1

2015

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Cultura General

Preguntas propuestas

Álgebra

2

Operaciones básicas y Potenciación

NIVEL BÁSICO

1. Si m= – 2; n=3; p=4 y q= – 6, determine el valor numérico de

m3 – n · q – p2

A) 6 B) – 4 C) – 7D) 10 E) – 6

2. Determine el valor reducido de N. N=0,1+0,2+0,3+0,4+...+2,8+2,9

A) 12,8 B) 25,7 C) 39,43D) 43,5 E) 8,4

3. Determine el valor reducido de E. E=22+42+62+82+102+122

A) 91 B) 360 C) 364D) 346 E) 306

4. Determine el exponente final de x en la si-guiente expresión.

x x x

x

x5 2 3 23

3 2 3 1⋅ ( ) ⋅

( )( )∈ − { }+; R

A) 3 B) 2 C) 1D) 4 E) 8

5. Si se cumple que

5 625

2 64

x y

x y

+

−

=

=

determine el valor de x2 – y2.

A) 0 B) 2 C) 4D) 6 E) 24

6. Luego de simplificar la expresión

25

103

6

1024 5 2

25

6

10 0

( ) ×

× −( )

× × +( )π, se obtiene

mn

Calcule el valor de m – n. Considere que m y n son PESI.

A) 6/5 B) 1 C) 2D) 3 E) – 1

NIVEL INTERMEDIO

7. Determine el valor de M. M=1×3+2×4+3×5+...+20×22

A) 3720 B) 3270 C) 3890D) 3290 E) 3920

8. Reduzca la siguiente expresión

A = × ×

×( )45 75 225

3 5

8 11 7

20 21 2

indique la suma de las cifras de A.

A) 10 B) 11 C) 12D) 14 E) 9

9. Simplifique la siguiente expresión.

2 2 4

2 8

3 6 1 2 1

1

− + + − +

−+ ⋅⋅

n n n

n

A) 3,0 B) 3,5 C) 4,5D) 16,5 E) 7,5

10. Si x yy x= ∧ =12

2,

calcule el valor de xyx+

+1

1.

A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4D) 5/4 E) 3/2

11. Si 5x=m y 5z=n, halle (0,04) – x+2z

A) m2 · n – 4 B) m1/2 · n – 4 C) m2 · n – 1/4

D) m – 2 · n4 E) m2 · n4

12. Al reducir la expresión

x y

x y

x y

x y

3 3

4 2

3 3

2 2

5

−

⋅

−

se obtiene y

x

m

−

Determine el valor de mm+1.

A) 2 B) 8 C) 4D) – 3 E) – 2

Álgebra

3

NIVEL AVANZADO

13. Calcule la suma de S=7×31+9×29+11×27+13×25+...+31×7

A) 3955 B) 3965 C) 3945D) 3975 E) 3985

14. Determine el valor de a si se cumple que

27 381 1 729 2a a+ −=

A) 1/2 B) 5/3 C) 7/6D) 17/2 E) – 1/3

15. Determine el valor reducido de M.

M = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )5 5 5 5 512

16

112

120

1420

2120

...

A) 512 B) 5

20132012 C) 5

20122013

D) 50 E) 5

16. Si al reducir la expresión

x y

x y

xy

nmn

m nn n

m nn

n

−

+

−+

⋅

⋅

÷

1

1

1

resulta xn · yb, calcule el valor de nb+bn.

A) 1 B) 3 C) 5D) 13 E) 2m

17. Si x x axx xx a

aa+ +−

( )( ) =3 2 21

¿a qué es equivalente 1

1

ax

a x

⋅−

− ?

A) 1 B) x C) xx+1

D) x2 E) x

18. Luego de resolver x x xx( ) ; ,− = + >1 22 1 0

indique el valor de xx

− 1.

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

Álgebra

4

Radicación en R

NIVEL BÁSICO

1. Determine el valor reducido de M.

M = ⋅ ⋅ ⋅ −3 2 3 223 54 3 14

A) 2 B) – 4 C) – 6D) 6 E) 4

2. Determine el valor reducido de la siguiente expresión.

M = + + +

+ + +6 12 18 243 6 9 12

A) 2 B) 212 C) 3

12

D) 612 E) 4

12

3. Determine el valor reducido de J.

J = ⋅

⋅2 42 2

3

3

A) – 2 B) 2 C) – 1D) 1 E) 3

4. Si se tiene que xx=798,

calcule el valor de x +12

.

A) 4 B) 7 C) 8D) 5 E) 6

5. Determine el valor aproximado de J.

J = − − −12 12 12 ...

A) – 4 B) 1 C) 12D) 6 E) 3

6. Si n=10, determine el valor simplificado de

Jn n

n

nn

n= ⋅−+

−+

11

42 2

A) 1

10 B) 1 C) 1000

D) 100 E) 10

NIVEL INTERMEDIO

7. Si se cumple que xx5 322= , determine el valor

de 2 53 x .

A) 5 B) 32 C) 8D) 2 E) 4

8. Dada la sucesión {xn}, de modo que

x b x b b x b b b1 2 3= = =; ; ; ...

donde b es un número real positivo, determine

el valor de x x

x x3 10

4 112

⋅

⋅( ).

A) b – 1/2 B) b – 2 C) b – 1/8

D) b – 3 E) b – 4

9. Si se cumple que xx

12 1

2= , determine el valor

de x – 1.

A) 64 B) 4 C) 16D) 256 E) 512

10. Dado a > 0, calcule el valor de x en la siguiente igualdad.

a a

a

x xx

2 13 2 34

1

1+ −−

⋅ =

A) – 3/5 B) – 4/5 C) – 1D) – 5/4 E) – 5/2

11. Si x x equivale a 2, determine cuánto equivale

( )x x

xx

x+

+

−1

1

1

A) 1/2 B) 1 C) 2

2

D) 2 E) 2

Álgebra

5

12. Si a y b son números primos entre sí, además,

xab es lo que resulta de reducir la expresión

x x x x

x x

⋅ ⋅ ⋅

⋅ 23

entonces halle el valor de b2 – a2.

A) 144 B) 5 C) 169D) 119 E) 36

13. Sean los números

A

B

= + + + +

= − + + +

3 2 2 2

2 6 6 6

...

...

Determine el valor de A · B.

A) – 5 B) 12 C) 9D) 1 E) – 12

NIVEL AVANZADO

14. Determine el equivalente reducido de P.

P = − −−

−

0 5 2 2442 50

, ( )

A) – 1 B) – 0,5 C) 0D) 1 E) 0,25

15. Si x x+ =2 23 2 , calcule el valor de

J

xx

= + 228

A) 4 B) 5 C) 5

D) 16 E) 28

16. Sean a; b ∈ R+, tal que 1 1

12 2a b+ =

Determine el valor de S.

Sx x

x x

ba ab

a b= +

+

22 22

2 2

A) x – x B) 1/x C) xD) x2 E) 2

17. Sea {a; b; x} un conjunto de elementos dis-tintos de la unidad, tal que verifican ax=b3=x.

Calcule el valor de xx−−3 1

en términos de a y b.

A) ab2 B) ab C) ab2

D) a b2 E) b a2

18. Indique el exponente final de x en la expresión J.

J x x x x= ⋅ ⋅ ⋅4 24 24017953... (m radicales)

A) 2 1

2

m

m+

B) 2 1

2 1

m

m−+

C) 2 1

2 1

m

m+−

D) 2

2 1

m

m − E) 2

2 1

m

m +

19. Si se cumplen las igualdades

x y xx yyx9 3

1

3= =

;

calcule el valor de y3x.

A) 3 B) 2 C) 2D) 3 E) 27

Álgebra

6

Productos notables I

NIVEL BÁSICO

1. Reduzca la siguiente expresión si x = 3.

M=(x+1)2+(x+2)2 – 2(x+5)(x+1)+6(x+1)

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

2. Si se cumple que x2+6x=11, determine el va-lor de J.

J

x x

x x= + + −

+ + +( )( )

( )( )1 5 84 2 13

3

5

A) 1 B) 23 C) 25 1−

D) 23

3

5 E) 52

3

5

3. La suma de dos números es 24 y la suma de sus cuadrados es 296. Encuentre la raíz cuadrada del producto de dichos números.

A) 30 B) 17 C) 24

D) 2 35 E) 12

4. Si el polinomio P(x)=4x2+(n+1)x+1 es un tri-nomio cuadrado perfecto, determine el valor de n4+n3+n2+n+1. Considere n > 0.

A) 125 B) 121 C) 122D) 123 E) 124

5. Calcule el valor reducido de M.

M =

+−

+−+

3 23 2

3 23 2

A) 9 B) 10 C) 3 2 2+

D) 2 3 2+ E) 3 2−

6. Si x < y, además, se cumple

x y

xy

+ ==

2 5

1

determine el valor de x – y.

A) 4 B) 2 2 C) – 4D) 16 E) – 16

NIVEL INTERMEDIO

7. A partir de la siguiente igualdad, ¿cuál es el valor de a – b?

3 5

2 20+ = + > >a b

a b;

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

8. Si x x2 2 2 2 2+ = + +− , calcule el valor de x16+x – 16.

A) 0 B) – 1 C) – 2D) – 3 E) 2

9. Simplifique

4 12 5 2 6 3 8

2 4 2 24

+ + − + −+( ) −( )

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 0

10. En la siguiente igualdad, determine el valor de n.

13 85 7 6 7 6 6 74 4 8 8 168 3 1( )( ) +( ) +( ) + = ( )− −n

A) 4 B) 6 C) 7D) 8 E) 5

11. Sea x = +2 1. Determine el valor de N.

N x x x= +( ) +( ) +( ) + −2 1 1 1 1 12 48

A) 2 B) 216 C) 3D) 1 E) 2

Álgebra

7

12. Dada las condiciones

ab ac bc a b c+ + = + + =3 2

22 2 2

determine el valor de a b c+ +−2 1

Considere que {a; b; c} ⊂ R+.

A) 2 B) 3 C) 5D) 1 E) 4

NIVEL AVANZADO

13. ¿Cuál debe ser el valor de x, de modo que la siguiente igualdad se verifique?

2 3 2 3 64

813+ + −( ) =

x

A) 12 B) 20 C) 15D) 22 E) 17

14. Sea x un número real, tal que x3+4x=8. Deter-mine el valor de x7+64x2.

A) 128 B) 64 C) 32D) 110 E) 16

15. Si se cumple que mn

nm

mn+ = ≠2 0; ,

determine el valor de Q.

Q

m n

m n= + − −

− − +( ) ( )

( ) ( )

1 1

3 3

2 2

2 2

A) – 2 B) 1/3 C) – 1/3D) 3/2 E) 4/3

16. Sabiendo que un radical doble a b+ 2

con a > 0 y b ∈ +I se puede escribir como radicales simples c d+ , tal que

c d c

ad

a> > ∧ = + ∧ = −0

2 2∆ ∆

Determine la relación correcta entre ∆, a y b.

A) ∆2=a2+b2

B) ∆2=a2 – b2

C) ∆2=a2+4b

D) ∆2=a2 – 4b

E) ∆2=a– b

17. Si tenemos que

a b c

ab bc ac abc

+ + =+ + =

1

halle el valor de a bc

c ab

b ca

+ + + + +.

A) 1 B) 2 C) – 2D) 4 E) 5

18. Simplifique el siguiente valor.

J a b c ab bc ac a b c a b c= + + + + +( ) − + + + +( )2 2 2 2 2 2 2 2( )

Considere que {a; b; c} ⊂ R+.

A) a2+b2+c2

B) ab+bc+acC) 22D) 1E) 0

Álgebra

8

Productos notables II

NIVEL BÁSICO

1. Si se tiene que (x+2)3=x3+6x2+mx+n (x – 5)3=x3 – px2+qx – 125 determine el valor de m+n+p+q.

A) 20 B) – 15 C) 40D) – 10 E) 110

2. Si xx

+ =123 , determine el valor de x

x

6

31+ .

A) 3 2 33−

B) 3 2 23−

C) 2 3 23−D) 1 2 3−

E) 1 2 23−

3. Se tienen las dimensiones de un campo depor-tivo.

(x – 1) m

(x2 +x+1) m

Determine el área del gramado de fútbol si

x = 2003

A) 2 2003 2m B) 199 m2 C) 4003 2mD) 215 m2 E) 169 m2

4. Determine el equivalente reducido de M3 si

M

a b

a b a ab bb a b= −

+( ) − +( ) + ≠ −6 6

2 23;

A) a B) 0 C) – 2D) b E) 2

5. Sea x3=8; x ≠ 2. Determine el valor de x2+2x+6.

A) 4 B) 6 C) – 1D) 2 E) 3

6. Sean x y z= = − = −1 2 5 5 3; ; . Determine el valor numérico de J.

J

x y zxy yz xz

x y zxyz

= + ++ +

⋅ + +3 3 3 2 2 2

A) 3 B) – 3 C) 2D) – 2 E) – 6

NIVEL INTERMEDIO

7. Si 2(x2+y2)=3(x+y)=12, calcule el valor de A.

A x x y xy y= + + + +3 2 2 3 1

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

8. Si se cumple que a+b=4; ab=1; a > b, calcule el valor de a3 – b3.

A) 1 3+ B) 30 3+ C) 10 3+D) 30 3 E) 3

9. Si se cumple que

( ) ( )a b

a b

+ + − =+ =

1 1 18

3

3 3

Determine el valor de (a+1)(b+1).

A) 6 B) – 9 C) 1D) 2 E) – 5

10. ¿Cuál es el valor de nn

55

51+ si se sabe que

nn

+ =11?

A) 25 B) 1 C) – 1D) 55 E) 5

Álgebra

9

11. Sean x; y; z números reales, tal que x y z+ + = 15 ∧ x2+y2+z2=5. Calcule el valor de M.

M

x y zxyz

xz

yx

zy

=+ +

+ + +3 3 3

A) 3 B) 5 C) 6D) 9 E) 10

12. Sean a b c= + = − = −2 2 1 2 3; y . Reduzca la siguiente expresión.

c

a b ab

b

a c ac

a

b c bc

a b cabc

2

2 2

2

2 2

2

2 2

3 3 3

2 2 2+ ++

+ ++

+ +− + +

A) 3 B) 4 C) 0D) 1 E) 6

NIVEL AVANZADO

13. Si x= + + −2 3 2 33 3 , determine el valor de E2+1, de modo que E=x3 – 3x+6.

A) 49 B) 26 C) 48D) 101 E) 82

14. Teniendo en cuenta que x3+y3+z3=a3+b3+c3, calcule P(11a; 6b; 3c) si

Px a y b z c

x ax a y yb b zx y z( ; ; ) =

−( ) + −( ) + −( )+ +( ) + +( ) +

3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 zzc c+( )2

A) 3abcB) 30abcC) 300abcD) 3(a3+b3+c3)E) 3(a+b+c)

15. Sean a; b y c tres números reales que satisfacen la siguiente igualdad.

a2+b2+c2+21=2(a+2b+4c)

Determine el valor de cb – a.

A) 16 B) 4 C) 2D) 8 E) 6

16. Se cumple que a(b+1)=a2+b(b+1) c(d+1)=c2+d(d+1) simplifique la expresión J.

J

a b c d

a b c d= − + −

+ + +

2 2 2 2

3 3 3 3

A) 1 B) 0 C) ab

D) a bc d

++

E) c da b

++

17. Si x+y+z=1, calcule el valor numérico de T.

T

x y zxy yz zx xyz

= + + −+ + −

3 3 3 1

A) 1 B) – 1 C) – 3D) 3 E) 2

18. Si a+b+c=0, determine el valor de x en

axbc

bxac

cxab

abc a b c

2 2 2

1 1 1

1 1 1

5

−

+ −

+ −

=

= + +− − −(( )

A) a+b+cB) ab+bc+acC) a2+b2+c2

D) abc

E) 1 1 1a b c

+ +

Álgebra

10

Polinomios I

NIVEL BÁSICO

1. Indique cuáles de las siguientes expresiones matemáticas representan a un polinomio.

P(x; y)=2x2y5 – 4xy7+6

Q x y zx y( ; ) = − +6 6

R x xx( ) = + − +1 2

S

xxx( ) =

−+

3 76

T x xx y( ; ) = − +5 3

A) P, Q y RB) R, S y TC) P, Q y TD) solo PE) P y Q

2. Si P x x nxxn

nn

( ) = + −−+

−5 731

2 12 2

es un polinomio, determine el valor de 1+2+...+n.

A) 10 B) 55 C) 21D) 15 E) 17

3. Dada las expresiones matemáticas

P x Q xx x( ) ( )= =3 3y

halle el valor numérico de Q PP Q( ) ( )3 8

+ .

A) 7 B) 35 C) 18D) 12 E) 11

4. Si P xx( )2 12 5+ = + ,

indique el valor de P(5)+P(7).

A) 74 B) 21 C) 23D) 84 E) 12

5. Si P(x; y)=x6 – y6, calcule el valor de M. M=P(1; 2)+P(2; 3)+P(3; 4)+...+P(9; 10)

A) 999 999 B) 1 000 000 C) – 1 000 000D) – 999 999 E) 1 000 001

6. Sea P(x+1)=2x+6. Determine el valor reducido de M=P(2x – 1)+P(1 – 2x).

A) 15 B) 6 C) 8D) 12 E) 20

NIVEL INTERMEDIO

7. Si el polinomio

P n x x nxn

n

( ) ( )= − − ++−

4 533 4

2 2

es de menor grado posible, calcule el valor de P(1).

A) 9 B) – 7 C) – 3D) 11 E) – 11

8. Si P(x)=5P(x+1),

Calcule el valor de P P P

P P P( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1 2

2 3 4

+ ++ +

.

A) 4 B) – 5 C) 30D) 25 E) 5

9. Dada la expresión irracional definida por

M x y xy x yx y( ; ) ;= + − > >2 0

determine el valor de la siguiente expresión.

J=M(9; 8)+ M(8; 7)+ M(7; 6)+ M(6; 5)+ M(5; 4)

A) – 2 B) 3 C) 1D) 4 E) 5

10. Dada la expresión matemática

f

xx( ) = +1

1 calcule el valor de

f f f f f f( ) ( ) ( )... ...1 2 10 11

12

110

+ + + + + + +

A) 1

10B) 100C) 8D) 10E) 20

Álgebra

11

11. Sea P(x)=x2 – mx+n; m ≠ n, un polinomio cuadrático, tal que P(n)=m. Evalúe P(m).

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2

12. Si se cumple que

F x F xx g x( ) ( )+ +( )= + ∧ = +1 1

2 1 5 1

indique el valor de g(2).

A) 1 B) 5/2 C) 2/5D) 4 E) 5

NIVEL AVANZADO

13. Sea el polinomio

P x x x x x x x xx

n( ) ...= +( ) +( ) +( ) +( )2 6 2 12 3 20 4

factores� ��������� ����������

calcule el grado de P(x).

A) n n( )+ 2

6

B) n(n+1)

C) n n( )+12

D) n n n( )( )+ +1 26

E) n n n( )( )+ +1 2

3

14. Sean a y b dos números reales no nulos; ade-más, sea F(x)=ax+bx, donde F(1)=1 y F(2)=2.

Determine el valor de F(– 1).

A) 5 B) 3 C) – 1D) – 2 E) 6

15. Si el grado del polinomio P(x)=3xm+n+5x2m+n+14x3m+2n+x2+10 es 20, donde {m; n} ⊂ Z+, calcule el valor de

30

201m

n+ −

A) 10 B) 20 C) 200D) 1 E) 10/3

16. Dado gxx

gx xx

( ) =+−

⋅ ++

−

11

311

halle el valor de g 12

.

A) 125

B) 5

12 C) −

512

D) −125

E) 12

17. Si Pxxx

12

35−

=

+−

halle el equivalente de Px+

12

.

A)

x

x2

3

25

+

− B)

xx+−

35

C) xx−−

35

D) 3

5x + E)

xx−+

35

18. Sean f x x xx x3 2

22 3 6+ +( ) = + +

f f f

x

g

gx x x x

x

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

− +

+=

−− +1 122

6

2

M xg x( )( ) = +2 3

Calcule M(x).

A) 2 2x −B) 2 4x −C) 2 5x −D) 2 1x −E) 2 7x −

Álgebra

12

Anual UNI

01 - D

02 - B

03 - D

04 - D

05 - E

06 - D

07 - E

08 - B

09 - D

10 - B

11 - D

12 - D

13 - A

14 - C

15 - B

16 - B

17 - C

18 - B

19 - D

01 - E

02 - D

03 - C

04 - C

05 - E

06 - B

07 - D

08 - C

09 - C

10 - D

11 - A

12 - B

13 - B

14 - D

15 - E

16 - B

17 - D

18 - A

01 - a

02 - a

03 - d 18 - b

01 - e

02 - c

03 - b

04 - a

05 - d

06 - e

07 - e

08 - d

09 - c

10 - b

11 - c

12 - c

13 - d

14 - c

15 - c

16 - a

17 - c

18 - b

01 - e

02 - d

03 - e

04 - c

05 - d

06 - c

07 - d

08 - d

09 - c

10 - d

11 - b

12 - e

13 - e

14 - d

15 - c

16 - d

17 - e

18 - d

OperaciOnes básicas y pOtenciación

radicación en R

prOductOs nOtables i

prOductOs nOtables ii

pOlinOmiOs i