AnalisisSistemasLTI

Eines matemàtiques per a la enginyeria

Eines Matemàtiques per a la

Enginyeria

Análisis de sistemas LTI


Índice

• Objetivos

• Representación de señales continuas

• La integral de convolución

• Descripción de sistemas LTI

• Sistemas LTI causales y ecuaciones diferenciales

– Ejemplo

• Interconexión de sistemas

• Apunte introductorio al análisis de Fourier

• Take home messages


Objetivos

• Analizar los sistemas LTI

• Introducir la integral de convolución como método de descripción de sistemas LTI

• Concepto de respuesta impulsiva

• Porque un escalón también es una señal válida para el test de sistemas LTI

• Porque las señales sinusoidales son señales válidas para el test de sistemas LTI


Nota introductoria

• Puntilismo – Estilo pictórico derivado

del impresionismo que se caracteriza por emplear puntos de colores puros, en vez de pinceladas sobre la tela.

– Los objetos se componen de objetos básicos (puntos de colores)

Clima Gris, Seurat (1888)


Representación de una señal

• Representación de una señal continua mediante impulsos (t) – Consideremos una aproximación a una señal mediante pulsos retrasados

definidos así:

valorotropara0

t0para1

)t(

- 0 2 3

x(t) x(t)

·)kt()·k(x)t(x̂k

Dado que ·(t) tiene amplitud unidad:

- 0 2 3

x(t) x(t)

Cuanto mas pequeño sea , mejor es la aproximación hacia x(t) En el límite:

)·kt()·k(xlim)t(x0


Representación de una señal

• Cuando 0, el sumatorio se convierte en una integral, k· pasa a ser un instante temporal , y se convierte en un diferencial de tiempo d

• Además, el límite de (t) cuando 0 es la función impulso unitario (t)

• En consecuencia:

d)·t()·(x)t(x


La integral de convolución

• Respuesta al impulso unitario continuo

– La señal puede verse como la suma de versiones escaladas y desplazadas de la señal básica (t)

– Si el sistema es lineal, y si hk(t) es la respuesta del sistema cuando la señal de entrada es (t-k),

entonces la salida y(t) tiene que ser la misma versión escalada pero sobre la señal hk(t)

x(t)

- 0 2 3

x(t)

·)kt()·k(x)t(x̂k

·)t(h)·k(x)t(yk

k

Lineal (t- k) hk(t)



Respuestas de un sistema a diferentes pulsos ponderados de la expresión para Si el sistema es lineal, la salida del sistema es la superposición de todas las respuestas

·)kt()·k(x)t(x̂k

·)t(h)·k(x)t(yk

k

x(t)



• Igual que en el caso anterior, cuando 0, la señal tiende a x(t)

• En consecuencia la respuesta del sistema a (es decir ), debe converger a y(t)

• Si el límite de (t-k) cuando 0 es el impulso unitario (t-), la respuesta al pulso (t-k) (es decir ), se convierte en una respuesta al impulso (t-), que notamos como h(t)

x(t)

x(t) y(t)

hk(t)

d)t(h)(x)t(y

)·t(h)·k(xlim)t(yk

k0



• Si además de ser lineal, el sistema es invariante en el tiempo entonces, h(t) = h(t-): es decir la respuesta del sistema a un impulso desplazado (t-) es la respuesta al impulso (t) (notada como h(t)), desplazada igualmente

• Sistema lineal

• Sistema lineal e invariante en el tiempo

(t-) h(t)

(t-) h(t- )

d)t()(x

d)t(h)(x

d)t()(x

d)t(h)(x



• En definitiva si h(t) es la respuesta al impulso unitario en un sistema LTI, la señal de salida del sistema y(t) y la señal de entrada x(t) quedan relacionadas mediante la siguiente expresión:

• Esta ecuación es conocida como integral de convolución – Habitualmente, notaremos la operación de convolución con el símbolo “*”

y(t)=x(t)*h(t)

– Un sistema LTI queda completamente caracterizado por la respuesta al impulso

d)t(h)(x)t(y


Propiedades

• La operación de convolución goza de ciertas propiedades que serán útiles a la hora de analizar los sistemas LTI

– Propiedad conmutativa

x(t)*h(t) = h(t)*x(t)=

– Propiedad distributiva x(t)*[h1(t)+h2(t)]=x(t)*h1(t) + x(t)*h2(t)

– Propiedad asociativa

x(t)*[h1(t)*h2(t)]=[x(t)*h1(t)]*h2(t)

d)t(x)(h

h1(t)

h2(t) + y(t) x(t) h1(t)+h2(t) y(t) x(t)

h1(t) h2(t) y(t) x(t)

h1(t)*h2(t) y(t) x(t)

h2(t) h1(t) y(t) x(t)

h2(t)*h1(t) y(t) x(t)

Conmutativa


Propiedades

• Invertibilidad – Un sistema LTI continuo con respuesta impulsiva h(t) es invertible si existe

un sistema h1(t) tal que h(t)*h1(t) = (t)

• Causalidad – Un sistema LTI continuo es causal si h(t) =0 para todo t <0

• Estabilidad – Un sistema LTI es estable si su respuesta impulsiva es absolutamente

integrable

h(t) h1(t) y(t) x(t) x(t)

0

d)t(x)(hd)t(x)(h)t(y

d)(h


Descripción de un sistema LTI

• Respuesta de un sistema LTI a un escalón

• Supongamos que x(t) = u(t) y que la respuesta impulsiva de nuestro sistema en h(t)

• La respuesta s(t) a una entrada escalón es s(t) = u(t)*h(t)

• Por lo tanto, la respuesta impulsiva se puede ver como la derivada de la respuesta escalón la respuesta a un escalón también caracteriza a los sistemas LTI

t

d)(hd)t(u)(h)t(s

u(t-)=1 para t>


Representación de sistemas en el

dominio del tiempo

• La descripción de los sistemas desde el dominio del tiempo puede hacerse, básicamente, de tres maneras distintas:

– Ecuación diferencial: se aplica a sistemas lineales y no lineales, variantes o invariantes en el tiempo. Para los sistemas LTI se puede aplicar el principio de superposición para encontrar la respuesta

– Integral de convolución o respuesta al impulso: describe completamente a un sistema LTI. Si el sistema es no lineal, la integral de convolución representa una aproximación lineal al sistema.

– Variables de estado: un sistema descrito por una ecuación diferencial de orden n, puede describirse como n ecuaciones diferenciales de orden 1, llamadas ecuaciones de estado en término de n variables de estado. Para sistemas LTI, esta descripción permite utilizar métodos matriciales para resolverlos.


Representación de sistemas

• Los sistemas LTI se pueden describir con ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes.

– La ecuación diferencial representa una relación entre la entrada y la salida del sistema, pero no una expresión explícita para la salida en función de la entrada

– Para obtener una expresión explícita debemos resolver la ecuación diferencial, y para ello necesitamos de mas información (condiciones auxiliares y de contorno)

– Ya sabemos (o deberíamos saber) que la solución de una ecuación diferencial como la presentada consta de una solución natural (homogenea) y una solución particular

M

0jj

j

j

N

0ii

i

idt

)t(xdb

dt

)t(yda


Sistemas LTI y EDO

• Por otra parte una EDO lineal con coeficientes constantes, cumple con las condiciones de linealidad e invarianza en el tiempo

– DEMOSTRARLO


Sistemas LTI causales y

ecuaciones diferenciales

• Cuando un sistema está definido mediante una ecuación diferencial, debemos especificar algunas condiciones auxiliares – Diferentes condiciones auxiliares pueden conducir a diferente relación

entre la entrada y a salida

– Habitualmente se utiliza como condición la de reposo inicial

• Los sistemas LTI se modelan mediante ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes

– Para solucionar a esta ecuación hay que dar una solución homogénea y

una particular

M

0kk

k

k

N

0kk

k

kdt

)t(xdb

dt

)t(yda


Sistemas LTI causales y

ecuaciones diferenciales

• Dominio del tiempo – Circuito RC

• = RC es una medida de las características de este sistema:

– pequeña entrada y salida parecida – grande salida suaviza variaciones rápidas de la entrada

• Otros parámetros: tiempo de subida – Para sistemas de orden 2, aparecen otros parámetros como el factor de

calidad o factor de amortiguamiento

)(1

)(1)(

tvtvdt

tdvio

o

R

C

+ Vi

-

+ Vo

-

0t,ew1

Aw

)w1(

)tw·cos(A0t),twcos(A

)tw(tan,)w1(

)tw·cos(A)twcos(A

0t),e1(A0t,A

)t(vspuestaRe)t(vEntradas

/t

22

o

o

2/122

o

oo

o

1

2/122

o

oo

/t

oi

Considerando el condensador descargado (condición inicial igual a 0), las respuestas de este circuito a diferentes entradas son:


Ejemplo

• Supongamos un sistema que satisface una ecuación diferencial de primer orden: Hallar la solución para x1(t) = e3tu(t)

– Supongamos también que el sistema satisface también la condición de reposo inicial

)t(x)t(y2dt

)t(dy


Ejemplo

• Sea la entrada x2(t) = e2tu(t). Hallar y2(t)

– Procediendo de forma similar:

)t(uee4

1)t(y t2t2

2


Ejemplo

• Sea la entrada x3(t) = e3tu(t) + e2tu(t). Hallar y3(t)


Ejemplo

• En general, para la ecuación estudiada, si x1(t) y x2(t) son señales tales que

• x1(t) <0 para t < t1; x2(t) <0 para t < t2

• y1(t) es la salida para x1(t); y2(t) es la salida para x2(t)

– Para x3(t) = = x1(t) + x2(t) y3(t) = y1(t) + y2(t)

El sistema estudiado es lineal


Ejemplo

• ¿Cuál es la salida para la entrada x1(t) = Ke2tu(t)?

• ¿Cuál es la salida para la entrada x2(t) = Ke2(t-T)u(t-T)?

)t(uee4

K)t(y t2t2

1


Ejemplo

• En general sobre el sistema que estudiamos si se cumple que:

• x1(t) <0 para t < t1;

• y1(t) es la salida para x1(t);

• y2(t) es la salida para x2(t) = x1(t-T) y2(t) = y1(t-T)

El sistema es invariante en el tiempo

Conclusión: el sistema es lineal e invariante en el tiempo y, dado que satisface la condición de reposo inicial, el sistema es también causal


Ejemplo

• La conjetura de reposo inicial corresponde a una condición auxiliar evaluada en t = 0

• Para otras condiciones, el sistema puede no ser LTI

• Supongamos el mismo ejemplo

• Dada la condición y(1) = 1 veamos si el sistema es lineal e invariante en el tiempo


Ejemplo


Ejemplo


IMPORTANTE

• Bajo condiciones de reposo inicial, el sistema

es causal y LTI

M

0kk

k

k

N

0kk

k

kdt

)t(xdb

dt

)t(yda


Interconexion de sistemas

• La ecuación diferencial también puede representarse mediante diagramas de bloques, si introducimos el bloque derivador y el multiplicador por un coeficiente

• La ecuación dy(t)/dt = b·x(t) –a·y(t) se representaría así

D dx(t)/dt x(t) a x(t) a·x(t)

x(t) y(t) b/a + D

-1/a


Variables de estado

• Las ecuaciones que describen a un sistema mediante la representación en variables de estado son:

• Donde A es una matriz, b y c son vectores y D es un escalar.

• q(t) son las variables de estado

)t(Dx)t()t(y

)t(x)t()t(dt

d

cq

bAqq


Ejemplo


Ejemplo


Análisis de sistemas

• Dominio de la frecuencia – Es una alternativa para el estudio del comportamiento de los

sistemas módulo y fase • Las señales sinusoidales quedan representadas en el dominio de la

frecuencia como señales impulso

– Una señal periódica (periodo T) puede representarse como una serie ponderada de sinusoides (frecuencia k/T k = 1,2,…) Serie de Fourier

– Para periodos grandes, las frecuencias de las sinusoides de la serie se acercan. En el límite infinito aparece un espectro continuo Transformada de Fourier

Acos(2f0t+θ)

fo

A Magnitud

fo

θ Fase


Analisis de sistemas

• Función de transferencia y respuesta impulsiva

– Para encontrar la respuesta en frecuencia de un sistema en tiempo continuo (como el filtro RC), debemos aplicar señales sinusoidales en la entrada, en todas las frecuencias posibles.

– Podemos aplicar ruido blanco a la entrada identificación de sistemas

– Podemos aplicar una superposición de todas las sinusoides en una única señal en un intento tendríamos toda la respuesta. • En el límite infinito, la suma de infinitas señales sinusoidales da una

señal impulso


Analisis de sistemas

t=0

tiempo

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-1

-0.8

t=0

tiempo

100

Suma de 100 cosenos

Am

plit

ud

Am

plit

ud

La forma límite es el impulso

2

1

0

t=0

tiempo

Mediante la respuesta a un

impulso podemos estimar la

función de transferencia y la

respuesta en frecuencia de un

sistema


Take home messages

• La respuesta a un impulso caracteriza completamente a los sistemas LTI mediante la integral de convolución

• La respuesta a un escalón también caracteriza a los sistemas LTI

• Un sistema LTI también viene representado por una ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes constantes siempre que se cumpla la condición auxiliar de reposo inicial.

• Una superposición de infinitas senoides da lugar a un impulso la respuesta a una superposición de infinitas senoides caracteriza también a un sistema LTI


Take home messages

• Un enfoque útil para el análisis de sistemas consiste en las transformaciones a dominios diferentes.

• Las herramientas matemáticas que mapean las señales y sistemas en dominios diferentes son las transformadas (Fourier, Laplace y Z)

• La utilidad de las transformaciones radica en que en los dominios transformados algunas operaciones se simplifican y las interpretaciones se enriquecen.

– Por el contrario, introduce la necesitad de la transformación inversa

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