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ANALISIS DE SISTEMAS EN EL ESPACIO DEESTADOS.

Freddy Guillen MTeoria de control III, UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

fguillenm@est.ups.edu.ec

Abstract—En el siguiente documento se especifican defini-ciones, modelamiento y cálculos de un sistema en base a suespacio de estados, así como también se especifica el cálculo yel modelamiento para el diseño del compensador bajo el mismorégimen, los cálculos se facilitaran con la ayuda del software’MATLAB’ para obtener la respuesta natural del sistema y larespuesta compensada del sistema en tiempo continuo y en tiempodiscreto.

I. INTRODUCCION.

El análisis de sistemas medianos o grandes puede volversemuy tedioso y propenso a errores debido al tamaño del sistemade ecuaciones que se necesita para describirlo y al númerode manipulaciones algebraicas requerido para encontrar unasolución a dichas ecuaciones. Por lo tanto, es necesario encon-trar otros procedimientos que permitan resolver estos sistemasde una forma mas rápida y encontrar soluciones con errorescasi nulos, entre estos procedimientos se encuentra el análisisde sistemas a través de variables de estado. Un conjunto devariables de estado es un grupo de señales en un sistema quejunto con la excitación del sistema determina por completo elestado de este mismo en cualquier tiempo futuro.[1] El ordende un sistema es igual que el numero de variables de estadonecesarias para establecer de manera única su estado, si elsistema se describe mediante una ecuación diferencial o endiferencias, su orden es el mismo que el de la ecuación. elnumero de variables de estado que requiere un sistema fija eltamaño del vector de estado y , en consecuencia, el numero dedimensiones en el espacio de estados que es justo un ejemplode un espacio vectorial, el sistema sigue una trayectoria através de ese espacio.

II. CARACTERISTICAS DE LAS VARIABLES DEESTADO.

Las variables de estado de los sistemas no son únicas. Unapersona podría elegir un conjunto y otra elegiría otro y ambospodrían ser correctos y completos. Sin embargo, en muchoscasos existe un conjunto de variables de estado que es másconveniente que cualquier otro para algunos propósitos deanálisis. [1]El análisis de las variables de estado tiene lassiguientes características:• Reduce la probabilidad de errores de análisis al hacer

sistemático el proceso.[3], [1]• Describe todas las señales importantes del sistema, tanto

internas como externas

• Ofrece información sobre la dinámica del sistema y puedeayudar a mejorar el diseño del mismo.

• Es posible formularlo a través de métodos matriciales y,cuando eso se hace, el estado del sistema y las respuestasdel mismo pueden describirse mediante dos ecuacionesmatriciales.

• Se puede combinar las técnicas de análisis de variablesde estado con las de transformación. [1]

III. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA.

Se plantea un sistema electrico en el que se tienen 3variables de estado de la siguiente forma:

A. SISTEMA.

Un sistema modelado en variables de estado tiene la formade la ecuacion 1, cuya salida tiene la forma de ecuacion 2

x = Ax+Bµ (1)

y = Cx (2)

Donde A y B son matrices cuyos valores se obtienen delsistema, la matriz C escoge la variable que se desea a lasalida del sistema. estas ecuaciones tienen su representaciónen bloques como muestra la fig. 1.

Figure 1. Diagrama de bloques de las ecuaciones de espacio de estados.

Para modelar el sistema de la fig.2, se usan las Leyesde Kirchoff las cuales nos van a dar una perspectiva de lasposibles variables de estado del sistema.

V ent = R1 ∗ i1 + L1 ∗ i1 +R2 ∗ (i1− i2) (3)

0 = R2 ∗ (i2− i1) + 1

C

ˆi2dt+ L2 ∗ i2 (4)

2

Figure 2. Sistema Electrico de tercer orden.

Las variables de estado se definen u organizan buscandola variable de estado de orden más bajo con respecto a susderivadas como muestra la tabla 1.

variable de estado formax1

´idt

x2 i

x3 didt

x4 di2

d2t

Table IIDENTIFICACION DE VARIABLES

por lo tanto para el sistema de la fig.2. se tienen 3 variablesde estado

B. PLANTEAMIENTO DE LAS VARIABLES DE ESTADO.

Tomamos la ecuación (4) como punto de partida, la ’´i2dt’

es nuestra primera variable de estado, por lo que se planteala ecuación (5) luego de esta misma ecuación se obtienela segunda variable de estado derivando a (5) quedando laecuación (6) la misma que al derivarse nos da la ecuación (7).Ahora sobre la ecuación (3) obtendremos la tercera variablede estado x3, la misma que se plantea con la ecuación (8) ya esta se la deriva obteniendo la ecuación (9)

ˆi2dt = x1 (5)

d´i2dt

dt=dx1

dt∴ i2 = x2 ∴ x1 = x2 (6)

x2 = i2 (7)

i1 = x3 (8)

i1 = x3 (9)

El siguiente paso es reemplazar estas variables obtenidas,en las ecuaciones (3) y (4) quedando las ecuaciones (10) y(11) respectivamente.

V ent = R1 ∗ x3 + L1 ∗ x3 +R2 ∗ (x3− x2) (10)

0 = R2 ∗ (x2− x3) + 1

C∗ x1 + L2 ∗ x2 (11)

Las ecuaciones (6), (10) y (11) muestran un sistema de tresecuaciones con tres incógnitas de donde se tiene que despejarlas derivadas de las variables de estado quedando de esta formalas ecuaciones (12) , (13) y (14).

x1 = x2 (12)

x2 =R2 ∗ x3L2

− R2 ∗ x2L2

−x1C

L2(13)

x3 =V ent

L1− R1 ∗ x3

L1− R2 ∗ x3

L1+R2 ∗ x2L1

(14)

En este punto se completa la ecuación matricial caracterís-tica de un sistema de 3 estados como muestra la ecuación (15),donde u es la entrada o V ent,

x = Ax+Bµ ∴

x1x2x3

= A

x1x2x3

+Bµ (15)

ahora por ultimo se reemplaza los valores quedandonos laecuacion (16).

x1x2x3

=

0 1 0− 1

C∗L2 −R2L2

R2L2

0 R2L1 −(R1+R2

L1 )

x1x2x3

+

001L1

µ(16)

y cuya salida se especifica mediante la matriz C segun lasvariables de estado propuestas en las ecuaciones anteriorescomo muestra la tabla. 2.

y = C ∗ x ∴ y =[0 1 0

] x1x2x3

variable de estado representacion

x1´i2dt

x2 i2x3 i1

Table IIREPRESENTACION DE LAS VARIABLES DE ESTADO

C. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

La matriz A lleva la información acerca de las característicascomo la estabilidad, sensibilidad, ubicación de polos y cerosetc. del sistema, por lo que se plantea la ecuación (17) dondeλ es una variable análoga a ’s’ del plano Laplace.

det |λI −A| (17)

resolviendo la ecuación (17) se obtiene lo siguiente:

3

det

∣∣∣∣∣∣λ1 0 00 1 00 0 1

− 0 1 0− 1

C∗L2 −R2L2

R2L2

0 R2L1 −(R1+R2

L1 )

∣∣∣∣∣∣ (18)

con la ayuda de MATLAB se obtiene:

codigo :syms lmd;gx = det ∗ (lmd ∗ I −A)raices = solve(gx, lmd); raices = double(raices)

de donde se observa en el Command Window de MATLABla ecuacion obtenida y sus raices :

gx = lmd3 + 3 ∗ lmd2 + 2 ∗ lmd+ 2raices =−2.5214−0.2393− 0.8579i−0.2393 + 0.8579i

la ecuacion (19) es la ecuacion caracteristica del sistema, dedonde se tiene que despejar los polos dominantes del sistemapara obtener los factores de frecuencia natural, frecuencia yfactor de amortiguamiento.

λ3 + 3λ2 + 2λ+ 2 = 0 (19)

al “factorizar la ecuacion (19)”1 obtenemos la ecuacion(20) de donde se determina la existencia de 3 polos allado izquierdo del plano (LO QUE DEMUESTRA ESTA-BILIDAD), un polo netamente real y dos polos complejosconjugados los mismos que son los polos dominantes delsistema como muestra la fig.3.

(λ+ 2.521) ∗ (λ2 + 0.4786λ+ 0.7932) = 0 (20)

Con estos datos obtenemos la frecuencia natural y el factorde amortiguamiento del sistema, especificados en las ecua-ciones 21 y 22.

ωn =√(−0.2393)2 + (0.8579)2 = 0.8906 (21)

α = ζ ∗ ωn ∴ ζ =α

ωn∴ ζ =

0.2393

0.8906∴ ζ = 0.2687

(22)

IV. MODELAMIENTO DEL SISTEMA EN’SIMULINK’ DE ’MATLAB’.

A partir de este punto vamos a simular el sistema en’simulink’ de MATLAB para estimar su respuesta ante unaseñal de entrada en particular. Para ingresar a simulink , enel ’command window’ de MATLAB se digita ’>> simulink’y se presiona ’ enter ’, luego se crea un nuevo archivoy construimos nuestro sitema como lo muestra la fig.4. y

1Se puede factorizar la ecuación (19) mediante MATLAB con el códigozpk, de la siguiente manera: ’gp=tf([1],[1 3 2 2]);zpk(gp)’

Figure 3. Raices del sistema.

cuyas graficas se encuentran en la fig.5, LAS CUALES NOSMUESTRAN UNA RESPUESTA NATURAL DEL SISTEMA(sin compensador) ante un escalon unitario, con R1,R2,L1,L2y C =1.

Figure 4. Simulacion del sistema sin control

Figure 5. Respuesta natural del sistema

V. DISEÑO DEL COMPENSADOR.

Para el diseño del compensador en régimen de espacio deestados, se prioriza el concepto de OBSERBABILIDAD y de

4

CONTROLABILIDAD, los mismos que son indispensablespara poder aplicar un compensador con éxito, luego se aplicarael controlador al sistema bajo las nuevas características im-puestas por el diseñador con su repectiva simulacion y porúltimo se analizara el concepto de OBSERVADOR con suaplicacion y la simulacion del sistema completo.

A. OBSERVABILIDAD y CONTROLABILIDAD.

El criterio de OBSERVABILIDAD se refiere a una carac-terística del sistema en donde sus variables de estado puedenser medidas desde la salida del sistema y que se define en basea la propiedad de "RANGO COMPLETO" de la matriz Poecuacion (23). El criterio de CONTROLABILIDAD se refierea una característica del sistema en donde se define si al sistemase le puede aplicar un compensador, y que también se defineen base a la propiedad de "RANGO COMPLETO" de la matrizPc ecuacion (24).A continuación se calculara el rango de la matriz Po y Pcdel sistema propuesto el mismo que se definirá con R1, R2,L1, L2 Y C =1, con la ayuda de MATLAB determinaremossi es observable y controlable, mediante el condigo ’rank’ecuaciones (25)(26).

Po =

CCA

...C ∗An−1

(23)

Pc = [B...AB

... . . ....An−1B] (24)

Po =

0 1 0−1 −1 11 1 −3

; rank(Po) = 3 (25)

Pc =

0 0 10 1 −31 −2 5

; rank(Pc) = 3 (26)

para definir si un sistema es controlable y observable, elrango de la matriz Po y Pc tiene que ser diferente de 0, porlo tanto nuestro sistema con R1, R2, L1, L2 Y C =1 si escontrolable y observable.

B. COMPENSADOR.

El COMPENSADOR es un bloque mas aplicado a nuestrosistema el cual recoge información de las variables de estadoy las multiplica por una constante impuesta por el diseñadorpara una respuesta deseada del sistema . En la fig.6. podemosver el esquema del sistema con compensador.

C. CALCULO DE LA CONSTANTE Ka DEL COMPEN-SADOR.

Para obtener un valor de la constante Ka del compensadorse necesita definir los nuevos polos o condiciones por dondese necesita que el sistema responda, por lo tanto nos referimosa la fig.3 de donde se obtuvo la frecuencia natural y el factorde amortiguamiento, el mismo que nos sirve para calcular el

Figure 6. Esquema del sistema con

máximo sobresalto del sistema, ecuación(27), que es del 41% yel tiempo de establecimiento (ecuación 28) que es de 12.5363s.

Mp = e−ζπ√1−ζ2 = 0.416289 (27)

ts =3

ζ ∗ ωn∴ ts = 12.5363 (28)

Se impone un máximo sobresalto del 15% y un tiempo deestablecimiento del 50% del tiempo de establecimiento natural(50% de 12 = 6seg), por lo tanto al factor de amortiguamientonatural le incrementamos un 60% de su valor natural paraobtener un Mp% menor al 15%, (ecuación 29) y en basea la (ecuación 28) despejamos la nueva frecuencia natural(ecuacion 30).

nuevoζ = ζ∗0.60+ζ = 0.52 ∴Mp = e−0.520361π√1−0.5203612 = 0.147436

(29)

ωn =3

ζ ∗ ts∴ ts =

3

0.52 ∗ 6= 0.9608 (30)

Ahora con estos datos se obtienen los nuevos polos paracalcular la constante del compensador de la siguiente forma:

α = ωnζ = 0.9608 ∗ 0.520361 = 0.5 (31)

ωn =√α2 + ω2 ∴ ω =

√ω2n − α2 ∴ ω =

√0.96082 − 0.52 = 0.820449

(32)por lo tanto nuestras nuevas raices son:

−α± ω ∴ −0.5± i 0.820449 y − 3.5 (33)

y un polo real en -3.5.la ley de control es: µ = −kxquedando las siguientes

ecuaciones :

x = Ax+Bµ (34)

reemplazando µ−kx =⇒ x = Ax+B(−kx) ∴ x = (A−Bk)x(35)

5

siendo (A−Bk) una Aequivalente o testeada, y se obtienela ecuación característica (ecuación 36) de donde se obtienelos valores del vector k del compensador.

(det∣∣∣λI − A∣∣∣) ∴ (det |λI −A+B ∗ k|) (36)

λ 0 00 λ 00 0 λ

−

0 1 0− 1

C∗L2 −R2L2

R2L2

0 R2L1 −(R1+R2

L1 )

+ 0

01L1

[k1 k2 k3]

(37)para nuestro sistema se utiliza R1, R2, L1, L2 y C = 1 y

obtenemos:

det

∣∣∣∣∣∣λ 0 00 λ 00 0 λ

−

0 1 0−1 −1 10 1 −2

+

0 0 00 0 0k1 k2 k3

∣∣∣∣∣∣(38)

resolvemos este sistema y obtenemos los valores de k1k2 y k3; pero con la ayuda de Matlab y el comando “>>acker” podemos simplificar este procedimiento de la siguientemanera:

codigo :acker(A,B, raices);

donde “raices” son las raíces propuestas por el diseñadorpara alcanzar las caracteristicas deseadas de respuesta, eneste caso la ecuacion 33 muestra las raices deseadas.

codigo :acker(A,B, [−3.5,−0.5 − j ∗ 0.8204449,−0.5 + j ∗

0.8204449]);

el cual nos entrega este vector de constantes Ka:

Ka = [−0.2690 0.9231 1.5000];

D. SIMULACION DEL SISTEMA COMPENSADO.

Si la variable escogida para la salida en la matriz C es lacorriente i2, debido a la naturaleza del sistema por la accióndel condensador esta se tiene que estabilizarse en 0, comoobservamos en la fig.8 y en la fig.7 se observa el esquemasimulado.

Figure 7. ESQUEMA DE SIMULACION DEL SISTEMA COMPENSADO.

Figure 8. GRAFICAS DEL SISTEMA COMPENSADO

se hará una comparación con la respuesta natural del sistemay la respuesta compensada en base a la fig.9.

Figure 9. COMPARACION DE LAS RESPUESTAS.

según la fig.9 se puede observar claramente una reduccióndel máximo sobresalto y del tiempo de establecimiento.

VI. OBSERVADOR.En la fig.7 se muestra un esquema del sistema compensado

pero inaplicable físicamente ya que implicaría desarmar laplanta del sistema para conseguir llegar a las variables deestado del sistema y es por eso que se aplica el conceptode OBSERVADOR, el cual es una simulación de la planta yque permite estimar las variables de estado y cuyo esquemase encuentra en la fig.10. en el cual el valor de las constantesKe se calcula con MATLAB mediante el codigo acker y cuyasraices a usar son “Ka” pero multiplicado por una ganancia de5 a 10, y cuya respuesta se encuentra en la fig.11.

VII. DIGITALIZACIÓN DEL SISTEMA.Para la digitalización del sistema vamos a necesitar la

función de transferencia en el plano s, en este caso es

6

Figure 10. ESQUEMA SISTEMA COMPENSADO CON OBSERVADOR

Figure 11. RESPUESTA DEL SISTEMA COMPENSADO CON OBSER-VADOR

"ecuación(39)" y con la ayuda de matlab vamos a digitalizarel mismo:

s

s3 + 3s2 + 2s+ 2=

i2

V i(s)(39)

el denominador de la función de transferencia coincide conla ecuación 19 y ahora se procede a digitalizar el sistema conel comandocodigo :ss(tf([num], [den]))

sys = ss(tf([1 0], [1 3 2 2]))

opt = c2dOptions(′Method′,′ tustin′,′ FractDelayApproxOrder′, 3);

Figure 12. Resultados de la Digitalizacion del Sistema

Figure 13. sistema controlado digital

sysd1 = c2d(sys, 0.5, opt)aplicamos “s2z” para mapear las raices calculadas para eldiseño en el plano z

obteniendo la siguiente respuesta de matlab fig.12.

Entonces en nuestras simulaciones se cambian los inte-gradores de tiempo continuo por los de tiempo discreto comomuestran la figura (13) y cuyas simulaciones estan en lafigura(14) con un periodo de muestreo de 0.5.

7

Figure 14. respuesta del sistema digitalizado con periodo de muestreo de0.5

VIII. CONCLUSIONES.

El análisis en espacio de estados es una herramienta máspara el diseño de compensadores para sistemas lineales y nolineales.

El análisis en espacio de estados también es aplicable enel dominio del tiempo discreto.

El observador es una simulación de la planta donde sepuede obtener información estimada de las variables de estado.

MATLAB es una herramienta primordial para el cálculo enespacio de estados.Existe relación exacta entre la ecuación característica en elplano s y en espacio de estados por lo que se puede aplicar elmismo principio para el cálculo de compensadores.

REFERENCES

[1] M.J. Roberts, SEÑALES Y SISTEMAS, análisis mediante métodos detransformada y MATLAB, McGraw Hill, 2001.

[2] Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, 1980, p. 201.[3] Katsuhico Ogata, SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO,

Prentice Hall, 2da edicion, 1996