E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Grado Ingeniería Mecánica Asignatura: Cálculo II ACTIVIDADES NO PRESENCIALES

Este documento contiene las actividades no presenciales propuestas al terminar la clase del día que se indica. Se sobreentiende que también se debe realizar el estudio de lo explicado cada día en clase aunque no se incluya en este documento.

Clase 9 de febrero

1

Del tema 1 de integración múltiple:

(a) Realizar el ejercicio resuelto nº 1 (página 38) (b) Realizar el ejercicio propuesto nº 1 (página 29).

2

Pregunta 2 del test de autoevaluación (página 25)

Sea ( , )f x y una función continua en 2 y tal que

3 5

1 2

( , )f x y dx dy M

= ∫ ∫ ,

entonces se puede asegurar que:

__ A) 3 5

1 2

( , )f x y dy dx M

= ∫ ∫ .

__ B) 5 3

2 1

( , )f x y dy dx M

= − ∫ ∫ .

__ C) 5 3

2 1

( , )f x y dy dx M

= ∫ ∫ .

__ D) Ninguna de las anteriores.

Solución: C

3

Calcular ( ),∫∫

R

f x y dA en los siguientes casos:

( ) ( )( )

[ ] [ ]21, 3, 4 1,2= =+

a f x y R xx y

( ) ( ) [ ] [ ]2

2, 0,1 0,11

= =+xb f x y R x

y

( ) ( ) [ ] [ ], 0,1 0,1= =xyc f x y ye R x

Solución:

Pág. 1

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(a) 25log24

(b) 12π

(c) e-2

Clase 10 de febrero

4

Del tema 1 de integración múltiple:

(a) Realizar los ejercicios resueltos nº 2, 3 (página 40) (b) Realizar los ejercicios resueltos nº 6, 8 (páginas 42 y 44).

5

(a) Del tema 1 de integración múltiple: Realizar los ejercicios propuestos nº

2 y 3 (pág. 30) (b) Invertir el orden de integración y evaluar la integral resultante:

21 2

0 2∫ ∫ y

x

e dydx

Solución (b) ( )41 14

−e

El dominio de integración dado es

( ){ }2, / 0 1, 2 2= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤D x y x x y

Si se invierte los límites de integración

( ) 2, / 0 2 ,02

= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

yD x y y x

La integral es

( )

2 2 2

2 2

/21 2 2 22

00 2 0 0 0

224

00

1 1 12 4 4

=

=

=

=

= = =

= = = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

yy xy y y

xx

yy y

y

e dydx e dxdy xe dy

y e dy e e

Clase 11 de febrero

6

Del tema 1 de integración múltiple: Realizar los ejercicios propuestos nº 4, 5, 6 (página 31 y 32)

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Clase 16 de febrero

7

Del tema 1 de integración múltiple: Realizar los ejercicios propuestos nº 8, 9 y 10 (página 31 y 32)

Clase 17 de febrero

8

Terminar los ejercicios de la práctica 1 de ordenador realizada este día.

Clase 18 de febrero

9

Del tema 1 de integración múltiple: Realizar los ejercicios resueltos 4, 5 (página 41)

10

Desde la página http://personales.unican.es/alvareze/CalculoWeb/CalculoII/integracion_multiple.html Realiza los ejercicios siguientes para escribir los dominios en coordenadas polares:

• Ejemplo 1: R es la región del plano del segundo cuadrante limitado por la recta y=-x y la circunferencia 2 2 4x y+ =

• Ejemplo 2: R es la región del plano intersección del semiplano 3y x≥

y el círculo 2 2 4 0x y x+ − ≤ • Ejemplo 3: R es la región del plano del primer cuadrante que es exterior

a la circunferencia 2 23 0x x y− + = e interior a la circunferencia 2

2 3 92 4

x y + − =

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• Ejemplo 4. R es la región del plano del primer cuadrante limitada por las circunferencias 2 2 4x y+ = , 2 2 4 0x y x+ − =

11

(a) Calcula el área de un círculo de radio a. (b) Calcula el área de la región R

(c) Calcula el área de la región limitada por la curva

( )22 2 2 2 0x y x y+ − + = con 0x ≥

Solución:

(a) 2aπ (b) 2

4π −

(c) 1/2

Clase 23 de febrero

12

(a) Realiza el ejercicio 7 propuesto Del tema 1 de integración múltiple

(página 31)

(b) Calcula ( ) ( )22 2 x y

R

y x e dA+−∫∫ siendo A el polígono de vértices (0,0),

(2,2), (0,4) y (-2,2). Utiliza el cambio de variable u y xv y x= −

= +

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Solución: (b) 164 4e −

13

Del tema 1 de integración múltiple realiza los ejercicios resueltos siguientes: - Ejercicio 11 (página 48) - Ejercicio 13 (página 51)

14

Calcular la integral ( )2 cos

H

x y z dV+∫∫∫ siendo H el sólido limitado por las

superficies y z π+ = , y x= , 0z =

Solución: 2 448 12π π− + −

Clase 24 de febrero

15

Del tema 1 de integración múltiple: realizar el ejercicio 12 propuesto (ejercicio de la práctica 2 realizado este día).

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Clase 25 de febrero

16

Del tema 1 de integración múltiple: Realizar los ejercicios propuestos 13, 14, 15 y 16 (página 36)

17

Calcular el volumen de los sólidos Q y H siendo

• Q el paralelepípedo generado por los vectores A=(2,0,0), B=(0, 2, 2) y C=(0, 2,0)

• H es el paralelepípedo resultado de hacer la transformación lineal

/ 2/ 2/ 2

===

x uy vz w

¿Qué relación hay entre ambos volumenes? ¿cuál es el valor del jacobiano de la tranformación? Nota: Calcula el volumen de Q y H utilizando integración y también teniendo en cuenta que el volumen de un paralelepípedo generado por 3 vectores A, B y C es el valor absoluto del determinante que tiene por filas estos 3 vectores.

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Clase 3 de marzo

18

(a) El cilindro 2 24 x y= + y el plano 4y z+ =

(a) Calcula el volumen del cubo esférico limitado por 2 2 2 2x y z a+ + = ,

2 2 2 2 ( )x y z b b a+ + = > , 2 2 2x y z+ =

Solución:

(a) 16π (b) ( )( )3 32 23

b aπ− −

19

Del tema 1 de integración múltiple realizar los ejercicios

- Resuelto número 14 (página 52) - Propuestos número 18 y 19 (página 37)

20

Del tema 1 de integración múltiple realizar el test de autoevaluación.

Pág. 7