ALGORITMO DE CÁLCULO DE LA DEFORMACIÓN DE UNA VIGA

1. TEMA DEL PROYECTO:

Deformación de una viga en

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Investigar y proponer el algoritmo de cálculo para la deformación de una viga a partir de la

teoría brindada, mediante este algoritmo hallaremos la fuerza cortante y el momento flector de

una viga cuando la carga es homogénea y cuando esta es creciente, el cual será implementado

en C++.

3. OBJETIVOS:

Desarrollar un algoritmo que solucione la deformación de una viga de carga homogénea

y de carga creciente mediante la implementación de C++.

Analizar toda la teoría a fin de no tener problemas para poder plantear al algoritmo, de

tal manera que nos brinde la mejor solución.

4. MODELO MATEMÁTICO:

La viga es el elemento estructural utilizado cargado transversalmente para cubrir espacios,

soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas

de flexión y corte, en el caso de flexión simple, las cargas se suponen actuando en un plano de

simetría.

a) Fuerzas de diseño

Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y

Momento Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de

la viga, siendo así el objetivo principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el

momento flector máximo aplicado en la viga (V max ; M max). El procedimiento básico para

cuantificar las fuerzas de diseño consiste en:

o Asilar el elemento del sistema estructural.

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o determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de

apoyos.

o realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas

internas con un plano perpendicular al eje del elemento.

o las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos

porciones obtenidas por el corte.

Figura1. Fuerza cortante y momento flector.

b) Fuerza cortante

Definición:

Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la

fuerza V, que actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante

es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada

en el lado izquierdo.

Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende

del punto donde se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es

conveniente representarla gráficamente por diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el

diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el cual se indica en la

Figura 4.

V=∑ F vertizq……………………… (1)

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Convenio de signos:

Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porción de la izquierda es igual pero de

sentido contrario a la suma de las fuerzas de la porción de la derecha, para indicar cuando

el valor de V es positivo o negativo, en la figura 2 se señala el convenio empleado según

la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento.

Figura 2. Convenio de signos de V.

c) Momento flector

Definición:

Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un

equilibrio en los momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la

viga en el segmento analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la

magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la sección de corte, producidos por

las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda.

Así como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el

Diagrama de Momento Flector (DMF).

M=∑ M izq=∑ F izq dF sec …………………… ..(2)

Convenio de signos:

El convenio más extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad

hacia arriba, tal como lo indica la figura 3.

Figura 3. Convenio de signos de M.

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Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas.

5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Dentro del método de solución para hallar la deformación de una viga nos centraremos en

dos situaciones:

Para una viga con carga uniforme distribuida, para la cual primero graficamos la

variación de las fuerzas internas

Un solo tramo típico (0≤ x≤ L)

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Entonces tenemos:

N=0

V +WL2−Wx=0 → V=Wx−W

L2

M +Wxx2−W

L2

x=0 → M=WL2

x−Wx2

2

Y el Diagrama es el siguiente:

Nótese que M max ocurre en la sección donde la fuerza cortante es nula.

Entonces podemos observar que la sustitución de cargas distribuidas por su resultante es

significativa únicamente para el diagrama de cuerpo libre sobre el cual actúa las fuerzas

distribuidas. Durante la determinación de las fuerzas internas (y en el desarrollo de los

respectivos diagramas) no puede reemplazarse una carga distribuida por su resultante y

continuar con los cálculos.

Para una viga con carga linealmente creciente:

Un solo tramo típico:

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Entonces tenemos:

N=0

V−12

Wx=0 →V =12

Wx

M +12

xW13

x=0→ M =−Wx2

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Luego por semejanza de triángulos tenemos:

W =W 0

Lx

Donde las fuerzas internas son:

N=0

V=W 0 x2

2 L

M=W 0 x3

6 L

Y el diagrama de la deformación es la siguiente:

6

6. ALGORITMO COMPUTACIONAL:

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

main()

{

int w,L,v,v1,m1;

int x,m,w1,L1,x1,x0;

cout<<"CALCULO DE LA FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR"<<endl;

cout<<"PARA UNA CARGA DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE\n";

cout<<"\n Ingrese la carga aplicada la viga en KN/m: ";

cin>>w;

cout<<"Ingrese la longitud de la viga en metros(m):";

cin>>L;

cout<<"distancia entre 0 y la longitud de la viga(x<m):";

cin>>x;

If(x>L)

{

cout<<"Por favor Ingrese un valor menor a la longitud de la viga";

cin>>x0;

v=(w*x)-(w*L/2);

m=(w*L*x0)/2-(w*x0^2)/2;

cout<<"\n";

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cout<<"\n La fuerza cortante es :"<<v<<endl;

cout<<" El momento Flector es :"<<m<<endl;

}

else

{

v=(w*x)-(w*L/2);

m=(w*L*x)/2-(w*x^2)/2;

cout<<" La fuerza cortante es :"<<v<<endl;

cout<<" El momento Flector es :"<<m<<endl;

cout<<"n\n\n";

}

/*Segunda parte*/

cout<<"CALCULO DE LA FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR"<<endl;

cout<<"PARA UNA CARGA LINEALMENTE CRECIENTE\n";

cout<<"\n Ingrese la carga inicial en KN: ";

cin>>w1;

cout<<"Ingrese la longitud de la viga en metros (m):";

cin>>L1;

cout<<"distancia entre 0 y la longitud de la viga(x<m):";

cin>>x1;

v1=(w1*x1^2)/L1*2;

m1=(-w1*x^3)/L1*6;

cout<<" La fuerza cortante es :"<<v1<<endl;

cout<<" El momento Flector es :"<<m1<<endl;

getch();

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}

7. RESULTADOS:

Luego de implementar el algoritmo para hallar la deformación de una viga con carga

homogéneas en C++, obtenemos los siguientes resultados:

Así mismo para hallar la deformación de una viga con carga linealmente creciente

obtuvimos los siguientes resultados.

8. CONCLUSIONES:

Este programa al calcular la fuerza cortante y momento flector para una carga

homogénea y una carga linealmente creciente comprende la base de los distintos

métodos para calcular deformaciones de vigas de la forma hiperestática, por lo que es

un programa sencillamente útil y aprovechable.

El programa contiene pasos que no requieren cálculos avanzados de derivadas o

integraciones múltiples.

En el desarrollo e implementación del algoritmo se logro aplicar los conocimientos

aprendidos en clase.

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9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

http://es.wikipedia.org/wiki/Pendientes_y_deformaciones_en_vigas

http://www.gunt.de/static/s3630_3.php?p1=&p2=&pN

http://ict.udg.co.cu/Revista%20Ciencias%20T%C3%A9cnicas%20Agropecuarias/

revista%20electr%C3%B3nica/rcta_3_2009/body/rcta13309.htm

http://www.docstoc.com/docs/17222644/Teorema-de-los-Tres-Momentos

http://www.scribd.com/doc/2561077/Tema6FlexionDeformaciones

http://www.slideshare.net/fsalazar.umng/untitled-1422675

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