A. Pérez Sanz: Las ecuaciones de las flores

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Las ecuaciones de las flores

Antonio Prez Sanz

IES Salvador Dal, Madrid

Quiero empezar esta excursin audiovisual por el mundo de las curvas, por la historia de estos objetos matemticos, esta especie de viaje guiado, trayendo unas palabras de nuestro querido Miguel de Guzmn, dirigidas sobre todo a los profesores que hoy nos acompaan:

Existen constelaciones de hechos matemticos que se prestan para hacer de ellos una novela bien interesante. Me pregunto si el tiempo malgastado en muchos de nuestros rollos magistrales en los que tanto abundamos los profesores de matemticas de todos los niveles no podra invertirse con gran provecho en contar pausadamente alguna de estas historias apasionantes del pensamiento humano.

MATEMTICAS Y NATURALEZA

La historia de las curvas es uno de esos hechos matemticos que dan material para ms de una novela, aunque hoy slo construiremos un relato breve. Y para empezar quiero invocar la autoridad que sobre estos objetos matemticos nos aportan dos grandes genios:

El Universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemticas, siendo sus caracteres tringulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos slo se conseguir vagar por un oscuro laberinto.

Galileo Galilei

La mente humana, previa y libremente, tiene que construir formas antes de encontrarlas en las cosas.

Albert Einstein

Aunque en apariencia poco tiene que ver el conjunto de objetos naturales de la

foto 1, tan familiares por otra parte: una concha, un helecho, una flor, una trompa... con el conjunto de expresiones matemticas de la foto 2, a lo largo del texto veremos que la relacin es ms estrecha de lo que podamos imaginar.

Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2006

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NATURALEZANATURALEZA

Foto 1

Y... MATEMTICASY... MATEMTICAS

= keCr

Foto 2


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UN UNIVERSO LLENO DE CURVAS

A pesar de estar el universo fsico que nos rodea lleno de curvas, sin embargo en

nuestras aulas sucede algo muy extrao:

El mundo casi siempre es un PLANO, cartesiano adems. El espacio tridimensional slo llegar en 2. de bachillerato y nicamente para

los alumnos de ciencias Las lneas siempre son rectas, las figuras polgonos (regulares a ser posible) y los

cuerpos prismas, cilindros, pirmides o conos los ms improbables.

Coged un coche y salid de la ciudad y parad en una zona no habitada... buscad all una recta, una superficie plana, un polgono regular o uno de los slidos citados... realmente os va a resultar difcil encontrarlos. Porque en el mundo real...

Existen las rectas?, de verdad hay superficies totalmente planas?, el Universo es plano?, tiene ecuaciones la flor de la foto 3?

Foto 3

La Naturaleza es poco prdiga a la hora de mostrar rectas, planos y cuerpos regulares; sin embargo, nos ofrece un amplio muestrario de toda clase de curvas: crculos, espirales, elipses, parbolas, hiprbolas, catenarias, braquistcrona, cardiodes, cicloides, concoides... De todas ellas, con mayor o menor detalle, nos ocuparemos un poco ms adelante.

Pero como en toda buena novela, hay que empezar por el principio. Y en el

principio fueron los puntos, las rectas, los ngulos y los crculos La Geometra de los Elementos de Euclides. Es curioso que en los Elementos no aparezca ni una sola curva distinta de los crculos. Pero tambin en el principio, incluso antes de Euclides, haba dos


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problemas clsicos, que sorprendentemente tienen mucho que ver con esta historia de curvas:

La duplicacin del cubo; el mandato del orculo de Delos, para acabar con la peste en Atenas: construir en el templo de Apolo un altar semejante al existente pero que fuese el doble de grande El altar tena forma cbica.

La triseccin de un ngulo cualquiera utilizando slo regla y comps.

PLATN: LAS SOMBRAS EN LA CAVERNA

Aunque Platn es un heredero de las matemticas pitagricas, su concepcin filosfica global afectar durante muchos siglos al papel reservado a las matemticas en su relacin con la Naturaleza:

Las matemticas constituyen un universo de ideas independientes del mundo de los fenmenos.

Forman un lenguaje intermedio que permite a partir de lo sensible apuntar al mundo de las ideas.

Platn considera a las matemticas como ciencia liberal y desinteresada,

independiza las matemticas del pragmatismo emprico y de la utilidad inmediata, liberndola intelectualmente de instrumentos materiales, porque tienen la misin pedaggica de formar mentes bien hechas, cumpliendo con el fin propedutico de servir

de introduccin al estudio de la Filosofa (Platn).

El Timeo. El primer modelo cosmognico de carcter geomtrico.

La esfera y el crculo, las formas geomtricas perfectas, la armona de la lira, las matemticas y la msica de la mano en la primera victoria del orden sobre el caos. Platn, el famoso filsofo griego, fue ms all, llegando a afirmar que Dios, el creador del Universo, utiliza siempre procedimientos geomtricos. Convencido de la actuacin de Dios como un gemetra, Platn, en su dilogo Timeo, asocia cada principio elemental con uno de los poliedros regulares, los slidos platnicos: El fuego, el elemento ms ligero, es el tetraedro, formado por cuatro tringulos equilteros, el slido regular ms sencillo. El aire, el segundo elemento, se compone de ocho tringulos unidos entre s: el octaedro. El agua nacera de la unin de veinte tringulos equilteros. Sera el icosaedro. La Tierra, el elemento ms pesado, lo formara la reunin de seis cuadrados, un cubo. Y termina Platn diciendo: Puesto que todava haba una quinta composicin, el dios la utiliz para el Universo

cuando lo pint.

Esa quinta composicin es el dodecaedro, un slido regular formado por doce pentgonos. Cmo poder sustraerse a la increble belleza de un modelo geomtrico tan armonioso como suprema expresin del orden en el Universo?

Orden y caos: la bsqueda de un sueo. Serie Universo Matemtico, RTVE.

Platn, en efecto, es el autor de una de las primeras tentativas de buscar un

modelo geomtrico para explicar la estructura del Universo. Y si los pitagricos haban


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colocado en el principio de todo el nmero como principio de todo lo tangible, Platn va a colocar al tringulo y a los cinco slidos platnicos en el modelo cosmognico ms potico de la historia de la ciencia. Y dominndolo todo, la perfeccin de los crculos y las esferas. Todo lo dems, las formas imperfectas, slo sern las sombras proyectadas en las paredes de la caverna.

ARISTTELES: EL REINO DE LAS ESFERAS Y LOS CRCULOS

Para Aristteles, un poco ms realista, el objeto de las matemticas son las formas extradas de la Naturaleza, es la modelizacin de las regularidades empricas que se producen en la realidad. Esta visin va a dominar la historia de las matemticas hasta bien entrado el siglo XX.

Por su influencia y tras la aparicin de los Elementos de Euclides, los puntos, las rectas, los ngulos, los crculos y las esferas... las formas perfectas, los poliedros regulares van a constituirse en las armas casi exclusivas para interpretar la Naturaleza. Las formas imperfectas, las curvas extraas, los polgonos no regulares, los slidos distintos de los conos, los cilindros y las esferas... quedan expulsados del universo matemtico. Slo Arqumedes y algn otro contestatario se preocuparn de mirar con ojos matemticos esas otras formas que se rebelan contra Platn y Aristteles.

Aristteles situar la Tierra en el centro del Universo y el frente de batalla entre el orden y el caos en la esfera de la rbita lunar. Por encima de ella el mundo celeste, perfecto, inmutable y perpetuo, el reino del orden. Por debajo el mundo terrestre, constituido por los cuatro elementos, Tierra, Agua, Aire y Fuego, intercambindose entre s; un mundo imperfecto, cambiante e impredecible: el reino del caos. Pero algo viene a romper esa armona perfecta del mundo ideal por encima de la Luna. Los planetas conocidos describen rbitas errticas sobre el fondo de estrellas fijas. De hecho, el trmino planeta significa errtico o viajero. A veces, incluso parecen retroceder en sus rbitas.


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Foto 4

Cmo encajar estos hechos con un modelo geomtrico ideal? Aristteles recurre a un modelo fsico basado en esferas de ter en las que se mueven los planetas. Estas esferas se van acelerando y frenando unas con otras. El complejo mecanismo necesitara de 56 esferas distintas para poder explicar los movimientos aparentes de los planetas (foto 4).

Orden y caos: la bsqueda de un sueo. Serie Universo Matemtico, RTVE.

PTOLOMEO: CRCULOS Y MS CRCULOS

Por desgracia para la Ciencia este modelo, basado en la esfera y el crculo,

permanecer intocable durante dos mil aos. Los matemticos y astrnomos tendrn que crear autnticas filigranas matemticas para hacer encajar las observaciones del movimiento de los astros con el modelo aristotlico.

Y al frente de esta tarea monumental se coloca Claudio Ptolomeo en el siglo II d.C. Su obra Sntesis Matemtica pasar a la historia con el nombre de la traduccin rabe: El Almagesto, que significa el muy grande.

Para explicar el movimiento de los planetas respetando la idea de que slo se pueden mover en rbitas circulares Ptolomeo va a inventar un ingenioso modelo geomtrico: los epiciclos y los deferentes.

A cada planeta, incluidos el Sol y la Luna, les asigna un crculo imaginario llamado deferente. La Tierra est en interior de este crculo, aunque no necesariamente en el centro. El planeta girar en un nuevo crculo llamado epiciclo cuyo centro ser un punto del crculo deferente. A moverse el centro del epiciclo a lo largo de la deferente el planeta se acerca o se aleja de la Tierra, lo que explicaba a la perfeccin los cambios de brillo de un mismo planeta observados en distintos momentos del ao. Ptolomeo pensaba que en realidad los planetas no se movan as, pero su modelo geomtrico explicaba cabalmente lo que cualquier astrnomo vea en el cielo.


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Los astrnomos que vinieron tras l tomaron su modelo como un dogma y aplicaron penosos clculos matemticos para realizar tablas que predijesen la posicin de todos los planetas conocidos. Uno de las ms completas fueron las del rey castellano Alfonso X El Sabio, las famosas tablas alfonses. Su elaboracin era tan compleja que le hicieron exclamar al sensato rey Alfonso: Si el Seor Todopoderoso me hubiera consultado antes de embarcarse en la Creacin, le habra recomendado algo ms

simple. Aunque hoy nos parezca ingenuo el modelo geomtrico de Ptolomeo, desde un

punto de vista exclusivamente matemtico resulta de una riqueza increble. La idea de hacer rodar crculos sobre crculos nos abre las puertas a un sugerente mundo de curvas mecnicas generadas mediante el movimiento uniforme y nos introduce en un paraso de curvas. Astroides, cardiodes... y hasta elipses. S, aunque parezca increble, los epiciclos y deferentes de Ptolomeo pueden generar rbitas circulares y elpticas (foto 5).

Foto 5. Astroide. Animacin generada con Cabriweb.

La herencia aristotlico-ptolemaica ha llegado, aunque con ciertas modificaciones

impuestas por la tenacidad de los hechos en la Historia, hasta nuestras aulas actuales de matemticas; sobre todo en secundaria, donde un estudiante puede acabar el bachillerato sin conocer ms curvas que los crculos y las cnicas.

EL RENACIMIENTO

El modelo matemtico de Ptolomeo es demasiado complejo y poco til a la hora

de hacer predicciones a largo plazo. Coprnico pone en marcha un nuevo modelo matemtico que mejora las predicciones y, sobre todo, es ms sencillo a la hora de calcular. Coloca al Sol en el centro del sistema y hace girar a todos los planetas a su alrededor. No abandona las rbitas circulares ni los epiciclos, pero siembra el germen de


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un cambio de paradigma cientfico que llegar a la cumbre con Galileo: la experimentacin y la observacin de la realidad como criterio de validacin de la teora cientfica.

A finales del siglo XVI, un joven toscano va a hacer temblar los principios de la interpretacin del universo fsico, tanto por debajo como por encima de la frontera de la esfera lunar: Galileo Galilei.

En el mundo terrestre, intentando descubrir las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos. En una poca en que las disputas polticas se arreglaban con excesiva frecuencia a caonazos, nadie se haba parado a investigar cul era la trayectoria real de un proyectil. Galileo descubrir que cualquier bala de can describe un arco de parbola antes de impactar en el blanco. Pero tambin descubrir que todos los cuerpos caen al suelo con la misma aceleracin.

Galileo ser el fundador de una nueva ciencia, la cinemtica, e intentar explicar todos los movimientos mediante leyes matemticas. Los ejrcitos del orden matemtico sitan el frente de batalla contra el caos en la misma superficie terrestre.

Pero un extrao instrumento inventado por los holandeses va a hacer tambalear toda la doctrina oficial de la Iglesia basada en las ideas aristotlicas: el telescopio. Gracias a l, Galileo va a destrozar una visin del universo que haba prevalecido ms de dos mil aos: el mundo ms all de la Luna no es tan perfecto como deca Aristteles, la Luna no es una esfera perfecta sino que presenta crteres como la misma Tierra, Jpiter tiene satlites que orbitan a su alrededor... y hasta el Sol tiene manchas.

Le costara la vista y casi la vida, pero haba desterrado la vieja idea de que la Tierra era el centro del Universo. Y haba conseguido algo mucho ms importante: convertir la experimentacin en el motor fundamental de la ciencia. La Iglesia le conden, pero la Tierra se mueve....

EL MUNDO DE LAS CNICAS: MENECMO, APOLONIO, KEPLER

Kepler construir toda su teora y descubrir las leyes del movimiento de los planetas basndose en las precisas observaciones de Tycho Brahe. La batalla de Marte, la lucha de los clculos de Kepler contra las observaciones de Tycho, va a suponer la derrota del crculo aristotlico y la victoria de las cnicas de Menecmo y Apolonio. La primera de sus famosas leyes va a traer a la elipse al primer plano de la ciencia:

Primera Ley: Los planetas describen rbitas elpticas en uno de cuyos focos est el Sol.

Repasando las excentricidades de las rbitas de los planetas del sistema solar nos sigue pareciendo un milagro que Kepler saliese triunfador de esta batalla. La excentricidad de la rbita de Marte (foto 6), la mayor, tras la de Mercurio, de los planetas conocidos en la poca, no llega a una dcima.

Mercurio Venus Tierra Marte Jpiter Saturno Urano Neptuno Plutn

0,206 0,007 0,017 0,093 0,043 0,051 0,046 0,004 0,250 Ni el ojo del pintor ms experto distinguira una elipse con esa excentricidad de

una circunferencia. Pero Kepler era sobre todo tenaz y meticuloso. Las cnicas, esas atractivas curvas matemticas estudiadas por Menecmo y

Apolonio hace tantos siglos, van a constituir una imprescindible herramienta matemtica


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para explicar el mecanismo celeste... La eficacia de las matemticas en el primero de los momentos estelares de la Historia.

Los albores de estas curvas entroncan directamente con los dioses griegos, al

menos con Apolo. Segn la historia, aunque un poco adornada de leyenda, una mortfera peste asol Atenas all por el ao 430 a.C. Incluso Pericles perdi la vida. Los atenienses se dirigieron al orculo de Delos para preguntar qu tenan que hacer para terminar con la maldicin que amenazaba con asolar la ciudad. El orculo les dijo que para contentar a los dioses habran de duplicar el altar de Apolo, cuya forma era cbica. Nace as, entre la historia y la leyenda, uno de los tres problemas clsicos: la duplicacin del cubo.

Foto 6. rbita de Marte trazada con Winplot.

Menecmo es uno de los muchos que van a intentar resolver el problema: dado un

cubo de arista a, encontrar la arista de otro cuyo volumen sea el doble.

El primero en abordar la cuestin fue Hipcrates de Quos, quien redujo el problema al de intercalar dos medias geomtricas o proporcionales entre la magnitud que representa la arista del cubo primitivo y la correspondiente al doble de la misma:

.2

a x y

x y a= =


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Encontrar los valores de x e y equivale a resolver este sistema de ecuaciones

cuadrticas:

2

2

3 3

2

2 .

x a y

y a x

x a

= = =

Menecmo se dio cuenta de que, geomtricamente, el problema consiste en

encontrar el punto de corte de dos cnicas: de dos parbolas, como en el caso de arriba, o de una parbola y una hiprbola.

Foto 7

Las cnicas hacen su primera aparicin en la historia... para resolver el problema de la duplicacin del cubo! Por desgracia para Menecmo, encontrar el punto de corte de esas dos cnicas es un problema que no se puede resolver con regla y comps, como demostr en 1837 el francs L. Wantzel (foto 7).

En el Renacimiento, si la elipse es la curva de Kepler, la parbola ser la de Galileo, el padre de la cinemtica. Ser l quien descubra que cualquier proyectil lanzado al aire describe una trayectoria parablica. Dos cnicas para explicar los movimientos, tanto de los cuerpos ms prximos a nosotros, a la superficie terrestre, como los ms alejados en el cielo. Newton, con su ley de gravitacin universal y con la demostracin de que toda rbita de un objeto celeste es una de las tres cnicas, pondr la guinda en el pastel de las curvas de Apolonio.

Si Apolonio realiz un estudio exhaustivo de esta familia de curvas y Galileo, Kepler y Newton las colocaron en el centro de la explicacin de los movimientos celestes, un joven Blaise Pascal va a encontrar uno de los pocos resultados que se le pasaron por alto a Apolonio, en un famoso opsculo desaparecido titulado Sobre las cnicas.

Los puntos de interseccin de los pares de lados opuestos de un hexgono inscrito en una cnica estn en lnea recta (foto 8).


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Foto 8

El clculo diferencial permiti a Newton atacar el estudio y la clasificacin de otras curvas de grado mayor que dos. En su Enumeratio linearum tertti ordinis de 1676 nos describe hasta 72 curvas de tercer grado, aunque alguna se le escap.

NO TODOS SON FLORES: EL MUNDO MGICO DE LAS ESPIRALES

La espiral es un crculo espiritualizado. En la forma espiral, el crculo, desenrollado, devanado, ha dejado de ser vicioso... La vuelta sigue a la vuelta, y toda sntesis es la tesis de la nueva serie...

Vladimir Nabokov

Ninguna curva ha fascinado tanto al ser humano, desde los tiempos ms remotos, como la espiral. Su presencia en los objetos vivos, tanto animales como vegetales, tuvo que llamar la atencin de nuestros antepasados desde los albores de la humanidad.

No existe ninguna cultura que no la haya utilizado como elemento simblico, mgico o simplemente ornamental. La espiral ha acompaado al ser humano en todo tiempo y en todo lugar... salvo en las clases de matemticas de secundaria y de universidad.

Ante las innumerables manifestaciones naturales de las espirales, tanto de carcter orgnico como mecnico, estas curvas no podan dejar de llamar la atencin de los matemticos y ser objeto de su investigacin. Sin embargo, como su propia forma sugiere, son curvas esquivas. No son curvas geomtricas estticas como la circunferencia, las cnicas o las lnulas. Para construirlas se necesitan recursos mecnicos, algo que crece o que se mueve.

ARQUMEDES: LA ESPIRAL UNIFORME

Sin duda, al menos desde un punto de vista matemtico, la espiral ms simple es aquella en que el radio vara de forma proporcional al ngulo girado. Y a esta es a la que dedic su atencin Arqumedes: a la espiral uniforme, que desde entonces lleva su nombre, la espiral arquimediana.

De Arqumedes se conocen dos libros sobre la geometra plana, uno dedicado a la circunferencia, De la medida del crculo, donde nos proporciona el salto a la fama del nmero y una de sus aproximaciones ms usadas hasta nuestros das; y otro dedicado a la espiral uniforme, De las espirales, un libro complicado y de lectura difcil donde Arqumedes hace un profundo estudio exhaustivo de la espiral uniforme.


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Foto 9

En esta obra Arqumedes define, quizs por primera vez en la historia, una curva

mecnica, una curva basada en el movimiento:

Imaginaos una lnea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo, mantenindose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la lnea con velocidad lineal constante: ese punto describir una espiral (foto 9).

Foto 10

El inters del sabio de Siracusa por esta curva estaba motivado por un problema muy alejado del mundo de las curvas: la triseccin del ngulo. Arqumedes, gracias a la espiral uniforme, descubri un mtodo para dividir un ngulo en tres partes iguales, y en

general en n partes iguales.

Basta hacer coincidir el vrtice del ngulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto de corte de la espiral con el segundo lado del ngulo en tres partes iguales y trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral.

Si unimos el origen con esos puntos de corte tendremos los tres ngulos que dividen al original en tres partes iguales (foto 10).


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Por desgracia para las matemticas, la espiral uniforme no se puede dibujar con regla y comps.

Sobre las espirales es una obra cargada de sorpresas, que colocan a Arqumedes en la cima de la historia de las matemticas. En ella demuestra propiedades de las reas de las diferentes espiras, tan sorprendentes, pensando que faltan casi dos mil aos para que se invente el clculo diferencial, como estas:

El rea barrida por el radio de la espiral en su primera revolucin es la tercera parte del rea del crculo cuyo radio es el radio final de esta revolucin.

El rea barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el rea de la primera vuelta.

El rea barrida en la segunda revolucin est en razn 7/12 con el crculo cuyo radio es la posicin final del radio vector.

Decididamente, Arqumedes era un genio, uno de los tres grandes de las

matemticas de todos los tiempos; y sin embargo nuestros jvenes slo le recordarn al acabar sus aos escolares como el sabio de la baera, el de Eureka!, o, a lo sumo, como el descubridor de las leyes de la palanca... Injusticias de los planes de estudio de matemticas.

LA CUADRATRIZ DE DINSTRATO

Foto 11. La cuadratriz de Dinstrato.

Aunque hemos dicho que Arqumedes es el primero que define con precisin una curva mecnica, basada en el movimiento de un punto, esto no es del todo cierto. Ni tampoco fue el primero en utilizar curvas extraas para resolver uno de los tres problemas clsicos. En ambos casos se le adelantaron dos compatriotas, Hipias de Elis y sobre todo, all por el ao 390 a.C., un hermano de Menecmo, el padre de las cnicas, llamado Dinstrato, que inventaron una extraa curva generada por el movimiento uniforme de dos rectas, y que tambin serva para trisecar el ngulo. Desde entonces se la conoce como cuadratriz o trisectriz de Dinstrato (foto 11).

2

sen

tr

t=


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La curva se obtiene mediante los puntos de interseccin de dos rectas en

movimiento, AB y BG. La primera, AB, gira con velocidad angular uniforme sobre el

punto A hasta llegar a AD y la segunda, BG, se desplaza horizontalmente, tambin con

velocidad uniforme y de tal manera que llega a AD al mismo tiempo que la recta AB. Los

puntos de interseccin de ambas dibujan una curva BZZ'Z''H, que es la trisectriz.

Para trisecar el ngulo basta marcar el punto Z de corte del lado del ngulo con

la curva y trazar una paralela al otro lado AD del ngulo para encontrar el punto P. Si

dividimos el segmento AP en tres partes iguales mediante los puntos P' y P'', los puntos

de corte de las paralelas a AD por dichos puntos determinan en la curva los puntos Z' y

Z''. Las rectas que se obtienen al unirlos con A dividen al ngulo en tres partes iguales

(foto 12).

Foto 12. Triseccin del ngulo con la cuadratriz.

Por desgracia, al igual que ocurre con la espiral de Arqumedes, esta curva no se

puede trazar utilizando slo regla y comps.

JACOB BERNOULLI: LA ESPIRAL LOGARTMICA


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Foto 13

Por qu el Nautilus (foto 13) tiene esta extraa y elegante forma? El origen del estudio de esta espiral tiene que ver con la navegacin. A lo largo de

los siglos XVI y XVII miles de barcos surcan los ocanos. Los navegantes saban que sobre la superficie terrestre la distancia ms corta entre dos puntos es un arco de crculo mximo. Pero para seguir un rumbo que encaje con este arco es necesario realizar continuos cambios de rumbo. Por ello sustituan este rumbo ptimo por otro en que el ngulo que formaba la trayectoria del barco con todos los meridianos que atravesaba se mantena constante. El rumbo se mantena constante. Los rumbos de este tipo dibujan en la esfera terrestre una curva llamada loxodrmica. Pero los navegantes no trabajaban sobre una esfera: sus mapas eran planos, proyecciones de la esfera. Pues bien, la proyeccin de la esfera sobre un plano convierte a la loxodrmica en una... espiral equiangular.

Foto 14. Espiral logartmica.

El primero en describirla como una curva mecnica, en contraposicin a las curvas algebraicas, es Descartes, quien en 1638 escribe al padre Mersenne los resultados de sus investigaciones. Descartes estaba buscando una curva creciente con una propiedad similar a la de la circunferencia, que en cada punto la tangente forme con el radio vector siempre el mismo ngulo. De ah el nombre de equiangular. Tambin demostr que esta

1lnkr

r C ek C

= =


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condicin es equivalente al hecho de que los ngulos alrededor del polo son proporcionales al logaritmo del radio vector. De ah su segundo nombre: espiral logartmica (foto 14).

La separacin de las espiras aumenta al crecer el ngulo, es decir, el radio vector crece de forma exponencial respecto del ngulo de giro. Por eso recibe un tercer nombre: espiral geomtrica.

El padre de esta espiral, con toda justicia, es Jacob Bernoulli, quien realiza un profundo estudio de la misma, quedando cautivado por la curva hasta tal punto de pedir que en su tumba, en el cementerio de Basilea, figurara la inscripcin Eadem mutata resurgo y un grabado en piedra con el dibujo de una espiral logartmica. El cantero no era un buen matemtico, pues tall una casi perfecta espiral arquimediana (foto 15).

Foto 15 Jacob Bernouilli descubri varias propiedades de esta curva que les pasaron

desapercibidas a Descartes y Torricelli, entre ellas el hecho de que la espiral logartmica es la nica curva que verifica que su evoluta, su involuta, su custica y su podaria son, a su vez, una espiral logartmica. Jacob Bernouilli haba descubierto adems otra extraa propiedad: la autosemejanza, que relaciona directamente esta espiral con los objetos fractales.

Foto 16


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La espiral logartmica es, sin duda, la espiral que ms se prodiga en la Naturaleza. El reino animal nos proporciona unos ejemplos preciosos en las conchas de los caracoles (foto 16) y los moluscos. Detrs de todas estas formas hay un fenmeno natural: un proceso de enrollamiento vinculado al proceso de crecimiento. De hecho, la concha de un caracol no es ni ms ni menos que un cono enrollado sobre s mismo.

Foto 17

El cuerno de un rumiante tambin, aunque adems est retorcido. Y aunque las leyes fsicas del crecimiento de especies tan dispares no son las mismas, las leyes matemticas que lo rigen s: todas estn basadas en la espiral geomtrica, la curva de similitud continua. Si nos fijamos bien, el crecimiento de las conchas y de los cuernos tiene otra curiosa propiedad: se produce slo por un extremo. Y esta propiedad de crecimiento terminal conservando la figura completa es exclusiva, dentro de las curvas matemticas, de la espiral equiangular o logartmica.

Las galaxias, las borrascas y huracanes (foto 17) nos brindan muestras espectaculares de espirales logartmicas. Al fin y al cabo, en cualquier fenmeno natural donde haya una combinacin de expansin o contraccin y rotacin aparecer por fuerza esta espiral.

Foto 18


18

En el mundo vegetal los ejemplos son, si cabe, ms llamativos, ya que entre las

plantas aparecen un sinfn de espirales y no precisamente de una en una. La distribucin de las pipas en cualquier girasol, las escamas de cualquier pia, no importa de qu variedad, una simple margarita... nos ofrecen una autntico desfile de espirales entrelazadas (foto 18).

En cualquier pia de los pinos, si la observamos desde arriba, descubriremos que los piones se distribuyen formando un buen nmero de espirales. Y no precisamente de forma aleatoria. No es ninguna casualidad. Los piones han de distribuirse de forma ptima, es decir, aprovechando el espacio al mximo; y esa optimizacin del espacio se consigue mediante una distribucin en espiral.

LA CURVA DE LAS CONCHAS: LA CONCOIDE DE NICOMEDES

El nombre de concoide (foto 19) se debe a su parecido con las conchas que tanto abundaban en las playas griegas. Aunque su creador es Nicomedes, un gemetra griego (280 210 a.C.), que la investig junto a otras 16 curvas matemticas, esta concoide fue atribuida a Pappus. Tambin naci con la vocacin de resolver los problemas de la duplicacin del cubo y de la triseccin del ngulo y de hecho la curva sirve para trisecar cualquier ngulo.

Foto 20

Foto 19

cos

ab= +


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Su ecuacin cartesiana es 2 2 2 2 2( ) ( )x a x y b x + = , es decir, una curtica. Es el lugar geomtrico de los pares de puntos P y Q situados sobre una recta que

pasa por un punto fijo O, el polo, y otro punto M que a su vez se desplaza a lo largo de

una recta ff' llamada directriz. La distancia de P a M y de Q a M es una distancia fija.

Este mtodo de construccin se lo debemos a Roberval (foto 20). Si en lugar de utilizar una recta como directriz usamos una circunferencia

obtenemos la curva de Pascal.

LAS ECUACIONES DE LAS FLORES: EL PTALO GEOMTRICO Alejndonos de las espirales, existe una familia de curvas, investigada en el siglo

XVIII por Abbot Guido Grandi, que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores ms habituales en el campo o en las floristeras. Se trata de la concoide de rosetn, tambin conocida como ptalo geomtrico.

Para investigarla utilizaremos una herramienta informtica apropiada: un programa informtico que vaya ms all de las curvas en coordenadas cartesianas y permita trabajar directamente en coordenadas polares y paramtricas, por ejemplo Winplot (foto 21), software desarrollado por el profesor Richard Parris de la Universidad de Exeter, que se puede obtener de forma gratuita en esta direccin: http://math.exeter.edu/rparris.

Foto 21

Ideas para encontrar su ecuacin? Necesitamos:

una forma que rota y se repite peridicamente... una curva que se aleja y se acerca al centro...


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Solucin: funciones trigonomtricas y coordenadas polares!!! Para interpretar el crecimiento de hojas y flores las coordenadas rectangulares o

cartesianas no son las ms apropiadas, ms bien son completamente inapropiadas. Recurriremos a las coordenadas polares, otro regalo a la historia del genial Euler, en las que las dos variables son el ngulo girado respecto a la horizontal y la distancia al origen. Estas coordenadas son especialmente aplicables a todos aquellos casos en que dentro de la figura existe algn punto invariante, es decir, algn punto que no sufre ninguna deformacin al crecer. En el caso de las plantas suele ser la base de la hoja, el nodo alrededor del cual se desarrolla toda la hoja o el centro de simetra circular en el caso de las flores.

En estas coordenadas, todas las concoides de rosetn o de rosceas, como dicen los franceses, tienen esta ecuacin general:

cosa n b= +

Cada ptalo base es simtrico respecto del eje OX y se obtiene haciendo variar el ngulo entre

n n

< 1

Caso b > a

Ptalo simple: Caso b > a

n = 7

2

Ecuacin 7

2 cos 42

= +

3.5 3.5 <


21

Caso a = b

Ptalo simple: Caso a = b

n = 5

2

Ecuacin 5

3 cos 32

= +

2.5 2.5 <


22

Ptalo simple: Caso 0 < b < a

n = 7

2

Ecuacin 7

3 cos 12

= +

3.5 3.5 <


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Y aprovechando estas aventuras matemticas por la naturaleza viva, no podemos

sustraernos a la tentacin de intentar matematizar dos objetos tridimensionales muy populares: la calabaza (foto 22), tan temida por algunos estudiantes y la conchas de los moluscos (foto 23), que tanto deleitan nuestro paladar.

Foto 22. La calabaza.

Foto 23. La concha de peregrino.

Porque slo necesitamos dar un ligero salto del plano al espacio y trabajar, en lugar de con coordenadas polares, con sus equivalentes en el espacio: las coordenadas esfricas.

Y para nuestra sorpresa, los dos smbolos encuentran acomodo matemtico en dos ecuaciones muy similares

Ser pura casualidad? O, como pensaba Platn... Dios es un gemetra?

6 52.4 sen

5 2r u=

6 52.4 sen 5

5 2r u t= +


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EL PASADO RECIENTE, EL FUTURO INMEDIATO: FRACTALES Y CAOS

En 1960 Edward Lorentz desarroll un modelo matemtico para realizar previsiones del tiempo. Este modelo era bastante simple y contemplaba slo tres variables que rigen el movimiento de conveccin, relacionadas entre s mediante tres ecuaciones diferenciales hoy muy populares.

Lorentz puso a trabajar su ordenador, cada minuto simulaba el paso de un da. Con sorpresa comprob que una diferencia de menos de una milsima en una de las variables, al cabo de pocos minutos (unos das simulados) produca un estado climtico totalmente distinto.

Haba descubierto la segunda gran caracterstica de los fenmenos caticos: una pequea variacin de las condiciones iniciales produce grandes cambios en el sistema a lo largo del tiempo. Es lo que se conoce como efecto mariposa. El batir de las alas de una mariposa en una selva africana puede producir dentro de unos meses un huracn en el Pacfico.

La primera caracterstica del caos es, por supuesto, que el sistema es impredecible a largo plazo.

Pero incluso en los fenmenos caticos aparecen ciertas regularidades, un cierto orden.

Estaba naciendo la teora del caos. Y enseguida una matemtica capaz de buscar el orden dentro del caos: la geometra fractal, las matemticas de las curvas fractales. Incluso en aquellas regiones de la naturaleza lejos de las cmodas regularidades de las ecuaciones diferenciales las matemticas se revelan como la herramienta imprescindible para interpretar la naturaleza. Y, por supuesto, siguen manifestando de manera rotunda su increble eficacia.

Estaban naciendo otras curvas que tanto nos han sorprendido por su extraa e impactante apariencia y que, gracias a su tratamiento informtico, hacen que Matemticas y Arte se den la mano otra vez y de una forma sorprendente.

De nuevo Matemticas y Belleza viajando juntas por la Historia; pues como dijo Hardy:

La belleza es la piedra de toque; en el mundo no hay un lugar permanente para unas matemticas desagradables desde el punto de vista esttico.

Y para terminar, nada mejor que un poema-loa a las curvas en boca de su autor

Jess Lizano:

LAS PERSONAS CURVAS

Mi madre deca: a m me gustan las personas rectas. A m me gustan las personas curvas, las ideas curvas, los caminos curvos, porque el mundo es curvo; y me gustan las curvas y los pechos curvos

y los culos curvos, los sentimientos curvos, la ebriedad: es curva; las palabras, curvas; el amor es curvo; el vientre el curvo!;


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lo diverso es curvo. A m me gustan los mundos curvos; el mar es curvo, la risa es curva, el dolor es curvo; las uvas: curvas; los labios: curvos; y los sueos, curvos; los parasos, curvos (no hay otros parasos); a m me gusta la anarqua curva; el da es curvo y la noche es curva; la aventura es curva! Y no me gustan las personas rectas, el mundo recto, las ideas rectas; a m me gustan las manos curvas, los poemas curvos, las horas curvas: contemplar es curvo!; (en las que puedes contemplar las curvas y conocer la tierra); los instrumentos curvos, no los cuchillos, no las leyes: no me gustan las leyes porque son rectas,

no me gustan las cosas rectas; los suspiros: curvos; los besos: curvos; las caricias: curvas. Y la paciencia es curva. El pan es curvo y la metralla recta. No me gustan las cosas rectas ni la lnea recta: se pierden todas las lneas rectas; no me gusta la muerte porque es recta, es la cosa ms recta, lo escondido dentro de las cosas rectas; ni los maestros rectos ni las maestras rectas: librennos los dioses curvos de los dioses rectos! El bao es curvo, la verdad es curva, yo no resisto las verdades rectas; vivir es curvo, la poesa es curva, el corazn es curvo. A m me gustan las personas curvas y huyo, es la peste, de las personas rectas.


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BIBLIOGRAFA

LVAREZ PREZ JM. Curvas en la historia 1-2. Nivola, Madrid, 2006.

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TORIJA R. Arqumedes: alrededor del crculo. Nivola, Madrid, 1999.

VDEOS

Serie Universo Matemtico. RTVE. Pitgoras: mucho ms que un teorema.

Historias de pi.

Orden y caos: la bsqueda de un sueo.

Serie Ms por menos. RTVE. El mundo de las espirales.

Cnicas: del baloncesto a los cometas.

Fractales: la geometra del caos.

Serie Universo Mecnico. Annenberg TV.

Las leyes de Kepler.

Documents

A. Pérez Sanz: Las ecuaciones de las flores