ANALISIS DE RESERVORIOS

1. INTRODUCCIÓN:

Capacidad de producción. El análisis de las características y los factores que

afectan al flujo de fluido a través del reservorio, y el sistema de tubería, nos lleva

a optimizar e incrementar la capacidad de producción, siendo esta la base para

la selección de métodos de predicción del comportamiento de flujo en todo el

sistema. (Analizando como una sola unidad).

Los reservorios pueden ser petrolíferos y gasíferos, pero nos abocaremos a los

que son de interés para nuestro análisis de acuerdo a su composición y relación

gas-petróleo. Sabemos que al viajar el fluido desde el reservorio hacia la cañería

de producción existen pérdidas de presión, debido a la resistencia al flujo que

ejercen la roca y las tuberías de producción. Estas pérdidas de presión

dependen principalmente del caudal de flujo, propiedades del fluido, propiedades

de la roca y los factores de fricción.

El ingeniero de optimización en la producción debe ser capaz de prever no sólo

el caudal de un pozo o un campo productor, si no también debe tener muy

definido el concepto de reservorio, la reserva original In-Situ, reserva

recuperable y el caudal económico de producción, relacionando las reservas

remanentes con la presión de reservorio.

La Figura 1 nos muestra un esquema de caudal versus presión fluyente en el

fondo de pozo, llamada relación del comportamiento de flujo de entrada (IPR

inflow performance relationship) la cual nos permite visualizar el caudal de

producción versus la presión de flujo.

Para calcular la caída de presión que ocurre en un reservorio, es necesario tener

una ecuación que represente este comportamiento y exprese las pérdidas de

energía o pérdidas de presión debido a las fuerzas de fricción que es una

función de velocidad o régimen de flujo. La forma de la ecuación puede ser

bastante diferente para los varios tipos de fluido, las ecuaciones básicas en

todas las formas están basadas en la ley de Darcy.

Figura 1 Curvas IPR Típicas

2. LEY DE DARCY:

Esta es simplemente una relación empírica que se derivó para el flujo de fluido a

través del filtro de arena no consolidada. Darcy, propuso una ecuación que

relaciona la velocidad aparente del fluido con el gradiente de presión dp/dx, la

cual es válida para flujo vertical, horizontal e inclinada y también demostró que la

velocidad del fluido es inversamente proporcional a la viscosidad.

Se debe tomar en cuenta que los experimentos de Darcy, fueron hechos

tomando el agua como fluido base. El filtro de arena fue saturado

completamente con agua. Ya que los filtros de arena de Darcy son de área

constante, la ecuación no calcula los cambios de la velocidad con respecto a la

posición, siendo escrita la Ley de Darcy en forma diferencial de la siguiente

manera:

v ,=−k1μ

∆ p ,

∆ x , Ec . (1)

El signo negativo se agrega porque si x’ se mide en la dirección del flujo, la

presión p’ declina en la misma dirección (gradiente de presión negativo), de esto

resulta que el signo menos debe agregarse para hacer la velocidad v’ positiva. Si

sustituimos la velocidad aparente v’ la expresión Q’= v` * A, tenemos:

Q,=−kAμ

∆ p,

∆ x , Ec .(2)

Dónde:

Q’= el caudal en cc/seg.

A = área en cm2.

∆ p,

∆ x , = Gradiente de presión en atmósfera por centímetro.

μ= Viscosidad en centipoises.

Las unidades de la constante resultante, k, son diferente dependiendo de las

unidades usadas. La ley es válida para un sistema homogéneo de flujo laminar a

valores bajos de número de Reynolds.

2.1. FLUJO LINEAL:

Para el flujo lineal, el área de flujo es constante, debiendo integrar la

ecuación de Darcy para obtener la caída de presión que ocurre en una

longitud L dada:

∫p1

p2kdpμ

=−qA∫0

L

dx Ec .(3)

Si se supone que k, μ, y q son independientes de la presión o que pueden

ser evaluados con una presión promedio del sistema, la ecuación viene a

ser:

∫p1

p2

dp=−qμkA

∫0

L

dx Ec .(4)

Integrando la ecuación da:

p2−p1=−qμkA

LEc .(5)

O

q=CkA( p1−p2)

μLEc .(6)

Donde C es un factor de conversión de unidades. El valor correcto para C es

1.0 para las unidades Darcy y 1.127*E-3 para las unidades de campo.

TABLA 4.1 Unidades de ley de Darcy

VARIABLE SÌMBOLOUNIDAD DE

DARCY

UNIDAD DE

CAMPO

Caudal de flujo q cc/seg bbl/día

permeabilidad k darcys md

Área A cm2 ft2

Presión p atm psi

viscosidad μ cp cp

Longitud L cm pies

La geometría del sistema lineal es ilustrada en la Figura 2

Figura 2 Geometría para flujo lineal

Se puede observar la ecuación 5, en un esquema de coordenadas

cartesianas de que producirá una línea recta de pendiente constante,

-q*μ/k*A. Donde la variación de la presión con la distancia es lineal.

Si el flujo de fluido es compresible, el caudal de flujo de masa ρq debe ser

constante y es expresada en términos de presión, temperatura y gravedad

específica de gas, entonces la ecuación será:

p12−p2

2=8.93 ZTμLkA

qsc Ec .(7)

Dónde:

P = psia T = ºR

μ = cp L = ft

k = md A = ft2

qsc = scf/día

Para flujo de altas velocidades en la cual existe turbulencia la ley de Darcy,

debe modificarse para calcular la caída de presión causada por la

turbulencia. Aplicando la corrección de turbulencia en la ecuación para flujo

de gas, esta viene a ser:

p12−p2

2=8.93Z μg<¿

k g Aqsc+

1.247∗10−10βZTL γ q

A2 qsc2 Ec .(8)¿

Dónde:

Z = Factor de compresibilidad del gas, obtenido a partir de T , p.

T = Temperatura de flujo, ºR.

γ g= Gravedad del gas.

qsc= caudal de flujo de gas, a 14.7 psia, 60 ºF, scf/día

μg= Viscosidad del gas, a T , p , cp.

k g= Permeabilidad del gas, md.

A = Área de flujo, ft2.

Se puede obtener una aproximación al coeficiente de velocidad β a través

de:

β=2.33 x1010

k1.2Ec .(9)

Dónde:

β = ft -1 ; k = md

2.2. FLUJO RADIAL:

Aunque el flujo lineal raramente ocurre en un reservorio, nosotros usaremos

estas ecuaciones para calcular la caída de presión a través de la formación,

siendo esta:

∆ P=Pwfs−Pwf Ec .(10)

Para flujo radial, también se puede usar la Ley de Darcy para calcular el flujo

dentro del pozo donde el fluido converge radialmente a un cilindro

relativamente pequeño. En este caso, el área abierta al flujo no es

constante, por tanto deberá incluir en la integración de la ecuación 2, la

geometría de flujo de la Figura 3, en la que se puede ver que la selección de

área abierta al flujo en cualquier radio es:

A=2πrh Ec .(11)

Definiendo el cambio en la presión con la ubicación como negativa con

respecto a la dirección de flujo, dp/dx se vuelve –dp/dr. Haciendo estas

substituciones en la ecuación 2 da:

Figura 3 flujo radial

q=k (2 rπh)

μdpdr

Ec .(12)

Dónde:

r = Distancia radial.

h = Espesor del reservorio.

2.3. FLUJO DE GAS:

El flujo de gas para un flujo radial está basado en la ley de Darcy, la cual

considera que el fluido es compresible y está basado en la ecuación de

estado real de un gas, donde el gas es medido bajo condiciones estándar de

superficie. La ecuación para un fluido monofásico la definiremos de la

siguiente forma:

La ecuación de la continuidad es:

ρ1q1=ρ2q2=constante Ec .(13)

La ecuación de estado para un gas real es:

ρ= pMZRT

Ec .(14)

El régimen de flujo para un gas es normalmente dado en algunas

condiciones Standard de presión y temperatura, Psc y Tsc, usando estas

condiciones en las ecuaciones 13 y combinando en las ecuaciones 13 y 14.

ρq=ρsc qsc

O

qpMZRT

=qsc

psc M

Zsc R T sc

Resolviendo qsc y expresando q con la ecuación 12 muestra:

qsc=pT sc

psc ZT2πrhk

μdpdr

Las variables en esta ecuación son p y r. Separando las variables e

integrando:

∫Pwf

pR

pdp=qsc psc T μZ

T sc2πkh ∫rw

r e

drr

( pR2−pwf

2 )2

=qsc psc T μ Z

T sc2πkhln ( re

rw)

O

qsc=πkhT sc ( pR

2−pwf2 )

psc T μ Z ln( re

rw)

Ec .(15)

La ecuación 15 es aplicable para cualquier grupo consistente de unidades.

En las unidades llamadas convencionales, de campo la ecuación vendrá a

ser:

qsc=703 x 10−6 kh ( pR

2−pwf2 )

T μZ ln( r e

rw)

Ec .(16)

La ecuación 16 incorpora los siguientes valores de presión y temperatura

estándar, Psc=7.14 psia y Tsc=520ºR. Modificando esta ecuación para flujo

estabilizado con presión media del reservorio:

qsc=703 x 10−6 kh ( pR

2−pwf2 )

T μ Z [ ln( r e

rw)−0.75+S]

Ec .(17)

Dónde:

qsc = Caudal de flujo de gas, Mscfd

k = Permeabilidad, md

h = Espesor de reservorio, ft

pR = Presión media del reservorio, psia

pwf = Presión fluyente en el fondo, psia.

T = Temperatura del reservorio, ºR

μ = Viscosidad, cp

Z = Factor de compresibilidad del gas

re = Radio de drenaje, ft

rw = Radio de pozo, ft

S = Factor de daño

3. REGIMEN DE FLUJO EN ESTADO ESTABLE:

Régimen de flujo en estado estable existe cuando no hay cambio de presión en

el borde externo en función al tiempo. Prácticamente, también esto significa que

el gradiente de presión se mantenga con el tiempo ver Figura 4. Que nos

muestra esquemáticamente la distribución radial de presión en torno de un pozo

productor, en régimen permanente.

Las condiciones que proporcionan el régimen permanente de presión en

determinadas áreas del reservorio son usualmente atribuidas a:

Influjo natural de agua proveniente de un acuífero capaz de mantener la

presión constante en la frontera externa del reservorio.

Inyección de agua en torno del pozo productor de modo de

contrabalancear la salida de los fluidos del reservorio.

La relación desarrollada por la ley Darcy para flujo de estado estable para un

pozo de gas natural es la ecuación 16, introduciéndose un factor de daño “s” en

la región próxima del fondo de pozo, la forma de rescribir la ecuación 17 es:

( pe2−pwf

2 )=1424q μ ZTkh (ln re

rw

+s)Ec .(18)

Esta ecuación sugiere que el régimen de producción de un pozo de gas es

aproximadamente proporcional a la diferencia de las presiones al cuadrado. Las

propiedades de μ y Z son propiedades media entre Pe y Pwf.

3.1. REGIMEN DE FLUJO DE ESTADO SEMIESTABLE:

El estado Pseudo-estable significa que la presión en el borde externo no se

mantiene, y al momento que el régimen de flujo llega a tocar las fronteras,

genera el agotamiento lo que significa que la presión en el borde externo

cae en función del caudal que sale del yacimiento y esa caída de presión se

refleja en todo el gradiente de presión en la misma manera, en otras

palabras 5 psi que caen en un día en el borde externo son 5 psi que caen en

cualquier punto del reservorio, por eso vemos esos 5 psi en un día en el

pozo. Esto hace que el gradiente de presión vaya cayendo sistemáticamente

tal como muestran en las figuras 4 y 5.

El régimen semi estable o régimen Pseudo permanente de presión,

usualmente ocurre en las siguientes situaciones:

Pozo produciendo a un caudal constante de un pequeño reservorio

cerrado.

Reservorio drenado por muchos pozos, con cada pozo aislado

hidráulicamente.

Figura 4 Distribución radial de presión en régimen permanente

Figura 5 Distribución radial de presión en régimen Pseudo permanente

Para un sistema de geometría radial representado en la Figura 3, la

condición de régimen Pseudo permanente puede ser expresado por:

δPδt

=constante

La Figura 5 ilustra las distribuciones radiales de presión en diferentes

tiempos en un reservorio cilíndrico cerrado con un pozo en el centro

produciendo a un mismo caudal volumétricamente constante.

Matemáticamente el escurrimiento del gas en régimen Pseudo permanente

o semi estable es tratado con una secuencia de régimen permanente.

( pe2−pwf

2 )=1424q μ ZTkh (ln re

rw

−0.75)Ec .(19)

Introduciendo el factor de daño incorporando el término 0.75 dentro de la

expresión logarítmica, tenemos:

( pe2−pwf

2 )=1424qμZTkh (ln 0.472 re

r w

+s)Ec .(20)

Las ecuaciones 19 y 20 no son solamente aproximaciones en términos de

propiedades, sino porque ellas asumen flujo de Darcy en el reservorio. Para

caudales de flujo de gas bastante pequeños esta aproximación es

aceptable. Una forma de presentación de la ecuación 20 es:

q=C ( pR2−pwf

2 ) Ec .(21)

Para caudales de flujo más grandes donde el flujo en Darcy es evidente en

el reservorio

q=C ( pR2−pwf

2 )n Ec .(22)

Dónde: 0.5 < n < 1

3.2. ECUACIONES PARA FLUJO RADIAL EN FUNCIÓN AL PSEUDO

POTENCIAL (PSEUDO PRESIÓN O POTENCIAL DE GAS REAL):

Otra forma de presentar las ecuaciones básicas del flujo de Darcy`s, está

expresada de la siguiente manera en base al pseudo potencial:

0.3964 khT b Zb

qb Pb T r∫Pwf

PR

( puz )dp=∫

rw

rdrr

Ec .(23)

Remplazando las constantes Tb = 520 ºR, Pb = 14.7, Zb = 1 la ecuación se

puede escribir:

( 0.703khqb T )∗2∫

Pwf

P R

( puz )dp=ln( r

rw)Ec .(24)

El termino ∫( puz )dp en la ecuación 24 puede ser escrita:

2∫Pwf

P R

( puz )dp=2∫

po

pr

( puz )dp−2∫

pw

po

( puz )dp Ec .(25)

El término anteriormente mencionado, es la expresión de Kirchhoff de la

transformación integral, y el contexto es llamado potencial del gas real que

esta usualmente representado por el m(p), de la siguiente manera:

m ( p )=∫pw

pr

( puz )dp Ec .(26)

Usando la pseudo presión de un gas real en la ecuación 24 se tiene:

( 0.703khqb T )∗m ( p )r−m ( p ) f=ln( r

rw)Ec .(27)

Si el caudal de producción está en Mpcd y la presión base en 14.7 psi y Tb

en 60 ºF se tiene la siguiente ecuación:

m ( p )r−m ( p ) f =1422∗Qg∗(T r

kh )∗ln( re

rw)Ec .(28)

3.2.1. DETERMINACIÓN DEL PSEUDO POTENCIAL M(P):

Para cualquier cálculo de potencial o pronóstico en un reservorio de

gas es necesario trabajar con los pseudo potenciales o con la presión

al cuadrado ya que el comportamiento del factor de compresibilidad y

la viscosidad del gas de 3000 a 5000 psi es errático y se tiene mucha

distorsión en este rango de presión. Por lo cual es recomendable

utilizar el pseudo potencial para evitar estas incongruencias las cuales

procederemos a calcular de la siguiente manera:

m ( p )=∫pw

pr

( puz )dp

Dónde:

m ( P1 )=2[ P1μ1Z1

+P0

μ0 Z02 ]∗( P1−P0 )+0

m ( P2 )=2[ P2μ2Z2

+P1

μ1Z12 ]∗( P2−P1 )+m ( P1 )

Para determinar el pseudo potencial se debe tener como dato la

gravedad específica del gas de la mezcla SGg, Temperatura de

Reservorio, y la presión de reservorio para darle un rango de cálculo.

3.3. CAPACIDAD DE ENTREGA DE UN POZO DE GAS CON FLUJO NO –

DARCIANO:

Una relación más precisa para un flujo estable de gas fue desarrollada por

Aronofsky e Jenkins que da la solución de la ecuación diferencial para un

flujo de gas a través de medios porosos, usando la ecuación de flujo de

Forchheimer. Esta solución es:

q=kh( pR

2−pwf2 )

1424 μZ T [ ln( r d

rw)+s+Dq]

Ec .(29)

Donde D es el coeficiente no Darciano y rd es el radio de drene efectivo de

Aronofsky y Jenkins, rd = 0.472*re. Por otro lado:

rd

rw

=1.5√t D Ec .(30)

Dónde:

tD=0.000264kt

∅ μCt rw2

Ec .(31)

tD = Tiempo requerido para estabilizar el flujo.

El término, llamado con frecuencia efecto de turbulencia se da en los pozos

de altos caudales o potencial los cuales pueden ser substanciales. El

coeficiente de turbulencia de Darcy D, está en el orden de 10-3 y para

caudales de gas se lo interpreta en términos de Dq, próximo al valor del

logaritmo natural de la relación ln rd/rw. Los valores pequeños de caudal q

resultarían proporcionalmente valores pequeños de Dq. Rescribiendo la

ecuación 29 se tiene:

( pR2−pwf

2 )=1424q μ ZTkh ( ln 0.472 r e

r w

+s)q+ 1424q μZ TDkh

q2Ec . (32 )

El primer término, de lado derecho de la ecuación 32, es idéntico al

desarrollado por Darcy. El segundo término, nos muestra el efecto de fluido

no Darciano. Todos los multiplicadores de q y q2 pueden ser considerados

constantes, por tanto la ecuación 32 puede tomar la siguiente forma:

pR2−pwf

2 =A q2+Bq Ec .(33)

El coeficiente no darciano puede ser obtenido:

D=6 x10−5 γ k s

−0.1h

μr wh perf2 Ec . (34 )

Dónde:

γ = Gravedad del gas

k s = Permeabilidad próxima al fondo de pozo, md

h = Espesor neto, ft

hperf = Espesor perforado, ft

μ = Viscosidad del gas, cp