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Analisis de sistemas decontrol en el espacio de
estados
Cuevas, Hernández, Valderrama
Indice• Representación de Funciones de transferencia en el Espacio de
Estados– Representaciones canónicas en el espacio de estados
• Forma Canónica controlable• Forma Canónica Observable• Forma Canónica Diagonal• Forma Canónica de Jordan
– Eigenvalores de una matriz A de nxn– Diagonalización de una matriz de nxn– Invarianza de EigenValores– No-unicidad de un conjunto de variables de estado
• Solución de una ecuación de estado invarante en el tiempo– Solución de ecuaciones de estado homogéneas– Matriz Exponencial– Acercamiento por la transformada de Laplace para la solución de una
ecuación de estado homogénea– Matriz de transición de estado– Propiedades de la matriz de transición de estado– Solución de ecuaciones de estado no homog éneas– Acercamiento por la transformada de Laplace para la solución de una
ecuación de estado no homogénea
Un sistema cualquiera sepuede representar asi:
Forma canónica controlable
Forma canónica observable
Forma canónica diagonal
Forma canónica de Jordan
Ejemplo de representaciones
Forma canónica controlable
Sea:
Representese en espacio de estados en la forma canónicacontrolable, observable y de Jordan
Forma canónica observable
Forma canónica diagonal
Eigenvalores de una matriz Ade nxn
Los eigenvalores son las raices de la siguienteecuación característica
Por ejemplo, considerese:
Los eigenvalores son entonces -1, -2 y -3
Diagonalización de una matriznxn
Sea una matriz con eigenvalores distintos:
La transformación x=Pz, donde P es
Donde λn son distintos eigenvalores de A
Transformará P-1AP en la matriz diagonal:
EjemploConsiderese la siguiente representacion en espacio de estado de un sistema
Donde:
o de forma estándar:
Los eigenvalores de A son:
Se tienen pues tres eigenvalores distintos. Si se define una variable de estado zmediante la transformacion:
donde:
entonces al sustituir en la ecuacion de espacios de estados original se tiene:
y al multiplicar por P-1
simplificando da
La ecuación de salida se modifica asi:
Invarianza de Eigenvalores
Para comprobar que los eigenvalores son identicos aun despues de unatransformacion lineal se demostrará que se mantiene la relacion:
=
Puesto que la determinante de un producto es el producto de lasdeterminantes, se tiene:
La no unicidad de un conjuntode variables de estado
Se comprobará que un conjunto de variables de estado no es unico para un sistemadado. Sean x1, x2, …, x3 un conjunto de variables de estado. Entonces se pueden tomarcomo otro conjunto de variables de estado cualquier conjunto de funciones:
Siempre que para cada conjunto de valores corresponda un conjuntoúnico de valores x1, x2, …, xn, y viceversa. Por lo cual, si x es un vector de estado,entonces , donde
Es también un vector de estado, mientras que P sea no singular. Se puede obtener lamisma información sobre el comportamiento de un sistema de diferentes vectores deestado.
Solución de ecuación deestado homogenea
Matriz ExponencialEs convergente para cualquier tfinita, la cual la hace apropiadapara ser calculada por metodoscomputacionales
Y tiene las propiedades
Acercamiento a la solución de una ecuación deestado homogénea por medio de la
transformada de Laplace
Matriz de transición de estado
Donde es una solución de
y se verifica de la siguiente manera
La matriz detransición contienetoda la informaciónacerca delmovimiento libre delsistema quedescribe
Si los eigenvalores de la matriz de coeficientes A, entonces la matriz detransición contendrá los n exponenciales
Si la matriz A es diagonal, se tiene que
Si hay multiplicidad en los eigenvalores, si por ejemplo los eigenvalores de A son:
Entonces la matriz de transición contendrá ademas de los exponenciales
terminos como y
Propiedades de la matriz detransición de estado
Para el sistema invariante en el tiempo
para el cual
se tienen las siguientes propiedades
EjemploSea un sistema descrito por la ecuación de estado descrita por la matriz
Obtengase la matriz de transición de estado y su inversa
Puesto que
La matriz de transición esta dada por:
Para este sistema:
la inversa de sI-A esta dada por
Por lo cual
Puesto que
Solución de una ecuación deestado no homogénea
Considerando elcaso escalar
Considerando el caso para la ecuación de estado no homogenea descrita por:
Empleo de la transformada de Laplacepara la solución de una ecuación de
estado no homogénea
EjemploObtener la respuesta en el tiempo del siguiente sistema
Donde u es el escalón unitario que ocurre en t=0
Para este sistema se tiene que:
Se había obtenido previamente la matriz de transición para este sistema:
Asumiendo la condición inicial x(0) = 0, se tiene: