UNIVERSIDAD CATÓLICA “ANDRÉS BELLO”ESTUDIOS DE POSTGRADOMAESTRÍA EN FILOSOFÍA

DE LA INTUICIÓN A LA ESTRUCTURA: APROXIMACIÓN ALGORÍTMICA AL MÉTODO DE LÓGICA SIMBÓLICA

PERGEÑADO POR CHARLES DOGDSON

Proyecto del Trabajo de Grado para optar al Grado de Magíster en FilosofíaMención Teoría de la Argumentación.

AUTOR: Lic. ALEJANDRO MORÓN MEDINA. TUTOR:

Caracas, de 2014

ACEPTACIÓN DEL TUTOR

Por la presente hago constar que he leído el proyecto de trabajo de gradopresentado por el ciudadano Alejandro Morón Medina, para optar al título deMagister en Filosofía, Mención Teoría de la Argumentación, cuyo título tentativoes: De la Intuición a la estructura: Aproximación algorítmica al método de lógicasimbólica pergeñado por Charles Dogdson; y que acepto asesorar al estudiante,en calidad de Tutor, durante la etapa del desarrollo de trabajo hasta supresentación y evaluación.

En la ciudad de Caracas, a los… días del mes de noviembre de 2014

Tutor: Carlos H. JorgeC.I. 6.815.652

UNIVERSIDAD CATÓLICA “ANDRÉS BELLO”ESTUDIOS DE POSTGRADOMAESTRÍA EN FILOSOFÍA

DE LA INTUICIÓN A LA ESTRUCTURA: APROXIMACIÓN ALGORÍTMICA AL MÉTODO DE LÓGICA SIMBÓLICA

PERGEÑADO POR CHARLES DOGDSON.

Proyecto del Trabajo de Grado para optar al Grado de Magíster en FilosofíaMención Teoría de la Argumentación.

Autor: Lic. Alejandro Morón MedinaTutor:

RESUMEN

El objetivo de la presente investigación es demostrar, a partir de una lecturaalgorítmica –no diagramática- de la forma simbólica en general, la incapacidad deuna lectura heurística de la forma de subíndices -en particular- para atacar demodo directo y efectivo polisilogismos hipotéticos avanzados.

HAY QUE AMPLIAR

Descriptores: Forma simbólica, forma de subíndices, eliminación, polisilogismoshipotéticos, Segunda Parte Avanzada de Lógica Simbólica, Charles LutwidgeDogdson, Lewis Carroll.

INTRODUCCIÓN

Independientemente del fundamento diagramático, Charles Dogdson –mejor

conocido como Lewis Carroll- nunca desarrolló una algorítmica para el proceso de

prueba por eliminación directa. Al contrario, acabó privilegiando una lectura

heurística de la forma de subíndices la cual reforzó con la aplicación de una

reducción al absurdo.

De hecho, el empleo de la forma de subíndices para representar -de modo

económico- lo que sucede en el diagrama cuadrangular, al transferir las

limitaciones propias de los segundos a la primera, no hace sino dificultar el

tratamiento directo y eficaz de sorites avanzados.

Empero, ni la lectura heurística es inherente a la forma de subíndices, ni la

algorítmica tiene que presentarse –de modo necesario- diagramáticamente.

En el contexto de la presente investigación, se entiende por lectura algorítmica la

asociación de la forma simbólica en general -y de la de subíndices en particular- a

la estructura matemática del álgebra de boole.

La meta de este trabajo es demostrar -mediante la anterior asociación- la

incapacidad de una lectura heurística de la forma de subíndices para atacar -de

modo directo y efectivo- polisilogismos hipotéticos avanzados.

Por ende, se mostrará que la cuestión no es la decoloración del lenguaje, como

poetizó Frege, sino la asociación de un lenguaje (L) a determinada estructura (E)

de acuerdo a la conveniencia (C) ajustada a los propósitos (P).

En ese sentido, la asociación no sólo permite cumplir cabalmente con la

eliminación general de términos medios a partir de proposiciones cualesquiera,

independientemente de su número o de la naturaleza de su conexión sino que,

además, facilita su adecuada presentación (Boole: 1958). Ciertamente, la

eliminación directa, en tanto esté justificada, es ya una prueba directa.

EL PROBLEMA

Heurística o algorítmica.

Charles Lutwige Dogdson –mejor conocido como Lewis Carroll- comenzó a

escribir su obra Lógica Simbólica alrededor de 1870. Ésta estaba proyectada en

tres secciones: Elemental, Avanzada y Trascendental.

La primera fue publicada 1896, dos años antes de su muerte. Contiene los

métodos de diagramas, subíndices, silogismos separados y subrayado.

La parte avanzada apareció por vez primera en 1977 en la edición de Lógica

Simbólica a cargo de William Warren Bartley III. Allí se expone,

fundamentalmente, el método de los árboles; y sólo tangencialmente los métodos

de premisas y grupos restringidos. Sobre la sección trascendental muy poco se

sabe.

De acuerdo con Dogdson, la aplicación del método de diagramas a pares de

proposiciones generales propuestas como premisas de un silogismo sólo ofrece

dos alternativas mutuamente excluyentes: el caso en que es posible trasladar

información del diagrama trilateral al bilateral o el caso contrario.

En el primero se trata de un silogismo, a saber, de pares de proposiciones

concluyentes. En el segundo, de una falacia, léase, de pares de proposiciones no

concluyentes.

En la parte elemental de Lógica Simbólica Dogdson emplea la forma de

subíndices para ejemplificar -de modo económico- lo que sucede en el diagrama

cuadrangular. Así, una expresión en forma de subíndices será una fórmula o una

forma en tanto represente un silogismo o una falacia, respectivamente.

El fundamento diagramático permite reducir a seis expresiones la información

necesaria para resolver -de modo efectivo y directo- silogismos y sorites

categóricos elementales, e identificar –de manera inmediata- falacias. De tal

manera, se asignan tres fórmulas para los primeros y tres formas para las

segundas1.

Al trío de fórmulas se le llama formulae, y a cada una de las fórmulas que lo

componen, figura silogística. A las meras formas se les denomina falacias. Tanto

las fórmulas como las formas se parafrasean al lenguaje de uso. Tal paráfrasis se

indica con el nombre de regla.

Las reglas de los silogismos permiten identificar los pares de proposiciones

concluyentes. Las reglas de las falacias, los pares de proposiciones que, de

acuerdo con el diagrama, llevan a ninguna conclusión.

Fórmulas y formas sirven como modelo para comparar cualquier otro par de

proposiciones de igual forma de subíndices sin necesidad de elaborar nuevamente

el diagrama cuadrangular. En las Tablas A y B se presenta el formulario.

En la introducción al capítulo II de Lógica Simbólica, el cual versa sobre problemas

en sorites, Dogdson afirma que para resolver polisilogismos categóricos de la

1 De hecho, en el capítulo IX de su obra Lógica Simbólica -titulado Mi método para tratar silogismos y sorites- Dogdson afirma: “While they have elaborately duscussed no less tan nineteen different forms of Syllogism –each with its own specialand exasperating Rules, while the whole constitutes an almost useless machine, for practical purposes, many of the Conclusions are incomplete, and many quite legitimate forms being ignored- they have limited Sorites to two forms only, of childish simplicity; and these they have dignified with special names, apparently under de impression that no other possible forms exists. As to Syllogism, I find that their nineteen forms, with about a score of others which they have ignored, can all be arranged under three forms, each with a very simple Rule of its own...” W.W.B.III (1977:250).

primera figura pueden aplicarse dos métodos alternativos: el método de silogismos

separados o el método de subrayado.

Así, una vez elaborados los diagramas y obtenidas las fórmulas respectivas, la

tarea de resolución de un polisilogismo categórico se reduce o a construir una

conclusión no ambigua -a partir de las premisas- con tan sólo aplicar

reiteradamente alguna de las fórmulas del formulario recogido en la Tabla A; o a

omitir los subíndices en la forma simbólica, marcar los eliminandos (clases

codivisionales) colocando una línea simple debajo de la primera letra y una doble

debajo de la segunda2, y escribir -como conclusión completa- las letras no

subrayadas (retinendos).

El fundamento diagramático es suficiente para tratar con pares de proposiciones

categóricas –AIEO- hasta alcanzar una conclusión no ambigua.

Empero, en la introducción a los aprendices, Dogdson escribió: “aquellos que

hayan logrado dominar la parte I y que empiezan, como Oliver, «a pedir más»,

espero proporcionarles, en la parte II, algunas nueces tolerablemente duras que

cascar, nueces que requerirán el empleo de todos los cascanueces de que

dispongan…”.

De hecho, tanto en el apéndice para profesores, como en la publicidad encartada

al inicio de su obra, afirmó:

“en la segunda parte se ampliará el radio de acción de los silogismosintroduciendo proposiciones que contengan alternativas (tales como «No todos losx son y»), proposiciones que contengan tres o más términos (tales como «todoslos ab son c»), que, unida a «algunos bc' son d» serviría como premisa paradeducir «algunos d son a»), «todos los abc son de», etcétera. Otros temas deesta parte II serán los sorites que contienen entidades y la muy compleja cuestiónde las proposiciones hipotéticas y de los dilemas”

2 W.W.B.III. (1977:138)

Pero si las fórmulas representan de modo económico lo que ocurre en el diagrama

cuadrangular, ¿qué hacer cuando toca tratar con los extensos polisilogismos

hipotéticos de la segunda parte avanzada cuyos diagramas pueden requerir más

de 2048 regiones?

En ese sentido, en el Libro XII de Lógica Simbólica Dogdson logra reforzar el

subrayado agregando una reducción al absurdo. En efecto, sólo se toma como

hipótesis la negación del agregado que, según el subrayado, es de retinendos3.

Consiguientemente, en la segunda parte el subrayado no constituye un método de

resolución alternativo, sino la expresión de una lectura heurística de la forma de

subíndices privada de su fundamento diagramático.

A diferencia de lo que ocurre en la primera parte elemental, Dogdson carece de

método directo de prueba para el tipo de polisilogismos hipotéticos propuestos en

la segunda parte avanzada.

De hecho, en sus cartas a John Cook Wilson hay evidencias de que la aplicación

del subrayado no es suficiente para determinar –por adelantado y en todos los

casos- cuáles son todos los retinendos.

3 The essential caracter of an ordinary Sorites-Problem may be described as follows. Our Data are certain Nullities,involving Attributes, some of which occur both in the positive and in the negative form, and are the Elliminands; while othersoccur in the one form only, and are the Retinends. And our Quaesitum is to anul the aggregate of the Retinends (i.e. toprove it to be a Nullity). Hitherto we have done this by a direct Process: that is, we have begun with two of the givenNullities, containing a pair of Elliminands differing only in sign (e.g. a and a’), and we have treated them as the Premisses ofa Syllogism in Fig I, and have combined them so as to form a new Nullity, not containing the Elliminands: This PartialConclusion we have them combined, in the same way, with some other given Nullity: and in this way we have proceeded,gradually turning out the Elliminands, till finally we have proved, as our Complete Conclusion, a Nullity consisting ofaggregate of Retinends. In the Method of Trees this process is reversed. Its essential feature is that it involves a Reductioad Absurdum. That is, we begin by assuming, argumenti gratia, that the aggregate of the Retiends (which we wish to proveto be a Nullity) is an Entity: from this assumption we deduce a certain result: this result we show to be absurd: and hence weinfer that our original assumption was false, i.e. that the aggregate of the Retinends is a Nullity.”

Ciertamente, el mismo Dogdson afirma que fue un gran alivio corroborar que, tras

aplicar el método de los árboles a todos los ejemplos de sorites multilaterales del

libro XII la conclusión alcanzada mediante subrayado fuese la deseada.4

En este punto es importante recordar que una cosa es averiguar si la conclusión

propuesta –de cualquier modo- es consecuente con las premisas, y, en el caso tal

de que lo sea, si es o no completa; y otra, muy distinta, averiguar qué conclusión

—si es que hay alguna— es consecuente con tales o cuales premisas.

Además, en relación con los sorites en general Dogdson afirma: Los problemas

que tendremos que resolver son de la siguiente forma: «Dadas tres o más

proposiciones de relación, que se nos proponen como premisas, averiguar qué

conclusión —si es que hay alguna— se deduce de ellas». Para sorites avanzados

agrega probar si tal conjunto de reglas es o no redundante.

Por otro lado, en el libro XIV de la obra Lógica Simbólica se proponen alrededor de

63 problemas para los cuales no hay un apéndice con respuestas y soluciones.

Tampoco se ha encontrado algún texto que los resolviera o los tratase de algún

modo.

Asimismo, tales polisilogismos hipotéticos son ostensiblemente más complicados

que los que se hallan resueltos en los libros XII y XIII. Algunos de ellos tienen

hasta 50 premisas e involucran hasta 52 letras.

Respecto de estos problemas resulta pertinente recordar que, tal y como está

escrito en los Primeros Analíticos de Aristóteles (1995), en la demostración directa

no es necesario que se conozca la conclusión por adelantado, ni que se

presuponga que es verdadera o que no; en la indirecta, en cambio, es necesario

presuponer la negación de la conclusión.

4 “I write out these nine Soriteses, and do all the underscoring, and at last reach the desired Conclusion, when I smile asatisfied smile, and lay down my pen with a sigh of relief.” W.W.B.III. (1977:317)

De hecho, la demostración directa, a diferencia del procedimiento inverso, puede

prescindir de hipótesis, y, por tanto, de cualquier heurística que las suministre.

Así, con respecto a extensos polisilogismos hipotéticos, en Lógica Simbólica

nunca se desarrolló una algorítmica de la eliminación sino que se ensayó una

mera heurística para la presentación de la prueba por eliminación cuya eficiencia

se determinó mediante continuos exámenes de consistencia. En ese sentido,

Dogdson no cuenta con una estrategia directa de eliminación.

La justificación del procedimiento indirecto está en la imposibilidad de extender

-sin complicaciones excesivas- el fundamento diagramático a los problemas de la

parte avanzada.

El objetivo de esta investigación es demostrar, a partir de una lectura algorítmica

de la forma simbólica en general, la incapacidad de una lectura heurística de la

forma de subíndices en particular para atacar -de modo directo y efectivo-

polisilogismos hipotéticos avanzados.

Se entiende por lectura algorítmica la asociación de la forma simbólica general a la

estructura matemática del álgebra de boole.

Se demostrará que la mera correlación de las fórmulas de las reglas expresadas

en forma de subíndices con la estructura algebraica garantiza la justificación de la

eliminación directa para polisilogismos hipotéticos en general.

STATUS QUAESTIONIS

William Warren Bartley III

Aunque en la introducción a su edición de Lógica Simbolica de Charles Dogdson

William Warren Bartley III enfatiza que una cosa es la obtención de una conclusión

no ambigua a partir de un conjunto dado de proposiciones generales, y otra, muy

distinta, la prueba de la validez, y critica a todos aquellos que han privado a

Dogdson de una justa lectura algebraica para menospreciarlo desde el marco de

las obras de Gottlob Frege y de Bertrand Russell, obvia que, en relación a los

extensos polisilogismos hipotéticos, el último recurso de Dogdson siempre fue la

reducción al absurdo.

Fancine Abeles

En su texto Lewis Carroll’s Formal Logic Fancine Abeles confunde la heurística

con la algorítmica cuando identifica la estrategia del subrayado con una regla de

inferencia.

En realidad, lo que puede relacionarse analógicamente con el razonamiento

deductivo automático no es la heurística sino la algorítmica, la cual implica una

asociación del lenguaje simbólico empleado –la forma de subíndices en este caso-

con una estructura matemática determinada –aquí el álgebra de boole–.

Por tanto, ni Bartley ni Abeles asoman la posibilidad de leer algorítmicamente la

forma de subíndices, antes bien, sus exposiciones, ambas incoherentes, se

ajustan a la lectura heurística propuesta por Dodgson.

Jerzy Pogonowski

En el trabajo titulado Lewis Carroll’s Resolution and Tableaux de Jerzy

Pogonowski hay una clave para leer algorítmicamente la forma de subíndices

propuesta por Charles Dogdson.

Efectivamente, allí se establece una asociación entre ésta y el álgebra de clases;

inclusive se indica que la fórmula correspondiente a la primera figura silogística de

Dogdson oficia como una regla de resolución.

Sin embargo, a pesar de haber establecido tal conexión estructural, Pogonowski

no sólo insiste en probar la validez de distintos problemas considerando, como

punto de partida, la información suministrada por la lectura heurística de la forma

de subíndices, sino que, además, cuando pretende recusar el método directo a

favor del inverso alegando que las sugerencias aportadas por el subrayado o el

registro de atributos son incapaces de determinar –por adelantado- todos los

retinendos a la hora de resolver un árbol sin contradicción, confunde –al igual que

Abeles- la aplicación de una estrategia heurística con el empleo de una regla de

inferencia.

Subrayar o realizar un registro de atributos no es equivalente a probar de modo

directo, lo cual implica la identificación de una regla de inferencia y su posterior

aplicación reiterada hasta tanto se haya construido la conclusión deseada a partir

de las premisas dadas. Ciertamente, Pogonowski no intentó una prueba directa

respecto de esos polisilogismos hipotéticos que denominó árboles sin

contradicción.

De hecho, a diferencia de la prueba de la validez, la resolución directa parte –

únicamente- de las premisas y de las operaciones propias al sistema algebraico

asociado a la forma simbólica seleccionada.

Así, su propuesta no enfrenta el problema de la obtención de la conclusión, sino

que, antes bien, se restringe a la prueba de la validez privilegiando el modo

indirecto al directo de prueba.

La omisión de la prueba directa oculta el hecho de que una vez establecida la

asociación con la estructura algebraica el tipo de polisilogismo hipotético al cual

Pogonowski denominó árbol sin contradicción, puede tratarse, mecánica y

directamente –sin registro de atributos ni subrayado-, mediante el método de

silogismos separados propuesto en la primera parte elemental de Lógica

Simbólica de Charles Dogdson.

J.D. Watson

En Complete Solutions to Dodgson's Hitherto Unsolved Example Sorites, J.D.

Watson propone soluciones directas de 8 polisilogismos hipotéticos de la segunda

parte avanzada, no obstante empleando un lenguaje de su invención denominado

Sistema Notation, empero asociado a la estructura matemática del álgebra de

boole.

Cabe destacar que, muy a pesar del título de su trabajo, en el libro XIII de la obra

Lógica Simbólica se ofrecen algunas soluciones de estos problemas mediante el

método de los árboles.

En relación a las pruebas directas de Watson, hay que decir que no se explicita,

en modo alguno, la eliminación de los eliminandos, antes bien, visualmente, en

poco se distingue del subrayado de Dogdson.

Watson interpreta la fórmula correspondiente a la primera figura silogística de

Dogdson como una instancia del silogismo hipotético la cual emplea como única

regla de resolución.

Todos, excepto Watson, se desviaron de la eliminación para corroborar si las

sugerencias del registro de atributos o del subrayado eran o no adecuadas.

Empero, Watson, pese a la asociación algebraica, no descartó el subrayado.

No es necesario transferir a la forma de subíndices las limitaciones inherentes a la

representación diagramática. Ambas formas de representación son simbólicas, y

en ese sentido, ninguna es más fundamental que otra, sino, más o menos

conveniente en relación con un ámbito determinado.

JUSTIFICACIÓN

En sentido general, esta investigación suscribe el núcleo duro del programa de

Raymundus Lullus y de Gottfried Wilhelm Leibniz de reemplazar la mera

argumentación verbal por el cálculo deductivo en una lengua característica.

Desde la perspectiva que suscribe la presente investigación, la lógica involucra

tanto el aspecto computacional de alcanzar una conclusión no ambigua a partir de

unos datos, como la prueba de la validez de razonamientos dados.

Así, tanto el modo como se ha alcanzado la conclusión -a saber cómo se ha

efectuado la computación- como la manera en que se ha presentado justificación

de la misma, deben estar gobernados por reglas.

Si el conjunto de datos es satisfacible, la demostración directa representa la

computación, de hecho, la prueba no se limita a establecer la verdad de un

enunciado fuera de toda duda, sino que, además, representa la articulación de las

razones entre sí.

La heurística es ya necesidad de algorítmica. La presente investigación mostrará

que la cuestión no es la decoloración del lenguaje sino la asociación de un

lenguaje (L) a determinada estructura (E) de acuerdo a la conveniencia (C)

ajustada a los propósitos (P).

En este sentido el significado es uso, el cual, tal y como señaló Brandom, es

esencialmente normativo.

La recusación de la lectura heurística de la forma de subíndices mediante una

lectura algorítmica de la forma simbólica en general contribuirá, además, con la

eliminación de una serie de pseudoproblemas que surgen en torno de la obra

heurística de Charles Dogdson tales como que la segunda parte avanzada es más

fundamental e importante que la primera, que es preferible tratar sorites

avanzados mediante los métodos de la segunda parte, que los árboles sin

contradicción son problemáticos.

OBJETIVOS

Objetivo general:

El objetivo general de esta investigación es demostrar, a partir de una lectura

algorítmica de la forma simbólica, la incapacidad de una lectura heurística de la

forma de subíndices para atacar -de modo directo y efectivo- polisilogismos

hipotéticos avanzados.

Objetivos específicos:

1. Asociar la forma simbólica en general a la estructura matemática delálgebra de boole.

2. Descomprimir las fórmulas en subíndices recogidas en la Tabla A en lanotación de Dogdson.

3. Establecer los modos de la forma simbólica en general.

4. Establecer los modos de presentación.

5. Establecer los modos de representación.

6. Determinar, a través de tablas de verdad, de qué tipo de expresión se trataen cada caso, si de una tautología, una contingencia o una contradicción.

7. Determinar, por medio del análisis sintáctico de las fórmulas, de qué tipo dereglas se trata, si primitivas o derivadas.

8. Resolver de modo directo el problema de las chuletas de cerdo y un árbolsin contradicción.

9. Presentar las pruebas en términos de lógica proposicional.

METODOLOGÍA

Mediante la lectura algorítmica no sólo es posible averiguar qué conclusión —si es

que hay alguna— es consecuente con las premisas aplicando las fórmulas del

formulario recogido en la Tabla A según sea el caso, sino, además, presentar la

prueba de modo explícito.

Así, metodológicamente, la asociación de la forma simbólica en general a la

estructura matemática del álgebra de boole es, a la vez, pragmáticamente, lo más

conveniente, y teóricamente, lo más fundamental.

Es lo más conveniente pues la recusación de la lectura heurística de la forma

simbólica se establece en función de su incapacidad para atacar -de modo

efectivo- el problema de la eliminación para silogismos hipotéticos avanzados.

Ciertamente, la eliminación, tal y como se contempla en Las Leyes del

Pensamiento de George Boole, no se reduce a la eliminación de un término medio

a partir de dos proposiciones, sino que abarca la eliminación general de términos

medios a partir de proposiciones cualesquiera, independientemente de su número

o de la naturaleza de su conexión.

Es lo más fundamental, no obstante, en dos sentidos. En primer lugar, la

estructura matemática del álgebra de boole es el marco conceptual último a partir

del cual se juzga.

Se entiende por marco conceptual el conjunto de reglas que definen la estructura

algebraica. De hecho, objetivamente, la prioridad en esta investigación no es

proposicional, sino estructural.

En segundo lugar, los teoremas que se siguen de las operaciones sujetas al

conjunto de reglas que se denomina álgebra de boole son necesariamente

verdaderos, negarlos es absurdo.

En ese sentido, y tal y como sugieren las investigaciones de Robert Brandom, la

función de la lógica no es representar la representación, sino, más bien, hacer

explicitas las reglas de juego mediante un vocabulario adecuado.

Incluso lo implícito es circunstancial, de hecho, no es lo mismo lo que está

implícito en la forma de subíndices asociada a los diagramas, que lo que está

implícito en relación con la estructura del álgebra de boole. Tampoco es lo mismo

resolver un polisilogismo hipotético avanzado que explicarlo.

Con miras a la realización de una lectura algorítmica de la forma simbólica se

establecerán tres modos en la misma, dos de presentación y uno de

representación.

Los modos de presentación se emplearán con propósitos explicativos. Tales son

modos extendidos. En el contexto del presente trabajo, esos modos sólo son

susceptibles de una lectura algorítmica no diagramática, pues únicamente

expresan la estructura algebraica.

La forma de subíndices es el modo de representación que se utilizará para operar.

Se interpretará como un modo comprimido que puede leerse heurísticamente o

algorítmicamente, según exprese la estructura algebraica misma o se refiera a ella

directa o indirectamente en un proceso de prueba.

Un modo está comprimido cuando los operadores se hallan parcialmente

implícitos. Un modo está extendido cuando los operadores se encuentran

completamente explícitos. Se llama proceso de descompresión a la completa

explicitación de los operadores lógicos para efectos del análisis.

La notación de Dogdson es un modo de presentación que se empleará para

explicar –descomprimir- la forma de subíndices. Cuenta con caracteres

específicos para los operadores de negación (’); conjunción (†); disyunción (§);

implicación (¶), y; equivalencia (≡).

También cuenta con un símbolo para el absurdo (○). Esta notación está

someramente explicada en el capítulo I del libro XI de Lógica Simbólica, empero

no figura bajo el rótulo “notación de Dogdson”. El título de éste capítulo es

Símbolos Lógicos.

Esta notación permitirá virar del énfasis en las clases –los operandos- al énfasis

en los operadores al asociar –de modo directo- la forma de subíndices con la

estructura matemática del álgebra de boole.

En rigor, una vez explicitados completamente los enlaces mediante la notación de

Dogdson, será posible determinar, a través de tablas de verdad, de qué tipo de

expresión se trataba en cada caso, si de una tautología, una contingencia o una

contradicción.

Una expresión es una tautología cuando es satisfecha por cualquier asignación

veritativa; es una contradicción cuando es satisfecha por ninguna asignación; y es

una contingencia cuando existe al menos una asignación que la satisfaga y otra

que no. Lo esperado es que toda fórmula de una regla sea, necesariamente, una

tautología.

De igual manera, la explicitación de los enlaces permitirá determinar, por medio

del análisis sintáctico de las fórmulas, de qué tipo de reglas se trata, si primitivas o

derivadas.

Sintácticamente, se llamará derivada a toda regla que combine una o más reglas

primitivas en una nueva regla. Lo esperado es que toda fórmula sea un atajo

procedimental y que todo atajo procedimental sea una regla derivada.

Así, mientras que heurísticamente todas las fórmulas en forma de subíndices

representan nulidades, entidades, retinendos y eliminandos; y todas las reglas a

ellas asociadas, relaciones entre tales objetos; se demostrará que,

algorítmicamente, la forma de subíndices es un modo de representación que se

usa para comprimir las expresiones en notación de Dogdson con miras a facilitar

la operación de eliminación (resolución).

Dado el carácter exótico de las formas de Dogdson, se ha considerado

conveniente emplear la lógica proposicional (LP) como un modo de presentación

para asentar las pruebas dadas en términos convencionales. Ciertamente, y en

cuanto al fundamento, los tres modos son, estructuralmente, idénticos, es decir,

sólo varía el aspecto de los símbolos.

Servirán como ejemplos los tratamientos directos de dos polisilogismos hipotéticos

avanzados. Uno es el problema de las chuletas de cerdo. Éste se encuentra en el

capítulo IV del libro XIII de la edición de Lógica Simbólica a cargo de William

Warren Bartley III.

El otro será el sorites al que Jerzy Pogonowski denominó árbol sin contradicción,

el cual también se halla en el libro XIII, no obstante, en el epígrafe III del capítulo

XI.

Por consiguiente, esta investigación, de acuerdo con lo estipulado en el Manual de

Trabajos de Grado, de Especialización, y Maestría; y Tesis Doctorales, es “un

esfuerzo de creación que demuestra el dominio en el área de la mención de la

Maestría y de los métodos de investigación propios de la misma”.

Asimismo, demostrando la superioridad de una lectura sobre otra, supone la

integración, organización y evaluación de información pertinente en función de la

solución eficaz del problema en cuestión.

ÍNDICE TENTATIVO DE LA TESIS.

1. Introducción: Heurística o algorítmica.

2. Capítulo I: Lectura algorítmica de la forma de subíndices como recusación

de la lectura heurística de la misma.

2.1. Primera parte: Presentación de la prueba por eliminación: El problema

de las chuletas de cerdo

2.1.1. Heurística: Procedimiento de presentación de la prueba por eliminación

directa.

2.1.1.1. Resolución α (Forma de subíndices)

2.1.2. Algorítmica.

2.1.2.1. Descompresión: semántica y sintaxis de la formula I.

2.1.2.2. Resolución β (Notación de Dogdson):

2.1.2.3. Resolución γ (Lógica Proposicional)

2.1.2.4. Conclusiones de la primera parte.

2.2. Segunda Parte: Heurística y absurdo:

2.2.1. Recusación de la generalidad de la lectura heurística de la forma de

subíndices mediante el contraejemplo que se halla en la carta del 18 de

noviembre de 1896 a Cook Wilson.

2.2.1.1. Algorítmica.

2.2.1.1.1. Descompresión

2.2.1.1.2. Resolución θ (Forma de Subíndices)

2.2.1.1.3. Resolución δ (Lógica proposicional)

2.2.1.2. Heurística

2.2.1.3. Conclusiones de la segunda parte

3. Capítulo II: Procedimiento de presentación de la prueba por eliminación

inversa.

3.1. Heurística.

3.1.1. Resolución ε (Forma de subíndices)

3.1.1.1. Semántica de la formula II.

3.1.2. Resolución ζ (Notación de Dogdson)

3.1.2.1. Sintaxis de formula II.

3.2. Algorítmica: Resolución η (Lógica proposicional)

3.2.1. Sintaxis y semántica de la formula III..

4. Capítulo III: Problemas abiertos o los 63 problemas del libro XIV de la obra

Lógica Simbólica

5. Conclusiones.

6. Apéndice con las respuestas y soluciones de los Sorites Avanzados del

libro XIV de Lógica Simbólica.

BIBLIOGRAFÍA INICIAL

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Abeles, Fancine (2005): Lewis Carroll's Formal Logic. History and Philosophy of

Logic 26 (1):33-46.

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Logic 28 (1):1-17

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logic. Mod. Log. Volume 1, Number 1, 25-35.

Aristóteles (1994): Tratados de lógica I. Gredos.

Aristóteles (1995): Tratados de lógica II. Gredos.

Bochenski, Joseph M. (2012): History of Formal Logic. Forgotten Books

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