aleatoriasejercitacion

GUIA PRCTICA DE ESTADSTICA CTEDRA CAPRIGLIONI

TEMA: VARIABLES ALEATORIAS

PGINA 1

DISTRIBUCIONES NO ESPECFICAS PROBLEMA 1 En el siguiente cuadro se presentan los resultados de un trabajo para estudiar el comportamiento de la variable cantidad de che-ques con un monto superior a $2000 recibidos diariamente durante el ltimo ao.

CANT. DE CHEQUES CON MONTO SUP A $2000

CANT TOTAL DE CHEQUE RECIBIDOS

0 13

1 41

2 47

3 56

4 61

5 39

6 23

Considerando que la Cantidad de cheques con un monto superior a $2000 es una variable aleatoria, se mantienen las condiciones, y se cumple el principio de estabilidad de la frecuencia relativa, calcule: a) la probabilidad de que en un da se reciban exactamente 2 cheques con un monto superior a $2000. b) la probabilidad de que en un da se reciban a lo sumo 4 cheques con un monto superior a $2000. c) la probabilidad de que en un da se reciban al menos 2 cheques con un monto superior a $2000. d) el valor modal. e) el valor mediano f) la cantidad esperada de cheques con un monto superior a $2000 recibida en un da, y su correspondiente desvo estndar. RESULTADOS

a) P(x = 2) = 0,168 ; b) P(x 4) = F(4) = 0,779 ; c) P(x 2) = G(2) = 0,807 ; d) Mo = 4 ; e) Me = 3 ; f) E(x) = = 3,143 ; = 1,633

PROBLEMA 2 En un laboratorio farmacutico, se ha analizado la cantidad de devoluciones diarias efectuadas durante los ltimos 30 das hbiles, encontrndose que hubo: 3 das con 19 devoluciones, 3 das con 20 devoluciones, 6 das con 21 devoluciones, 9 das con 23 devolu-ciones, 6 das con 24 devoluciones y 3 das con 25 devoluciones. Admitiendo que se cumple el principio de estabilidad de la fre-cuencia relativa, calcule: a) La cantidad esperada de devoluciones diarias y su desvo estndar. b) La probabilidad de que en un da se efecten a lo sumo 23 devoluciones. c) La probabilidad de que en un da se efecten por lo menos 22 devoluciones. RESULTADOS

a) E(x) = X = 22,30 X = 1,847 ; b) 0,70 ; c) 0,60 PROBLEMA 3 En un Edificio en el que el 22% de los departamentos no tiene ventanas a la calle, el 18% tiene 1 ventana a la calle, el 34% tiene 2 ventanas a la calle, el 16% tiene 3, y el resto tiene ms de 3 ventanas a la calle, se cobrar una cuota extraordinaria destinada a la limpieza de la fachada del Edificio. El monto de la cuota extraordinaria se fijar as:

$250 para los departamentos sin ventanas a la calle; $350 para los departamentos con ventanas a la calle, que tienen menos de 3; $500 para el resto de los departamentos.

a) Calcule la esperanza y el desvo estndar de la variable aleatoria: cantidad de ventanas a la calle de un departamento. b) Si en el Edificio hay 50 departamentos, cunto se espera recaudar en total, en concepto de cuota extraordinaria?

RESULTADOS

a) E(x)= X = 1,74 X = 1,246 ; b) $ 18.350

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD para VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS PROBLEMA 4 En un curso donde el 43% de los alumnos estn aprobados, se toman al azar de 12 alumnos. Calcule la probabilidad de encontrar: a) exactamente 7 alumnos aprobados. b) a lo sumo 3 alumnos aprobados. c) menos de 5 alumnos aprobados. d) como mnimo 8 alumnos aprobados.



PGINA 2

e) ms de 10 alumnos aprobados. f) entre 4 y 9 alumnos aprobados. g) por lo menos un alumno aprobado. h) como mximo 6 alumnos no aprobados. i) cuntos alumnos aprobados se espera encontrar? j) Calcular la variabilidad absoluta. k) Calcular la variabilidad relativa. RESULTADOS a) 0,1295 ; b) 0,1671 ; c) 0,3557 ; d) 0,087 ; e) 0,0006 ; f) 0,828 ; g) 0,988 ; h) 0,4167 ; i) 5,16 ; j) 1,715 ; k) 0,332 PROBLEMA 5 En una fbrica donde el 60% de los operarios son hombres, se eligen al azar 4 operarios para formar un equipo de trabajo. a) Calcular la probabilidad de que en dicho equipo haya: a.1) ningn hombre. a.2) ms de 2 hombres. a.3) a lo sumo 3 mujeres. b) Se extraen al azar 55 operarios de esta fbrica. b1) Determinar la cantidad de mujeres que se espera encontrar en dicha muestra. b2) Determinar la variabilidad absoluta y relativa correspondiente. b3) Determinar la cantidad modal de hombres. RESULTADOS a.1) 0,0256 ; a.2) 0,475 ; a.3) 0,9744 ; b.1) 6 ; b.2) 1,9 y 0,21 ; b.3) Mo=6 PROBLEMA 6 En la Facultad de Ciencias Econmicas de la Universidad A se ha implementado recientemente una Bolsa de Trabajo, donde se anotan los alumnos interesados en realizar trabajos temporarios en empresas radicadas en la zona. Una empresa dedicada a la comercializacin de bebidas gaseosas se ha comunicado con los organizadores de esta Bolsa de Trabajo solicitando 4 estudiantes que se encuentren cursando el ltimo ao de la Licenciatura en Administracin para contratarlos por dos meses, aclarando que necesitan cubrir dichos puestos en forma casi inmediata. Debido a la urgencia con que debe ubicarse a los postulantes, y como an no se han organizado adecuadamente los archivos, los responsables de este sistema optan por revisar los legajos de todos los estudiantes anotados hasta encontrar 4 que cumplan con el requerimiento de la empresa. Sabiendo que aproximadamente el 25% de los estudiantes anotados est en condiciones de cubrir estas vacantes, contestar: a) Calcular la probabilidad de tener que revisar: a.1) exactamente 12 legajos. a.2) como mximo 20 legajos. a.3) como mnimo 10 legajos. a.4) menos de 10 legajos. a.5) entre 9 y 16 legajos. a.6) ms de 3 legajos. a.7) menos de 3 legajos. b) Cuntos legajos se espera tener que revisar? (Calcular la variabilidad absoluta y la variabilidad relativa correspondiente). c) Calcular la probabilidad de tener que revisar 5 legajos para encontrar uno que cumpla con el requerimiento de la empresa. RESULTADOS

a.1) 0,065 ; a.2) 0,775 ; a.3) 0,8343 ; a.4) 0,166 ; a.5) 0,481 ; a.6) 1 ; a.7) 0 ; b) = 16 = 6,93 CV = 0,433. ; c) 0,079 PROBLEMA 7 Un profesor de Microeconoma ha delegado la correccin de los 28 exmenes finales tomados el viernes anterior, en el jefe de trabajos prcticos de la ctedra, quien, una vez finalizada la correccin, le informa que hubo 20 desaprobados. El profesor, antes de confeccionar el acta correspondiente, decide controlar algunos exmenes para evaluar el criterio con el que fueron calificados. A tal efecto, selecciona al azar 8 exmenes. Contestar: a) Calcular la probabilidad de que entre los 8 exmenes elegidos encuentre: a.1) exactamente 4 desaprobados. a.2) por lo menos un aprobado a.3) entre 5 y 6 desaprobados. b) Cuntos exmenes aprobados espera encontrar? c) Calcular el coeficiente de variacin RESULTADOS a.1) 0,1091 ; a.2) 0,9595 ; a.3) 0,6285 ; b) Se espera encontrar 5,71 aprobados ; c) CV = 0,1925



PGINA 3

PROBLEMA 8 En una consultora trabajan 18 profesionales de los cuales 8, tienen estudios de postgrado. Para participar de un congreso interna-cional, se toman al azar 4 profesionales: a) Calcular la probabilidad de que entre ellos haya:

a.1) exactamente 3 sin estudios de postgrado. a.2) ms de 3 con estudios de postgrado. a.3) a lo sumo 1 con estudios de postgrado. a.4) como mnimo 2 con estudios de postgrado.

b) Si se toman al azar 8 de los profesionales que trabajan en dicha consultora: b.1) Cuntos profesionales sin estudios de postgrado se espera encontrar? b.2) Calcular su variabilidad absoluta. b.3) Calcular su variabilidad relativa.

RESULTADOS:

a.1) 0,3137 ; a.2) 0,023 ; a.3) 0,383 ; a.4) 0,617 ; b.1) = 4,44 ; b.2) = 1,077 b.3) CV = 0,243 PROBLEMA 9 En una manzana hay 34 edificios: 30 son Residenciales y solamente 4 son Comerciales. Se toman al azar 10 edificios. a) Cul es la probabilidad de que por lo menos 5 sean Comerciales? b) Cul es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos sean Comerciales? c) Cul es la probabilidad de que ms de 8 sean Residenciales? RESULTADOS: a) 0 ; b) 0,2671 ; c) 0,6655 PROBLEMA 10 Un fabricante de telas produce con 5 fallas cada 150 metros en promedio y comercializa su producto en rollos de 200 metros. a) Calcular la probabilidad de que un rollo contenga a lo sumo 4 fallas. b) Calcular la cantidad de fallas modal (el Modo). RESULTADO a) 0,2021 b) 6 fallas PROBLEMA 11 En una central telefnica se reciben en promedio 6 llamados por minuto. a) Calcular la probabilidad de que.

a.1) se reciban exactamente 10 llamados en 2 minutos. a.2) se reciban como mximo 15 llamados durante un lapso de 3 minutos. a.3) se reciba por lo menos un llamado en 30 segundos.

b) Para un perodo de 18 minutos calcular: b.1) Cuntos llamados se espera recibir? b.2) El Coeficiente de Variacin

RESULTADOS: a.1) 0,1048 a.2) 0,2868 a.3) 0,395 b.1) 108 llamados b.2) 0,096

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD para VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS PROBLEMA 12 El tiempo de fabricacin de ciertas piezas tiene distribucin normal con una media de 13 minutos y un desvo estndar de 1,25 minutos. a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de fabricacin sea de: a.1) a lo sumo 10 minutos. a.2) como mnimo 15 minutos. a.3) entre 12 y 14 minutos. b) Cul es el tiempo de fabricacin: b.1) slo superado por el 12% de las piezas producidas? b.2) no superado por el 34% de las piezas producidas? b.3) superado por el 78% de las piezas producidas? RESULTADOS a.1) 0,0082 ; a.2) 0,0548 ; a.3) 0,5763 ; b.1) 14,4750 ; b.2) 12,4875 ; b.3) 12,037



PGINA 4

PROBLEMA 13 El tamao de las fincas, en hectreas, en una determinada regin, es una variable aleatoria cuya funcin de densidad de probabili-dad es

e 0para250

1)( 250

XX

X

f

a) Calcule la probabilidad de encontrar una finca cuyo tamao est entre 300 y 400 hectreas. b) Cul es el tamao mediano? c) Determine el valor de la variable estandarizada para X = 230. d) Calcule el coeficiente de variacin. RESULTADO a) 0,0993 ; b) 173,2868 ; c) - 1,265 ; d) 0,063 ; PROBLEMA 14 El dimetro, en centmetros de los rboles que forman un determinado bosque, es una variable aleatoria con funcin de densidad

46 38 para 8

1)( XX f

a) Calcule la probabilidad de encontrar un rbol que tenga un dimetro entre 40 y 43 centmetros. b) Cul es el tamao mediano? c) Determine la variable estandarizada para x = 44. d) Calcule el coeficiente de variacin. RESULTADOS a) 0,375 ; b) 42 ; c) 0,866 ; d) 0,055 PROBLEMA 15 El tiempo para realizar una tarea se distribuye uniformemente entre 20 y 25 minutos. a) Calcule la probabilidad de que una tarea tomada al azar se realice en menos de 22 minutos. b) Cul es el tiempo slo superado por el 15% de las tareas? c) Si una tarea se realiza en ms de 21,5 minutos, cul es la probabilidad de que el tiempo sea inferior a 24 minutos? d) Se toman al azar 8 tareas, cul es la probabilidad de que a lo sumo 5 tareas hayan sido realizadas en menos de 21 minutos? RESULTADOS a) 0,40 ; b) 24,25 ; c) 0,7143 ; d) 0,9988

SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS PROBLEMA 16 En una empresa se realiz un estudio a fin de determinar el tiempo total para realizar un proceso. Este proceso consta de cuatro etapas consecutivas e independientes. El tiempo medio para la primera etapa es de 15 minutos con un desvo tpico de 3 minutos, el tiempo medio para la segunda etapa es de 20 minutos con un desvo estndar de 2 minutos, el tiempo medio para la tercera etapa es de 25 minutos con un desvo tpico de 4 minutos, y el tiempo medio de la cuarta etapa es de 8 minutos, con un desvo tpico de 1 minuto. Todos los tiempos parciales tienen distribucin normal. a) Cul es la probabilidad de que se tarde entre 60 y 70 minutos para completar el proceso? b) Cul es la probabilidad de que el proceso se complete en ms de 65 minutos? c) Cul es el tiempo mnimo necesario para completar el 90% de los procesos ms largos? RESULTADOS a) 0,56843 ; b) 0,70884 ; c) 60,97 PROBLEMA 17 Una fbrica de tortas ha establecido el siguiente detalle de sus costos:

Cobertura: tiene un costo que se distribuye normalmente con media $8 y desvo tpico $2,5, por pieza de torta. Bandeja: su costo se distribuye normalmente con media $1,25 y desvo tpico $0,25 por pieza de torta. Bizcochuelo: $4 el kilo, se considera como constante ya que depende del peso del bizcochuelo.

Si se recibe un pedido de una torta de 2 kilos cul es la probabilidad de que el costo total de torta est entre $15 y $ 20? RESULTADO: 0,68027

PROBLEMA 18 En un depsito hay un montacargas que puede soportar una carga mxima de 12.000 Kg. a) Si en el montacargas se cargan 100 bultos con un peso medio cada uno de 108 kilos y un desvo estndar de 72 kilos, Cul es la probabilidad de que no se exceda el lmite de seguridad?



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b) Si para operar el montacargas se necesitan dos personas y el peso de los operarios se distribuye normalmente con una media de 75 kilos y desvo estndar de 6 kilos, y se cargan 80 bultos con peso distribuido normalmente con media 110 kilos y desvo estndar 70 kilos Cul es la probabilidad de que se exceda el lmite de seguridad? RESULTADOS: a) 0,95254 ; b) 0 (cero) PROBLEMA 19 En una entidad bancaria el monto de los depsitos en cuenta corriente se distribuye normalmente con media $800 y desvo tpico $120. El monto de las extracciones en una cuenta corriente se distribuye normalmente con media $530 y desvo tpico $90. a) Cul es la probabilidad de que el saldo sea superior a $200? b) Cul es el saldo mximo del 15% de las cuentas de menor cuanta? c)Si se toman 10 cuentas corrientes al azar cul es la probabilidad de que el saldo total sea inferior a 3000? RESULTADOS a) 0,68082 ; b) $114,6 ; c) =,73565 PROBLEMA 20 Para armar un andamio de altura se necesitan caos de longitud variable y en cantidad variable .Para la limpieza del frente de un edificio se necesitan 36 caos con una longitud media de 4 metros con un desvo tpico de 0,50 metros; 40 caos con una longitud media de 2,50 metros con un desvo tpico de 0,40 metros y 50 caos con una longitud media de 1,20 metros y desvo tpico de 0,30 metros. Cul es la probabilidad de que la longitud total de la caera para formar el andamio sea superior a 310 metros? RESULTADO: 0,09012

PROBLEMAS VARIOS PROBLEMA 21 Se ha comprobado que el 8% de las agujas para inyectores marca A, son defectuosos. Estas agujas se comercializan en cajas de 15 unidades envasadas al azar. Un comprador realiza una inspeccin de cada caja. Si la caja no contiene agujas defectuosas el precio es de $30; si la caja contiene una o dos agujas defectuosas, el precio es de $25; si la caja contiene ms de tres agujas defectuosas, el precio es de solo $10. Calcule el precio esperado por caja. RESULTADO: $24,744 PROBLEMA 22 El consumo diario en combustible de una fbrica se distribuye normalmente con un promedio de 248 litros y un desvo estndar de 25 litros. a) Cul es la probabilidad de que en un da se consuman ms de 263 litros? b) Cul es el consumo slo superado en el 20% de los das? c) Se toman 12 das al azar, calcular la probabilidad de que en ms de la cuarta parte de los das, el consumo haya sido inferior a 220 litros. d) Calcular la probabilidad de tener que revisar el consumo de menos de 10 das si se quieren encontrar 3 das con consumo supe-rior a 263 litros. RESULTADOS a) 0,27425 b) 269 litros c) 0,035 d) 0,4552 PROBLEMA 23 Dada una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad Binomial y parmetros n = 55 y p = 0,02, calcular la probabilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) igual a cero. b) menor a 3. c) mayor o igual a 2. RESULTADOS a) 0,3329 b) 0,9005 c) 0,3009 PROBLEMA 24 Dada una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad binomial y parmetros n = 1.200 y p = 0,04, calcular la proba-bilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) menor a 50. b) mayor a 50. RESULTADOS a) 0,58706 b) 0,35569



PGINA 6

PROBLEMA 25 Dada una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad Hipergeomtrica y parmetros N = 160 ; R = 96 y n = 7, calcular la probabilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) igual a 3. b) menor o igual a 1. c) mayor a 5. RESULTADOS a) 0,1935 b) 0,0189 c) 0,1586 PROBLEMA 26

Dada una variable aleatoria con funcin de probabilidad de Poisson y = 36, calcular la probabilidad de que el valor de dicha va-riable resulte: a) mayor a 37 y menor a 40. b) mayor o igual a 32 y menor a 35. c) mayor a 32 y menor o igual a 36. RESULTADOS a) 0,12033 b) 0,17466 c) 0,25092 PROBLEMA 27 Solo el 2% de determinados insectos expuestos a un qumico sobreviven. a) En un grupo de 15 insectos tomados al azar cul es la probabilidad de que sobrevivan menos de 3? b) Si se exponen 300 insectos tomados al azar cul es la probabilidad de que no sobrevivan a lo sumo 290? RESULTADOS a) 0,997 b) 0,075 PROBLEMA 28 En la ciudad A el 43% de los habitantes vive en departamentos. El equipo de produccin de un programa televisivo realiza una encuesta callejera en la zona cntrica de dicha ciudad. Calcular: a) La probabilidad de tener que encuestar 14 personas, para encontrar 7 que vivan en departamentos b) La probabilidad de tener que encuestar entre 6 y 8 personas para encontrar 2 que vivan en departamentos. c) La cantidad de personas que se espera tener que encuestar si se desea encontrar 50 que no vivan en departamentos. RESULTADOS a) 0,0912 b) 0,2087 c) 88 personas PROBLEMA 29 El 40% de los clientes de un hipermercado paga sus compras con tarjeta de crdito. a) Si se toman 8 clientes al azar cul es la probabilidad de que a lo sumo 2 paguen con tarjeta de crdito? b) Cul es la probabilidad de que entre 70 y 75 clientes paguen con tarjeta si se seleccionan aleatoriamente a 200 clientes? RESULTADOS a) 0,3154 b) 0,191 PROBLEMA 30 Una fbrica produce ciertas piezas cuya venta deja una ganancia de $18 por pieza si su longitud est comprendida entre 4,8 y 5,2 mm., la ganancia se reduce a $15 si la longitud de la pieza supera los 5,2 mm., porque en ese caso hay un costo de recuperacin, y si la longitud de la pieza es inferior a 4,8 mm. debe desecharse y se origina una prdida de $11. Calcular la ganancia total que se espera obtener por la venta de un lote de 800 piezas, sabiendo que la longitud de dichas piezas tiene distribucin normal con pro-medio igual a 5,08 mm. y desvo estndar de 0,16 mm. RESULTADOS: $12.927 PROBLEMA 31 Sabiendo que a una central telefnica llegan en promedio 4 llamadas cada 3 minutos, calcular las siguientes probabilidades: a) Que lleguen por lo menos una llamada el prximo minuto. b) Que lleguen menos de 12 llamadas durantes un lapso de 10 minutos. c) Que lleguen ms de 40 llamadas durante un cuarto de hora. RESULTADOS a) 0,7275 b) 0,3532 c) 0,0000



PGINA 7

PROBLEMA 32 Una compaa telefnica elige al azar una muestra de 8 abonados. Sabiendo que el 64% de los abonados tienen contestador auto-mtico, calcular las siguientes probabilidades acerca de los 8 abonados seleccionados: a) Que la cuarta parte no tenga contestador automtico. b) Que ms de la mitad tenga contestador automtico. c) Que menos del 75% tenga contestador automtico. d) Que entre 3 y 7 tengan contestador automtico. RESULTADOS a) 0,2494 ; b) 0,6847 ; c) 0,5958 ; d) 0,9427 PROBLEMA 33 Una distribuidora entrevista profesores de una universidad nacional para ofrecerles impresoras a color. Sabiendo que slo el 22% de los profesores no tiene impresora a color: a) Calcular la probabilidad de que tenga que entrevistar 14 profesores para encontrar 4 que no tengan impresora a color. b) Calcular la probabilidad de que tenga que entrevistar a ms de 4 profesores para encontrar uno que no tenga impresora a color. c) Calcular la probabilidad de que tenga que entrevistar entre 12 y 16 profesores para encontrar seis que no tengan impresora a color. d) Cuntos profesores espera tener que entrevistar para encontrar 24 que no tengan impresora a color? RESULTADOS a) 0,056 b) 0,081 c) 0,10 d) Aprox. 109 PROBLEMA 34 Los montos abonados semanalmente en concepto de horas extras en la empresa NORTE SRL se distribuyen normalmente con un promedio de $914 y un desvo estndar de $41. Calcular: a) La probabilidad de que semanalmente se abone como mximo $500 en concepto de horas extras. b) La probabilidad de que semanalmente se abone como mnimo $700 en concepto de horas extras. c) La probabilidad de que la prxima semana se deba pagar por horas extras entre $900 y $1.200. RESULTADOS a) 0 b) 1 c) 0,63307 PROBLEMA 35 Una empresa de telefona mvil envi por correo una promocin a sus clientes. A la semana siguiente la empresa selecciona 15 de sus clientes al azar y los consulta telefnicamente acerca de dicha promocin. Suponiendo que hasta ese momento, slo el 56% de las promociones enviadas llegaron a destino, calcular la probabilidad de que: a) todos los clientes consultados hayan recibido la promocin. b) ninguno de los clientes consultados haya recibido la promocin. c) a lo sumo 7 de los clientes consultados no hayan recibido la promocin. RESULTADOS a) 0,0002 b) 0 c) 0,1987 PROBLEMA 36 Para que trabajen en el desarrollo de un nuevo producto, el Director de Desarrollo form un equipo de trabajo integrado por 8 profesionales tomados al azar entre 15 profesionales con Postgrado en Sistemas. Sabiendo que de los profesionales con Postgrado en Sistemas, 7 son Contadores, calcular las siguientes probabilidades: a) Que ninguno de los miembros de la comisin sea Contador. b) Que ms de la mitad de los miembros de la comisin sean Contadores. c) Que por lo menos haya un Contador en la comisin. RESULTADOS a) 0 b) 0,214 c) 1 PROBLEMA 37 En una obra social donde el 65% de los afiliados vive en zona urbana, se eligen al azar 12 afiliados. Calcular la probabilidad de que 5 de ellos no vivan en zona urbana. RESULTADOS: 0,2039 PROBLEMA 38 En un supermercado los clientes cuyas compras superan un monto mnimo de $320 obtienen un descuento. Dichos montos se distribuyen normalmente con una media de $255 y una varianza de 1600. Contestar: a) Cul es la probabilidad de que un cliente no obtenga dicho descuento?



PGINA 8

b) Si se toma un cliente al azar y se comprueba que no obtuvo descuento, cul es la probabilidad de que su compra haya sido superior a 255? c) Se toman 10 clientes al azar, calcular la probabilidad de que exactamente 4 hayan obtenido el descuento? d) Calcular la probabilidad de tener que revisar 10 clientes si se quieren encontrar 4 que hayan obtenido el descuento. e) Cul debera ser el monto mnimo de compra, si se pretendiera que la quinta parte de los clientes obtuviera el descuento? RESULTADOS a) 0,8686 b) 0,424 c) 0,026 d) 0,127 e) 288,70 PROBLEMA 39 Sabiendo que el 26% de los pasajeros que utilizan una lnea de trenes tienen abono mensual, se toman al azar 11 pasajeros, calcule la probabilidad de que: a.1) al menos uno tenga abono mensual. a.2) a lo sumo uno tenga abono mensual. a.3) como mnimo 8 no tengan abono mensual. b) La probabilidad de tener que pedir boleto a ms de 12 pasajeros si se pretende encontrar a 3 que tengan abono mensual. c) En un vagn en el que viajan 85 pasajeros: c.1) Cuntos pasajeros que tengan abono se espera encontrar? y c.2) con qu coeficiente de variacin? RESULTADOS a.1) 0,9636 ; a.2) 0,1772 ; a.3) 0,6854 ; b) 0,3604 ; c.1) 22,1 ; c.2) 0,183 PROBLEMA 40 En un depsito hay 75 lavarropas marca A y 120 lavarropas marca B mezclados. Se toman al azar 26 lavarropas para ponerlos en exposicin. Calcular la probabilidad de que al menos 8 de los lavarropas elegidos sean marca A. RESULTADO: 0,83147 PROBLEMA 41 Una gaseosa se envasa automticamente, el contenido de los envases se distribuye uniformemente entre 0,70 y 0,90 litros. Al comercializar este producto obtiene una ganancia que vara segn la cantidad de gaseosa que contenga el envase vendido, de acuerdo con las siguientes pautas:

* Los envases que contienen entre 0,75 litros y 0,85 litros de gaseosa producen una ganancia de $1,95. * Los envases que contienen menos de 0,75 litros de gaseosa producen una ganancia de $1,80. (Porque ya que el contenido es

evidentemente menor al estipulado y los consumidores lo advierten y piden rebaja en el precio). * Los envases que contienen ms de 0,85 litros de gaseosa producen una ganancia de $1,50 (porque el exceso de gaseosa con-

tenido en el envase aumenta el costo de produccin). Calcular la ganancia total que se espera obtener por la venta de una partida de 450 de estos envases. RESULTADO: $ 810 PROBLEMA 42 De un bolillero que contiene 25 bolillas numeradas del 1 al 25, se extraen bolillas al azar. Calcular la probabilidad de: a) obtener 4 bolillas pares si se extraen 7 bolillas con reposicin. b) tener que extraer 12 bolillas para encontrar 8 bolillas impares (sabiendo que las extracciones se realizan con reposicin). c) obtener por lo menos una bolilla menor a 10 si se extraen 5 bolillas sin reposicin. RESULTADOS a) 0,2612 b) 0,0937 c) 0,9178 PROBLEMA 43 Un lquido que contiene en promedio 8 impurezas por litro, se envasa en botellas de dos litros y medio. Calcular la probabilidad de que una botella contenga menos de 10 impurezas. RESULTADO: 0,0698 PROBLEMA 44 En un lavadero de automviles, el tiempo de lavado por unidad es el turno M se distribuye normalmente con una esperanza de 12 minutos y un desvo estndar de 3 minutos, mientras que el tiempo de lavado por unidad en el Turno T, se distribuye exponencial-mente con una esperanza de 11 minutos. El 27% de los automviles son lavados en el turno M y el resto en el turno T. a) Cul es la probabilidad de que en el turno M, un automvil se lave en menos de 15 minutos? b) Cul es el tiempo de lavado solo superado por el 83% de los automviles lavados en el turno T? c) Se toma un automvil al azar y se comprueba que el tiempo de lavado fue superior a 12 minutos Cul es la probabilidad de que haya sido lavado en el turno Tarde?



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d) Se desean encontrar exactamente 6 autos lavados en ms de 12 minutos, cul es la probabilidad de tener que revisar menos de 10 automviles? RESULTADOS a) 0,84134 b) 2,05 minutos c) 0,884 d) 0,079 PROBLEMA 45 Un fabricante que produce alambre con una frecuencia promedio de 3 defectos cada 200 mts. ha vendido 5.000 mts. de alambre a un mayorista. Calcular la probabilidad de que el alambre vendido tenga a lo sumo 80 defectos. RESULTADO: 0,74 PROBLEMA 46 El tiempo de vida til de las pilas producidas por el fabricante A tiene distribucin normal con una media de 80 horas y un desvo estndar de 3 horas. El fabricante B tambin produce pilas cuyo tiempo de vida til tiene distribucin uniforme entre 78 y 84 minu-tos. En el depsito el 25% de las pilas provienen al fabricante A y el resto provienen del proveedor B. a) Cul es la probabilidad de que las pilas de A duren entre 75 y 82 horas? b) Cunto tiempo debe garantizar de vida til el fabricante B, de manera de tener que reemplazar el 5% de las pilas? (o sea: Cul es el tiempo mnimo de vida til del 5% de las pilas de mayor vida til del fabricante B?) c) Se desea formar un lote de 5 pilas que duren menos de 80 horas, de cualquier marca. Cul es la probabilidad de tener que revi-sar a lo sumo 8 pilas? RESULTADOS a) 0,701 b) 83,70 horas c) 0,034 (o 0,038) PROBLEMA 47 El peso de los paquetes de harina marca A, que se envasan automticamente, tiene distribucin normal con un promedio de 500 gramos. Sabiendo que el 32% de los paquetes pesa como mnimo 513 gramos, contestar: a) Cunto vale el desvo estndar? b) Se elige al azar un paquete y se comprueba que su peso es inferior al peso promedio, Cul es la probabilidad de que pese por lo menos 475 gramos? c) Se vende un lote de 15 paquetes de harina, Cul es la probabilidad de que a lo sumo las dos quintas partes de los paquetes del lote pesen menos de 493 gramos? RESULTADOS a) 27,66 gramos b) 0,63188 c) 0,6098 PROBLEMA 48 Sabiendo que el 70% de los automviles que pasan por los puestos de peaje estn conducidos por hombres, contestar: a) Cul es la probabilidad de que el 60% de los prximos 15 automviles que pasen por un puesto de peaje sean conducidos por hombres? b) Cul es la probabilidad de tener que esperar que pasen 8 automviles por un puesto para encontrar una mujer al volante? c) Los inspectores de trnsito estn realizando un operativo de control en los puestos de peaje y cada uno de ellos inspeccion 10 automviles durante el da de hoy. Si se toman 4 inspectores al azar, cul es la probabilidad de que menos de la mitad de ellos haya encontrado ms de 5 automviles conducidos por mujeres? RESULTADOS a) 0,1472 b) 0,0247 c) 0,9860 PROBLEMA 49 El conmutador del Hotel J recibe en promedio 10 llamados telefnicos por hora. a) Calcular la cantidad esperada de llamadas en un perodo de 50 minutos y su variabilidad relativa. b) Calcular la probabilidad de que en un perodo de 80 minutos se recibieran menos de 10 llamados. RESULTADOS a) 8,33 llamados b) 0,1658 PROBLEMA 50 El 78% de los afiliados al sindicato A son hombres. Se eligen al azar 145 afiliados a dicho sindicato. Calcular la probabilidad de que entre los afiliados elegidos haya: a) menos de 110 hombres. b) ms de 120 hombres. c) exactamente 115 hombres. RESULTADOS a) 0,236 b) 0,07 c) 0,07



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PROBLEMA 51 En una oficina donde trabajan 20 empleados, de los cuales el 65% sabe computacin, se seleccionan al azar 3 empleados y se les asigna una tarea muy urgente. Calcular la probabilidad de que la mayora de los empleados seleccionados sepa computacin. RESULTADO: 0,73 PROBLEMA 52 Dada una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad Binomial y parmetros: n = 160 y p = 0,64, calcular la probabilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) menor o igual a 114. b) menor a 87. c) mayor o igual a 93. d) mayor a 103. e) mayor o igual a 91 y menor o igual a 96. (es decir que el valor de la variable quede comprendido entre 91 y 96). f) igual a 100. RESULTADOS a) 0,97670 b) 0,00440 c) 0,94845 d) 0,42858 e) 0,14102 f) 0,06267 PROBLEMA 53 Los montos adeudados por los clientes morosos de una empresa, tienen distribucin normal con promedio igual a $1.700 y desvo estndar igual a $370. Se decide reclamar judicialmente las deudas mayores, entablando juicio al 13% de dichos clientes. Calcule el monto de deuda que se fijar como mnimo para que un cliente moroso vaya a juicio. RESULTADO: $2.118 PROBLEMA 54 Para formar el precio de un producto artesanal se tiene en cuenta las siguientes variables que, se supone, se distribuyen normal-mente: costo de tiempo de empleado, costo de los materiales, costo del embalaje y ganancia por unidad de producto terminado, medido en pesos. El costo del tiempo empleado es en promedio de $ 15 y el desvo estndar de $ 5 El costo de los materiales es en promedio e $ 10 y el desvo estndar de $ 3 El costo del embalaje es en promedio de $ 8 y el desvo tpico de $ 2 La ganancia promedio es de $ 9 con un desvo tpico de $ 2,5 a) Cul es la probabilidad de que una unidad de producto terminado tenga un precio de a lo sumo $ 40? b) Cul es el precio solo superado por el 5% de los productos terminados? c) Si se toma una partida de 16 productos terminados Cul es la probabilidad de que el precio total sea superior a $ 700? RESULTADOS: a) 0,38209 ; b) $52,94 ; c) 0,14686 PROBLEMA 55 Sabiendo que el 4,5% de la poblacin de una provincia padece determinada enfermedad, a) calcule la probabilidad de tener que entrevistar a 55 habitantes de dicha provincia para encontrar 3 que la padezcan. RESULTADO: 0,01 PROBLEMA 56 Un mayorista tiene en su depsito una gran cantidad de tuercas, de las cuales el 38% fueron adquiridas al fabricante A y el resto al fabricante B. Los dos fabricantes producen tuercas cuyos dimetros tienen distribucin normal con un desvo estndar igual a 0,18 mm. Las tuercas producidas por el fabricante A tienen un dimetro promedio de 1,56 mm. y el 10% de las tuercas producidas por el fabricante B tienen un dimetro inferior a 1,25 mm. Basndose en estos datos, contestar: a) Cunto vale el dimetro promedio de las tuercas producidas por el fabricante B? b) Calcular la probabilidad de que una tuerca del depsito cuyo dimetro mide ms de 1,50mm. c) Se elige al azar una tuerca del depsito y se comprueba que su dimetro no supera los 1,50 mm. Cul es la probabilidad de que dicha tuerca haya sido producida por el fabricante A? RESULTADOS a) 1,48 mm. ; b) 0,5220 ; c) 0,2947 PROBLEMA 57 El tiempo que tarda un profesor de Historia para corregir un examen se distribuye normalmente con promedio igual a 10 minutos y desvo estndar igual a 2 minutos. En el ltimo llamado se ha presentado una gran cantidad de alumnos y el profesor elige al azar 80 exmenes para corregirlos durante el fin de semana. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que ms de la quinta parte de los exmenes que eligi le demanden menos de 8 minutos de correccin cada uno.



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b) Que a lo sumo 4 de los exmenes elegidos le demanden como mnimo 14 minutos de correccin cada uno. RESULTADOS a) 0,13 b) 0,98 PROBLEMA 58 La remuneracin promedio del personal jerrquico de una empresa de servicios que tiene sucursales en todo el pas, es $3200 y desvo tpico de $300. La remuneracin se distribuye normalmente. Si se toma una muestra de 15 empleados jerrquicos. a Cul es la probabilidad de que la remuneracin total que deba pagar la compaa sea inferior a $50000? b Cul es remuneracin total mnima que debe pagar la compaa en el 80% de los casos en que mas paga si la muestra es de tamao 15? RESULTADOS a) 0,95728 b) $47021,64 PROBLEMA 59 Se sabe que, en promedio, 6 de cada 8 personas, que ingresan a una agencia de turismo para solicitar informacin, contratan algu-na excursin, a) calcule la probabilidad de que ninguna de las tres personas que estn solicitando informacin en este momento contrate alguna excursin. RESULTADO: 0,0156 PROBLEMA 60 En una universidad donde el 3% de los alumnos tienen ms de 40 aos, se toma una muestra al azar de 84 alumnos. Contestar: a) Cul es la probabilidad de encontrar por lo menos un alumno con ms de 40 aos en la muestra? b) Si la muestra fuera de 1.000 alumnos, cul sera la probabilidad de que a lo sumo el 2% de los alumnos seleccionados en esta muestra tuvieran ms de 40 aos? RESULTADOS a) 0,92 b) 0,04 PROBLEMA 61 En una entidad bancaria el monto de los depsitos (en miles de pesos) en cuenta corriente se distribuye exponencialmente con media 800. a) Calcule la probabilidad de que un depsito tomado al azar tenga un monto superior a 1300. b) Cul es el monto slo superado por el 5% de los depsitos? c) Si un depsito es superior a 700, cul es la probabilidad de que sea inferior a 2000? d) Se toman al azar 14 depsitos, cul es la probabilidad de que a lo sumo 5 depsitos tengan un monto inferior a 400? RESULTADOS a) 0,1969 ; b) $2396,586 ; c) 0,8095 ; d) 0,5169 PROBLEMA 62 El 61% de los operarios de una fbrica tarda a lo sumo 20 minutos para armar un motor, mientras que el 13% de los operarios tarda como mnimo media hora. Sabiendo que el tiempo de armado de un motor tiene distribucin normal, calcular: a) El tiempo promedio de armado de un motor. b) El desvo estndar del tiempo de armado de un motor. c) El tiempo que debe tardar como mnimo un operario en armar un motor, para que dicho operario sea enviado al curso de capaci-tacin destinado a los operarios ms ineficientes, sabiendo que a dicho curso asistir el 24% de los operarios. RESULTADOS a) 16,706 ; b) 11,765 ; c) 25 minutos PROBLEMA 63 Una fbrica de cartuchos de tinta para impresora comercializa su produccin en cajas que contienen 12 cartuchos. Sabiendo que el 7% de estos cartuchos resultan defectuosos y que por cada caja vendida:

* Se gana $2,5 si la caja no contiene ningn cartucho defectuoso. * Se gana $1,8 si la caja contiene uno o dos cartuchos defectuosos. * Se gana $1,2 si la caja contiene tres o cuatro cartuchos defectuosos. * Si la caja contiene ms de 4 cartuchos defectuosos es devuelta y origina una prdida de $2,4.

a) Calcular la ganancia que se espera obtener por la venta de 200 cajas. b) Cul es la probabilidad de que una caja produzca como mnimo $1,5 de ganancia? c) Se vendieron 4 cajas, cul es la probabilidad de obtener una ganancia total de $10 por esta venta?



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RESULTADOS a) $412,34 b) 0,9532 c) 0,0311 PROBLEMA 64 Una empresa dedicada a la comercializacin de revistas cientficas enva por correo solicitudes de suscripcin a los estudiantes y docentes de las principales universidades del pas. Sabiendo que solamente el 30% de las solicitudes enviadas originan suscripcio-nes, calcular la probabilidad de tener que enviar 65 solicitudes para obtener 20 suscripciones. RESULTADO: 0,03 PROBLEMA 65 Segn los registros de una empresa la duracin promedio de los motores que fabrica es de 12 aos con un desvo tpico de 3 aos. Se toma una muestra 64 motores, cul es la probabilidad de que la duracin total no supere los 760 aos? RESULTADO: 0,3707 PROBLEMA 66 El consumo de gas residencial es en promedio de 250 metros cbicos con un desvo tpico de 20 metros cbicos. Si se toman 36 meses al azar, a) Cul es la probabilidad de que el consumo total sea inferior a 9200 metros cbicos? b) Cul es el consumo total no superado por el 27% de las muestras de tamao 36? RESULTADOS a) 0,95254 b) 8926,44 m

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