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l l e r
S e m a n a
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( 0 1
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. 0 3 . 1
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P r o
f . D
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g u e z
U n i v
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N o r
t eBarranquilla, 17 de marzo
de 2016
Universidad del Norte
División de Ingenieŕıas
Álgebra Lineal - Taller 08
Conceptos teóricos : Definición
Definición 1 Decimos que u ∈ Rn
es combinación lineal de u1, · · ·
, uk ∈ Rn, si existen constantes α1, · · · ,
αk ∈ R tal que
u = α1u1 + · · · + αkuk.
Definición 2 Dados u1, · · · ,
um ∈ Rn, si existen constantes α1, · · · ,
αm ∈ R no todas nulas tales que
α1u1 + · · · + αmum = 0,
decimos que u1, · · · ,
um son linealmente dependientes, en caso contrario,
decimos son linealmenteindependientes.
Definición 3 Dado {u1, · · · , um}
⊂ Rn
con m ≥ n es un conjunto
generador de V ⊂ Rn
, si cada x ∈ V ⊂ Rn es
combinaci´ on lineal de u1, · · · , um, es
decir, si existen constantes α1, · · · , αm ∈
R tales que
x = α1u1 + · · · + αmum
Ejercicios Resueltos
Ejercicio resuelto
¿Es posible expresar el vector u = (1, 1, 1) como
combinación lineal de los elementos del
conjuntoV := {v1 = (1, 1,−1),v2
= (2, 1, 1)}?
Solución
Teniendo en cuenta la definición de combinación lineal, la
pregunta se puede interpretar como: ¿Existenα1, α2 ∈ R
tales que
u = α1v1 + α2v2?
Igualando componentes obtenemos el sistema
α1 + 2α2 = 1
α1 + α2 = 1
−α1 + α2 = 1.
Obteniendo la matriz ampliada del sistema y aplicando
eliminación gaussiana tenemos
1 2 11 1 1−1 1 1
→ 1 2 10 −1 00 3 2
→ 1 2 10 −1 00 0 2
Observe que la ultima ecuación significa que
0 · α2 = 2 ⇒ 0 = 2,lo cual es una
inconsistencia, por tanto el sistema no tiene solución, y en
conclusión u no es unacombinación lineal de
v1 y v2.
NRC: 4554
Prof. Catalina Domı́nguez
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. 0 3 . 1
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g u e z
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N o r
t ec) son l.i d) son l.i e)
son l.i
3. Determinar los valores de k (si existen) para que
sean linealmente dependientes los vectores u = (3, k,−6),v
= (−2, 1, k + 3) y w = (1, k + 2, 4).
Escribir u como combinación lineal de v
y w usando un valoradecuado para k .
Respuesta: k = −2 ó
k = 6.
4. Determine los valores de k (si existe) de manera
que los vectores u1 = (1, 2, 1), u2 =
(1, 3, k) y u3 =(−1, k, 3) sean linealmente
independientes. Usando un valor adecuado de k, exprese el
vector w = (1, 2, 5)como combinación lineal de
u1, u2 y u3
Respuesta: k = −3 ó k = 2.5. Para
cada caso determine una base y la dimension de W . ¿Es
el conjunto W es un conjunto generador
de A? ¿Son los vectores generadores una base de
W ?
a ) W = span{(2,−1), (1, 0)} y
A = R2b) W = span{(1, 1), (0, 1),
(−2,−2)} y A = R2c ) W =
span
{(2,
−1, 2), (1, 0, 1), (3,
−2, 1)
} y A = R3
d ) W = span{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0,
0), (1, 1, 1)} y A = R3e )
W = span{(1,−2, 5,−5), (2, 3, 1,−4), (3,
8,−3,−3)} y A = R4
f ) W = span{(1, 1, 1,−1), (1,
1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0)} y A =
R4g ) W = span{(2, 2,−1)} y A
= R3
Respuestas seleccionadas
a ) Al construir una matriz cuyas filas son los vectores y
aplicar eliminación gaussiana se obtiene
la matriz escalonada
1 00 −1
, lo que significa que los vectores generadores son
linealmente
independientes. Aśı una base de W podŕıa ser
el conjunto inicial {(2,−1), (1, 0)} ó el conjunto{(1, 0),
(0,−1)}. dimW = 2
b) dimW = 2, base de W : {(1, 1), (0,
1)}. El conjunto inicial no es una base de W .c )
dimW = 3, base de W : {(2,−1, 2), (1, 0,
1), (3,−2, 1)} ó {(2,−1, 2), (1, 0), (0, 0,−2)}d )
dimW = 3, base de W : {(1, 1, 1), (0, 0,
1), (0, 1, 1)}. El conjunto inicial no es una base de
W .e ) dimW = 2, base de
W : {(1,−2, 5, 5), (0, 7,−9, 6)}. El conjunto
inicial no es una base de W .
6. Determine la falsedad o veracidad de los siguientes
enunciados.
a ) Los vectores u = (1, 3) y v =
(−4,−12) son linealmente dependientes.b) El vector u =
(0, 0, 1) es combinación lineal de los vectores u1 =
(1, 0, 1), u2 = (1, 0,−1) y u3 =
(
−1, 0, 1)
c ) v1 = (1,√ 2, π), v2 = (0,
0, e), v3 = ( 3√ 2,−2,√ 3) y v4
= (1, 1,−1) son linealmente dependientes.d ) Los
vectores v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0),
v3 = (0, 0, 1) y v4 = (2,−2, 2) son
linealmente indepen-
dientes.
e ) Los vectores v1 = (1, 0, 0,−1) y v2
= (−5, 0, 0, 5) son linealmente
dependientes. f ) Los vectores v1 = (1,
0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (−1, 1, 0) son
linealmente independientes.g ) Dados los vectores
u,u1,u2 ∈ R3, si u = 0 · u1
+ 2 · u2 entonces {u,u1,u2} son
linealmente
independientes.
NRC: 4554
Prof. Catalina Domı́nguez
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