INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Angélica Gutiérrez Limón

OBJETIVO:Aplicará a situaciones reales los principales modelos y técnicas determinanticas y probabilísticas de la Investigación de Operaciones para la toma de decisiones óptima.

angelicagtz@gmail.com

SESION TEMA

1UNIDAD UNOProgramación dinámica

21.1 Características de los problemas de programación dinámica: etapas, estados, fórmula recursiva, programación en avance y en retroceso

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1.2 Algunos ejemplos de modelos de P.D. Al estudiar cada aplicación ponga especial atención a los tres elementos básicos de un modelo de programación dinámica.

1. Definición de las etapas2. Definición de las alternativas en cada etapa3. Definición de los estados para cada etapa

En general, de los tres elementos, la definición de estado suele ser la más sutil. Al investigar cada aplicación (diferentes ejemplos de modelos de P.D.), encontrará útil tener en cuenta las preguntas siguientes:

1. ¿Qué relaciones vinculan entre sí a las etapas?2. ¿Qué información se necesita para tomar decisiones factibles en la etapa actual sin

volver a examinar las decisiones tomadas en las etapas anteriores?

Algunos ejemplos de modelos de P.D. son: Problema de la mochila/ equipo de vuelo/ carga del contenedor Modelo del tamaño de la fuerza de trabajo Modelo de reposición de equipo

FUENTE: http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/rptSylabus.php?tipo=PDF&id_asignatura=447&clave_asignatura=INB-0412&carrera=IIND0405001

4 1.2 Algunos ejemplos de modelos de P.D.Al estudiar cada aplicación ponga especial atención a los tres elementos básicos de un modelo de programación dinámica.

4. Definición de las etapas5. Definición de las alternativas en cada etapa6. Definición de los estados para cada etapa

En general, de los tres elementos, la definición de estado suele ser la más sutil. Al investigar cada aplicación (diferentes ejemplos de modelos de P.D.), encontrará útil tener en cuenta las preguntas siguientes:

3. ¿Qué relaciones vinculan entre sí a las etapas?4. ¿Qué información se necesita para tomar decisiones factibles en la etapa actual sin volver a examinar las

decisiones tomadas en las etapas anteriores?Algunos ejemplos de modelos de P.D. son:

Problema de la mochila/ equipo de vuelo/ carga del contenedor

Modelo del tamaño de la fuerza de trabajo Modelo de reposición de equipo

FUENTE: www. itescam .edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r26320.DOC 5 1.3 Programación dinámica determinística.

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1.4 Programación dinámica probabilística.

7 1.4 Programación dinámica probabilística.

PROGRAMACION DINAMICA PROBABILISTICA

La programación dinámica probabilística difiere de la programación dinámica determinística en que el estado de la etapa siguiente no queda completamente determinado por el estado y la decisión de la política en el estado actual. En lugar de ello existe una distribución de probabilidad para lo que será el estado siguiente. Sin embargo, esta distribución de probabilidad todavía esta completamente determinada por el estado y la decisión de la política del estado actual. En la siguiente figura se describe diagramáticamente la estructura básica que resulta para la programación dinámica probabilística, en donde N denota el número de estados posibles en la etapa n+1. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posibles en todas las etapas, a veces recibe el nombre de árbol de decisión. Si el árbol de decisión no es demasiado grande, proporciona una manera útil de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir.

FUENTE: http://www.monografias.com/trabajos23/planeacion-requerimientos/planeacion-requerimientos.shtml#programac8 1.5 Problema de dimensionalidad en P. D.

Fuente: Taha, Investigacion de Operaciones, Mexico 20069 1.6 Uso de programas de computación

  PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN   PARA RESOLVER

                                 PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL

En esta pagina, se presenta la documentación relativa a los programas de computación que  serán utilizados en el curso para resolver problemas de programación Lineal,  adicionalmente, el alumno puede bajar los programas de computación con fines académicos, con miras a resolver los problemas propuestos del curso y no deben ser utilizados con fines comerciales ya que los mismos están protegidos por las leyes de derechos de autor.

A.-)  PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN

Adicional al programa SOLVER, incluido en EXCEL-2000 de MIcrosoft  (cuya explicación didáctica del funcionamiento del programa Solver (445 kb), se incluye en este documento que puede ser bajado por Usted), se incorporan otros programas  que operan bajo sistema WIndows 98/ME/2000/XP, debiendo disponer de una computadora actualizada con procesador Pentium II y superiores, memoria mínima de 256 kb y capacidad de disco de 50 MB y los cuales pueden ser bajados a continuación:.

A.1)  El programa WinQSB (3.9 Mb), cuya propiedad intelectual es del Dr. Yih-Long Chang y es aplicable a todos los problemas de Investigación de Operaciones. Para conocer sus usos y aplicaciones, se incorpora el  MANUAL DE USO del WINQSB.

A.2)  El programa PrgLin, cuya propiedad es de la Universidad de Lisboa (Portugal), el cual se aplica para soluciones gráficas de problemas de dos dimensiones.

A.3) El programa InvOp (361 kb), desarrollado por la Universidad del Cuyo en Argentina, se aplica para la solución de problemas relacionados con transporte y redes.

A.3) El programa Lingo , propiedad de Lindo Systems Inc (USA),  que dado su gran tamaño (18.9 Mb), se recomienda que Usted lo recupere directamente de la pagina  Web del propietario de dicha tecnologia  http:// www.lindo.com

Posteriormente se irán incorporando otros programas de computación específicos para cada caso y cuyo uso será descrito mediante ejemplos en la Clase.

B.-) USO DEL PROGRAMA SOLVER DE EXCEL (Microsoft)

Para conocer la aplicación del método SOLVER de EXCEL (Microsoft), se utilizará un ejemplo práctico:

Max Z= 10 X1 + 8 X2Sujeto a:              30X1 +20X2 <= 120                2X1 +  2X2 <=  9                4X1 +  6X2 <=  24

                  X1,X2 >=0

La  única dificultad que tenemos es el de modelar el programa dentro del Excel, y eso, es muy fácil. Por supuesto,

hay infinidad de maneras de hacerlo, aquí propongo una.

Se activa  Excel y en una hoja...

· Se ubican las celdas que se corresponderán con el valor de las variables de decisión; en éste caso, las celdas B6 y C6, se les da un formato para diferenciarlas de las demás, aquí azul oscuro (ver captura abajo). Se ubica también, las celdas que contendrán los coeficientes de las variables de decisión, B4 y C4, y se llenan con sus respectivos valores, 10 y 8.  Aunque éste último paso, se podría omitir y dejar los coeficientes definidos en la celda de la función objetivo, así es mejor para los análisis de sensibilidad y para que la hoja quede portable para otro programa.

· Se ubica la celda que se corresponderá con la función objetivo (celda objetivo), la B3. En ella se escribe la función que sea, en éste caso, será el coeficiente de X1 (en B4) por el valor actual de X1 (en B6) mas el coeficiente de X2 (en C4) por el valor actual de X2 (en C6) O sea:  =$B$4*$B$6+$C$6*$C$4

· Coeficientes para la primera restricción: los podemos escribir en la misma columna de las variables de decisión; en las celdas B7 y C7, con los valores 30 y 20, seguido del sentido de la desigualdad (<=) y de su correspondiente RHS: 120. A la derecha ubicaremos el valor actual de consumo de la restricción, ella se escribirá en función de las variables de decisión y de los coeficientes de la restricción.   Esta celda, la utilizará Solver como la real restricción, cuando le digamos que el valor de ésta celda no pueda sobrepasar la de su correspondiente RHS. De nuevo será el valor del coeficiente por el de la variable:=B7*$B$6+C7*$C$6. Notese que ahora B7 y C7 no tienen el signo $. Pues es que luego que se haya escrito ésta celda, se podrá arrastrar hacia abajo para que Excel escriba la fórmula por nosotros (la pereza!), pero tome los valores relativos a los coeficientes que le corresponda  a los mismos valores de las variables de decisión. Se repite los pasos anteriores para las otras restricciones, pero ahora la fórmula será: =B8*$B$6+C8*$C$6 y =B9*$B$6+C9*$C$6.

                  

 

El resto del formato es para darle una presentación más bonita a la hoja. Ahora a resoverlo!  Al hacer click en Herramientas , Solver se tendrá una pantalla como la siguiente. Lo primero que hay que hacer es especificar la celda objetivo y el propósito: maximizar. Se escribe B3 (o $B3 ó B$3 ó $B$3 como sea, da igual), en el recuadro "cambiando las celdas", se hace un click en la flechita roja, para poder barrer las celdas  B6 y C6; lo mismo da si se escriben directamente los nombres.

 

Y ahora para las restricciones: se hace click en agregar...

 

En F7 está la primera restricción, como se puede ver en la captura. Se especifica el sentido de la restricción <=, >= ó =.  Aquí también se puede especificar el tipo de variable, por defecto es continua, pero se puede escoger "Int" para entera o "Bin" para binaria.  En el recuadro de la derecha establecemos la cota. Aquí podemos escribir 120 pero mejor escribimos $E$7 para que quede direccionado a la celda que contiene el 120, y después lo podríamos cambiar y volver a encontrar la respuesta a manera de análisis de sensibilidad.

Se repite éste paso para las otras dos restricciones.

La condición de no negatividad hay que incluirla manualmente, así:

 

El cuadro de diálogo debe lucir así:

 

Y listo! Se hace click en resolver y ya. Parece un poco largo en comparación con los otros paquetes de programación lineal, pero esto se hará sólo una vez, para los próximos programas se podrá utilizar la misma hoja cambiando los coeficientes. Sin embargo, como se puede notar, la flexibilidad de modelar es muy grande, y se puede introducir directamente en una hoja donde se haga el análisis de Planeación Agregada,  Transporte, Inventario, Secuencias, balanceo, etc. 

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Fuente: http://www.investigacion-operaciones.com/Metodos_computacionales.htm

10 UNIDAD DOSTeoría de Colas

IntroducciónTodos hemos experimentado en alguna ocasión la sensación de estar perdiendo el tiempo al esperar en una cola. El fenómeno de las colas nos parece natural: esperamos en el coche al estar en un tapón, o un semáforo mal regulado, o en un peaje; esperamos en el teléfono a que nos atienda un operador y en la cola de un supermercado para pagar.... Como clientes no

queremos esperar, los gestores de los citados servicios no quieren que esperemos.... ¿Por qué hay que esperar? La respuesta es casi siempre simple, en algún momento la capacidad de servicio ha sido (o es) menor que la capacidad demandada.Generalmente esta limitación se puede eliminar invirtiendo en elementos que aumenten la capacidad. En estos casos la pregunta es: ¿Compensa invertir? La teoría de colas intenta responder a estas preguntas utilizando análisis matemáticos detallados.Fuente: http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoria%20de%20colas.pdf

Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:

1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia?

2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?

3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria?

4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo?

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2.1 Introducción y casos de aplicación.Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio,esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casosse puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puedesignificar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimiren una impresora en red.servicioclientes queabandonanclientesllegandoclientesservidosFigura 1 Un sistema de cola típicoAunque cualquier sistema se puede representar como en la figura 1, debe quedar claro que unarepresentación detallada exige definir un número elevado de parámetros y funciones.La teoría de colas fue originariamente un trabajo práctico. La primera aplicación de la que setiene noticia es del matemático danés Erlang sobre conversaciones telefónicas en 1909, para el cálculoTeoría de ColasMétodos Cuantitativos de Organización IndustrialPágina 3 de 54de tamaño de centralitas. Después se convirtió en un concepto teórico que consiguió un grandesarrollo, y desde hace unos años se vuelve a hablar de un concepto aplicado aunque exige unimportante trabajo de análisis para convertir las fórmulas en realidades, o viceversa.

12 2.2 Definiciones, características y suposiciones.Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente unsistema de colas:a) Patrón de llegada de los clientesb) Patrón de servicio de los servidoresc) Disciplina de colad) Capacidad del sistemae) Número de canales de servicio

f) Número de etapas de servicioAlgunos autores incluyen una séptima característica que es la población de posibles clientes.Fuente: http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoria%20de%20colas.pdf

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2.3 Terminología y notación.En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas. Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución probabilística de éstos. También es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar. Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario. Teoría de Colas Métodos Cuantitativos de Organización Industrial Página 4 de 54

2.1.2 Patrones de servicio de los servidoresLos servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual. El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el patrón de llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo transcurrido.

2.1.3 Disciplina de colaLa disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO (atender primero al último). También es posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de clientes.En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que está siendo atendido, este se retira dando paso al más importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el cliente retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se había quedado. La segunda situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabeel que está siendo atendido.

2.1.4 Capacidad del sistemaEn algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.

2.1.5 Número de canales del servicioEs evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se Teoría de Colas Métodos Cuantitativos de Organización Industrial Página 5 de 54 habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor. En la figura 1 se dibujó un sistema mono-canal, en la figura 2 se presenta dos variantes de sistema multicanal. El primero tiene una sóla cola de espera, mientras que el segundo tiene una sola cola para cada canal. Fig. 2 Sistemas de cola multicanal Se asume que en cualquiera de los dos casos, los mecanismos de servicio operan de manera independiente.

2.1.6 Etapas de servicioUn sistema de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el clientepuede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema unietapa, salvoque haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado porun servidor diferente.En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”, esto es habitualen sistemas productivos como controles de calidad y reprocesos.Un sistema multietapa se ilustra en la figura.3Figura 3: Sistema Multietapa con retroalimentación.

2.1.7 ResumenLas anteriores características bastan, de modo general, para describir cualquier proceso.Evidentemente se puede encontrar una gran cantidad de problemas distintos y, por tanto, antes decomenzar cualquier análisis matemático se debería describir adecuadamente el proceso atendiendo alas anteriores características.Fuente: http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoria%20de%20colas.pdf

14 2.4 Proceso de nacimiento y muerte. Modelos Poisson.

FGUENTE: http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase10_II.pdf

15 2.5 Un servidor, fuente finita, cola finita.Los costos de servicio influyen en el método para encontrar el sistema de menor costo. Si el costo de servicio es un función lineal de la tasa de servicio, puede encontrarse una solución general para la tasa óptima.   Para aplicar una solución general, se necesita una tasa de servicio que pueda variar de manera continua.   Cuando los costos de servicio cambian en forma escalonada, se usa la técnica de prueba y error para encontrar el sistema de menor costo. Se calcula el costo total para una tasa de servicio, después para la siguiente y así sucesivamente. Esto continúa hasta que se encuentra un límite inferior o un mínimo tal, que el aumentar o el disminuir las tasas de servicio da costos totales más altos.   Ejemplo:   Se esta estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para aprender cómo debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio sólo para un camión, así es un sistema de un servidor. Pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentando el tamaño de la brigada.   Supóngase que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola ( llegadas Poisson, tiempos de servicio exponenciales) y que la tasa promedio de servicio es un camión por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Además, supóngase que los camiones llegan con una tasa de dos por hora en promedio y que el costo de espera es de $ 20 por hora por un camión. Si se le paga $ 5 por hora a cada miembro de la brigada, ¿Cuál es el mejor tamaño de esta?   Datos :   A = 2 camiones por hora. S = 1 camión por persona. Cw = costo de espera = $20 por hora por camión. CS = costo de servicio = $ 5 por hora por persona.   Ahora sea k = número de personas en la brigada. Se busca k tal que la suma de los costos de espera y servicio se minimicen :   Costo total = Cw LS + k CS     Las pruebas deben de empezar con tres miembros de la brigada, ya que uno o dos no podrían compensar la tasa de llegadas de dos camiones por hora. Para una brigada de tres, la tasa de servicio es de tres camiones por hora y puede encontrarse Ls con la siguiente ecuación :

 

  De la misma manera, para una brigada de cuatro :  

El costo es menor, por tanto se sigue adelante. Para una brigada de cinco :  

  Este todavía es menor :  

      Como este costo es mayor que el de la brigada de cinco, se rebasó el límite inferior de la curva de costo; el tamaño óptimo de la brigada es cinco personas. FUENTE: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

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2.6 Un servidor cola infinita, fuente infinita.

17 2.6 Un servidor cola infinita, fuente infinita.Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.   Llegadas.       Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredicible en que momento llegarán . El modelo también supone que las llegadas vienen de

una población infinita y llegan una a la vez .   Cola.     En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas.   Instalación de Servicio.     Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente.   Salidas.     No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio.   Características de operación .

Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido. Tiempos de servicio exponenciales.

  Cola :

Longitud promedio de la línea : 

Tiempo de espera promedio : Sistema:

Longitud promedio de la línea : 

Tiempo de espera promedio : 

Utilización de la instalación : 

Probabilidad de que la línea exceda a n :  A = tasa promedio de llegada. S = tasa promedio de servicio.   Ejemplo : (Un supermercado ) Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las lìneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lìnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :

  Dados A = 9 clientes por hora S = 12 clientes por hora   Entonces :

=  2.25 Clientes

=  0.25 horas o 15 minutos.

=  3 clientes.

=  0.33 horas o 20 minutos.

=  0.75 o 75%

0.32       Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola). FUENTE: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

18 2.7 Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinitaEn lugar de estimar el costo de espera, el administrador puede especificar un promedio mínimo de tiempo de espera o de longitud de línea . Esto establece un límite superior para Wq , el tiempo de espera en la cola ( o para Lq, la longitud de línea en la cola). Con este límite superior puede encontrarse la tasa de servicio necesaria para cualquiera tasa de llegadas dadas.   Ejemplo :       Considérese un restaurante de comida rápida con un menú limitado. El restaurante se está diseñando para que todos los clientes se unan a una sola línea para ser servidos. Una persona tomará la orden y la servirá. Con sus limitaciones, la tasa de servicio puede aumentarse agregando más personal para preparar la comida y servir las ordenes.       Esto constituye un sistema de un servidor y una cola. Si las llegadas y salidas son aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supóngase que la administración quiere que el cliente promedio no espere más de dos minutos antes de que se tome su orden . Esto se expresa como :

  Wq = 2 minutos

  Supóngase también que la tasa máxima de llegadas es de 30 órdenes por hora.

Rearreglando términos,

    Como la tasa de servicio debe ser mayor que la tasa de llegadas, puede descartarse la solución negativa. Entonces :

Para este ejemplo, se supuso : A = 30 ordenes por hora.

Wq = 2 minutos o 0.033 horas Entonces :

  = 15 + 33.5 = 48.5 órdenes por hora.

      Para cumplir los requerimientos, se necesita una tasa de casi 50 órdenes por hora. Si, por ejemplo, una brigada de cinco pueden manejar 45 órdenes por hora y una de seis puede procesar 50 por hora, entonces sería necesario tener la brigada de seis. FUENTE: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

19 2.8 Servidores múltiples, cola finita, fuente infinita

Este modelo es igual que el anterior, excepto que se supone que el tiempo de servicio es exactamente el mismo en cada llegada en lugar de ser aleatorio. Todavía se tiene una sola línea, tamaño de la cola infinito, disciplina de la cola como primero en llegar primero en ser servido y llegadas Poisson.

      Las aplicaciones típicas de este modelo pueden incluir un autolavado automático, una estación de trabajo en una pequeña fábrica o una estación de diagnóstico de mantenimiento preventivo. En general, el servicio lo proporciona una máquina.

Las características de operación están dadas por 4 :

 

      En donde A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo) y S = tasa constante de servicio (llegadas por unidad de tiempo).

  Ejemplo:

    Supóngase un lavado automático de autos con una línea de remolque, de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes : el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de vista de teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un auto cada cinco minutos da una tasa de 12 autos por hora. Sin embargo, el tiempo para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar un auto limpio. La teoría de colas no considera este tiempo.

    Supóngase que el lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora ( con distribución Poisson). Sustituyendo :

 

FUENTE: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

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2.9 Uso de programas de computaciónPROGRMA TORA PAG 929.PROGRAMA SIMNET II PAG 930INVESTIGAIN DE OPRAINES DE TAHA. ED ALFAOMEGA, MEX. 204

21PRIMER EXAMEN PARCIAL

22 UNIDAD TRESTeoría de Decisión

La teoría de la decisión es una área interdisciplinaria de estudio, relacionada con casi todos los participantes en ramas de la ciencia, ingenieríaÇ principalmente la psicología del consumidor (basados en perspectivas cognitivo-conductuales). Concierne a la forma y al estudio del comportamiento y fenómenos psíquicos de aquellos que toman las decisiones (reales o ficticios), así como las condiciones por las que deben ser tomadas las decisiones óptimas.

Se pueden distinguir tres partes dentro de la teoría de la decisión:

1. La teoría de la decisión normativa que busca los criterios racionales de la decisión así como las motivaciones humanas en diferentes situaciones. De esta forma esta parte de la teoría busca ejemplos axiomáticos de la racionalidad dentro de la toma de decisiones.

2. La teoría de la decisión prescriptiva. 3. La teoría de la decisión descriptiva.

La mayor parte de la teoría de la decisión es normativa o prescriptiva, es decir concierne a la identificación de la mejor decisión que pueda ser tomada, asumiendo que una persona que tenga que tomar decisiones (decisión maker) sea capaz de estar en un entorno de completa información, capaz de calcular con precisión, y completamente racional. La aplicación práctica de esta aproximación prescriptiva (de como la gente debería hacer y tomar decisiones) se denomina análisis de la decisión, y proporciona una búsqueda de herramientas, metodologías y software para ayudar a las personas a tomar mejores decisiones. Las herramientas de software más dedicadas a este tipo de ayudas se desarrollan bajo la denominación global de Sistemas para la ayuda a la decisión (decision support systems, abreviado en ingl. como DSS').

Como parece obvio que las personas no se encuentran en estos entornos óptimos y con la intención de hacer la teoría más realista, se ha creado un área de estudio relacionado que se encarga de la parte de la disciplina más positiva o descriptiva, intentando describir que voluntad tiene el que toma la decisión, antes de que la haga. Se pensó en esta teoría debido a que la teoría normativa, trabaja sólo bajo condiciones óptimas de decisión, y a menudo crea hipótesis para ser probadas, algo alejadas de la realidad cotidiana, los dos campos están íntimamente relacionados. No obstante es posible relajar alguna presunciones de la información perfecta que llega al sujeto que toma decisiones, se puede rebajar su racionalidad y así sucesivamente hasta llegar a una serie de prescripciones o predicciones sobre el comportamiento de la persona que toma decisiones, permitiendo comprobar qué ocurre en la práctica de la vida cotidiana.

Existen tipos de decision que son interesantes desde el punto de vista del desarrollo de una teoría, estos son:

Decisión sin riesgo entre mercancías inconmensurables (mercancías que no pueden ser medidas bajo las mismas unidades)

Elección bajo impredecibilidad Elección intertemporal - estudio del valor relativo que la gente asigna a dos o más bienes en

diferentes momentos del tiempo Decisiones sociales: decisiones tomadas en grupo o bajo una estructura organizativa

FUENTE: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_decisi%C3%B3n

233.1 Características generales de la teoría de decisiones

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3.1 Características generales de la teoría de decisiones

Características DE LA TOMA DE DECISIONES

1. ¿Cual es la meta que usted desea alcanzar?

Elija la meta que satisfaga sus "valores". Los valores deben expresarse en escala numérica y mensurable. Esto es necesario para hallar las jerarquías entre los valores.

1. Averigüe cual es el conjunto de cursos de acción posibles que puede tomar y luego reúna información confiable sobre cada uno de ellos. La información objetiva sobre los cursos de acción también puede expandir su conjunto de alternativas. Cuantas mas alternativas desarrolle, mejores decisiones podrá tomar. Debe convertirse en una persona creativa para expandir su conjunto de alternativas. Pablo Picasso se dio cuenta de esto y dijo: " Todos los seres humanos nacen con el mismo potencial de creatividad. La mayoría lo derrochan en millones de cosas superfluas. Yo invierto el mío en una sola cosa: mi arte". Las alternativas de decisiones creativas son originales, relevantes y practicas.

2. Prediga el resultado de cada curso de acción individual mirando hacia el futuro. 3. Elija la mejor alternativa que tenga el menor riesgo involucrado en llegar a la meta. 4. Implemente su decisión.

Su decisión no significa nada a menos que la ponga en acción. Las decisiones son el corazón del éxito y, a veces, hay momentos críticos en que pueden presentar dificultad, perplejidad y exasperación. Un gerente debe tomar muchas decisiones todos los días. Algunas de ellas son decisiones de rutina o intrascendentes mientras que otras tienen una repercusión drástica en las operaciones de la empresa donde trabaja. Algunas de estas decisiones podrían involucrar la ganancia o perdida de grandes sumas de dinero o el cumplimiento o incumplimiento de la misión y las metas de la empresa. En este mundo cada vez mas complejo, la dificultad de las tareas de los decidores aumenta día a día. El decidor debe responder con rapidez a los acontecimientos que parecen ocurrir a un ritmo cada vez mas veloz. Además, un decidor debe asimilar a su decisión un conjunto de opciones y consecuencias que muchas veces resultan desconcertantes. Con frecuencia, las decisiones de rutina se toman rápidamente, quizás inconscientemente, sin necesidad de elaborar un proceso detallado de consideración. Sin embargo, cuando las decisiones son complejas, criticas o importantes, es necesario tomarse el tiempo para decidir sistemáticamente. Las decisiones criticas son las que no pueden ni deben salir mal o fracasar. Uno debe confiar en el propio juicio y aceptar la responsabilidad. Existe una tendencia a buscar chivos expiatorios o transferir responsabilidades. Fuente: http://www.tuobra.unam.mx/obrasPDF/publicadas/040922205227.html

25 3.2 Criterios de decisión Deterministicos y Probabilísticas

26 3.2 Criterios de decisión Deterministicos y Probabilísticas

Modelos Probabilísticos: De los Datos a un Conocimiento Decisivo

El conocimiento es lo que sabemos. La información es la comunicación de conocimientos. En cada intercambio de conocimientos, hay un remitente y un receptor. El remitente hace común lo que es privado, hace la información, la comunicación. La información se puede clasificar como formas explícitas y tácitas. La información explícita se puede explicar de forma estructurada, mientras que la información tácita es inconsistente e imprecisa de explicar.

Los datos son conocidos como información cruda y no como conocimientos en sí. La secuencia que va desde los datos hasta el conocimiento es (observe el siguiente cuadro): de los Datos (Data) a la Información (Information), de la Información (Information) a los Hechos (Facts), y finalmente, de los Hechos (Facts) al Conocimiento (Knowledge) . Los datos se convierten en información, cuando se hacen relevantes para la toma de decisión a un problema. La información se convierte en hecho, cuando es respaldada por los datos. Los hechos son lo que los datos revelan. Sin embargo el conocimiento instrumental es expresado junto con un cierto grado estadístico de confianza (gl).

Los hechos se convierten en conocimiento, cuando son utilizados en la complementación exitosa de un proceso de decisión. Una vez que se tenga una cantidad masiva de hechos integrados como conocimiento, entonces su mente será sobrehumana en el mismo sentido en que, con la escritura, la humanidad es sobrehumana comparada a la humanidad antes de escribir. La figura siguiente ilustra el proceso de razonamiento estadístico basado en datos para construir los modelos estadísticos para la toma de decisión bajo incertidumbre.

de donde:

Level of Exactness of Statistical Model = Nivel de Exactitud del Modelo Estadístico.

Level of improvements on decisión making = Nivel de Mejoramiento en la Toma de Decisiones

La figura anterior representa el hecho que a medida que la exactitud de un modelo estadístico aumenta, el nivel de mejoramiento en la toma de decisión aumenta. Esta es la razón del porqué necesitamos la estadística de negocio. La estadística se creo por la necesidad de poner conocimiento en una base

sistemática de la evidencia. Esto requirió un estudio de las leyes de la probabilidad, del desarrollo de las propiedades de medición, relación de datos.

La inferencia estadística intenta determinar si alguna significancia estadística puede ser adjunta luego que se permita una variación aleatoria como fuente de error. Una inteligente y crítica inferencia no puede ser hecha por aquellos que no entiendan el propósito, las condiciones, y la aplicabilidad de las de diversas técnicas para juzgar el significado.

Considerando el ambiente de la incertidumbre, la posibilidad de que “las buenas decisiones” sean tomadas incrementa con la disponibilidad “de la buena información”. El chance de la disponibilidad de “la buena información” incrementa con el nivel de estructuración del proceso de Dirección de Conocimiento. La figura anterior también ilustra el hecho que mientras la exactitud de un modelo estadístico aumenta, el nivel de mejora en la toma de decisiones aumenta.

El conocimiento es mas que simplemente saber algo técnico. El conocimiento necesita la sabiduría. La sabiduría es el poder de poner nuestro tiempo y nuestro conocimiento en el uso apropiado. La sabiduría viene con edad y experiencia. La sabiduría es la aplicación exacta del conocimiento exacto. La sabiduría es sobre saber como algo técnico puede ser mejor utilizado para cubrir las necesidades de los encargados de tomar decisiones. La sabiduría, por ejemplo, crea el software estadístico que es útil, más bien que técnicamente brillante. Por ejemplo, desde que la Web entró en el conocimiento popular, los observadores han notado que esto pone la información en nuestras manos, pero guardar la sabiduría fuera de nuestro alcance. HR>

Proceso de Toma de Decisiones EstadísticasA diferencia de los procesos de toma de decisiones determinísticas tal como, optimización lineal resuelto mediante sistema de ecuaciones, sistemas paramétricos de ecuaciones y en la toma de decisión bajo pura incertidumbre, las variables son normalmente más numerosas y por lo tanto más difíciles de medir y controlar. Sin embargo, los pasos para resolverlos son los mismos. Estos son:

1. Simplificar 2. Construir un modelo de decisión 3. Probar el modelo 4. Usando el modelo para encontrar soluciones:

o El modelo es una representación simplificada de la situación real o No necesita estar completo o exacto en todas las relaciones o Se concentra en las relaciones fundamentales e ignora las irrelevantes. o Este es entendido con mayor facilidad que un suceso empírico (observado), por lo tanto

permite que el problema sea resuelto con mayor facilidad y con un mínimo de esfuerzo y pérdida de tiempo.

5. El modelo puede ser usado repetidas veces para problemas similares, y además puede ser ajustado y modificado.

Afortunadamente, los métodos probabilísticos y estadísticos para el análisis de toma de decisiones bajo incertidumbre son más numerosos y mucho más poderosos que nunca. Las computadoras hacen

disponible muchos usos prácticos. Algunos de los ejemplos de aplicaciones para negocios son los siguientes: *Un auditor puede utilizar técnicas de muestreo aleatorio para auditar las cuentas por cobrar de un cliente. *Un gerente de planta puede utilizar técnicas estadísticas de control de calidad para asegurar la calidad de los productos con mínima inspección y menor número de pruebas. *Un analista financiero podría usar métodos de regresión y correlación para entender mejor la analogía entre los indicadores financieros y un conjunto de otras variables de negocio. *Un analista de mercadeo podría usar pruebas de significancia para aceptar o rechazar una hipótesis sobre un grupo de posibles compradores a los cuales la compañía esta interesada en vender sus productos. *Un gerente de ventas podría usar técnicas estadísticas para predecir las ventas de los próximos periodosFuente: http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishP.htm#rwida

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3.3 Valor de la información perfecta

1. Cómo tomar una mejor decisión comprando información confiable (Abordaje de Bayes)

En muchos casos, el decisor puede necesitar la opinión de un especialista para reducir sus incertidumbres con respecto a la probabilidad de cada uno de los estados de la naturaleza. Por ejemplo, consideremos el siguiente problema de decisión concerniente a la producción de un nuevo producto:

Estados de la naturalezaMucha venta Venta media Poca ventaA(0,2) B(0,5) C(0,3)

A1 (desarrollar) 3000 2000 -6000A2 (no desarrollar) 0 0 0

Las probabilidades de los estados de la naturaleza representan los distintos grados que tiene el criterio del decisor (por ejemplo, un gerente) con respecto a la ocurrencia de cada estado. Nos referiremos a estas evaluaciones subjetivas de la probabilidad como probabilidades "a priori".

El beneficio esperado de cada curso de acción es A1 = 0,2(3000) + 0,5(2000) + 0,3(-6000) = -$200 y A2 = 0; entonces elegimos A2, que significa que no desarrollamos.

Sin embargo, el gerente se siente algo reacio a tomar esta decisión; por ello solicita la asistencia de una firma de investigación de mercado. Ahora nos enfrentamos a una nueva decisión. Es decir, con cuál firma de investigación de mercado debe consultar su problema de decisión. De esta manera es que el gerente debe tomar una decisión acerca de cuán "confiable" es la firma consultora. Mediante muestreo y luego analizando el desempeño previo de la consultora debemos desarrollar la siguiente matriz de confiabilidad:

Qué sucedió realmente en el pasadoA B C

Lo que el consultor Ap 0,8 0,1 0,1predijo Bp 0,1 0,9 0,2

Cp 0,1 0,0 0,7

Todas las Firmas de Investigación de Mercado llevan registros (es decir, conservan datos históricos) del desempeño alcanzado en relación con las predicciones anteriores que hubieren formulado. Estos registros los ponen a disposición de sus clientes sin cargo alguno. Para construir una matriz de confiabilidad debe tomar en consideración los "registros de desempeño" de la Firma de Investigación de Mercado correspondientes a los productos que tienen mucha venta, y luego hallar el porcentaje de los productos que la Firma predijo correctamente que tendrían mucha venta, venta media y poca o ninguna venta. Estos porcentajes se representan como P(Ap|A) = 0,8, P(Bp|A) = 0,1, P(Cp|A) = 0,1, en la primera columna de la tabla anterior, respectivamente. Se debe efectuar un análisis similar para construir las otras columnas de la matriz de confiabilidad.

Observe que para fines de consistencia, las entradas de cada columna en la matriz de confiabilidad deberían sumar uno.

a) Tome las probabilidades y multiplíquelas "hacia abajo" en la matriz, y luego súmelas:

b) SUMA es el resultado de sumar en sentido horizontal. c) Es necesario normalizar los valores (es decir, que las probabilidades sumen 1) dividiendo el número de cada fila por la suma de la fila hallada en el paso b.

0,2 0,5 0,3A B C SUMA0,2(0,8) = 0,16 0,5(0,1) = 0,05 0,3(0,1) = 0,03 0,240,2(0,1) = 0,02 0,5(0,9) = 0,45 0,3(0,2) = 0,06 0,530,2(0,1) = 0,02 0,5(0) = 0 0,3(0,7) = 0,21 0,23A B C(0,16/0,24)=0,667 (0,05/0,24)=0,208 (0,03/0,24)=0,125(0,02/0,53)=0,038 (0,45/0,53)=0,849 (0,06/0,53)=0,113(0,02/0,23)=0,087 (0/0,23)=0 (0,21/0,23)=0,913

A usted podría gustarle utilizar el JavaScript E-lab de Aspectos Computacionales de la Probabilidad de Revisada de Bayes para comprobar sus cálculos, realizar experimentaciones numéricas, y realizar análisis de estabilidad de sus decisiones mediante la alteración de los parámetros del problema.

d) Dibuje el árbol de decisiones. Muchos ejemplos gerenciales, como el de este ejemplo, involucran una secuencia de decisiones. Cuando una situación de decisión requiere que se tome una serie de decisiones, el abordaje de la tabla de pago puede no dar cabida a las múltiples capas

de decisiones. Para ello se aplica el árbol de decisiones.

Fuente: http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishP.htm#rbayapp

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3.3 Valor de la información perfecta

Fuente: http://books.google.com/books?id=B6LAqCoPSeoC&pg=PA75&lpg=PA75&dq=valor+de+la+informacion+perfecta+para+la+toma+de+decisiones&source=bl&ots=vM61BdkNIX&sig=7HihnUZ8-E6fckMD4JQauC9ZPDo&hl=en&ei=GnmtSs6HHYaKsgPN9uCKBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#v=onepage&q=&f=false

29 3.4 Árboles de decisión30 3.4 Árboles de decisión Arbol de Decisiones y Diagrama de Influencia

Aproximación del Arbol de decisiones: El árbol de decisiones es una representación cronológica del proceso de decisión, mediante una red que utiliza dos tipos de nodos: los nodos de decisión, representados por medio de una forma cuadrada (el nodo de elección), y los nodos de estados de la naturaleza, representados por círculos (el nodo de probabilidad). Dibuje la lógica del problema construyendo un árbol

de decisiones. Para los nodos de probabilidad asegúrese de que las probabilidades en todas las ramas salientes sumen uno. Calcule los beneficios esperados retrocediendo en el árbol, comenzando por la derecha y trabajando hacia la izquierda.

Usted puede imaginarse el conducir de su coche, el comenzar en el pie del árbol de la decisión y el trasladarse a la derecha a lo largo de las ramificaciones. En cada nodo cuadrado usted tiene control, puede tomar una decisión, y da vuelta a la rueda de su coche. En cada nodo del círculo la señora Fortuna asume el control la rueda, y usted es impotente.

A continuación se indica una descripción paso a paso de cómo construir un árbol de decisiones:

1.-Dibuje el árbol de decisiones usando cuadrados para representar las decisiones y círculos para representar la incertidumbre.

2.-Evalúe el árbol de decisiones, para verificar que se han incluido todos los resultados posibles.

3.-Calcule los valores del árbol trabajando en retroceso, del lado derecho al izquierdo.

4.-Calcule los valores de los nodos de resultado incierto multiplicando el valor de los resultados por su probabilidad (es decir, los valores esperados). Podemos calcular el valor de un nodo del árbol cuando tenemos el valor de todos los nodos que siguen. El valor de un nodo de elección es el valor más alto de todos los nodos que le siguen inmediatamente. El valor de un nodo de probabilidad es el valor esperado de los valores de los nodos que le siguen, usando la probabilidad de los arcos. Retrocediendo en el árbol, desde las ramas hacia la raíz, se puede calcular el valor de todos los nodos, incluida la raíz del árbol. Al poner estos resultados numéricos en el árbol de decisiones obtenemos como resultado el siguiente gráfico:

Arbol de decisiones típicos

Referencias de la figura

No Consultant = Sin consultor;$500 fee = $500 por honorarios;

Hire Consultant = Contratar consultor

Determine la mejor decisión con el árbol partiendo de la raíz y avanzando.

Del árbol de decisiones surge que nuestra decisión es la siguiente:

Contratar al consultor y luego aguardar su informe.Si el informe predice muchas ventas o ventas medias, entonces producir el producto.De lo contrario, no producirlo.

Verifique la eficiencia del consultor (%) calculando el índice: (Beneficio esperado recurriendo al consultor {monto en $}) / VEIP. El beneficio esperado recurriendo al consultor surge del gráfico como BE = 1000 - 500 = 500, mientras que VEIP = 0,2(3000) + 0,5(2000) + 0,3(0) = 1600. Por lo tanto, la eficiencia de este consultor es: 500/1600 = 31%

Como trabajo domiciliario rehaga este problema con distribución previa plana, es decir, trabajando sólo con las recomendaciones de la firma de marketing. Trabajar con distribución previa plana significa que asigna igual probabilidad, a diferencia de (0,2, 0,5, 0,3). Es decir, el dueño del problema no conoce el nivel de ventas si introduce el producto al mercado.

El Impacto de una Probabilidad Previa y la Matriz de Confiabilidad en sus Decisiones: Para estudiar cuan importante es su conocimiento previo y/ o la precisión de la información esperada de los consultores en sus decisiones, le sugiero que realice de nuevo el ejemplo numérico anterior aplicando análisis de sensibilidad. Usted podría comenzar con el siguiente caso extremo e interesante usando este JavaScript para los cálculos necesarios:

o Considere una prioridad plana, sin cambiar la matriz de confiabilidad. o Considera ana matriz de confiabilidad perfecta (es decir, con una matriz de identidad), sin

cambiar la prioridad. o Considere una prioridad perfecta, sin cambiar la matriz de confiabilidad. o Considera una matriz de confiabilidad plana (es decir, con todos los elementos iguales), sin

cambiar la prioridad. o Considere la predicción de probabilidades de los consultores como su propia prioridad, sin

cambiar la matriz de confiabilidad.

Diagramas de Influencia: Como puede ser observado en el ejemplo del árbol de decisiones, la descripción de las ramas y nudos el problema de decisiones secuenciales normalmente se hace bastante complicado. En ciertas ocasiones es menos difícil dibujar el árbol de tal forma que preserve las relaciones que realmente manejan las decisiones. La necesidad por mantener la validación, y el rápido incremento en complejidad que usualmente proviene de los usos liberales de las estructuras recursivas, han provisto del proceso de decisiones para describir otros. La razón

para esta complejidad es que el actual mecanismo computacional que solía analizar el árbol, esta encarnado directamente dentro de los árboles y las ramas. Las probabilidades y valores requeridos para calcular los valores esperados de las siguientes ramas están expresamente definidos en cada nudo.

Los Diagramas de Influencia también son utilizados para el desarrollo de modelos de decisión y como una alternativa de representación grafica de árboles de decisión. La figura siguiente muestra un diagrama de influencia para nuestro ejemplo numérico.

En el diagrama de influencia anterior, los nudos de decisión y los nudos de oportunidad son ilustrados similarmente con cuadrados y círculos. Los arcos (flechas) implican relaciones, incluyendo probabilísticas.

Finalmente, el árbol de decisión y el diagrama de influencia proporcionan métodos de tomas de decisiones efectivas porque ellos:

o Claramente relaja el problema, por lo tanto todas las opciones pueden ser consideradas. o Nos permiten ampliamente analizar las posibles consecuencias de una decisión. o Proporcionan un esquema para cuantificar los valores delos resultados y las probabilidades

para lograr los mismos. o Nos ayudan a tomar mejores decisiones basadas en la información existente, así como

también hacer mejores adivinanzas.

También visite:Teoría de la Decisión y Árboles de Decision

Fuente: http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishP.htm#rwhyadvice31 3.5 Teoría de utilidad

1. Determinación de la función de utilidad del decisor

Hemos trabajado con tablas de redistribución expresadas en términos del valor monetario esperado. Sin embargo, este no es siempre el mejor criterio de usar en la toma de decisiones. El

valor del dinero varia de situación a situación y de una decisión a otra. Generalmente, el valor del dinero no es una función lineal de la cantidad de dinero. En tal caso, el analista debe determinar la utilidad monetaria del tomador de decisiones y seleccionar los cursos de acción que proporcione la utilidad esperada mas elevada, en vez del valor monetario esperado mayor.

Los pagos individuales de seguros se enfocan en evitar la posibilidad de perdidas financieras asociadas con la ocurrencia de algún evento indeseado. Sin embargo, las utilidades de diferentes resultados no son directamente proporcionales a sus consecuencias monetarias. Si la pérdida es considerada relativamente grande, un individuo es más propenso a pagar una prima asociada. Si un individuo considera que la pérdida no tiene consecuencias, esta persona es más propensa a pagar la prima asociada.

Las diferencias individuales en actitudes hacia el riesgo y estas diferencias, influenciarán sus opciones. Por lo tanto, individuos deben realizar cada vez la misma decisión con relación al riesgo percibido en situaciones similares. Esto no significa que todos los individuos deberían controlar la misma cantidad de riesgo en situaciones similares. Mas aún, debido a la estabilidad financiera de un individuo, dos individuos enfrentando la misma situación podrían reaccionar de manera diferente a pesar de utilizar los mismos criterios. Una diferencia personal de opinión e interpretación de las políticas también puede producir diferencias.

La retribución monetaria esperada que se asocia con las diversas decisiones puede no ser razonable por las siguientes dos razones importantes:

1. El valor en dólares puede no expresar auténticamente el valor personal que el resultado tiene para uno. Esto es lo que motiva a algunas personas a jugar a la lotería por $1.

2. Si usted acepta los valores monetarios esperados es probable que no esté reflejando con exactitud su aversión al riesgo. Por ejemplo, supongamos que tiene que elegir entre que le paguen $10 por no hacer nada, o participar de una apuesta cuyo resultado depende del lanzamiento de una moneda al aire, pudiendo ganar $1.000 si sale cara y perder $950 si sale cruz. La primera alternativa tiene una recompensa esperada de $10; la segunda tiene una recompensa esperada de 0,5(1000) + 0,5(- 950) = $25, y es claramente preferible a la primera (si la recompensa monetaria esperada fuere un criterio razonable). Pero usted quizás prefiera $10 seguros antes que correr el riesgo de perder $950.

¿Por qué algunas personas contratan seguros y otras no? El proceso de toma de decisiones involucra factores psicológicos y económicos, entre otros. El concepto de utilidad es un intento de medir el provecho que tiene el dinero para el decisor en lo individual. Con el concepto de la utilidad podemos explicar por qué, por ejemplo, algunas personas compran billetes de lotería por un dólar para ganar un millón de dólares. Para estas personas, 1.000.000 ($1) es menos que ($1.000.000). Por lo tanto, para tomar una decisión acertada considerando la actitud que tiene el decisor con respecto al riesgo, debemos convertir la matriz de beneficios monetarios en una matriz de utilidad. La principal pregunta sería: ¿Cómo se mide la función de la utilidad con cada decisor?

Consideremos nuestro Problema de Decisión de Inversión. ¿Cuál sería la utilidad de $12?

a) Asigne 100 unidades de utilidad y 0 unidades de utilidad al elemento más grande y al más pequeño, respectivamente, de la matriz de beneficios. En nuestro ejemplo numérico, asignamos 100 unidades de utilidad a 15, y 0 unidades de utilidad a -2,

b) Pídale al decisor que elija entre las siguientes hipótesis:

Recibir $12 por no hacer nada

O

Jugar el siguiente juego: ganar $15 con probabilidad (p) y -$2 con probabilidad (1-p), donde p es un número seleccionado entre 0 y 1.

Cambiando el valor de p, y repitiendo una pregunta similar, existe un valor de p con el que el decisor es indiferente ante las dos hipótesis. Digamos, p = 0,48.

c) Ahora, la utilidad para $12 es igual a 0,48(100) + (1-0,48)(0) = 48.

d) Repita el mismo proceso para hallar las utilidades de cada elemento de la matriz de beneficios. Supongamos que definimos la siguiente matriz de utilidad:

Matriz de Beneficio Monetario Matriz de Beneficio de UtilidadA B C D A B C D12 8 6 3 48 34 28 1315 7 3 -2 100 19 13 07 7 7 7 19 19 19 19

Ahora se puede aplicar cualquiera de las técnicas antes analizadas a esta matriz de utilidad (en lugar de monetaria) para tomar una decisión satisfactoria. Queda claro que la decisión podría ser diferente.

Determinación de la función de utilidad del decisor JavaScript E-labs.

Fuente: http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishP.htm#rutility32 3.5 Teoría de utilidad

1. Representaciones de la Función de Utilidad con Aplicaciones

Introducción: Una función de utilidad transforma el uso de un resultado en un valor numérico que mide la valoración personal del resultado. La utilidad de un resultado puede estar dentro de una escala comprendida entre 0 y 100, así como hicimos en nuestro ejemplo numérico, convirtiendo la matriz monetaria en una matriz de utilidad . Esta función de utilidad puede ser una simple tabla, un

sutil gráfico continuo ascendente, o una expresión matemática de un gráfico.

El objetivo es representar la función funcional entre las entradas en la matriz monetaria y los resultados obtenidos anteriormente de la matriz de utilidad. Usted podría preguntarse ¿Qué es una función?

¿Qué es una función? Una función es algo que hace algo. Por ejemplo, una maquina para moler café es una función que transforma el grano de maíz en polvo. Una función de utilidad transforma (convierte) la esfera de entradas (valores monetarios) hacia un rango de salidas o resultados, con dos valores finales de utilidad 0 y 100. En otras palabras, la función de utilidad determina el grado de sensibilidad de las preferencias del tomador de decisiones.

Este caítulo presenta un proceso general para determinar la función de utilidad. La presentación esta en el contexto de los resultados numéricos del capítulo anterior, a pesar de que se repiten datos.

Representación de la Función de Utilidad con Aplicaciones: Existen tres métodos diferentes de representar funciones: el Tabular, el Gráfico, y la Representación Matemática. La selección de un método sobre el otro dependerá de las habilidades matemáticas que tenga el tomador de decisiones de forma tal de entenderlo y usarlo fácilmente. Los tres métodos evolucionan en su procesos de construcción respectivos; por lo tanto, se podría proceder al método siguiente si es preciso.

La función de utilidad es normalmente usada para predecir la utilidad del tomador de decisiones para un valor monetario dado. La predicción y precisión aumentan desde el método tabular al matemático.

Representación Tabular de la Función de Utilidad: Podemos tabular los pares de datos (D, U) usando las entradas de la matriz que representan los valores monetarios (D) y sus utilidades correspondientes (U) de la matriz de utilidad obtenida previamente. La forma tabular de la función de utilidad para nuestro ejemplo numérico es dada por la siguiente tabla de pares de datos (D, U):

Función de Utilidad (U) de la Variable Monetaria (D) en Forma Tabular

D 12 8 6 3 15 7 3 -2 7 7 7 7U 58 34 28 13 100 19 13 0 19 19 19 19

Representación Tabular de la Función de Utilidad para el Ejemplo Numérico

Como puede ver, la representación tabular esta limitada a los valores numéricos dentro de la tabla. Suponga que se desea obtener la utilidad en dólares, digamos $10. Se podría usar el método de interpolación; sin embargo, porque la función de utilidad normalmente es no-lineal; el resultado interpolado no representa la utilidad del tomador de decisiones acertadamente. Para enfrentar esta dificultad, se debería usar el método gráfico.

Representación Grafica de la Función de Utilidad: Se puede dibujar una curva utilizando el diagrama de dispersión obtenido mediante la graficación de los datos en la forma Tabular sobre un

papel de gráfico. Ya con el diagrama de dispersión, necesitamos decidir primero la forma de la función de utilidad. El gráfico de utilidad esta caracterizado por sus propiedades de ser sutil, continuo, y curva de forma creciente. Normalmente, una función con forma de parábola se ajusta relativamente bien a las esferas angostas de la variable D. Para esferas más amplias, se podrían ajustar algunas piezas pequeñas de una función de parábola, una para cada sub-esfera apropiada.

Para nuestro ejemplo numérico, el grafico siguiente es una función sobre el intervalo usado en el modelo de la función de utilidad, dibujado con la utilidad asociada (eje de las U) y el valor asociado en dólares (eje de las D). Note que en el diagrama de dispersión los puntos múltiples están representados por círculos pequeños.

Representación Gráfica de la Función de Utilidad para el Ejemplo Numérico

La representación gráfica tiene una gran ventaja sobre la tabular y es que se puede leer la utilidad en dólares de $10 directamente del gráfico, como se muestra en la figura anterior para nuestro ejemplo numérico. El resultado es aproximadamente U = 40. Leyendo un valor del gráfico no es conveniente; por lo tanto, para los procesos de predicciones, un modelo matemático es el que mejor funciona.

Representación Matemática de la Función de Utilidad: Podemos construir un modelo matemático para una función de utilidad utilizando la forma de la función de utilidad obtenida mediante su representación del Método Gráfico. Normalmente, una función con forma de parábola se ajusta relativamente bien a las esferas angostas de la variable D. Para esferas más amplias, se podrían ajustar algunas piezas pequeñas de una función de parábola, una para cada sub-esfera apropiada.

Sabemos que queremos una función cuadrática que se ajuste mejor al diagrama de dispersión que

ha sido construido previamente. Por lo tanto, utilizamos el análsis de regresión para estimar los coeficientes en la función que mejor se ajusta a los pares de datos (D, U).

Modelos de Parábola: Las regresiones de parábola tienen tres coeficientes con una forma general:

U = a + bD + cD2,

donde

c = { (Di - Dbarra)2Ui - n[(Di - Dbarra) 2Ui]} / {n(Di - Dbarra) 4 - [(Di - Dbarra)2] 2} b = [(Di- Dbarra) Ui]/[(Di - Dbarra)2] - 2cDbarra

a = {Ui - [c(D i - Dbarra) 2)}/n - (cDbarraDbarra + bDbarra),

donde Dbarra es la media de Di's.

Para nuestro ejemplo numérico i = 1, 2,..., 12. mediante la evaluación de estos coeficientes utilizando la información dada en la sección de la forma tabular, El “mejor” ajuste es caracterizado por sus coeficientes de valores estimados: c = 0,409, b = 0,035, y a = 3,091. El resultado es; por lo tanto, una función de utilidad aproximada por la siguiente función cuadrática:

U = 0,409D2 + 0,035D + 3,091,    para todo D tal que   -2 D 15. La representación matemática anterior proporciona información mas útil que los otros dos métodos. Por ejemplo, colocando D = 10, se obtiene el valor predicho de utilidad U = 44,3. Adicionalmente, tomando la derivada de la función proporciona el valor marginal de la utilidad, por ejemplo,

Utilidad Marginal = 0,035 + 0,818D,     para todo D tal que   -2 D 15. Note que para este ejemplo numérico, la utilidad marginal es una función creciente porque la variable D tiene un coeficiente positivo; por lo tanto, se esta capacitado a clasificar esta decisión como un riesgo moderado.

A usted podría gustarle utilizar el JavaScript de Regresión Cuadrática para comprobar sus cálculos manuales. Para grados mayores que la cuadrática, a usted podría gustarle utilizar el JavaScript de Regresión Polinomial.

Fuente: http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishP.htm#rutility

333.6 Decisiones secuénciales.

Fuente: http://www.snap.gov.bo/campusvirtual/courses/CLIBFDTSCB/document/Toma_de_decisiones/Teoria/CAP_6_DECISIONES_SECUENCIALES,___ARBOL_DE_DECISION.pdf?cidReq=CLIBFDTSCB

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3.6 Decisiones secuénciales.

Fuente: http://www.snap.gov.bo/campusvirtual/courses/CLIBFDTSCB/document/Toma_de_decisiones/Teoria/CAP_6_DECISIONES_SECUENCIALES,___ARBOL_DE_DECISION.pdf?cidReq=CLIBFDTSCB

35 3.7 Análisis de sensibilidad

Introducción al análisis de sensibilidad

El trabajo del equipo de investigación de operaciones recién se inicia cuando se ha aplicado con éxito el método símplex para identificar una solución óptima. Una suposición de programación lineal es que todos los parámetros del modelo (aij, bi y cj ) son constantes conocidas. En realidad, los valores de los parámetros que se usan en este modelo son sólo estimaciones basadas en una predicción de las condiciones futuras. Los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones con frecuencia son bastante imperfectos o no existen, es por esta razón que los parámetros de la formulación original pueden representar poco más que algunas pequeñas reglas proporcionadas por el personal de línea el que tal vez se sintió presionado para dar su opinión. Los datos pueden incluso representar estimaciones optimistas o pesimistas que protegen los intereses de los estimadores.

Por todo esto, un gerente razonable y el personal de investigación de operaciones mantendrán cierto escepticismo respecto a los valores originales entregados por el computador y, en los muchos casos, los considerarán solamente como un punto de inicio para el análisis posterior del problema. Una solución "óptima" es óptima nada más en lo que se refiere al modelo específico que se está usando para representar el problema real, y tal solución no se convierte en una guía confiable para la acción hasta que se verifica que su comportamiento es bueno para otras representaciones razonables del problema. Aún más, algunas veces los parámetros del modelo (en particular bi) se establecen como resultado de decisiones por políticas gerenciales, y estas decisiones deben revisarse después de detectar sus consecuencias.

Estas son las razones por las cuales es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima proporcionada por el método símplex el hecho de que los parámetros tomaran otros valores posibles. En general, habrá algunos parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor razonable sin que afecten la optimalidad de la solución. Sin embargo, también existirán parámetros con valores probables que nos lleven a una nueva solución óptima. Esta situación es particularmente preocupante, si la solución original adquiere valores sustancialmente inferiores en la función objetivo, ¡o tal vez no factibles!

Por lo tanto, el objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima ). Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo). En algunos casos, cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la solución BF óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo de valores para el que la solución BF óptima (con los valores ajustados de las variables básicas) seguirá siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para permanecer factible).

La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero, identifica los parámetros más importantes, con lo que se puede poner un cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles. Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles, ésta es una señal de que es necesario cambiar la solución.

En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los cambios al modelo original alterarían los números de la tabla símplex final (si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas que realizó el método símplex la primera vez). Por lo tanto, después de hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla símplex, se puede verificar con facilidad si la solución BF óptima original ahora es no óptima (o no factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial para comenzar de nuevo el método símplex (o el símplex dual ) para encontrar una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios realizados en el modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución básica inicial "avanzada".

Para describir este procedimiento con más detalle, considere la siguiente situación. Se ha empleado el método símplex para obtener una solución óptima para un modelo de programación lineal con valores específicos para los parámetros bi, cj y aij. Para iniciar el análisis de sensibilidad se cambian uno o más parámetros. Después de hacer los cambios, sean bi, cj y aij los valores de los distintos parámetros. Entonces, en notación matricial, para el modelo revisado.

_ _ _

b b, c c, a a,

Primer paso es actualizar la tabla símplex final para que refleje estos cambios. Usando la siguiente notación junto a las fórmulas que acompañan a la idea fundamental [ 1) t* = t + y*T y 2) T* = S*T ] , se ve que la tabla símplex final revisada se calcula a partir de y* y S* (que no han cambiado) y la nueva tabla símplex inicial, como se muestra en la tabla 1.1.

Tabla 1.1 Tabla símplex final revisada que resulta de los cambios en el modelo original

Coeficiente de

Ec. Z Variables originales Variables de holgura Lado derecho

Tabla inicial nueva 0 1 1-c 0 0

(1, 2,...,m) 0 A 1 b

Tabla final revisada 0 1 z* - c = y* A - c y * Z* = y* b

(1,2,...,m) 0 A* = S * A S * b* = S* b

A manera de ilustración, suponga que se revisa el modelo original del problema de la Wyndor Glass Co. según se muestra en el cuadro que presentamos a continuación:

Modelo original Modelo revisado

Así, los cambios al modelo original son c1 = 3 4, a31 = 3 4 y b2 =12 24. El siguiente gráfico muestra el efecto de estos cambios. Para el modelo origina el método símplex ya ha identificado la solución FEV óptima en el vértice (2, 6), que se encuentra en la intersección de las dos fronteras de restricción que se muestran como líneas punteadas, 2x2 = 12 y 3x1 + 2x2 = 18. Ahora, la revisión del modelo ha cambiado ambas fronteras por las que se muestran con líneas oscuras, 2x2 = 24 y 2x1 + 2x2 = 18. En consecuencia, la solución FEV anterior (2, 6) cambia ahora a la nueva intersección (-3, 12) que es una solución no factible en un vértice para el modelo revisado. El procedimiento descrito en los párrafos anteriores encuentra este cambio algebraicamente (en la forma aumentada). Aún más, lo hace de manera muy eficiente aunque se trate de grandes problemas para los que el análisis gráfico es imposible.

Para llevar a cabo este procedimiento, se comienza escribiendo los parámetros del modelo revisado en forma matricial:

_ _ 1 0 _ 4

c = (4,5), A = 0 2 , b = 24

2 2 18

La tabla símplex inicial nueva que resulta se muestra en la parte superior de la tabla 1.2. Debajo se encuentra la tabla símplex final original. Se dibujaron cuadros oscuros para marcar las partes de esta tabla símplex final que definitivamente no cambian con los cambios al modelo, a saber, los coeficientes de las variables de holgura tanto en el renglón 0 (y*) como en el resto de

los renglones (S*). Así,

1 1/3 -1/3

y* = ( 0, 3/2, 1 ), S* = 0 ½ 0

0 -1/3 3

Figura 1 Cambio de la solución final en un vértice de (2, 6) a (-3, 12) para la revisión del problema de la Wyndor Glass Co., donde c1 = 3 4, a31 = 3 2 y b2 =12 24.

Estos coeficientes de las variables de holgura quedan necesariamente sin cambiar cuando se realizan las mismas operaciones algebraicas que originalmente realizó el método símplex porque los coeficientes de estas mismas variables en la tabla símplex inicial no cambiaron.

Sin embargo, como otras partes de la tabla símplex inicial cambiaron, habrá modificaciones en la tabla símplex final. Usando las fórmulas de la tabla 6.1, los números actualizados en el resto de la tabla símplex final se calculan como sigue:

_ 1 0 4

z* - c = (0, 3/2, 1) = 0 2 - (4, 5) = (-2, 0), Z* = (0, 3/2, 1) 24 = 54

2 2 18

1 1/3 -1/3 1 0 1/3 0

A* = 0 ½ 0 0 2 = 0 1 ,

0 -1/3 1/3 2 2 2/3 0

1 1/3 -1/3 4 6

b* = 0 ½ 0 24 = 12

0 -1/3 1/3 18 -2

Tabla 1.2 Obtención de la tabla símplex revisada final para el problema de la Wyndor Glass Co.

Fuente: http://html.rincondelvago.com/analisis-de-sensibilidad_1.html36 3.7 Análisis de sensibilidad

37

UNIDAD CUATROCadenas de Markov

38

41. Introducción.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. " Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

    En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

    El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo.

    La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La caracteristica más importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.

Aplicación a la administración : Planeación de Personal.

    El anális de transición puede ser útil al planear satisfacer las necesidades de personal. Muchas firmas emplean trabajadores de diferentes niveles de clasificación dentro de la misma categoría de trabajo. Esto es común para personal de confianza, oficinistas, obreros calificados, no calificados y personal profesional. La firma debe tener el número de empleados en cada nivel de clasificación para proporcionar la oportunidad de promoción adecuada, cumplir con las habilidades necesarias para el trabajo y controlar la nómina. Una planeación de personal a largo plazo apropiada requiere que se considere el movimiento de personas tanto hacia arriba en el escalafón de clasificación como hacia afuera de la organización. El análisis de Markov puede ayudar en este esfuerzo de planeación.

    El movimiento de personal a otras clasificaciones puede considerarse como una cadena de Markov.  Se supone que hay tres clasificaciones; el grado 1 es la más baja. Además, los descensos se consideran raros y se omiten. El estado "salen" es absorbente, el cual incluye renuncias, ceses, despidos y muertes. Por supuesto, todos los empleados finalmente alcanzan este estado.

      Las transiciones del grado 1 al grado 2 y del grado 2 al grado 3 representan promociones. Como transiciones de probabilidad, están controladas por la firma, puede establecerse el nivel que la firma determine que es necesario para cumplir sus objetivos. Como ejemplo, supóngase que la firma tiene en este momento 30 empleados del 3, 90 empleados del grado 2 y 300 empleados del grado 1 y que desea mantener este nivel de empleados durante el próximo año. Por experiencia, se espera que salgan el 30 % de los empleados de grado 1 al año, el 20 % de los empleados de grado 2 y el 10 % de aquellos que están en el grado 3. Si la política es contratar sólo en los niveles de clasificación más bajos, cuántos se deben contratar y cuántos se deben promover el siguiente año para mantener estables los niveles ?.

    Este problema puede resolverse sin el análisis de Markov, pero el modelo es útil para ayudar a conceptualizar el problema. Como se trata sólo de un ciclo, se usa el análisis de transición. El análisis comienza con el graado más alto. No se hacen promociones pero el 10 %, o sea, 3,

sale. Todos ellos deben de reemplazarse por promociones del grado 2. En el nivel de clasificación, el 20 % sale y se deben promover 3, con una pérdida de 21. Esto se debe compensar por promoción del grado 1. Al pasar al grado 1, el 30 % sale y 21 deben promoverse, lo cual una pérdida total de 111. Por tanto, el siguiente año se deben contratar 111 empleados del nivel 1.

    En este ejemplo se derivan algunas tasas de transición a partir de consideraciones externas.

Fuente: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm 39 4.2 Formulación de las cadenas de Markov.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. " Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.       En la figura 4.1.1 se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej , donde j = 1, 2, . . . , n, a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos depende del estado del generador. Este estado se describe por el último evento generado. En la figura 4.1.1, el último evento generado fue Ej , de manera que el generador se encuentra en el estado Mj .

    La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional : P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición.   Probabilidades de transición.       Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados, como el que

se muestra en la figura 4.1.2. En ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro estados posibles : M1, M2 , M3 y M4 . La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama

    Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la tabla 4.1.1 .

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . Para n = 0, 1, 2, ....

  El superíndice n no se escribe cuando n = 1. Fuente: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

40 4.3 Procesos estocásticos.

Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de variables aleatorias { X1 }, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X, representa una característica de interés

medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocástico, X1 , X2 , X3, .., Puede representar la colección de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la colección de demandas semanales (o mensuales) de este producto.

    Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. En puntos específicos del tiempo t , el sistema se encuentra exactamente en una de un número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0, 1, . . , S. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido el proceso estocástico. Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0, 1, . . , M , que se usarán en adelante para denotar los estados posibles del sistema. Así la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xi}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1, .. , M . Estos enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso.

Fuente: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm41 4.4 Propiedad Markoviana de primer orden.

Se dice que un proceso estocástico tiene la propiedad markoviana si

P { Xt+1 = j | X0 = K0 , X1 = K1 , . ., Xt-1 = Kt-1 , = Kt-1, Xt=1}= P {X t+1 | X1 = i }, para toda t = 0, 1, . . y toda

sucesión i, j , K0 , K1 , . . , Ki-1 .

    Se puede demostrar que esta propiedad markoviana es equivalente a establecer una probabilidad condicional de cualquier "evento" futuro dados cualquier "evento " pasado y el estado actual Xi = i , es independiente del evento pasado y sólo depende del estado actual del proceso. Las probabilidades

condicionales P{Xt+1 = j | Xt = i} se llaman probabilidades de transición. Si para cada i y j,

P{ Xt+1 = j | | Xt = i } = p{X1 = j | X0 = i }, para toda t = 0, 1, ....

    Entonces se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias y por lo general se denotan por pij . Así, tener probabilidades de transición estacionarias implican que las probabilidades de transición no cambian con el tiempo. La existencia de probabilidades de transición (de un paso) estacionarias también implica que, para cada i, j y n (n = 0, 1, 2,...),

P{ Xt+n = j | | Xt = i } = p{Xn = j | X0 = i },

Para toda t = 0, 1, . . . Estas probabilidades condicionales casi siempre se denotan por  y se

llaman probabilidades de transición de n pasos. Así,  es simplemente la probabilidad condicional de que la variable aleatoria X, comenzando en el estado i, se encuentre en el estado j después de n pasos ( unidades de tiempo ).

Como las  son probabilidades condicionales, deben satisfacer las propiedades:

Fuente: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

42 4.4 Propiedad Markoviana de primer orden.

43 4.5 Probabilidad de transición estacionarias de un solo paso.44 4.5 Probabilidad de transición estacionarias de un solo paso.

Ejemplo :

      Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana.

  Observe que {Xi}, en donde Xi es el número de cámaras en el almacén al final de la semana t ( antes de recibir el pedido }), es una cadena de Markov. Se verá ahora cómo obtener las probabilidades de transición (de un paso), es decir, los elementos de la matriz de transición ( de un paso).

 

  Suponiendo que cada Dt tiene una distribución Poisson con parámetro  .

  Para obtener  es necesario evaluar  . Si  ,

Entonces  . Por lo tanto,  significa que la demanda durante la

semana fue de tres o más cámaras. Así,  , la probabilidad de que una variable aleatoria Poisson con parámetro  tome el valor de 3 o más;

y  se puede obtener de una manera parecida. Si  ,

entonces  . Para obtener  , la demanda durante la semana debe ser 1

o más. Por esto,  . Para encontrar  ,

observe que  si  . En consecuencia, si  , entonces la demanda

durante la semana tiene que ser exactamente 1. por ende,  . Los elementos restantes se obtienen en forma similar, lo que lleva a la siguiente a la siguiente matriz de transición ( de un paso):

 

Fuente: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

45 4.6 Probabilidad de transición estacionarias de n pasos.

46 4.6 Probabilidad de transición estacionarias de n pasos.Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un método para calcular estas

probabilidades de transición de n pasos : 

    Estas ecuaciones simplemente señalan que al ir de un estado i al estado j en n pasos, el proceso estará en algún estado k después de exactamente m ( menor que n) pasos. Así,

    Es solo las probabilidad condicional de que, si se comienza en el estado i, el proceso vaya al estado k despues de m pasos y después al estado j en n- m pasos.

Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones

    Para toda i, j, y n de lo cual resulta que las probabilidades de transición de n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de manera recursiva.

Para n=2, estas expresiones se vuelven : 

Note que las  son los elementos de la matriz P(2) , pero también debe de observarse que

estos elementos,  se obtienen multiplicando la matriz de transición de un paso por sí misma; esto es , P(2) = P * P = P2 .

    En términos más generales, se concluye que la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de la expresión : P(n) = P * P .... P = Pn = PPn-1 = Pn-1 P.

    Entonces, la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la n-ésima potencia de la matriz de transición de un paso. Para valores no muy grandes de n, la matriz de transición de n pasos se puede calcular en la forma que se acaba de describir, pero cuando n es grande, tales cálculos resultan tediosos y, más aún, los errores de redondeo pueden causar inexactitudes.

Ejemplo :

    Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1

para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana.

 

 

Así, dado que tiene una cámara al final de una semana, la probabilidad de que no haya

cámaras en inventario dos semanas después es 0.283; es decir,  De igual manera, dado que se tienen dos cámaras al final de una semana, la probabilidad de que haya tres

cámaras en el almacén dos semanas después es 0.097; esto es, 

  La matriz de transición de cuatro pasos también se puede obtener de la siguiente manera :

P(4) = P4 = P(2) * P(2)

    Así, dado que queda una cámara al final de una semana, 0.282 es la probabilidad de que no

haya cámaras en inventario 4 semanas más tarde; es decir,  De igual manera, dado que quedan dos cámaras en el almacén final de una semana, se tiene una probabilidad

de 0.171 de que haya tres cámaras en el almacén 4 semanas después; esto es, 

Fuente: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm47 4.7 Estados absorbentes48 4.7 Estados absorbentes

FUENTE: http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase5_II.pdf

49 4.8 Probabilidad de transición estacionarias de estados estables.Tiempos de primer paso.50 4.8 Probabilidad de transición estacionarias de estados estables.Tiempos de primer paso.

Teorema     Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados . Existe entonces un

vector  tal que

 

Se establece que para cualquier estado inicial i ,  .

El vector  a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de

probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P, según el

teorema, para n grande y para toda i ,  (1)Como Pij (n + 1) = ( renglón i de Pn )(columna j de P), podemos escribir

(2)

 

  Ejemplo :

    Suponga que toda la industria de refrescos produce dos colas. Cuando una persona ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de 90 % de que su siguiente compra se de cola 1. Si

una persona compró cola 2, hay un 80 % de probabilidades que su próxima compra sea de cola 2.

Entonces : 

Al reemplazar la segunda ecuación por la condición  ,

obtenemos el sistema 

Al despejar  resulta que  Por lo tanto, después de largo tiempo, hay probabilidad 2/3 de que una persona dada compre cola 1 y 1/3 de probabilidad de que una persona compre cola 2.

Fuente: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htmCon frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones en términos de probabilidades sobre el número de transiciones que hace el proceso al ir de un estado i a un estado j por primera vez . este lapso se llama tiempos de primer paso al ir del estado i al estado j. cuando J=i, esta tiempo de primer paso es justo el número de transiciones hasta que el proceso regresa al estado inicial i. En este caso, el tiempo de primer paso se llama tiempo de recurrencia para el estado i.  Para ilustrar estas definiciones, reconsidérese el ejemplo siguiente :   Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana.        Donde Xt es el número de cámaras en inventario al final de la semana t y se comienza

con  , Suponga que ocurrió lo siguiente:  

      En este caso, el tiempo de primer paso para ir al estado 3 al estado 1 es dde 2 semanas, el tiempo de primer paso para ir del estado 3 al estado 0 es de 3 semanas y el tiempo de recurrencia del estado 3 es de 4 semanas.     En general, los tiempos de primer paso son variables aleatorias y, por lo tanto, tienen una distribución de probabilidad asociada a ellos. Estas distribuciones de probabilidad dependen de

las probabilidades de transición del proceso. En particular,  denota la probabilidad de que el tiempo de primer paso del estado i al j sea igual a n. Se puede demostrar que estas probabilidades satisfacen las siguientes relaciones recursivas:

       Entonces se puede calcular la probabilidad de un tiempo de primer paso del estado i al j en n pasos, de manera recursiva, a partir de las probabilidades de transición de un paso. En el ejemplo, la distribución de probabilidad de los tiempos de primer paso del estado 3 al estado 0 se obtiene como sigue:  

 

Para i y j fijos, las  son números no negativos tales que  

      Esta suma puede ser menor que 1, lo que significa que un proceso que el iniciar se encuentra en el estado i puede no llegar nunca al estado j . Cuando la suma es igual a 1,

las  pueden considerarse como una distribución de probabilidad para la variable aleatoria, el tiempo de primer paso.  

    Para obtener el tiempo esperado de primer paso del estado i al estado j. Sea  , que se define como:

 

 

entonces  satisface, de manera única, la ecuación:  

Cuando i=j,  se llama tiempo esperado de recurrencia.   Al aplicarlo al ejemplo del inventario, estas ecuaciones se pueden usar para calcular el tiempo esperado hasta que ya no se tengan cámaras en el almacén, suponiendo que el proceso inicia cuando se tienen tres cámaras; es decir, se puede obtener el tiempo esperado de primer

paso  . Como todos los estados son recurrentes, el sistema de ecuaciones conduce a las expresiones  

  La solución simultánea de este sistema es  

      De manera que el tiempo esperado hasta que la tienda se queda sin cámaras es de 3.50 semanas. Fuene: http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/index.htm

51 4.9 Uso de programas de computación.

524.9 Uso de programas de computación.TAHA.

53Practica: Analizar problemas de probabilidad de transición estacionarias de un solo paso, de n pasos, los estados absorbentes, la probabilidad de transición estacionaria de estados estables y los tiempos de primer paso.

54 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL55 UNIDAD CINCO

Optimización de Redes

HANDY Y TAHA

56

5.1 Terminología.

57

5.1 Terminología.

58 5.2 Problema de la ruta más corta. Redes cíclicas y acíclicas

59 5.2 Problema de la ruta más corta. Redes cíclicas y acíclicas

FUENTE: TAHA.

60

5.3 Problema del árbol de mínima expansión.

61 5.3 Problema del árbol de mínima expansión.

HAMDY A TAHA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, PRENTICR AHLL,

62

5.4 Problema de flujo máximo.

63 5.5 Problema de flujo de costo mínimo.(MCNFP)

El modelo de Flujo de Costo Mínimo en una Red se plantea de la manera siguiente

bi>0 si i es un nodo origenbi<0 si i es un nodo destinobi=0 si i es un nodo de transbordo

Una condición necesaria para que el modelo tenga solución factible es que bi=0, es decir, que el flujo total generado en los nodos origen sea igual al flujo total absorbido por los nodos destino.

Cuando esta condición no se cumple (problemas de transporte no balanceado en los que la oferta es diferente a la demanda) se generan nodos ficticios que generen o que absorban flujo. Los costos asociados a los arcos que parten o llegan a estos nodos es cero.

Con frecuencia bi y uij son valores enteros. Las variables xij son variables enteras y no se requiere agregar esta condición al modelo (unimodularidad).

Con este modelo es posible plantear un problema de transporte, de transbordo, de flujo máximo y de camino más corto.

EL PROBLEMA DEL CAMINO MÁS CORTO EN UNA RED

El origen es un nodo con b1=1El destino es un nodo con bn= -1Los nodos restantes son nodos de transbordo

Como la red es no-dirigida cada arco se sustituye por un par de arcos dirigidos en dirección opuesta, excepto para el nodo origen y el nodo destino.

El costo cij es la distancia del arco (i,j)Las variables tomarán valores 0 y 1 dependiendo si se asignan al camino o no.

Veamos un ejemplo: la siguiente red indica los caminos posibles para llegar del nodo 1 al nodo 7. Los valores en los arcos indican la distancia entre cada nodo.

min 10x12+15x27+19x67+26x13+8x23+8x32+18x24+18x42+10x35+10x53++8x56+8x65+5x45+5x54+11x47s.t.x12+x13=1-x27-x47-x67=-1x27+x24+x23-x32-x42-x12=0x32+x35-x23-x53-x13=0

15

5

8

2

1018

50000

1119

8

3

2664

10

4

6

1

7

x42+x47+x45-x24-x54=0x53+x54+x56-x35-x45-x65=0x65+x67-x56=0EL PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO COMO MODELO DE MCNFP

Se tiene un nodo origen (O) y un nodo destino (T) y varios nodos de transbordo:Se crea un arco ficticio del destino al origen identificado con la variable xTO con costo cTO=-1.

Los costos cij=0 para todo arco (i,j) excepto para el arco ficticio

bi=0 para todo nodo i

Ejemplo: dada la red

0 1 2

3

T2 3 24

1

3

xTO

min -xTO

s.t.xO1+xO2-xTO =0x12+x13-xO1=0x2T-x12-xO2=0x3T-x13=0xTO-x2T-x3T=0xO1<2, xO2<3, xTO =0x12<3, x13<4, x2T<2, x3T<1,

El problema del Árbol generador minimal como modelo de PL

Un Árbol Generador de una red de n nodos es un conjunto de n-1 arcos con un camino entre cualquier par de nodos y sin ciclos.

Sea xij una variable binaria indicando (xij=1) la existencia de un arco (i,j) en el árbol.

Cij= es la distancia del arco (i,j)

min cij xijs.a xij =n-1 (los arcos forman un árbol de la red)

Una restricción que asegure que no se forman ciclos: ¿¿¿¿¿?????? (tarea)xij {0,1}

fuente: ftp.itam.mx/pub/investigadores/gigola/ModyOpt/MCNFP.doc -

645.6 Programación lineal en Teoría de Redes. 5.7 Uso de programas de computación

65 TERCER EXAMEN PARCIAL

FUENTES

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/rptSylabus.php?tipo=PDF&id_asignatura=338&clave_asignatura=INB-0406&carrera=IIND0405001http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_Inv_Oper.htmhttp://www.geocities.com/leoptimus/SimplexHelp5.htm#GeneralTAHA, INVESTIGAION DE OPERACIONES, AFAOMEGA, MEXICO 2004.