se indica en

la figura 4.3-3, por lo que la relacin entre la arista del cubo a y el radio atmico R es:

2 a =4R o a= 4R/ 2 (4.3)

El APF para la estructura cristalina FCC es de 0,74, que es mayor que el factor 0,68 de la

estructura BCC. Un APF de 0,74 es el mximo de compacto posible para tomos esfricos.

Muchos metales como el aluminio, cobre, plomo, nquel y hierro a termperatura elevada (

de 912 a 1.394 C) cristalizan en la estructura FCC.

Metales que tienen estructura cristalina FCC a temperatura ambiente (20C) y su

constante de red y radio atmico.

metal Constante de red a (nm) radio atmico r (nm)

Aluminio 0,405 0,143

Cobre 0,3615 0,128

Oro 0,408 0,144

Plomo 0,495 0,175

Nquel 0,352 0,125

Platino 0,393 0,139

Plata 0,409 0,144

ESTRUCTURA HEXAGONAL DE EMPAQUETAMIENTO CERRADO

El tercer tipo principal de estructura cristalina es HCP, presenta un arreglo de alta

densiad en sus tomos, los cuales en su tercer capa o plano se encuentran directamente

por encima de los tomos del primer plano como indica en a figura 3.2-3.

(a)

(b)

figura 4.4-1. celda unidad HCP. a) de esferas rgidas; b) de posiciones atmicas.

McMaster_HCPs_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

El nmero de coordinacin de los cristales HCP es el mismo que para los FCC e igual a 12.

Se puede verificar esta cantidad con los tomos vecinos ms prximos, considerando el

tomo central en un plano base, este tomo est rodeado por tres tomos en su propio

plano base, ms tres tomos que se localizan cada uno en el plano adyacente paralelo, lo

que hace un total de 12 tomos vecinos ms prximos. El factor de condensacin atmica

es e mismo que el de FCC e igual a 0.74; generalmente se conocen las estructuras FCC y

HCP como empaquetamiento cerrado por que son las dos formas de arreglar esferas

idntica con la densidad mas grande posible y que an exhiben periocidad.

Una celda HCP tiene un equivalente a seis tomos por celda unidad:

Tres tomos forman un tringulo en la capa intermedia como queda reflejado por las

posiciones atmicas en la figura 4.2-2 b. Hay seis 1/6 secciones de tomos en las capas

superior e inferior, contribuyendo con un equivalente de dos tomos mas por celdilla ( 2

6 1/6 =2). Finalmente, hay medio tomo ms por celdilla. As, el nmero toral de tomos

por celdilla unidad en la estructura HCP es de 3 + 2+1 = 6. La relacin entre la altura c del

prisma hexagonal de la estructura y el lado a de su base se llama relacin c/a para algunos

metales HCP. De entre los metales cinc, cadmio, entre otros, tiene una relacin c/a

superior a la ideal lo que indica que los tomos en estas estructuras estn ligeramente

elongados a lo largo del eje c en la celdilla unidad HCP. Los metales como el magnesio,

cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relacion c/A menor que la ideal, por tanto, en

estos metales los tomos estn ligeramente comprimidos en la direccin del eje c. As,

estos metales presentan ciertas desviaciones del modelo ideal de esferas rgidas.

A continuacin se har la comprobacin del valor del factor de empaquetamiento en una

estructura cristalina HCP

figura 4.4-2 diagramas para calcular el volumen de la celda unidad HCP

Ejemplo 4.4-A

Calcular el volumen de la celdilla unidad de la estructura cristalina del cinc a partir de

los siguientes datos: el cinc puro tiene una estructura cristalina HCP con constantes de

red a=0,2665 nm y c= 0,4947 nm. solucion:

El volumen de la celdilla unidad HCP puede obtenerse determinando el rea de la base de

la celdilla unidad y multiplicando sta por la altura figura 4.4-2.

El rea de la base de la celdilla unidad es el rea de la parte inferior del hexagono, de forma

que el rea total es la suma e las reas de los ses tringulos equilteros de rea, a partir de

la figura 4.4-2 podemos deducir lo siguiente:

rea del trinngulo ( figura 4.4-2 b)= 1/2 (base)(altura)

= 1/2 (a)(asen 60) = 1/2 a^2 sen60

A partir de la figura 4.4-2b;

rea toal de la base HCP = (6)(1/2 a^2 sen60)

= 3 a^2 sen 60

A partir de la figura 4.4-2a;

Volumen de la celdilla unidad del cinc HCP = (3a^2 sen 60)(c)

= (3)(0,2665 nm)^2 (0,8660) (0,4947 nm)

= 0,0913 nm^3

Materiales con estructura cristalina HCP a temperatura ambiente (20C) y sus constantes

reticulares, su radio atmico y su relacin c/a

Metal

Constante de red a ( nm )

Radio

atmico r Relacin (c/a)

%

desviacin

de la

relacin

ideal a c

Cadmio 0,2973 0,5618 0,149 1,800 +15,7

Cinc 0,2665 0,4947 0,133 1,856 +13,6

HCP ideal

1,633 0

Magnesio 0,3209 0,5209 0,160 1,623 -0,66

Cobalto 0,2507 0,4069 0,125 1,623 -0,66

Circonio 0,3231 0,5148 0,160 1,593 -2,45

Titanio 0,2950 0,4683 0,147 1,587 -2,81

Berilio 0,2286 0,3584 0,113 1,568 -3,98

3.4 DENSIDAD VOLUMTRICA

Utilizando el modelo de esferas rgidas para la estructura cristalina de la celda unidad de

un metal, un valor de radio atmico del metal obtenido por anlisis de difraccin de rayos

X y utilizando la siguiente ecuacin obtenemos la densidad volumtrica de un metal:

Densidad volumtrica de un metal = v = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad)

Para aplicar la frmula mencionada debemos recordar los parmetros de red de

las estructuras cristalinas presentes en los metales (BCC, FCC, HCP).

BCC: a = 4r/3 volumen: a

FCC: a = 4r/2 volumen: a

HCP: a = 2r c = [ (2/3)]*4r volumen: (3/2)*3*a*c

Tambin podemos expresar esta ecuacin de forma ms general teniendo en cuenta que la

masa celda unidad es:

(Nmero de tomos celda unidad) * (Peso molecular de los tomos)

Y volumen celda unidad es:

(Volumen celda unidad)*(Nmero de avogadro)

Nmero de avogadro = 6.021023 tomos/mol

Obteniendo:

v = [nmero de tomos por celda * peso molecular de los tomos] / [volumen de la celda

unitaria * nmero de avogadro]

El valor obtenido mediante sta ecuacin puede variar ligeramente del valor experimental

consignado en tablas, lo cual debe atribuirse a la ausencia de algunas posiciones atmicas,

defectos de lnea, y uniones defectuosas entre los granos (limites de grano). Otra causa de

esta situacin puede deberse tambin a que los tomos no son esferas perfectas.

EJEMPLOS

Ejemplo 3.4.1:

El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atmico de 0.1278 nm.

Considerando a los tomos como esferas rgidas que se colocan entre s a lo largo de la

diagonal de la celda unitaria FCC, calcule el valor terico de la densidad del cobre en mega

metros por metro cubico. La masa atmica del cobre es de 63.54 g/mol.

Solucin

Para la celda unitaria FCC, 2a =4R, donde a es la constante de red en la celda unitaria y

R es el radio del tomo de cobre. As:

a = 4R/2 = (4*0.1278 nm)/2 = 0.361 nm

Densidad volumtrica de un metal = v = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad)

En la celda unitaria FCC hay cuatro tomos/celda unitaria. Cada tomo de cobre tiene una

masa de (53.54 g/mol)*(6.021023 tomos/mol). As, la masa m de los tomos de Cu en la

celda unitaria es:

m = [(4 tomos)*(63.54 g/mol)/(6.0210 tomos/mol)] * (10*10-6 Mg)/g

m = 4.22 * 10 -28 Mg

El volumen V de la celda unitaria del Cu es:

V = a = [0.361 nm * (10 -9 m)/nm]

V = 4.70 * 10 -29 m

As la densidad del cobre es:

v = m/v = (4.22 * 10 -28 Mg)/(4.70 * 10 -29) = 8.98 Mg/m

Respuesta: v (cobre) = 8.98 Mg/m

Ejemplo 3.4.2:

Determine la densidad del hierro BCC, cuyo parmetro de red es 0.2866 nm.

Solucin

Para una celda BCC,

tomos por celda = 2

a = 0.2866 nm

Masa atmica = 55,847 g/mol

Volumen de la celda unitaria = a = (2.866 * 10 -8 cm) = 23.54 * 10 -24 cm/celda

Nmero de avogadro = Na = 6.02 * 10 tomos/mol

v = [numero de tomos por celda * peso molecular de los tomos]/ [volumen de la celda

unitaria * numero de avogadro]

v = (2*55.847) / (23.54* 10 -24 * 6.02 * 10 ) = 7.882 g/cm

Respuesta: v (hierro) = 7.882 g/cm

La densidad medida es 7.870 g/cm. La pequea discrepancia entre las

densidades terica y medida es una consecuencia de los defectos en el material. Como se

dijo antes el trmino defecto en este contexto, significa imperfecciones respecto al

arreglo atmico.

Ejemplo 3.4.3:

La plata tiene una estructura cristalina FCC con un radio atmico de 0.144 nm. Calcule el

valor terico de la densidad de la plata en g/cm.

Solucin:

Masa atmica (Ag) = 107.87 g/mol

Masa = [(4 tomos * 107.87 g/mol) / (6.02 * 10 tomos/mol)]

Masa = 7.167 * 10- g

Volumen para una celda BCC = a donde a =4r/2

Entonces tenemos:

Volumen en cm = [((4 * 0.144*10-9 m) / 2)*(100 cm / 1 m)]

Volumen = 6.756 * 10- cm

As la densidad terica de la plata es:

v = m/v = 7.167 * 10- g / 6.756 * 10- cm

Respuesta: v (plata) = 10.608 g/cm

Ejemplo 3.4.4:

La densidad del torio que tiene una estructura FCC es de 11.72 g/cm. El peso atmico del

torio es de 232 g/mol. Calcule:

a) El parmetro de red.

b) El radio atmico del torio.

Solucin.

a) Como es una es una estructura FCC el parmetro de red a = 4r/2 y el volumen de la

celda es a.

Utilizando

v = [nmero de tomos por celda * peso molecular de los tomos] / [volumen de la celda

unitaria * nmero de avogadro]

Tenemos:

11.72 g/cm = (4 tomos * 232 g/mol) / [(4r/2) * 6.02*10 tomos/mol]

Despejando r:

r * 11.72 /cm = 928 / 1.36*10 25

r = 6.82*10- cm / 11.72

Respuesta: r = 1.799*10-8 cm

b) Usando a = 4r/2 tenemos:

a = (4 * 1.799*10-8 cm) / 2

Respuesta: a = 5.088*10-8 cm

Ejemplo 3.4.5:

El bismuto tiene una estructura hexagonal, con a = 0.4546 nm y c = 1.186 nm. La

densidad es 9.808 g/cm y el peso atmico es de 208.98 g/mol. Determine:

a) El volumen de la celda unitaria.

b) Cuantos tomos Existen en cada Celda unitaria.

Solucin.

a) Mirando la figura de la celda hexagonal compacta y teniendo en cuenta que el volumen

es la base multiplicada por la altura (c) y adems descomponiendo esta base en 6

tringulos equilteros, podemos llegar a la conclusin de que el volumen de la celda es:

V = (3/2)*3*a*c

Reemplazando tenemos:

V = (3/2) * 3 * (0.4546 nm) *9.808 nm

Respuesta: V= 0.637 nm

b) V = 0.637 nm = 0.637*10- cm

Reemplazando todos los datos en

v = [nmero de tomos por celda * peso molecular de los tomos] / [volumen de la celda

unitaria * nmero de avogadro]

Y tomando como N = numero de tomos tenemos:

9.808 g/cm = (N * 208.98 g/mol) / (0.637*10- cm * 6.02*10 tomos/mol)

Despejando N

Respuesta: N = 18 tomos

Ejemplo 3.4.6:

La densidad del potasio, que tiene una estructura BCC es 0.855 g/cm. El peso atmico del

potasio es 39.09 g/mol. Calcule:

a) El parmetro de red.

b) El radio atmico del potasio.

Solucin

a) Sabemos que al ser una celda BCC tiene 2 tomos en su interior.

Reemplazando todos los datos otorgados en

v = [nmero de tomos por celda * peso molecular de los tomos] / [volumen de la celda

unitaria * nmero de avogadro]

Tenemos:

0.855 g/cm = [(2 tomos * 39.09 g/mol) / (a * 6.02*10 tomos/mol)]

Despejando a:

a = 1.519*10- cm

Respuesta: a = 5.336*10-8 cm

b) a = 4r/3

Despejando r:

r = [(5.336*10-8 cm) 3] / 4

Respuesta: r = 2.31*10-8 cm

3.5 INDICES DE MILLER

Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible de deslizar

unos tomos sobre otros tomos en la celda cristalina.

Para poder identificar unvocamente un sistema de planos cristalogrficos se les asigna un

juego de tres nmeros que reciben el nombre de ndices de Miller. Los ndices de un

sistema de planos se indican genricamente con las letras (h k l)

Los ndices de Miller son nmeros enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son

primos entre s. El signo negativo de un ndice de Miller debe ser colocado sobre dicho

nmero.

Ejes y celdas unitarias:

Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente, el eje X positivo se usa saliendo del papel,

el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente el eje Z positivo hacia la parte superior; en

sentidos opuestos se encuentran sus respectivas zonas y cuadrantes negativos

Se utilizan celdas unitarias para situar tanto

puntos, como planos. Dichas celdas unitarias son cubos los cuales se encuentran situados

sobre el sistema de coordenadas X, Y, Z. Generalmente se asume un origen, el cual est

ubicado en la arista inferior izquierda posterior.

Direcciones en la celda unitaria:

Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran inters, dichas direcciones

son los denominados ndices De Miller y son particularmente las posiciones o lugares por

donde es ms susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior

cristalino.

Para hallar los ndices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente manera:

1. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas y zonas

negativas).

2. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola), generando de

esta manera el vector direccin y la cantidad de parmetros de red recorridos

3. Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mnima expresin

4. Encerrar los nmeros resultantes entre corchetes , sin comas, si el resultado es

negativo en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse una barra o raya encima

de dicho numero, o nmeros.

Ejemplo 3.5.1

Determinar los ndices de Miller de las direcciones A, B y C.

Direccin A

1. Dos puntos son: 1,0,0 y 0,0,0

2. Se restan ambos puntos, situando en primer lugar el punto que se desea tener como

direccin y sentido (cabeza del vector) 1,0,0 0,0,0 = 1,0,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4. [ 100 ]

Direccin B

Dos puntos son: 1,1,1 y 0,0,0

1. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 1,1,1 - 0,0,0 = 1,1,1

2. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

3. [ 111 ]

Direccin C

1. Dos puntos son: 0,0,1 y ,-1,0

2. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 0,0,1 - ,-1,0 = - ,-1, 1

3. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversin de enteros.

4. 2(- ,-1, 1)=-1,-2,2

5. Como el resultado es negativo en las direcciones de los ejes X y Y, se sitan con una

barra en la parte superior los valores para dichos ejes.

6.

Aspectos importantes en el anlisis y creacin de las direcciones en los

ndices De Miller:

1. las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser positivo o negativo, y

con ello poseer la misma lnea de accin pero diferente sentido.

2. una direccin y sus mltiplos son idnticos solo que estos aun no han sido reducidos.

3. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un sistema cubico es

ocasionado por el orden y el sentido de los vectores, ya que es posible redefinir el

sistema coordenado para una misma combinacin de coordenadas. Estos grupos

reciben el nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota entre parntesis

especiales . Es importante resaltar que un material posee las mismas propiedades en

todas y cada una de las diferentes direcciones de una familia.

Tabla 3.5.a

Direcciones de la familia en el sistema cubico

Importancia de las direcciones cristalogrficas:

Es necesario conocer las direcciones cristalogrficas para as asegurar la orientacin de un

solo cristal o de un material poli cristalino. En muchas ocasiones es necesario describir

dichas orientaciones; en los metales por ejemplo es ms fcil deformarlos en la direccin a

lo largo de la cual los tomos estn en mayor contacto. En la industria esto es de vital

importancia para el uso, deformacin y construccin de nuevos elementos y materiales.

Caso ejemplar es el de los elementos magnticos los cuales funcionan como medios de

grabacin con mejor y mayor eficiencia si se encuentran alineados en cierta direccin

cristalogrfica, para as almacenar de manera segura y duradera la informacin. En general

es necesario encontrar o tener en cuenta la posicin y direccin cristalogrfica de los

elementos ya que as podr aprovecharse al mximo sus propiedades mecnicas.

Planos en la celda unitaria:

Los planos cristalinos son con mayor precisin los lugares por donde un material facilita su

deslizamiento y transformacin fsica; dichos lugares o planos son en donde existe la

mayor posibilidad de que el elemento sufra una dislocacin. Como se mencion

anteriormente los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planos en los

cuales los tomos estn compactados de manera ms estrecha o cercana en la celda

unitaria. Es importante resaltar la orientacin y forma en la que puede crecer el cristal,

para ello es necesario analizar las tensiones superficiales producidas en los principales

planos de una celda unitaria. Igualmente para una mejor orientacin en los planos de un

material podr existir un mejor rendimiento y aprovechamiento en las propiedades y usos

mecnicos.

Los ndices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema cartesiano

(X, Y, Z) = (h, k, l) respectivamente.

Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera:

1. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z en funcin de los

parmetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el origen del sistema

de coordenadas).

2. los ndices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un plano

cartesiano.

3. se calculan los recprocos o inversos de los puntos o intersecciones.

4. si el reciproco es N/, donde N es cualquier numero entero real, esto significara en el

plano que para este eje el plano quedara paralelo a l sin tocarlo.

5. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en el estudio de

las direcciones de los ndices de Miller.

Ejemplo 3.5.8

Determine los ndices de Miller de los planos A,B y C

Plano A

1. x=1 y=1 z=1

2. 1/x=1 , 1/y=1, 1/z=1

3. No existen fracciones que eliminar

4. (111)

Plano B

1. Debe aclararse el plano no cruza al eje z, esto es debido al cociente entre 1/ lo cual con

su respectivo limite tiende a ser cero (0)

2. X=1 , y= 2, z=

3. 1/x=1, 1/y=1/2, 1/z= 0

4. Debemos eliminar las fracciones; 2(1, ,0)

5. (210)

Plano C

1. Es necesario cambiar el origen, ya que el plano pasa por el origen, ubicaremos el nuevo

origen a la derecha del inicial, movindolo en direccin del eje Y positivo

2. Con el nuevo origen se tiene: x=, y=-1, z=

3. 1/x=0, 1/y=-1, 1/z=0

4. No existen fracciones que eliminar

5.

Aspectos importantes para los planos en los ndices de Miller:

1. los planos positivos y negativos son idnticos.

2. los planos y sus mltiplos no son idnticos. Esto se demuestra por medio de la

densidad planar y el factor de empaquetamiento.

3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se representan con llaves {}

4. en los sistemas cbicos, una direccin es perpendicular a un plano si tiene los mismos

ndices de Miller que dicho plano.

Ejemplo 3.5.3

Familia de planos {110} en los sistemas cbicos

Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio, anlisis y construccin.

ndices de Miller para celdas hexagonales

Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de ndices de Miller-

Bravais, debido a la simetra de la estructura. En este se usan ya cuatro ejes, aunque es de

tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante.

El procedimiento para la obtencin de planos y direcciones es el ya estudiado, aunque para

el clculo de las direcciones existen los mtodos para tres ejes o el de cuatro ejes, siendo

este ltimo algo ms tedioso.

En esta nueva estructura se tomaran los ndices (h, k, i, l), para los cuales se asignara un

eje respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l), teniendo en cuenta que para el eje a3 su existencia

radicara en la relacin h + k = -i; y la descomposicin en cuatro vectores (creacin de

direcciones en cuatro ejes a partir de los ndices en los tres ejes)

Relaciones:

H= 1/3(2h k)

K=1/3(2k h)

I=-1/3(h + k)

L=l

Ejemplo 3.5.6

Determine los ndices de Miller-Bravais para los planos A y B y par las direcciones C y D.

Plano A

1. a1=a2=a3=, c=1

2. 1/a1=1/a2=1/a3=0, 1/c=1

3. No existen fracciones que simplificar

4. (0001)

Plano B

1. A1=1, a2=1, a3=-1/2, c=1

2. 1/a1=1, 1/a2=1, 1/a3=-2, 1/c=1

3. No hay fracciones que simplificar

4.

Direccin C

1. Dos puntos: 0,0,1 y 1,0,0

2. Realizando la resta y tomando al punto 0,0,1 como cabeza del vector, se tiene: 0,0,1

1,0,0 = -1,0,1

3. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir

4.

Direccin D

1. Los puntos son: 0,1,0 y 1,0,0

2. La resta genera el vector: 0,1,0 1,0,0 = -1,1,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4.

Comportamiento isotrpico y anisotrpico:

A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones cristalogrficas los

materiales presentan comportamientos y desempeos diversos en sus propiedades

mecnicas. Se dice que un material es cristalogrficamente anisotropico si sus propiedades

dependen de la direccin cristalogrfica en la cual se mide la propiedad. Si sus propiedades

son idnticas en cualquier direccin el material se conoce cristalogrficamente como

isotrpico. Puede suceder que un material pase de ser anisotropico a isotrpico si sus

arreglos son aleatorios en forma policristalina. En genera los materiales policristalino as

muestran propiedades isotrpicas. Ejemplo de ello tenernos el aluminio, el cual si posee

idnticas propiedades en todas las direcciones diremos que es un elemento

cristalogrficamente isotrpico, pero si se presenta en forma policristalina se puede asumir

o comportar como anisotropico.

3.6 PLANOS CRISTALINOS

Direccin en la celda

A menudo, es necesario referirnos a posiciones especficas en las redes cristalinas. Esto es

especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades que varan con la

orientacin cristalogrfica. Para cristales cbicos los indices de las direcciones

cristalogrficas son los componentes vectoriales de las direcciones resueltos a lo largo de

cada eje coordenado y reducido a los enteros mas pequeos.

Para indicar en un diagrama la direccin en una celda cbica unitaria dibujamos un vector

de direccin desde el origen (que es normalmente una esquina de la celda cbica) hasta

que sale la superficie del cubo. Las coordenadas de posicin de la celda unidad donde el

vector de posicin sale de la superficie del cubo despus de ser convertidas a enteros son

los indices de direccin. Los indices de direccin se encierran entre corchetes sin

separacin por comas.

Planos en una celda unitaria

Las superficise cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser identificadas comnmente

utilizando cuatro indices en lugar de tres. Los indices para los planos cristalinos HCP

,llamados indices Miller-Bravais, son designados por las letras h, k, i, l y encerrados entre

parentesis ( hkil ). estos indices hexagonales de 4indices estan basados en un sistema

coordenado de 4 ejes.

Existen 3 ejes bsicos, a1, a2, a3, que forman 1200 entre si. El cuarto eje o eje c es el eje

vertical y esta localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad a de medida a lo largo

de los ejes a1 a2 a3 es la distancia entre los tomos a lo largo de estos ejes. La unidad de

medida a lo largo del eje es la altura de la celdilla unidad. Los recprocos de las

intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes, a1, a2, a3 proporciona los

indices h, k e i mientras el recproco de la interseccin con el eje c da el ndice l.

Notacin para planos

Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla

unidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP es pralelo a los ejes, a1, a2, a3 las

intersecciones de este plano con estos ejes sern todas de valor infinito. As, a1 = , a2 =

a3 = El eje c, sin embargo, es nico puesto que el plano basal superior intersecciona con

el eje c a una distancia unidad. Tomando los recprocos de estas intersecciones tenemos los

indices de Miller-Bravais para el plano Basal HCP. As , H =0 K=0 I = 0 y L=1. El plano

basal es, por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano (0001) .

BIBLIOGRAFA:

http://html.rincondelvago.com/principios-fundamentales-de-la-estructura-cristalina-

de-los-materiales.html

http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cristalinas/planos.html

3.7 DENSIDAD PLANAR DE FAMILIAS 100, 110 Y 111. PROTECCIN

DESCRIPTIVA DE PLANOS Y CORTE DE TOMOS.

INTRODUCCIN

Inicialmente podemos definir la densidad planar, coma la cantidad de tomos que hay en

un determinado plano ejemplo: familia de planos (100). Pero una definicin ms formal la

densidad planar es el nmero de tomos que tienen sus centros localizados dentro de un

rea dada sobre un plano. El rea planar seleccionada debe ser representativa de los

grupos de tomos repetitivos dentro del plano. Cuando ocurre deslizamiento bajo esfuerzo

(deformacin plstica), ste ocurre en los planos sobre los cuales los tomos estn ms

densamente empacados.

La densidad planar en cristalografa nos muestra que tan lleno de tomos esta un plano lo

cual es muy importante porque podemos conocer como se van a deslizar estos planos unos

con respecto a otros; con su respectiva direccin de deslizamiento ( densidad lineal) ; la

combinacin de estos dos densidad planar y lineal me dan a conocer la deformacin del

material, A la combinacin de un plano de deslizamiento con una direccin, es a lo que se

le denomina sistema de deslizamiento, y es a travs de estos sistemas por donde se produce

la deformacin de los materiales, de tal forma que cuanto mayor es el nmero de ellos

mayor ser la capacidad de deformacin de stos. Para poder determinar cules son

sistemas existentes, primero tenemos que ver cules son los planos y direcciones

preferentes. Pues bien los planos de deslizamiento son los que poseen la fraccin atmica

planar (FAP) ms grande o lo que es lo mismo, son los planos de mayor compacidad en la

estructura cristalina. Se define la fraccin (1) atmica planar como:

= #ATOMOS INTERSECTADOS/AREA DEL PLANO

REDES CRISTALINAS BCC Y FCC

Estructura cbica centrada en cuerpo (BCC)

Esta estructura recibe la

designacin de I y en ella todos los ejes son iguales a = b = c y sus ngulos son de 90. El

parmetro reticular es a. S se coloca un tomo en cada punto de la red de Bravais cbica

centrada en cuerpo, tengo 8 tomos en los vrtices y uno en el interior. El tomo central

toca a todos los tomos de los vrtices a travs de la diagonal del cubo. ste n de tomos

que tocan al tomo central son los vecinos inmediatos y es lo que se denomina n de

coordinacin. Luego en esta estructura NC = 8.

Estructura cbica centrada en caras FCC

Se designa con la letra FCC. Todos los ejes unitarios son iguales y sus ngulos son de 90,

siendo el parmetro reticular a. Si colocamos un tomo en cada punto de la red de Bravais

cbica centrada en caras, tendremos 6 tomos en los seis centros de caras, adems de los 8

de los vrtices.

CALCULO DE LA DENSIDAD PLANAR

Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convencin. Si un tomo pertenece

totalmente a un rea dada, tal como la del tomo localizado en el centro de una cara en una

estructura FCC, notamos que la huella de la interseccin del tomo sobre el plano es un

crculo. Entonces, dentro del rea contamos un tomo en el centro y un cuarto de tomo

en cada una de las esquinas, ya que cada uno intercepta solamente un cuarto de crculo en

el rea. La densidad planar o del plano es 2/a2. Debemos agregar que en estos clculos de

la densidad, una de las reglas bsicas es que un plano o una lnea debe pasar a travs del

centro de un tomo no se cuenta el tomo en los clculos.

Si determinamos la densidad planar de las distintas familias de planos de las diferentes

estructuras, veremos que para el caso de la FCC, la familia de planos de mayor densidad

planar es la {111}, mientras que para la estructura BCC, es la {110}.Luego los planos

pertenecientes a estas familias constituyen los planos de deslizamientos de sus estructuras

cristalinas correspondientes. Por lo que ya solo necesitamos conocer, Para poder

determinar los sistemas, cuales son las direcciones de deslizamientos.

A continuacin veremos el clculo de la densidad atmica planar de la familia de planos

(100), (110), (111):

Con los resultados anteriores, y despus de hallar la densidad planar para diferentes

planos de la familia (100) se llega a la conclusin que para FCC es igual a 78,5% y para BCC

es igual a 58,9%.

Como ya qued dicho en la introduccin, para calcular la densidad planar, el rea del plano

debe pasar por el centro del tomo, para poder tener en cuenta a ste como un tomo

representativo, por eso, para calcular la densidad planar en una red cristalina BCC

debemos garantizar que el plano no intercepte el tomo central. Aquello es posible saberlo

haciendo proyeccin del rea y del plano, utilizando geometra analtica.

Para el plano (111) BCC se ha hecho con anterioridad una proyeccin y se ha deducido que

el tomo central no corta lo suficiente al rea del plano como para tomarse como un tomo

representativo, despus de esto se pasa a hacer un clculo de la densidad planar, sin

tenerlo en cuenta. A continuacin se mostrar el desarrollo de lo anteriormente

mencionado:

Con los resultados anteriores, y despus de hallar la densidad planar para diferentes

planos de la familia (111) se llega a la conclusin que para FCC es igual a 90,7% y para BCC

es igual a 34%.

Con los resultados anteriores, y despus de hallar la densidad planar para diferentes

planos de la familia (110) se llega a la conclusin que para FCC es igual a 55,53% y para

BCC es igual a 83,3%.

BIBLIOGRAFIA:

http://www.uhu.es/beatriz.aranda/apuntesciemat/TEMA%201funcmat.pdf (1)

SMITH, F WILLIAM, Fundamentos de la ciencia e ingeniera de materiales

3.8 DIFRACCIN DE RAYOS X

INTRODUCCIN

No es posible visualizar directamente los tomos, salvo en situaciones muy

particulares, con alto costo y baja resolucin (no se puede hacer microscopa a nivel

atmico en forma rutinaria). Las tcnicas habituales para estudiar las estructuras

cristalinas se basan en el fenmeno de difraccin.

La difraccin hablando en trminos fsicos, es un proceso que ocurre en todo tipo de ondas

cuando stas se esparcen o se curvan frente a la presencia de un obstculo u orificio. Dicho

fenmeno se da cuando la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones del

obstculo. Entre mayor sea el tamao del objeto en comparacin con la longitud de onda,

ms difcil ser detectar la difraccin.

En el espectro electromagntico, los rayos x tienen longitudes de onda cercanos a las

distancias interatmicas de la materia, a esto se debe su utilidad en el estudio de las

estructuras cristalinas.

OBJETIVO GENERAL

Comprender la aplicacin de la difraccin de rayos x en la cristalografa.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Deducir la frmula que relaciona la longitud de onda (), la distancia entre planos

cristalinos (d), el parmetro de red (a) y el ngulo de incidencia de los rayos x ().

Conocer algunos equipos que intervienen en el uso de rayos x para el estudio de la

cristalografa.

Resolver algunos ejemplos sobre la aplicacin de difraccin de rayos x en la

cristalografa.

CRISTALOGRAFA DE RAYOS X

La cristalografa de rayos x es una tcnica que consiste en hacer pasar un haz de luz a

travs de un cristal de la sustancia o el material en estudio. El haz se dispersa en varias

direcciones debido al orden de los tomos en el cristal y, por difraccin, se puede observar

un patrn de intensidades que se interpreta segn la ubicacin de los tomos, haciendo uso

de la LEY DE BRAGG.

Una de las limitaciones de esta tcnica es que solo se puede usar en materiales cristalinos,

por lo tanto, no puede ser usada en sustancias como gases, disoluciones, a sistemas

amorfos, entre otros.

LEY DE BRAGG

Para interpretar los diagramas de difraccin se requiere una teora. W. Bragg fue pionero

en el tema y desarroll una sencilla teora, que es la que veremos. En este modelo se

analiza la interaccin de un haz de radiacin sobre un conjunto de planos paralelos,

equiespaciados y semitransparentes a la radiacin. Para efectos de la reflexin se

aplica que el ngulo de incidencia es igual al de reflexin.

La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la radiacin emitida por

diferentes tomos es proporcional a 2. Esta condicin se expresa en la ley de Bragg:

Donde:

n es un nmero entero.

es la longitud de onda de los rayos X.

d es la distancia entre los planos de la red cristalina y.

es el ngulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersin.

De acuerdo al ngulo de desviacin (2), el cambio de fase de las ondas produce

interferencia constructiva (figura izquierda) o destructiva (figura derecha).

DEDUCCIN LEY DE BRAGG

Consideramos la figura de abajo conformada por planos de tomos distanciados a una

longitud d. Para el primer plano, las rayos 1 y 1a golpean los tomos K y P los cuales son

dispersados en todas la direcciones; pero para cierta direccin, estos rayos (1 y 1a) se

encuentran en fase y por lo tanto se cumple que:

QK PR = PKcos PKcos = 0

Esta condicin se cumple para cada plano.

DEDUCCIN DE LA LEY DE BRAGG POR DIFERENCIA DE CAMINO PTICO

Para analizar los rayos dispersados por tomos en diferentes planos se toma los rayos 1 y 2

de la figura de arriba. Estos rayos son dispersados por los tomos K y L, la diferencia en

sus caminos pticos es:

ML + LN = dsen + dsen

As estos rayos estarn completamente en fase si su diferencia de caminos es igual a un

nmero entero (n) de longitudes de onda , de tal manera que se cumple que:

INTERPRETACIONES Y SOLUCIONES DE LA LEY DE BRAGG

La Ley de Bragg establece que n=2dsin.

Suponiendo que , d y son dados:

Sabemos que n es un nmero entero mayor o igual a la unidad. Cmo se interpreta el

nmero n? Revisando la deduccin de esa ley, tenemos que n es el nmero entero de veces

que cabe en la diferencia de camino ptico de dos planos sucesivos de la familia de planos

paralelos considerada. Para que los haces emergentes estn en fase, n tiene que ser un

entero.

Se observar que no siempre hay solucin; en tal caso no habr reflexiones.

Analicemos ahora las soluciones de Bragg en que solo y d son datos fijos:

Nos quedan como variables n y . Aqu se trata de buscar las parejas (n, ) que son

soluciones de la ecuacin. Primero verificamos si puede caber al menos justo una vez en

la diferencia de camino ptico, y buscamos el ngulo apropiado. Ntese que si los datos

iniciales son tales que es mayor que 2d, no habr ni siquiera solucin para n=1; en tal

caso el problema no tiene soluciones.

Si hay solucin en para n=1, podemos seguir buscando las soluciones de orden superior

(para n mayores). Si siguiendo este procedimiento, y probando con n crecientes y sin

saltarse ninguno, se encuentra que una solucin de orden n (por ejemplo, n=5) por

primera vez no es posible, entonces slo habr soluciones entre 1 y n-1, ambos valores

incluidos.

La ecuacin de Bragg da la relacin entre las posiciones angulares de los

haces difractados reforzados en funcin de la longitud de onda () de la

radiacin de rayos x incidente y del espaciado interplanar dhkl de los planos

cristalinos. En muchos casos se utiliza el primer orden de difraccin, donde

n=1, y en este caso la ley de Bragg resulta:

ACERCA DE LA DISTANCIA INTERPLANAR (d) Y EL PARMETRO DE RED

(a)

En las estructuras cristalinas cbicas, el espaciado interplanar entre dos planos paralelos

con los paralelos con los mismos ndices de Miller se indica como dhkl, donde h, k y l son los

ndices de Miller de los planos. Este espaciado representa la distancia desde un origen

elegido que contiene a un plano a otro paralelo con los mismos ndices que sea cercano al

primero.

Por simple geometra, se puede demostrar que para las estructuras cristalinas cbicas:

Donde:

dhkl = espaciado interplanar entre planos paralelos contiguos con ndices de Miller h, k y l.

a = constante de red (arista del cubo unidad).

h, k, l = ndices de Miller de los planos cbicos considerados.

ANLISIS POR DIFRACCIN DE RAYOS X DE LAS ESTRUCTURAS

CRISTALINAS

MTODO DE ANLISIS DE POLVO POR DIFRACCIN DE RAYOS X:

La tcnica comnmente utilizada en difraccin de rayos x es el mtodo de polvo. En sta

tcnica se utiliza una muestra pulverizada de muchos cristales para que tenga lugar una

orientacin al azar y asegurar que algunas partculas estarn orientadas en el haz de rayos

x para que cumplan las condiciones de difraccin de la ley de Bragg.

Los datos de los anlisis de rayos x por difraccin de las celdas unitarias pueden

simplificarse expresando la longitud de onda as:

Finalmente:

Empleando la anterior ecuacin junto con los datos de difraccin de rayos x podemos

determinar si una estructura es cbica centrada en el cuerpo (BCC) o cbica centrada en

las caras (FCC). Para esto debe conocerse cules planos cristalinos son planos de difraccin

para cada tipo de estructura cristalina:

Para la red cbica sencilla, todos los planos (hkl) son planos de reflexin.

Para la estructura BCC la difraccin solo se da en los planos cuyos ndices de Miller

sumados (h+k+l) dan un nmero par.

En la estructura FCC los principales planos de difraccin son los que sus ndices son

todos pares o todos impares (el cero se considera par).

Reglas para determinar los planos de difraccin {hkl} en los cristales cbicos:

ndices de Miller de los planos de difraccin para las redes BCC y FCC:

Un caso sencillo que permite ilustrar cmo se puede emplear este anlisis es diferenciar

entre las estructuras cristalinas BCC y FCC de un metal cbico. Supngase que se tiene un

metal con una estructura cristalina BCC o FCC y que se pueden identificar los planos de

difraccin principales y los valores de 2 correspondientes.

Despejando y elevando al cuadrado ambos lados se tiene:

A partir de los resultados experimentales de difraccin de rayos x se pueden obtener los

valores de 2 para una serie de planos principales de difraccin {hkl}. Como y se pueden

eliminar estos valores con la relacin de dos valores de sin2.

A y B: son los dos ngulos de difraccin asociados a los planos principales escogidos.

Para la estructura cristalina BCC los dos primeros planos principales son {1 1 0} y {2 0 0}.

Sustituyendo h, k y l en la ecuacin anterior se tiene:

Del resultado anterior podemos concluir que un metal es BCC si la relacin de de los

planos primeros planos principales de difraccin es 0,5.

Para la estructura cristalina FCC los dos primeros planos principales son {1 1 1} y {2 0 0}.

Sustituyendo h, k y l en la ecuacin anterior se tiene:

Del resultado anterior podemos concluir que un metal es FCC

si la relacin de de los planos primeros planos principales de difraccin es 0,75.

EL DIFRACTMETRO

El difractmetro de rayos X es capaz de detectar la radiacin que emana una muestra

determinada al ser excitada por una fuente de energa. La respuesta generada depende del

ordenamiento interno de sus tomos. El difractmetro est compuesto de un

portamuestras mvil que ir moviendo el objeto estudiado con el fin de variar el ngulo de

incidencia de los rayos X. De este modo la estructura atmica de la muestra quedar

registrada en un difractograma.

EJEMPLOS DE APLICACIN

1. Una muestra de hierro BCC se coloca en un difractmetro de rayos X utilizando rayos X

incidentes de longitud de onda = 0,1541 nm. La difraccin a partir de los planos {1 1 0} se

obtiene a 2 = 44,704 . Calcule el valor de la constante de red a para el hierro BCC,

suponga un orden de difraccin de n = 1.

Solucin:

2. El difractograma de un elemento que tiene estructura cbica BCC o FCC presenta picos

de difraccin en los ngulos 2 siguientes: 40, 58, 73, 86.8, 100.4 y 114.7. La longitud de

onda de los rayos X incidentes utilizados es de 0. 154 nm.

a) Determine la estructura cbica del elemento.

b)Determine la constante de red del elemento.c)Identifique al elemento.

Solucin:

a) Determinacin de la estructura cristalina del elemento. Primero se calculan

los valores de sin2 a partir de los valores de 2 de los ngulos de difraccin.

A continuacin se calcula la relacin entre los valores de sin2 de los ngulos primero y

segundo:

La estructura cristalina es BCC ya que la relacin es de 0.5. Si la relacin hubiera sido

0.75, la estructura seria FCC.

b) Determinacin de la constante de red.

Sustituyendo h = 1, k = 1 y l = 0 en la ecuacin anterior para los ndices de Miller h, k y l de

la primera serie de planos principales de difraccin para la estructura BCC, que son planos

{1 1 0}, el valor correspondiente a sin2 es 0.117, y para una radiacin incidente de , 0.154

nm, se obtiene:

c) Identificacin del elemento. El elemento es el volframio, dado que el elemento

tiene una constante de red de 0.316 nm y es BCC.

3.9 Imperfecciones cristalinas.

En el arreglo de los tomos o iones de los materiales diseados existen imperfecciones o

defectos. Con frecuencia, estos defectos tienen un impacto directo sobre las propiedades de

los materiales. En esta parte hablaremos de los defectos superficiales, de volumen e

influencia de las dislocaciones en las propiedades mecnicas de los materiales.

Como se mencion antes, estas imperfecciones pueden darse en 3 tipos:

1) Puntuales.

2) Lineales y superficiales.

3) De volumen.

3.9.1 Imperfecciones puntuales: Un defecto puntual implica en general a uno o un par

de tomos o iones y, en consecuencia es distinto de los defectos extendidos, como

dislocaciones, lmites de grano, etc. Un punto importante acerca de los defectos es que,

aunque se presentan en uno o dos sitios, su presencia es en distancias muchos mayores en

el material cristalino. Son de 3 tipos:

a) tomos intersticiales.

b) Vacancias.

c) tomos sustitucionales.

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3.9.1.1 tomos intersticiales: Se forman cuando se inserta un tomo o ion adicional

en la estructura cristalina en una posicin normalmente desocupada.

Los tomos o los iones intersticiales, aunque son mucho menores que los tomos o los

iones que estn en los puntos de red, son mayores que los sitios intersticiales que ocupan;

en consecuencia, la regin cristalina vecina esta comprimida y distorsionada.

Los tomos intersticiales como los de hidrogeno estn presentes, con frecuencia, como

impurezas, mientras que los tomos de carbono se agregan en forma intersticial al hierro

para producir acero. Para concentraciones pequeas, los tomos de carbono ocupan sitios

intersticiales en la estructura cristalina del hierro e introducen un esfuerzo en la regin del

cristal en su cercana.

Si hay dislocaciones en los cristales al tratar de mover esos tipos de defectos, se encuentran

con resistencia a su movimiento, con lo que se vuelve difcil crear deformacin permanente

en metales y aleaciones. Esta es una forma importante de aumentar la resistencia de los

materiales metlicos. A diferencia de las vacancias, una vez introducidos, la cantidad de

tomos o iones intersticiales en la estructura permanece casi cons