Álgebra Lineal – 1er semestre de 2016

Ejercicios adicionales para el segundo parcial – Turno Ma-Ju 14 a 18 hs.

Ejercicio 1

Sean 21401113 ,,,;,,,S y 02 4314 xxx/RxT .

a) Probar que TS .

b) Hallar una base de S y extenderla a una base de T.

c) Encontrar una base de 4R que contenga una base de S y una base de T.

Ejercicio 2

Decidir, en cada caso, si los subespacios S y T son iguales.

a) 311 ,,S y 02 3213 xxx/RxT .

b) 101311 ,,;,,S y 02 3213 xxx/RxT .

c) 210101311 ,,;,,;,,S y 02 3213 xxx/RxT .

Ejercicio 3

Encontrar, en cada caso, una base y dimensión de TS .

a) 00 324214 xx,xxx/RxS y

002 424324 xx,xxx/RxT .

b) 00 324214 xx,xxx/RxS y 22101211 ,,,;,,,T .

c) 11120101 ,,,;,,,S y 11101201 ,,,;,,,T .

d) 00 324214 xx,xxx/RxS y 21111110 ,,,;,,,T .

e) 043214 xxxx/RxS y 21100101 ,,,;,,,T .

f) 020 424214 xx,xxx/RxS y

003 42434 xx,xx/RxT .

Ejercicio 4

Para los subespacios del Ejercicio 3

a) Dar una base y dimensión de TS .

b) Decidir en cuáles casos se cumple TSR 4 y en cuáles TSR 4 .

Ejercicio 5

Sean 2,1,1S y 0323 zyx/RxT .

a) Encontrar TtSs y tales que ts,, 013 .

b) ¿Son únicos s y t? ¿Por qué?

Ejercicio 6

Sea 020 323214 xx,xxx/RxS .

a) Hallar un subespacio T de 4R tal que 4RTS .

b) Para el subespacio T hallado, encontrar TtSs y tales que ts,,, 3211 .

Ejercicio 7

Dados 11100211 ,,,;,,,S y 04214 xxx/RxW , encontrar, si es

posible:

a) un subespacio T de 4R tal que 1301 ,,,TS y WTS .

b) un subespacio U de 4R tal que WUS .

Ejercicio 8

Encontrar una base de 4R que contenga una base de S y una base de T.

111111201021 ,,,;,,,;,,,S y 03 43214 xxxx/RxT .

Ejercicio 9

Hallar todos los Ra para que WTS , siendo 2011 a,,,S ,

3011210 ,a,,,,,,T y 03 4214 xxx/RxW .

Ejercicio 10

Dado el subespacio S hallar S :

a) )2,1,0,1( S

b) )4,1,2();1,3,1(S

c) 0/ 321

4 xxxxS

d) 02/3 yxzyxxS

Ejercicio 11

Sean 001011111 ,,;,,;,,B y 011210010 ,,;,,;,,B bases de 3R .

a) Calcular las coordenadas del vector 321 ,,v en las bases BB y .

(O sea, calcular Bv y Bv )

b) Si 412 ,,w B , hallar al vector w.

c) Calcular Bu si se sabe que 201 ,,u B .

Ejercicio 12

Hallar una base w,vB de 2R para que se cumpla que 1132 ,, B y

2024 ,, B .

Ejercicio 13

Sean 010101101 ,,;,,;,,B y 101010110 ,,;,,;,,B bases de 3R . Hallar todos

los vectores de 3R que tengan las mismas coordenadas en ambas bases.

Ejercicio 14

Hallar 3Rv para que 301110 ,,;v;,,B sea una base de 3R y las coordenadas

del vector 024 ,, en la base B sean 112 ,, . (O sea, 112024 ,,,, B )

Ejercicio 15

Sean 010102011 ,,;,,;,,B y 101110102 ,,;,,;,,B bases de 3R . Si las

coordenadas del vector v en la base B son 231 ,, , encontrar las coordenadas del vector

010 ,,v en la base B .

Ejercicio 16

Sea 200011110 ,,;,,;,,B una base 3R , hallar 3Rv para que

v;,,;,,B 001100 sea una base de 3R y el vector 411 ,,w tenga las mismas

coordenadas en ambas bases

Ejercicio 17

Sea 33: f la t. l. tal que

)3,3,6()1,3,0(

)3,4,1()1,0,1(

)3,6,3()1,2,1(

f

f

f

a) Calcular )1,0,0(f

b) Hallar base y dimensión de )Im( f

Ejercicio 18

Hallar la fórmula de f en cada caso

a) 43: f t. l. tal que )1,1,1,2()0,0,1( f ; )0,1,1,3()0,1,1( f y

)1,4,0,0()1,1,1( f

b) 42: f t. l. tal que 0,3,1,2)1,1( f y 1,2,1,0)1,1( f

Ejercicio 19

Hallar base y dimensión del núcleo y de la imagen de la t. l. f

a) 33: f , )2,,(),,( zyyxzyxzyxf

b) 43: f , 32213132321 ,,,),,( xxxxxxxxxxxf

Ejercicio 20

En cada caso decidir si f es monomorfismo, epimorfismo y/o isomorfismo

a) 22: f t. l., ),2(),( 12121 xxxxxf

b) 23: f t. l., ),().,( 32121321 xxxxxxxxf

Ejercicio 21

Sea 33: f una transformación lineal tal que:

)4,2,2()1,0,0(

)0,3,0()0,1,0(

),10,2()0,1,1(

f

f

kf

Hallar, si es posible, los k para los cuales f no es monomorfismo.