PETRUS RAMIJS (1515-1572) Y SU CONCEPCIÓN RENOVADORADE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

JOSÉ MARÍA NÚÑEZ ESPALLARGAS (*)ANDRÉS GRAU ARAU (.)

INTRODUCCIÓN

En pocas historias generales de las mate-máticas, aparece el nombre de Petrus Ra-mus. En breves párrafos y en un cuerpo deletra menor, se relaciona su vida y su obra,y se dice que sus aportaciones al campo delas matemáticas carecían de interés. Nocabe duda de que esta conclusión es esen-cialmente cierta si nos referimos a la inves-tigación de las matemáticas propiamentedicha; pero si se contempla su obra desdela didáctica de esta ciencia, entonces ca-ben matizaciones. En este trabajo nos pro-ponemos analizar la concepción ramistade las matemáticas y la de su enseñanza,para mostrar algunos notables paralelis-mos con las concepciones actuales de estajoven rama del saber que es la didáctica delas matemáticas.

UN AUTOR CONTROVERTIDO

Petrus Ramus (Pierre de La Ramée) nació en1515 en Cuth, villa de la Picardía. Alumno deJuan Sturm en París, en 1536 obtiene el gra-do de «magister artium» en el Collége de Na-varra con una controvertida tesis que prontodespertó polémicas, pues en ella defendíaque todo cuanto había dicho Aristóteles erafalso («quaecumque ab Aristotele dicta essent

comrnentitia esse»). En 1543, aparecen susobras Dialecticae partitiones, Dialecticaeinstitutiones y Aristotelicae animadversio-nes, las cuales serán motivo de denunciade los aristotélicos y de las institucionesuniversitarias, y que le supuso la prohibi-ción de impartir clases de dialéctica y filo-sofía. Hasta 1551, año en el que Enrique IIle libra de la condena y le nombra profesordel Colegio Real, Ramus se dedicará a darlecciones de retórica y de matemáticas enel colegio de Presles. Convertido al protes-tantismo en 1561, hubo de padecer los in-fortunios de la intolerancia y de las guerrasde religión (1562-1568). Los intransigentesle denunciaron y le persiguieron, y, en latriste noche de San Bartolomé (24 de agostode 1572), lo asesinaron.

El afán de Ramus fue «llegar a ser pro-fesor y nada más que profesor» (Verdonk,1968, p. 371). Su propuesta de reformaeducativa y su crítica al aristotelismo andu-vieron parejas. Según él, el fracaso del sis-tema de enseñanza vigente en la época eradebido, en gran parte, al dominio que so-bre él ejercía la filosofía peripatética; elimi-nar esta influencia o corregirla supondríatener vía libre para proponer los nuevosprogramas de docencia. Diestro conocedorde los clásicos, valora y critica su obra;

(*) Universidad de Barcelona.

Revista de Educación, núm. 318 (1999), pp. 165-173 165

iconoclasta radical le impide aceptarloscomo indiscutibles autoridades.

Las Scbolae Mathematicae nos mues-tran su amplia cultura matemática. Conoceno sólo la obra de los grandes autores,como Euclicles, Apolonio o Arquímedes,sino también la de sus epígonos y la deotras figuras menores. En 1545, sin figurarsu nombre, edita en París una versión delas proposiciones de los Elementos de Eu-clicles. Esta obra no incluía las demostra-ciones y era para uso del alumnado. En lasclases, Ramus añadía comentarios, ejem-plos y una mayor funclamentación aritmé-tica. Una segunda edición, con prefaciofirmado por nuestro autor, aparecerá en1549.

En 1555, Ramus publica la primeraversión de su Aritbnzeticae libri tres. Envida del autor, la obra fue reeditada tresveces (1557, 1562, 1569) con modificacio-nes significativas en cada ocasión; despuésde su muerte, hubo también un gran nú-mero de reimpresiones, hecho que pruebasu grado de aceptación.

De 1555 es también su Dialectique. Des-pués de diversas ediciones de este tratadode lógica, todas ellas en latín, Ramus seaventura a publicar una en lengua vulgar,hecho que no es bien visto por la mayoría delos profesores de París, defensores a ultranzade mantener el latín en las tareas académicas(Bruyére, 1984, p. 15).

En 1560, salió a la luz un tratado de ál-gebra. Ramus no puso en él su nombre. El90% cle los ejercicios había sido extraídode la Algebra compendiosa facilisque des-criptio, editada en París en 1551 por Jo-hann Scheybl. No volvió a reeditarlae,incluso, años más tarde, llega a repudiar-la por considerar esta rama de las matemá-ticas como «inútil y sin sentido» (Verdonk,1968, p. 373).

Entre el otoño cle 1568 y el verano de1570, por razones religiosas y políticas, Ra-mus se vio obligado a abandonar su cáte-dra de París. Aprovecha la ocasión paravisitar Alemania y Suiza. Allí entra en con-

tacto con teólogos de la nueva fe, maestrosen «liberales artes», profesores de matemá-ticas y artesanos. A pesar de haberla yaconcebido dos años antes, en 1569 publicaen Basilea su Geometría. También en esaciudad y en ese mismo año, aparece laScholatum matbenzaticarum libri unus ettriginta. Ambas obras rompen con la líneaclásica de los textos de matemáticas; perola última es, quizás, la que mejor repre-senta el espíritu cle Ramus y en la que po-demos percibir con mayor facilidad lasíntesis de sus estudios y experiencias enel terreno de las matemáticas. Además, enlas Scholae nzathematicae, hallamos la pri-mera historia moderna de las matemáticas,así como una apología de esta ciencia en laque, para defenderla de sus detractores yde todos aquéllos que no veían utilidad al-guna en su estudio, expone con detalle susmúltiples aplicaciones en las más diversasramas del saber y cie la técnica, y tambiénuna dura crítica a Euclicles, que le conducea un nuevo planteamiento de la enseñanzade las matemáticas. Las reimpresiones deesta obra fueron todas ellas póstumas:1573, 1599 y 1627.

Friedrich Risner publicó sus póstumosOpticae libri quatuoz; en 1572. Se trata deuna traducción al latín de un tratado deIbn Hitham (Alhazen). En ella aparece elfecundo concepto según el cual el ojo delobservador es el centro de un haz de ra-yos luminosos que intercepta en variospuntos los objetos observados, fundamen-tos de la teoría de la perspectiva, que tan-ta importancia va a tener para el arterenacentista (Loria, 1982, p. 334).

UNA OBRA CUESTIONADA

El impacto cle la obra ramista en Europa,durante los siglos XVI y XVII, es innegable.Ramus contó con numerosos seguidores, yno es del todo incorrecto, hoy, hablar, ysobretodo después cle la aparición de lamagnífica obra de André Robinet (1996),de su influencia sobre Descartes. Pero a

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partir del siglo XVIII, su figura fue dura-mente criticada desde las corrientes forma-listas de las matemáticas, hecho queprovocó su práctica caída en el olvido.

En sus Vorlesungen uber Geschicbteder Matbematik (1907), Cantor sostuvoque Ramus, a través de sus conversacionescon comerciantes y artesanos, sólo habíaconseguido descubrir una serie de propie-dades de cálculo, irrelevantes, que él pre-tendió elevar a la categoría de científicas(Hooykaas, 1958, p. 58). Un historiador dela matemática más reciente, Boyer, nosdice que «los cambios que sugería en lasmatemáticas iban en una dirección diame-tralmente opuesta a la que iba a seguir elespíritu moderno» (Boyer, 1968, p. 373);pero, para hacer justicia al ramismo, cree-mos que conviene señalar que, si bien sumetodología ofrecía a los investigadoresde las matemáticas serias dudas sobre suefectividad, proporcionaba a los profeso-res de esta materia sugerentes posibilida-des, especialmente en muchas profesionesque requerían de esta ciencia.

Ramus no se ocupó nunca de la inves-tigación matemática propiamente dicha;pero sí se interesó por el desarrollo de téc-nicas y métodos originales que hicieranmás útiles las matemáticas a las profesio-nes liberales y a los artesanos. En realidad,Ramus se presenta como un investigador otrabajador de la didáctica de las matemáti-cas, aspecto que, en su época, no se perci-bía en toda su dimensión. Su objetivo erabuscar procedimientos para facilitar y eco-nomizar los cálculos. Así, en sus tratadosaritméticos, influido por las obras orienta-les, introduce algunos procedimientos al-gorítmicos para las operaciones, como el dela sustracción iniciada por las unidades ma-yores o el de la división retrógrada, emplea-do en los textos franceses hasta principiosdel siglo XVIII (Dedron; Itard, 1978, pp. 29-31). En materias geométricas, también incor-pora procedimientos originales, como laconstrucción de un pentágono regular, ins-crito en una circunferencia, a partir de un

lado dado. No incluye demostración algu-na, y la construcción no es exacta, peroconstituye una buena aproximación parafines prácticos (Herz-Fischler, 1987, p.156). Y este criterio fue el que le llevó a su-primir, de sus programas de enseñanza, elálgebra, la trigonometría —praestantissimadoctrina, le llama—, la teoría de números yla teoría euclidiana de los cuerpos platóni-cos, materias, según él, demasiado alejadasde los problemas reales.

LA ASTRONOMÍA SIN HIPÓTESIS

Aunque no se conserva el libro que Ramusescribió sobre astronomía, pues, al pare-cer, fue destruido tras su muerte, en el sub-siguiente saqueo que sufrió su biblioteca(Waddington, 1855, p. 326), tenemos bas-tante información sobre sus conviccionesen esta materia. Afirmaba que la observa-ción y el cálculo astronómico debían pre-valecer sobre la invención de hipótesis;además, creía firmemente que éstas sóloencontraban justificación si explicaban conabsoluta precisión el movimiento de los as-tros; así, cuando esto no sucedía, se habíade prescindir totalmente de ellas, ya quesu influencia en el pensamiento científicoera un prejuicio que actuaba más comolastre que como incentivo.

En favor de esta manera de pensar, ar-güía que los antiguos mesopotámicos yegipcios, así como los griegos anteriores aEucloxo, habían sido capaces de predecireclipses sin necesidad de recurrir a ningu-na hipótesis astronómica (Ramus: Scbolaematbenzaticae, 1627, I, p. 47). La defensade estos procedimientos le llevó a ser muycrítico con los astrónomos posteriores aPlatón, quienes, buscando un modelo teó-rico «bello» que explicara los desplaza-mientos planetarios, sólo admitían en elcielo trayectorias circulares y movimientosuniformes. Observemos que la crítica noiba sólo dirigida a Ptolomeo, quien, con susistema de epiciclos y de ecuantes, presen-tó un sistema excesivamente complejo, de

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más de 70 movimientos simultáneos paralos siete cuerpos celestes conocidos a prin-cipios del siglo XVI (Holton; Roller, 1972,p.133), sino también contra Copérnico, aquien alababa por su valentía al rompercon un postulado como era el geocentris-mo, pero de cuyo modelo, a pesar de susimplicidad, hizo la objeción de que no seajustaba perfectamente a los datos obser-vados. La postura de Ramus y de sus discí-pulos fue atacada por algunos de losastrónomps de su época. Tycho Brahe sos-tuvo que Ramus no era un entendido enastronomía (Hooykaas, 1958, p. 70). El jui-cio de Brahe no andaba demasiado desen-caminado; pero, algunos años más tarde,Kepler, que, si bien no comparte la con-tundencia de las afirmaciones ramistas, re-conoce su influencia en algunos matices.En efecto, aun cuando él también constru-ye hipótesis, éstas, a diferencia de las dePtolomeo, que eran de índole exclusiva-mente matemática y regidas por los cáno-nes de belleza platónicos, son de carácterfísico, e intentan explicar -racionalmente»los movimientos planetarios. Además,cuando las consecuencias geométricas deestas hipótesis le llevan a desechar las cir-cunferencias como curvas seguidas por lastrayectorias de los planetas, sustituyéndo-las por elipses, así como a considerarmovimientos no uniformes, no hace otracosa que buscar un sistema que se ajusteexactamente a las observaciones precisasrealizadas por Tycho Brahe. Un claro re-flejo de esta influencia lo hallamos en lasreferencias a las Scholae mathematicaeque Kepler introduce en su AstronomiaNova de 1609 (Hooykaas, 1958, p. 73).

LA APOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

Es indudable el interés de Ramus por lasmatemáticas, sobre todo en lo relativo a suenseñanza y utilidad. Pero el ambiente quese respiraba en los ámbitos universitariosera, si no contrario a su enseñanza, sí prác-ticamente indiferente. Las matemáticas for-

maban parte del quadrivium; pero tantoen las universidades medievales como enlas renacentistas, su estudio siempre semantuvo en un lugar secundario, en rela-ción a las disciplinas del nivium—gramáti-ca, retórica y dialéctica—, orientadas alperfeccionamiento de la oratoria. Este esta-do de cosas explicaría hechos como elque Jacques Charpentier, enemigo decla-rado de Ramus y probable instigador de suasesinato en la noche de San Bartolomé,en 1566, tomara posesión de una cátedrade matemáticas sin tener grandes conoci-mientos de dicha materia ni ser muy duchoen lenguas clásicas.

Para reformar este estado de cosas, Ra-mus emprendió una extensa campaña encontra de esa peyorativa forma de tratar lasmatemáticas. Sus ataques se dirigían haciados frentes: a la enseñanza escolástica y,en parte, al humanismo literario. La ense-ñanza de corte escolástico se desconectó,en muchos aspectos, de los problemas realesde la vida cotidiana. La lógica, por ejemplo,pudiendo haber tenido una dimensión máspráctica, acabó siendo un mero juego desutilezas mentales. Contra aquellos quepensaban que el estudio de las artes libera-les era adverso a los principios religiosos,La Ramée insiste en el carácter divino delas ciencias; así, en sus ScholaeMathemati-cae, deja claro que en las Sagradas Escritu-ras se incita a aprender matemáticas; Diosmismo crea el mundo con razón geométri-ca; por ello, ningún teólogo podrá juzgar-las como inútiles ni condenarlas porimpías (RAMUS:Scholae mathematicae,1627, I, p. 49).

Los humanistas también fueron reaciosa la enseñanza de las matemáticas. Sentíanuna clara desconsideración hacia las artesliberales, hecho que podría atribuirse auna inconsciente y equivocada opinión,según la cual los griegos y los romanos re-chazaban todos los saberes orientados a laindustria, por considerarlos indignos dehombres libres y sólo aptos para esclavoso libertos. Precisamente, el auge alcanzado

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por las profesiones liberales a lo largo delRenacimiento provoca el interés y revalori-zación de las matemáticas y de las restan-tes artes liberales. Ramus creía firmementeque la decadencia experimentada por lasmatemáticas desde la época alejandrinaera consecuencia de su alejamiento de larealidad práctica, y que sólo con el apogeode las artes industriales y del comercio se-ría posible no sólo el reconocimiento sinotambién el desarrollo de aquélla. El maes-tro picardo admira y toma como modelo aimitar el desarrollo de las matemáticas enlos países germánicos, en donde había ob-servado, con ocasión de su viaje a esas tie-rras, la íntima relación existente entreciencias, técnicas y producción industrial.Muchos reformados habían impulsado laimpartición del quadrivium, e incluso sehabían llegado a crear cátedras específicasde matemáticas, como las de Viena y Wit-tenberg.

EL DIVORCIO ENTRE MATEMÁTICAS YREALIDAD

Hemos adelantado ya que, para nuestroautor, el germen de la decadencia de laenseñanza de las matemática se encuentracuando ésta se aleja de las necesidadesprácticas. Como buen conocedor de la his-toria de esta ciencia, afirma que el divorcioentre realidad y matemática se dio con lospitagóricos, quienes elaboraron, a partir desus especulaciones místicas, una »numero-logía absolutamente inútil» (Hooykaas,1958, p. 58). Esta tendencia se consolida, através de Platón y Aristóteles, en Euclides.Una buena muestra de la sumisión de lasmatemáticas a los elementos mágicos loconstituye la pretendida «belleza» de losnúmeros. Para Ramus, la belleza-utilidadde las matemáticas no está en los númerosni en los teoremas, sino en el empleo quede ella hacen los comerciantes y artesanos.El omnipotente sistema lógico-deductivode los Elementos de Euclides es, a los ojosde Ramus, algo inaplicable para una ense-

ñanza moderna de esa ciencia. Veamos al-gunos de los puntos en los que centra sucrítica:

• El sistema euclidiano supedita laaritmética a la geometría, lo cual conducea una complicación en los cálculos y ope-raciones. Euclides no hizo el menor inten-to de fundar la aritmética sobre una basede postulados, tal como había hecho conla geometría. Los tres libros que se dedicana la aritmética, con un total de 102 propo-siciones, se abren con un conjunto de 12definiciones, pero sin ningún postulado(Rey Pastor; Babini, 1986, p. 85). Ramusobserva, con acierto, que, en la práctica,los métodos aritméticos de cálculo elemen-tal se desarrollan independientemente delos geométricos.

• La construcción de la geometría so-bre un sistema de axiomas —(cinco postula-dos y ocho nociones previas), algunos delos cuales, como el quinto, resultan de di-fícil aceptación para la experiencia sensi-ble— no parece adaptarse al fin que habríade tener la geometría: incidir en el mundosensible.

• Para satisfacer el rigor con el que seconstruye el edificio de los Elémenta, de-terminados teoremas necesitan ser introdu-cidos, en muchas ocasiones, mezclados ydesordenados. Un ejemplo significativo deeste hecho, lo encuentra Ramus en el libroXI, que trata de la geometría del espacio yque, sin embargo, incluye una serie deproposiciones importantes sobre la geo-metría del plano. Además, muchas propo-siciones se encuentran repetidas bajodiferentes apariencias a lo largo de la obra.

• Cuando Ramus contrasta las 465proposiciones, los 93 problemas, y los 372teoremas de los Elementos con el limitadouso que de ellos puede hacerse, no deja dedenunciar su parcial esterilidad. Así, segúnél, del libro X, el más extenso y también elmás difícil, destinado a tratar el tema de losnúmeros irracionales y de los poliedros re-gulares, se puede prescindir, ya que no loconsidera aplicable en la vida real. Según

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el parecer del maestro picudo, Euclidestendría que haber introducido ejemplosprácticos para corroborar la utilidad y aplica-ción de los postulados; quizás entonces sehubiera dado cuenta de la falta de construc-ciones como la de la trisección del ángulo,de la cual, aunque no se pudiese obtener deun modo exacto, habría sido de gran utilidadpara los artesanos contar con solucionesaproximadas.

MATEMÁTICAS PARA LA ACCIÓN

A continuación, presentaremos sucintamentelas aportaciones que mejor caracterizan, anuestro juicio, la renovación de la enseñanzade las matemáticas preconizada por Ramus.Algunas de estas aportaciones tienen vigen-cia desde la perspectiva actual de la didácti-ca de las matemáticas.

CONOCER IA IDS'I'ORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Para Ramus, la lección preliminar de todaclisplina había de ser el estudio de su histo-ria. Mientras otros autores de manuales con-temporáneos se limitaban a traducir o aadaptar obras de los clásicos, Ramus intentóofrecer una panorámica global de la evolu-ción de las matemáticas con un marcado ca-rácter crítico. La divide en cuatro etapas : 1)la caldea, que va de Adán a Abraham; 2) laegipcia; 3) la griega, de Tales hasta Theon deAlejandría, que recoge sus logros más impor-tantes, así como sus errores; y 4) la de los si-glos siguientes hasta los días del propio autor.Algunas de sus interpretaciones tienen uncierto sesgo debido a su adversión hacia lasdoctrinas pitagórica y aristotélica.

EL DOMINIO DE IAS FUENTES

Su conocimiento de las fuentes clásicas lepermitió rescatar muchos datos que la crí-tica coetánea despreciaba o desconocía.Además de las obras de Euclicles, Arquíme-des o Apolonio, Ramus utiliza numerosascolecciones de problemas y de ejemplosprácticos que recupera de epígonos de

los grandes matemáticos griegos antiguos.Así, toma prestado mucho de Nicómaco,de quien, a pesar de su neopitagorismo,valora su aritmética por estar basada, fun-damentalmente, en casos prácticos y porofrecer una verdadera síntesis de los cono-cimientos que de ella tenían los griegos.Utiliza también la obra de Theon, quien, apesar de exponer las proposiciones aritmé-ticas sin demostraciones, recurre a nume-rosos ejemplos para avalarlas. No desdeñala obra cle autores más modernos, como esel caso de Boecio, que había reelaboradola aritmética de Nicómaco, ni la de suscasi contemporáneos Paccioli y Stifel. Ra-mus no nos ofrece, como era usual en laépoca, una información precisa de lasfuentes en las que ha bebido, pero susScbolae matbernaticae demuestran, porla cantidad y variedad de ejemplos yproblemas propuestos, el amplio conoci-miento que de esta ciencia poseía.

IA IMPORTANCIA DE LA LENGUA

Gran conocedor y cultivador de la lengua la-tina, Ramus no dejó, por ello, de defender eluso de la lengua vernácula en la enseñan-za universitaria, oral y escrita; él mismo es-cribió un tratado de dialéctica y uno degramática, en francés, y parece ser que im-partió también en esta lengua alguna clase.Partidario de una alternativa vulgarizadorade las ciencias, así como del aprendizaje noacadémico de técnicas, en las cuales se pre-cisaba de cálculos aritméticos y geométricos,puede sorprender que no escribiera ningunade sus obras matemáticas en lengua romance.A nuestro juicio, el motivo debe hallarse en sudeliberado propósito por difundir al máximosus propuestas por toda Europa; para ello, eluso de la lengua latina era el canal óptimo.

LAS LEYES DIALÉCTICAS Y LA CLASIFICACIÓNDE LOS CONCEPTOS MATEMÁTICOS

La primera impresión que dan los tex-tos matemáticos de Ramus, a pesar de

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las limitaciones tipográficas de la época, esla de una presentación ordenada y siste-matizada de los conceptos. Hallamos enRamus un intento por presentar los conte-nidos matemáticos con una metodologíadiferente a la estrictamente lógico-deductivade los Elementos de Euclides.

Esta metodología se fundamenta en losprincipios de la lógica. En sus primeros trata-dos lógicos, publicados desde 1543 hasta1554, La Ramée define la dialéctica (lógica)como una «virtus bene disserendi», virtud ofacultad de discurrir bien o correctamente(Ramus: Dialecticae Institutiones, 1543, p. 5).Esta virtud se compone de tres partes: «natu-ra», «doctrina» y «exercitatio» (Ramus: Dialecti-cae Institutiones, 1543, p. 1-5) . A partir de1555, la dialéctica pasará a ser definida como«ars bene disserendi», arte de discurrir bien(Ramus: Dialectique, 1555, p. 1). Con modi-ficaciones e innovaciones, Ramus expondráúnicamente lo relativo a la «doctrina». «Inven-tio» (descubrimiento de los argumentos) y«iudicium» (disposición de los mismos) cons-tituyen la «doctrina-ars». Hay tres modalida-des de juicios: enunciación, silogismo ymétodo. Para poder considerar científico unenunciado o axioma, es necesario que estecumpla con tres leyes básicas: «lex veritatis»,«lex iustitiae» y «lex sapientiae» (Ramus: Dia-lectique, 1555, p. 84).

• «Lex veritatis» o «de omni». Esta reglaobliga a obedecer únicamente aque-llas proposiciones necesarias para lacomprensión del conjunto.

• «Lex iustitiae» o «per se». Su finalidades confirmar la coherencia entre esasproposiciones. Así, en un tratado degeometría, sólo deben aparecerproposiciones o cuestiones geomé-tricas.

• «Lex sapientiae» o «de universalis».Hemos de ir de lo más general a lomás particular. En ella se funda-menta el método diaierético o mé-todo único.

Siguiendo esta vía de origen platónico,Ramus expone, en primer lugar, los princi-

pios más generales de las ciencias, parapasar luego a los más particulares. En geo-metría, parte de la noción básica de exten-sión; pero, al contrario de Euclides, quehabla de líneas, superficies y cuerpos, Ra-mus prefiere plantear una dicotomía basa-da en la distinción entre «líneas» y «loconstruido mediante líneas». Una elipse,por ejemplo, sería una línea, mientras queun sector circular entraría dentro de la ca-tegoría de lo construido por líneas. El es-quema clasificatorio dicotómico continúaen la división de las líneas en «rectas» y«no rectas». Estas últimas se subdividenen «circulares» y «en curvas»; a su vez, lascurvas admiten dos subcategorías: las«secciones de un cono» y «otras curvas», sibien estas últimas, al no tener utilidadpráctica a los ojos de Ramus, no las con-sidera objeto de su estudio. Para nuestroautor, el nivel de lo individual se alcanzaen las rectas, circunferencias y seccionesdel cono: son las denominadas «figuraeprimae». Siguiendo la otra rama, las figu-ras construidas por líneas se dividen en«superficies» y en «cuerpos». Las superfi-cies pueden ser «planas» o «abovedadas»;las primeras se subdividen en •rectas» y«curvas». Las rectas dan lugar a dos suba-partados: los «triángulos» y las «superfi-cies construidas por triángulos», es decir,los polígonos de más de tres lados (Ra-mus: Geometria, 1569). Esta estructura-ción lógica, que puede representarsemediante un sistema de llaves o en formaarborescente, y que preludia los organi-gramas modernos, fue utilizada en algu-nas enciclopedias de conocimientosgenerales del siglo XVII, como la de Als-ted, publicada en 1626.

Esta manera racional y sistemática deestructurar las ciencias llevó a Ramus adescartar la exposición lógico-deductivay a presentar un sistema descriptivo. Lasdemostraciones, prácticamente, no exis-ten: sólo se aportan comprobaciones através de numerosos ejemplos; y los teo-remas aparecen no cuando lo requería la

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vía deductiva, como ocurre en los Elemen-tos de Euclides, sino cuando se necesitan.

El método ramista, fundamentado enla razón, parece limitar el recurso al argu-mento de «autoridad». Ni Aristóteles niEuclides superan el poder de la .ratio»:única luz natural que alumbra el caminocorrecto hacia la verdad.

MATEMÁTICAS PARA LA ACCIÓN

Después de estudiar en profundidad lostextos de matemáticas, antiguos y moder-nos, acude a aquellos lugares en los quemejor se puede percibir el arte de calcu-lar. Acompañado de alumnos, recorre larue Saint Denis, habitada por ricos mer-caderes, y en donde se puede ver el ma-nejo de multitud de monedas, pesas ymedidas; también visita el Pont des Or-fevres, lugar en el que se alean distintosmetales preciosos, y las oficinas del Te-soro, donde se encuentran los artíficesde la economía del Estado. El estudio dela aritmética y de la geometría va ligadoa su aplicación; en esta interrelación dia-léctica con los problemas reales, Ramuscree que se deben hacer y enseñar lasmatemáticas; por ello, para él, el papeldel ejercicio es primordial en la enseñan-za de esta disciplina.

Ramus se amoldó perfectamente a latipología del humanista. No obstante, suvisión utilitarista de las ciencias y su re-chazo de la autoridad humana se han rela-cionado más a su conversión al calvinismoque a su humanismo. Compartimos la opi-nión de Hooykaas, según la cual Ramushabía hecho públicas sus ideas innovado-ras antes de su conversión. Ahora bien,no cabe duda de que Ramus, en el am-biente reformado, halló una mejor res-puesta a sus pretensiones. Su manera deproceder, católica o protestante, obede-cía a los principios de una sociedad mer-cantilista, cuyo fin era una alta produccióncualitativa y cuantitativa. En una sociedadliberal como la nuestra actual, en la que

se potencia una educación más práctica yútil para la vida cotidiana, la concepcionesramistas sobre las matemáticas han de re-sultarnos modernas. Por ello, si creemosen el magisterio de la historia, no pode-mos dejar de recordar, como ejemplopráctico, acertado o no, lo que supuso Ra-mus para el estudio de esa joven rama delsaber que conocemos como didáctica delas matemáticas.

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