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ANALISIS DIMENSIONAL Y

SIMILITUD FSICA

Mecnica de Fluidos

Eymard H. Blanco F.

UPB 2015 - II

ANALISIS DIMENSIONAL Y

SIMILITUD FSICA CONTENIDO

Introduccin

Qu es un parmetro adimensional?

Naturaleza adimensional del flujo fluido

El teorema de Pi de Buckingham

Cmo agrupar las variables de proceso en grupos adimensionales?

Significado fsico de los parmetros adimensionales

Similitud

INTRODUCCIN

En la mecnica de los fluidos es posible obtener importantes resultados a partir de un enfoque dimensional del flujo fluido.

La caracterizacin de cualquier problema mediante grupos adimensionales, se lleva cabo mediante un mtodo

denominado anlisis dimensional.

El uso de la tcnica de anlisis dimensional adquiere relevancia sobre todo en la planificacin de experimentos y

presentacin de resultados en forma compacta, sin embargo

se utiliza con frecuencia en estudios de tipo terico.

Esencialmente, el anlisis dimensional es una tcnica que permite reducir el nmero y complejidad de las variables que

intervienen en la descripcin de un fenmeno fsico dado.

INTRODUCCIN Por otra parte el anlisis dimensional permite relacionar los datos

medidos en un modelo experimental con la informacin requerida

para el diseo de un prototipo a escala real. Al proporcionar las

leyes de escala correspondientes, cuyo componente principal es la

similitud geomtrica y la igualdad de los parmetros adimensionales

que caracterizan el objeto de estudio, entre modelo y prototipo.

Sin embargo debe quedar claro que la tcnica del anlisis dimensional no puede predecir qu variables son importantes ni

permite explicar el mecanismo involucrado en el proceso fsico. Si

no es con ayuda de las pruebas experimentales. Pese a ello

constituye una valiosa herramienta para el ingeniero mecnico.

En este captulo se muestran medios de evaluacin de los parmetros adimensionales y ciertos aspectos de similitud para

predecir el comportamiento de flujo de un equipo en base a los

resultados experimentales obtenidos de modelos a escala de

laboratorio.

Qu es un parmetro

adimensional? Si se considera la ecuacin de la viscosidad

cuya expresin dimensional equivalente es:

Ahora si agrupamos todas las variables implicadas en la ecuacin, en un solo miembro, por ejemplo en el segundo, se obtiene:

dv

dy

1

2 2 2

M M LT M M

LT Ls L LT LT

1

dv

dy

Qu es un parmetro

adimensional? La expresin dimensional resultante, de esta nueva expresin ser:

Se ve que las variables u, t, dv/dy, agrupadas en la forma indicada tienen una expresin dimensional equivalente es 1. Se dice en estos casos que el

grupo es adimensional.

Entonces se puede decir, en general, que un parmetro adimensional es un grupo de variables agrupadas de tal forma que su expresin dimensional

mas simple es 1. Es decir que no tiene dimensiones.

En la mecnica de los fluidos estos grupos adimensionales tienen, por lo general, un significado fsico.

2

2

1 1

M

LTM

LT

Naturaleza adimensional del

flujo fluido El principio de homogeneidad dimensional establece que cada termino -grupo

de variables - de una ecuacin analtica que expresa un hecho fsico real, debe

satisfacerse en cualquier sistema de unidades o lo que es lo mismo debe ser

consistente dimensionalmente. As por ejemplo, la ecuacin de Bernoulli:

tiene la siguiente expresin dimensional para cada uno de sus trminos

Ahora si dividimos ambos miembros de la ecuacin (1) entre la presin, se

tiene:

2

2

vgz p C

g

2 2 2 2

M M M M

LT LT LT LT

EC. 1

EC. 2

2

12

v gz C

gp p p

EC. 3


flujo fluido cuya expresin dimensional es

Es decir que cada uno de los trminos grupos de variables- de la ecuacin resultante (3), carecen de dimensiones, dicho de otro modo son

adimensionales.

De lo anterior podemos sacar dos conclusiones:

Es posible generar, a partir del conjunto de variables implicadas en un

fenmeno fsico dado, un conjunto de grupos adimensionales.

Cuando se conoce la ecuacin analtica que relaciona las variables que intervienen en un fenmeno fsico dado, se pueden obtener parmetros

adimensionales a partir de la misma.

2 2 2

2 2 2

1

M M M

LT LT LTM M M

LT LT LT

Que pasa cuando no se conoce la relacin entre las

variables que intervienen en el fenmeno fsico en

cuestin?

Es posible generar un conjunto de grupos adimensionales a partir de

las variables del problema objeto de estudio, mediante un

procedimiento llamado anlisis dimensional.

Es posible mediante esta tcnica determinar la relacin entre estos

grupos adimensionales?


flujo fluido


flujo fluido

El anlisis dimensional permite determinar solamente los grupos adimensionales que caracterizan el problema, ms no la relacin

funcional entre estos.

Para ello deber necesariamente planificarse un estudio experimental que complemente el anlisis dimensional inicial, en

esta fase de planificacin el anlisis dimensional juega un rol

importante.


flujo fluido La complejidad fenomenolgica y geomtrica de la mayor parte de los

procesos de flujo fluido hace que, frecuentemente, las ecuaciones

analticas Integrales y diferenciales- que explican los principios que rigen el flujo fluido no sean suficientes para resolver con exactitud una

situacin concreta de flujo fluido. Por ello la solucin de problemas

reales depende tanto del anlisis as como de la informacin

experimental disponible. Sin embargo, la realizacin de experimentos

implica el empleo de tiempo y dinero, parmetros que aumentan en

proporcin directa al nmero de ensayos a realizar. En este contexto la

tcnica del anlisis dimensional que permite planificar el trabajo

experimental de manera que se pueda obtener la mayor informacin

posible con un menor nmero de experimentos y por ende a un menor

costo y tiempo.


flujo fluido EJEMPLO:

Cmo determinar experimentalmente la fuerza de arrastre F sobre

una esfera lisa de dimetro D que se mueve en un medio fluido de densidad r y viscosidad con velocidad uniforme V?

SOLUCIN:

Ya que no es fcil reproducir el proceso a escala de laboratorio, lo que

se hace en este tipo de problemas es invertir el movimiento, es decir:

impulsar una corriente fluida uniforme sobre un cuerpo esfrico

estacionario, utilizando para ello un tnel de viento.

Si se supone que la fuerza de arrastre F depende de la densidad y

viscosidad del fluido; as como de la velocidad de la corriente y del

dimetro de la esfera D, se puede escribir la siguiente relacin

funcional,

Entonces se trata, entonces, de determinar la relacin funcional anterior

experimentalmente.

Una forma de planificar el trabajo experimental puede ser la siguiente:

Determinar la influencia de cada una de las cuatro variables en el valor de la fuerza de arrastre, manteniendo fijos los valores de las tres variables

restantes.

Repetir cada prueba mnimo para 10 valores distintos de la variable independiente. Valor mnimo para fines de anlisis estadstico.

El procedimiento anterior se puede explicar mejor con ayuda del siguiente

grfico,

( , , , )F f V D

Una buena alternativa es utilizar el anlisis dimensional del las variables

implicadas en el problema como paso previo a la planificacin del

experimento. Esta tcnica, como ya se mencion, permite agrupar las

variables en parmetros adimensionales y formular el problema en

trminos de la relacin funcional de estos grupos de variables. As, en este

caso se tiene slo dos parmetros adimensionales independientes, que

son:

y

Entonces se puede escribir la siguiente relacin:

La forma de la funcin f debe ser determinada experimentalmente. Este

proceso experimental exige un nmero menor de pruebas al ser necesario

solo una curva para explicar la naturaleza del proceso.

Para variar el parmetro independiente, es suficiente variar la velocidad de

la corriente de fluido. Y basta utilizar un solo fluido por ejemplo el aire, y

solo un tamao de esfera.

2 2

F

V D

VD

2 2

Ff

V D VD

El teorema de Pi de Buckingham Existe un nmero de grupos adimensionales independientes fijo para

un problema dado, y es, generalmente aunque no siempre, igual a la

diferencia entre el nmero total de variables menos el nmero de

dimensiones fundamentales. Esta forma de determinar el nmero de

grupos adimensionales se conoce con el nombre de teorema de Pi, y

establece que:

El nmero de grupos adimensionales que se utilizan para

describir una situacin fsica real que involucre a n variables es

igual a nj, donde j es el nmero de dimensiones fundamentales.

Es decir:

i = nmero de parmetros adimensionales independientes

n = nmero de variables implicadas en el problema

j = nmero de dimensiones fundamentales (rango de la matriz

dimensional)

i n j

Cmo agrupar las variables de

proceso en grupos adimensionales? Un conjunto bsico de grupos Pi debe escogerse de tal manera que sean

independientes. Pues aunque existe un nmero fijo de parmetros para cada

problema, se pueden obtener otros mediante la combinacin de los ya

establecidos aunque, por eso mismo no son independientes.

Mtodo de Buckingham

Independientemente de mtodo a utilizar es una buena prctica elaborar un

listado de las variables significativas implicadas del problema y su expresin

dimensional equivalente.

Luego es conveniente, aunque no imprescindible, determinar el nmero de

parmetros adimensionales independientes en los que se pueden agrupar estas

variables, utilizando el teorema de Pi.

En base a lo anterior se generan los grupos adimensionales utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos.

i. Mtodo algebraico.

ii. Mtodo cociente dimensional.

EJEMPLO

Determinar los grupos adimensionales formados con las variables

involucradas en el flujo de un fluido sobre un cuerpo slido de forma

esfrica. Se sabe que la fuerza ejercida sobre el cuerpo es una funcin

de la velocidad media de flujo v, densidad del fluido, viscosidad del

fluido y dimetro del cuerpo esfrico D.

Solucin

1. Lista de variables y sus dimensiones

No. VARIABLE SMBOLO DIMENSINES

1 Fuerza F ML

2 Velocidad V LT-1

3 Densidad ML-3

4 Viscosidad ML-1T-1

5 Dimetro D L

EJEMPLO

2. Dimensiones fundamentales usadas en la definicin dimensional de

las variables del problema:

3. Nmero de grupos adimensionales independientes:

i= n-j = 5-3 = 2

a) Determinacin algebraica

La variable objeto de estudio F, puede ser expresada como funcin

exponencial de las cuatro restantes. As:

No. DIMENSIN SMBOLO

1 Longitud L

2 Velocidad M

3 Tiempo T

a b c dF K D v EC. 4

EJEMPLO

La expresin dimensional es:

agrupando exponentes de la misma base, en el segundo miembro:

Igualando los exponentes de M, L y T en ambos miembros de esta

expresin se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

2 3 1 1 1( ) (ML T ) ( )a b c dMLT ML L LT

1

1 3

2

a b

a b c d

b d

2 3( )(L )( )a b a b c d b dMLT M T

EC. 5

EJEMPLO Resolviendo para a, d, c, se tiene:

sustituyendo estos valores en (4) y reagrupando:

Los parmetros adimensionales se obtiene de esta ltima expresin:

y

1

2

2

a b

d b

c b

1 2 2b b b bF K D v 1 1 1 2 2( )bF K D v D v

2 2

b

FK

V D VD

1 2 2

F

V D 1

VD

El procedimiento anterior se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Elaborar una lista de las variables influyentes implicadas en el

problema, que incluya: Variable, smbolo, dimensin

2. Seleccionar y/o identificar el conjunto de dimensiones fundamentales

que requiere el problema.

3. Elegir el conjunto de variables que se repiten (recurrente), cuyo

nmero debe ser igual al de dimensiones fundamentales necesarias,

e incluir todas las dimensiones fundamentales.

4. Establecer las ecuaciones dimensionales para las dimensiones

fundamentales, a partir de las variables del conjunto recurrente y sus

expresiones dimensionales equivalentes.

5. Obtener los grupos adimensionales tomando como base el cociente

de las variables que no forman parte del conjunto recurrente entre

sus dimensiones. Y combinando la expresin dimensional resultante

con las expresiones dimensionales obtenidas en el paso 4.

6. Comprobar que efectivamente todos los grupos obtenidos son

adimensionales

EJEMPLO Determinar los grupos adimensionales formados con las variables

involucradas en el flujo viscoso incompresible de un fluido en el interior

de un tubo horizontal. Se sabe que la cada de presin por efecto de la

viscosidad, es funcin de la velocidad media de flujo, densidad del

fluido, viscosidad del fluido, dimetro tubo D, longitud del tramo

considerado del tubo L, y la rugosidad de la pared interna del tubo, e.

Solucin:

Lista de variables implicadas en el proceso y sus dimensiones

EJEMPLO

Dimensiones fundamentales usadas en la definicin dimensional de las

variables del problema:

Nmero de grupos adimensionales independientes:

i= n-j = 7-3 = 4

Variables del conjunto recurrente:

Con base en las variables del conjunto anterior se pueden escribir las

siguientes expresiones para las dimensiones fundamentales:

EJEMPLO

Ahora, tomando como base cada una de las variables que no se

repiten y las equivalencias dimensionales de la ltima tabla, se forman

los cuatro parmetros adimensionales. As:

Se divide cada variable entre su representacin dimensional, para la

presin se tiene:

luego se sustituye las dimensiones bsicas por sus equivalencias

obtenidas.

Para la viscosidad:

EJEMPLO

Para la longitud L:

Para la rugosidad e:

El parmetro Pi1, se puede escribir como funcin de los tres

parmetros restantes:

EJEMPLO

La funcin F() debe ser determinada experimentalmente. Sin embargo

en este caso la experiencia muestra que la cada de presin es

directamente proporcional a la relacin l/D, entonces se puede escribir

la siguiente relacin:

Esta ltima expresin puede ser transformada del siguiente modo:

Si se hace que:

EJEMPLO

Donde la funcin f2, es conocida como coeficiente de friccin f, y cuyo

valor debe ser determinado experimentalmente. Se obtiene as la

conocida formula de Darcy para el calculo de la cada de presin por

friccin.

Parmetros adimensionales

importantes del flujo fluido. En la mecnica de fluidos los parmetros adimensionales se definen

exactamente y a cada uno de ellos se les da un nombre. Hay grupos

adimensionales que se presentan en casi todos los problemas de flujo

fluido y tienen significado fsico, por lo que son ordinariamente

estudiados para caracterizar el flujo.

Las siguientes variables son relevantes en los procesos de flujo fluido:

No. VARIABLE SMBOLO DIMENSINES

1 Viscosidad ML-1T-1

2 Densidad ML-3

3 Tensin superficial MT-2

4 Variacin de la presin P ML-1T-2

5 Velocidad V LT-1

6 Velocidad del sonido C LT-1

7 Longitud L L

8 Aceleracin de la gravedad g LT-2

Parmetros adimensionales

importantes del flujo fluido. Tomando como base estas variables se forman los siguientes

parmetros adimensionales, importantes en la mecnica de fluidos:

Significado fsico de los

parmetros adimensionales Como ya se mencion, los parmetros adimensionales, importantes de

la mecnica de los fluidos tienen significado fsico:

Tarea:

Describa la expresin y el significado fsico de cada uno de los

parmetros mostrados en la diapositiva anterior.

SIMILITUD

En el diseo y prueba de equipos relacionados con el flujo de fluidos se suele

construir modelos a escala de laboratorio, geomtricamente similares a los

prototipos. Los datos experimentales obtenidos con estos modelos se aplican

al diseo de los prototipos de tamao real en funcin de requisitos de

similaridad geomtrica, cinemtica y dinmica.

Consideremos cualquier problema de flujo fluido, por ejemplo, el flujo sobre un

objeto esfrico. Las propiedades y configuracin del flujo estn determinadas

por la forma geomtrica del objeto y las propiedades pertinentes del fluido. Se

dice entonces que dos flujos son similares si son geomtricamente similares y

si todos los parmetros adimensionales correspondientes son los mismos para

los dos flujos.

Consideremos ahora un modelo y un prototipo. Cmo podemos relacionar las

medidas hechas en el modelo con el prototipo? La respuesta es: haciendo que

sean geomtricamente semejantes y que los parmetros adimensionales sean

los mismos.

SIMILITUD El significado de flujo semejante y correlacin entre modelo y prototipo se

puede entender considerando la forma adimensional de las ecuaciones

gobernantes. Es claro que si todas las ecuaciones diferenciales

correspondientes se hacen adimensionales, el tamao del objeto no entra en

consideracin si la forma es geomtricamente semejante. Sin embargo los

parmetros adimensionales deben ser necesariamente iguales en ambos

casos.

Estos parmetros dependen de las propiedades del fluido y de una dimensin

fsica caracterstica del objeto. Por tanto, las ecuaciones diferenciales descritas

son idnticas para el modelo y prototipo. Se pueden hacer entonces medidas

de cualquier variable adimensional del modelo y esta tendr el mismo valor

para el prototipo y al convertir a la forma dimensional los datos tomados en el

modelo pueden ser relacionados directamente con el prototipo.

Se puede decir entonces: dos flujos son similares si los parmetros y variables

adimensionales son los mismos sin importar el tamao de la configuracin

geomtrica del flujo, si se mantiene una semejanza geomtrica.

SIMILITUD

TAREA:

Desarrollar los siguientes aspectos:

Semejanza geomtrica

Semejanza cinemtica

Semejanza dinmica

Relacin entre anlisis dimensional y similitud

Obtencin de parmetros adimensionales a partir de las ecuaciones diferenciales del flujo fluido.

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