DEPARTAMENTO DE DIDCTICA Y ORGANIZACIN ESCOLAR

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN UNIVERSIDAD DE MLAGA

AL OTRO LADO DE LAS FRONTERAS DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES

Problemas y dificultades en el aprendizaje matemtico de los nios y nias de

tercer ciclo de Primaria

Tesis Doctoral presentada por Manuela JIMENO PREZ

Dirigida por

Nieves BLANCO GARCA

MLAGA, 2002

A la memoria de Antonio Fortes, pues sin l este trabajo no se

hubiera ni iniciado. Y a mi madre, Victoria, que

siempre ha estado ah, para que yo pudiera ser y hacer lo que

quisiera ser y hacer.

- 1 -

NDICE

INTRODUCCIN........................................................................................................................... 5

I : LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN PRIMARIA

1.1.- Introduccin ....................................................................................................................... 13 1.2.- Por qu ensear matemticas? ................................................................................ 14

1.2.1.- Contribucin al desarrollo tecnolgico y socioeconmico ...................................... 20 1.2.2.- Contribucin al desarrollo y mantenimiento cultural, ideolgico y poltico de la sociedad .....

22

1.2.3.- Suministrar a los individuos prerrequisitos que puedan ayudarle a enfrentarse a la vida en sus diferentes esferas ...........................................................................................

26

1.3.- Matemticas para todos ................................................................................................ 29 1.4.- Los currculos de matemticas para todos .................................................................... 34

1.4.1.- Propsitos .................................................................................................................. 35 1.4.2.- Contenidos ................................................................................................................. 37 1.4.3.- Aprendizaje matemtico y orientaciones didcticas .................................................. 40 1.4.4.- Evaluacin ................................................................................................................. 48

1.5.- El curriculum de matemticas desde una perspectiva cultural ................................ 51 1.5.1.- La enculturacin matemtica ..................................................................................... 52 1.5.2.- La etnomatemtica .................................................................................................... 54

1.6.- La prctica educativa en las aulas de Primaria ...................................................... 57 1.6.1.- La perspectiva japonesa opend-end ....................................................................... 57 1.6.2.- La educacin matemtica realstica (REM) ............................................................ 60 1.6.3.- Instruccin guiada cognitivamente (CGI) ................... 63

1.7.- Las aulas de matemticas: su cultura, sus miembros y sus prcticas ....................... 68 1.7.1.- La cultura en las aulas de matemticas ........................................................................ 68 1.7.2.- Los participantes en el aula : profesorado, alumnado ................................................... 73

1.7.2.1.- Las creencias de los profesores y profesoras ......................................................... 74 1.7.2.2.- Las percepciones de los estudiantes sobre las prcticas matemticas, el conocimiento desarrollado y su uso........................................................................................

77

1.7.3.- Las prcticas matemticas en las aulas: prcticas matemticas tradicionales versus prcticas matemticas progresistas..........................................................................................

80

1.8.- Las matemticas en la Educacin Primaria en Espaa ................................................ 86 1.8.1.- Introduccin ................................................................................................................... 86 1.8.2.- El Diseo Curricular Base para la Educacin Primaria (Junta de Andaluca) ............... 91

1.8.2.1.- Objetivos generales para la Educacin Primaria ..................................................... 93 1.8.2.2.- Los contenidos y la evaluacin ................................................................................ 94 1.8.2.3.- El curriculum de matemticas ................................................................................. 96

1.9.- Qu est sucediendo en los centros de Primaria? .................................................... 105 1.10.- Los resultados educativos de los alumnos y alumnas .............................................. 112

1.10.1.- Resultados en matemticas segn el gnero ............................................................ 131 1.10.2.- Resultados segn factores socioeconmicos y culturales .......................................... 137

II : DIFICULTADES DE APRENDIZAJE MATEMTICO

2.1.- Introduccin ...................................................................................................................... 141 2.2.- Las dificultades de aprendizaje ....................................................................................... 143

2.2.1.- Las definiciones de dificultades de aprendizaje ............................................................ 143 2.2.2.- Crticas a las definiciones ............................................................................................. 147

- 2 -

2.2.3.- La cuestin del diagnstico ............................................................................................ 149 2.2.3.1.- Propuestas para el diagnstico ................................................................................ 155

2.3.- Dificultades de aprendizaje matemtico: consideraciones preliminares..................... 161 2.4.- Las perspectivas neurolgicas ........................................................................................ 164

2.4.1.- Acalculia ....................................................................................................................... 166 2.4.2.- Las dificultades de aprendizaje matemtico de los estudiantes ................................... 173

2.4.2.1.- Discalculia ................................................................................................................ 174 2.4.2.2.- Subtipos de dificultades de aprendizaje relacionadas con las matemticas ........... 176

2.4.3.- La neuropsicologa cognitiva ......................................................................................... 183 2.4.4.- La relevancia de los datos neuropsicolgicos para las DAM y crticas a las definiciones ...............................................................................................................................

188

2.5.- Perspectivas cognitivas ................................................................................................... 191 2.5.1.- Retraso o diferencia ? ................................................................................................. 193 2.5.2.- Patrones acadmicos y perfiles cognitivos de los EDAMs ............................................ 196

2.5.2.1.- El proceso de recuento ............................................................................................ 198 2.5.2.2.- Los hechos aritmticos bsicos ............................................................................... 199 2.5.2.3.- El clculo escrito ...................................................................................................... 204 2.5.2.4.- Las dificultades en la resolucin de problemas aritmticos verbales ...................... 213 2.5.2.5.- Relaciones entre dificultades en el rea de lenguaje y dificultades en matemticas ...........................................................................................................................

223

2.5.2.6.- Algunas consideraciones sobre la validez y relevancia de las investigaciones cognitivas ................................................................................................................................

228

2.5.3.- Una perspectiva de desarrollo ................................................................................... 230 2.6.- Programas de intervencin para mejorar los logros en matemticas de los EDAMs 239

2.6.1.- Consideraciones preliminares .................................................................................... 239 2.6.2.- Estudios de intervencin para mejorar las destrezas de clculo ................................... 243

2.6.2.1.- Intervenciones conductistas ................................................................................. 243 2.6.2.2.- Intervenciones cognitivistas ................................................................................. 245

2.6.3.- Resolucin de problemas ........................................................................................... 249 2.6.3.1.- Instruccin directa en palabras claves, esquemas base, etc. .................................. 250 2.6.3.2.- Utilizacin de la manipulacin con objetos concretos o materiales didcticos ........ 253 2.6.3.3.- Instruccin en estrategias cognitivas/metacognitivas ......................................... 255 2.6.3.4.- Instruccin guiada cognitivamente ....................................................................... 259

2.6.4.- Algunas consideraciones sobre estos estudios ......................................................... 261

III : LA EQUIDAD EN LA EDUCACIN MATEMTICA

3.1.- Introduccin ...................................................................................................................... 265 3.2.- Gnero y matemticas .................................................................................................. 266

3.2.1.- Introduccin ............................................................................................................... 266 3.2.2.- Un esbozo de las diferentes aproximaciones a las cuestiones sobre gnero y matemticas .............................................................................................................................

269

3.2.3.- Las diferencias entre gneros en matemticas ......................................................... 280 3.2.3.1.- Los chicos tienen mejores capacidades y habilidades matemticas que las chicas? ...................................................................................................................................

281

3.2.3.2.- Las chicas tienen diferentes creencias, actitudes y conductas respecto a las matemticas que los chicos? ................................................................................................

285

3.2.3.3.- Las chicas son tratadas y actan en las aulas de matemticas de forma diferentes que los chicos? .....................................................................................................

290

3.2.3.4.- Las chicas tienen diferentes estilos de aprendizaje que los chicos y necesitan un clima en el aula distinto al que necesitan los chicos?............................................................

293

3.2.3.5.- El problema no son las chicas, sino las matemticas ...................................... 295 3.3.- Educacin y clase social .............................................................................................. 300

3.3.1.- Introduccin ......................................................................................................... 300 3.3.2.- La escuela es neutra por qu fracasan los nios y nias de las clases ms bajas? . 304 3.3.3.- Las teoras de reproduccin social ........................................................................... 308 3.3.4.- Las teoras de Bernstein ........................................................................................... 314

3.3.4.1.- Cdigos y clase social ......................................................................................... 315 3.3.4.2.- El dispositivo pedaggico .................................................................................... 321 3.3.4.3.- Las reglas de interaccin de la prctica pedaggica .............................................. 323

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3.3.5.- Las teoras crticas en educacin ................................................................................ 326 3.3.6.- Clase social y educacin matemtica .......................................................................... 337

3.3.6.1.- Las capacidades y habilidades matemticas de los nios y nias de las clases ms bajas ...............................................................................................................................

338

3.3.6.2.- Teoras crticas de educacin matemtica ............................................................ 341 3.3.6.3.- Las diferencias en las aulas ................................................................................. 345 3.3.6.4.- La inclusin de actividades realistas en los currculos de matemticas, beneficia o perjudica a los nios y nias de las clases sociales ms bajas? ......................

356

3.4.- Equidad en matemticas, una cuestin de justicia social ....................................... 361 3.4.1.- Delimitando el concepto de equidad ...................................................................... 361 3.4.2.- Equidad en matemticas ........................................................................................... 370

IV : PROBLEMAS Y DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS: Una visin sociocultural (gnero y clase social), educativa y cognitiva

4.1.- El proceso de investigacin ......................................................................................... 379 4.1.1.- La puesta en marcha : Puntos de partida y mis primeros contactos con el centro ....... 381 4.1.2.- El establecimiento de las interrelaciones personales .................................................... 386 4.1.3.- el desarrollo de la investigacin ............................................................................. 388 4.1.4.- La recogida de informacin ....................................................................................... 394

4.1.4.1.- Las observaciones ................................................................................................ 394 4.1.4.2.- Cuestionario dirigido a los estudiantes ................................................................. 396 4.1.4.3.- Conversaciones y entrevistas .............................................................................. 398 4.1.4.4.- Pruebas que se han pasado a los nios y nias ............................................... 400 4.1.4.5.- Documentos ......................................................................................................... 401

4.1.5.- El tratamiento y anlisis de datos .......................................................................... 401 4.1.6.- La negociacin del informe ........................................................................................ 406

4.2.- Al otro lado de las fronteras de las matemticas escolares (Informe) ........................ 408 4.2.1.- Introduccin .............................................................................................................. 408 4.2.2.- Contexto .................................................................................................................... 409 4.2.3.- Creencias, expectativas y actitudes del profesorado sobre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas y cmo atender a la diversidad del alumnado .......................

417

4.2.4.- El alumnado ............................................................................................................... 429 4.2.4.1.- Una visin general ................................................................................................ 429 4.2.4.2.- Algunas diferencias entre gneros ....................................................................... 433 4.2.4.3.- Los nios y nias con problemas o dificultades en el aprendizaje de las matemticas ...........................................................................................................................

437

4.2.4.3.1.- Los nios y nias del bloque .................................................................... 439 4.2.4.3.2.- El papel de la motivacin ............................................................................ 450 4.2.4.3.3.- El esfuerzo por comprender ............................................................................ 453 4.2.4.3.4.- Las dificultades especficas que manifiestan estos nios y nias en el aprendizaje de las matemticas ..........................................................................................

454

4.2.5.- Las clases de matemticas ........................................................................................... 462 4.2.5.1.- Lo que sucede en el aula ..................................................................................... 463 4.2.5.2.- Las diferencias en el aula ..................................................................................... 473 4.2.5.3.- La evaluacin ...................................................................................................... 479

4.2.6.- Trabajando juntos fuera del aula ............................................................................... 481 4.2.6.1.- Desarrollo de la experiencia ................................................................................. 483 4.2.6.2.- Actitudes y conductas de los alumnos y alumnas ................................................ 486 4.2.6.3.- Comprensin y modos de resolucin ............................................................... 492

4.2.7.- Una breve recapitulacin ............................................................................................... 504

V : ATRAVESAR LAS FRONTERAS DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES : UNA DIFCIL TAREA

5.1.- Las matemticas escolares ............................................................................................. 513 5.2.- Las aulas de matemticas ............................................................................................ 518

5.2.1.- Las diferencias en las aulas de matemticas ............................................................ 528 5.3.- Equidad en Matemticas ............................................................................................... 538 5.4.- Los nios y nias de las clases ms desfavorecidas ................................................... 544 5.5.- Las dificultades cognitivas en el aprendizaje de las matemticas .............................. 554

- 4 -

5.6.- Las nias ante sus dificultades en el aprendizaje matemtico .................................... 568

ATRAVESANDO FRONTERAS, ELIMINANDO BARRERAS ........................................................ 577

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................................... 589

ANEXOS

Anexo 1 .................................................................................................................................... 645 Anexo 2 .................................................................................................................................... 649 Anexo 3 ................................................................................................................................... 651 Anexo 4 ................................................................................................................................... 653

- 5 -

Esta institucin que llamamos escuela, es lo que es, porque as la hicimos. Si resulta inoperante, como dice

McLuhan; si aparta a los nios de la realidad, como afirma Nobert Weiner; si educa para la antigedad,

como defiende John Gardner; si no desarrolla la inteligencia como sostiene Jerome Bruner; si impide el

aprendizaje de lo que realmente importa, como recrimina Carl Rogers; si provoca alienacin como declara Paul Goodmann; si castiga la creatividad e

independencia como le imputa Edgar Fridenberg; en suma, si no realiza aquello que necesariamente debe

hacerse, podemos transformarla. Debemos transformarla. Creemos en esta posibilidad, porque son muchas las personas competentes que, de un

modo u otro, nos han ofrecido ideas claras e inteligentes que llevar a la prctica. Mientras tales

ideas y las alternativas que ellas sugieren, estn en nuestras manos, no tenemos ningn motivo para

abandonar la esperanza.

(Neil Postman y Charles Weingartner, La enseanza como actividad crtica)

INTRODUCCIN

La cuestin central en esta investigacin son los problemas y dificultades

en el aprendizaje matemtico de los nios y nias en la Educacin Primaria. Las

investigaciones sobre las dificultades de aprendizaje matemtico se han realizado

casi exclusivamente desde el campo de la psicologa, pero aunque los aspectos

psicolgicos son una parte importante en esta cuestin, este trabajo los encuadra

dentro de una perspectiva ms amplia considerando el contexto en el que se

llevan a cabo los aprendizajes y los antecedentes socioculturales de los

estudiantes.

Los aprendizajes acadmicos se realizan dentro de un contexto escolar,

con sus normas y prioridades y en l se determina cules son los conocimientos

matemticos que deben aprender los estudiantes y cmo deben hacerlo; la

enseanza se realiza a travs de unos profesores que tienen sus propias ideas

sobre las matemticas y la forma de ensearlas; profesores y profesoras que

Manuela Jimeno Prez

- 6 -

enjuician las capacidades de sus estudiantes y les asignan unas expectativas de

futuro y todo ello influye de manera considerable en el aprendizaje de los

estudiantes y en la percepcin de ellos mismos como aprendices de matemticas.

Por otra parte, algunas investigaciones han subrayado la influencia del gnero en

el aprendizaje matemtico y en las actitudes de los estudiantes hacia esta

materia. Adems la literatura existente, aunque no muy extensa en esta cuestin,

parece indicar que existen ms nios que nias con dificultades de aprendizaje.

Con el propsito de analizar estas cuestiones comenc la investigacin con una

serie de interrogantes. La primera de ellas sera por qu no aprenden los nios y

nias las matemticas escolares?, pero ante esta pregunta surgen muchas otras:

qu es lo que se pretende que aprendan los nios y nias sobre las

matemticas?, por qu deben aprenderlo?, quines deciden lo que deben

aprender?, cmo se les ensea?, cmo determinar lo que han aprendido o lo

que no han aprendido?, qu sucede en el aula y fuera de ella para que la

enseanza recibida produzca efectos diferentes en el aprendizaje de las nias y

los nios que se supone que tienen capacidades similares?, cmo viven los

nios nias sus dificultades en el aprendizaje de las matemticas?, cules son

los problemas y dificultades en el aprendizaje de las matemticas de las nias y

los nios?, etc. Estas son slo algunas de las cuestiones, pues de cada una de

ellas surgen otros interrogantes.

El marco en el que se inscribe este trabajo es el de la investigacin

cualitativa, en particular un estudio de caso. Los procesos de enseanza y

aprendizaje se producen dentro de un contexto determinado y estos son nicos.

Para tratar de hacer visible qu es lo que sucede en las aulas y las razones que

hay detrs de ello y que dan sentido a las actuaciones del profesor y profesora y

de cada uno de los estudiantes que conforman el aula, lo que determina las

prcticas matemticas en las clases, los problemas y dificultades que encuentran

los nios y nias en los aprendizajes acadmicos, etc., es necesario sumergirse

en las aulas, participar en las situaciones que all se producen y se desean

investigar. Situaciones complejas , pues estn influidas no slo por lo que

acontece dentro de las aulas, sino por el entorno institucional en el que se

Introduccin

- 7 -

desenvuelven y los antecedentes socioculturales, experiencias, sentimientos,

actitudes intereses, expectativas,, de cada uno de los componentes del aula.

En un estudio de caso las cuestiones a investigar se van reformulando a lo

largo de la investigacin. Este trabajo se ha desarrollado en cuatro aulas de

matemticas de tercer ciclo de la Educacin Primaria y al entrar en las aulas, en

un contexto particular, van surgiendo aspectos no considerados, al menos

explcitamente, y algunos de estos aspectos van cobrando una mayor relevancia

que otros. En este estudio de caso la presencia de nios y nias de clase social

baja y con graves problemas en los aprendizajes acadmicos hizo necesario

incorporar la clase social como un aspecto importante en los problemas y

dificultades de aprendizaje matemtico de las nias y nios.

La realidad es algo complejo, cambiante e interpretable. Los diversos

aspectos que pueden llegar a hacernos comprender lo que percibimos son como

hilos que se entrecruzan y entrelazan y a veces es difcil desenmaraar el ovillo

que se forma y nos presenta los hechos. Algunos hilos pueden perderse, otros

estn mezclados y an algn otro puede no ser reconocido. En este trabajo se

han considerado mltiples aspectos: cognitivos, educativos, gnero, clase social,

actitudes, afectos y sentimientos, etc., en un intento de sacar a la luz lo que

puede determinar e influir en los problemas y dificultades en el aprendizaje

matemtico de las nias y nios. Haber prescindido de algunos aspectos habra

reducido la complejidad y probablemente hubiera permitido una mayor

profundidad en otros aspectos, pero pienso que es importante considerar esta

cuestin dentro de un amplio contexto tal y como indica Herbert Ginsburg (199

:31): una visin holstica que tenga en cuenta al nio por completo y la ecologa

de la escuela. Aunque no tengo la seguridad de haber conseguido plasmar en

las pginas siguientes todo lo que deseaba y ha estado presente a lo largo de

todo este trabajo, o no haber dejado atrs algn aspecto importante y, soy

consciente de que mis propias creencias y mis puntos de vista han influido en la

visin que se presenta.

Por otra parte, la interpretacin de los datos obtenidos con el trabajo de

campo necesita recurrir a las diversas teoras que se han ocupado de estas

Manuela Jimeno Prez

- 8 -

cuestiones, teoras que permitan interpretar y dar forma al conocimiento surgido

desde la prctica y que propicie la generacin de nuevo conocimiento. No es fcil

construir conocimiento terico a partir de una situacin prctica ni tratar de

interpretar y esclarecer una situacin prctica a travs del conocimiento terico.

Los aspectos considerados han sido muy diversos y ello dificulta tratarlos todos

ampliamente desde una perspectiva terica. Hay tres hilos conductores en los

propsitos de la investigacin y el informe y ellos han servido para elaborar la

base terica:

Aspectos educativos

Dificultades de aprendizaje

Aspectos referentes al gnero y clase social englobados bajo la cuestin

de la equidad en la educacin matemtica.

El primer captulo, La educacin matemtica en la Educacin Primaria,

tiene dos partes diferenciadas. En la primera se presentan algunas

consideraciones sobre la educacin matemtica en la que se ha prestado una

especial atencin a los propsitos y razones para la educacin matemtica y la

visin de una matemtica para todos y por todos (Volmink, 1994: 58). La

segunda parte presenta y analiza el curriculum de matemticas para la Educacin

Primaria que establece la LOGSE y algunas cuestiones referentes a cmo el

nuevo marco educativo se refleja en los centros y en las aulas de Primaria,

terminando con los resultados educativos en matemticas de los nios y nias de

Primaria y las diferencias existentes entre nias y nios en estos resultados y

entre estudiantes procedentes de distintas clases sociales.

El captulo segundo, Dificultades de aprendizaje matemtico, se sita en

el campo de la psicologa. En l se exponen las dificultades especficas en

matemticas que pueden presentar los nios y nias en esta etapa educativa y

los programas de intervencin desarrollados. Se ha incluido una breve visin

histrica sobre este campo de investigacin y la perspectiva neurolgica, aunque

se presta mayor atencin a las perspectivas cognitivas, pues los orgenes han

tenido una gran influencia en la conceptualizacin y la construccin de lo que se

entiende por dificultades de aprendizaje.

Introduccin

- 9 -

El tercer captulo, La equidad en la educacin matemtica, tiene tres

partes. La primera se ocupa de las cuestiones sobre gnero y matemticas, en

ella se exponen las diversas aproximaciones a estas cuestiones y las

investigaciones referentes a las diferencias por gnero en matemticas tanto en

el aprendizaje como en las actitudes y creencias. La segunda parte se ocupa de

la influencia de la clase social en los resultados educativos abordndolos desde

diferentes perspectivas y particularizando al final en la educacin matemtica. Por

ltimo, se engloban las cuestiones de gnero y clase social en el marco de la

equidad en la educacin matemtica, en la necesidad de un sistema educativo

ms justo y equitativo.

En el cuarto captulo, Los problemas y dificultades en el aprendizaje de

las matemticas de los nios y nias de tercer ciclo de Primaria, se expone

en primer lugar cmo se ha ido desarrollando la investigacin, las cuestiones de

partida, los instrumentos utilizados, el tratamiento de la informacin obtenida, etc.

y a continuacin el informe; informe al que he titulado Al otro lado de las

fronteras de las matemticas escolares y que da ttulo a esta tesis.

El captulo quinto, Atravesar las fronteras de las matemticas escolares

: una difcil tarea, realiza un anlisis terico del informe, estructurndolo a partir

de los aspectos que he considerado ms relevantes y tratando de establecer una

continuidad entre los diferentes aspectos: las matemticas escolares, las aulas de

matemticas, equidad en matemticas, los nios y nias de las clases ms

desfavorecidas, las dificultades cognitivas en el aprendizaje de las matemticas y

las nias ante sus dificultades en el aprendizaje matemtico.

Este trabajo termina con, Atravesando fronteras , eliminando barreras.

No se puede considerar un captulo, sino reflexiones finales. Bajo este epgrafe se

intenta exponer algunas consideraciones que puedan contribuir a eliminar

algunos obstculos con los que se enfrentan los nios y nias con problemas y

dificultades en matemticas, consideraciones que surgen del trabajo realizado con

los nios y nias y mis observaciones. Estas pginas no son un punto final, sino

un posible punto de partida para conseguir una mejor educacin matemtica para

todos y todas.

Manuela Jimeno Prez

- 10 -

Para terminar, quisiera desde estas pginas agradecer a todas aquellas

personas que han contribuido a que este trabajo fuera posible. En primer lugar a

los profesores y profesoras de las aulas en las que he estado pues me han hecho

sentirme incluida en ellas y siempre han estado dispuestos a conversar, y a

proporcionarme aquello que necesitaba o quera hacer. A la profesora de

Educacin Especial que me abri las puertas de su aula, con la que he

conversado en mltiples ocasiones y cuyos comentarios y observaciones me han

ayudado mucho en mi trabajo, a la orientadora del centro y la profesora de

Audicin y Lenguaje. Todos y todas han contribuido a que pudiera desarrollar mi

trabajo en el centro y elaborar las informaciones. Tambin tengo que agradecer su

acogida a los restantes profesores y profesoras del centro, pues las

conversaciones en la sala de profesores a la hora del recreo no slo me hacan

sentir incluida en ese ambiente sino que me han ayudado en el trabajo que estaba

realizando.

A los nios y nias de cada uno de los cursos en los que he estado y, en

particular a los que mostraban problemas o dificultades en el aprendizaje, no

tengo palabras para mostrarles mi agradecimiento, ellos me han dado su

confianza y su afecto y han hecho que sintiera que mereca la pena el trabajo que

estaba realizando. Ahora estarn en secundaria y es improbable que puedan leer

estas lneas, pero ellos y ellas son los protagonistas de este trabajo y mi deuda

con ellos es infinita, pues no slo han permitido que mi trabajo pudiera seguir

adelante sino que me han hecho ver la educacin y las relaciones sociales desde

otro punto de vista, lo que ha tenido influencia no slo en mi trabajo sino en mi

propia persona.

A Antonio Fortes Ramrez, mi primer director de Tesis, pues sin l este

trabajo no se hubiera ni comenzado; amigo y compaero me anim a iniciarlo y

gui mis pasos. Educador preocupado y comprometido por la equidad en la

educacin y por las personas ms desfavorecidas socialmente, me hizo entrar en

este mundo de las desigualdades que son evidentes pero toleramos,

transmitindome su preocupacin y compromiso . Su prdida fue un duro golpe,

pero siempre estar en mi memoria.

Introduccin

- 11 -

A Nieves Blanco que continu con la direccin de la Tesis y no slo me ha

prestado una ayuda inestimable para concluir este trabajo, sino que me ha

proporcionado el nimo y la serenidad necesaria para hacerlo. Sus comentarios,

sus aportaciones, el estar dispuesta siempre a escucharme, su compaa, han

hecho que este trabajo no sea tan arduo.

Por ltimo quisiera agradecer su apoyo y comprensin a mi familia y

compaeros y compaeras . Miguel Angel, Lola, Blanca y muchos otros y otras

han estado a mi lado durante estos aos, en los que a veces estaba distrada,

otras preocupadas y siempre me han estado alentando y apoyando para que

continuara y me han brindado su ayuda.

- 12 -

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 13 -

-Dame un ejemplo de axioma- pidi Raschid. - Una lnea recta se puede prolongar de manera indefinida-dijo

Jack. -No, no puede- intervino Aysha, que estaba dando vueltas a la

mesa con un cuenco de higos. Los invitados sintieron cierto sobresalto al or que una joven intervena en la conversacin, pero Raschid se ech a rer r

indulgente. Aysha era su favorita. - Y por qu no?- le pregunt Jack

- En un momento dado ha de terminar- respondi ella. - Pero en tu imaginacin puede prolongarse indefinidamente-

aleg Jack. - En mi imaginacin , el agua puede correr hacia arriba y los

perros hablar latn- respondi con desenfado. Su madre que entraba en aquel momento en la habitacin, oy

aquella rplica. - Aysha! - exclam con tono duro- Afuera!

Todos los hombres rieron. Aysha hizo una mueca y sali. - Quienquiera que se case con ella se las va a ver y desear-

coment el padre de Josef.

(Ken Follet, Los Pilares de la Tierra)

CAPTULO PRIMERO

LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN PRIMARIA

1.1.-Introduccin

Hablar de las matemticas en la Educacin Primaria implica multitud de

factores. Desde la formulacin del curriculum de matemticas que se pretende

desarrollar en el aula y la puesta en prctica de tal curriculum, hasta lo que

realmente aprenden las alumnas y alumnos a los que va dirigido, se han tenido que

ir tomando un buen nmero de decisiones y llevado a cabo muy diversas

actividades en distintos niveles, por los diversos participantes en todo el proceso.

Qu se pretende conseguir con la educacin matemtica, quines y cmo se toman

las decisiones, el papel asignado y las actuaciones de los diversos participantes en

el proceso educativo, y otras muchas cuestiones entran en juego y en ellas estn

implicadas no slo las instituciones educativas y las personas que intervienen en las

diferentes fases del establecimiento y desarrollo de la educacin, sino tambin la

sociedad en general. La educacin es una actividad social, incluida en un contexto

Manuela Jimeno Prez

- 14 -

cultural y una sociedad concreta, por lo que no est fuera de la esfera de valores e

intereses, o de las circunstancias ideolgicas, polticas, econmicas y culturales

dominantes en esa sociedad.

Las razones por las que en una sociedad concreta se propone una educacin

matemtica especfica, es una cuestin importante pues va a determinar los

diferentes aspectos del curriculum que se disee y su puesta en prctica. Dentro de

una misma sociedad pueden existir discrepancias entre las razones de los diferentes

participantes en el proceso educativo; este proceso abarca desde la toma de

decisiones a niveles polticos, hasta la puesta en marcha en las escuelas , incluidos

tambin los padres. Las metas y justificaciones de la educacin matemtica que

provienen de las razones para incluir tal educacin configuran el marco, estructura y

organizacin de la educacin matemtica. Las metas del sistema poltico y

administrativo y de las instituciones especficas se reflejan en el marco y

condiciones para la educacin matemtica (nmero de alumnos por clase,

preparacin de profesores, contenidos, materiales de enseanza, recursos

materiales y humanos, etc.). Las metas de los expertos en educacin matemtica

se reflejan en la forma en que se disea y organiza el curriculum y tambin en los

libros de texto y materiales curriculares. Las metas de los padres se reflejan en el

grado de estmulo y apoyo que prestan a sus hijos para que aprendan matemticas.

Las metas de los profesores se reflejan en cmo organizan la enseanza,

seleccionan y presentan el material, su perspectivas de los distintos individuos

dentro del aula, etc. Estas metas tienen fuertes implicaciones tanto en la forma que

adopta la enseanza y lo que sucede en las aulas de matemticas como en el

aprendizaje de los estudiantes y la evaluacin de ste (Niss, 1996 : 20).

Por todo lo anterior creo conveniente detenernos en analizar cuales son las

razones para ensear matemticas y las metas que pueden derivarse de ellas.

1.2.- Por qu ensear Matemticas ?

El marco educativo se ha modificado profundamente por la consecucin del

ideal de una educacin para todos (al menos en los pases desarrollados), lo que

supone intentar ofrecer a todos los nios y nias y jvenes el derecho a alcanzar

las posibilidades que les permitan sus propias capacidades individuales, sea cual

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 15 -

sea su situacin econmica o social o sus antecedentes culturales. En las ltimas

dcadas nos encontramos con una educacin masiva y una diversidad en las aulas

como no ha existido en pocas anteriores. Por otra parte, en los pases

desarrollados, la educacin formal que se recibe en las escuelas conforma slo una

parte de la educacin recibida por los ciudadanos, pues cada vez ms se

desarrollan programas educativos fuera del sistema general, y los medios de

comunicacin y la tecnologa proporcionan un acceso a la informacin y a nuevos

aprendizajes cada vez ms amplios y sofisticados. Todos estos hechos han

producido una complejidad tal que hace necesario replantearse la educacin formal

en los sistemas educativos reglados (Coombs, 1985).

Alan Bishop (2000a: 7) manifiesta que la complejidad a la que nos

enfrentamos en el momento actual representa un reto mucho mayor que el que

conocieron los educadores en el pasado y puede generar sentimientos negativos y

desasosiego entre el profesorado y sus formadores. En particular la nueva

complejidad est en relacin con :

- La diversidad del alumnado, de sus aspiraciones y de sus expectativas.

- Las presiones econmicas sobre la educacin, especialmente para que se

forme a los jvenes para el trabajo y para los estudios universitarios.

- Los aspectos polticos en torno al curriculum de matemticas y a la decisin de

a quin va a corresponder la responsabilidad de establecerlo.

- Las presiones de otros campos de conocimiento para que las matemticas

sean ms relevantes segn sus necesidades.

- Las presiones de las nuevas tecnologas de la comunicacin y de la

informacin.

- La necesidad de relacionar la educacin con el nuevo contexto educativo

global.

Todos estos hechos, entre otros, provocaron que a partir de finales de los

setenta y con fuerza desde los ochenta, la pregunta por qu ensear

Manuela Jimeno Prez

- 16 -

matemticas? haya sido considerada como una cuestin importante en el campo de

la educacin matemtica. Plantearse las razones para ensear matemticas deriva

en cuestiones tales como: es necesario en la sociedad actual que todos los

estudiantes aprendan matemticas ?, qu es lo que deberan aprender?, cules

son las razones para ello?, las matemticas deben ser obligatorias en la educacin

secundaria ?, etc.

Las matemticas han estado presentes en las escuelas desde que stas

existen. Leer, escribir y las cuatro reglas, se consideraban los requisitos mnimos

indispensables que, entre algunas otras cosas, haba que transmitir en la escuela.

Pero las sociedades han cambiado y con ellas la educacin. La tecnologa y los

medios de comunicacin han cambiado la visin del mundo, un mundo globalmente

conectado donde el acceso a cualquier tipo de informacin o conocimiento cada vez

es ms fcil .

La educacin pblica para amplios sectores de la poblacin surge en el siglo

XIX, con la industrializacin y resurgimiento de los ideales democrticos, y en ella se

incluye las matemticas. Anteriormente, la enseanza formal estaba reservada a

unos pocos, normalmente ricos y en algunas instituciones de carcter

administrativo, cientfico o religioso . La gran mayora no reciba una educacin

formal, en todo caso se limitaba a un aprendizaje prctico de una profesin u oficio.

Esta educacin pblica se restringa a una educacin primaria, permaneciendo la

educacin secundaria, y aun ms la universitaria, slo accesible a grupos

minoritarios.

Las matemticas que se enseaban en las escuelas se limitaban a las

destrezas de clculo y sus aplicaciones y algunas nociones bsicas de geometra

con nfasis en las cuestiones de medida. Este curriculum matemtico, al que se

suele denominar curriculum cannico, que consta de aritmtica, geometra

descriptiva bsica y medida, prcticamente no ha variado a lo largo de casi dos

siglos aunque se hayan modificado considerablemente los marcos educativos.

(Kilpatrick, 1996) . En la poca anterior a las calculadora y el ordenador, se

intentaba formar autnticos calculadores humanos, pues eran necesarios para las

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 17 -

empresas y el comercio, por lo que las destrezas en el clculo podan ofrecer a los

individuos expectativas de futuro para su vida profesional y privada.

A partir de los 60 se van produciendo cambios sociales (movimientos

igualitarios, mayor desarrollo econmico, desarrollo tecnolgico acelerado, nuevas

demandas sociales, generalizacin de la enseanza a una mayor poblacin ....),

nuevos conocimientos sobre la educacin y, en el caso que nos ocupa, sobre la

educacin matemtica ( teoras psicolgicas, teoras educativas, resultados de

investigaciones,.. ); nuevas visiones sobre la ciencia, las matemticas y el

pensamiento cientfico. Y, tambin estrechamente relacionados con todas estas

cuestiones, el deseo de cambios en la educacin por muy diversos factores ( las

desigualdades en los resultados educativos, intereses comerciales, intereses

polticos, ....); pero la realidad educativa y en concreto la educacin matemtica no

ha cambiado demasiado en la educacin primaria en los currculos establecidos a lo

largo del siglo XX, como se refleja en los libros de texto, a pesar de haber existido

corrientes crticas y propuestas de cambio. El giro ms significativo, hasta hace

pocos aos, se produjo en los cincuenta y sesenta al introducir lo que se ha llegado

a conocer como nuevas matemticas .

Las nuevas matemticas enfatizaban el estudio de estructuras abstractas

con la esperanza de que los estudiantes llegaran a comprender y apreciar ms las

matemticas si vean la simplicidad y elegancia de sus leyes , suponiendo que la

profundizacin en las estructuras matemticas les ayudara posteriormente a

aprender las matemticas que necesitaran para sus vidas sin necesidad de tratar

este aspecto de forma especfica . Los partidarios de las nuevas matemticas

subrayaban que la sociedad moderna requera individuos, ciudadanos y

trabajadores que deban poseer una amplia variedad de capacidades personales

generales de una naturaleza formativa, tanto en lo relativo a la formacin del

carcter (concentracin, observacin, exactitud y perseverancia), como al desarrollo

de la capacidad intelectual (poder de abstraccin, generalizacin, pensamiento

lgico, actitudes analticas y de investigacin....). Pero a pesar de que se haya

practicado en muchos lugares y, en algunos con xito, el juego formal en y con las

estructuras definidas en trminos de conjuntos y de lgica, a menudo ha estado

desprovisto de intentos de darle sentido fuera de estas estructuras, y ha quedado

Manuela Jimeno Prez

- 18 -

patente que estas capacidades desarrolladas dentro de estructuras formales de las

matemticas no tienen por qu extenderse a otras situaciones o contexto, lo que

lleva a replantearse de nuevo la educacin matemtica ( Kilpatrick, 1996; Niss,

1996; Hernn y otros, 1987; Howson y Wilson, 1987 ).

Por otra parte, las matemticas escolares han tenido un carcter fuertemente

selectivo dentro de los sistemas educativos. Existe una arraigada creencia de que

las matemticas son difciles, que no todos pueden aprenderlas: (Las

matemticas) eran por encima de todas, la materia que separaba a los

acadmicamente brillantes de los que no lo eran (Howson y Wilson, 1987 : 24) ;

pero a la vez tambin existe una conciencia social sobre su importancia y utilidad,

tanto en lo referente al papel de las matemticas en los avances de la civilizacin ,

como su importancia para el futuro de los individuos. As Mogens Niss (1994 : 370 )

expone que las condiciones materiales, sociales, culturales y de trabajo de un

individuo estn fuertemente influenciadas por el nivel de competencia matemtica

que los individuos poseen, as como el estatus y el prestigio que stos disfrutan.

Cules seran las razones para ensear matemticas a toda la poblacin?

Las razones a menudo no son explcitas sino que forman parte de un complejo

conglomerado de otras razones sociales o de grupos de intereses, culturales,

polticas, etc. Incluso aunque sean explcitas, hay que profundizar en ellas para

poder elucidar el papel real de las razones de los sistemas educativos para

establecer o mantener la educacin matemtica. Luis Rico (1997) identifica cuatro

amplias categoras de finalidades para la educacin matemtica : culturales,

sociales, formativas y polticas . Mogens Niss (1996: 13) desde una perspectiva

histrica y contempornea, expone que hay muy pocos tipos de razones

fundamentadas para la educacin matemtica , presentando tres diferentes :

1. Contribuir al desarrollo tecnolgico y socioeconmico de la sociedad en general,

ya sea para ella misma o en competicin con otras sociedades o pases.

2. Contribuir al desarrollo y mantenimiento cultural, ideolgico y poltico de la

sociedad en general, ya sea para ella misma o en competicin con otras

sociedades o pases.

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 19 -

3. Suministrar a los individuos prerrequisitos que puedan ayudarle a enfrentarse a

la vida en sus diversas esferas : educacin o ocupacin, vida privada, vida como

ciudadano.

Estas tres razones han tenido un peso diferente a lo largo de la historia

(Niss,1996). Antes de la Era Moderna la vinculacin entre matemticas y desarrollo

tecnolgico y socioeconmico no est presente, aunque a partir del siglo XV va

ganando terreno paulatinamente. As la educacin matemtica, en sus comienzos,

parece ser una cuestin de mantenimiento y desarrollo poltico, ideolgico y cultural

de la sociedad. La idea de suministrar a un amplio nmero de individuos los

prerrequisitos necesarios para poder desenvolverse adecuadamente en su vida

privada y social es ms moderna, pues tiene su origen en el incremento de la

importancia y el poder obtenido por la burguesa (comerciantes, financieros,

industriales... ) y los movimientos democrticos de finales del siglo XVIII y principios

del XIX.

Durante el siglo XIX, el nfasis se sita en la contribucin al desarrollo

tecnolgico y socioeconmico sobre todo, pero en los pases donde existen fuertes

movimientos democrticos, se prioriza la necesidad de equipar a los individuos con

las herramientas necesarias para su vida privada, social y profesional. La

contribucin al mantenimiento y desarrollo cultural, ideolgico y poltico, no parece

que sea una razn importante para ensear matemticas en este siglo.

En el siglo XX, las tres razones entran en juego aunque con diverso nfasis

en tiempos y lugares diferentes. Las razones utilitarias ( desarrollo tecnolgico y

socioeconmico y herramientas tiles para la vida cotidiana y profesional,... ) han

predominado a lo largo del siglo en muchos pases, sobre todo desde principios de

siglo hasta 1930, y en los setenta y ochenta y al principio de los noventa. El

mantenimiento y desarrollo de la cultura y la sociedad ha ido recibiendo

relativamente ms peso en tiempos de progreso y optimismo cultural y econmico

(principios del 20, final de los 50 y los 60). De todas formas esto es un patrn muy

general, pues las circunstancias varan en los diversos pases y cada uno tiene

historias distintas. La historia de los pases en vas de desarrollo es completamente

diferente, pero tambin existen grandes diferencias en los pases desarrollados.

Manuela Jimeno Prez

- 20 -

Centrndonos en las ltimas dcadas seria conveniente, aunque sea

brevemente, analizar que est detrs de cada una de estas razones: contribuciones

de las matemticas al desarrollo tecnolgico y socioeconmico; contribuciones al

desarrollo y mantenimiento cultural ideolgico y poltico y suministrar prerrequisitos a

los individuos que puedan ayudarle a enfrentarse a la vida en sus diversas esferas

1.2.1.- Contribucin al desarrollo tecnolgico y socioeconmico

Las sociedades suelen atribuir una gran importancia a las matemticas. Por

un lado, las matemticas, son a la vez una ciencia pura, una ciencia aplicada, un

sistema de instrumentos (o herramientas) tiles para la vida cotidiana, un campo

esttico y una materia de enseanza (pues no se aprende espontnea y

automticamente). Por otra parte, la propiedad ms importante de las matemticas

es su irrazonable efectividad ya sea como ciencia aplicada o como sistemas de

instrumentos en prcticas sociales, las matemticas son generales y pertinentes

para un increblemente amplio rango de temas extramatemticos y reas prcticas.

Adems, las matemticas ( debido a lo anterior) estn ntimamente relacionadas con

el funcionamiento y desarrollo de la sociedad en general (Niss, 1994 : 368 ).

La importancia que se ha concedido a las Matemticas desde hace algunos

siglos, queda reflejada en la siguiente frase de Galileo Galilei :

La filosofa est escrita en un gran libro - quiero decir el Universo- que permanece

continuamente abierto a nuestra vista, pero no puede entenderse a menos que uno aprenda la

lengua e interprete los caracteres en que est escrito . Est escrito en el lenguaje de las

matemticas y sus caracteres son tringulos , crculos y otras formas geomtricas, sin las

cuales es humanamente imposible entender una sola palabra de l ; sin ellas uno vagabundea

en un oscuro laberinto.

Las matemticas estn estrechamente relacionadas con el funcionamiento y

desarrollo de las sociedades, por la necesidad que tienen de ella las otras ciencias y

porque se encuentran implicadas en un buen nmero de reas prcticas

especializadas: prediccin; descripcin y pronstico de fenmenos y sucesos de la

naturaleza, quizs modificables por el hombre y la sociedad; utilizacin y asignacin

de recursos naturales, renovables o extinguibles; y diseo, puesta en marcha y

regulacin de sistemas industriales y sociotcnicos (Niss, 1994).

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 21 -

Nadie niega la importancia que han tenido las matemticas en el desarrollo

socioeconmico y tecnolgico y en el progreso de las distintas sociedades, y por

tanto la necesidad de asegurarse , al menos, un grupo reducido de expertos

matemticos. Pero como subraya Ubiritan DAmbrosio (1994a), las matemticas han

impresionado al mundo intelectual desde el siglo XVIII hasta hoy en da, y estn

impregnadas an del pensamiento cartesiano: que los seres humanos deben

separarse de la tierra, la mente del cuerpo, la naturaleza debe ser sometida y los

sentimientos suprimidos. As las matemticas han contribuido a la formacin de una

cultura donde se considera que las ciencias y las matemticas son las formas ms

eficientes de conseguir el progreso y la paz, pero las matemticas a la vez que han

procurado a la humanidad y la civilizacin ventajas, tambin han contribuido a

grandes desastres :

En los ltimos 100 aos, hemos visto enormes avances en nuestro conocimiento de la

naturaleza y en el desarrollo de nuevas tecnologas... Y tambin, este mismo siglo ha mostrado

una conducta humana despreciable. Medios sin precedentes de destruccin de masas, de

inseguridad, enfermedades nuevas terribles, hambre injustificada, abuso de drogas,

decadencia moral, equiparables slo a una irreversible destruccin del entorno. Muchas de

estas paradojas se han llevado a cabo con una ausencia de reflexin y consideracin de valores

en los acadmicos, sobre todo en las disciplinas cientficas, tanto en la investigacin como en la

educacin (DAmbrosio, 1994a: 443).

La conciencia de que el desarrollo cientfico y tecnolgico ha supuesto

grandes progresos pero tambin ha producido grandes desastres est presente en

la sociedad actual; el optimismo ante los progresos que proporcionan la ciencia, las

matemticas y la tecnologa ya no es tan fuerte y es necesario analizar el papel de

los conocimientos y los usos que se hacen de l.

Por otra parte Miguel de Guzman (1994 : 20-21) seala el hecho de que los

logros obtenidos gracias al desarrollo de las matemticas son de tal magnitud ,

especialmente en el siglo XX, que nos pueden hacer olvidar las profundas

limitaciones del pensamiento matemtico, que provienen , al igual que su potencia,

de lo ms hondo de su naturaleza. El xito de las matemticas se debe a que son

una mutilacin de la realidad, una abstraccin. Mediante esta abstraccin

dominamos ciertos aspectos de la realidad, pero no la realidad misma en su

totalidad. Podemos sentir que con nuestras construcciones dominamos la realidad,

Manuela Jimeno Prez

- 22 -

pero esto no es as, pues hemos dejado fuera aspectos que pueden resultar

enormemente importantes para el ser humano. Las matemticas son muy tiles en

nuestro intento de obtener cierto dominio de la naturaleza, pero el ser humano es

mucho ms profundo que lo que pueden abarcar las estructuras matemticas.

En resumen, las matemticas han contribuido y contribuyen al mantenimiento

y desarrollo de la sociedad, pero estas contribuciones no pueden estar exentas de

crtica. Es preciso analizar el papel de esos conocimientos, tanto en el desarrollo

cientfico y tecnolgico como en la influencia que tienen en el mantenimiento de la

cultura, la ideologa y la poltica, y todo ello en nuestra vida cotidiana, en nuestro

trabajo y en nuestro futuro.

La contribucin al desarrollo tecnolgico y socioeconmico evidencia la

necesidad de formar personas que puedan mantener y seguir avanzando en estos

progresos, y por tanto la necesidad de educacin matemtica, pero ya no est tan

claro que sea una razn poderosa para que todos aprendan matemticas. La

necesidad de personas con un conocimiento especializado es limitada, no todos van

a ser expertos matemticos, entendiendo por stos no slo los matemticos

profesionales, sino todos aqullos que necesitan de unas matemticas avanzadas.

Una educacin matemtica para todos no puede basarse nicamente en esta

necesidad, ni debera primarla por encima de otras que pueden ser ms importantes

para todos los individuos.

1.2.2.- Contribucin al desarrollo y mantenimiento cultural, ideolgico y

poltico de la sociedad

Al exponer algunas consideraciones sobre la contribucin de las matemticas al desarrollo tecnolgico y socioeconmico de la sociedad, podemos ver cmo esta

contribucin influye considerablemente en la cultura, ideologa y poltica de la

misma. Para Leslie White (1988 : 190 ) la cultura es una organizacin de fenmenos

- actos (pautas de conducta), objetos (herramientas ; cosas hechas con

herramientas), ideas (creencias , conocimientos) y sentimientos (actitudes,

valores)- que depende del uso de smbolos. La cultura comenz cuando apareci

el hombre como primate articulado que usaba smbolos. White divide las

componentes de la cultura en cuatro categoras (White, 1959, cit Bishop, 1999 :

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 23 -

35): a) Ideolgica: se compone de creencias, depende de smbolos, filosofas. b)

Sociolgica: costumbres, instituciones, normas y pautas de comportamiento

interpersonal. c)Sentimental: actitudes, sentimientos relacionados con personas,

comportamientos. d) Tecnolgica: fabricacin y empleo de instrumentos y utensilios.

Leslie White defiende que las cuatro componentes estn interrelacionadas y

la componente tecnolgica es bsica pues las otras dependen, al menos de una

manera general, de sta. Las instituciones sociales de un pueblo dependen de su

tecnologa. Por ejemplo, la tecnologa de la era industrial cre muchas instituciones

sociales, forj muchos procesos sociales y desarroll muchas de las costumbres

sociales que an permanecen. Algo parecido ocurre con los factores ideolgicos y

filosficos. La tecnologa de una cultura est estrechamente relacionada con su

ideologa y los cambios tecnolgicos crearan cambios en la filosofa de la cultura.

Quizs el factor sentimental sea el que parece menos influenciado, aunque esto en

parte es debido a la consideracin de los sentimientos como cuestiones menos

importantes que las instituciones sociales o los sistemas de creencias, pero Leslie

White (cit. Bishop, 1999 :35) muestra cmo los cambios en la tecnologa pueden

influir en los sentimientos y para ello considera la evolucin de las actitudes sobre

cuestiones tales como: castidad, eutanasia, esclavitud, divorcio, frugalidad o

derroche, reglas especficas, etc.

Para White las matemticas son un fenmeno cultural con una componente

tecnolgica importante y el simbolismo matemtico es una herramienta que

influencia considerablemente la cultura de una determinada sociedad:

Las matemticas son, naturalmente , una parte de la cultura. En la herencia que todo pueblo

recibe de sus predecesores, o de sus vecinos contemporneos, junto con maneras de cocinar,

de casarse, de profesar religiones, etc., figuran maneras de contar, calcular , y toda otra cosa

propia de las matemticas. Las matemticas son en realidad una forma de conducta : la

respuesta de una clase particular de primates a un conjunto de estmulos. Que un pueblo

cuente de a cinco unidades, o por decenas, docenas o veintenas; que tenga o no nmeros

cardinales que pasen de cinco, o que posea los conceptos matemticos ms modernos y

altamente desarrollados, su conducta matemtica es determinada por la cultura que posee

(White, 1988 : 345-346).

Manuela Jimeno Prez

- 24 -

Investigaciones antropolgicas y crosculturales han puesto de manifiesto

diferentes matemticas en diferentes culturas y la estrecha relacin que existe entre

cognicin y cultura. As, las matemticas como parte de la cultura, contribuyen al

mantenimiento y desarrollo de sta y, como muestra Leslie White, tiene influencia

en los sistemas de creencias, las ideologas e incluso los sentimientos. Las

matemticas no estn libres de valores (DAmbrosio, 1994a; Bishop, 1991,1999) ;

han contribuido al mantenimiento y desarrollo de ideologas y nuestros sistemas de

creencias :

La historia del mundo moderno, el pensamiento moderno, la historia de la tecnologa y la

filosofa moderna, estn altamente influenciadas por el pensamiento matemtico, mucho ms

que por las humanidades, por las religiones, o por cualquier conjunto de valores y tradiciones

(DAmbrosio, 1994a: 443).

La educacin matemtica ha contribuido , o se ha pretendido que contribuya,

a la superestructura cultural, poltica e ideolgica de la sociedad desde hace siglos y

estas metas se han puesto de manifiesto explcitamente. Por ejemplo, Von

Schieddeberg (1915, cit. Niss, 1996 : 13) manifiesta que la educacin matemtica

puede contribuir a : educacin para la defensa nacional, educacin para un trabajo

serio, diligente y concienzudo, educacin para trabajar en una comunidad , y

educacin para el patriotismo. Particularmente insiste en que la educacin

matemtica puede conducir a una absoluta devocin al deber, subordinacin del

individuo a los organismos de trabajo y preparacin para la obediencia.

Desde una postura crtica , diversos autores (DAmbrosio, 1986, 1994a,

1994b; Mellin-Olsen, 1987; Noss, 1994; Skovsmose, 1994; Volmink, 1994;

Skovsmose y Nielsen, 1996) resaltan el papel de las matemticas en los aspectos

culturales , polticos e ideolgicos de la sociedad. En esta lnea , Ubiritan

DAmbrosio (1994a : 445 ) expone que la educacin matemtica ha estado

dominada por objetivos que favorecen el orden del mundo que ha sido establecido

gradualmente desde el siglo XVI, basado en conquistas, colonialismo e imperialismo

capitalista; y John Volmink (1994 : 52) manifiesta :

Las matemticas no slo han sido un misterio impenetrable para muchos, sino que tambin,

ms que otras materias, han tomado el papel del juicio objetivo en orden a decidir en la

sociedad que podemos y que no podemos hacer. Adems es una puerta para participar en los

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 25 -

procesos de toma de decisiones en la sociedad. Denegar a alguien el acceso a participar en

matemticas , es tambin determinar a priori quin mueve el progreso y quin estar detrs.

Por el importante papel que tiene y ha tenido en la sociedad, la educacin

matemtica debe contribuir a la formacin de ciudadanos crticos que tomen parte

activa en la vida poltica , para lo cual es necesario democratizar la educacin

matemtica, entendiendo que la democracia es una forma de vida, un proyecto

siempre en marcha. (Skovsmose 1994; Skovsmose y Nielsen ,1996).

En muchos pases se seala que la educacin matemtica debe contribuir a

fines generales, ya sea a inculcar una determinada ideologa o una educacin

matemtica para la democracia. Los valores siempre surgen a la hora de discutir

qu se pretende con la educacin matemtica y las respuestas al problema de

justificar la educacin matemtica pueden ser muy diferentes si deseamos que

contribuya a establecer, expandir o fortalecer un gobierno democrtico

descentralizado en la sociedad, que si quisiramos alcanzar una sociedad

autoritaria, jerrquica y centralizada.

En opinin de Mogens Niss (1996), en lneas generales, las sociedades con

tradicin democrtica consolidada y no completamente subordinadas a la economa

de libre mercado, tienden a dar un mayor nfasis a suministrar a los individuos los

prerrequisitos necesarios para que sea un ciudadano competente, activo,

preocupado por los problemas sociales y crtico. En contraste, las sociedades que

manifiestan tradiciones autoritarias, tienden a descuidar o desechar ( o incluso a

combatir activamente) el pensamiento crtico, la capacidad de tomar decisiones

independientes y el poder de actuacin de la poblacin en general para una

ciudadana democrtica, lo que afecta tambin a la educacin matemtica. En

estos pases la razn principal es la contribucin de la educacin matemtica al

desarrollo tecnolgico y socioeconmico de la sociedad y suele venir acompaada

de la contribucin de la educacin matemtica a la conservacin y mantenimiento

del poder poltico e ideolgico (Niss, 1996 :24).

Manuela Jimeno Prez

- 26 -

1.2.3.- Suministrar a los individuos prerrequisitos que puedan ayudarle a

enfrentarse a la vida en sus diferentes esferas

Parece que existe un sentimiento general de que para vivir una vida normal

en muchas partes del mundo al final del siglo XX se requiere usar alguna clase de

matemticas en la vida cotidiana. Estos sentimientos pueden ser, en parte, el

resultado de la presin existente en las escuelas para obtener buenos resultados en

Matemticas, lo que lleva a percibirlas como tiles, pero a la vez se percibe

tambin su inutilidad en muy distintas formas ( Christiansen, Howson y Otte, 1986).

La falta de conexin entre las matemticas enseadas en las escuelas y situaciones

reales y cotidianas, la adquisicin de un conocimiento que muchas veces no se sabe

aplicar a situaciones significativas y otras muchas cuestiones hacen que, a pesar de

considerarlas tiles, sean bastantes los que piensan que sern tiles, pero para

otros, para los privilegiados que las entienden.

Uno de los principales objetivos de los distintos sistemas educativos desde

hace muchos aos era conseguir la alfabetizacin de todos los ciudadanos, pues

saber leer y escribir se consideraba como un requisito mnimo e indispensable para

desenvolverse en la sociedad, pero hoy en da se necesita algo ms que esto. De

forma paralela al concepto de alfabetizacin (literacy) surgen los trminos

numerate, numeracy o mathemacy, refirindose a la alfabetizacin en

matemticas o alfabetizacin numrica, que se refieren a los requisitos mnimos

en matemticas que todo individuo debe adquirir para poder desenvolverse en la

sociedad. El informe Cockroft (1985) entiende por numerate la posesin de dos

atributos: el primero de ellos es una familiaridad con los nmeros y la capacidad de

usar las destrezas matemticas que permiten afrontar las exigencias matemticas

prcticas de la vida cotidiana. El segundo es cierta apreciacin y comprensin de la

informacin que se presenta en trminos matemticos, por ejemplo, en grficos,

mapas o tablas, o referencias al aumento o disminucin de porcentajes.

Considerados en conjunto, estos dos atributos suponen que una persona

numricamente competente (numerate), tendra que ser capaz de apreciar y

comprender algunos usos de las matemticas como medio de comunicacin. Si se

quiere conseguir dicha cualidad para los alumnos y alumnas, hay que prestar

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 27 -

atencin a sus aspectos ms amplios y no contentarse con desarrollar simplemente

las destrezas de clculo (Cockroft, 1985 : 15).

La alfabetizacin debe comprender las matemticas y las ciencias e ir ms

all de proporcionar unas competencias matemticas bsicas para la vida cotidiana,

pues debe contemplar tambin otras esferas sociales, culturales y polticas (Zen,

1992). Una formacin matemtica y cientfica bsica es necesaria, pues sta

convierte a los individuos en menos dependientes de los dems, de modo que los

procesos democrticos, los valores sociales y las oportunidades individuales, no

lleguen a estar dominados por las lites ilustradas (Krugly-Smolska, 1990).

Los conocimientos matemticos bsicos deben incluir las destrezas

intelectuales necesarias para examinar los pros y los contras de cualquier desarrollo

tecnolgico, examinar sus beneficios potenciales y ser conscientes de las fuerzas

sociales y polticas subyacentes que dirigen este desarrollo (Flemings, 1989).

Qu comprende la alfabetizacin y en este caso la alfabetizacin matemtica

es una cuestin controvertida y con mltiples aproximaciones. Desde aquellos que lo

consideran como los conocimientos mnimos que debe poseer un individuo para

poder desenvolverse en la sociedad, refirindose simplemente a las destreza y

tcnicas necesarias para enfrentarse a las actividades cotidianas; hasta quines

consideran que la alfabetizacin debe perseguir el propsito de introducir a los

individuos en formas de conocimiento que les provean y les den la conviccin y

oportunidad para luchar por una calidad de vida en la que todos salgan

beneficiados. Siguiendo los trabajos de Paulo Freire, se enfatiza que la escuela

debe preparar a los estudiantes para que lleguen a ser ciudadanos crticos,

preparados para acciones que impliquen una mayor igualdad social y que crean que

sus acciones pueden marcar una diferencia en la sociedad en general. As la

alfabetizacin ( que abarcara tambin la alfabetizacin matemtica) viene a ser una

precondicin para la emancipacin social y cultural ( Skovsmose, 1994 : 214).

A travs de las razones para ensear matemticas a toda la poblacin,

hemos podido ir viendo que la vida cotidiana, social y poltica cada vez est ms

matematizada (tambin informatizada) y esto conlleva riesgos que habra que tener

en cuenta. Miguel de Guzman (1994: 21-22) expone algunos de estos riesgos:

Manuela Jimeno Prez

- 28 -

* Pensar ingenuamente que todo puede ser matematizado sin residuos. Hay que

aceptar desde un principio la existencia de lo inmatematizable. De este modo no

caeremos fcilmente en la ceguera hacia otros aspectos tan ricos del Universo como

la vida y los valores del espritu humano.

* Dejar que nuestra vida se ahogue en cifras y formalismos matemticos. El gran

peligro no es, como algunas pelculas de ciencia ficcin pretenden, que el ordenador

pase a ser cuasihumano, sino que el hombre, por adaptarse a su maquina, pase a

ser un robot.

* Inducir al matemtico a jugar a aprendiz de brujo. Se piensa que para cada

situacin real hay un modelo matemtico adecuado, sin tener en cuenta que la

matematizacin comporta cierta amputacin de la realidad y existen elementos de

los que se hace caso omiso, los que pueden ser enormemente importantes y su

exclusin catastrfica. Hay muchos aspectos de la vida del hombre demasiado

importantes como para pedir a las matemticas que nos los aclare.

* Confundir manipulacin con sabidura. Nuestros ordenadores nos permiten

actualmente manipular con xito fragmentos de la realidad sin que comprendamos,

pero no conviene perder de vista que el xito manipulativo est an lejos de la

comprensin a la que podemos y debemos aspirar.

* Caer en el mito del genio universal que puede pontificar infaliblemente sobre

cualquier asunto. Parece que existe en muchas personas, tanto de la calle como de

la propia ciencia, la idea de que ciertas figuras distinguidas de las ciencias y las

matemticas modernas estn en situacin privilegiada para juzgar adecuadamente

sobre el destino del mundo. Como pas con Einstein que, muy a su pesar, fue

convertido en sumo pontfice de la verdad no slo cientfica, sino religiosa y moral.

Sera bueno recordar que, muy a menudo, el matemtico y cientfico en general,

fuera de su propia esfera de competencia suele ser tan superficial y sesgado como

el que ms.

A lo largo de este breve anlisis de las tres razones para ensear

matemticas, pienso que ha quedado claro que las razones estn estrechamente

relacionadas, no son independientes y cmo el primar una de ellas o la perspectiva

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 29 -

que adoptemos, tambin afecta a las decisiones que se tomen respecto a las otras.

Tambin, que la sociedad actual est fuertemente impregnada por las matemticas

y stas han cobrado una gran importancia, no slo en lo referente a su contribucin

al desarrollo socioeconmico y tecnolgico, sino tambin a la vida cotidiana, social,

cultural y poltica. As no slo son importantes los contenidos matemticos, sino los

usos que se hacen de ellos y el papel que juegan en la sociedad en general.

Por las razones expuestas, existe cierta unanimidad en la necesidad de

ensear matemticas a todos los individuos y aunque algunos expresen la

opinin de que deben ser para determinados individuos las mnimas posibles, la

tendencia general es que las matemticas estn presentes al menos hasta los 14

aos, mantenindose en algunos pases en todo los cursos que abarca la educacin

obligatoria. Pero no existe un consenso en cules deberan ser estas matemticas,

e incluso si deben ser las mismas para todos. Quizs los desacuerdos ms

importantes surjan en las metas y objetivos concretos de una educacin

matemtica para todos y cules seran los contenidos y los medios para

conseguirlas, pues se priorizan unas razones sobre otras y las metas y los objetivos

que se pueden derivar de las diferentes razones son distintos.

1.3.- Matemticas para todos

Las necesidades e intereses individuales de formacin matemtica pueden

diferir considerablemente, y las diferencias entre los individuos en cuanto al

aprendizaje de las matemticas tambin, por lo que en esta materia surge con

fuerza la cuestin de adoptar un curriculum nico, que puede ser adaptado a las

particularidades de cada sujeto, o un curriculum diferenciado. El curriculum

diferenciado se considera ms eficiente y, en una sociedad como la actual donde

siempre se est persiguiendo la eficiencia, no es extrao que se implante (Howson y

Wilson, 1987); pero el curriculum diferenciado puede chocar con la igualdad de

oportunidades defendida por los sistemas democrticos. Un curriculum diferenciado

puede llegar a crear una lite que controle el progreso cientfico y la sociedad

(Hernn y otros, 1987; Romberg, 1991; Niss, 1994; Rico, 1997 ), apartando a una

gran parte de la poblacin de la posibilidad de continuar una educacin superior,

conseguir una formacin que le permita acceder en igualdad al mercado laboral ,

Manuela Jimeno Prez

- 30 -

desarrollar al mximo sus aptitudes y capacidades y un pensamiento crtico y

reflexivo.

De todas formas, como seala Ken Clements (2000), un curriculum nico no

implica que todos los estudiantes tengan las mismas oportunidades para el

aprendizaje, y promueva la equidad, especialmente cuando van acompaados de un

sistema rgido de evaluacin de su efectividad y se interprete el curriculum y la

escolarizacin bajo el enfoque de una educacin basada en resultados estndar.

Clements y Ellerton (1996) se preguntan si es realmente sensato esperar que todos

los alumnos sigan el mismo curriculum bsico. Cmo se puede compaginar la idea

de un curriculum bsico con los diferentes, intereses, antecedentes socioculturales y

capacidades de los nios y nias? Si no existen cambios profundos en la educacin,

en las prcticas educativas y en las formas de evaluar los resultados, no parece

creble que un curriculum nico y bsico para todos llegue a conseguir la equidad en

la educacin matemtica, y una gran parte de los estudiantes pueden llegar a

convertirse en corderos para el sacrificio. Como exponen Clements y Ellerton

(1996: 36) :

la mayora de los estudiantes a los que se le exige aprender matemticas se convierten en

corderos para el sacrificio en los altares mellizos de la eficiencia educativa y el racionalismo

econmico .

El considerar unas matemticas para todos, debido a la imagen social

tradicional de las matemticas, conlleva plantearse seriamente qu matemticas

pueden y deben ser para todos, y aqu surge la cuestin de si las matemticas que

pueden ser para todos son verdaderas matemticas. Hay una concepcin

enormemente extendida de la naturaleza de las matemticas que presupone que las

verdaderas matemticas no pueden ser para todos, y que para todos slo puede

pretenderse unas matemticas edulcoradas, desnaturalizadas. Segn esta

concepcin, si se quieren mantener las verdaderas matemticas, stas han de

perder su carcter obligatorio y slo deben quedar como obligatorias unas

pseudomatemticas al alcance de la mayora, pues si no se llevara al fracaso a una

multitud de personas. Las matemticas necesarias para la vida cotidiana son pocas,

as que su aprendizaje slo requerira unos pocos aos. Evidentemente, si no se

cambian los conceptos de qu es aprender matemticas y qu es ensear

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 31 -

matemticas y que son las verdaderas matemticas, es cierto que se podra llevar

a la mayora de los estudiantes al fracaso ms absoluto (Hernan y otros, 1987).

Alan Bishop (2000b: 46) resalta el hecho de que hay muchas maneras de

entender las ideas matemticas, muchas aproximaciones para adquirir

conocimientos y muchas bases para desarrollar actividades matemticas. Como

seres humanos todos somos distintos, debido a nuestros genes, nuestras familias,

nuestras historias culturales y nuestras preferencias y aspiraciones. La enseanza

que presupone que todos somos iguales est destinada al fracaso desde un

principio. Valorar las diversas aproximaciones a la adquisicin del conocimiento, las

diferentes formas de resolver las situaciones, y tener en cuenta las caractersticas

individuales y culturales de los diversos individuos son requisitos indispensables

para conseguir unas matemticas para todos.

Por otra parte, las matemticas nos pueden ayudar a estructurar nuestras

experiencia del mundo, a articular imgenes e ideas sobre el mundo y ver las

contradicciones en l. Conocer y comprender es un derecho humano bsico y, si

este derecho se niega, al menos en parte, por la forma en que se ve y se ensea las

matemticas, entonces existe la necesidad de democratizar las matemticas. Esto

significa en primer lugar que hay que desmitificarlas. Desmitificarlas no es

simplemente hacerlas accesibles a todos, sino tambin que los que han sido

apartados lleguen a ver que ellos pueden participar en la creacin matemtica,

hacerlas suyas, y puedan participar de su belleza y poder (Volmink, 1994 : 52).

Dentro de una perspectiva crtica de la educacin, en particular de la

educacin matemtica, sta no debera ser slo cuestin de proporcionar

conocimientos o formas de construir el conocimiento, sino tambin de analizar el

papel que han tenido o pueden tener, cmo se utilizan y su influencia en la

sociedad y en la vida de los diversos individuos. Se considera como meta

fundamental de la educacin matemtica desarrollar un pensamiento crtico y poder

de actuacin para cambiar la sociedad. Aunque no exista una nica corriente dentro

de la educacin matemtica crtica, ni formas de llevarla a cabo, todas en lneas

generales comparten el punto de vista de que las escuelas pblicas deben ser

defendidas como un importante servicio pblico, que educa a los estudiantes para

Manuela Jimeno Prez

- 32 -

ser ciudadanos crticos, que puedan pensar, retar, aceptar riesgos, y creer que sus

acciones pueden marcar una diferencia (Skovmose, 1994; DAmbrosio, 1994a;

Volminlk, 1994; Skovsmose y Nielsen, 1996 ). Como seala John Volmink (1994 :

58) :

Tengo esperanzas en una sociedad mejor, una sociedad en la que cada uno llegue a participar

por completo en las elecciones que afecten a sus vidas. La aparicin de las escuelas estatales

en el curso del ltimo siglo ms o menos, a pesar de todas sus imperfecciones, me proporciona

la ms fuerte esperanza de democratizacin del conocimiento. En particular, es un medio del

que podemos esperar tener unas matemticas para todos y por todos

Damerow y Westbury (1985) analizan esta cuestin en tres niveles diferentes:

a) La distribucin del conocimiento. Con la implicacin de que rechazamos el

supuesto de que el conocimiento matemtico es una prerrogativa de ciertas

comunidades culturales y no de otras y consideramos por el contrario las

matemticas como algo potencialmente apropiado para todas las personas. En este

nivel, la idea de las matemticas para todos comporta cuestiones de intercambio

cultural (en y entre grupos sociales y comunidades geopolticas).

b) El sistema escolar y su integracin en la sociedad. La idea de las matemticas

para todos plantea la cuestin de la educacin general frente a la educacin elitista.

En este nivel las matemticas para todos nos compromete a todos en un

replanteamiento de las cuestiones tradicionales de la enseanza de las

matemticas, alejado de las necesidades de las lites y cercano a las necesidades

tanto de las lites como de los alumnos medios; nuestro sentido de la cumbre del

xito no procede de los logros de unos pocos, sino de los que obtenga la mayora.

Nuestro ndice de rendimiento ser la produccin global del sistema escolar (esto

es, del porcentaje de una cohorte que domina determinados conjuntos de

contenidos y destrezas) en lugar del rendimiento de contenidos y destrezas

exclusivamente de los ms aptos.

c) Interaccin en el aula. Las matemticas para todos plantean problemas de

oportunidades de aprendizaje y de relacin con la dinmica del proceso de

aprendizaje. Este nivel de inters debe incluir un anlisis de los supuestos, los

modelos y las prcticas de la divisin de los alumnos, dentro de las escuelas, en

Las matemticas en la Educacin Primaria

- 33 -

grupos de actitud, que estn generalizados en la enseanza de las matemticas

desde los primeros cursos de la enseanza secundaria (Damerow y Westbury, 1985

; cit Romberg, 1991: 339-340).

El plantearse unas matemticas para todos, surge dentro de los movimientos

nacionales e internacionales que abogan por un cambio significativo en la

educacin, y en nuestro caso en la educacin matemtica, cambios que prestan una

mayor atencin a los procesos que a las destrezas y tcnicas; que pretenden

desarrollar un pensamiento matemtico superior y la creatividad ; adems de

conseguir que los estudiantes aprecien la utilidad y la esttica del conocimiento

matemtico y sean capaces de aplicarlo tanto en sus vidas cotidianas como en la

sociedad en la que se desenvuelven y en su profesin. stas tendencias tienen en

cuenta las nuevas concepciones del conocimiento matemtico, por lo que sealan

que se debera fomentar ms el hacer matemticas, que proporcionar

conocimientos ya hechos o rutinas; y que estos objetivos deben ser para todos.

Evidentemente esto supone cambios profundos, no slo en los currculos que se

establezcan, sino tambin en la propia organizacin y estructura de los sistemas

educativos y en las prcticas escolares.

Los sistemas educativos, como indica Resnick (1987 : 45) nunca han sido

construidos bajo la asuncin de que todos, y no slo una elite, pueden llegar a ser

pensadores competentes. Plantear reformas educativas basadas en un amplio

concepto de competencias que pueden ser alcanzadas en diversas formas por todos

los estudiantes y no en la mera adquisicin de hechos, destrezas y procedimientos,

se encuentra con obstculos de muy diversa ndole (Abrantes, 2001): presiones

polticas por controlar el curriculum, opiniones y puntos de vista populares sobre la

educacin , tensiones entre la autonoma y seguridad del profesorado, que

encuentran difcil tratar con la incertidumbre, con un amplio concepto de

competencia que es difcil aceptar, ya que competencias tales como el pensamiento

o el razonamiento son complicadas de operativizar , de convertirlas en algo

medible y cuantificable, por lo que la evaluacin tradicional ya no sera vlida y se

requeriran nuevos mtodos de evaluacin. Todo ello, entre otros aspectos, puede

llevar a que las reformas planeadas en este sentido se queden en mera retrica y no

consigan cambiar las prcticas en el aula.

Manuela Jimeno Prez

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Aunque existen puntos en comn, tambin existen discrepancias. Los puntos

que he sealado, pueden encontrarse en la mayora de las propuestas, pero unas

acentan ms unos aspectos que otros y pueden diferir considerablemente las

formas en que se pretende llevar a cabo. As aunque se parta de la idea de unas

matemticas para todos, las metas, desarrollo y puesta en prctica difieren

considerablemente.

1.4.- Los currculos de matemticas para todos

He expuesto en lneas generales las razones por las cuales debe ensearse

matemticas a todos los estudiantes