A1spc08

Factorizar polinomios

8A Métodos de factorización 8-1 Factores y máximo común divisor

Laboratorio Hacer un modelo: factorizar

8-2 Cómo factorizar mediante el MCD

Laboratorio Hacer un modelo: factorizar trinomios

8-3 Cómo factorizar x2 + bx + c

8-4 Cómo factorizar ax2 + bx + c

Laboratorio Factorizar polinomios mediante una gráfica

8B Aplicar métodos de factorización

8-5 Cómo factorizar productos especiales

8-6 Cómo elegir un método de factorización

Las banderas que han ondeado en Texas son las de España, Francia, México, la República de Texas, la Confederación y Estados Unidos de América.

CLAVE: MG7 ChProj

520 Capítulo 8

VocabularioElige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha.

1. binomio

2. número compuesto

3. factor

4. múltiplo

5. número primo

A. un número cabal mayor que 1 que tiene más de dos factores que son números cabales

B. un polinomio con dos términos

C. el producto de cualquier número y un número cabal

D. un número que se escribe como el producto de sus factores primos

E. un número cabal mayor que 1 que tiene exactamente dos factores, ese número y 1

F. un número que se multiplica por otro número para obtener un producto

MúltiplosEscribe los primeros cuatro múltiplos de cada número.

6. 3 7. 4 8. 8 9. 15

FactoresIndica si el segundo número es un factor del primer número.

10. 20, 5 11. 50, 6 12. 120, 8 13. 245, 7

Números primos y compuestosIndica si cada número es primo o compuesto. Si el número es compuesto, escríbelo como el producto de dos números.

14. 2 15. 7 16. 10 17. 38

18. 115 19. 147 20. 151 21. 93

Multiplicar monomios y polinomiosSimplifica.

22. 2 (x + 5) 23. 3h (h + 1) 24. xy (x 2 - xy 3) 25. 6m(m 2 - 4m - 1)

Multiplicar binomiosHalla cada producto.

26. (x + 3)(x + 8) 27. (b - 7)(b + 1)

28. (2p - 5)(p - 1) 29. (3n + 4)(2n + 3)

Factorizar polinomios 521

522 Capítulo 8

Vocabulario/Key Vocabularyfactorización prima prime factorization

máximo común divisor greatest common factor

Álgebra I TEKS Lecc.8-1

8-2LabdeÁlg

Lecc.8-2

8-3LabdeÁlg

Lecc.8-3

Lecc.8-4

8-4LabdeÁlg

Lecc.8-5

Lecc.8-6

A.1.D Bases de las funciones* representar las relaciones entre cantidades usando modelos, tablas, gráficas, diagramas, descripciones con palabras, ecuaciones y desigualdades

�

A.3.A Bases de las funciones* usar símbolos para representar incógnitas y variables

� �

A.4.A Bases de las funciones* hallar valores de funciones específicas, simplificar expresiones polinomiales, transformar y resolver ecuaciones y factorizar cuando sea necesario para resolver situaciones dadas

� � �

A.4.B Bases de las funciones* usar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para simplificar expresiones algebraicas

�

* Los conocimientos y destrezas están descritos en detalle en las páginas TX28 a TX35.

Conexiones de vocabulario

Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos de los términos de vocabulario del capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario o un diccionario si lo deseas.

1. La palabra factor se refiere a un número o polinomio que se multiplica por otro número o polinomio para formar un producto. ¿Qué crees que significa la palabra factorizar (es decir, como verbo o palabra que se refiere a una acción)?

2. Haz una lista de palabras que terminan con el sufijo –izar o –ización. ¿Qué te parece que significa la terminación –ización? ¿Qué crees que significa factorización?

3. Las palabras primo, primer, primario y primitivo derivan de la misma raíz. ¿Cuál es el significado de estas palabras? ¿Cómo pueden ayudarte sus significados a comprender qué es un factor primo?

4. ¿Qué es un número primo? ¿En qué se diferencia la factorización prima de un número de otra factorización?

5. ¿Qué significa la palabra común?¿Cómo puedes usar este significado para comprender el término máximo común divisor?

Factorizar polinomios 523

Estrategia de lectura: Lee una lección para comprenderPara comprender nuevos conceptos, debes leer cada lección con un propósito. A medida que lees una lección, haz anotaciones. Incluye las ideas principales de la lección y todas las preguntas que tengas. En clase, escucha las explicaciones del vocabulario, la aclaración de los ejemplos y las respuestas a tus preguntas.

Inténtalo

Lee la Lección 8-1 antes de la próxima clase. Luego responde a estas preguntas.

1. ¿Cuáles son los objetivos de la lección?

2. ¿Qué vocabulario, fórmulas y símbolos son nuevos?

3. ¿Qué ejemplos, si los hay, son confusos?

4. ¿Qué preguntas tienes sobre la lección?

Sugerencias para la lecturaObjetivos

Evaluar y multiplicar por potencias de 10

Convertir entre notación estándar y notación científica

En los objetivos se indica la idea principal de la lección.

Si una potencia de 10 tiene un exponente entero negativo,¿esto hace al número negativo?

¿Cómo escribo números en notacióncientífica en mi calculadora?

Escribe las preguntas que tengas a medida que lees la lección.

EJEMPLO 1 Evaluar potencias de 10

Halla el valor de cada potencia de 10.

A 10 -3

Comienza con 1 y desplaza el punto decimal tres posiciones hacia la izquierda.

0. 0 0 1

0.001

Sigue la resolución de los ejemplos y escribe cualquier pregunta que tengas.

Practica lo que has aprendido en las secciones Compruébalo.

524 Capítulo 8 Factorizar polinomios

8-1 Factores y máximo común divisor

ObjetivosEscribir la factorización prima de números

Hallar el MCD de monomios

Vocabulariofactorización primamáximo común divisor Los números cabales que se multiplican

para hallar un producto se llaman factores de ese producto. Un número es divisible entre sus factores.

Puedes usar los factores de un número para escribir el número como un producto. El número 12 se puede factorizar de varias formas.

Factorizaciones de 12

El orden de los factores no cambia el producto, pero hay un solo ejemplo más arriba que no se puede factorizar más. La factorización encerrada en un círculo es unafactorización prima porque todos los factores son números primos. Los factores primos se pueden escribir en cualquier orden y, excepto por los cambios en el orden, hay una sola forma de escribir la factorización prima de un número.

1E J E M P L O Escribir factorizaciones primas

Escribe la factorización prima de 60.

Método 1 Árbol de factoresElige dos factores cualesquiera de 60 para comenzar. Sigue hallando factores hasta que cada rama termine en un factor primo.

60 = 2 · 2 · 5 · 3

Método 2 Diagrama en escaleraElige un factor primo de 60 para comenzar. Sigue dividiendo entre factores primos hasta que el cociente sea 1.

60 = 2 · 3 · 2 · 5

La factorización prima de 60 es 2 · 2 · 3 · 5 ó 2 2 · 3 · 5.

Escribe la factorización prima de cada número.

1a. 40 1b. 33 1c. 49 1d. 19

¿Quién lo usa?Los diseñadores de sitios web que venden tarjetas de saludos electrónicas pueden usar el máximo común divisor de los números para diseñar sus sitios web. (Ver Ejemplo 4)

Un número primo tiene exactamente dos factores, ese número y 1. El número 1 no es primo porque sólo tiene un factor.

TEKS A.4.A Bases de las funciones: … factorizar cuando sea necesario para resolver situaciones dadas.

8-1 Factores y máximo común divisor 525

Los factores compartidos por dos o más números cabales son factores comunes. El mayor de estos factores comunes es el máximo común divisor o MCD.

Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Factores comunes: 1, 2, 4

El máximo común divisor es 4.

2E J E M P L O Hallar el MCD de números

Halla el MCD de cada par de números.

A 24 y 60Método 1 Haz una lista de los factores.

factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Haz una lista de todos los factores.

Encierra en un círculo el MCD.

factores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

El MCD de 24 y 60 es 12.

B 18 y 27Método 2 Usa la factorización prima.

18 = 2 · 3 · 3 Escribe la factorización prima de cada número.

Alinea los factores comunes. 27 = 3 · 3 · 3

3 · 3 = 9El MCD de 18 y 27 es 9.


2a. 12 y 16 2b. 15 y 25

También puedes hallar el MCD de monomios que incluyen variables. Para hallar el MCD de monomios, escribe la factorización prima de cada coeficiente y escribe todas las potencias de las variables como productos. Luego halla el producto de los factores comunes.

3E J E M P L O Hallar el MCD de monomios

Halla el MCD de cada par de monomios.

A 3 x 3 y 6 x 2

3x 3 = 3 · x · x · x Escribe la factorización prima de cada coeficiente y escribe las potencias como productos.

Alinea los factores comunes.

Halla el producto de los factores comunes.

Escribe la factorización prima de cada coeficiente y escribe las potencias como productos.

Alinea los factores comunes.No hay factores comunes que no sean 1.

6x 2 = 2 · 3 · x · x

3 · x · x = 3 x 2

El MCD de 3 x 3 y 6 x 2 es 3 x 2 .

B 4 x2 y 5 y 3

4x 2 = 2 · 2 · x · x 5y 3 = 5 · y · y · y

El MCD de 4 x 2 y 5 y 3 es 1.


3a. 18 g 2 y 27 g 3 3b. 16 a6 y 9b 3c. 8x y 7 v 2

Si dos términos contienen la misma variable elevada a distintas potencias, el MCD contendrá esa variable elevada a la potencia menor.

Party Time

Ocasión especial

Cumpleaños Más

Más

CREARINICIO DESCARGAR

Buscar tarjetas electrónicas

TARJETAS ELECTRÓNICAS

Amor, amor, amor Disfruta tu día Gracias

Celebración Fiesta Deseos de cumpleaños


4E J E M P L O Aplicación a la tecnología

Garrison crea una página web que ofrece tarjetas de saludos electrónicas. Tiene 24 diseños para ocasiones especiales y 42 diseños para cumpleaños. Se mostrará la misma cantidad de diseños en cada fila. Los diseños para ocasiones especiales y para cumpleaños no aparecerán en la misma fila. ¿Cuántas filas habrá si Garrison pone la mayor cantidad posible de diseños en cada fila?

Los 24 diseños para ocasiones especiales y los 42 diseños para cumpleaños deben estar divididos en grupos de igual tamaño. La cantidad de diseños en cada fila debe ser un factor común de 24 y 42.

factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Halla los factores comunes de 24 y 42.factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42


La mayor cantidad posible de diseños en cada fila es 6. Halla la cantidad de filas de cada grupo de diseños cuando hay 6 diseños en cada fila.

24 diseños para ocasiones especiales____6 diseños por fila

= 4 filas

42 diseños para cumpleaños___6 diseños por fila

= 7 filas

Cuando cada fila tiene la mayor cantidad posible de diseños, hay 11 filas en total.

4. Adrianne quiere comprar una unidad para guardar CD. Tiene 36 CD de artistas de música pop y 48 CD de artistas de música country. Quiere poner la misma cantidad de CD en cada estante sin poner los discos de música pop y los discos de música country en el mismo estante. Si Adrianne pone la mayor cantidad posible de CD en cada estante, ¿cuántos estantes debe tener su unidad para guardar discos?

RAZONAR Y COMENTAR 1. Describe dos formas de hallar la factorización prima de un número.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Muestra cómo escribir la factorización prima de 100 x 2 completando cada recuadro.

Coeficiente

Variable

Factorización prima del coeficiente

Término variable como producto

Factorización prima de 100x2

100x2


EjerciciosEjercicios

PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Define el término máximo común divisor con tus propias palabras.

VER E JEMPLO 1pág. 524


2. 20 3. 36 4. 27 5. 54

6. 96 7. 7 8. 100 9. 75



10. 12 y 60 11. 14 y 49 12. 55 y 121



13. 6x 2 y 5 x 2 14. 15y 3 y -20y 15. 13q 4 y 2 p 2


16. Samantha hace collares de cuentas con 54 cuentas de vidrio y 18 cuentas de cerámica. Quiere que cada collar tenga la misma cantidad de cuentas, pero cada collar tendrá un solo tipo de cuenta. Si pone la mayor cantidad posible de cuentas en un collar, ¿cuántos collares puede hacer?

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para los Ver Ejercicios Ejemplo

17–24 1 25–27 2 28–30 3 31 4

Práctica independiente Escribe la factorización prima de cada número.

17. 18 18. 64 19. 12 20. 150

21. 17 22. 226 23. 49 24. 63


25. 36 y 63 26. 14 y 15 27. 30 y 40


28. 8a 2 y 11 29. 9s y 63 s3 30. -64n4 y 24 n 2

31. José hace tartas rellenas de frutas para una fiesta. Tiene 72 frambuesas y 108 arándanos azules. Las tartas tendrán la misma cantidad de cada tipo de fruta. Las frambuesas y los arándanos no estarán en la misma tarta. Si pone la mayor cantidad posible de frutas en cada tarta, ¿cuántas tartas puede hacer?

Halla el MCD de cada par de productos.

32. 3 · 5 · t y 2 · 2 · 5 · t · t 33. -1 · 2 · 2 · x · x y 2 · 2 · 7 · x · x · x

34. 2 · 2 · 2 · 11 · x · x · x y 3 · 11 35. 2 · 5 · n · n · n y -1 · 2 · 3 · n

36. Escríbelo El número 2 es par y primo. Explica por qué todos los otros números primos son números impares.

8-1CLAVE: MA7 8-1

CLAVE: MA7 Parent

*(Disponible sólo en inglés)

TEKS TAKSPráctica de destrezas pág. S18Práctica de aplicación pág. S35

TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 3, 10


El DCI (Drum Corps International) es una organización sin fines de lucro que supervisa las interpretaciones y las competencias de conjuntos instrumentales de percusión y de viento para jóvenes de 14 a 21 años.

Música

37. Razonamiento crítico El MCD de dos números es 1. Explica si esto significa que los dos números deben ser primos.

38. Varios pasos Angelo hace un piso rectangular con un área de 84 pies cuadrados para la casa de un club. La longitud de cada lado del piso es un número cabal de pies.

a. ¿Cuáles son las longitudes y los anchos posibles del piso de la casa del club de Angelo?

b. ¿Cuál es el perímetro mínimo del piso de la casa del club?

c. ¿Cuál es el perímetro máximo del piso de la casa del club?

39. Música Los Cavaliers y los Blue Devils son dos bandas de marcha que forman parte del DCI (Drum Corps International). Las bandas del DCI están formadas por jóvenes que tocan instrumentos de percusión y de viento de metal y portaestandartes que llevan banderas y otros elementos.

En 2004, los Cavaliers tenían 35 portaestandartes y los Blue Devils tenían 40. Los dos grupos de portaestandartes marcharán en filas con la misma cantidad de personas en cada fila sin que se mezclen los portaestandartes de cada banda. Si en cada fila hay la mayor cantidad posible de personas, ¿cuántas filas habrá?

Para cada conjunto de números, determina qué par de números tiene un MCD mayor que 1 y halla ese MCD.

40. 11, 12, 14 41. 8, 20, 63 42. 16, 21, 27

43. 32, 63, 105 44. 25, 35, 54 45. 35, 54, 72

46. Sentido numérico La factorización prima de 24 es 2 3 · 3. Sin realizar ningún cálculo o usar un diagrama, escribe la factorización prima de 48. Explica tu razonamiento.

Completa cada diagrama. Luego escribe la factorización prima del número.

47. 48. 49.

50. 51. 52.

53. 54. 55.


57. ¿Qué conjunto de números tiene un MCD mayor que 6?

18, 24, 36 30, 35, 40 11, 29, 37 16, 24, 48

58. La pendiente de una línea es el MCD de 48 y 12. La intersección con el eje y es el MCD de la pendiente y 8. ¿Qué ecuación describe la línea?

y = 12x + 4 y = 6x + 2 y = 4x + 4 y = 3x + 1

59. Respuesta desarrollada Patricia planea hacer un corral para su perro en el patio. El corral será rectangular y tendrá un área de 24 pies cuadrados. Dibuja y rotula un diagrama en el que se muestren todas las dimensiones posibles en números cabales para el corral. Halla el perímetro de cada rectángulo que dibujaste. ¿Qué dimensiones debe usar Patricia para gastar la menor cantidad de dinero en los materiales de la cerca? Explica tu razonamiento.

DESAFÍO Y EXTENSIÓNHalla el MCD de cada conjunto.

60. 4n 3 , 16 n 2 , 8n 61. 27y 3 , 18 y 2 , 81y

62. 100, 25 s 5 , 50s 63. 2p 4r, 8 p 3r 2 , 16 p 2r 3

64. 2x 3y, 8 x 2y 2 , 17x y 3 65. 8a 4b 3 , 4 a 3b 3 , 12 a 2b 3

66. Geometría El área de un triángulo es 10 pulg 2. ¿Cuáles son las dimensiones posibles en números cabales de la base y la altura del triángulo?

67. Sentido numérico El MCD de tres números distintos es 7. La suma de los tres números es 105. ¿Cuáles son los tres números?

68. Razonamiento crítico Halla tres números compuestos distintos cuyo MCD sea 1. (Pista: un número compuesto tiene factores distintos de 1 y ese mismo número).

REPASO EN ESPIRALHalla cada valor. Redondea a la décima más cercana si es necesario. (Lección 2-8)

69. 40% de 60 70. 250% de 16 71. ¿Qué porcentaje de 80 es 20?

Determina si cada sucesión puede ser una sucesión aritmética. Si es así, halla la diferencia común y úsala para hallar los siguientes tres términos. (Lección 4-6)

72. 3, 7, 11, 15, … 73. -4, -8, -16, -32, … 74. 1.5, 1, 0.5, 0, …

75. Escribe una expresión polinomial simplificada para el perímetro del triángulo. (Lección 7-6)

56. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la página 556. La ecuación para el movimiento de un objeto con aceleración constante es d= vt + 1__

2 a t 2 , donde d es la distancia recorrida en pies, v es la velocidad inicial en pies/s, a

es la aceleración en pies/s2 y t es el tiempo en segundos.

a. Un automóvil de juguete comienza con una velocidad de 2 pies/s y acelera a 2 pies/s 2.Escribe una expresión para la distancia que el automóvil recorre después de t segundos.

b. ¿Cuál es el MCD de los términos de tu expresión de la parte a?


Hacer un modelo: factorizarPuedes usar fichas de álgebra para escribir un polinomio como el producto de sus factores. Este proceso se llama factorización. La factorización es lo opuesto de la multiplicación.

Para usar con la Lección 8-2

8-2

Actividad

Usa fichas de álgebra para factorizar 4x + 8.

MODELO EN ÁLGEBRA

Haz un modelo de 4x + 8.4x + 8

Organiza las fichas en un rectángulo. El área total representa 4x + 8. La longitud y el ancho representan los factores. El rectángulo tiene un ancho de x + 2 y una longitud de 4.

4x + 8 = 4 (x + 2)

Usa fichas de álgebra para factorizar x 2 - 2x.

MODELO EN ÁLGEBRA

Haz un modelo de x 2 - 2x.

x 2 - 2x

Organiza las fichas en un rectángulo. El área total representa x 2 - 2x. La longitud y el ancho representan los factores. El rectángulo tiene un ancho de x - 2 y una longitud de x.

x 2 - 2x = x (x - 2)

Inténtalo

Usa fichas de álgebra para factorizar cada polinomio.

1. 3x + 9 2. 2x + 8 3. 4x - 12 4. 3x - 12

5. 2x 2 + 2x 6. x 2 + 4x 7. x 2 - 3x 8. 2x 2 - 4x

CLAVE

TEKS A.1.D Bases de las funciones: representar las relaciones entre cantidades usando modelos…

8- 2 Cómo factorizar mediante el MCD 531

Recuerda que la propiedad distributiva establece que ab + ac = a(b + c). La propiedad distributiva te permite sacar el MCD como factor común de los términos de un polinomio para escribir una forma factorizada del polinomio.

Un polinomio está en su forma factorizada cuando se escribe como un producto de monomios y polinomios que ya no se pueden factorizar más. El polinomio 2 (3x - 4x) no está completamente factorizado porque los términos entre paréntesis tienen un factor común, x.

1E J E M P L O Factorizar mediante el MCD

Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.

A 4 x 2- 3x

4x 2 = 2 · 2 · x · x Halla el MCD.

El MCD de 4 x 2 y 3x es x.

Escribe los términos como productos usando el MCD como factor.

Saca el MCD como factor común mediante la propiedad distributiva.

Multiplica para comprobar tu respuesta.El producto es el polinomio original.

Halla el MCD.

El MCD de 10 y 3, 20 y 2 y 5y es 5y.

Escribe los términos como productos usando el MCD como factor.


Multiplica para comprobar tu respuesta.

El producto es el polinomio original.

3x = 3 · x

x

4x(x) - 3 (x)

x (4x - 3)

Comprueba x(4x - 3) 4x 2 - 3x ✓

B 10 y 3+ 20 y 2

- 5y

10y 3 = 2 · 5 · y · y · y20y 2 = 2 · 2 · 5 · y · y 5y = 5 · y

5 · y = 5y

2y2(

5y)

+ 4y(

5y)

- 1 (

5y)

5y(2y 2 + 4y - 1)

Comprueba 5y (2y 2 + 4y - 1) 10 y 3 + 20 y 2 - 5y ✓

ObjetivoFactorizar polinomios mediante el máximo común divisor

¿Para qué sirve?Puedes determinar las dimensiones de un panel solar mediante la factorización de una expresión que represente el área del panel. (Ver Ejemplo 2)

Alinear los factores comunes te puede ayudar a hallar el máximo común divisor de dos o más términos.

8-2 Cómo factorizar mediante el MCD

TEKS A.4.A Bases de las funciones: … factorizar cuando sea necesario para resolver situaciones dadas. Ver también A.3.A, A.4.B

En el Desafío Solar de Norteamérica de 2005, los equipos hicieron una carrera desde Austin, Texas, hasta Calgary, Alberta, Canadá.



C -12x - 8 x 2

-1(12x + 8 x 2) Los dos coeficientes son negativos. Saca –1 como factor común.

Halla el MCD.

El MCD de 12x y 8 x 2 es 4x.

Escribe cada término como producto usando el MCD.


Multiplica para comprobar tu respuesta.

Halla el MCD.

No hay factores comunes que no sean 1.

12x = 2 · 2 · 3 · x 8 x 2 = 2 · 2 · 2 · x · x

2 · 2 · x = 4x

-1 ⎡ ⎣ 3(4x) + 2x(4x) ⎤ ⎦

-1⎡ ⎣ 4x(3 + 2x) ⎤ ⎦

-1(4x)(3x + 2x) -4x(3 + 2x)

Comprueba

-4x (3 + 2x) = -12x - 8 x 2 ✓

D 5 x 2+ 7

5 x 2 = 5 · x · x 7 = 7

5 x 2 + 7

El polinomio no se puede factorizar más.


1a. 5b + 9 b 3 1b. 9d 2 - 8 2

1c. -18y 3 - 7 y 2 1d. 8 x 4 + 4 x 3 - 2 x 2

Si quieres escribir expresiones para la longitud y el ancho de un rectángulo con el área expresada por un polinomio, tienes que escribir el polinomio como un producto. Puedes factorizar un polinomio para escribirlo como un producto.

2E J E M P L O Aplicación a las ciencias

La calculadora de Mandy funciona con energía solar. El área del panel solar es(7x 2 + x) cm2 . Factoriza este polinomio para hallar expresiones posibles para las dimensiones del panel solar.

A = 7x2 + x El MCD de 7 x 2 y x es x.

Escribe cada término como producto usando el MCD como factor.


= 7x(x) + 1 (x)

= x (7x + 1)

Las expresiones posibles para las dimensiones del panel solar son x cm y (7x + 1) cm.

2. ¿Y si...? El área del panel solar de otra calculadora es (2x2 + 4x) c m 2 . Factoriza este polinomio para hallar las expresiones posibles para las dimensiones del panel solar.

Cuando saques –1 como factor común en el primer paso, asegúrate de incluirlo en todos los otros pasos también.


A veces el MCD de los términos es un binomio. Este MCD se llama factor de binomio común. Un factor de binomio común se saca como factor común de la misma forma que un factor de monomio.

3E J E M P L O Factorizar para hallar un factor de binomio común

Factoriza cada expresión.

A 7 (x - 3) - 2x(x - 3)

7 (x - 3) - 2x(x - 3)Los términos tienen un factor de binomio común de

(x - 3) .Saca (x - 3) como factor común.

Los términos tienen un factor de binomio común de(t 2 + 4) .

(t 2 + 4) = 1 (t 2 + 4)

Saca (t 2 + 4) como factor común.

(x + 4) = (4 + x); por lo tanto, los términos tienen un factor de binomio común de (x + 4) .

Saca (x + 4) como factor común.

No hay factores comunes.

(x - 3)(7 - 2x)

B -t(t 2+ 4) + (t 2

+ 4)

-t(t 2+ 4) + (t 2

+ 4)

-t(t 2+ 4) + 1(t 2

+ 4)

(t 2+ 4)(-t + 1)

C 9x(x + 4) - 5 (4 + x)

9x(x + 4) - 5 (4 + x)

9x(x + 4) - 5 (x + 4)

(x + 4)(9x - 5)

D -3x 2(x + 2) + 4 (x - 7)

-3x 2(x + 2) + 4 (x - 7)

La expresión no se puede factorizar.


3a. 4s(s + 6) - 5 (s + 6) 3b. 7x(2x + 3) + (2x + 3) 3c. 3x(y + 4) - 2y (x + 4) 3d. 5x(5x - 2) - 2 (5x - 2)

Puedes factorizar un polinomio por agrupación. Cuando un polinomio tiene cuatro términos, puedes hacer dos grupos y sacar el MCD como factor común en cada grupo.

4E J E M P L O Factorizar por agrupación

Factoriza cada polinomio por agrupación. Comprueba tu respuesta.

A 12 a 3- 9 a 2

+ 20a - 15(12a 3 - 9 a 2) + (20a - 15) Agrupa los términos que tengan un número o

una variable común como factor.

Saca el MCD como factor común en cada grupo.

(4a - 3) es otro factor común.

Saca (4a - 3) como factor común.

Multiplica para comprobar tu solución.


3 a 2(4a - 3) + 5(4a - 3)

3 a2(4a - 3) + 5 (4a - 3)

(4a - 3)(3a 2 + 5)

Comprueba (4a - 3)(3a 2 + 5)

4a(3a 2) + 4a(5) - 3 (3a 2) - 3 (5)

12a 3 + 20a - 9 a 2 - 15

12a 3 - 9 a 2 + 20a - 15 ✓



B 9 x 3+ 18 x 2

+ x + 2

(9x 3 + 18 x 2) + (x + 2) Agrupa los términos.


(x + 2) es un factor común.

Saca (x + 2) como factor común.

Multiplica para comprobar tu solución.


9 x 2(x + 2) + 1(x + 2)

9 x 2(x + 2) + 1 (x + 2)

(x + 2)(9x 2 + 1)

Comprueba (x + 2)(x 2 + 1)x (9x 2) + x (1) + 2 (9x 2) + 2 (1)

9x 3 + x + 18 x 2 + 2

9x 3 + 18 x 2 + x + 2 ✓


4a. 6 b 3 + 8 b 2 + 9b + 12 4b. 4 r 3 + 24r + r 2 + 6

Reconocer binomios opuestos te puede ayudar a factorizar polinomios. Los binomios (5 - x) y (x - 5) son opuestos. Observa que (5 - x) se puede escribir como -1(x - 5) .

-1(x - 5) = (-1)(x) + (

-1)(-5) Propiedad distributiva

Simplifica.

Propiedad conmutativa de la suma

= -x + 5

= 5 - x

Por lo tanto, (5 - x) = -1(x - 5) .

5E J E M P L O Factorizar con opuestos

Factoriza 3 x 3 - 15 x 2 + 10 - 2x.

3x 3 - 15 x 2 + 10 - 2x

(3x 3 - 15 x 2) + (10 - 2x) Agrupa los términos.


Escribe (5 - x) como -1(x - 5) .

Simplifica. (x - 5) es el factor común.

Saca (x - 5) como factor común.

3x 2(x - 5) + 2 (5 - x)

3x 2 (x - 5) + 2 (-1)(x - 5)

3x 2(x - 5) - 2 (x - 5)

(x - 5)(3x 2 - 2)


5a. 15 x 2 - 10 x 3 + 8x - 12 5b. 8y - 8 - x + xy

RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica cómo hallar el MCD de monomios te ayuda a factorizar

un polinomio.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico.

1. Halla el ______ común divisor.

?2. Escribe cada término como un(a) ______ usando el MCD.

? 3. Usa el/la ______

para sacar el MCD como factor común.

?

Factorizar mediante el MCD

Si dos cantidades son opuestas, la suma es 0.

(5 - x) + (x - 5)5 - x + x - 5

-x + x + 5 - 50 + 0

0



PRÁCTICA GUIADAVER E JEMPLO 1

pág. 531


1. 15a - 5 a 2 2. 10g 3 - 3g

3. -35x + 42 4. -4x 2 - 6x

5. 12h 4 + 8 h 2 - 6h 6. 3x 2 - 9x + 3

7. 9m2 + m 8. 14n 3 + 7n + 7 n2

9. 36f + 18 f 2 + 3 10. -15b2 + 7b


11. Física Un cohete en miniatura se lanza verticalmente al aire a 320 pies/s. La expresión -16t 2 + 320t da la altura del cohete después de t segundos. Factoriza esta expresión.

VER E JEMPLO 3 pág. 533


12. 5(m - 2) - m(m - 2) 13. 2b(b + 3) + 5 (b + 3) 14. 4(x - 3) - x(y + 2)



15. x 3 + 4 x 2 + 2x + 8 16. 6x 3 + 4 x 2 + 3x + 2 17. 4b 3 - 6 b 2 + 10b - 15

18. 2m 3 + 4 m 2 + 6m + 12 19. 7r 3 - 35 r 2 + 6r - 30 20. 10a 3 + 4 a 2 + 5a + 2


21. 2r 2 - 6r + 12 - 4r 22. 6b 2 - 3b + 4 - 8b 23. 14q 2 - 21q + 6 - 4q

24. 3r - r 2 + 2r - 6 25. 2m 3 - 6 m 2 + 9 - 3m 26. 6a 3 - 9 a 2 - 12 + 8a



27–35 1 36 2 37–42 3 43–48 4 49–54 5

Práctica independiente Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.

27. 9y 2 + 45y 28. 36d 3 + 24 29. -14x 4 + 5 x 2

30. -15f - 10 f 2 31. -4d 4 + d 3 - 3 d 2 32. 14x 3 + 63 x 2 - 7x

33. 21c 2 + 14c 34. 33d 3 + 22d + 11 35. -5g 3 - 15 g 2

36. Finanzas Después de t años, la cantidad de dinero en una cuenta de ahorros que gana interés simple es C + Cit, donde C es la cantidad inicial e i es la tasa de interés anual. Factoriza esta expresión.


37. 6a (a - 2) - 5b (b + 4) 38. -4x (x + 2) + 9 (x + 2) 39. 6y (y - 7) + (y - 7) 40. a (x - 3) + 2b (x - 3) 41. -3(2 + b) + 4b(b + 2) 42. 5(3x - 2) + x(3x - 2)


43. 2a 3 - 8 a 2 + 3a - 12 44. x 3 + 3x 2 + 5x + 15 45. 6x 3 + 18 x 2 + x + 3

46. 7x 3 + 2 x 2 + 28x + 8 47. n 3 - 2n 2 + 5n - 10 48. 10b 3 - 16 b 2 + 25b - 40

49. 2m 3 - 2 m 2 + 3 - 3m 50. 2d 3 - d 2 - 3 + 6d 51. 6f 3 - 8 f 2 + 20 - 15f

52. 5k 2 - k 3 + 3k - 15 53. b 3 - 2b - 8 + 4 b 2 54. 20 - 15x - 6 x 2 + 8x

8-2CLAVE: MA7 8-2

CLAVE: MA7 Parent



TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 3, 6, 10

Año Cantidad del CD

2004 $100.00

2005 $200.00

2006 $400.00


Completa la parte que falta en cada factorización.

55. 16v + 12 v 2 = 4v (4 + ) 56. 15x - 25 x 2 = 5x (3 - )

57. -16k 3 - 24 k 2 = -8k 2( + 3) 58. -x - 10 = -1( + 10)

Copia y completa la tabla.

PolinomioCantidad de

términos NombreForma con la

factorización completa

3y + 3x + 9 3 trinomio 3 (y + x + 3)59. x 2 + 5x

60. 28c 2 - 49c

61. a 4 + a 3 + a 2

62. 36 + 99r - 40r 2 - 110r 3

63. Finanzas personales La cantidad final de dinero que un certificado de depósito (CD) da después de n años se puede representar mediante la expresión C x n, donde C es la cantidad inicial depositada y x es la tasa de interés.

La tía de Justin compró certificados de depósito para ayudarlo a pagar la universidad. En la tabla se muestra la cantidad de CD que compró cada año. En 2007, pagará $800.00 directamente a la universidad.

a. Escribe expresiones para el valor de los CD que se compraron en 2004, 2005 y 2006 para cuando Justin empiece la universidad en 2007.

b. Representa con un polinomio el valor total de los CD que se compraron en 2004, 2005 y 2006 más la cantidad que se pagará a la universidad en 2007.

c. Factoriza el polinomio de la parte c por agrupación. Evalúa la forma factorizada del polinomio cuando la tasa de interés es 1.09.

64. Escríbelo Describe cómo hallar el área de la figura que se muestra. Muestra cada paso y escribe tu respuesta en forma factorizada.

65. Razonamiento crítico Muestra dos métodos para factorizar la expresión 3a - 3b - 4a + 4b.

66. Geometría El área de un triángulo se representa mediante la expresión1__2 (x 3 - 2x + 2 x 2 - 4) . La altura del triángulo es x + 2. Escribe una expresión

para la base del triángulo. (Pista: la fórmula del área de un triángulo es A = 1__

2 bh).

67. Escríbelo Explica cómo sabes que dos binomios son opuestos.

68. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la página 556.

a. La propiedad de multiplicación del cero establece que el producto de cualquier número y 0 es 0. ¿Qué debe ser verdadero acerca de a o b para que ab = 0?

b. La distancia en pies de un automóvil de juguete desde el punto de partida está dada por la ecuación d = t (3 - t). Explica por qué t (3 - t) = 0 significa que t = 0 ó (3 - t) = 0.

c. Cuando d = 0, el automóvil está en el punto de partida. Halla los dos momentos en que el automóvil está en el punto de partida basándote en que t = 0 ó (3 - t) = 0 cuando d = 0.


Completa cada espacio en blanco con una propiedad o definición que justifique el paso.

69. 7x 3 + 2x + 21 x 2 + 6 = 7 x 3 + 21 x 2 + 2x + 6 a. ?

= (7x 3 + 21 x 2) + (2x + 6) b. ?

= 7 x 2(x + 3) + 2 (x + 3) c. ?

= (x + 3)(7x 2 + 2) d. ?

70. /////ANÁLISIS DE ERRORES//// ¿Qué factorización de 3 n3 - n2 es incorrecta? Explica.

71. ¿Qué opción es la factorización completa de 24 x 3 - 12 x 2 ?

6 (4x 3 - 2 x 2) 12 (2x 3 - x 2) 12x(2x 2 - x) 12 x 2 (2x - 1)

72. ¿Qué opción NO es un factor de 18 x 2 + 36x?

1 4x x + 2 18x

73. El área de un rectángulo se representa mediante el polinomio x 2 + 3x - 6x - 18. ¿Cuál de las siguientes opciones podría representar la longitud y el ancho del rectángulo?

Longitud: x + 3; ancho: x + 6 Longitud: x + 3; ancho: x - 6

Longitud: x - 3; ancho: x - 6 Longitud: x - 3; ancho: x + 6

DESAFÍO Y EXTENSIÓNFactoriza cada polinomio.

74. 6a b 2 - 24 a 2 75. -72a 2b 2 - 45ab 76. -18a 2b 2 + 21ab

77. ab + bc + ad + cd 78. 4y 2 + 8ay - y - 2a 79. x 3 - 4 x 2 + 3x - 12

80. Geometría El área entre dos círculos concéntricos se llama corona circular. La fórmula del área de una corona circular es A = π R 2 - π r 2 , donde R es el radio del círculo mayor y r el radio del círculo menor.a. Factoriza la fórmula del área de una corona circular mediante el MCD.

b. Usa la forma factorizada para hallar el área de una corona circular con R = 12 cm y r = 5 cm.

REPASO EN ESPIRAL 81. Las coordenadas de los vértices de un cuadrilátero son A (-2, 5) , B (6, 5) , C (4, -3)

y D(-4, -3) . Usa la pendiente para mostrar que ABCD es un paralelogramo. (Lección 5-8)

82. Representa gráficamente los datos de la tabla y muestra las tasas de cambio. (Lección 5-3)

Tiempo (años) 1998 1999 2002 2004 2005

Ganancias (millones de $) 0.6 0.8 1.3 1.9 2.4

Escribe la factorización prima de cada número. (Lección 8-1)

83. 52 84. 75 85. 24 86. 28


Hacer un modelo: factorizar trinomiosPuedes usar fichas de álgebra para escribir un trinomio como un producto de dos binomios. Esto se llama factorización de un trinomio.


8-3

Actividad 1

Usa fichas de álgebra para factorizar x 2 + 7x + 6.

MODELO EN ÁLGEBRA

Haz un modelo de x 2+ 7x + 6.

x 2 + 7x + 6

Intenta organizar todas las fichas en un rectángulo. Comienza por colocar la ficha x 2 en la esquina superior izquierda.

Organiza las fichas de unidades en un rectángulo de manera que la esquina superior izquierda de este rectángulo toque la esquina inferior derecha de la ficha x 2 .

Organiza las fichas x de manera que todas las fichas juntas formen un gran rectángulo.

Esta disposición no sirve porque dos fichas x quedan afuera

x 2 + 7x + 6 ≠ (x + 2)(x + 3)

Organiza de nuevo las fichas de unidades para formar otro rectángulo.

Completa los espacios vacíos con fichas x. Las 7 fichas x encajan. Esta es la organización correcta.

El área total representa el trinomio. La longitud y el ancho representan los factores.

x 2 + 7x + 6 = (x + 1) (x + 6)

El ancho del rectángulo mide x + 1 y la longitud x + 6. Por lo tanto, x 2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6) .

CLAVE

Laboratorio de álgebra 539

Actividad 2

Usa fichas de álgebra para factorizar x 2 + x - 2.

MODELO EN ÁLGEBRA

Haz un modelo de x 2 + x - 2.

x 2 + x - 2

Comienza por colocar la ficha x 2 en la esquina superior izquierda.

Organiza las fichas de unidades en un rectángulo de manera que la esquina superior izquierda de este rectángulo toque la esquina inferior derecha de la ficha x 2 .

Para hacer un rectángulo, debes llenar los espacios vacíos, pero no hay suficientes fichas x para llenar los espacios vacíos.

Suma un par nulo. Organiza las fichas x para completar el rectángulo.

Recuerda que el producto de dos valores positivos es positivo y que el producto de un valor positivo y uno negativo es negativo.

El área total representa el trinomio. La longitud y el ancho representan los factores.

x 2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

El ancho del rectángulo mide x - 1 y la longitud x + 2. Por lo tanto, x 2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) .

Inténtalo

Usa fichas de álgebra para factorizar cada trinomio.

1. x 2 + 2x + 1 2. x 2 + 3x + 2 3. x 2 + 6x + 5 4. x 2 + 6x + 9

5. x 2 + 5x + 4 6. x 2 + 6x + 8 7. x 2 + 5x + 6 8. x 2 + 8x + 12

Inténtalo

9. ¿Por qué puedes sumar una ficha -x roja y una ficha x amarilla?

Usa fichas de álgebra para factorizar cada polinomio.

10. x 2 - x + 2 11. x 2 - 2x - 3 12. x 2 - 5x + 4 13. x 2 - 7x + 10

14. x 2 - 2x + 1 15. x 2 - 6x + 5 16. x 2 + 5x - 6 17. x 2 + 3x - 4

18. x 2 - x - 6 19. x 2 + 3x - 10 20. x 2 - 2x - 8 21. x 2 + x - 12

TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2, 10



8-3 Cómo factorizar x 2+ bx + c

En el Capítulo 7, aprendiste cómo multiplicar dos binomios mediante la propiedad distributiva o el método FOIL. En esta lección, aprenderás cómo factorizar un trinomio en dos binomios.

Observa que cuando multiplicas (x + 2)(x + 5) , el término constante del trinomio es el producto de las constantes en los binomios.

Puedes usar esto para factorizar un trinomio en sus factores de binomios. Busca dos números que sean factores del término constante del trinomio. Escribe dos binomios con esos números y luego multiplica para ver si es correcto.

1E J E M P L O Factorizar trinomios mediante el método de calcular y comprobar

Factoriza x 2 + 19x + 60 mediante el método de calcular y comprobar.

( + )( + ) Escribe dos conjuntos de paréntesis.

El primer término es x 2; por lo tanto, los términos variables tienen un coeficiente 1.

(x + )(x + )

El término constante del trinomio es 60.

(x + 1)(x + 60) = x 2 + 61x + 60 ✗ Intenta con factores de 60 para los términos constantes de los binomios.

(x + 2)(x + 30) = x 2 + 32x + 60 ✗

(x + 3)(x + 20) = x 2 + 23x + 60 ✗

(x + 4)(x + 15) = x 2 + 19x + 60 ✓

Los factores de x 2 + 19x + 60 son (x + 4) y (x + 15) .

x 2 + 19x + 60 = (x + 4)(x + 15)

Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.

1a. x 2 + 10x + 24 1b. x 2 + 7x + 12

ObjetivoFactorizar trinomios cuadráticos del tipo x2 + bx + c

¿Para qué sirve?Factorizar polinomios te ayudará a hallar las dimensiones de figuras rectangulares, como una fuente. (Ver Ejercicio 71)

Al multiplicar dos binomios, multiplica los términos en este orden:

primerosexternosinternosúltimos

8-3 Cómo factorizar x2 + bx + c 541

El método de calcular y comprobar generalmente no es el método más eficiente para factorizar trinomios. Observa el producto de (x + 3) y (x + 4) .

x2 12

3x4x

El coeficiente del término del medio es la suma de 3 y 4. El tercer témino es el producto de 3 y 4.

CON PALABRAS EJEMPLO

Para factorizar un trinomio cuadrático del tipo x2 + bx + c,halla dos factores de ccuya suma sea b.

Para factorizar x2 + 9x + 18, busca los factores de 18 cuya suma sea 9.

Factores de 18 Suma

1 y 18 19 ✗

2 y 9 11 ✗

3 y 6 9 ✓ x2 + 9x + 18 = (x + 3) (x + 6)

Cómo factorizar x 2+ bx + c

Cuando c es positivo, sus factores tienen el mismo signo. El signo de b te indica si los factores son positivos o negativos. Cuando b es positivo, los factores son positivos, y cuando b es negativo, los factores son negativos.

2E J E M P L O Factorizar x 2 + bx + c cuando c es positivo

Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.

A x 2+ 6x + 8

(x + )(x + ) b = 6 y c = 8; busca los factores de 8 cuya suma sea 6.

Factores de 8 Suma1 y 8 9

2 y 4 6✗

✓ Los factores necesarios son 2 y 4.

Usa el método FOIL.


(x + 2)(x + 4)

Comprueba (x + 2) (x + 4) = x 2 + 4x + 2x + 8

= x 2 + 6x + 8 ✓

B x 2+ 5x + 6(x + )(x + ) b = 5 y c = 6; busca los factores de 6 cuya suma sea 5.

Factores de 6 Suma1 y 6 7

2 y 3 5✗

✓ Los factores necesarios son 2 y 3.



(x + 2)(x + 3)

Comprueba (x + 2) (x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6

= x 2 + 5x + 6 ✓


C x 2- 10x + 16(x + )(x + ) b = -10 y c = 16; busca los factores

de 16 cuya suma sea -10.

Factores de 16 Suma-1 y -16 -17-2 y -8 -10-4 y -4 -8

✗

✓

✗Los factores necesarios son -2 y -8.



(x - 2)(x - 8)

Comprueba (x - 2) (x - 8) = x 2 - 8x - 2x + 16

= x 2 - 10x + 16 ✓


2a. x 2 + 8x + 12 2b. x 2 - 5x + 6

2c. x 2 + 13x + 42 2d. x 2 - 13x + 40

Cuando c es negativo, sus factores tienen signos opuestos. El signo de b te indica qué factor es positivo y qué factor es negativo. El factor con el mayor valor absoluto tendrá el mismo signo que b.

3E J E M P L O Factorizar x 2 + bx + c cuando c es negativo

Factoriza cada trinomio.

A x 2+ 7x - 18(x + )(x + ) b = 7 y c = -18; busca los factores de -18

cuya suma sea 7. El factor con el mayor valor absoluto es positivo.

Factores de -18 Suma-1 y 18 17-2 y 9 7-3 y 6 3

✗

✓

✗

Los factores necesarios son -2 y 9.

(x - 2)(x + 9)

B x 2- 5x - 24(x + )(x + ) b = -5 y c = -24; busca los factores de -24 cuya

suma sea -5. El factor con el mayor valor absoluto es negativo.

Factores de -24 Suma 1 y -24 -23 2 y -12 -10 3 y -8 -5 4 y -6 -2

✗

✗

✓

✗

Los factores necesarios son 3 y -8.

(x + 3)(x - 8)

Factoriza cada trinomio.Comprueba tu respuesta.

3a. x 2 + 2x - 15 3b. x 2 - 6x + 8 3c. x 2 - 8x - 20

Si tienes problemas para recordar las reglas sobre qué factor es positivo o negativo, puedes probar con todos los pares de factores y comprobar las sumas.



Un polinomio y la forma factorizada del polinomio son expresiones equivalentes. Cuando evalúas estas dos expresiones para el mismo valor de la variable, los resultados son iguales.

4E J E M P L O Evaluar polinomios

Factoriza n 2 + 11n + 24. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.

n 2 + 11n + 24(n + ) (n + ) b = 11 y c = 24; busca los factores de 24

cuya suma sea 11.

Factores de 24 Suma 1 y 24 25 2 y 12 14 3 y 8 11 4 y 6 10

✗

✗

✓

✗

Los factores necesarios son 3 y 8.

(n + 3)(n + 8)

Evalúa el polinomio original y la forma factorizada para n = 0, 1, 2, 3 y 4.

n n 2+ 11n + 24

0 02 + 11 (0) + 24 = 24

1 12 + 11 (1) + 24 = 36

2 22 + 11 (2) + 24 = 50

3 32 + 11 (3) + 24 = 66

4 42 + 11 (4) + 24 = 84

n (n + 3)(n + 8)

0 (0 + 3) (0 + 8) = 24

1 (1 + 3) (1 + 8) = 36

2 (2 + 3) (2 + 8) = 50

3 (3 + 3) (3 + 8) = 66

4 (4 + 3) (4 + 8) = 84

El polinomio original y la forma factorizada tienen el mismo valor para los valores dados de n.

4. Factoriza n 2 - 7n + 10. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica con tus propias palabras cómo factorizar x 2 + 9x + 14. Muestra

cómo comprobar tu respuesta.

2. Explica cómo puedes determinar los signos de los factores de c cuando factorizas un trinomio del tipo x 2 + bx + c.

3. ORGANÍZATE Copia y Cómo factorizar

x2+ bx + c

c es positivo y b es positivo.

c es positivo y b es negativo.

c es negativoy b es positivo.

c es negativoy b es negativo.

completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe un ejemplo de un trinomio con las propiedades dadas y factorízalo.




pág. 540


1. x 2 + 13x + 36 2. x 2 + 11x + 24 3. x 2 + 14x + 40



4. x 2 + 4x + 3 5. x 2 + 10x + 16 6. x 2 + 15x + 44

7. x 2 - 7x + 6 8. x 2 - 9x + 14 9. x 2 - 11x + 24


10. x 2 - 6x - 7 11. x 2 + 6x - 27 12. x 2 + x - 30

13. x 2 - x - 2 14. x 2 - 3x - 18 15. x 2 - 4x - 45


16. Factoriza n 2 + 6n - 7. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.



17–19 1 20–25 2 26–31 3 32 4

Práctica independiente Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.

17. x 2 + 13x + 30 18. x 2 + 11x + 28 19. x 2 + 16x + 48


20. x 2 + 12x + 11 21. x 2 + 16x + 28 22. x 2 + 15x + 36

23. x 2 - 6x + 5 24. x 2 - 9x + 18 25. x 2 - 12x + 32

26. x 2 + x - 12 27. x 2 + 4x - 21 28. x 2 + 9x - 36

29. x 2 - 12x - 13 30. x 2 - 10x - 24 31. x 2 - 2x - 35

32. Factoriza n 2 - 12n - 45. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.

Relaciona cada trinomio con su factorización correcta.

33. x 2 + 3x - 10 A. (x - 2)(x - 5)

34. x 2 - 7x + 10 B. (x + 1)(x + 10)

35. x 2 - 9x - 10 C. (x - 2)(x + 5)

36. x 2 + 11x + 10 D. (x + 1)(x - 10)

37. Escríbelo Compara la multiplicación de binomios con la factorización de polinomios en factores de binomios.


38. x 2 + x - 20 39. x 2 - 11x + 18 40. x 2 - 4x - 21

41. x 2 + 10x + 9 42. x 2 - 12x - 32 43. x 2 + 13x + 42

44. x 2 - 7x + 12 45. x 2 + 11x + 18 46. x 2 - 6x - 27

47. x 2 + 5x - 24 48. x 2 - 10x + 21 49. x 2 + 4x - 45

50. Factoriza n 2 + 11n + 28. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada tienen el mismo valor para n = 0, 1, 2, 3 y 4.

8-3CLAVE: MA7 8-3

CLAVE: MA7 Parent



TAKS Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 7, 10

Áre

a (y

d2 )

0 1 2 3 4

10

20

30

40

Valores de x


51. Estimación En la gráfica se muestran las áreas de rectángulos con dimensiones de (x + 1) yardas y (x + 2) yardas. Estima el valor de x para un rectángulo con un área de 9 yardas cuadradas.

52. Geometría El área de un rectángulo en pies cuadrados se puede representar mediante x 2 + 8x + 12. La longitud es(x + 6) pies. ¿Cuál es el ancho del rectángulo?

53. Reformas Un propietario quiere agrandar un clóset que tiene un área de (x 2 + 3x + 2) pies 2 . La longitud es(x + 2) pies. Después de la construcción, el área será (x 2 + 8x + 15) pies 2 con una longitud de (x + 3) pies.

a. Halla las dimensiones del clóset antes de la construcción.

b. Halla las dimensiones del clóset después de la construcción.

c. ¿En cuántos pies aumentarán la longitud y el ancho después de la construcción?

Arte Escribe el polinomio que se representa y luego factoriza.

54.

2x

3x 6

x2

55. 56.

Copia y completa la tabla.

x 2 + bx + c Signo de cFactores de

binomioSignos de números

en binomios

x 2 + 4x + 3 Positivo (x + 1)(x + 3) Ambos positivos

57. x 2 - 4x + 3 (x 1)(x 3)

58. x 2 + 2x - 3 (x 1)(x 3)

59. x 2 - 2x - 3 (x 1)(x 3)

60. Geometría Un rectángulo tiene un área x 2 + 6x + 8. La longitud es x + 4. Halla el ancho del rectángulo. ¿El rectángulo podría ser un cuadrado? Explica por qué sí o por qué no.

4x –8

x2 –2xx2 2x

4x 8

El pintor holandés Theo van Doesburg (1883–1931) es famoso por sus pinturas compuestas de líneas y rectángulos, como la que se muestra.

Arte

61. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la página 556. La ecuación para el movimiento de un objeto con aceleración constante es d = vt + 1__

2 a t 2

donde d es la distancia recorrida en pies, v es la velocidad inicial en pies por segundo, aes la aceleración en pies por segundo al cuadrado y t es el tiempo en segundos.

a. Janna tiene dos automóviles de carrera de juguete en una pista. Uno arranca a una velocidad de 0 pies/s y acelera hasta 2 pies/ s 2 . Escribe una ecuación para la distancia que el automóvil recorre en el tiempo t.

b. El segundo automóvil viaja a una velocidad constante de 4 pies/s. Escribe una ecuación de la distancia que el segundo automóvil recorre en el tiempo t. (Pista: cuando la velocidad es constante, la aceleración es 0 pies/ s 2 ).

c. Si igualas las ecuaciones entre sí, puedes determinar el momento en el que los automóviles han recorrido la misma distancia: t 2 = 4t. Esto se puede escribir como t 2 - 4t = 0. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

(x + 2) pies


62. Construcción La longitud de una plataforma

( x + 7 ) pies

es (x + 7) pies. El área de la plataforma es (x 2 + 9x + 14) pies 2 . Halla el ancho de la plataforma.

Indica si cada enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explica.

63. El tercer término de un trinomio que se puede factorizar es igual al producto de las constantes en sus factores de binomio.

64. Las dos constantes de los factores de binomio de x 2 + x - 2 son negativas.

65. La factorización correcta de x 2 - 3x - 4 es (x + 4)(x - 1) .

66. Todos los trinomios del tipo x 2 + bx + c se pueden factorizar.

Completa la parte que falta en cada factorización.

67. x 2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - ) 68. x 2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - )

69. x 2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + )

70. x 2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + )

71. Construcción El área de una fuente rectangular es(x 2 + 12x + 20) pies 2 . El ancho es (x + 2) pies.

a. Halla la longitud de la fuente.

b. Se construye un sendero de 2 pies alrededor de la fuente. Halla las dimensiones del borde exterior del sendero.

c. Halla el área total que cubren la fuente y el sendero.

72. Razonamiento crítico Halla todos los valores posibles de b para que x 2 + bx + 6 se pueda factorizar en factores de binomio.

73. ¿Cuál es la factorización correcta de x 2 - 10x - 24?(x - 4) (x - 6) (x - 2) (x + 12)(x + 4) (x - 6) (x + 2) (x - 12)

74. ¿Qué valor de b permitiría factorizar x 2 + bx - 20?

9 12 19 21

75. ¿Qué valor de b NO permitiría factorizar x 2 + bx - 36?

5 9 15 16

76. Respuesta breve ¿Cuáles son los factores de x 2 + 2x - 24? Muestra y explica cada paso de la factorización del polinomio.

DESAFÍO Y EXTENSIÓNFactoriza cada trinomio.

77. x 4 + 18 x 2 + 81 78. y 4 - 5 y 2 - 24 79. d 4 + 22 d 2 + 21

80. (u + v)2 + 2 (u + v) - 3 81. (de)2 - (de) - 20 82. (m - n)2 - 4 (m - n) - 45

Vel

oci

dad

Tiempo


83. Halla todos los valores posibles de b para que, al factorizar x 2 + bx + 28, las constantes de ambos binomios sean positivas.

84. Halla todos los valores posibles de b para que, al factorizar x 2 + bx + 32, las constantes de ambos binomios sean negativas.

85. El área del jardín rectangular de Beth es(x 2 + 13x + 42) pies 2 . El ancho es (x + 6) pies.

a. ¿Cuál es la longitud del jardín?

b. Halla el perímetro en función de x.

c. Halla el costo de cercar el jardín cuando x es 5.

d. Halla el costo del fertilizante cuando x es 5.

e. Halla el costo total de cercar y fertilizar el jardín de Beth cuando x es 5.

REPASO EN ESPIRAL 86. Elige la situación que mejor describa la gráfica. (Lección 4-1)

A. Un objeto aumenta la velocidad, se detiene y luego marcha hacia atrás.

B. Un objeto comienza detenido, aumenta la velocidad constantemente, mantiene la velocidad constante y luego se detiene de inmediato.

C. Un objeto aumenta la velocidad rápidamente, luego aumenta la velocidad lentamente y luego se detiene de inmediato.

Simplifica. (Lección 7-3)

87. x 3x 2 88. m8n3m-12 89. (t 4)390. (- 2xy 3)5

Factoriza cada polinomio por agrupación. (Lección 8-2)

91. x 3 + 2 x2 + 5x + 10 92. 2n3 - 8 n2 - 3n + 12

93. 2p4 - 4 p3 + 7p - 14 94. x 3 - 4 x2 + x - 4

Artículo Costo

Fertilizante 0.28 ($/ pies2 )

Cerca 2.00 ($/ pies2 )

Jessica RubinoEstudiante de ciencias ambientales

P: ¿Qué cursos de matemáticas tomaste en la escuela superior?

R: Álgebra 1, álgebra 2 y geometría

P: ¿Qué cursos de matemáticas has tomado en la universidad?

R: Tomé varios cursos de modelos y programación en computadora y también de estadística y probabilidad.

P: ¿En qué se usan las matemáticas en algunos de tus proyectos?

R: Las aplicaciones de computación me ayudan a analizar los datos que se reúnen en un sitio local de eliminación de desechos. Usé mis conocimientos de matemáticas para hacer recomendaciones sobre cómo preservar el suministro de agua de los alrededores.

P: ¿Cuáles son tus planes para el futuro?

R: Me interesa estudiar la contaminación del agua. También me gustaría investigar más sobre los usos más eficientes de los recursos energéticos naturales.

CLAVE: MA7 Career

8-4 Cómo factorizar ax 2+ bx + c

En la lección anterior factorizaste trinomios del tipo x 2 + bx + c. Ahora factorizarás trinomios del tipo a x 2 + bx + c, donde a ≠ 0.

Cuando multiplicas (3x + 2)(2x + 5) , el coeficiente del término x2 es el producto de los coeficientes de los términos x. Además, el término constante del trinomio es el producto de las constantes de los binomios.

Para factorizar un trinomio como a x 2 + bx + c en sus factores de binomio, escribe

dos conjuntos de paréntesis: ( x + )( x + ) .

Escribe dos números que sean factores de a al lado de las x y dos números que sean factores de c en los otros espacios en blanco. Multiplica los binomios para comprobar si es correcto.

1E J E M P L O Factorizar ax 2 + bx + c mediante el método de calcular y poner a prueba

Factoriza 4 x 2 + 16x + 15 mediante el método de calcular y comprobar.

( + )( + ) Escribe dos conjuntos de paréntesis.

El primer término es 4 x 2, por lo tanto al menos un término variable tiene un coeficiente distinto de 1.

( x + )( x + )

El coeficiente del término x 2 es 4. El término constante del trinomio es 15.

(1x + 15)(4x + 1) = 4 x2 + 61x + 15 ✗ Prueba factores de 4 para los coeficientes y factores de 15 para los términos constantes.

(1x + 5)(4x + 3) = 4 x2 + 23x + 15 ✗

(1x + 3)(4x + 5) = 4 x2 + 17x + 15 ✗

(1x + 1)(4x + 15) = 4 x2 + 19x + 15 ✗

(2x + 15)(2x + 1) = 4 x2 + 32x + 15 ✗

(2x + 5)(2x + 3) = 4 x2 + 16x + 15 ✓

Los factores de 4 x2 + 16x + 15 son (2x + 5) y (2x + 3) .

4x2 + 16x + 15 = (2x + 5)(2x + 3)


1a. 6x 2 + 11x + 3 1b. 3x 2 - 2x - 8

ObjetivoFactorizar trinomios cuadráticos del tipoax 2 + bx + c

¿Para qué sirve?La altura que alcanza una pelota de fútbol americano después de patearla se puede representar mediante un polinomio factorizado. (Ver Ejercicio 69)


FC Dallas, que antes se llamaba Dallas Burn, es un importante equipo de fútbol de grandes ligas.

8-4 Cómo factorizar a x2 + bx + c 549

Por lo tanto, para factorizar ax2 + bx + c, comprueba los factores de a y los factores de c en los binomios. La suma de los productos de los términos externos e internos debe ser b.

Producto� a Producto� c

Suma de los productos externos e internos � b

Como necesitas comprobar todos los factores de a y todos los factores de c, puede ser útil hacer una tabla. Después comprueba los productos de los términos externos e internos para ver si la suma es b. Puedes multiplicar los binomios para comprobar tu respuesta.

2E J E M P L O Factorizar ax 2 + bx + c cuando c es positivo


A 2x 2+ 11x + 12

( x + )( x + ) a = 2 y c = 12; Externos + Internos = 11

Factores de 2 Factores de12 Externos + Internos

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 12

12 y 1

2 y 6

6 y 2

3 y 4

4 y 3

1(12)+ 2(1)

= 14

1(1)+ 2(12)

= 25

1(6)+ 2(2)

= 10

1(2)+ 2(6)

= 14

1(4)+ 2(3)

= 10

1(3)+ 2(4)

= 11

✗

✗

✗

✗

✗

✓

(x + 4)(2x + 3)

Comprueba (x + 4) (2x + 3) = 2 x 2 + 3x + 8x + 12 Usa el método FOIL.

= 2 x 2 + 11x + 12 ✓

B 5 x 2- 14x + 8

( x + )( x + ) a = 5 y c = 8; Externos + Internos = -14

Factores de 5 Factores de 8 Externos + Internos

1 y 5

1 y 5

1 y 5

-1 y -8

-8 y -1

-2 y -4

1(-8)

+ 5(-1)

= -13

1(-1)

+ 5(-8)

= -41

1(-4)

+ 5(-2)

= -14

✗

✗

✓

(x - 2)(5x - 4)

Comprueba (x - 2) (5x - 4) = 5 x 2 - 4x - 10x + 8 Usa el método FOIL.

= 5 x 2 - 14x + 8 ✓


2a. 6 x 2 + 17x + 5 2b. 9 x 2 - 15x + 4 2c. 3 x 2 + 13x + 12

Cuando c es negativo, un factor de c será positivo y el otro factor será negativo. Sólo algunos de los factores se muestran en los ejemplos, pero tal vez necesites comprobar todas las posibilidades.

Cuando b es negativo y c es positivo, los dos factores de cson negativos.


3E J E M P L O Factorizar ax 2 + bx + c cuando c es negativo


A 4 y 2+ 7y - 2

( y + )( y + ) a = 4 y c = -2; Externos + Internos = 7

Factores de 4 Factores de -2 Externos + Internos

1 y 4

1 y 4

1 y 4

1 y -2

-1 y 2

2 y -1

1(-2)

+(4) 1 = 2

(1) 2 + 4(-1)

= -2

1(-1)

+(4) 2 = 7

✗

✗

✓

(y + 2)(4y - 1)

Comprueba (y + 2) (4y - 1) = 4 y 2 - y + 8y - 2 Usa el método FOIL.

= 4 y 2 + 7y - 2 ✓

B 4 x 2+ 19x - 5

( x + )( x + ) a = 4 y c = -5; Externos + Internos = 19


1 y 4

1 y 4

1 y 4

1 y -5

-1 y 5

5 y -1

1(-5)

+(4) 1 = -1

(1) 5 + 4(-1)

= 1

1(-1)

+(4) 5 = 19

✗

✗

✓

(x + 5)(4x - 1)

Comprueba (x + 5) (4x - 1) = 4 x 2 - x + 20x - 5 Usa el método FOIL.

= 4 x 2 + 19x - 5 ✓

C 2 x 2- 7x - 15

( x + )( x + ) a = 2 y c = -15; Externos + Internos = -7


1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y -15

-1 y 15

3 y -5

-3 y 5

5 y -3

-5 y 3

1(- 5)

+(2) 1 = -13

(1) 15 + 2(-1)

= 13

1(-5)

+(2) 3 = 1

(1) 5 + 2(-3)

= -1

1(-

)+

(2) 5 = 7

(1) 3 + 2(-5)

= -7

✗

✗

✗

✗

✗

✓

(x - 5)(2x + 3)

Comprueba (x - 5) (2x + 3) = 2 x 2 + 3x - 10x - 15 Usa el método FOIL.

= 2 x 2 - 7x - 15 ✓


3a. 6 x 2 + 7x - 3 3b. 4 n 2 - n - 3


Cuando el coeficiente principal es negativo, saca –1 como factor común de cada término antes de usar otros métodos de factorización.

4E J E M P L O Factorizar ax 2 + bx + c cuando a es negativo

Factoriza -2x 2 - 15x - 7.

-1(2x 2 + 15x + 7) Saca -1 como factor común.

a = 2 y c = 7; Externos + Internos = 15-1( x + )( x + )


1 y 2

1 y 2

1 y 7

7 y 1

(1) 7 +(2)1 = 9

(1) 1 +(2)7 = 15

✗

✓

(x + 7)(2x + 1)

-1(x + 7)(2x + 1)


4a. -6x 2 - 17x - 12 4b. -3x 2 - 17x - 10

RAZONAR Y COMENTAR 1. Sean a, b y c positivos. Si a x 2 + bx + c es es el producto de dos binomios,

¿qué sabes sobre los signos de los números en los binomios?

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Escribe cada uno delos siguientes trinomios en el recuadrocorrespondiente y factoriza cada uno. 3x 2 + 10x - 8 3 x 2 + 10x + 83x 2 - 10x + 8 3 x 2 - 10x - 8

Cuando sacas –1 como factor común en uno de los primeros pasos, debes mantenerlo en el resto de los pasos.

Para factorizar 6 x 2 + 7x + 2, primero hallo los factores que necesito.

ac = 2 (6) = 12 b = 7 Factores de 12 Suma

1 y 12 13 2 y 6 8

3 y 4 7

Luego vuelvo a escribir el trinomio como 6 x 2 + 3x + 4x + 2.

Ahora organizo 6 x 2 + 3x + 4x + 2 en un recuadro y saco los factores comunes de cada fila y columna.

Los factores son (2x + 1) y (3x + 2).

Cómo factorizar a x2+ bx + c

Reggie WilsonEscuela Superior Franklin

Me gusta usar un recuadro que me ayude a factorizar trinomios. Busco los factores de ac que suman b. Luego organizo los términos en un recuadro y factorizo.


PRÁCTICA GUIADAFactoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.


1. 2x 2 + 9x + 10 2. 5x 2 + 31x + 6 3. 5x 2 + 7x - 6

4. 6x 2 + 37x + 6 5. 3x 2 - 14x - 24 6. 6x 2 + x - 2



7. 5x 2 + 11x + 2 8. 2x 2 + 11x + 5 9. 4x 2 - 9x + 5

10. 2y 2 - 11y + 14 11. 5x 2 + 9x + 4 12. 3x 2 + 7x + 2


13. 4a 2 + 8a - 5 14. 15x 2 + 4x - 3 15. 2x 2 + x - 6

16. 6n 2 - 11n - 10 17. 10x 2 - 9x - 1 18. 7x 2 - 3x - 10


19. -2x 2 + 5x + 12 20. -4n 2 - 16n + 9 21. -5x 2 + 7x + 6

22. -6x 2 + 13x - 2 23. -4x 2 - 8x + 5 24. -5x 2 + x + 18



25–33 1 34–42 2 43–48 3 49–51 4

Práctica independiente Factoriza cada trinomio mediante el método de calcular y comprobar.

25. 9x 2 + 9x + 2 26. 2x 2 + 7x + 5 27. 3n 2 + 8n + 4

28. 10d 2 + 17d + 7 29. 4c 2 - 17c + 15 30. 6x 2 + 14x + 4

31. 8 x 2 + 22x + 5 32. 6 x 2 - 13x + 6 33. 5 x 2 + 9x - 18


34. 6x 2 + 23x + 7 35. 10n 2 - 17n + 7 36. 3x 2 + 11x + 6

37. 7x 2 + 15x + 2 38. 3n 2 + 4n + 1 39. 3x 2 - 19x + 20

40. 6 x 2 + 11x + 4 41. 4 x 2 - 31x + 21 42. 10 x 2 + 31x + 15

43. 12y 2 + 17y - 5 44. 3x 2 + 10x - 8 45. 4x 2 + 4x - 3

46. 2n 2 - 7n - 4 47. 3x 2 - 4x - 15 48. 3n 2 - n - 4

49. -4x 2 - 4x + 15 50. -3x 2 + 16x - 16 51. -3x 2 - x + 2

Geometría En los Ejercicios del 52 al 54, escribe el polinomio que se representa y luego factoriza.

52. 53. 54.

Factoriza cada trinomio, si es posible.

55. 9n 2 + 17n + 8 56. 2x 2 - 7x - 4 57. 4x 2 - 12x + 5

58. 5x 2 - 4x + 12 59. 3x 2 + 14x + 16 60. -3x 2 - 11x + 4

61. 6x 2 - x - 12 62. 10a 2 + 11a + 3 63. 4x 2 - 12x + 9

8-4


CLAVE: MA7 Parent

CLAVE: MA7 8-4




a

?

2a ?


64. Geometría El área de un rectángulo es 6x 2 + 11x + 5 cm 2 . El ancho es (x + 1) cm. ¿Cuál es la longitud del rectángulo?

65. Escríbelo Escribe un párrafo en el que describas cómo factorizar 6 x 2 + 13x + 6.Muestra cada paso que sigas y explícalo.

Completa cada factorización.

66. 8 x 2 - 18x - 5 67. 4 x 2 + 9x + 2

8 x 2 + 20x - 2x - 5 4 x 2 + 8x + x + 2

(8x 2 + 20x) - (2x + 5) (4x 2 + 8x) + (x + 2)

( + ) - (2x + 5) ( + ) + (x + 2)

( - )(2x + 5) ( + )(x + 2)

68. Jardinería La longitud del jardín rectangular de Rebecca medía dos veces el ancho a. Rebecca aumentó la longitud y el ancho del jardín para que el área del nuevo jardín midiera (2a 2 + 7a + 6) yardas cuadradas. ¿Cuánto aumentó Rebecca la longitud y el ancho del jardín?

69. Física La altura de una pelota de fútbol americano cuando se lanza o patea se puede describir mediante la expresión -16t 2 + vt + h donde t es el tiempo en segundos, v es la velocidad ascendente inicial y h es la altura inicial en pies.

a. Escribe una expresión para la altura de una pelota de fútbol americano en el tiempo tcuando la velocidad ascendente inicial es 20 pies por segundo y la altura inicial es 6 pies.

b. Factoriza tu expresión de la parte a.

c. Halla la altura de la pelota de fútbol americano después de 1 segundo.

70. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Un estudiante intentó factorizar 2 x 2 + 11x + 12 como se muestra. Halla el error y explícalo.

71. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la página 552. La ecuación d = 2 t 2 da la distancia desde el punto de partida de un barco de juguete que comienza detenido y acelera a 4 cm/s2. La ecuación d = 10t - 8 da la distancia desde el punto de partida de un segundo barco que comienza detenido 8 cm detrás del primer barco y que viaja a una velocidad constante de 10 cm/s.

a. Al igualar las ecuaciones entre sí, puedes determinar en qué momento los barcos están a la misma distancia del punto de partida: 2 t 2 = 10t - 8. Usa las propiedades de álgebra para reunir todos los términos del lado izquierdo de la ecuación y deja 0 en el lado derecho.

b. Factoriza la expresión del lado izquierdo de la ecuación.

c. Los barcos están a la misma distancia del punto de partida en t = 1 y t = 4. Explica cómo se usaron los factores que hallaste en la parte b para hallar estos dos tiempos.


Relaciona cada trinomio con su factorización correcta.

72. 6x 2 - 29x - 5 A. (x + 5)(6x + 1)

73. 6x 2 - 31x + 5 B. (x - 5)(6x - 1)

74. 6x 2 + 31x + 5 C. (x + 5)(6x - 1)

75. 6x 2 + 29x - 5 D. (x - 5)(6x + 1)

76. Razonamiento crítico El trinomio cuadrático ax 2 + bx + c tiene a > 0 y se puede factorizar en el producto de dos binomios.

a. Explica qué sabes sobre los signos de las constantes de los factores si c > 0.

b. Explica qué sabes sobre los signos de las constantes de los factores si c < 0.

77. ¿Qué valor de b permitiría factorizar 3 x 2 + bx - 8?

3 10 11 25

78. ¿Qué producto de binomios se representa en el modelo?

(x + 4) (3x + 5) (x + 3) (5x + 4)(x + 4) (5x + 3) (x + 5) (3x + 4)

79. ¿Qué binomio es un factor de 24 x 2 - 49x + 2?

x - 2 x - 1 x + 1 x + 2

80. ¿Qué valor de c haría que 2 x 2 + x + c NO se pudiera factorizar?

-15 -9 -6 -1

DESAFÍO Y EXTENSIÓNFactoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta.

81. 1 + 4x + 4 x 2 82. 1 - 14x + 49 x 2 83. 1 + 18x + 81 x 2

84. 25 + 30x + 9 x 2 85. 4 + 20x + 25 x 2 86. 4 - 12x + 9 x 2

87. Halla todos los valores posibles de b para que 3 x 2 + bx + 2 se pueda factorizar.

88. Halla todos los valores posibles de b para que 3 x 2 + bx - 2 se pueda factorizar.

89. Halla todos los valores posibles de b para que 5 x 2 + bx + 1 se pueda factorizar.

REPASO EN ESPIRAL 90. Archie gana $12 por hora y le pagan por números cabales de horas. La función

f (x) = 12x da la cantidad de dinero que Archie gana en x horas. Representa gráficamente esta función y da el dominio y el rango. (Lección 5-1)

Representa gráficamente cada sistema de desigualdades lineales. Da dos pares ordenados que sean soluciones y dos que no sean soluciones. (Lección 6-6)

91.⎧ ⎨

⎩ y < -2x + 1

y > 3x - 5 92.

⎧ ⎨

⎩ y ≥ -x + 2

y ≤ x - 3 93.

⎧ ⎨

⎩ y ≤ -4x

y > 2x - 6

Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta. (Lección 8-3)

94. x 2 + 6x + 8 95. x 2 - 8x - 9 96. x 2 - 8x + 12

Factorizar polinomios mediante una gráficaPuedes usar una calculadora de gráficas para factorizar polinomios.

Inténtalo

Representa gráficamente cada trinomio y usa la gráfica para predicir los factores. Luego factoriza cada trinomio en forma algebraica.

1. x 2 - x - 2 2. x 2 + 5x + 6 3. x 2 + x - 12

4. x 2 + 12x - 64 5. x 2 - 4x - 5 6. 3x 2 + 16x - 12

8-4


8-4 Laboratorio de tecnología 555

Actividad

Factoriza x 2 - 3x - 4 en forma algebraica y comprueba tu factorización con una calculadora de gráficas.

1 x 2 - 3x - 4

(x + )(x + ) b = -3 y c = -4; busca factores de -4 cuya suma sea -3.

-4(1) = -4; -4 + 1 = -3(x - 4)(x + 1)

2 Oprime y escribe x 2 - 3x - 4 para Y1.

3 Oprime para ver la gráfica de la ecuación.

4 Oprime y usa los botones izquierdo y derecho para mover el cursor por la gráfica. La gráfica parece cruzar el eje x enx = -1 y x = 4.

5 Para hallar el valor de y en x = -1, escribe -1 y oprime en el modo Trace. En la calculadora aparece un valor para y. Luego escribe 4 para hallar el valor de y en x = 4.

En la calculadora se observa y = 0 en x = -1 y en x = 4.

Observa que para una función con un factor de binomio del tipo (x - a), a es una intersección con el eje x.

CLAVE: MA7 Lab8

TAKS Grados 9 a 11, Obj. 2

FactorizaciónLuz roja, luz verde La ecuación para el movimiento de un objeto con aceleración constante es d = vt + 1__

2a t 2 , donde d es

la distancia recorrida en metros, v la velocidad inicial en m/s, aes la aceleración en m/s2 y t es el tiempo en segundos.

1. Un automóvil se detiene en un semáforo. La luz cambia a verde y el conductor comienza a acelerar a una velocidad de 4 m/ s 2 . Escribe una ecuación para la distancia que el automóvil recorre en el tiempo t.

2. Un autobús viaja a una velocidad de 15 m/s. El conductor se acerca al mismo semáforo por otro carril. No frena y sigue avanzando a la misma velocidad. Escribe una ecuación para la distancia que el autobús recorre en el tiempo t. (Pista: a una velocidad constante, la aceleración es 0 m/ s 2 ).

3. Iguala las ecuaciones entre sí para determinar en qué momento el automóvil y el autobús están a la misma distancia de la intersección. Reúne todos los términos en el lado izquierdo de esta nueva ecuación y deja el 0 en el lado derecho. Factoriza la expresión del lado izquierdo de la ecuación.

4. Sea t = 0 el punto en el que el automóvil comienza la marcha y el autobús está a la par del automóvil. Halla otro momento en el que los vehículos estarán a la misma distancia de la intersección.

5. ¿Qué distancia habrán recorrido los dos vehículos cuando estén nuevamente a la misma distancia de la intersección?

6. Un camión que viaja a 16 m/s está 24 metros detrás del autobús en t = 0. La ecuación d = -24 + 16 t da la posición del camión. ¿En qué momento el camión estará a la misma distancia de la intersección que el autobús? ¿Cuál será esa distancia?

Velocidad = 15 m/s

Aceleración = 4 m/s2

SECCIÓN 8A



¿Listo para seguir? 557

Prueba de las Lecciones 8-1 a 8-4

8-1 Factores y máximo común divisorEscribe la factorización prima de cada número.

1. 54 2. 42 3. 50 4. 120 5. 44 6. 78


7. 6p 3 y 2p 8. 12x 3 y 18x 4

9. -15 y 20s 4 10. 3a y 4b 2

11. Brent hace una vitrina de madera para su colección de pelotas de béisbol. Tiene 24 pelotas de los partidos de la Liga de Estados Unidos y 30 pelotas de los partidos de la Liga Nacional. Quiere poner la misma cantidad de pelotas de béisbol en cada fila y no quiere poner las pelotas de la Liga de Estados Unidos en la misma fila que las pelotas de la Liga Nacional. ¿Cuántas filas necesitará Brent en la vitrina para poner la mayor cantidad posible de pelotas en cada fila?

8-2 Cómo factorizar mediante el MCDFactoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta.

12. 2d 3 + 4d 13. m 2 - 8m 5

14. 12x 4 - 8x 3 - 4x 2 15. 3k 2 + 6k - 3

16. El área total de un cono se puede hallar mediante la expresión iπr + π r 2 , donde i representa la altura inclinada y r representa el radio de la base.


17. w 3 - 4w 2 + w - 4 18. 3x 3 + 6x 2 - 4x - 8

19. 2p 3 - 6p 2 + 15 - 5p 20. n 3 - 6 n 2 + 5n - 30

8-3 Cómo factorizar x 2+ bx + c


21. n 2 + 9n + 20 22. d 2 - 6d - 7 23. x 2 - 6x + 8

24. y 2 + 7y - 30 25. k 2 - 6k + 5 26. c 2 - 10c + 24

27. Simplifica y factoriza el polinomio n(n + 3) - 4. Muestra que el polinomio original y la forma factorizada describen la misma sucesión de números para n = 0, 1, 2, 3 y 4.

8-4 Cómo factorizar ax 2+ bx + c


28. 2x 2 + 11x + 5 29. 3n 2 + 16n + 21 30. 5y 2 - 7y - 6

31. 4g 2 - 10g + 6 32. 6p 2 - 18p - 24 33. 12d 2 + 7d - 12

34. El área de un rectángulo es ( 8x 2 + 8x + 2) cm 2 . El ancho es (2x + 1) cm. ¿Cuál es la longitud del rectángulo?

h

r

i

SECCIÓN 8A


8-5 Cómo factorizar productos especiales

ObjetivosFactorizar trinomios cuadrados perfectos

Factorizar la diferencia de dos cuadrados

En el Capítulo 7 estudiaste los patrones de algunos productos especiales de binomios. Puedes usar esos patrones para factorizar ciertos polinomios.

Un trinomio es un cuadrado perfecto si:• El primero y el último término son

cuadrados perfectos.• El término del medio es dos por un

factor del primer término y un factor del útimo término.

9x 2 + 12x + 4

3x · 3x 2(3x · 2) 2 · 2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJEMPLOS

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) (a + b) = (a + b) 2

a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) (a - b)=

(a - b) 2

x 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) 2

x 2 - 2x + 1 = (x - 1) (x - 1) = (x - 1) 2

Trinomios cuadrados perfectos

1E J E M P L O Reconocer y factorizar trinomios cuadrados perfectos

Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.

A x 2+ 12x + 36

x 2 + 12x + 36

x · x 2(x · 6) 6 · 6 El trinomio es un cuadrado pefecto. Factoriza.

Método 1 Factoriza. Método 2 Usa la regla.x2 + 12x + 36 x2 + 12x + 36 a = x, b = 6

Escribe el trinomio como a2 + 2ab + b2 .

Escribe el trinomio como (a + b) 2 .

x2 + 2 (x)(6) + 62Factores de 36 Suma1 y 36 37

2 y 18 20 3 y 12 15 4 y 9 13

6 y 6 12

✗

✗

✗

✗

✓

(x + 6)2

(x + 6)(x + 6)

¿Quién lo usa?Los planificadores urbanos pueden usar el área de la plaza de un pueblo para hallar su longitud y su ancho. (Ver Ejemplo 2)

Tribunales de Waxahachie, Waxahachie, Texas

TEKS A.4.A Bases de las funciones: … factorizar cuando sea necesario para resolver situaciones dadas. Ver también A.3.A

8-5 Cómo factorizar productos especiales 559


B 4 x 2- 12x + 9

4x 2 - 12x + 9

2x · 2x 2(2x · 3) 3 · 3 El trinomio es un cuadrado perfecto. Factoriza.

4 x 2 - 12x + 9 a = 2x, b = 3

a 2 - 2ab + b2

(a - b) 2 (2x)2 - 2 (2x)(3) + 3 2

(2x - 3)2

C x 2+ 9x + 16

x 2 + 9x + 16

x · x 2(x · 4) 4 · 4 2(x · 4) ≠ 9x

x 2 + 9x + 16 no es un cuadrado perfecto porque 9x ≠ 2 (x · 4) .


1a. x 2 + 4x + 4 1b. x 2 - 14x + 49 1c. 9 x 2 - 6x + 4

Puedes comprobar tu respuesta mediante el método FOIL.

Para el Ejemplo 1B,(2x - 3) 2=(2x - 3) (2x - 3) =4x2 - 6x - 6x + 9 =4x2 - 12x + 9

2E J E M P L O Aplicación a la resolución de problemas

RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS

Muchos juzgados en Texas están en el centro de una plaza de la ciudad. El área de la plaza que se muestra es (25x 2

+ 70x + 49) pies2. Las dimensiones de la plaza son aproximadamente cx + d, donde c y d son números cabales. Escribe una expresión para el perímetro de la plaza. Halla el perímetro cuando x = 60.

1 Comprende el problema

La respuesta será una expresión para el perímetro de la plaza y el valor de la expresión cuando x = 8.Haz una lista de la información importante:

• La plaza es un rectángulo con un área de (25x 2 + 70x + 49) . • Las dimensiones de la plaza se expresan como cx + d pies2,

donde c y d son números cabales.

2 Haz un plan

La fórmula del área de un rectángulo es área = longitud · ancho.

Factoriza 25 x 2 + 70x + 49 para hallar la longitud y el ancho de la plaza. Escribe una fórmula para el perímetro de la plaza y evalúa la expresión para x = 60.


3 Resuelve

25 x 2 + 70x + 49 a = 5x, b = 7

Escribe el trinomio como a2 + 2ab + b2 .

Escribe el trinomio como (a + b)

2 .

(5x)2 + 2 (5x)(7) + 7 2

(5x + 7)2

25 x 2 + 70x + 49 = (5x + 7)(5x + 7)

La longitud y el ancho de la plaza son (5x + 7) pies y (5x + 7) pies. Como la longitud y el ancho son iguales, la plaza es un cuadrado.

Escribe una fórmula para el perímetro de la plaza. P = 4s Escribe la fórmula del perímetro de un cuadrado.

Sustituye l por la longitud del lado.

Distribuye 4.

Sustituye 60 por x.

= 4(5x + 7)

= 20x + 28Una expresión para el perímetro del parque en pies es 20x + 28.

Evalúa la expresión cuando x = 60. P = 20x + 28

= 20(60) + 28= 1228

Cuando x = 60 pies, el perímetro de la plaza es 1228 pies.

4 Repasa

Para una plaza con un perímetro de 1228 pies, la longitud del lado es 1228____

4= 307 pies y el área es 30 7 2 = 94,249 pies 2 .

Evalúa 25 x 2 + 70x + 49 para x = 60: 25 (60)

2 + 70(60) + 49 90,000 + 4,200 + 49 94,249 ✓

2. ¿Y si…? Una empresa produce láminas cuadradas de aluminio con un área de (9x 2 + 6x + 1) m 2 cada una. La longitud del lado de cada lámina se expresa como cx + d,donde c y d son números cabales. Halla una expresión en función de x para el perímetro de una lámina. Halla el perímetro cuando x = 3 m.

En el Capítulo 7, aprendiste que la diferencia de dos cuadrados se expresa como a2 - b2 . La diferencia de dos cuadrados se puede escribir como el producto (a + b)(a - b). Puedes usar este patrón para factorizar algunos polinomios.

Un polinomio es una diferencia de dos cuadrados si:• Hay dos términos, uno restado del otro.• Ambos términos son cuadrados perfectos.

4x 2 - 9

2x · 2x 3 · 3

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS EJEMPLO

a2 - b2 = (a + b)(a - b) x 2 - 9 = (x + 3) (x - 3)

Diferencia de dos cuadrados


3E J E M P L O Reconocer y factorizar la diferencia de dos cuadrados

Determina si cada binomio es una diferencia de dos cuadrados. Si es así, factoriza. Si no, explica.

A x 2- 81

x 2 - 81

x · x 9 · 9 El polinomio es una diferencia de dos cuadrados.

a = x, b = 9

Escribe el polinomio como (a + b) (a - b).

x 2 - 9 2

(x + 9)(x - 9)

x 2 - 81 = (x + 9)(x - 9)

B 9 p4- 16 q 2

9p 4 - 16 q2

3p 2 · 3p 2 4q · 4q El polinomio es una diferencia de dos cuadrados.

a = 3 p2, b = 4q

Escribe el polinomio como (a + b) (a - b).

(3p 2)2- (4q)2

(3p 2 + 4q)(3p2 - 4q) 9 p4 - 16q2 = (3p2 + 4q)(3p2 - 4q)

C x 6- 7 y 2

x 6 - 7y 2

x 3 · x 37y 2 no es un cuadrado perfecto.

x 6 - 7 y 2 no es la diferencia de dos cuadrados porque 7 y 2 no es un cuadrado perfecto.

Determina si el binomio es una diferencia de dos cuadrados. Si es así, factoriza. Si no, explica.

3a. 1 - 4 x 2 3b. p 8 - 49 q 6 3c. 16 x 2 - 4 y 5

RAZONAR Y COMENTAR 1. El binomio 1 - x 4 es una diferencia de dos cuadrados. Usa la regla para

identificar a y b en 1 - x 4 .

2. El polinomio x 2 + 8x + 16 es un trinomio cuadrado perfecto. Usa la regla para identificar a y b en x2 + 8x +16.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Escribe un ejemplo de cada tipo de producto especial y factorízalo.

Producto especial Forma factorizada

Trinomio cuadrado perfecto con coeficiente positivo del término del medio

Trinomio cuadrado perfecto con coeficiente negativo del término del medio

Diferencia de dos cuadrados

Reconoce una diferencia de dos cuadrados: los coeficientes de los términos variables son cuadrados perfectos, las potencias en los términos variables son pares y las constantes son cuadrados perfectos.




pág. 558


1. x 2 - 4x + 4 2. x 2 - 4x - 4 3. 9 x 2 - 12x + 4

4. x 2 + 2x + 1 5. x 2 - 6x + 9 6. x 2 - 6x - 9


7. Planificación de la ciudad Una ciudad compra un terreno rectangular con un área de ( x 2 + 24x + 144) yd 2 para un parque. Las dimensiones del terreno son del tipo ax + b, donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro del parque. Halla el perímetro cuando x = 10 yardas.


Determina si cada binomio es una diferencia de dos cuadrados.. Si es así, factoriza. Si no, explica.

8. 1 - 4 x 2 9. s 2 - 4 2 10. 81 x 2 - 1

11. 4x 4 - 9 y 2 12. x 8 - 50 13. x 6 - 9



14–19 1 20 2 21–26 3

Práctica independiente Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.

14. 4 x 2- 4x + 1 15. 4 x 2- 4x - 1 16. 36 x 2- 12x + 1

17. 25 x 2+ 10x + 4 18. 9 x 2+ 18x + 9 19. 16 x 2- 40x + 25

20. Medición Te dan una hoja de papel y te piden que cortes un trozo rectangular con un área de (4 x 2- 44x + 121) mm 2 . Las dimensiones del rectángulo son del tipo ax - b,donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro del rectángulo que cortaste. Halla el perímetro cuando x = 41 mm.


21. 12 - 4 x 2 22. 25m 2 - 16 n 2 23. 4x - 9y

24. 49p12 - 9 q 6 25. 92 - 100 x 4 26. x 3 - y 3

Halla el término que falta en cada trinomio cuadrado perfecto.

27. x 2+ 14x + 28. 9x 2 + + 25 29. - 36y + 81

Factoriza cada polinomio mediante la regla para trinomios cuadrados perfectos o la regla para la diferencia de dos cuadrados. Indica qué regla usaste.

30. x 2- 8x + 16 31. 100 x 2- 81 y 2 32. 36 x 2+ 24x + 4

33. 4r 6 - 25 s 6 34. 49 x 2- 70x + 25 35. x14 - 144

36. Escríbelo ¿En qué se parecen y en qué se diferencian un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de dos cuadrados?

37. Razonamiento crítico Describe dos formas de crear un trinomio cuadrado perfecto.

38. ¿Para qué valor de b sería (x + b)(x + b) la forma factorizada de x 2 - 22x + 121?

39. ¿Para qué valor de c los factores de x 2 + cx + 256 son los mismos?

8-5CLAVE: MA7 8-5

CLAVE: MA7 Parent





41. Varios pasos El área de un cuadrado se representa mediante 25 z 2 - 40z + 16.

a. ¿Qué expresión representa la longitud de un lado del cuadrado?

b. ¿Qué expresión representa el perímetro del cuadrado?

c. ¿Cuáles son la longitud de un lado, el perímetro y el área cuando z = 3?

42. Varios pasos Se dibuja un rectángulo pequeño dentro de un rectángulo más grande como se muestra en la figura.

a. ¿Cuál es el área de cada rectángulo?

b. ¿Cuál es el área de la región verde?

c. Factoriza la expresión para el área de la región verde. (Pista: primero saca 3 como factor común y luego factoriza el binomio).

43. Evalúa cada expresión para los valores de x.

x x2 + 10x + 25 (x + 5)

2 (x - 5)2 x 2 - 10x + 25 x 2 - 25

a. -5

b. -1

c. 0

d. 1

e. 5

44. En la tabla anterior, ¿qué columnas tienen valores equivalentes? Explica por qué.

45. Geometría A continuación se muestra un modelo para la diferencia de dos cuadrados. Copia y completa la segunda figura con los rótulos que faltan.

46. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes factorizaron 25 x 4 - 9 y 2 . ¿Quién está equivocado? Explica el error.

40. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la página 572.Juanita diseñó un huerto en forma de cuadrado y compró cerca para ese diseño. Luego decidió cambiar el diseño por un rectángulo.

a. El huerto cuadrado tenía un área de x2 pies 2 . El área del huerto rectangular es (x2 - 25) pies2. Factoriza la expresión para el área del huerto rectangular.

b. Como el huerto rectangular debe tener el mismo perímetro que el huerto cuadrado, Juanita sumó una cantidad de pies a la longitud y restó la misma cantidad de pies del ancho. Usa tus factores de la parte a para determinar cuántos pies se sumaron a la longitud y cuántos se restaron del ancho.

c. Si la longitud original del huerto cuadrado era 8 pies, ¿cuáles son la longitud y el ancho del nuevo huerto?


47. Se evalúa una expresión polinomial para hallar los valores de x y de y que se muestran en la tabla. ¿Qué expresión se evaluó para obtener los valores que se muestran en la tercera columna?

x 2 - y 2

x 2 + 2xy + y 2

x 2 - 2xy + y 2

ninguna de las anteriores

48. El área de un cuadrado es 4 x 2 + 20x + 25. ¿Qué expresión se puede usar también para representar el área del cuadrado?

(2x - 5) (5 - 2x) (2x - 5) 2

(2x + 5) (2x - 5) (2x + 5) 2

49. Respuesta gráfica Evalúa la expresión polinomial x 2 - 18x + 81 para x = 10.

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 50. El binomio 81 x 4 - 16 se puede factorizar usando la regla para una diferencia

de dos cuadrados.

a. Completa la factorización: 81 x 4 - 16

(9x 2 + )( - ) b. Un binomio de la parte a se puede seguir factorizando. Identifica el binomio

y factorízalo.

c. Escribe tú mismo un binomio que se pueda factorizar dos veces como la diferencia de dos cuadrados.

51. La expresión 4 - (v + 2)2 es la diferencia de dos cuadrados porque cumple la regla a 2 - b 2 .

a. Identifica a y b en la expresión.

b. Factoriza y simplifica 4 - (v + 2)2 .

La diferencia de cubos es una expresión del tipo a 3 - b 3 . Se puede factorizar de acuerdo con la regla a 3 - b 3 = (a + b)( a 2 - ab + b 2) . Para cada binomio, identifica a y b y factoriza usando la regla.

52. x 3 - 1 53. 27y 3 - 64 54. n 6 - 8

REPASO EN ESPIRALHalla el dominio y el rango de cada relación e indica si la relación es una función. (Lección 4-2)

55. ⎧ ⎨

⎩ (5, 2) , (4, 1) , (3, 0) , (2, -1)

⎫ ⎬

⎭ 56.

⎧ ⎨

⎩ (-3, 6) , (-1, 6) , (1, 6) , (3, 6)

⎫ ⎬

⎭

57.⎧ ⎨

⎩ (2, -8) , (2, -2) , (2, 4) , (2, 10)

⎫ ⎬

⎭ 58.

⎧ ⎨

⎩ (-2, 4) , (-1, 1) , (0, 0) , (1, 1)

⎫ ⎬

⎭

Multiplica. (Lección 7-7)

59. 2a(3a 2 + 7a - 5) 60. (x + 3)(x - 8) 61. (t - 4)2

Halla el MCD de cada par de monomios. (Lección 8-1)

62. 9m 2 y 3 m 2 63. 8c 2 y 8 d 2 64. -12x 3y y 16 y 2

x yValor de la expresión

0-1 1 1

0-1 1-1

0004

Recuerda estos productos especiales que estudiaste en los Capítulos 7 y 8.

Patrones de productos especiales

Diferencia de dos cuadrados (a + b)(a - b)= a 2 - b 2

Trinomio cuadrado perfecto (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2

Inténtalo

Simplifica cada expresión mediante las reglas para productos especiales.

1. 18 2 - 12 2 2. 11 2 + 2 (11)(14) + 14 2 3. 22 2 - 18 2

4. 38 2 - 2 (38)(27) + 27 2 5. 29 2 - 2 (29)(17) + 17 2 6. 55 2 + 2 (55)(45) + 45 2

7. 14 2 - 9 2 8. 13 2 - 12 2 9. 14 2 + 2 (14)(16) + 16 2

Cálculo mental

Reconocer los patrones de los productos especiales te puede ayudar a realizar multiplicaciones mentalmente.

Ejemplo 1

Simplifica 17 2 - 7 2 .

Esta expresión es una diferencia de dos cuadrados con a = 17 y b = 7.

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

17 2 - 7 2 = (17 + 7)(17 - 7)

= (24)(10)

= 240

Escribe la regla para una diferencia de dos cuadrados.

Sustituye a por 17 y b por 7.

Simplifica cada grupo.

Ejemplo 2

Simplifica 14 2 + 2 (14)(6)+ 6 2 .

Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto con a = 14 y b = 6.

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2

14 2 + 2 (14)(6) + 6 2 = (14 + 6)2

= (20) 2

= 400

Escribe la regla para un trinomio cuadrado perfecto.

Sustituye a por 14 y b por 6.

Simplifica.

Ver Banco de destrezas, página S52

Teoría de los números

Rumbo a TAKS 565


8-6 Cómo elegir un método de factorización

ObjetivosElegir un método adecuado para factorizar un polinomio

Combinar métodos para factorizar un polinomio

¿Para qué sirve?Necesitarás factorizar polinomios para resolver ecuaciones cuadráticas, que tienen muchas aplicaciones en física. (Ver Ejercicio 42)

La altura de un salto de un bailarín de ballet se puede representar mediante un polinomio cuadrático. Para resolver una ecuación que incluya a ese polinomio, es posible que necesites factorizar el polinomio.

Recuerda que un polinomio está completamente factorizado cuando se escribe como un producto que no se puede factorizar más.

1E J E M P L O Determinar si un polinomio está factorizado completamente

Indica si cada polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.

A 2x( x 2 + 4)

2x(x 2 + 4) Ni 2x ni x 2 + 4 se puedenseguir factorizando.

2x + 6 se puede seguir factorizando.

Saca como factor común 2, el MCD de 2x y 6.

2x(x 2 + 4) está factorizado completamente.

B (2x + 6)(x + 5)

(2x + 6)(x + 5)

2 (x + 3)(x + 5)

2 (x + 3)(x + 5) está factorizado completamente.

Indica si el polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.

1a. 5 x 2(x - 1) 1b. (4x + 4)(x + 1)

Para factorizar completamente un polinomio, es posible que necesites usar más de un método de factorización. Usa los siguientes pasos para factorizar completamente un polinomio.

Cómo factorizar polinomios

Paso 1 Halla el máximo común divisor.

Paso 2 Halla un patrón que se ajuste a la diferencia de dos cuadrados o a un trinomio cuadrado perfecto.

Paso 3 Para factorizar x 2 + bx + c, busca dos números cuya suma sea b y cuyo producto sea c.

Para factorizar ax 2 + bx + c, busca los factores de a y los factores de c en los factores de binomio. La suma de los productos de los términos exteriores e interiores debe ser b.

Paso 4 Halla los factores comunes.

x 2 + 4 es una sumade cuadrados y no se puede factorizar.


8- 6 Cómo elegir un método de factorización 567

2E J E M P L O Factorizar mediante el MCD y reconocer los patrones

Factoriza completamente -2x y 2 + 16xy - 32x. Comprueba tu respuesta.

-2x y 2 + 16xy - 32x-2x(y 2 - 8y + 16) Saca el MCD como factor común. y 2 - 8y + 16 es un

trinomio cuadrado perfecto del tipo a 2 - 2ab + b 2 .a = y, b = 4-2x (y - 4)2

Comprueba -2x (y - 4) 2 = -2x ( y 2 - 8y + 16)

= -2xy 2 + 16xy - 32x ✓

Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba tu respuesta.

2a. 4 x 3 + 16 x 2 + 16x 2b. 2 x 2y - 2 y 3

Si ninguno de los métodos de factorización funciona, se dice que el polinomio no es factorizable.

3E J E M P L O Factorizar mediante métodos múltiples

Factoriza completamente cada polinomio.

A 2 x 2+ 5x + 4

2 x 2 + 5x + 4 El MCD es 1 y no hay un patrón.

a = 2 y c = 4; Externos + Internos = 5( x + )( x + )


1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 4

4 y 1

2 y 2

(1) 4 +

(2) 1 = 6

(1) 1 +

(2) 4 = 9

(1) 2 +

(2) 2 = 6

✗

✗

✗

2 x 2 + 5x + 4 no se puede factorizar.

B 3 n 4- 15 n 3

+ 12 n 2

3 n 2(n 2 - 5n + 4) Saca el MCD como factor común. No hay un patrón.

b = -5 y c = 4; busca los factores de 4 cuya suma sea -5.

Los factores necesarios son -1 y -4.

Saca el MCD como factor común. No hay un patrón.a = 2 y c = 10; Externos + Internos = 9

(n + )(n + )

Factores de 4 Suma-1 y -4 -5 ✓

-2 y -2 -4 ✗

3 n 2(n - 1)(n - 4)

C 4 x 3+ 18 x 2

+ 20x 2x(2x 2 + 9x + 10)

( x + )( x + )


1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y 10

10 y 1

2 y 5

(1) 10 +

(2) 1 = 12

(1) 1 +

(2) 10 = 21

(1) 5 +

(2) 2 = 9

✗

✗

✓

(x + 2)(2x + 5) 2x(x + 2)(2x + 5)

Para un polinomio del tipo ax2 + bx + c,si no hay números cuya suma sea b y cuyo producto sea ac,entonces el polinomio no se puede factorizar.

D p 5- p

p(p 4 - 1) Saca el MCD como factor común.

p4- 1 es una diferencia de dos cuadrados.

p2- 1 es una diferencia de dos cuadrados.

p(p 2 + 1)(p 2 - 1)

p(p 2 + 1)(p + 1)(p - 1)


3a. 3 x 2 + 7x + 4 3b. 2 p 5 + 10 p 4 - 12 p 3

3c. 9 q 6 + 30 q 5 + 24 q 4 3d. 2 x 4 + 18

Cualquier polinomio: Busca el máximo común divisor.

ab - ac = a(b - c) 6x 2y + 10xy 2 = 2xy(3x + 5y

)

Binomios: Busca una diferencia de dos cuadrados.

a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) x 2 - 9 y 2 =(x + 3y

) (x - 3y

)

Trinomios: Busca trinomios cuadrados perfectos y otros trinomios que se pueden factorizar.

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)

2

a 2 - 2ab + b 2 = (a - b)

2

x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2

x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2

x 2 + bx + c =(x +

) (x + )

ax 2 + bx + c =(

x +) ( x +

) x 2 + 3x + 2 =(x + 1) (x + 2)

6 x2 + 7x + 2 = (2x + 1) (3x + 2)

Polinomios de cuatro o más términos: Factoriza por agrupación.

ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)

=

(x + y

) (a + b)

2 x 3 + 4 x 2 + x + 2 = (2x 3 + 4 x 2) + (x + 2)

= 2 x 2 (x + 2) + 1(x + 2)

= (x + 2)(2x 2 + 1)

Métodos para factorizar polinomios

RAZONAR Y COMENTAR 1. Da una expresión que incluya un polinomio que no esté

factorizado completamente.

2. Da un ejemplo de un binomio y un trinomio que no se puedan factorizar.

3. ORGANÍZATE Métodos de factorización

A. Sacar el MCD como factor común

B. Factorizar por agrupación

C. No se puede factorizar

D. Diferencia de dos cuadrados

E. Trinomio cuadrado perfecto

1. 16x4- 25y8

2. x2+ 10x + 25

3.

4. a2+ 3a - 7a - 21

5. 100b2+ 81

9t2+ 27t + 18 t4

Polinomio MétodoCopia el organizador gráfico. Dibuja una flecha desde cada expresión hacia el método que usarías para factorizar esa expresión.




pág. 566


1. 3x(9x 2 + 1) 2. 2(4x 3 - 3 x 2 - 8x) 3. 2k 2(4 - k 3)

4. (2x + 3)(3x - 5) 5. 4(4p 4 - 1) 6. a(a 3 + 2ab + b 2)



7. 3x 5 - 12 x 3 8. 4x 3 + 8 x 2 + 4x 9. 8p q 2 + 8pq + 2p

10. 18r s 2 - 2r 11. m n 5 - m 3 n 12. 2x 2y - 20xy + 50y


13. 6x 4 - 3 x 3 - 9 x 2 14. 3y 2 + 14y + 4 15. p 5 + 3 p 3 + p 2 + 3

16. 7x 5 + 21 x 4 - 28 x 3 17. 2z 2 + 11z + 6 18. 9p 2 - q 2 + 3p



19–24 1 25–30 2 31–36 3

Práctica independiente Indica si cada polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.

19. 2x(y 3 - 4 y 2 + 5y) 20. 2r (25r 6 - 36) 21. 3n 2(n 2 - 25)

22. 2m(m + 1)(m + 4) 23. 2y 2(4x 2 + 9) 24. 4(7g + 9 h2)


25. -4x 3 + 24 x 2 - 36x 26. 24r 2 - 6 r 4 27. 5d 2 - 60d + 135

28. 4y 8 + 36 y 7 + 81 y 6 29. 98x 3 - 50x y 2 30. 4x 3y - 4 x 2y - 8xy

31. 5x 2 - 10x + 14 32. 121x 2 + 36 y 2 33. p 4 - 16

34. 4m 6 - 30 m 5 + 36 m 4 35. 2k 3 + 3k 2 + 6k + 9 36. a b 4 - 16a

Escribe una expresión para cada situación. Factoriza tu expresión.

37. el cuadrado de la edad de Elsa más 12 por la edad de Elsa más 36

38. el cuadrado de la distancia del punto A al punto B menos 81

39. el cuadrado de la cantidad de segundos que Bob puede retener la respiración menos 16 por la cantidad de segundos más 28

40. tres por el cuadrado de manzanas de un árbol menos 22 por la cantidad de manzanas más 35

41. el cuadrado del puntaje de Beth menos 49

42. Física La altura en metros del centro de masa de una bailarina de ballet cuando salta puede representarse mediante el polinomio -5t 2 + 30t + 1, donde t es el tiempo en segundos después del salto. Indica si el polinomio está factorizado completamente cuando se escribe como -1(5t 2

- 30t -1). Explica.

43. Escríbelo Cuando te piden que factorices completamente un polinomio, lo primero que haces es determinar si los términos del polinomio no tienen factores comunes. ¿Cuál debe ser tu próximo paso?

Factoriza y simplifica cada expresión.

44. 12(x + 1)2 + 60 (x + 1) + 75 45. (2x + 3)2 - (x - 4)2

46. 45x(x - 2)2 + 60x(x - 2) + 20x 47. (3x - 5) 2 - (y + 2)2

8-6CLAVE: MA7 8-6

CLAVE: MA7 Parent



TAKS Grado 8, Obj. 2, 6Grados 9 a 11, Obj. 2, 9, 10


Blaise Pascal fue un matemático francés que vivió en el siglo XVII.

Historia de las matemáticas


48. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la página 568.

a. El área del jardín de flores rectangular de Marci es (x 2 + 2x - 15) pies2. Factoriza esta expresión para hallar el área.

b. Dibuja un diagrama del jardín y rotula la longitud y el ancho con tus factores de la parte a.

c. Halla la longitud y el ancho del jardín de flores si x = 7 pies.

49. Razonamiento crítico Muestra dos métodos para factorizar 4 x 2 - 100.

50. Estimación Estima el valor de 2 x 2 + 5xy + 3 y 2 cuando x = -10.1 e y = 10.05. (Pista: factoriza primero la expresión).

51. /////ANÁLISIS DE ERRORES/// Examina la factorización que se muestra. Explica por qué la factorización es incorrecta.

Historia de las matemáticas Usa la siguiente información para los Ejercicios del 52 al 54.

El triángulo de la derecha se llama triángulode Pascal. El triángulo comienza en 1 y cada uno de los otros números del triángulo es la suma de los dos números de la fila superior.

El triángulo de Pascal se puede usar para escribir el producto de un binomio elevado a una potencia entera. Los números de cada fila te dan los coeficientes de cada término del producto.

(a + b)3 = a 3 + 3 a 2b + 3ab 2 + b 3

Los números de la fila 3 son 1, 3, 3, 1. Estos son los coeficientes de los términos del producto (a + b)3 . La potencia de a disminuye en cada término y la potencia de b aumenta en cada término.

Usa los patrones que ves en el triángulo de Pascal para escribir la potencia del binomio a + bque se da en cada producto.

52. a6 + 6 a5b + 15 a4b 2 + 20 a 3b 3 + 15 a 2b 4 + 6a b 5 + b6 = (a + b)

53. a8 + 8 a7b + 28 a6b2 + 56 a5b3 + 70 a4b4 + 56 a3b5 + 28 a2b6 + 8a b 7 + b8 = (a + b)

54. a 7 + 7 a6b + 21 a5b 2 + 35 a4b 3 + 35 a3b 4 + 21 a2b5 + 7a b 6 + b7 = (a + b)

55. ¿Qué expresión es igual a 6 x2 + 7x - 10?

(6x + 2) (x - 5) (x + 2) (6x - 5)(2x + 5) (3x - 2) (3x + 2) (2x - 5)

56. ¿Qué opción es la factorización completa de 16 x12 - 256?

16 (x 6 + 4) (x 6 - 4) 16 (x 6 + 4) (x 3 + 2) (x 3 - 2)(4x 6 + 16) (4x 6 - 16) (4x 6 + 16) (2x 3 + 4) (2x 3 - 4)


57. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el quinto paso de la factorización?

Paso 1: 40 a3 - 60 a2 - 10a + 15

Paso 2: 5 (8a3 - 12 a2 - 2a + 3)

Paso 3: 5 ⎡ ⎣ (8a3 - 12 a2) - (2a - 3) ⎤ ⎦

Paso 4: 5 ⎡ ⎣ 4a2 (2a - 3) - 1(2a - 3) ⎤ ⎦

Paso 5:

Paso 6: 5 (2a - 3) (2a + 1) (2a - 1)

5 (2a - 3) (2a + 3) (4a2 - 1) 5 (2a - 3) (4a2 - 1) 5 (2a - 3) (4a2 + 1) 5 (2a - 3) (2a - 3) (4a2 - 1)

58. Respuesta breve Usa el polinomio 8 x3 + 24 x2 + 18x para lo siguiente.

a. Factoriza el polinomio. Explica cada paso e indica si usaste alguna de las reglas para productos especiales.

b. Explica otro conjunto de pasos que se podrían usar para factorizar el polinomio.

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 59. Geometría El volumen del cilindro de la derecha se representa

mediante la expresión 72π p 3 + 48π p2 + 8πp. La altura del cilindro es 8p.

a. Factoriza la expresión para el volumen.

b. ¿Qué expresión representa el radio del cilindro?

c. Si el radio mide 4 cm, ¿cuáles son la altura y el volumen del cilindro?

Factoriza.

60. g 7 + g 3 + g 5 + g 4 61. h2 + h8 + h6 + h4

62. xn+2 + xn+1 + x n 63. xn+5 + xn+4 + x n+3

64. Geometría El prisma rectangular tiene las dimensiones que se muestran en la figura.

a. Escribe expresiones para la altura y la longitud del prisma usando a.

b. Escribe un polinomio que represente el volumen del prisma usando a.

REPASO EN ESPIRALSimplifica cada expresión mediante la combinación de términos semejantes. (Lección 1-7)

65. -6n + 4n 66. 5x 2 - 8x + 4 x 2 67. 2.6r + 9.7r

Escribe y resuelve una proporción para responder a cada pregunta. (Lección 2-6)

68. La razón de libros de ficción a libros de no ficción en el estante de Jessika es 3 a 4. Si Jessika tiene 12 libros de no ficción, ¿cuántos libros de ficción tiene?

69. La escala de un automóvil en miniatura es 23:2. Si el volante de este automóvil tiene un diámetro de 3 cm, ¿cuál es el diámetro del volante del automóvil real?

Factoriza cada trinomio. (Lección 8-4)

70. 2x 2 + 13x + 15 71. 4x 2 + 4x - 3 72. 6x 2 - 11x - 10

FactorizarDar forma al medio ambiente El club de Conciencia ambiental va a plantar un jardín en el césped frente a la escuela. Henry sugiere un jardín con forma de cuadrado. Theona sugiere que tenga forma rectangular.

1. Los planes de Henry incluyen un jardín cuadrado con un área de (x 2 + 12x + 36) m 2. Escribe expresiones para la longitud y el ancho del jardín cuadrado.

2. En un dibujo del jardín cuadrado se muestra una longitud de 12 m. ¿Cuál es el ancho del jardín cuadrado? ¿Cuál es el valor de x?¿Cuál es el área total del jardín cuadrado?

3. Los planes de Theona incluyen un jardín rectangular con un área de (x 2 + 14x + 24) m 2 . Escribe expresiones para la longitud y el ancho del jardín rectangular.

4. En un dibujo del jardín rectangular se muestra que la longitud es 6 m mayor que la longitud del jardín cuadrado. ¿Cuál es el ancho del jardín rectangular? ¿Cuánto menor es el ancho del jardín rectangular que el ancho del jardín cuadrado?

5. Halla el perímetro de cada jardín en función de x.

6. ¿Qué plan deben elegir en el club si quieren el jardín que cubra la mayor área? ¿Qué plan deben elegir en el club si quieren el jardín que tenga la menor cantidad de cerca alrededor? Explica tu razonamiento.

SECCIÓN 8B



¿Listo para seguir? 573

Prueba de las Lecciones 8-5 a 8-6

8-5 Cómo factorizar productos especialesDetermina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.

1. x 2 + 8x + 16 2. 4x 2 - 20x + 25 3. x 2 + 3x + 9

4. 2x 2 - 4x + 4 5. 9x 2 - 12x + 4 6. x 2 - 12x - 36

7. Un arquitecto diseña ventanas rectangulares con un área de (x 2 + 20x + 100) pies 2 .Las dimensiones de las ventanas son del tipo ax + b, donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro de las ventanas. Halla el perímetro de una ventana cuando x = 4 pies.

Determina si cada polinomio es una diferencia de dos cuadrados. Si es así, factoriza. Si no, explica.

8. x 2 - 121 9. 4t 2 - 20 10. 1 - 9y 4

11. 25m 2 - 4m 6 12. 16x 2 + 49 13. r 4 - t 2

14. El área de un cuadrado es ( 36d 2 - 36d + 9) pulg 2 .

a. ¿Qué expresión representa la longitud de un lado del cuadrado?

b. ¿Qué expresión representa el perímetro del cuadrado?

c. ¿Cuáles son la longitud de un lado, el perímetro y el área del cuadrado cuando d = 2 pulg?

8-6 Cómo elegir un método de factorizaciónIndica si cada polinomio está factorizado completamente. Si no es así, factorízalo.

15. 5(x 2 + 3x + 1) 16. 6x( 5x 2 - x) 17. 3t(t 4 - 9) 18. 2(m 2 - 10m + 25) 19. 3( 2y 2 - 5)(y + 1) 20. (2n + 6)(n - 4)


21. 3x 3 - 12x 2 + 12x 22. 16m 3 - 4m 23. 5x 3 y - 45xy

24. 3t 2 + 5t - 1 25. 3c 2 + 12c - 63 26. x 5 - 81x

Escribe una expresión para cada situación. Luego factoriza tu expresión.

27. la diferencia del cuadrado de la longitud de una tabla y 36

28. el cuadrado de la edad de Michael menos 8 por la edad de Michael más 16

29. dos por el cuadrado de la velocidad de un automóvil más dos por la velocidad del automóvil menos 12

30. tres por el cubo de la altura de Jessie más 3 por el cuadrado de la altura de Jessie menos 6 por la altura de Jessie

31. Escribe una expresión para el área de la región sombreada. Luego factoriza la expresión.

SECCIÓN 8B


factorización prima . . . . . . . . . . 524 máximo común divisor . . . . . . 525

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Un número escrito como un producto en el que cada uno de sus factores no tiene otros factores que no sean 1 y ese número es el/la −−−−− ? .

2. El/La −−−−− ? de dos monomios es el mayor de los factores que los monomios comparten.


3. 12 4. 20

5. 32 6. 23

7. 40 8. 64

9. 66 10. 114


11. 15 y 50

12. 36 y 132

13. 29 y 30

14. 54 y 81

15. 20 y 48


16. 9m y 3

17. 4x y 2 x 2

18. -18b 4 y 27 b 2

19. 100r y 25 r 5

20. En una ferretería hay 42 tipos de cajas con clavos y 36 tipos de cajas con tornillos. El encargado de la tienda quiere construir un estante para colocar los artículos en filas. Quiere poner la misma cantidad de cajas en cada fila, pero que ninguna fila tenga clavos y tornillos juntos. ¿Cuál es la mayor cantidad de cajas que puede colocar en una fila? ¿Cuántas filas habrá si el encargado pone la mayor cantidad de cajas en cada fila?

■ Escribe la factorización prima de 84.

84

4 21

22 73

Escribe como producto.Continúa hasta que todos

los factores sean primos.

■ Escribe la factorización prima de 75.

3 75255551

Continúa dividiendo entre factores primos hasta que el cociente sea 1.

75 = 3 · 5 · 5 = 3 · 5 2

■ Halla el MCD de 36 y 90. 36 = 2 · 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5


2 · 3 · 3 = 18 Halla el producto de los factores comunes.


■ Halla el MCD de 10 x 5 y 4 x 2 . 10 x 5 = 2 · 5 · x · x · x · x · x Escribe la

factorizaciónprima de cada coeficiente.

Escribe las potencias como productos.

Halla el producto de los factores comunes.

4 x 2 = 2 · 2 · x · x

2 · x · x = 2 x 2

El MCD de 10 x 5 y 4 x 2 es 2 x 2 .

8-1 Factores y máximo común divisor (págs. 524–529)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Vocabulario

TEKS A.4.A

Guía de estudio: Repaso 575


21. 5x - 15 x 3 22. -16b + 32

23. -14v - 21 24. 4 a 2 - 12a - 8

25. 5 g 5 - 10 g 3 - 15g 26. 40 p 2 - 10p + 30

27. Un ingeniero civil necesita que el área de una parcela rectangular sea (6x 2 + 5x) pies 2 . Factoriza este polinomio para hallar expresiones para las dimensiones de la parcela.


28. 2x(x - 4) + 9 (x - 4)

29. t(3t + 5) - 6 (3t + 5)

30. 5 (6 - n) - 3n(6 - n)

31. b(b + 4) + 2 (b + 4)

32. x 2(x - 3) + 7 (x - 3)

Factoriza cada polinomio.

33. n 3 + n - 4 n 2 - 4

34. 6 b 2 - 8b + 15b - 20

35. 2 h 3 - 7h + 14 h 2 - 49

36. 3 t 2 + 18t + t + 6

37. 10 m 3 + 15 m 2 - 2m - 3

38. 8 p 3 + 4p - 6 p 2 - 3

39. 5r - 10 + 2r - r 2

40. b 3 - 5b + 15 - 3 b 2

41. 6t - t 3 - 4 t 2 + 24

42. 12h - 3 h 2 + h - 4

43. d - d 2 + d - 1

44. 6b - 5 b 2 + 10b - 12

45. 5t - t 2 - t + 5

46. 8 b 2 - 2 b 3 - 5b + 20

47. 3r - 3 r 2 - 1 + r

48. Escribe una expresión para el área de cada uno de los dos rectángulos que se muestran. Luego escribey factoriza una expresión para el área combinada.

■ Factoriza 3 t 3 - 9 t 2 . Comprueba tu respuesta.

3 t 3 = 3 · t · t · t 9 t 2 = 3 · 3 · t · t Halla el MCD.

MCD: 3 · t · t = 3 t 2

3 t 3 - 9 t 2 = 3t 2(t) - 3t 2(3) = 3t 2(t - 3) Saca el MCD como

factor común.Comprueba 3 t 2(t - 3) = 3 t 3 - 9 t 2 ✓

■ Factoriza -12s - 6 s3 . Comprueba tu respuesta.

-1(12s + 6 s3) Saca –1 como factor común. 12s = 2 · 2 · 3 · s

6 s3 = 2 · 3 · s · s · s Halla el MCD.

MCD: 2 · 3 · s = 6s

-1(12s + 6 s3)

-1⎡ ⎣ (6s)(2) + (6s)(s2)⎤ ⎦

-1⎡ ⎣ (6s)(2 + s2)⎤ ⎦

-6s(2 + s2) Saca el MCD como factor común.

Comprueba -6s(2 + 2 s2) = -12s - 6 s3 ✓

■ Factoriza 5 (x - 7) + 3x(x - 7) .

5(x - 7) + 3x(x - 7) Los términos tienen un factor común de (x - 7) .

(x - 7)(5 + 3x) Saca (x - 7) como factor común.

■ Factoriza 6 b 3 + 8b + 15 b 2 + 20 por agrupación.

(6b 3 + 8b) + (15b 2 + 20) Agrupa los términos que tengan un factor común.

2b(3b 2 + 4) + 5(3b 2 + 4) Factoriza cada grupo.

(3b 2+ 4)(2b + 5) Saca (3b 2 + 4) como

factor común.■ Factoriza 2 m 3 - 6 m 2 + 15 - 5m. Comprueba

tu respuesta.

(2m 3 - 6 m 2) + (15 - 5m) Agrupa los términos.

2 m 2(m - 3) + 5 (3 - m) Factoriza cada grupo.

2 m 2(m - 3) + 5(-1)(m - 3) Vuelve a escribir

(3 - m) como(-1) (m - 3) .

2 m 2(m - 3) - 5 (m - 3) Simplifica.

(m - 3)(2m 2 - 5) Saca (m - 3) como factor común.

Comprueba (m - 3)(2m 2 - 5)

2m 3 - 5m - 6 m 2 + 15 2m 3 - 6 m 2 + 15 - 5m ✓

8-2 Cómo factorizar mediante el MCD (págs. 531–537)


2x + 3

4x + 6

x 2

TEKS A.3.A, A.4.A, A.4.B



49. x 2 + 6x + 5 50. x 2 + 6x + 8

51. x 2 + 8x + 15 52. x 2 - 8x + 12

53. x 2 + 10x + 25 54. x 2 - 13x + 22

55. x 2 + 24x + 80 56. x 2 - 26x + 120

57. x 2 + 5x - 84 58. x 2 - 5x - 24

59. x 2 - 3x - 28 60. x 2 + 4x - 5

61. x 2 + x - 6 62. x 2 + x - 20

63. x 2 - 2x - 48 64. x 2 - 5x - 36

65. x 2 - 6x - 72 66. x 2 - 3x - 70

67. x 2 + 14x - 120 68. x 2 + 6x - 7

69. El rectángulo que se muestra tiene un área de (y 2 + 8y + 15) m 2 .

¿Cuál es el ancho del rectángulo?


■ x 2 + 14x + 45

(x + )(x + ) Busca los factores de 45cuya suma sea 14.(x + 9)(x + 5)

Comprueba (x + 9)(x + 5) = x 2 + 5x + 9x + 45

= x 2 + 14x + 45 ✓

■ x 2 + 6x - 27

(x + )(x - ) Busca los factores de –27cuya suma sea 6.(x + 9)(x - 3)

Comprueba (x + 9)(x - 3) = x 2 - 3x + 9x - 27

= x 2 + 6x - 27 ✓

8-3 Cómo factorizar x2 + bx + c (págs. 540–547)



70. 2 x 2 + 11x + 5 71. 3 x 2 + 10x + 7

72. 2 x 2 - 3x + 1 73. 3 x 2 + 8x + 4

74. 5 x 2 + 28x + 15 75. 6 x 2 - 19x + 15

76. 4 x 2 + 13x + 10 77. 3 x 2 + 10x + 8

78. 7 x 2 - 37x + 10 79. 9 x 2 + 18x + 8

80. 2 x 2 - x - 1 81. 3 x 2 - 11x - 4

82. 2 x 2 - 11x + 5 83. 7 x 2 - 19x - 6

84. 5 x 2 - 9x - 2 85. -6x 2 - x + 2

86. 6 x 2 - x - 5 87. 6 x2 + 17x - 14

88. -4x 2 + 8x + 5 89. -10x 2 + 11x + 6

90. Escribe el polinomio que se representa y luego factoriza.

-5-15x

12 x2 4x


■ 6x 2 + 17x + 5

( x + )( x + )

Factores de 6 Factores de 5 Externos+ Internos

1 y 6

2 y 3

2 y 3

5 y 1

1 y 5

5 y 1

(1) 1 + (6) 5 = 31

(2) 5 + (3) 1 = 13

(2) 1 + (3) 5 = 17

(2x + 5)(3x + 1)

■ 2n 2 - n - 10

( n + )( n + )

Factores de 2

Factores de -10

Externos + Internos

1 y 2

1 y 2

1 y 2

1 y -10

-1 y 10

2 y -5

1(-10) + 2(1) = -8

1(10) + 2(-1) = 8

1(-5) + 2(2) = -1

(1n + 2)(2n - 5) = (n + 2)(2n - 5)

8-4 Cómo factorizar ax2 + bx + c (págs. 548–553)


a = 6 y c = 5;Externos + Internos = 17

a = 2 y c =-10;Externos + Internos =-1

Guía de estudio: Repaso 577

perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.

91. x 2 + 12x + 36 92. x 2 + 5x + 25

93. 4 x 2 - 2x + 1 94. 9 x 2 + 12x + 4

95. 16 x 2 + 8x + 4 96. x 2 + 14x + 49


97. 100 x 2 - 81 98. x 2 - 2

99. 5 x 4 - 10 y 6 100. (-12)2 - (x 3)2

101. 121 b 2 + 9 c 8 102. 100 p 2 - 25 q 2

Factoriza cada polinomio mediante el patrón de trinomios cuadrados perfectos o la diferencia de dos cuadrados. Indica qué patrón usaste.

103. x 2 - 25 104. x 2 + 20x + 100

105. j 2 - k 4 106. 9x 2 - 42x + 49

107. 81 x 2 + 144x + 64 108. 16 b 4 - 121 c 6

■ Determina si x 2 + 18x + 81 es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza. Si no, explica.

x 2 + 18x + 81

x · x 2(x · 9) 9 · 9

El trinomio es del tipoa 2 + 2ab + b 2; por lo tanto, es un trinomio cuadrado perfecto.

x 2 + 18x + 81 = (x + 9)2

■ Determina si 49 x 4- 25 y 6 es una diferencia de

dos cuadrados. Si es así, factoriza. Si no, explica.

49x 4 - 25y 6

7 x 2 · 7 x 2 5 y 3 · 5 y 3

El binomio es una diferencia de dos cuadrados.

(7x 2)2- (5y 3)2

a= 7 x2, b = 5 x3

(7x 2 + 5 y 3)(7x 2 - 5 y 3) Escribe el binomio como (a+ b) (a- b) .

49 x 4 - 25 y 6 = (7x 2 + 5 y 3)(7x 2 - 5 y 3)

Determina si cada trinomio es un cuadrado

8-5 Cómo factorizar productos especiales (págs. 558–564)



109. 4 x 2 + 10x + 6 = (4x + 6)(x + 1)

110. 3 y 2 + 75 = 3 (y 2 + 25) 111. b 4 - 81 = (b 2 + 9)(b 2 - 9)

112. x 2 - 6x + 9 = (x - 3)2


113. 4 x 2 - 64 114. 3 b 5 - 6 b 4 - 24 b 3

115. a 4b 3 - a 2b 5 116. t 20 - t 4

117. 5 x 2 + 20x + 15 118. 2 x 4 - 50 x 2

119. 8t + 32 + 2st + 8s

120. 25 m 3 - 90 m 2 - 40m

121. 32 x 4 - 48 x 3 + 8 x 2 - 12x

122. 6 s 4t + 12 s 3t 2 + 6 s 2t 3

123. 10 m 3 + 4 m 2 - 90m - 36

■ Indica si (3x - 9)(x + 4) está completamente factorizado. Si no es así, factoriza.

(3x - 9)(x + 4) 3x - 9 se puede factorizar.

3 (x - 3)(x + 4) Saca como factor común 3, el MCD de 3x y 9.

■ 3ab 2 - 48a

3a(b 2 - 16) Saca el MCD como factor común.

3a(b + 4)(b - 4) Factoriza la diferencia de dos cuadrados.

Comprueba 3a(b + 4)(b - 4) = 3a( b 2 - 16)

= 3a b 2 - 48a ✓

■ 2m 3 + 4 m 2 - 48m

2m(m 2 + 2m - 24) Saca el MCD como factor común.

2m(m - 4)(m + 6) Factoriza el trinomio.

Comprueba 2m(m - 4)(m + 6)

2m(m 2 + 2m - 24)

2m 3 + 4 m 2 - 48m ✓

8-6 Cómo elegir un método de factorización (págs. 566–571)


TEKS A.3.A, A.4.A



1. 3 t 4 y 8 t 2 2. 2 y 3 y -12y 3. 15 n 5 y 9 n 4

4. Escribe la factorización prima de 360.

5. Una coleccionista de monedas ordena una exhibición de tres tipos de monedas de cinco centavos. Los tipos de monedas y la cantidad de cada tipo se muestran en la tabla. La coleccionista quiere organizarlas en filas que tengan la misma cantidad de monedas sin mezclar los distintos tipos en una misma fila. ¿Cuántas filas necesitará si pone la mayor cantidad posible de monedas en cada fila?


6. 24 m 2 + 4 m 3 7. 9 x 5 - 12x 8. -2r 4 - 6

9. 3 (c - 5) + 4c(c - 5) 10. 10 x 3 + 4x - 25 x 2 - 10 11. 4 y 3 - 4 y 2 - 3 + 3y

12. Un cohete en miniatura se lanza verticalmente desde una terraza a una velocidad de 50 m/s. La expresión -5t 2 + 50t + 5 da la altura aproximada del cohete después de t segundos. Factoriza esta expresión.


13. x 2 + 6x + 5 14. x 2 - 4x - 21 15. x 2 - 8x + 15

16. 2 x 2 + 9x + 7 17. 2x 2 + 9x - 18 18. -3x 2 - 2x + 8


19. a 2 + 14a + 49 20. 2 x 2 + 10x + 25 21. 9 t 2 - 6t + 1


22. b 2 - 16 23. 25 y 2 - 10 24. 9 a 2 - b 10

25. Una empresa produce láminas rectangulares de plástico. Cada una tiene un área de(9x 2 + 30x + 25) pies 2 . Las dimensiones de cada lámina son del tipo ax + b, donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro de una lámina. Halla el perímetro cuando x = 4 pies.


26. (6x - 3)(x + 5) 27. (v 5 + 10)(v 5 - 10) 28. (2b + 3)(3b - 2)

Factoriza completamente cada polinomio.

29. 8 x 3 + 72 x 2 + 160x 30. 3 x 5 - 27 x 3 31. 8 x 3 + 64 x 2 - 20x - 160

32. c d 4 - c 7d 6 33. 100 x 2 - 80x + 16 34. 7 m 8 - 7

Tipo de moneda Cantidad de monedas

Libertad 16

Búfalo 24

Jefferson 40

Práctica para el examen de ingreso a la universidad 579

ENFOQUE EN ACTEl cuadernillo del examen de matemáticas ACT generalmente tiene un espacio para el trabajo en borrador. Si no es así, el administrador del examen debe entregarte papel en blanco para que uses. El trabajo en borrador es sólo para ti. Asegúrate de pasar tu respuesta final a la hoja de respuestas.

Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacer este examen de práctica. Deberías tardar aproximadamente 6 minutos en terminar.

Si no estás seguro de cómo resolver un problema, lee las opciones de respuesta. Pueden darte una pista sobre el método de solución. Es posible que tardes más al trabajar en sentido inverso partiendo de las opciones de respuesta, por eso asegúrate de controlar el tiempo.

1. ¿Cuál es el valor de c 2 - d 2 si c + d = 7 y c - d = -2?

(A) -14

(B) -5

(C) 5

(D) 14

(E) 45

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es la factorización completa de 6 a 3b + 3 a 2b 3 ?

(F) 6 a 3b 3

(G) 9 a 5b 4

(H) 3ab(2a 2 + a b 2)

(J) 3 a 2b(2a + b 2)

(K) (6a 3b)(3a 2b 3)

3. ¿Cuál de las siguientes opciones es un factor de x 2 + 3x - 18?

(A) x + 2

(B) x + 3

(C) x + 6

(D) x + 9

(E) x + 18

4. ¿De cuál de los siguientes trinomios NO es un factor el binomio x - 3?

(F) 2 x 2 - x - 3

(G) 2 x 2 - 5x - 3

(H) 2 x 2 - 8x + 6

(J) 3 x 2 - 6x - 9

(K) 3 x 2 - 10x + 3

5. ¿Qué valor de n hace que 4 x 2 + 20x + n 2

= (2x + n)2 sea verdadera para cualquier número real x?

(A) 4

(B) 5

(C) 8

(D) 10

(E) 25

6. ¿Cuál es la forma factorizada de x 2 + 2x_3

+ x_2

+ 2_6

?

(F) (x + 1_3)(x + 1_

2)(G) (x + 1_

2)(x + 2_3)

(H) (x + 2_3)(x + 1_

6)(J) (x + 2)(x + 1_

3)(K) (x + 1_

3)(x + 2_3)


Opción múltiple El polinomio x 2+ 7x + 12 representa el área de un rectángulo en metros

cuadrados. El ancho es (x + 3) metros. Halla la medida combinada de la longitud y el ancho.

(x + 4) m (2x + 7) m (2x + 14) m (4x + 14) m

Usa las palabras que indican acciones y las pistas del contexto para convertir las palabras en ecuaciones.

x2+ 7x+ 12 representa el área de un rectángulo en metros cuadrados.

x2+ 7x+ 12 = A

El ancho es (x+ 3) metros.a = (x+ 3)

Halla la medida combinada de la longitud y el ancho.m = � + a

Ahora usa las ecuaciones para resolver el problema.

A = �w Escribe la fórmula del área de un rectángulo.

x2+ 7x+ 12 = �(x+ 3) Sustituye A por x2 + 7x + 12 y a por (x + 3) .

(x + ? )(x + 3) Factoriza x 2 + 7x + 12 para hallar una expresión para la longitud.

(x + 4)(x + 3) 3(4) = 12; 3 + 4 = 7

La longitud es (x+ 4).

m = � + a Escribe la ecuación para la medida combinada de la longitud y el ancho.

m = (x + 4) + (x + 3) Sustituye l por (x + 4) y a por (x + 3) .

m = 2x + 7 Combina los términos semejantes.

La medida combinada de la longitud y el ancho es (2x + 7) metros. La opción B es la respuesta correcta.

Preguntas de cualquier tipo: Convierte las palabras en matemáticasCuando leas el texto de un problema, busca las palabras clave y las pistas del contexto que te ayuden a convertir las palabras en una ecuación o expresión matemática.

Algunas palabras clave, como las que se muestran en esta tabla, representan determinadas operaciones matemáticas.

Acción Operación matemática

Combinar, aumentar Suma

Disminuir, reducir Resta

Aumentar o disminuir mediante un factor Multiplicación

Separar División


TAKSTAKSTAKS

A veces no puedes escribir una expresión o ecuación en el orden en el que aparecen las palabras clave. Por ejemplo, la expresión “4 años más joven que María” se escribe en matemáticas m - 4.

Ayuda para TAKS 581

Lee cada recuadro del examen y contesta las preguntas que le siguen.

ARespuesta breve El ancho del mural rectangular de Vocabulario es 6 veces la longitud x. Alvin planea hacer un nuevo mural con el mismo ancho y una longitud de (x - 2) metros. ¿Cuánto deberá Alvin reducir el área del mural?

4 m

12 m

(24x + 24) m

(5x 2 - 4x + 4) m

1. ¿Qué palabras clave o pistas del contexto hay en el primer enunciado de A? Usa estas pistas para escribir una expresión que represente el ancho del rectángulo.

2. Representa con una ecuación el área del primer mural de Alvin.

3. ¿Qué operación matemática representa la palabra clave disminuyó?

BOpción múltiple ¿Qué expresión factorizada representa la siguiente frase?

el cuadrado de la cantidad de horas que se tarda envaciar una cisterna menos 20 por la cantidad de

horas más 64

(h - 16)(h - 4) (h - 8)(h - 8)

(h2 - 20)(h - 64) (h - 16)(h + 4)

4. ¿Qué palabra de la frase te indica que debes usar un exponente en tu expresión?

5. ¿Cuál es el valor de la expresión que se desconoce? Define una variable para representar ese valor.

6. Identifica otras palabras clave y la frase dela operación matemática que cada una de ellas representa.

COpción múltiple Una empresa posee dos plantas de envasado. El polinomio 0.05x 2

+ 16x- 9400 representa las ganancias de una planta, donde x es la cantidad de unidades envasadas. El polinomio -0.01x 2

+ 17x- 5400 representa las ganancias de la otra planta. Si x es 25,000, ¿cuál es la ganancia total de ambas plantas?

-$5,830,300

$25,810,200

$31,640,500

$37,471,000

7. ¿Qué símbolo matemático identifica la palabra representa?

8. Escribe una ecuación que se pueda usar para determinar las ganacias G de cada planta.

9. ¿Qué operación matemática representa el término “ganancia total”?

DRespuesta gráfica Una de las bases de un trapecio es 12 metros mayor que la altura. La otra base es 4 metros menor que la altura. Halla el área del trapecio cuando la altura es 6 metros.

10. Identifica la dimensión que se desconoce y asígnale una variable.

11. Un estudiante no está seguro de cuántas bases tiene un trapecio. Identifica las pistas del contexto que pueden ayudar a este estudiante.

12. Haz una lista de las palabras clave del problema y relaciona cada palabra con su significado matemático.

13. Escribe una expresión para cada base del trapecio.


Opción múltiple 1. Un rectángulo tiene un área de (x 2 + 5x - 24)

unidades cuadradas. ¿Cuál de las siguientes opciones contiene expresiones posibles para la longitud y el ancho del rectángulo?

Longitud: (x - 24) unidades; ancho: (x + 1) unidades



Longitud: (x + 12) unidades; ancho: (x - 2) unidades

2. ¿Qué propiedad de los números reales se usa para transformar la ecuación del Paso 1 en la ecuación del Paso 2?

Paso 1: 4 (x - 5) + 8 = 88 Paso 2: 4x - 20 + 8 = 88 Paso 3: 4x - 12 = 88 Paso 4: 4x = 100 Paso 5: 4x = 25

propiedad conmutativa de la multiplicación

propiedad asociativa de la multiplicación

propiedad de la multiplicación

propiedad distributiva

3. Si 2__3

x - 9 = 3, ¿cuál es el valor de la expresión 8x - 3?

-75 61

-35 141

4. Carlos y Bonita acaban de ser contratados en una fábrica. Carlos ganará $12.50 por hora y recibirá una bonificación por contratación de $300. Bonita no recibirá esa bonificación pero ganará $14.50 por hora. ¿Qué ecuación puedes usar para determinar la cantidad de horas h luego de las que ambos empleados habrán ganado la misma cantidad total?

300 + 14.50h = 12.50h

14.50h + 300 = 12.50h

14.50h + 12.50h = 300

300 + 12.50h = 14.50h

EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1–8

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a x 2 - 8x + 16?

(x + 4) 2 (x + 8) (x + 2)(x + 4) (x - 4) (x - 4) 2

6. Un parque de diversiones tiene dos atracciones para saltar, llamadas rebotadores, en forma de cubos semejantes. El rebotador más grande tiene un volumen de 4800 pies cúbicos. El más pequeño tiene la mitad de la longitud del más grande. ¿Cuál es el volumen del rebotador más pequeño?

300 pies cúbicos

600 pies cúbicos

1200 pies cúbicos

2400 pies cúbicos

7. ¿Cuál es el valor de y si la línea que pasa por (1, -1) y (2, 2) es paralela a la línea que pasa por (-2, 1) y (-1, y)?

-8 3

-2 4

8. ¿En cuál de las siguientes opciones se muestra la factorización completa de 2 x 3 + 4 x 2 - 6x?

(2x 2 - 2x)(x + 3) 2x(x 2 + 2x - 3) 2x(x - 1)(x + 3) 2 (x 3 + 2 x 2 - 3x)

9. ¿En qué gráfica se muestra el conjunto solución de la desigualdad compuesta -9 ≤ 5 - 2x ≤ 13?

CLAVE: MA7 TestPrep

TAKS Grado 8, Obj. 2Grados 9 a 11, Obj. 1 a 4, 8 a 10

TAKSTAKSTAKS

Evaluación acumulativa, Capítulos 1-8 583

10. ¿Qué punto está en la gráfica de ambas funciones?

f(x) = 2x - 10 g (x)= 10 - 2x

(5, 0) (0, 0)

(1, -8) (2, 6)

11. Hayley planea resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

⎧ ⎨

⎩ x + 3y = 8

5x - y = 8

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una ecuación que Hayley puede usar para resolver el sistema de ecuaciones ?

x + 3 (5x - 8) = 8

5 (8 - 3y) - y = 8

x = 8 - 3y

5x - (-x + 8) = 8

12. ¿Qué valor de b permitiría factorizar x 2 + bx - 2?

-2 0

-1 3

13. ¿Qué expresión es equivalente a 5 (x - 2) + 4x?

5x - 10 9x - 10

9x - 2 20x - 2

Respuesta gráfica 14. La factorización completa de - 12x 3 + 14x 2 + 6x es

-2x(ax + 1) (2x - 3). ¿Cuál es el valor de a?

15. La expresión x 2 + x + b es un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cuál es el valor de b?

16. Margaret compra un suéter de $35 que está en oferta con 20% de descuento. ¿Cuál es el precio total del suéter, en dólares, cuando se suma el 5% del impuesto sobre la venta?

17. Un automóvil viaja a velocidad constante. En 4 horas, el automóvil recorre 220 millas. ¿Cuántas horas tardará en recorrer 550 millas?

Muchos cuadernillos de exámenes estandarizados tienen una página en la que se anotan las fórmulas más usadas y las medidas básicas. Antes de que comience el examen, pregunta si puedes separar la página del cuadernillo. Si puedes hacerlo, coloca la página cerca para que sea fácil consultarla.

Respuesta breve 18. El área de un determinado círculo es

π (9x2 + 6x + 1) centímetros cuadrados. Halla una expresión para la longitud del radio del círculo. Explica cómo hallaste tu respuesta.

19. Un rectángulo tiene un área de (x2 - 25) pies cuadrados.

a. Usa la factorización para escribir posibles expresiones para la longitud y el ancho del rectángulo.

b. Usa tus expresiones de la parte a para escribir una expresión para el perímetro del rectángulo. Simplifica la expresión.

c. Usa tus expresiones de las partes a y b para hallar el perímetro y el área del rectángulo cuando x =10 pies. Muestra tu trabajo.

20. Escribe los números 57,000,000,000 y 19,000 en notación científica. Luego muestra cómo dividir 57,000,000,000 entre 19,000 usando las propiedades de los exponentes.

21. Muestra dos maneras en las que puedes factorizar la expresión x 2y - 12 + 3y - 4 x 2 por agrupación.

Respuesta desarrollada 22. El siguiente diagrama se puede usar para mostrar

que la expresión (a + b)2 es equivalente a la expresión a 2 + 2ab + b 2 .

a2

b2ab

ab

a. Haz un diagrama similar al anterior para representar la expresión (a + b + c)2 . Rotula cada área.

b. Usa los rótulos de tu diagrama para escribir una expresión equivalente a (a + b + c)2 .

c. Muestra que tu expresión de la parte b es equivalente a (a + b + c)2 mediante la evaluación de cada expresión para a = 4, b = 2 y c = 1.

d. Factoriza x 2 + y 2 + 9 + 2xy + 6x + 6y. Muestra o explica cómo hallaste tu respuesta.

PREPARACIÓN PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

a + b

a + b

Reserva Nacional Silvestre McFaddin

Fort Davis

Reserva nacional silvestre McFaddinUno de los mayores pantanos de agua dulce que quedan en Texas se puede encontrar en la Reserva Nacional Silvestre McFaddin. Ubicada en un precio de 55,000 acres cerca de la frontera con Luisiana, la reserva es un lugar de descanso muy importante para las aves migratorias que viajan a través del Golfo de México. También es el hogar de las nutrias de río, linces rojos, mofetas y caimanes.

El caimán americano era una especie en peligro en la década del 70, pero ha sido retirado de la lista. Ahora, los visitantes de la Reserva Nacional Silvestre McFaddin están casi seguros de que podrán ver un caimán, porque cuenta con más caimanes por acre que ningún otro lugar en Texas.

Elige una o más estrategias para resolver cada problema.

1. Cuando nacen, los caimanes miden alrededor de 8 pulgadas. Un macho adulto puede medir hasta 18 pies de largo. ¿Cuántas veces más que un caimán recién nacido mide un caimán de 18 pies?

2. Los caimanes construyen sus nidos con tierra, pasto y hojas. La hembra pone de 40 a 50 huevos en su nido. Supongamos que hay 40 huevos en un nido y que de estos nace el 80%. Si cada cría pesa 3 onzas, ¿cuál es el peso total de los caimanes que nacieron?

3. La mayoría de los caimanes tienen el hocico en forma de U, mientras que los cocodrilos tienen el hocico en forma de V. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene una gráfica que podría representar la forma del hocico de un caimán? Explica.

y = 3x - 4 y = x2 - 12 y = ⎪x2 - 4⎥

T E X A S TAKS Grado 8, Obj. 6Grados 9 a 11, Obj. 10

Resolución de problemas en lugares 585

Estrategiasde resolución de problemas

Dibujar un diagrama Hacer un modeloCalcular y comprobarTrabajar en sentido inversoHallar un patrónHacer una tablaResolver un problema más sencilloUsar el razonamiento lógicoUsar un diagrama de VennHacer una lista organizada

Observatorio McDonaldPosado en la cima de los montes Davis al oeste de Texas, el Observatorio McDonald está lejos de las luces de la ciudad y a más de 6000 pies sobre el nivel del mar. El observatorio recibe la visita de científicos que trabajan en todos los temas desde radiación estelar hasta la búsqueda de planetas fuera del sistema solar. Entre sus herramientas está el Telescopio Hobby-Eberly, el tercer más grande telescopio óptico del mundo, con un espejo primario de 11.1 por 9.8 metros.

El solar tiene también un centro de visitantes y organiza “fiestas de estrellas” cuando el público tiene la oportunidad de mirar a través de los numerosos telescopios de las instalaciones. En una fiesta de estrellas podrías ver planetas, cometas y asteroides o simplemente obtener una vista más clara de las estrellas y las constelaciones. La tabla muestra algunas de las estrellas que se pueden ver desde el Observatorio McDonald.

Un año luz es la distancia a la que viaja la luz en un año, es decir, 9,500,000,000,000 kilómetros.

Elige una o más estrategias y usa la tabla para resolver cada problema.

1. Escribe 1 año luz como una distancia en kilómetros en notación científica. Escribe la distancia en kilómetros desde la Tierra a cada estrella en notación científica.

2. Ordena las estrellas desde la más cercana a la más lejana de la Tierra.

3. Identifica qué estrella es la más lejana y qué estrella es la más cercana a la Tierra. Calcula por aproximación cuántas veces más lejos que la estrella más cercana se encuentra la estrella más lejana.

La magnitud aparente es una medida del brillo con que se ve una estrella (u otro objeto) desde la Tierra. Cuanto más baja es la magnitud aparente de una estrella, más brillante se ve.

4. Describe la correlación entre la magnitud aparente y la distancia desde la Tierra en años luz. Haz un diagrama de dispersión para apoyar tu respuesta.

Ocho de las estrellas más brillantes que se ven desde la Tierra

Nombre PosiciónMagnitud aparente

Distancia desde la Tierra (años luz)

Temperatura (kelvins)

Sirio 1 -1.46 8.6 9,400

Arturo 4 -0.04 34 4,290

Vega 5 0.03 25 9,600

Proción 8 0.38 11.4 6,500

Altair 12 0.77 16 7,550

Spica 14 0.98 220 22,400

Deneb 20 1.25 1500 8,400

Regulus 25 1.35 69 12,000

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A1spc08