8° básico - matemáticas - 2011

8/2/2019 8 bsico - matemticas - 2011

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Programa e EsuioOcavo Ao Bsico

Ministerio de Educacin

Maemica


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IMPORTANTE

En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los trminos como el

docente, el estudiante, el profesor, el alumno, el compaero y sus respectivos

plurales (as como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se

refieren a hombres y mujeres.

Esta opcin obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cmo evitar la

discriminacin de gneros en el idioma espaol, salvo usando o/a, los/las y otras

similares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de frmulas supone una

saturacin grfica que puede dificultar la comprensin de la lectura.


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Programa e EsuioOcavo Ao Bsico

Ministerio de Educacin

Maemica


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Estimados profesores y profesoras:

La entrega de nuevos programas es una buena ocasin para reflexionar acerca de los desafos que enfrentamos hoy

como educadores en nuestro pas.

La escuela tiene por objeto permitir a todos los nios de Chile acceder a una vida plena, ayudndolos a alcanzar un

desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, tico, moral, afectivo, intelectual, artstico y fsico. Es decir,

se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida

de la mejor forma posible.

Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educacin, buscan efectivamente abrir

el mundo a nuestros nios, con un fuerte nfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona-

miento matemtico. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los mbitos, escolares y no escolares,

contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje

continuo ms all de la escuela.

Asimismo, el acceso a la comprensin de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamento

para reafirmar la confianza en s mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cvica, conocer y respetar

deberes y derechos, asumir compromisos y disear proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre

su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concrecin de estas ideas y se enfocan a su logro.

Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestros

profesores a renovar su compromiso con esta tarea y tambin a ensear a sus estudiantes que el esfuerzo personal,

realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garanta para lograr xito en lo que nos proponemos. Pedimos

a los alumnos que estudien con intensidad, dedicacin, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres

y apoderados los animamos a acompaar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci-

miento educacional y a exigir un buen nivel de enseaza. Estamos convencidos de que una educacin de verdad se

juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar.

A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti-

mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educacin de mayor

calidad y equidad para todos nuestros nios.

Felipe Bulnes Serrano

Ministro de Educacin de Chile


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Matemtica

Programa de Estudio para Octavo Ao Bsico

Unidad de Currculum y Evaluacin

ISBN 978-956-292-342-2

Ministerio de Educacin, Repblica de Chile

Alameda 1371, Santiago

Primera Edicin: 2011


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Ocavo Ao Bsico / Maemica 5

nice

Presenacin 6

Nociones Bsicas 8 Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

10 Objetivos Fundamentales Transversales

11 Mapas de Progreso

Consieraciones Generaespara Impemenar e Programa 13

16 Orientaciones para planificar

19 Orientaciones para evaluar

Maemicas 24 Propsitos

25 Habilidades

26 Orientaciones didcticas

Visin Goba e Ao 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad

Uniaes 33

Semesre 1 35 Unidad 1 Nmeros y lgebra

45 Unidad 2 Geometra

Semesre 2 59 Unidad 3 Datos y azar

73 Unidad 4 lgebra

Bibiografa 83

Anexos 89


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Presenacin

El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo

pedaggico del ao escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de los

Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mnimos Obliga-

torios (CMO) que define el Marco Curricular1.

La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programasde estudio, previa aprobacin de los mismos por parte del Mineduc. El presen-

te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no

cuentan con programas propios.

Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son:

una especificacin de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los

OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a travs de los Aprendi-

zajes Esperados2

una organizacin temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades

una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluacin, a modo

de sugerencia

Adems, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedag-

gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos

que este propone.

Este programa de estudio incluye:

Nociones bsicas. Esta seccin presenta conceptos fundamentales que es-

tn en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visin general acerca

de la funcin de los Mapas de Progreso

Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten

en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra-

bajo en torno a l

El programa es una

propuesta para lograr los

Objetivos Fundamentales

y los Contenidos

Mnimos Obligatorios

1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009

2 En algunos casos, estos aprendizajes estn formulados en los mismos trminos que al-

gunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar

ntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desglose en

definiciones ms especficas.


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7Ocavo Ao Bsico / MaemicaPresentacin

Propsitos, habilidades y orientaciones didcticas. Esta seccin presenta

sintticamente los propsitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi-

zajes del sector y las habilidades a desarrollar. Tambin entrega algunas orien-

taciones pedaggicas importantes para implementar el programa en el sector

Visin global del ao. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que sedebe desarrollar durante el ao, organizados de acuerdo a unidades

Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la

unidad, incluyen indicadores de evaluacin y sugerencias de actividades que

apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3

Instrumentos y ejemplos de evaluacin. Ilustran formas de apreciar el lo-

gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue-

den usarse para este fin

Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliogrficos y electr-

nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; se

distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes

3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o ms

sectores y se simbolizan con


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Nociones Bsicas

Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu-

dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos

aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina comolas habilidades y actitudes.

Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades

y actitudes para enfrentar diversos desafos, tanto en el contexto del sector de

aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia

el logro de competencias, entendidas como la movilizacin de dichos elementos

para realizar de manera efectiva una accin determinada.

Se trata una nocin de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos,

las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se

enriquecen y potencian de forma recproca.

Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontnea-

mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metdica y

estar explcitas en los propsitos que articulan el trabajo de los docentes.

Habilidades

Son importantes, porque

el aprendizaje involucra no solo el saber, sino tambin el saber hacer. Por otraparte, la continua expansin y la creciente complejidad del conocimiento de-

mandan cada vez ms capacidades de pensamiento que permitan, entre otros

aspectos, usar la informacin de manera apropiada y rigurosa, examinar crti-

camente las diversas fuentes de informacin disponibles y adquirir y generar

nuevos conocimientos.

Esta situacin hace relevante la promocin de diversas habilidades, como resol-

ver problemas, formular conjeturas, realizar clculos en forma mental y escrita y

verificar proposiciones simples, entre otras.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alum-

nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego

para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.

Habilidades,

conocimientos

y actitudes

movilizados para

enfrentar diversas

situaciones y desafos

y que se desarrollan

de manera integrada

Deben promoverse de

manera sistemtica

Son fundamentales enel actual contexto social

Permiten poner en juego

los conocimientos


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9Ocavo Ao Bsico / MaemicaNociones Bsicas

ConoCimientos


los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com-

prensin de los estudiantes sobre los fenmenos que les toca enfrentar. Les per-miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas

que complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio del

sentido comn y la experiencia cotidiana. Adems, estos conceptos son funda-

mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes.

Por ejemplo, si se observa una informacin en un diario que contenga datos re-

presentados en tablas o grficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre

estadstica para interpretar a esa informacin. Los conocimientos previos lo capa-

citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en

la medida que entiende la informacin y as construir este nuevo conocimiento.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

son una condicin para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en

un vaco, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.

aCtitudes


los aprendizajes no involucran nicamente la dimensin cognitiva. Siempreestn asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro-

psitos establecidos para la educacin, se contempla el desarrollo en los mbitos

personal, social, tico y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carcter afectivo y,

a la vez, ciertas disposiciones.

A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemtica involucran actitudes como

perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matem-

ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en

contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.

Se deben ensear de manera integrada, porque

en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de-

sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar

juicios informados, analizar crticamente diversas circunstancias y contrastar cri-

terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.

Enriquecen la

comprensin y la

relacin con el entorno

Son una base para el

desarrollo de habilidades

Estn involucradas enlos propsitos formativos

de la educacin

Son enriquecidas por

los conocimientos

y las habilidades


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A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los

conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente

necesario para usar constructivamente estos elementos.

Objetivos Fundamentales Transversales (oFt)

Son aprendizajes que tienen un carcter comprensivo y general, y apuntan al

desarrollo personal, tico, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte

constitutiva del currculum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben

asumir la tarea de promover su logro.

Los OFT no se logran a travs de un sector de aprendizaje en particular; conse-

guirlos depende del conjunto del currculum. Deben promoverse a travs de las

diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por

ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la prctica docente, el

clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).

No se trata de objetivos que incluyan nicamente actitudes y valores. Supone

integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.

A partir de la actualizacin al Marco Curricular realizada el ao 2009, estos ob-

jetivos se organizaron bajo un esquema comn para la Educacin Bsica y la

Educacin Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales

Transversales se agrupan en cinco mbitos: crecimiento y autoafirmacin per-

sonal, desarrollo del pensamiento, formacin tica, la persona y su entorno y

tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Orientan la forma de

usar los conocimientos

y las habilidades

Son propsitos

generales definidos

en el currculum

que deben

promoverse en toda la

experiencia escolar

Integran conocimientos,

habilidades y actitudes

Se organizan en

una matriz comn

para educacin

bsica y media


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11Ocavo Ao Bsico / MaemicaNociones Bsicas

Mapas de Progreso

Son descripciones generales que sealan cmo progresan habitualmente los

aprendizajes en las reas clave de un sector determinado. Se trata de formu-

laciones sintticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A

partir de esto, ofrecen una visin panormica sobre la progresin del aprendizajeen los doce aos de escolaridad4.

Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en

el Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa

de manera ms gruesa y sinttica los aprendizajes que esos dos instrumentos

establecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su

particularidad consiste en que entregan una visin de conjunto sobre la progre-

sin esperada en todo el sector de aprendizaje.

Qu utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?

Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar

(ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se

presentan en el programa).

Adems, son un referente til para atender a la diversidad de estudiantes dentro

del aula:

permiten ms que simplemente constatar que existen distintos niveles de

aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe-

os de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisin

en qu consisten esas diferencias la progresin que describen permite reconocer cmo orientar los aprendiza-

jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han

conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron

expresan el progreso del aprendizaje en un rea clave del sector, de manera

sinttica y alineada con el Marco Curricular

Describen

sintticamente

cmo progresa el

aprendizaje

de manera

congruente con el

Marco Curricular y los

programas de estudio

Sirven de apoyo para

planificar y evaluar

y para atender

la diversidad al

interior del curso

4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren-

dizaje de los estudiantes en un mbito o eje del sector. Cada uno de estos nivelespresenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos aos de escolaridad.

Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayora de los nios

y nias al trmino de 2 bsico; el Nivel 2 corresponde al trmino de 4 bsico, y as

sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egresar

de la Educacin Media, es sobresaliente, es decir, va ms all de la expectativa para IV

medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.


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mapa de progresoEntrega una visin sinttica del progreso del aprendizaje

en un rea clave del sector, y se ajusta a las expectativas del

Marco Curricular.

Ejemplo:

Mapa de Progreso Nmeros y Operaciones

Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numricos.

Nivel 6 Reconoce los nmeros complejos como

Nivel 5 Reconoce a los nmeros racionales como

Nivel 4 Reconoce los nmeros enteros como un conjunto

numrico en donde se pueden resolver problemas que no

admiten solucin en los nmeros naturales; reconoce sus

propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuan-

tificar magnitudes. Establece proporciones y las usa para

resolver diversas situaciones de variacin proporcional.

Comprende y realiza las cuatro operaciones con nmeros

enteros. Utiliza races cuadradas de nmeros enteros

positivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimal

positivo o entero y exponente natural en la solucin de

diversos desafos. Resuelve problemas y formula conjeturas

en diversos contextos en los que se deben establecer rela-

ciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las

conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizan-

do conceptos, procedimientos y relaciones matemticas.Nivel 3 Reconoce que los nmeros naturales

Nivel 2 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000

Nivel 1 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000

programa de estudioOrienta la labor pedaggica, esta-

bleciendo Aprendizajes Esperados

que dan cuenta de los Objetivos

Fundamentales y Contenidos

Mnimos, y los organiza temporal-

mente a travs de unidades.

Ejemplo:

Aprendizaje Esperado 8 bsico

Resolver problemas que involu-

cren las operaciones bsicas con

nmeros enteros.

marCo CurriCularPrescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mnimos Obligatorios que todos

los estudiantes deben lograr.

Ejemplo:

Objetivo Fundamental 8 bsico

Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de nmeros enteros.

Contenido Mnimo Obligatorio

Empleo de procedimientos de clculo para multiplicar un nmero natural por un nmero

entero negativo y extensin de dichos procedimientos a la multiplicacin

de nmeros enteros.

Relacin entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular


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13Ocavo Ao Bsico / Maemica

Consieraciones Generaespara Impemenar

e Programa

Consideraciones Generales para Implementar el Programa

Las orientaciones que se presentan a continuacin destacan algunos elementos

relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien-

taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en

el currculum.

Uso del lenguaje

Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicacin oral, la lectura y

la escritura como parte constitutiva del trabajo pedaggico correspondiente a

cada sector de aprendizaje.

Esto se justifica, porque las habilidades de comunicacin son herramientas fun-

damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes

propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan nicamente

en el contexto del sector Lenguaje y Comunicacin, sino que se consolidan a tra-

vs del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto,

involucran los otros sectores de aprendizaje del currculum.

Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicacin oral, los do-

centes deben procurar:

leCtura

la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa-

tivos propios del sector, textos periodsticos y narrativos, tablas y grficos)

la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptosespecializados del sector

la identificacin de las ideas principales y la localizacin de informacin relevante

la realizacin de resmenes y la sntesis de las ideas y argumentos presenta-

dos en los textos

la bsqueda de informacin en fuentes escritas, discriminndola y seleccio-

nndola de acuerdo a su pertinencia

la comprensin y el dominio de nuevos conceptos y palabras

esCritura

la escritura de textos de diversa extensin y complejidad (por ejemplo, repor-tes, ensayos, descripciones, respuestas breves)

la organizacin y presentacin de informacin a travs de esquemas o tablas

la presentacin de las ideas de una manera coherente y clara

el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos

el uso correcto de la gramtica y de la ortografa

La lectura, la escritura

y la comunicacin oral

deben promoverse en

los distintos sectores

de aprendizaje

Estas habilidades se

pueden promover

de diversas formas


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ComuniCaCin oral

la capacidad de exponer ante otras personas

la expresin de ideas y conocimientos de manera organizada

el desarrollo de la argumentacin al formular ideas y opiniones

el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisin, incorporando losconceptos propios del sector

el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para

superar dificultades de comprensin

la disposicin para escuchar informacin de manera oral, manteniendo la

atencin durante el tiempo requerido

la interaccin con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa-

cin y elaborar conexiones en relacin con un tema en particular, compartir

puntos de vista y lograr acuerdos

Uso de las Tecnologas de la Informacin y laComunicacin (tiC)

El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologas de la Informacin

y la Comunicacin (TICs) est contemplado de manera explcita como uno de

los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda

que el dominio y uso de estas tecnologas se promueva de manera integrada al

trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe

procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para:

buscar, acceder y recolectar informacin en pginas web u otras fuentes, y

seleccionar esta informacin, examinando crticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos, utilizando plantillas de clculo, y manipular la in-

formacin sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y

patrones relativos a los fenmenos estudiados en el sector

desarrollar y presentar informacin a travs del uso de procesadores de texto,

plantillas de presentacin (power point) y herramientas y aplicaciones de ima-

gen, audio y video

intercambiar informacin a travs de las herramientas que ofrece internet,

como correo electrnico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni-

dades virtuales

respetar y asumir consideraciones ticas en el uso de las TICs, como el

cuidado personal y el respeto por el otro, sealar las fuentes de donde seobtiene la informacin y respetar las normas de uso y de seguridad de los

espacios virtuales

Debe impulsarse

el uso de las TICs a

travs de los sectores

de aprendizaje

Se puede recurrir

a diversas formasde utilizacin de

estas tecnologas


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15Ocavo Ao Bsico / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa

Atencin a la diversidad

En el trabajo pedaggico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre

los estudiantes en trminos culturales, sociales, tnicos o religiosos, y respecto

de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento.

Esa diversidad conlleva desafos que los profesores tienen que contemplar. Entre

ellos, cabe sealar:

promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran-

cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminacin

procurar que los aprendizajes se desarrollen en relacin con el contexto y la

realidad de los estudiantes

intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje sealados

en el currculum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos

Atencin a la diversidad y promocin de aprendizajes

Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de

aprendizaje no implica expectativas ms bajas para algunos estudiantes. Por

el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar

que hay que reconocer los requerimientos didcticos personales de los alumnos,

para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes

alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.

En atencin a lo anterior, es conveniente que, al momento de disear el traba-

jo en una unidad, el docente considere que precisarn ms tiempo o mtodos

diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto,debe desarrollar una planificacin inteligente que genere las condiciones que

le permitan:

conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de

los estudiantes

evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades

de aprendizaje

definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida

incluir combinaciones didcticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y

materiales diversos (visuales, objetos manipulables)

evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con mltiples opciones

promover la confianza de los alumnos en s mismos promover un trabajo sistemtico por parte de los estudiantes y ejercitacin

abundante

La diversidad

entre estudiantes

establece desafos

que deben tomarse

en consideracin

Es necesario atender

a la diversidad para

que todos logrenlos aprendizajes

Esto demanda conocer

qu saben y, sobre

esa base, definir con

flexibilidad las diversas

medidas pertinentes


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Orientaciones para planificar

La planificacin es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los

aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los

procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar.

Los programas de estudio del Ministerio de Educacin constituyen una herra-

mienta de apoyo al proceso de planificacin. Para estos efectos, han sido elabo-

rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad

en los distintos contextos educativos del pas.

El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son

los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla-

nificacin a travs de la propuesta de unidades, de la estimacin del tiempo

cronolgico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de-

sarrollar los aprendizajes.

ConsideraCiones generales para realizar la planiFiCaCin

La planificacin es un proceso que se recomienda realizar, considerando los

siguientes aspectos:

la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes

del curso, lo que implica planificar considerando desafos para los distintos

grupos de alumnos

el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible

las prcticas pedaggicas que han dado resultados satisfactorios

los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia-les didcticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa-

rio disear; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de

Aprendizaje (CRA), entre otros

sugerenCias para el proCeso de planiFiCaCin

Para que la planificacin efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe

estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visin clara de lo

que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda

elaborar la planificacin en los siguientes trminos:

comenzar por una especificacin de los Aprendizajes Esperados que no selimite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo

ms clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im-

plica reconocer qu desempeos de los estudiantes demuestran el logro de

los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como qu deberan

La planificacin

favorece el logro de

los aprendizajes

El programa sirve de

apoyo a la planificacin

a travs de un conjunto

de elementos elaborados

para este fin

Se debe planificar

tomando en cuenta la

diversidad, el tiempo real,

las prcticas anteriores y

los recursos disponibles

Lograr una visin lo ms

clara y concreta posible

sobre los desempeos

que dan cuenta de

los aprendizajes


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ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado

Aprendizaje Esperado?, qu habra que observar para saber que un aprendi-

zaje ha sido logrado?

a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar

y las estrategias de enseanza. Especficamente, se requiere identificar qu

tarea de evaluacin es ms pertinente para observar el desempeo espera-do y qu modalidades de enseanza facilitarn alcanzar este desempeo. De

acuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati-

vas, las actividades de enseanza y las instancias de retroalimentacin

Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso,

que entregan elementos tiles para reconocer el tipo de desempeo asociado

a los aprendizajes.

Se sugiere que la forma de plantear la planificacin arriba propuesta se use

tanto en la planificacin anual como en la correspondiente a cada unidad y al

plan de cada clase.

La planificacin anual

En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo

del ao escolar, considerando su organizacin por unidades; estimar el tiempo

que se requerir para cada unidad y priorizar las acciones que conducirn a lo-

gros acadmicos significativos.

Para esto, el docente tiene que:

alcanzar una visin sinttica del conjunto de aprendizajes a lograr duran-te el ao, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los

estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados

especificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar un

apoyo importante

identificar, en trminos generales, el tipo de evaluacin que se requerir para

verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitir desarrollar una idea de las

demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad

sobre la base de esta visin, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para

que esta distribucin resulte lo ms realista posible, se recomienda:

- listar das del ao y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible

- elaborar una calendarizacin tentativa de los Aprendizajes Esperados para elao completo, considerando los feriados, los das de prueba y de repaso, y la

realizacin de evaluaciones formativas y retroalimentacin

- hacer una planificacin gruesa de las actividades a partir de la calendarizacin

- ajustar permanentemente la calendarizacin o las actividades planificadas

y, sobre esa base,

decidir las evaluaciones,

las estrategias de

enseanza y la

distribucin temporal

Realizar esteproceso con una

visin realista de los

tiempos disponibles

durante el ao


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La planificacin de la unidad

Implica tomar decisiones ms precisas sobre qu ensear y cmo ensear, con-

siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.

La planificacin de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificacin anual, esta visin

debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda

complementarla con los Mapas de Progreso

crear una evaluacin sumativa para la unidad

idear una herramienta de diagnstico de comienzos de la unidad

calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana

establecer las actividades de enseanza que se desarrollarn

generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi-

cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y

retroalimentacin

ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes

La planificacin de clase

Es imprescindible que cada clase sea diseada considerando que todas sus par-

tes estn alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con

la evaluacin que se utilizar.

Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseada distinguiendo su

inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qu elementos se con-

siderarn en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos comolos siguientes:

inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el prop-

sito de la clase; es decir, qu se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar

captar el inters de los estudiantes y que visualicen cmo se relaciona lo que

aprendern con lo que ya saben y con las clases anteriores

desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada

para la clase

cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En

l se debe procurar que los estudiantes se formen una visin acerca de qu

aprendieron y cul es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas

para promover su aprendizaje.

Realizar este proceso

sin perder de vista la

meta de aprendizaje

de la unidad

Procurar que los

estudiantes sepan qu y

por qu van a aprender,

qu aprendieron y

de qu manera


23/108


Orientaciones para evaluar

La evaluacin forma parte constitutiva del proceso de enseanza. No se debe

usar solo como un medio para controlar qu saben los estudiantes, sino que

cumple un rol central en la promocin y el desarrollo del aprendizaje. Para que

cumpla efectivamente con esta funcin, debe tener como objetivos: ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes

proporcionar informacin que permita conocer fortalezas y debilidades de los

alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseanza y potenciar los logros

esperados dentro del sector

ser una herramienta til para la planificacin

Cmo promover el aprendizaje a travs de la evaluaCin?

Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si

se llevan a cabo considerando lo siguiente:

informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarn. Esto facilita que

puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr

elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus-

ca alcanzar, fundados en el anlisis de los desempeos de los estudiantes. Las

evaluaciones entregan informacin para conocer sus fortalezas y debilidades. El

anlisis de esta informacin permite tomar decisiones para mejorar los resulta-

dos alcanzados

retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta

informacin con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que

debe seguir para avanzar. Tambin da la posibilidad de desarrollar procesos

metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; asu vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos

Cmo se pueden artiCular los mapas de progreso del

aprendizaje Con la evaluaCin?

Los Mapas de Progreso ponen a disposicin de las escuelas de todo el pas un

mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y

los ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui-

miento de los aprendizajes, en tanto permiten:

reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar

aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripcin decada nivel, sus ejemplos de desempeo y el trabajo concreto de estudiantes

que ilustran esta expectativa

Apoya el proceso

de aprendizaje al

permitir su monitoreo,

retroalimentar a los

estudiantes y sustentar

la planificacin

Explicitar qu se evaluar

Identificar logros

y debilidades

Ofrecer retroalimentacin

Los mapas apoyan

diversos aspectos del

proceso de evaluacin


24/108

20

observar el desarrollo, la progresin o el crecimiento de las competencias de

un alumno, al constatar cmo sus desempeos se van desplazando en el mapa

contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi-

denciar sus aprendizajes

Cmo disear la evaluaCin?

La evaluacin debe disearse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje-

to de observar en qu grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda disear la

evaluacin junto a la planificacin y considerar las siguientes preguntas:

Cules son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcar la

evaluacin?

Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que sern duraderos y pre-

rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre-

so pueden ser de especial utilidad

Qu evidencia necesitaran exhibir sus estudiantes para demostrar

que dominan los Aprendizajes Esperados?

Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluacin sugeridos

que presenta el programa.

Qu mtodo emplear para evaluar?

Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas

escritas, guas de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con-

ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).

En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas

maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes

puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.

Qu preguntas se incluir en la evaluacin?

Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe-

rados, que permitan demostrar la real comprensin del contenido evaluado

Cules son los criterios de xito?, cules son las caractersticas de

una respuesta de alta calidad?

Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:- comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de

otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en

los Mapas de Progreso

Partir estableciendo

los Aprendizajes

Esperados a evaluar

y luego decidir qu

se requiere para su

evaluacin en trminos

de evidencias, mtodos,

preguntas y criterios


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- identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen

el nivel de desempeo esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva-

luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje

- desarrollar rbricas5 que indiquen los resultados explcitos para un des-

empeo especfico y que muestren los diferentes niveles de calidad para

dicho desempeo

5 Rbrica: tabla o pauta para evaluar


26/108

22


27/108

23

MaemicaPrograma e Esuio

Ocavo Ao Bsico


28/108

24

PropsiosEl aprendizaje de la matemtica ayuda a comprender

la realidad y proporciona herramientas para desenvol-

verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el

clculo, el anlisis de la informacin proveniente de

diversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio-

nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados

y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo

esto contribuye a desarrollar un pensamiento lgico,ordenado, crtico y autnomo, y a generar actitudes

como precisin, rigurosidad, perseverancia y confianza

en s mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la

tecnologa, sino tambin en la vida cotidiana.

Aprender matemticas acrecienta tambin las habilida-

des relativas a la comunicacin; por una parte, ensea a

Maemica

presentar informacin con precisin y rigurosidad y, por

otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones

y argumentos que se recibe.

El conocimiento matemtico y la capacidad para

usarlo provocan importantes consecuencias en el

desarrollo, el desempeo y la vida de las personas. El

entorno social valora el conocimiento matemtico ylo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden

superior. Aprender matemtica influye en el concep-

to que nios, jvenes y adultos construyen sobre s

mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a

que la persona se sienta un ser autnomo y valioso. En

consecuencia, la calidad, la pertinencia y la amplitud

de ese conocimiento afectan las posibilidades y la

HABIlIdAdES dE PENSAMIENtO MAtEMtICO

4 bsico 5 bsico 6 bsico

Resolver problemas en contextos

significativos que requieren el uso

de los contenidos del nivel


diversos y significativos


significativos

Formular conjeturas y verificarlas,

para algunos casos particulares

Formular y verificar conjeturas, en

casos particulares

Ordenar nmeros y ubicarlos en la

recta numrica


recta numrica

Realizar clculos en forma mentaly escrita


Realizar clculos en forma mental yescrita


29/108


HabiiaesAl estudiar matemticas, el estudiante adquiere el razo-

namiento lgico, la visualizacin espacial, el pensamien-

to analtico, el clculo, el modelamiento y las destrezas

para resolver problemas. La tabla siguiente puede

resultar til para:

observar transversalmente las habilidades que se

desarrollan en el sector

focalizarse en un nivel y disear actividades y evalua-ciones que enfaticen dichas habilidades

situarse en el nivel, observar las habilidades que se

pretendi ensear en los aos anteriores y las que se

trabajarn ms adelante

advertir diferencias y similitudes en los nfasis por

ciclos de enseanza

7 bsico 8 bsico I medio


diversos y significativos, utilizando

los contenidos del nivel


diversos y significativos

Analizar estrategias de resolucin de

problemas de acuerdo con criterios

definidos

Analizar la validez de los

procedimientos utilizados y de los

resultados obtenidos

Evaluar la validez de los resultados

obtenidos y el empleo de dichos

resultados para fundamentaropiniones y tomar decisiones

Fundamentar opiniones y tomar

decisiones


recta numrica



Emplear formas simples de

modelamiento matemtico

Emplear formas simples de

modelamiento matemtico

Aplicar modelos lineales que repre-

sentan la relacin entre variables

Verificar proposiciones simples,

para casos particulares

Diferenciar entre verificacin y

demostracin de propiedades

calidad de vida de las personas y afecta el potencial

de desarrollo del pas.

La matemtica ofrece tambin la posibilidad de tra-

bajar con entes abstractos y sus relaciones y prepara a

los estudiantes para que entiendan el medio y las ml-

tiples relaciones que se dan en un espacio simblico

y fsico de complejidad creciente. Se trata de espa-cios en los que la cultura, la tecnologa y las ciencias

se redefinen en forma permanente y se hacen ms

difciles, y las finanzas, los sistemas de comunicacin

y los vnculos entre naciones y culturas se relacionan y

se globalizan.

Matemtica


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26

Se ha concebido este sector como una oportunidad

para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.

La matemtica es un rea poderosa de la cultura, pues

permite comprender, explicar y predecir situaciones

y fenmenos del entorno. Por eso, es importante que

los docentes se esfuercen para que todos los alumnos

del pas aprendan los conocimientos y desarrollen las

capacidades propias de esta disciplina. Estos programasentregan algunas orientaciones que ayudarn a los

profesores a cumplir con este objetivo por medio de la

planificacin y en el transcurso de las clases.

los ConCeptos matemtiCos: proFundidad

e integraCin

Los estudiantes deben explorar en las ideas matem-

ticas y entender que ellas constituyen un todo y no

fragmentos aislados del saber. Tienen que enfrentar

variadas experiencias para que comprendan en pro-

fundidad los conceptos matemticos, sus conexionesy sus aplicaciones. De esta manera, podrn participar

activamente y adquirir mayor confianza para investigar

y aplicar las matemticas. Se recomienda que usen

materiales concretos, realicen trabajos prcticos y se

apoyen en la tecnologa, en especial en el ciclo bsico.

el uso del Contexto

Es importante que el docente aclare que esta disciplina

est enraizada en la cultura y en la historia; asimismo,

que impacta en otras reas del conocimiento cientfico,

crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse

cmo se originaron los conceptos y modelos matemti-

cos, en qu perodos de la historia y cmo se enlazaron

con la evolucin del pensamiento, es un ancla impor-

tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogas

y representaciones cercanas a los estudiantes, en es-

pecial en las etapas de exploracin. Tambin se sugiere

aplicar las matemticas a otras reas del saber y en la

vida diaria como un modo de apoyar la construccin del

conocimiento matemtico.

razonamiento matemtiCo y resoluCin

de problemas

Esta disciplina se construye a partir de regularidades que

subyacen a situaciones aparentemente diversas y ayuda

a razonar en vez de actuar de modo mecnico. Por eso

es importante invitar a los estudiantes a buscar regu-

laridades. Tambin se pretende desarrollar y explicar la

nocin de estrategia, comparar diversas formas de abor-

dar problemas y justificar y demostrar las proposiciones

matemticas. El docente debe procurar, asimismo, que

los alumnos conjeturen y verifiquen cmo se comportan

los elementos y las relaciones con que se trabaja. Tienen

que analizar los procedimientos para resolver un proble-

ma y comprobar resultados, propiedades y relaciones.

Aunque deben ser competentes en diversas habilidadesmatemticas, el profesor tiene que evitar que pongan

demasiado nfasis en los procedimientos si no com-

prenden los principios matemticos correspondientes.

uso del error

Usar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente

de bsqueda y creacin. Un educador puede aprove-

char la equivocacin para inducir aprendizajes especial-

mente significativos, si lo hace de manera constructiva.

Se debe considerar el error como un elemento concreto

para trabajar la diversidad en clases y permitir que todoslos alumnos alcancen los aprendizajes propuestos.

aprendizaje matemtiCo y desarrollo

personal

La clase de matemtica ofrece abundantes ocasiones

para el autoconocimiento y las interacciones sociales.

Es una oportunidad para la metacognicin6: cmo

lo hice?, cmo lo hicieron?, de qu otra manera es

posible? Adems, la percepcin que cada cual tiene de

su propia capacidad para aprender y hacer matemtica,

surge de la retroalimentacin que le ha dado la propia

experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma-

nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y

los logros de los alumnos. Otros aspectos que tambin

ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en

s mismo son valorar las diferencias, aceptar los xitos o

las acciones de sus pares, crear un clima de confianza y

distinguir de qu modo enfrenta cada uno el triunfo o el

fracaso, sea propio o de los dems.

teCnologas digitales y aprendizajematemtiCo

El presente programa propone usar software para am-

pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian-

tes. Estas tecnologas permiten representar nociones

abstractas a travs de modelos en los que se puede

experimentar con ideas matemticas; tambin se puede

crear situaciones para que los alumnos exploren las ca-

ractersticas, los lmites y las posibilidades de conceptos,

Orienaciones icicas


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relaciones o procedimientos matemticos. Los procesa-

dores geomtricos, simblicos y de estadstica son labo-

ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba.

Con un procesador simblico, se puede analizar y en-

tender nmeros grandes o muy pequeos. Y se puede

estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de

alta complejidad. Internet ofrece mltiples ambientes

con representaciones dinmicas de una gran cantidad

de objetos matemticos. Los procesadores geomtricos

permiten experimentar con nociones y relaciones de lageometra euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de

un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los

ayudar mucho a formarse para una vida cada vez ms

influida por las tecnologas digitales.

Clima y motivaCin

Se debe propiciar un ambiente creativo para que los

alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturas

respecto de los problemas que abordan. Ese ambiente

debe admitir que el error, la duda y la pregunta son

importantes y valiosos para construir conocimiento;

asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y

aprovecharlos para crear una bsqueda y una cons-

truccin colectiva. En ese espacio ser natural analizar

acciones y procedimientos y explorar caminos alter-nativos de una bsqueda y construccin colectivas.

Debe constituirse en un espacio en el que es natural el

anlisis de las acciones y procedimientos, de modo de

comparar diversas alternativas.

6 Metacongicin: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento

Matemtica


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28

Visin Goba e AoApreniaes Esperaos por semesre y unia

Unia 1Nmeros y gebra

AE 01

Establecer estrategias para calcular multiplicaciones

y divisiones de nmeros enteros

AE 02

Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias

de base entera y exponente natural

AE 03

Determinar propiedades de multiplicacin y divisin

de potencias de base entera y exponente natural

AE 04

Verificar qu propiedades de potencias de base entera

y exponente natural se cumplen en potencias de base

fraccionaria positiva, decimal positiva y exponentenatural

AE 05

Resolver problemas que involucren las operaciones con

nmeros enteros y las potencias de base entera, fraccio-

naria o decimal positiva y exponente natural

Semesre 1

Tiempo estimado

55 horas pedaggicas


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Unia 2Geomera

AE 01

Caracterizar transformaciones isomtricas de figu-

ras planas y reconocerlas en diversas situaciones y

contextos

AE 02

Reconocer algunas propiedades de las transformaciones

isomtricas

AE 03

Construir transformaciones isomtricas de figuras

geomtricas planas, utilizando regla y comps o proce-

sadores geomtricos

AE 04Teselar7 el plano con polgonos regulares, utilizando

regla y comps o procesadores geomtricos

AE 05

Utilizar las transformaciones isomtricas como herra-

mienta para realizar teselaciones regulares y semirre-

gulares

AE 06

Caracterizar la circunferencia y el crculo como lugares

geomtricos

AE 07

Calcular el permetro de circunferencias y de arcos

de ellas

AE 08

Calcular el rea del crculo y de sectores de l

AE 09

Calcular medidas de superficies de cilindros, conos

y pirmides, utilizando frmulas

AE 10

Calcular volmenes de cilindros y conos, utilizando

frmulas

AE 011

Resolver problemas en contextos diversos relativos

a clculos de:

permetros de circunferencias y reas de crculos

reas de superficies de cilindros, conos y pirmides

volmenes de cilindros y conos

Tiempo estimado

75 horas pedaggicas

Visin Global del Ao

7 Teselar: pavimentar una superficie con figuras regulares o irregulares, sin que queden espacios entre ellas ni se superpongan


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30

Unia 3daos y aar

AE 01

Interpretar informacin a partir de tablas de frecuencia,

cuyos datos estn agrupados en intervalos

AE 02

Representar datos, provenientes de diversas fuentes, en

tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos

AE 03

Interpretar y producir informacin, en contextos diver-

sos, mediante el uso de medidas de tendencia central,

extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos

AE 04

Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de

muestras y su importancia para realizar inferencias

AE 05

Asignar probabilidades tericas a la ocurrencia de

eventos en experimentos aleatorios con resultados

finitos y equiprobables8, y contrastarlas con resultados

experimentales

Semesre 2

Tiempo estimado

65 horas pedaggicas

8 Equiprobable: que tiene la misma probabilidad


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Unia 4gebra

AE 01

Plantear ecuaciones que representan la relacin entre

dos variables en diversos contextos

AE 02

Reconocer funciones en diversos contextos, identificar

sus elementos y representar diversas situaciones a

travs de ellas

AE 03

Identificar variables relacionadas en forma proporcional

y no proporcional

AE 04

Analizar, mediante el uso de softwares grficos, situa-

ciones de proporcionalidad

AE 05

Resolver problemas en diversos contextos que impli-

can proporcionalidad directa y problemas que implican

proporcionalidad inversa

Tiempo estimado45 horas pedaggicas

Visin Global del Ao


36/108

3232


37/108

33

33

Uniaes

Semesre 1

Semesre 2


Unia 2Geomera

Unia 3daos y aar

Unia 4gebra


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34


39/108

35


propsito

Esta unidad permite que los estudiantes apliquen

sus conocimientos sobre multiplicacin y divisin de

nmeros naturales y sobre adiciones y sustracciones

de nmeros enteros, a la multiplicacin y la divisin

de nmeros enteros en casos particulares.

Adems, se extiende el trabajo con potencias de

bases naturales, fraccionarias y decimales positi-

vas, a bases enteras con exponentes naturales. Para

lograrlo, se realizan actividades orientadas a verificar

las propiedades de estas potencias en casos particu-

lares y a resolver problemas en contextos numricos

donde ellas intervienen.

ConoCimientos previos

Adicin y sustraccin de nmeros enteros

Potencias de base natural, fraccionaria y decimal

positiva con exponente natural

palabras Clave

Potencias de base entera y exponente natural, pro-

piedades de las potencias.

Contenidos

Multiplicacin y divisin de nmeros enteros

Propiedades de la multiplicacin y la divisin de

nmeros enteros

Potencias de base entera, fraccionaria y decimal

positiva con exponente natural

Propiedades de las potencias de base entera, frac-

cionaria y decimal positiva con exponente natural

Habilidades

Argumentar acerca de la validez de las propieda-

des de la multiplicacin y la divisin de nmeros

enteros

Establecer estrategias para resolver divisiones de

nmeros enteros Estimar mentalmente el valor de algunas potencias

Interpretar informacin expresada en potencias

Conjeturar, argumentar, verificar y aplicar propie-

dades de las potencias

aCtitudes

Trabajo en equipo y mostrar iniciativa personal

para resolver problemas en contextos diversos


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36

ApreniaesEsperaos

Se espera que los estudiantes sean

capaces de:

c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:

AE 01Esabecer esraegias para

cacuar muipicaciones y

ivisiones e nmeros eneros

Calculan multiplicaciones de enteros utilizando la estrategia establecida

Calculan divisiones de enteros utilizando la estrategia establecida

AE 02Uiiar esraegias para e-

erminar e vaor e poencias

e base enera y exponene

naura

Utilizan estrategias para determina el signo de expresiones del tipo (-1)n

cuando n es un nmero natural

Utilizan estrategias para determinar el valor de expresiones del tipo (-a )n

cuando a , n son nmeros naturales

Estiman mentalmente potencias de base entera de un dgito y exponente

natural menor de 5. Por ejemplo, estiman (-7)4 como 49 49, obteniendoun nmero menor a 2.500

AE 03deerminar propieaes e

muipicacin y ivisin e

poencias e base enera y

exponene naura

Explican los pasos realizados para determinar las propiedades de poten-

cias de base entera y exponente natural

Calculan potencias de base entera y exponente natural utilizando las

propiedades determinadas


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Ocavo Ao Bsico / Maemica 37Unidad 1


capaces de:


AE 04Vericar qu propiedades de


exponene naura se cumpenen poencias e base fraccio-

naria posiiva, ecima posiiva

y exponene naura

Calculan multiplicaciones de potencias de base fraccionaria positiva y

exponente natural, utilizando la propiedad relativa a multiplicacin de

potencias de igual base entera y exponente natural Verifican qu propiedades relativas a la divisin de potencias de base entera

y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva

Explican de manera escrita los pasos realizados en la verificacin de po-

tencias de potencias de base decimal positiva y exponentes naturales

AE 05Resolver problemas que invo-

ucren as operaciones con n-meros eneros y as poencias

e base enera, fraccionaria o

ecima posiiva y exponene

naura

Resuelven problemas relativos a multiplicaciones de enteros

Aplican correctamente la regla de los signos y la prioridad de las ope-raciones en la resolucin de problemas de operatoria combinada con

nmeros enteros

Resuelven problemas en contextos cotidianos que involucren potencias

de base entera y exponente natural

Verifican los resultados obtenidos en funcin del contexto del problema

Analizan los procedimientos utilizados en trminos de los resultados

obtenidos


42/108

38

que estudien su comportamiento para distintos valores

numricos. Las actividades deben permitir que com-

prendan expresiones como (-a )n (-b )n, con a , b , n en

los naturales; multiplicaciones de potencias expresadas

como (-a )n (-b )mo (-a )n (-a )m; potencias de base

fraccionaria de la forma -a

b

ncon a , b en los natura-

les; multiplicaciones de potencias con base fracciona-

ria de la forma -a

b

n -

c

d

n -

a

b

n -

a

b

mcon

a , b , n en los naturales y, por ltimo, con potencias

elevadas a otra potencias (-a )n m , con a , n en los

naturales.

Es habitual que los alumnos presenten ritmos de com-

prensin muy variados cuando tengan que establecer

generalizaciones. Por lo tanto, se recomienda disear

actividades que contemplen el trabajo en equipo. Ah

puedan aflorar naturalmente lderes intelectuales que

apoyen la labor docente al interior de cada grupo y per-

mitan diversificar los ritmos de produccin; eso ayuda a

dar tiempos diferenciados a cada estudiante y, adems,

posibilita el dilogo y la discusin.

Orientaciones didcticas para la unidad

Esta unidad ampla las operaciones con nmeros

enteros, pues incorpora la multiplicacin y la divisin.

Al respecto, se recomienda al docente ensearlas de un

modo similar a las operaciones de adicin y sustraccin.

Las reglas para operar con nmeros enteros no son muy

fciles de comprender, pero s de memorizar; por eso,

se debe buscar que los alumnos entiendan y evitar que

solo aprendan de memoria los procedimientos. Se reco-mienda que el profesor use metforas o analogas para

ayudarlos a comprender los procedimientos involucra-

dos, en vez de limitarse a la ejercitacin rutinaria.

En el tema de las potencias, se pueden aplicar expresio-

nes del tipo (-1)npara calcular potencias del tipo (-a )n,

donde a pertenece a los naturales.

Como estrategia, en las operaciones con potencias se

sugiere partir de lo particular y llegar a lo general (es

decir, ejemplificar y trabajar con nmeros para luego

generalizar) y realizar tambin el proceso inverso. Con-

viene recomendar a los estudiantes que, cada vez que

una expresin algebraica carezca de sentido y sea difcil

de entender, la lleven a un terreno familiar; es decir,

Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT

Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos

Participa activamente en actividades grupales

Es responsable en la tarea asignada

Toma la iniciativa en actividades de carcter grupal

Propone alternativas de solucin a problemas matemticos en actividades grupales


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Eempos eAciviaes

AE 01Esabecer esraegias para

cacuar muipicaciones y i-

visiones e nmeros eneros.

1Formulan estrategias para multiplicar nmeros enteros y las aplican para

calcular multiplicaciones en las que intervienen estos nmeros. Al respec-

to, formulan estrategias para:

multiplicar nmeros de la forma a (-b )

multiplicar nmeros de la forma (-a ) (-b )

! Observaciones al docente: El profesor puede sugerirles que usen la repre-

sentacin de los nmeros enteros en la recta numrica.

Es importante que no ensee las reglas de los signos a los alumnos antes de

que elaboren las estrategias; deben establecer juntos dichas reglas a travs de

estas actividades.

Aplican estas estrategias para realizar clculos del tipo:

--(-a )

[ (-a ) (-b )+c (-d) ] [a + (-b ) ]

2Formulan estrategias para dividir nmeros enteros y las aplican para

calcular divisiones en este contexto numrico. Por ejemplo, formulan

estrategias para:

realizar divisiones de la forma a : (-b )

! Observaciones al docente: Puede sugerir a los estudiantes que expresen la

divisin anterior en la forma -a : b .

divisiones de la forma (-a ) : (-b )

A continuacin la utilizan para realizar clculos del tipo:

-- (-a) : (-b )

[(-a ) (-b ) + c (-d)] : [a (-b )]

3Resuelven divisiones de nmeros enteros, utilizando las propiedades de la

multiplicacin. Por ejemplo, para calculara : (-b ), expresan este cociente

en la forma a -1

b.


44/108

40

AE 03deerminar propieaes e

muipicacin y ivisin e


exponene naura.

Los estudiantes utilizan resultados acerca de potencias del tipo (-a )n y:

1resultados obtenidos en 7 bsico respecto de multiplicaciones de

potencias de igual base natural y exponentes naturales, para determinar

propiedades respecto de multiplicaciones del tipo a n am , donde la base

es entera y los exponentes son nmeros naturales.

2resultados obtenidos en 7 bsico respecto de potencias de potencias (es

decir, acerca de expresiones del tipo (a n)m donde la base y los exponen-

tes son nmeros naturales) para determinar propiedades respecto demultiplicaciones del tipo (a n)m , donde la base es entera y los exponentes

son nmeros naturales.

1Comprueban que las propiedades de multiplicaciones de potencias de

base entera y exponente natural se verifican en multiplicaciones de po-

tencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural;

es decir, quea

b

n

a

b

m =

a

b

n +m

2Comprueban que las propiedades de potencias de potencias de enteros

de base entera y exponentes naturales se verifican en potencias de po-

tencias de nmeros de base fraccionaria o decimal positiva y exponentes

naturales; es decir, quea

b

m

n= anm

bnm

AE 04Vericar qu propiedades de


exponene naura se cumpen

en poencias e base fraccio-

naria posiiva, ecima posiivay exponene naura.

1Usan estrategias para calcular expresiones del tipo (-a ) + (-a ) + (-a ) + ... +

(-a ), donde se ha sumado a veces -a y convierten esta suma en formade potencias.

2Utilizan estrategias para estimar potencias de base entera de un dgito y

exponente natural. Por ejemplo, estiman (-3)2 (-7)2.

3Verifican en casos particulares que (-1)2n=1 y (-1)2n+ 1=-1 cuando n N,

y lo utilizan para realizar clculos del tipo (-a )n y clculos del tipo b (-a )n,

cuando n N. Por ejemplo: 2 (-3)5

4Emplean estos resultados para resolver clculos asociados a expresiones

donde intervienen potencias del tipo b (-a )n. Por ejemplo: 2 (-5) (-5)

(-5) + 3 (-5) (-5) (-5)

AE 02Uiiar esraegias para e-

erminar e vaor e poencias

e base enera y exponenenaura.


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1Resuelven problemas en contextos geomtricos que involucren potencias

de base fraccionaria positiva y exponente natural. Por ejemplo, en un

cuadrado de lado 10 cm. se unen los puntos medios de sus lados, y en

este nuevo cuadriltero se vuelven a unir los puntos medios de sus lados,

y as sucesivamente. Se pide:

determinar el tipo de cuadrilteros que se forman

calcular el rea de cualquiera de esos cuadrilteros, por ejemplo, delquinto cuadriltero formado

2Analizan los procedimientos utilizados y verifican, usando un software

geomtrico, los resultados obtenidos. En el caso de la actividad anterior,

analizan los procedimientos utilizados para determinar el tipo de cuadri-

lteros que se forman, y verifican los resultados obtenidos, utilizando un

software geomtrico.

3Usan las operaciones bsicas de los nmeros enteros para responder

preguntas del tipo:

la temperatura ha aumentado 2 Celsius cada hora durante 4 horas.

Cunto ha aumentado la temperatura en ese tiempo?

la temperatura ha disminuido 4 Celsius cada hora durante 5 horas.

Cuntos grados ha disminuido la temperatura en ese tiempo?

4Resuelven problemas sencillos que requieren operatoria con nmeros

enteros, del tipo:

un buzo profesional desciende a 10 metros de profundidad pararealizar un experimento, luego sube 27 metros y despus desciende 4

veces el descenso inicial. A qu profundidad qued?

5Inventan problemas que se resuelven con las operaciones:

(-5) (-4)

(-10) : 2 + 5 (-6)

AE 05Resolver problemas que invo-

ucren as operaciones con n-

meros eneros y as poencias

e base enera, fraccionaria o

ecima posiiva y exponene

naura.

3Verifican que las propiedades de divisiones de potencias de base entera

y exponente natural se cumplen en divisiones de potencias de igual basefraccionaria o decimal positiva y exponente natural; es decir, que

a

b

n:

a

b

m =

a

b

n -m

4Comprueban que las propiedades de divisiones de potencias de bases

enteras y exponente natural se verifican en divisiones de potencias de

nmeros de base fraccionaria o decimal positiva e igual exponente

natural; es decir, quea

b

n:

c

d

n= a

b :

c

d

n


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6Aplican las propiedades de las potencias de base fraccionaria y decimal

positiva con exponente natural en situaciones reales. (Ciencias Naturales)

Por ejemplo:

En la fisin binaria hay una duplicacin idntica del material gentico y

de sus mutaciones. Esta reproduccin requiere solo un progenitor, que

dar lugar a dos clulas hijas idnticas, lo que sucede cuando la clula

est lista para reproducirse; entonces aumenta su contenido celular y

su tamao en forma alargada. Luego comienza la biparticin, cuando

se forma un tabique que se encargar de producir un estrangulamien-

to en la clula. En las bacterias, este proceso puede ocurrir cada 20

minutos. (Fuente: http://infobiol.com/fisionbinaria).- Si se tiene inicialmente una clula, cuntas habr despus de 6

divisiones?


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Eempo eEvauacin

aCtividad

Lea cuidadosamente la situacin dada. Responda las preguntas propuestas.

Estime mentalmente el valor de la expresin (-2)2n+1 + 22n+1 para distintos valores de n,

sabiendo que npuede tomar solo valores naturales. Escriba su estimacin en el recuadro:

D un argumento que apoye la validez de la propiedad de la divisin de potencias de igual

base aplicada en el ejercicio(-3)5

(-3)3

= (-3)2

Escriba, en trminos de potencias, la diferencia entre la octava parte de 2n+3 y la mitad de

2n+1. Si la expresin anterior se representa porA , calcule el valor numrico de ( A-1)npara

distintos valores numricos de n, considerando que npuede tomar solo valores naturales.

Criterios de evaluaCin

Se sugiere considerar los siguientes aspectos:

Estiman el valor de potencias de base un dgito entero.

Expresan como potencias productos en que los factores son potencias de base entera.

Argumentan acerca de la validez de la propiedad del cuociente de potencias de igual

exponente.

Aplican las propiedades de las operaciones de las potencias para resolver problemas

matemticos.

AE 02

Utilizar estrategias para

determinar el valor de

potencias de base entera y

exponente natural.

indiCadores de evaluaCin sugeridos

Utilizan estrategias para determinar el signo de expresio-

nes del tipo (-1)n cuando nes un nmero natural.

Utilizan estrategias para determinar el valor de expresio-

nes del tipo (-a )n cuando a , nson nmeros naturales.

Estiman mentalmente potencias de base entera de un

dgito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo, esti-man (-7)4 como 49 49, obteniendo un nmero menor a

2.500.


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Unia 2Geomera

propsito

En esta unidad, los estudiantes estudiarn las trans-

formaciones isomtricas, conocern el concepto de

lugar geomtrico y calcularn reas en el crculo,

permetros en la circunferencia y reas y volmenes

en figuras tridimensionales.

Esta unidad les permite aplicar los conocimientos

trabajados acerca de reas en 5 bsico, ngulos en

6 bsico y construcciones geomtricas en 7 bsico.

Pueden integrar la geometra con otras disciplinas,

especficamente con el arte plstico, pues aprende-

rn a construir teselaciones, conocern el nmero pi,

profundizarn sus conocimientos acerca de figuras

tridimensionales (como el cono, el cilindro y la pir-

mide) y ampliarn su lenguaje geomtrico mediante

el trabajo con lugares geomtricos.

ConoCimientos previos ngulos en polgonos

Construcciones de polgonos

reas en tringulos y cuadrilteros

Caractersticas de conos, cilindros y pirmides

palabras Clave

Traslaciones, rotaciones, reflexiones, lugares geom-

tricos, teselaciones, reas de superficies y volmenes.

Contenidos

Vectores en el plano

Ejes de simetra

Traslaciones, rotaciones y reflexiones

Teselaciones

Circunferencia y crculo como lugares geomtricos

Permetro de la circunferencia

rea del crculo

reas de la superficie de conos, cilindros y pirmides

Volmenes de conos, cilindros y pirmides

Habilidades

Construir transformaciones isomtricas

Realizar teselaciones

Caracterizar la circunferencia y el crculo como

lugares geomtricos

Comprender el nmeropi

Calcular el permetro de la circunferencia

Calcular reas del crculo y de la superficie deconos, cilindros y pirmides

Calcular el volumen de conos, cilindros y pirmides

aCtitudes

Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al

resolver problemas matemticos

Trabajo en equipo e iniciativa personal para resol-

ver problemas en contextos diversos


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ApreniaesEsperaos


capaces de:


AE 01Caraceriar ransformaciones

isomtricas de guras planas

y reconoceras en iversassiuaciones y conexos

Caracterizan vectores en el plano y los reconocen en contextos diversos

Caracterizan la traslacin de figuras en el plano

Identifican ngulos y puntos respecto de los que se han efectuadorotaciones

Caracterizan los ejes de simetra de una reflexin de figuras en el plano

AE 02Reconocer agunas propiea-

es e as ransformaciones

isomtricas

Reconocen propiedades de la traslacin en traslaciones de figuras del plano

Explican propiedades reconocidas de la rotacin en figuras que han sido

rotadas en el plano

AE 03Consruir ransformaciones

isomtricas de guras geom-

ricas panas, uiiano rega

y comps o procesaores

geomtricos

Rotan figuras en el plano, utilizando regla y comps o un procesador

geomtrico

Trasladan polgonos y luego los reflejan, utilizando regla y comps o un

procesador geomtrico

Describen patrones que se observan al aplicar reflexiones a figuras del

plano

AE 04tesear e pano con pogonos

reguares, uiiano rega

y comps o procesaores

geomtricos

Determinan las condiciones que deben satisfacer los elementos de los

polgonos que participan de una teselacin en el plano

Determinan las posibles combinaciones de polgonos regulares con las

que se puede realizar una teselacin

Teselan el plano solamente con polgonos regulares de un tipo, utilizando

regla y comps o procesadores geomtricos Por ejemplo, teselan el plano

con hexgonos regulares por medio de regla y comps


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capaces de:


AE 05Uiiar as ransformaciones

isomtricas como herramien-

a para reaiar eseacionesreguares y eseaciones semi-

rreguares

Teselan el plano con un solo polgono regular, utilizando traslaciones y

reflexiones

Construyen la configuracin base de una teselacin con ms de un pol-gono regular, utilizando transformaciones isomtricas

AE 06Caraceriar a circunferen-

cia y e crcuo como ugares

geomtricos

Explican el concepto de lugar geomtrico

Explican las diferencias entre crculo y circunferencia, utilizando el con-

cepto de lugar geomtrico

AE 07Cacuar e permero e cir-

cunferencias y e arcos

e eas

Aproximan valores del nmero , utilizando longitudes y dimetros de

circunferencias

Calculan permetros aproximados con valores aproximados del nmero .

Por ejemplo, calculan el permetro de una circunferencia de radio 3 cm

con = 3,14

Calculan permetros de arcos de circunferencias

AE 08Cacuar e rea e crcuo y

de sectores de l

Calculan valores aproximados del rea de crculos con valores aproxima-

dos de

Calculan reas de sectores de crculos

Calculan la suma de reas de crculos y la expresan en un solo trmino

AE 09Cacuar meias e super-cies de cilindros, conos y

pirmies, uiiano frmuas

Comparan reas de superficies de conos y pirmides Aproximan reas de cilindros, conos y pirmides de acuerdo a valores

distintos de

Calculan radios y alturas de conos en trminos del rea de su superficie


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ambos. En este contexto, surge de manera natural la

necesidad de establecer que, en el caso de los teseladosregulares o semirregulares, los polgonos que permiten

teselar el plano corresponden a aquellos cuyos ngulos

interiores que concurren en un vrtice, suman 360.

Cuando los estudiantes construyen teselados, la ma-

temtica se torna artstica; es un buen momento para

observar y fomentar la originalidad en las producciones

y el rigor y la perseverancia en el trabajo.

En cuanto al clculo de reas de las superficies de las

caras de figuras 3D, es importante que el docente

disee actividades que estimulen a los alumnos a

deducir las frmulas para determinar dichas reas.

Resulta de gran ayuda usar algn software que permita

manipular y estudiar las distintas figuras generadas.

Se puede hacer de dos maneras. La primera consiste

en que el profesor maneje el programa computacio-

nal, lo presente mediante un proyector y pida que los

estudiantes participen activamente. La otra opcin

es que trabajen solos, en parejas o pequeos grupos

frente a un computador; en este caso, se recomiendaconstruir material de trabajo que sirva para orientar

y monitorear el trabajo de los alumnos, pues los de

este nivel suelen ser dispersos, les cuesta concentrarse

por perodos prolongados y asocian la utilizacin del

computador al ocio y las comunicaciones ms que al

trabajo guiado.

Orientaciones didcticas para la unidad

La introduccin de transformaciones isomtricas en

8 bsico permite a los alumnos estudiar la geometraeuclidiana en movimiento. De hecho, es recomenda-

ble estimularlos para que entiendan que las transfor-

maciones isomtricas mantienen inalterables los lados

y los ngulos de los polgonos transformados. De esta

manera, dos figuras son congruentes cuando existe una

transformacin isomtrica que lleva a una en la otra.

En este nivel se proponen transformaciones solo en el

plano euclidiano. Las transformaciones en el plano car-

tesiano se vern en I medio. Por ello, se debe poner el

nfasis en las construcciones con regla y comps (o con

un procesador geomtrico). Las traslaciones, las rotacio-

nes y las reflexiones se trabajan en el plano euclidiano,

utilizando instrumentos como la regla y el comps, o

procesadores geomtricos.

Otro ejercicio que resulta desafiante para los estudian-

tes es trabajar con los procesos inversos de las transfor-

maciones isomtricas. Es decir, se les entrega algunas

figuras trasladadas, rotadas y reflejadas y se les pide

que deduzcan los vectores, puntos, ngulos y ejes desimetra respecto de los que se realizaron las transfor-

maciones en cuestin. Se sugiere disear actividades

que posibiliten el trabajo en equipo o en parejas.

Los teselados permiten aplicar transformaciones isomtri-

cas y resulta interesante establecer las conexiones entre

Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT

Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemticos

Muestra un mtodo para realizar las transformaciones isomtricas

Persevera en la realizacin de teselaciones

Termina las tareas iniciadas, relativas a los temas tratados

Desarrolla tenacidad frente a obstculos o dudas que se les presenten en problemas propuestos

Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos

Participa activamente en actividades grupales Es responsable en la tarea asignada

Toma iniciativa en actividades de carcter grupal

Propone alternativas de solucin a problemas matemticos en actividades grupales


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Eempos eAciviaes

AE 01Caraceriar ransformaciones

isomtricas de guras planas

y reconoceras en iversas

siuaciones y conexos.

AE 02Reconocer agunas propiea-

es e as ransformaciones

isomtricas.

1Caracterizan traslaciones de figuras en el plano y las reconocen en diver-

sas situaciones. Al respecto:

caracterizan vectores en el plano

caracterizan traslaciones en el plano, en trminos de los vectores res-

pecto de los cuales ellas se realizan

reconocen traslaciones de figuras en contextos diversos; por ejemplo,en el arte

2Caracterizan reflexiones de figuras en el plano y las reconocen en contex-

tos diversos. Al respecto:

caracterizan los ejes de simetra

comprenden que las reflexiones de figuras del plano se realizan res-

pecto de ejes de simetra

reconocen reflexiones de figuras del plano en contextos diversos; por

ejemplo, en el mundo de los insectos

3Caracterizan rotaciones de figuras en el plano y las reconocen en diversos

contextos. Al respecto:

comprenden que ellas se realizan respecto de un punto y en un

ngulo dado

reconocen rotaciones de figuras en contextos diversos; por ejemplo,

en fsica

4Reconocen transformaciones isomtricas en contextos diversos; por

ejemplo, en diferentes teselaciones de M. C. Escher (www.mcescher.com).

(Artes Plsticas)

1Reconocen propiedades de la traslacin.

! Observaciones al docente: El docente p

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8° básico - matemáticas - 2011