A Julio 2015 79 pp. 41-52 · Cce iage f de i ea e chaaceic f he fc students entering the university have interiorized a set of concept images that can cause misconceptions that interfere

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Artículo recibido en Suma en mayo de 2014 y aceptado en enero de 2015

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Los estudiantes que ingresan en la universidad haninteriorizado una serie de esquemas conceptualesque pueden ocasionar errores de concepto queinterfieren con el adecuado aprendizaje de nuevosconocimientos. Las enseñanzas que reciben a lo largode los cursos previos a la universidad y los libros queutilizan, tienen una gran influencia en la formaciónde esos esquemas. En este artículo se comparan loscontenidos de los libros de bachillerato con los textosuniversitarios, en relación con los esquemasconceptuales que se han detectado acerca de losextremos relativos, concavidad y puntos de inflexión.también se dan propuestas para facilitar larepresentación gráfica de funciones.

Palabras clave: Esquema conceptual, Puntosextremos, concavidad, convexidad, Puntos deinflexión, Multiplicidad.

Concept images of students in relation to some

characteristics of the functions

students entering the university have interiorized aset of concept images that can causemisconceptions that interfere with proper learningnew knowledge. the lessons imparted throughoutthe pre-college and books that use, have a greatinfluence on the formation of these conceptimages. In this paper, the content of school bookswith college texts are compared in relation to theconcept images about local extremes, concavity andinflection points. there are also proposals tofacilitate the graphical representation of functions.

Key words: concept image, Extreme points,concavity, convexity, Inflection points, Multiplicity.

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a comprensión y el aprendizaje del cálculo en loscursos de la enseñanza media ocasiona muchas

dificultades para los estudiantes, y es un trabajo ar-duo para los profesores. Una parte destacada de lasinvestigaciones en didáctica de las Matemáticas seinscribe en la denominada teoría constructivista,que sostiene que el conocimiento matemático esreconstruido por cada individuo y es una manifes-tación de sus experiencias personales que provienentanto de su mundo cotidiano como de la experienciaescolar (Wheatley (1991)).

el aprendizaje matemático es un proceso construc-tivo que requiere una actividad cognitiva individualy que un profesor no puede controlar como si setratase de un fenómeno físico. esto contrasta conla idea de que un estudiante es un receptor pasivode conocimientos y que los errores de conceptopueden suprimirse con una explicación clara y sinriesgo de que un conocimiento matemático llegue aser modificado mientras es transmitido (Moreno-armella y Waldeg (1993)). es necesario que el pro-fesor conozca las ideas previas de los alumnos yprovoque en ellos una reestructuración de las mis-mas, que incluso puede causar un conflicto cognitivoentre lo que saben y las nuevas ideas que se inculcan,de manera que puedan ir construyendo nuevos es-

Esquemas conceptuales

de los estudiantes

en relación con algunas

características

de las funciones Félix Martínez de la rosa

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pp. 41-52

S79-de la Rosa_Maquetación 1 24/8/15 22:16 Página 41

FéLIx MArtínEz dE LA rosA

quemas conceptuales que les permitan evolucionaren su comprensión de los conceptos.

Con referencia a las ideas constructivistas sobre lacreación de conocimientos matemáticos, el término«esquema conceptual» (concept image) (tall y Vinner,(1981)) se utiliza para describir la estructura cognitivacompleta (incluyendo todas las imágenes mentales,propiedades y procesos relacionados) que un indi-viduo asocia a un concepto. se construye a lo largode los años, mediante experiencias de todo tipo,cambiando cuando el individuo se encuentra connuevos estímulos y hechos.

Cuando se propone a un estudiante una tarea en re-lación con un concepto matemático el profesorpuede suponer que la definición es activada; sin em-bargo, esa no es la situación que se daen la práctica: lo más frecuente es queel estudiante ignore la definición y res-ponda de acuerdo a alguna parte desu «esquema conceptual» (una imagen,una fórmula, etc.) la cual no es nece-sariamente representativa de toda suestructura cognitiva asociada al concepto. a vecesesos esquemas contienen ideas imprecisas o equivo-cadas que dan lugar a errores de concepto. estosdistorsionan el proceso de enseñanza y aprendizaje,e impiden la asimilación correcta de los nuevos con-ceptos que se edifican sobre los antiguos. en la lite-ratura se ofrecen experiencias, (Bezuindenhout,(1996), Hähkiöniemi (2006) o sierpinska (1992)) quemuestran que los estudiantes pueden llegar a adquirirhabilidades para resolver problemas, aunque tenganideas equivocadas y errores de concepto.

los textos de Matemáticas son básicos para la en-señanza. en la eso y el bachillerato, los estudiantesdisponen de textos recomendados por el centro ylos utilizan para el estudio de sus asignaturas, y losprofesores se basan en ellos para la preparación desus clases. Por esto, sus contenidos son los que elprofesor suele transmitir a los estudiantes, y su in-fluencia en la formación de los esquemas concep-tuales es muy importante. analizar la forma en quelos textos introducen los conceptos permite obser-var ciertas carencias que después se reflejan en es-quemas inadecuados.

Por ejemplo en Kajander y lovric (2009)se analiza la forma en que los libros detexto introducen la recta tangente: el em-pleo de una terminología coloquial, la mo-tivación a través de imágenes inadecuadas,la excesiva simplificación o la omisión decasos especiales, propicia que los estu-diantes formen esquemas conceptualeserróneos. sobre los que presentan los es-tudiantes que ingresan en la Universidad,en Martínez y sáez (2014) se analizanaquellos que tienen que ver con los siste-mas de ecuaciones y su relación con laforma en que se exponen en los textos debachillerato. en rivera y Ponce (2012) seanalizan las gráficas que se utilizan como

modelos en los textos deCálculo para visualizar losextremos de una función ylos criterios para obtener-los. Cuando los estudiantesempiezan a estudiar las de-rivadas y sus aplicaciones

a las funciones, les falta madurez paracomprender las pruebas formales. Poresto en la enseñanza media se debe apos-tar por gráficas que estén diseñadas paravisualizar e ilustrar claramente las ideasque se desean transmitir. Pero se corre elriesgo de que una excesiva simplificaciónpueda ocasionar esquemas conceptualesdefectuosos que lastren el aprendizaje dela materia.

en relación con los extremos relativos, laconcavidad y convexidad, y los puntos deinflexión, en este artículo se muestran losesquemas conceptuales que se han detec-tado en los estudiantes que ingresan en laUniversidad, los errores de concepto aque dan lugar, y cómo se pueden subsanar.se analiza la influencia que tienen los tex-tos de bachillerato en la formación deesos esquemas, mostrando la forma en laque cuatro libros de conocidas editoriales(anaya, editex, Guadiel y santillana) in-troducen esos conceptos, comparándola

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Lo más frecuente es que elestudiante ignore la definición

y responda de acuerdo aalguna parte de su «esquema

conceptual»


EsquEMAs concEPtuALEs dE Los EstudIAntEs En rELAcIón con ALgunAs cArActErístIcAs dE LAs FuncIonEs

con la manera en que lo hacen los librosde Cálculo universitario.

los esquemas conceptuales que se des-criben acerca de la localización de extre-mos relativos y puntos de inflexión, sebasan en la anulación de una derivada y laevaluación en la siguiente de los puntosobtenidos. Como consecuencia, se olvidanotras técnicas destacadas que en muchoscasos son más útiles y requieren menoscálculos. aquí se propone aprovechar lamultiplicidad de las raíces para esbozarlas gráficas de funciones polinómicas, yconfeccionar tablas de signos de otras mu-chas con un número limitado de opera-ciones, lo que previene la aparición deerrores de tipo operativo.

Extremos relativos

Un extremo relativo de una función es unpunto donde, en un entorno, la funciónalcanza el mayor o menor valor. esta ideaestá incorporada al esquema conceptualcon el que los alumnos ingresan en la Uni-versidad: imaginan un lugar en el que lagráfica presenta una ligera elevación o de-presión.

en tres de los libros de segundo de ba-chillerato que se han consultado para ha-cer este artículo (González y otros, (2009),289, Colera y oliveira (2009), 284 y Bioscay otros (2003), 155), el concepto de ex-tremo se define como se ha expresadoantes mientras que en escoredo y otros(2009), 253, se dice que un máximo rela-tivo se produce en un punto donde la fun-ción pasa de creciente a decreciente (mí-nimo en caso contrario).

en ninguno de estos libros se ofrece laimagen de una función que alcance unmáximo o mínimo en un punto donde noes derivable: el extremo siempre se alcanzaen un punto donde la tangente a la gráfica

es horizontal, y esto causa en los estudiantes unaidea falsa del concepto.

en los textos universitarios de Cálculo, el tema sedesarrolla de forma unánime. se explica que puedehaber extremos en puntos donde la función escontinua pero no derivable, y en el caso de fun-ciones derivables todos destacan el criterio de laprimera derivada (larson y otros (1999), 196), (ed-wards y Penney (1996), 210) o (stewart (1994),201):

Criterio de la primera derivada: sea f una función continuaen c y derivable en un intervalo abierto I que contiene ac, salvo quizás en c.

1) si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces ftiene un máximo local en c.2) si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces ftiene un mínimo local en c.3) si f’(x) tiene el mismo signo a la izquierda y a la derechade c, entonces f no tiene extremo en c.

este resultado identifica de forma inequívoca alos extremos relativos y, junto con la descompo-sición en factores, es especialmente útil para lasfunciones polinómicas, racionales, exponencialesy logarítmicas, que se estudian con mucho detalleen el bachillerato. Para el caso de problemas enlos que el análisis del signo sea complicado, en uncapítulo posterior, se explica el criterio de la se-gunda derivada, que no es tan efectivo como elanterior al no ser concluyente si la derivada se-gunda vale cero (larson y otros (1999), 219), (ed-wards y Penney (1996), 230) o (stewart (1994),207):

Criterio de la segunda derivada: sea f una función deriva-ble en un intervalo abierto que contiene a c y tal quef’(c) = 0.1) si f’’(c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en c.2) si f’’(c) < 0, entonces f tiene un máximo local en c.

la forma unificada en la que el tema se expone enestos libros no tiene nada que ver con lo que ocurreen los libros de bachillerato.

en Biosca y otros (2003), 155, la primera opciónes el criterio de la segunda derivada. dos páginasdespués y dentro de un ejemplo donde se analizael crecimiento de una función, se dice: «observaque el estudio de los intervalos de monotonía deuna función nos permite determinar también sus

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extremos locales». es decir, el criterio de la primeraderivada se da como una nota en un ejemplo.

en escoredo y otros (2009), 255, se da el criteriode la primera derivada, y se aplica a una funciónpolinómica para la que se construye una tabla designos de su derivada. en la siguiente página, seformula el criterio de la segunda derivada en undestacado, y se aplica a una función racional: parecededucirse que para funciones no polinómicas debeaplicarse este segundo criterio.

en González y otros (2009), 289, se dice que ladeterminación de extremos relativos es muy sen-cillo para funciones dos veces derivable, y paraello, se recurre directamente el criterio de la se-gunda derivada.

en Colera y oliveira (2009), 285, se enuncia el cri-terio de la primera derivada, y para conocer el cam-bio de signo de la derivada cerca de un punto crí-tico se apunta que: «en la práctica esto puedehacerse obteniendo los valores de la función enpuntos muy próximos al estudiado». esto se aplicaa la función f (x) = 3x5 – 5x3. su derivada se anulaen –1, 0, 1, y sus características se averiguan cal-culando el signo de la derivada en los puntos –1,01y –0,99; –0,01 y 0,01; 0,99 y 1,01. Pero en vez delsigno (para lo cual la descomposición en factoressería muy útil), se obtiene el valor de la derivadaen cada punto: esto sólo puede hacerse usandouna calculadora y después de tediosos cálculos. esevidente que aplicar el criterio de la segunda deri-vada (que se da dos páginas después) es muchomás fácil.

en este recorrido por algunos textos de bachilleratose observa que la primera opción no es siempre elcriterio de la primera derivada. Parece que resultamás cómodo anular la primera derivada, circunstanciaque coincide con la imagen de que los extremos re-lativos se localizan en los puntos donde la pendientede la tangente a la gráfica es cero. Por otro lado, pa-rece menos complicado comprobar el signo de lasegunda (ya se cuenta con que los problemas nosean tan raros como para que esta se anule o noexista), que confeccionar una tabla para comprobarlos cambios de signo de la función derivada. ade-

el esquema 1 no es concluyente en loscasos en los que la segunda derivada escero en alguno de los puntos del paso 1.Pero además da lugar a dos errores deconcepto:

1. los estudiantes no contemplan que losextremos relativos pueden localizarseen puntos donde la función no sea de-rivable.

2. los estudiantes pueden llegar a creerque es necesario la existencia de la se-gunda derivada en un punto para quepueda haber un extremo relativo.

la visualización de la figura 1 es uno delos muchos ejemplos que convencen a losestudiantes de que hay funciones que al-canzan un extremo relativo en un puntodonde no hay derivabilidad (las tangentesa derecha e izquierda en a no coinciden).Por otro lado funciones como las de lasfiguras 2 y 3,

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Paso 1. obtener los puntos que anulan la primera deri-vada de una función.

Paso 2. si la segunda derivada en ese punto es positivahay un mínimo, y si es negativa hay un máximo.

Esquema conceptual 1: obtenciónde extremos relativos

=f x x( ) (figura 2)3 2

= ≠ =g x xx

x g( ) sen 1 , si 0, (0) 0

(figura 3)

2 2

permiten subsanar el segundo error deconcepto, ya que ambas tienen un mínimoen el origen y es sencillo comprobar queen ese punto no existe la segunda deri-vada.

más, en los problemas que consisten enoptimizar una función que se describe enun enunciado, todos los textos recurren alcriterio de la segunda derivada. teniendoen cuenta todo esto, los estudiantes con-ciben el siguiente esquema mental:



Concavidad y convexidad

el concepto de función convexa es el deque la región del plano situado por en-cima de su gráfica lo sea: una función fes convexa (figura 4) en un intervalo I sipara cada a, bŒ I el segmento que unelos puntos P(a, f(a)), Q(b, f(b))queda porencima de la gráfica (spivak (1986), 280)(cóncava si ese segmento queda por de-bajo).

Hay una forma equivalente de expresar loanterior (rudin (1976), 101, o apostol,(1967), 122): una función f es convexa enun intervalo I si para cada a, bŒ I y cada

tŒ (0, 1) se verifica que f(ta+(1– b)t)< tf(a)+(1– t)f(b).Cóncava para la desigualdad contraria.

Para evitar equívocos en la definición y ayudar a vi-sualizar la forma de la gráfica, es habitual el empleodel término cóncava hacia arriba para referirse a laconvexidad, y cóncava hacia abajo para la concavi-dad. así aparece en todos los libros de Cálculo uni-versitarios, donde la motivación inicial es siemprela comparación entre la posición de la gráfica y dela tangente (figura 5).

aunque el dibujo que motiva los conceptos es elmismo, se han encontrado dos definiciones distintas.en stewart (1994), 204, edwards y Penney (1996),

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a

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Función convexa

P

Q

Figura 4

Figura 5

aFunción cóncava hacia arriba en a

Función cóncava hacia abajo en aa



232, swokowsky (1988), 184, la relación entre tan-gente y gráfica da lugar a la siguiente definición:

una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo I sila gráfica de f se encuentra arriba de todas sus tangentesen I. En el caso contrario se dice cóncava hacia abajo.

Mientras que en larson y otros (1999), 205, thomasy Finney (1998), 211, y stein y Barcellos (1995),197, la definición destaca el comportamiento de lapendiente:

una función f es cóncava hacia arriba en un intervalodonde f’ sea creciente.

lo que sí está unificado en todos estos libros es latécnica que se da, tras la definición, para el estudiode la concavidad:

Criterio de concavidad: sea f una función cuya derivadasegunda existe en un intervalo abierto I.1) si f ’’(x) > 0 en cada x de I, la gráfica de f es cóncava haciaarriba.2) si f ’’(x) < 0 en cada x de I, la gráfica de f es cóncava haciaabajo.

en los libros de texto de bachillerato analizadossólo en González y otros (2009), 292, se empleanlas expresiones «cóncava hacia las y positivas o cón-cava hacia arriba» y «cóncava hacia las y negativas ocóncava hacia abajo», que se apoya en la figura 5.en todos los demás se emplean las palabras conve-xidad y concavidad, y en todos hay unanimidad: es-tos conceptos se definen en sentido contrario res-pecto de las definiciones clásicas. Una pista de lacausa que lleva a este cambio puede verse en Coleray oliveira (2009), 286, donde se presenta el dibujode la figura 6.

la explicación que se da es la siguiente: «Mirándoladesde arriba ¿no es razonable que llamemos cónca-vos a los tramos BC y DE y convexos a los tramosAB y CD?».

Para definir los conceptos, en Colera yoliveira (2009), 286, Biosca y otros (2003),p.158, se opta por la comparación entrela posición de la gráfica y de la tangenteen un determinado punto (figura 7), mien-tras que en escoredo y otros (2009), 257,la definición se basa en el signo de la de-rivada segunda (convexas son las funcio-nes f tales que f ’’<0).

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A B

C

D

E

Figura 6

a Función cóncava en a

a

Figura 7

a

Función convexa en a

a

el esquema conceptual que los estudiantesse han creado para recordar estos dos con-ceptos refleja la forma en que son expues-tos en los libros de bachillerato:

una función cóncava es una función que sonríe.

una función convexa es una función triste.

Esquema conceptual 2: concavidad y convexidad

la manera de averiguar los intervalos deconcavidad y convexidad en los libros debachillerato, se basa en el análisis del signode la derivada segunda y en la aplicacióndel criterio de concavidad. el problemaes que debido al esquema 2, el resultado



que se obtiene está impregnado de unerror de concepto básico:

Los estudiantes ingresan en la universidadcon los conceptos de concavidad y convexi-dad intercambiados entre sí.

Para evitar la confusión que se produce alexplicarlos en la Universidad, habría queintroducir los conceptos de maneraopuesta, o emplear las expresiones «con-cavidad hacia arriba o hacia abajo» con laque se consigue una adecuada visualiza-ción de los mismos.

Puntos de inflexión

el concepto de punto de inflexión tieneuna relación directa con los de concavidady convexidad. su definición es una de lascuestiones donde se ha encontrado mayordisenso entre los libros de Cálculo Uni-versitario. aunque la idea básica es lamisma (el cambio de concavidad), no hayunanimidad acerca de las característicasque debe presentar una función en unpunto, para que este pueda ser conside-rado de inflexión.

los hay que sólo exigen la continuidad. Porejemplo en stewart (1994) 206, edwardsy Penney (1996), 233, y stein y Barcellos(1995), 198, se da la definición:

un punto a donde f es continua es un puntode inflexión de f si a un lado y otro de a cam-bia el tipo de concavidad.

también en apostol (1967), 191, y swo-kowsky (1988), 185, se requiere sólo lacontinuidad (en el segundo se explica queen un «pico» de una gráfica puede haberun punto de inflexión) aunque es el cam-bio de signo de la derivada segunda lo quese utiliza en la definición:

Los puntos de una gráfica donde la derivadasegunda cambia de signo se llaman puntosde inflexión.

los hay que exigen la derivabilidad. Por ejemplo en(larson y otros, 1999, p. 208) y (thomas y Finney,1998, p. 211), se da la definición:

un punto donde la gráfica de f tiene una recta tangente ydonde cambia la concavidad se llama punto de inflexiónde f.

también en spivak (1986), 291, se requiere la deri-vabilidad aunque la definición se basa en el com-portamiento particular de la tangente en esos pun-tos:

si la tangente a la gráfica de f en (a, f(a)) cruza la gráfica,a se denomina punto de inflexión de f.

en cuanto a los libros de texto de bachillerato, enescoredo y otros (2009), 258, y González y otros,(2009), 292, la definición se basa en el cambio deconcavidad, mientras que en Colera y oliveira(2009), 286, y en Biosca y otros (2003), 159, lospuntos de inflexión se definen como aquellos dondela tangente atraviesa a la gráfica.

en todos estos libros parece darse a entender quela función debe ser derivable en un punto para queeste pueda ser de inflexión. no obstante, los estu-diantes reconocen visualmente estos puntos en unagráfica, y lo hacen teniendo en cuenta sólo la conti-nuidad.

la técnica que, en un principio, se emplea tantoen los textos de bachillerato como en los univer-sitarios, para localizar los puntos de inflexión esla de buscar los lugares donde se produce un cam-bio de signo de la derivada segunda. sin embargo,los textos de bachillerato no dan ahí por concluidala cuestión. en todos (González y otros (2009),293, escoredo y otros (2009), 259, Colera y oli-veira (2009), 287, y Biosca y otros (2003), 159), secomplementa el tema con una regla basada en laderivada tercera, que a los estudiantes les resultafácil de recordar, y que incorporan a sus esquemasconceptuales:

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Paso 1. obtener los puntos que anulan la segunda derivada de unafunción.

Paso 2. Los que no anulan la tercera derivada son los puntos de inflexión.

Esquema conceptual 3: obtención de puntos de inflexión



el esquema 3, que no es concluyente en los casosen que la derivada tercera es cero en alguno de lospuntos del paso 1, proporciona un criterio que nose puede justificar en el bachillerato, porque se sus-tenta en una técnica que no se incluye en los tema-rios: el desarrollo de taylor de una función. Porotro lado, se debe calcular la derivada tercera lo quea menudo supone realizar cálculos complicados, yprovoca una cierta confusión con la idea visual quetenían acerca de los puntos de inflexión. ademáspropicia un error de concepto claro:

Los estudiantes pueden llegar a creer que es necesarioque la segunda derivada en un punto se anule para queeste sea de inflexión.

ejemplos sencillos de funciones como las de las fi-guras 8 y 9, con punto de inflexión en el origen apesar de no tener segunda derivada en él, hacen po-sible corregir ese error de concepto:

Propuestas para la mejora

de los esquemas conceptuales

en las secciones anteriores se han descritotres esquemas conceptuales que los estu-diantes han adquirido en el bachillerato yque se han detectado al explicar esos te-mas en la Universidad.

en relación con los conceptos de conca-vidad y convexidad expuestos en el es-quema 2, sería conveniente definirlos bien.la idea que se explica en bachillerato so-bre la concavidad hace referencia a la ima-gen de un hueco o de una depresión, quechoca con el concepto matemático con elque tendrán que trabajar en los años pos-teriores. en este sentido, las expresionesde «concavidad hacia arriba o hacia abajo»que se exponen en los libros de Cálculo,ayudan a visualizar la forma de una curvay a evitar confusiones a la hora de deno-minarla.

en cuanto a los esquemas 1 y 3, ambosconsisten en una receta formada por dospasos (anular una derivada para obtenerun punto en el cual se evaluará la siguientederivada) que pueden hacer perder la re-ferencia visual de las ideas matemáticas ydan pie a algunos errores de concepto ex-puestos anteriormente. en los libros deCálculo se insiste en la utilización del cri-terio de la primera derivada como primeraopción en el caso de los extremos relati-vos, y en el análisis del cambio del tipo deconcavidad en el caso de los puntos deinflexión. aquí se propone fomentar estasdos prácticas de forma decidida, como sehace en los textos universitarios, y no deuna manera dubitativa como se hace enlos de bachillerato.

Cuando a los estudiantes se les adiestraen el uso de las tablas de signos de unafunción y de sus derivadas, se suele uti-lizar el recurso de la descomposición enfactores como herramienta para hallar

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=<

− ≥

g xx x

x x( )

3 si 0

34

si 0(figura 9)

2

2

= ⋅ = ≥

− <

f x x xx x

x x( )

si 0

si 0(figura 8)

2

2

Figura 9

Figura 8



esos signos, pero este cálculo puede sercomplicado si las raíces están cercanasentre sí. Con el objetivo de facilitar loanterior existe una técnica basada en lamultiplicidad de las raíces que, al com-plementarla con la descomposición, evitacualquier tipo de operaciones al confec-cionar las tablas de signos y que, además,permite esbozar sin esfuerzo las gráficasde funciones polinómicas. sin embargo,en ningún texto, ni de bachillerato niuniversitario, se le presta atención. enla siguiente sección se detalla esta téc-nica.

La multiplicidad de las raíces

y las funciones polinómicas

en relación con las funciones polinómi-cas, el análisis de la multiplicidad de susraíces es una técnica en la que se insistepoco, a pesar de que esta revela algunascaracterísticas importantes en relacióncon los ejes coordenados. a partir de lamultiplicidad se puede explorar de unamanera visual y muy didáctica, el tipo decontacto que se produce con el eje x, ob-servar que este aumenta a medida que lohace el grado de multiplicidad y adelan-tarse al concepto de derivada para hacernotar que a partir del grado dos se pro-duce la tangencia entre la gráfica y el ejede abcisas.

la multiplicidad de las raíces de una fun-ción polinómica es también una herra-mienta muy útil para averiguar el signo dela función a ambos lados de una raíz. esclaro que si una función f es continua yno se anula en un intervalo I entonces elTeorema de los Valores Intermedios aseguraque la función no cambia de signo en I.además, si a es una raíz de multiplicidadm de una función continua f(x), entoncesesta se puede descomponer en la forma

f (x)= g(x)(x– a)m, donde g(x) es continua y g(a)≠0.de la continuidad se deduce que g(x) no se anula, ypor tanto no cambia de signo, en algún entorno Ide a.

supongamos que g(a) > 0. la descomposición def(x) prueba que f(x) es positiva en I si m es par, perosi m es impar el signo de f(x) cambia de negativa apositiva según que x sea menor o mayor que a.

Para el caso g(a)<0, entonces la descomposiciónde f(x) prueba que f(x) es negativa en I si m es par,pero si m es impar el signo de f(x) cambia de positivaa negativa según que x sea menor o mayor que a.este resultado se resume en el siguiente teorema:

Teorema 1. si f(x) es una función continua y a es una raízde f(x) con multiplicidad m, entonces existe un entornode a en el cual:— si m es par, la función f(x) mantiene el signo a ambos

lados de a.— si m es impar, la función f(x) cambia de signo cuando x

pasa de un lado a otro de a.

Para el caso de las funciones polinómicas el teorema1 facilita enormemente las representaciones gráficasa través de los siguientes tres pasos:

1. si a es una raíz de multiplicidad par de un poli-nomio, entonces su gráfica y el eje x son tan-gentes en (a, 0), y el polinomio no cambia designo al pasar por el punto (rebota en él) (fi-gura10).

2. si a es una raíz de multiplicidad impar, mayorque uno, de un polinomio, entonces la gráfica

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Figura 10



del polinomio y el eje x son tangentes en (a,0),y el polinomio cambia de signo al pasar por elpunto (en él atraviesa al eje x) (figura 11).

basado en unir los puntos de una tabla devalores para dibujar la gráfica de una fun-ción: es un recurso que se da en los librosde la eso y del bachillerato, cuya aplica-ción complica los cálculos y proporcionaresultados erróneos, pero que está muyarraigado en los estudiantes que ingresanen la Universidad.

La multiplicidad de las raíces

y las tablas de signos

además de para las funciones polinómi-cas, el teorema 1es muy útil como herra-mienta para calcular las tablas de signosde otros tipos de funciones y de sus deri-vadas.

Por ejemplo en el caso de las funcionesracionales, (donde p(x) y q(x) son poli-nomios), sólo hay que observar que losintervalos de positividad o negatividadson los mismos que los de la función po-linómica. Por tanto para calcular sus tablasde signos basta tomar las raíces del nu-merador y del denominador, obtener sumultiplicidad y mediante el teorema 1 ave-riguar el signo en cada intervalo determi-nado por ellas.

aplicando esta técnica para la derivadaprimera y segunda se confeccionan, deuna manera unificada, las tablas de signos

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Figura 11

los dos pasos anteriores permiten saber la formaen la que la gráfica pasa por las raíces del polinomio.Con el siguiente, la gráfica de un polinomio cuyasraíces se conozcan, se puede terminar de esbozarfácilmente:

3. si el coeficiente de mayor grado es positivo, lagráfica se comienza a dibujar desde la parte su-perior derecha del primer cuadrante; si es nega-tivo se hace desde la parte inferior derecha delcuarto cuadrante.

Como complemento a la descomposición en facto-res estos tres pasos permiten enseñar a esbozar sindificultad, en los cursos iniciales de la eso y deforma previa al concepto de derivada, gráficas defunciones polinómicas de un grado alto. Por ejem-plo, en la figura 12 está la gráfica de

p(x)= (x+2)2(x+1)3x(x– 1)2(x– 2)3

Una última cuestión en referencia al esbozo de grá-ficas que debería inculcarse en los estudiantes esque estas no pueden hacerse manteniendo la escalaentre los ejes: la diferencia entre los valores de x ylos correspondientes de y lo hacen imposible.

si estas ideas se afianzan desde el primer momentoen que se enseñan los polinomios, se evitaría quelos estudiantes adquirieran el esquema conceptual

Figura 12



con las que hallar fácilmente los intervalosde crecimiento y los extremos relativos,los intervalos de concavidad y los puntosde inflexión, para el caso de las funcionesracionales y también de las exponencialesy logarítmicas.

además, los estudiantes encuentran mayorsentido a la descomposición en factores,aprecian mejor el significado y la utilidaddel concepto de multiplicidad, y se propiciala formación de esquemas conceptualesválidos para utilizarlos a lo largo de la esoy el bachillerato y, posteriormente, en elestudio de las funciones en la Universidad.

Resumen final y conclusiones

desde el punto de vista de un profesorde matemáticas en el primer curso de laUniversidad, resulta muy interesante co-nocer las ideas previas que los alumnostraen del bachillerato. estas ideas confor-man sus esquemas conceptuales, y de lavalidez de ellos depende que consigancaptar adecuadamente las nuevas ideasque se les inculcan. en este artículo semuestran los esquemas observados en re-lación con los extremos relativos, la con-cavidad y convexidad, y los puntos de in-flexión. se analiza cómo se originan, aqué errores de concepto dan lugar y cómose pueden subsanar.

en la formación de los esquemas con-ceptuales, es capital el papel que jueganlos textos de bachillerato, y por eso se hananalizado algunos de ellos y se ha realizadouna comparación con la forma de exponeresos temas en los textos de Cálculo uni-versitario.

los esquemas conceptuales que se des-criben acerca de la localización de extre-mos relativos y puntos de inflexión, sebasan en la anulación de una derivada y laevaluación en la siguiente de los puntos

obtenidos. Como consecuencia, los estudiantes pue-den olvidar las referencias visuales de esos conceptosy además dejan de usar otras técnicas que en muchoscasos son más útiles, requieren menos cálculos ypor tanto previenen la aparición de errores de tipooperativo. también se hace hincapié en la manerade concebir la concavidad y convexidad en los textosde bachillerato, opuesta a la de los textos universi-tarios, y en las distintas formas de definir los puntosde inflexión.

se exponen propuestas para mejorar los esquemasconceptuales detectados, y para ello se presenta unteorema que permite utilizar el concepto de la mul-tiplicidad para la representación gráfica directa delas funciones polinómicas. Para otros tipos de fun-ciones que se explican en el bachillerato, este teo-rema facilita obtener las tablas de signos con lasque hallar sus puntos notables con un limitado nú-mero de operaciones. es una técnica propicia parainculcar a los estudiantes desde el momento en quese enseñan los polinomios, y para seguir utilizándolaa lo largo de la eso y el bachillerato, como apoyoa la representación gráfica.

si los estudiantes ingresan en la universidad conuna serie de ideas erróneas o inadecuadas, la pro-fundización en la materia les resulta más difícil por-que además de aprender los conceptos nuevos de-ben modificar sus esquemas conceptuales previospara que estos no interfieran con aquellos. Perocambiar esos esquemas, muy interiorizados por suparte porque les han sido inculcados a lo largo delos cursos, es difícil ya que a los estudiantes lescuesta renunciar a prácticas tan arraigadas. Por eso,la mejor manera de solucionar esos problemas esprevenirlos revisando la forma en que se introducenciertos contenidos en la enseñanza media. en esteartículo se han propuesto algunos cambios que pue-den permitirles formar esquemas conceptuales só-lidos donde asentar los conocimientos que adquiri-rán posteriormente.

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A Julio 2015 79 pp. 41-52 · Cce iage f de i ea e chaaceic f he fc students entering the university have interiorized a set of concept images that can cause misconceptions that interfere