Álgebra de Booleexposicion

algebra de boole

Sistemas Digitales

20 DE FEBRERO DE 2015

INTEGRANTES:

PABLO CHILANRODRIGUEZ CRISTHIAN

LUCAS DENISSE

Universidad Estatal del Sur de Manabí

Creada mediante Ley publicada en el Registro Oficial Nº 261 del 7 de Febrero del año 2001UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS INFORMÁTICAS Y SISTEMAS

CARRERA DE INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ÁLGEBRA DE BOOLEÁlgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

HISTORIA

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido como un libro más importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought2 o simplemente The Laws of Thought), publicado en 1854.

Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada y Universo. George Boole

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.

Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

SISTEMAS DIGITALES VI Semestre – sección Matutina




DEFINICIÓN

Un álgebra de boole es un sistema de elementos b= {0,1} y los operadores binarios (·) y (+) y (’) definidos de la siguiente forma.

OPERADOR + OPERADOR OROPERADOR · OPERADOR ANDOPERADOR ‘ OPERADOR NOT

PROPIEDADES

1. PROPIEDAD CONMUTATIVA:

A + B = B + AA · B = B · A

2. ASOCIATIVIDAD

A + (B + C) = (A +B ) +CA · (B · C) = (A · B ) · C

3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

A·(B+C) = A·B + A·CA + B·C = (A+B)·(A+C)

4. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES

A + 0 = AA · 1 = A

5. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’

A + A’ = 1A · A’ = 0





PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin más que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.

CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B

VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa.

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLETEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único.

TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:

A+1 = 1A·0 = 0

TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.

0’=11’=0

TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:

A+A=AA·A=A

TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A

TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica:

A+A·B=AA·(A+B)=A

TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:

A + A’·B = A + BA · (A’ + B) = A · B

TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa:

A+(B+C) = (A+B)+CA·(B·C) = (A·B)·C





LEYES DE MORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:

(A+B)’ = A’·B’(A·B)’ = A’ + B’

FUNCIONES BÁSICASUn CONJUNTO DE PUERTAS COMPLETO es aquel con el que se puede implementar cualquier función lógica.

Puerta AND, puerta OR e INVERSORPuerta AND e INVERSORPuerta OR e INVERSOR

FUNCIÓN NOR, PUERTA NOR: Es también un conjunto completo

FUNCIÓN NAND, PUERTA NAND: Es también un conjunto completo





Link bibliografía:

http://www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole

http://galia.fc.uaslp.mx/~uragani/algebra1/Textos/Algebra_Boole.pdf

http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbBoolePropo/ProbAlgByPPreg.htm

MATERIAL DE APOYO

Primera hoja CRISTHIAN

Teorema y funciones PABLO




http://galia.fc.uaslp.mx/~uragani/algebra1/Textos/Algebra_Boole.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole







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